Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari. Shartli ekstremum 26 - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	812.0KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	13 Iyun 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

203 Sotish

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining mavjudligining zaruriy va yetarli shartlari. Shartli ekstremum 26

Sotib olish

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining mavjudligining zaruriy va
yetarli shartlari. Shartli ekstremum

MUNDARIJA
KIRISH .......................................................................................................................
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining nazariy asoslari ......................... 5
1.Funksiyaning lokal minimum va maksimum nuqtalari ta’rifi ............................. 5
2. Ekstremum mavjudligining zaruriy sharti ....................................................... 10
3.Shartli ekstremum mavjudligining yetarli sharti .............................................. 14
4.Shartli ekstremum tushunchasi va uni hisoblash usullari .................................. 20
XULOSA ................................................................................................................ 29
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR .............................................................. 30

KIRISH
Bugungi kunda matematika fani ilm-fan va texnologiyaning barcha
sohalarida muhim ahamiyat kasb etmoqda. Ayniqsa, ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar

nazariyasi zamonaviy matematik analizning asosiy bo‘limlaridan biri bo‘lib,
murakkab jarayonlarni modellashtirish va tahlil qilishda keng qo‘llaniladi. Tabiat
hodisalari, iqtisodiy jarayonlar, texnik tizimlar hamda axborot texnologiyalaridagi
ko‘plab masalalar bir nechta o‘zgaruvchilarga bog‘liq bo‘lgan funksiyalar
yordamida ifodalanadi. Shu sababli ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarni o‘rganish
matematik bilimlarning muhim tarkibiy qismi hisoblanadi.
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning uzluksizligi tushunchasi funksiyaning
xossalarini chuqur tahlil qilishda asosiy o‘rin tutadi. Funksiyaning berilgan
nuqtadagi uzluksizligini aniqlash orqali uning limitlari, hosilalari va integral
hisoblari bilan bog‘liq masalalarni samarali yechish mumkin bo‘ladi. Uzluksizlik
tushunchasi matematik analizning boshqa bo‘limlari bilan uzviy bog‘liq bo‘lib,
nazariy va amaliy masalalarni yechishda katta ahamiyatga ega.
Mazkur kurs ishining dolzarbligi shundaki, hozirgi davrda aniq fanlarni
rivojlantirish va matematik tafakkurni shakllantirishga alohida e’tibor
qaratilmoqda. O‘zbekiston Respublikasida matematika fanini rivojlantirish davlat
siyosatining ustuvor yo‘nalishlaridan biri sifatida belgilangan. Jumladan,
O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyev tomonidan qabul
qilingan matematika ta’limini rivojlantirishga oid farmon va qarorlar yosh
avlodning ilmiy salohiyatini oshirishga xizmat qilmoqda. Xususan, 2020-yil 7-
maydagi “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy tadqiqotlarni
rivojlantirish chora-tadbirlari to‘g‘risida”gi PQ–4708-son Qarori matematika fanini
chuqur o‘rganish va zamonaviy yondashuvlarni ta’lim jarayoniga tatbiq etishda
muhim ahamiyat kasb etadi.
Kurs ishining maqsadi – ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar va ularning
uzluksizligi haqidagi nazariy bilimlarni o‘rganish, uzluksizlikning asosiy

xossalarini tahlil qilish hamda amaliy misollar orqali mavzuni yoritishdan iborat.
Ushbu maqsadga erishish uchun ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar tushunchasi, limit
va uzluksizlik shartlari, uzluksizlikning asosiy teoremalari hamda ularning
qo‘llanilish jihatlari o‘rganiladi.
Mazkur kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar
ro‘yxatidan iborat bo‘lib, mavzu nazariy hamda amaliy jihatdan yoritilgan.
Kurs ishi mavzusining dolzarbligi: Zamonaviy matematika, fizika,
iqtisodiyot va muhandislik masalalarini tadqiq etishda bir o‘zgaruvchili funksiyalar
nazariyasi ko‘pincha yetarli bo‘lmaydi. Real hayotiy jarayonlar va tabiat
qonuniyatlari odatda bir nechta omillarga bog‘liq bo‘lib, ularni tavsiflash uchun
ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar apparatidan foydalaniladi. Ko‘p o‘zgaruvchili
funksiyalar nazariyasi matematik analizning fundamental bo‘limlaridan biri
hisoblanadi. Ushbu nazariyaning asosiy tushunchalaridan biri-funksiyaning
uzluksizligidir. Funksiyaning uzluksizligi uning differensiallanuvchanligi,
integrallanuvchanligi va ekstremum nuqtalarini topish kabi muhim xossalarini
o‘rganishda poydevor vazifasini o‘taydi. Shu sababli, ko‘p o‘zgaruvchili
funksiyalar va ularning uzluksizligi xossalarini chuqur tadqiq etish o‘ta dolzarb
hisoblanadi.
Kurs ishining maqsadi : ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalari haqida matematik
analiz darslarida o‘rganilgan tushuncha va tasdiqlarni mustahkamlash va
amaliyotda qo‘llashdir.
Kurs ishining vazifasi: ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar tushunchasini
tushunish va ularning oblasti aniqlash; ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarning
uzluksizligi, chegaralari va ekstremumlari haqida bilish; ko‘p o‘zgaruvchili

funksiyalarning xosilasi va differensialini topish va ularning xossalari haqida
bilish.
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumining nazariy
asoslari

Funksiyaning lokal minimum va maksimum nuqtalari ta’rifi
1 -teorema . funksiya da differensiallanuvchi bo‘lsin.
Shu intervalda funksiya o‘zgarmas bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur
va yetarli.
Isboti . Zarurligi ravshan. Chunki funksiya o‘zgarmas bo‘lsa, barcha
nuqtalarda bo‘ladi.
Yetarliligi. Shartga ko‘ra funksiya intervalda differensialla-
nuvchi, ya’ni uchun chekli hosila mavjud .
Endi bo‘lgan nuqtalami olaylik. Ko‘rib chiqilayotgan
funksiya kesmada Lagranj teoremasining barcha shartlarini
qanoatlantiradi. Demak, intervalga tegishli shunday nuqta topilib,

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Teorema shartiga ko‘ra uchun , bundan
va (1) tenglikdan ekanligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, funksiyaning intervalning istalgan ikkita
nuqtasidagi qiymatlari o‘zaro teng. Demak, funksiya o‘zgarmas bo‘ladi. Bundan
integral hisobda muhim rol o‘ynaydigan quyidagi natija kelib chiqadi.
Natija. Agar va funksiyalar da chekli va
hosilalarga ega va tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda bilan
funksiyalar o‘zgarmas songa farq qiladi:

Haqiqatan ham , shartga ko ‘ ra Bundan 1- teoremaga
asosan , ya ’ ni tenglik o ‘ rinli ekanligi kelib
chiqadi .
Funksiyaning o‘sishi va kamayishi . Biz bu yerda funksiya hosilasi
yordamida funksiyaning monotonligini aniqlash mumkinligini ko‘rsatamiz.
2-teorema . Aytaylik, funksiya intervalda aniqlangan va
differensiallanuvchi bo‘lsin. Bu funksiya intervalda kamaymaydigan
(o‘smaydigan) bo‘lishi uchun tengsizlikning o‘rinli
bo‘lishi zarur va yetarli.
Isboti. Kamaymaydigan funksiya holatini ko‘ramiz.
Zaruriyligi. funksiya intervalda kamaymaydigan bo‘lsin. U
holda va uchun tengsizlik,
uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bundan esa
bo‘lishi aniq. Teorema shartiga ko‘ra , differensiallanuvchi, demak, —
nisbatning da chekli limiti mavjud, tengsizlikda limitga o‘tish haqidagi
teoremaga ko‘ra, bu limit nomanfiy bo‘ladi, ya’ni
Yetarliligi. uchun b‘lsin.
Endi bo‘lgan nuqtalarani olaylik. Qaralayotgan
funksiya kesmada Lagranj teoremasining barcha shartlarini
qanoatlantiradi. Demak, intervalga tegishli shunday nuqta topilib,

tenglik o‘rinli bo‘ladi. Teorema shartiga ko‘ra , bundan va (2)
tenglikdan ya’ni ekanligi kelib chiqadi. Bu esa
funksiyaning intervalda kamaymaydigan funksiyaligini ko‘rsatadi.
O‘smaydigan funksiya holati ham yuqoridagi kabi isbotlanadi.
Endi funksiyaning qat’iy monoton bo‘lishining yetarli shartini
isbotlaymiz.
3-teorema . Agar funksiya intervalda differensiallanuvchi va
uchun bo‘lsa, u holda funksiya
intervalda qat’iy o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘ladi.
Isboti. Aytaylik, va bo‘lsin. Aniqki, kesmada
funksiya Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Bu
teoremaga binoan shunday mavjudki,
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu tenglik va ekanligidan
bo‘lishi kelib chiqadi.
Bu funksiyaning qat’iy o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lishini ifodalaydi.
1.3. Funksiyaning nuqtada monotonlik sharti. Biz shu paytgacha
funksiyaning o‘sishi va kamayishi tushunchalarini biror oraliqqa nisbatan kiritdik
va o‘rgandik. Ba’zi hollarda bu tushunchalami nuqtaga nisbatan qarash foydadan
xoli emas.
Aytaylik, funksiya intervalda aniqlangan va
bo‘lsin.
1-ta ’rif . Agar nuqtaning shunday atrofí topilib,
boiganda bo‘lganda esa
bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada
o‘suvchi (kamayuvchi) deyiladi.

Endi nuqtada monotonlikning yetarli shartini keltiramiz.
4-teorema . funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsin.
Agar bo‘lsa, u holda funksiya shu nuqtada o‘suvchi
(kamayuvchi) bo‘ladi.
Isboti. Shartga ko‘ra chekli mavjud va u noldan katta (kichik)
bo‘lgani uchun ushbu
tengsizlik o‘rinli. Limitga ega bo‘lgan funksiyaning xossalaridan nuqtaning
shunday atrofi topilib, bu atrofda
tengsizlikning bajarilishi kelib chiqadi. Demak, bo‘lganda
tengsizlik, bo‘lganda esa
tengsizlik ham o‘rinli. Bu funksiyaning
nuqtada o‘suvchi (kamayuvchi) bo‘lishini ifodalaydi. Teorema isbot bo‘ldi.
5-teorema . Agar funksiya nuqtada musbat hosilaga ega bo‘lsa, u
holda nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, bunda
funksiya o‘suvchi bo‘ladi.
Funksiyaning ekstremumlari . Aytaylik, funksiya intervalda
aniqlangan va bo‘lsin.
2-ta’rif . Agar nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, shu
atrofdan olingan ixtiyoriy x uchun tengsizlik o‘rinli

bo‘lsa, u holda nuqta funksiyaning maksimum (minimum) nuqtasi,
esa funksiyaning maksimumi (minimumi) deb ataladi.
3-ta’rif. Agar nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, shu
atrofdan olingan ixtiyoriy uchun tengsizlik
o‘rinli bo‘lsa, u holda funksiya nuqtada qat’iy maksimumga
(minimumga ) ega deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalari funksiyaning ekstremum
nuqtalari, maksimum va minimum qiymatlari funksiyaning ekstremumlari deb
ataladi.
Shunday qilib, agar maksimum (minimum) bo‘lsa, u holda
funksiyaning nuqtaning kichik atrofida qabul qiladigan qiymatlaming eng
kattasi (eng kichigi) bo‘ladi, ya’ni funksiya ekstremumi lokal xarakterga ega.
Bundan funksiya eksremumi u aniqlangan sohada eng katta yoki eng kichik
qiymati bo‘lishi shart emasligi kelib chiqadi.
Shuningdek, funksiya intervalda bir qancha maksimum va
minimumlarga ega bo‘lishi, maksimum qiymati uning ba’zi bir minimum
qiymatidan kichik bo‘lishi ham mumkin.
Ekstremumning zaruriy sharti. Funksiya hosilalari yordamida uning
ekstremum nuqtalarini topish osonlashadi.
Avval ekstremumning zaruriy shartini ifodalovchi teoremani keltiramiz.
6-teorema . Agar funksiya nuqtada uzluksiz, shu nuqtada
ekstremumga ega bo‘lsa, u holda bu nuqtada funksiyaning hosilasi nolga
teng yoki mavjud emas.
Isboti . Aytaylik, funksiya nuqtada maksimumga ega bo‘lsin. U
holda nuqtaning shunday atrofi mavjud bo‘lib, bu atrofdan
olingan uchun bo‘ladi. Agar bo‘lsa, u holda

tengsizlik, agar bo‘lsa, u holda
tengsizlik o‘rinli bo‘lishi ravshan.
Bu tengsizliklar chap tomonidagi ifodalarning da limiti mavjud
bo‘lsa, u holda
Agar funksiyaning chap va o‘ng hosilalari nolga teng
bo‘lsa, u holda funksiya hosilasi mavjud va nolga teng bo‘ladi.
Agar va lar noldan farqli bo‘lsa, aniqki, <
bo‘lib, mavjud bo‘lmaydi.
Funksiya nuqtada minimumga ega bo‘lgan hol ham yuqoridagi kabi
isbotlanadi. Teorema isbot bo‘ldi.
4-ta’rif. Funksiya hosilasini nolga aylantiradigan nuqtalar yoki hosila
mavjud bo‘lmaydigan nuqtalar funksiyaning kritik nuqtalari deb ataladi. Funksiya
hosilasi nolga teng bo‘lgan nuqtalar statsionar nuqtalar deb ataladi.
Har qanday kritik nuqta funksiyaning ekstremum nuqtasi bo‘lavermaydi.
Ekstremum mavjud bo‘lishining yetarli shartlari.
7-teorema. Aytaylik, funksiya nuqtada uzluksiz va nuqta
funksiyaning kritik nuqtasi bo‘lsin.
a) agar uchun uchun
tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, ya’ni hosila nuqtadan o‘tishida o‘z ishorasini

«+» dan «-» ga o‘zgartirsa, u holda funksiya nuqtada maksimumga ega
bo‘ladi.
b) agar uchun , uchun
tengsizliklar o‘rinli bo‘lsa, ya’ni
hosila nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini «-» dan «+» ga o‘zgartirsa, u holda
funksiya nuqtada minimumga ega bo‘ladi;
d) agar hosila nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini o‘zgartirmasa, u
holda funksiya nuqtada ekstremumga ega bo‘lmaydi.
Isboti . a) holni qaraymiz. Bu holda uchun
bo‘lishidan funksiyaning da qat’iy o‘suvchiligi kelib chiqadi.
So‘ngra shartga ko‘ra funksiya nuqtada uzluksiz bo‘lgani sababli

tenglik o‘rinli. Demak, uchun

bo‘ladi. uchun bo‘lishidan funksiyaning
da qat’iy kamayuvchiligi kelib chiqadi. Demak, (1) tenglikni e’tiborga
olsak, uchun yana (2) tengsizlik bajariladi. Bundan va
uchun bo‘ladi, ya’ni funksiya nuqtada
maksimumga ega;
b) bu holda funksiya nuqtada minimumga erishishi a) holga
o‘xshash isbotlanadi.
hosila nuqtadan o‘tishda o‘z ishorasini o‘zgartirmaydigan d) holda
funksiya nuqtaning atrofîda qat’iy o‘suvchi yoki qat’iy
kamayuvchi bo‘ladi. Demak, nuqtada ekstremum yo‘q.

Shunday qilib, ekstremumga sinalayotgan nuqtani o‘tishda funksiya hosilasi
ishorasining o‘zgarishi ekstremumga erishishning faqat yetarli sharti bo‘lib, lekin
zaruriy sharti bo‘la olmaydi.
7-teoremadan funksiyaning ekstremumga tekshirish uchun 1- qoidani
keltirib chiqaramiz.
1-qoida . funksiyaning ekstremumlarini topish uchun:
1) funksiyaning hosilasini topib, tenglamani
yechish kerak. So‘ngra mavjud bo‘lmagan nuqtalami topib, kritik nuqtalar
to‘plamini hosil qilish kerak;
2) har bir kritik nuqtadan chapda va o‘ngda hosilaning ishorasini aniqlash
kerak;
3) agar hosila ishorasini «+» dan «-» ga («-» dan «+» ga) o‘zgartirsa, u holda
bu kritik nuqtada funksiya maksimumga (minimumga) ega bo‘ladi. Agar
hosila ishorasi o‘zgarmasa, ekstremum mavjud bo‘lmaydi.
E kstremum mavjudligining zaruriy va yetarli sharti
Funksiyaning maksimum va minimum qiymatlari. Ko‘p o‘zgaruvchili
funksiyaning ekstremum qiymatlari ta’riflari xuddi bir o‘zgaruvchili funksiyaning
ekstremum qiymatlari ta’rifi singari kiritiladi. funksiya biror
ovhiq to‘plamda berilgan bo ‘lib , bo ‘lsin.
5-ta’rif . Agar nuqtaning shunday
atrofi mavjud bo‘lsaki, uchun

bo‘lsa, funksiya nuqtada maksimumga (minimumga) ega deyiladi,
qiymat esa funksiyaning maksimum(minimum) qiymati yoki maksimumi
(minimumi) deyiladi.
6-ta’rif . Agar nuqtaning shunday
atrofi mavjud bo‘lsaki, uchun
bo‘lsa, funksiya nuqtada qat’iy maksimumga (qat’iy minimumga) ega
deyiladi, qiymat esa funksiyaning qat’iy maksimum (qat’iy minimum)
qiymati yoki maksimumi (minimumi) deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimum umumiy nom bilan uning ekstremumi
deyiladi.
Yuqoridagi ta’riflardan ko ‘rinadiki , funksiyaning nuqtadagi
qiymati ni uning shu nuqta atrofidagi nuqtalardagidagi qiymatlari bilangina
solishtirar ekan. Shuning uchun funksiyaning ekstremumi (maksimumi,
minimumi) lokal ekstremum (lokal maksimum, lokla minimum ) deyiladi.
Funksiya ekstremumining zaruriy sharti. funksiya
biror ochiq to‘plamda berilgan bo ‘lib ,
nuqtada maksimumga (minimumga)ega bo‘lsin. Ta’rifga ko‘ra
ning shunday atrofi mavjudki,
uchun
Xususan

bo‘ladi. Natijada bir o‘zgaruvchiga ga bog‘liq bo‘lgan
funksiyaning da eng katta(eng kichik) qiymati ga
erishishini ko ‘ramiz. Agarda nuqtada nuqtada xususiy hosila mavjud
bo ‘lsa , unda Ferma teoremasiga ko‘ra
bo ‘ladi.
Xuddi shuningdek, xususiy hosilalar mavjud bo ‘lsa,
bo ‘lishini topamiz.
Shunday qilib quyidagi teoremaga kelamiz.
8-teorema . Agar funksiya nuqtada ekstremumga erishsa va shu
nuqtada xususiy hosillarga ega bo ‘lsa , u holda
bo‘ladi.
funksiya xususiy hosilalarini nolga aylantiradigan nuqtalar uning
statsionar nuqtalari deyiladi.
1-eslatma. Agar funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u
holda funksiyaning ekstremumga erishishining zaruriy shartini ushbu
1 1 Equation Section (Next)
ko‘rinishda yozish mumkin .
Funksiya ekstremumining yetarli sharti.

Biz yuqorida funksiyaning nuqtada ekstremumga erishishining
zaruriy shartini ko ‘rsatdik. Endi funksiyaning ekstremumga erishishing zaruriy
shartini ko‘rsatdik. Endi funksiyaning ekstremumga erishishining yetarli shartini
o‘rganamiz.
funksiya nuqtaning biror
atrofida berilgan bo ‘lsin. Ushbu

Ayirmani qaraylik. Ravshanki , bu ayirma atrofda o‘z
ishorasini saqlasa, ya’ni har doim bo‘lsa, funksiya nuqtada
minimumga (maksimumga) erishadi. Agar har qanday
atrofda ham o‘z ishorasini saqlamasa, u holda funksiya
nuqtada ekstremumga ega bo‘lmaydi. Demak, masala o‘z
ishorasini saqlaydigan atrofda ham o ‘z ishorasini saqlamasa, u holda
funksiya nuqtada ekstremumga ega bo‘lmaydi. Demak, masala
yuqoridagi ayirma o‘z ishorasini saqlaydigan atrof mavjudmi yoki yo
‘qmi shuni aniqlashdan iborat .
Bu masalani biz , hususiy holda, ya’ni funksiya ma’lum shartlarni
bajargan holda yechamiz.
1) funksiya biror da uzluksiz, barcha o‘zgaruvchilari
bo‘yicha birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega ;
2) nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi, ya’ni
Teylor formulasidan foydalanib, nuqtaning statsionar nuqta ekanligini e’tiborga
olib, quyidagini topamiz:

Bu munosabatda funksiyaning barcha xususiy hosilalari
lar ushbu
Nuqtada hisoblangan va
Demak,
Berilgan funksiya ikkinchi tartibli hosilalarining statsionar nuqtadagi
qiymatlarini quyidagicha belgilaylik:
.
Unda ning nuqtada uzluksizligidan
bo‘lishi kelib chiqadi.Bu munosabatda
da barcha
bo‘ladi. Natijada (3.1) ayirma ushbu
ko‘rinishni oladi. Buni quyidagicha ham yozish mumkin:
Agar

Deb belgilasak, unda
bo‘ladi.
Ushbu
Ifoda o‘zgaruvchining kvadratik formasi deb ataladi,
lar esa kvadratik formaning koeffitsiyentlari deyiladi.
Ravshanki , har qanday kvadratik forma o ‘z koeffitsiyentlari orqali to‘la
aniqlanadi.
Ravshanki, bo ‘lsa, har qanday kvadratik forma uchun
Bo ‘ladi.
Endi boshqa nuqtalarini qaraylik.quyidagi hollar bo‘lishi mumkin:
1.Barcha nuqtalar uchun
.
Bu holda kavdratik forma musbat aniqlangan deyiladi.
2. Barcha nuqtalar uchun
.
Bu holda kvadratik forma manfiy aniqlagan deyiladi.
3.Ba’zi nuqtalar uchun , ba’zi nuqtalar
uchun
.
Bu holda kvadratik forma noaniq deyiladi.

4. Barcha nuqtalar uchun
va ular orasida shunday nuqtalar ham borki,
Bu holda kvadratik forma yarimmusbat aniqlangan deyiladi.
5. Barcha nuqtalar uchun
Va ular orasida shunday nuqtalar ham borki,
Bu holda kvadratik forma yarimmanfiy aniqlangan deyiladi.
1. Ushbu
Kvadrat forma musbat aniqlangan bo‘lsin. Avvalo yuqoridagi
va
Tengliklardan
Ekanligini topamiz . Ma’lumki fazoda
Markazi nuqtada, radiusi 1 ga teng sferani ifodalaydi. Sfera yopiq va
chegaralanagan to‘plam .veyershtrassning birinchi teoremasiga asosan shu sferada
funksiya uzluksiz funksiya sifatida chegaralangan , xususan
quyidan chegaralangan bo ‘ladi:

Agar kvadratik formaning musbat aniqlangan ekanligini
e’tiborga olsak , unda bo‘lishini topamiz .
Ikkinchi tomondan , Veyershtrasning ikkinchi teoremasiga ko‘ra bu
funksiya sferada o ‘zining aniq quyi chegarasiga erishadi,
ya’ni biror
uchun
bo‘ladi. Yana kvadratik formaning musbat aniqlanganligini
e’tiborga olsak,
Ekanini topamiz. Demak, sferada
bo‘ladi.
Endi
ni baholaymiz. Koshi-Bunyakovskiy tengsizligidan foydalanib, topamiz:

Ma’lumki, da barcha . Bundan
foydalanib nuqtaning atrofini yetarlicha kichik qilib olish hisobiga
Tengsizlikka erishish mumkin. Demak, (13.41) dan
2. Quyidagi
kvadratik forma manfiy aniqlangan bo ‘lsin. Bu holda nuqtaning yetarlicha
kichik atrofida bo‘lishi 1-holdagiga o‘xshash
ko‘rsatiladi. Natijada quyidagi teoremaga kelamiz.
9-teorema . funksiya nuqtaning biror atrofida
berilgan bo ‘lsin va u ushbu shartlarni bajarsin:
1) funksiya da barcha o ‘zgaruvchilar bo ‘yicha
birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy tartibli uzluksiz xususiy hosilarga
ega ;
2) nuqta nuqtaning startisonar nuqtasi :
3) koeffitsiyentlari
bo ‘lgan
kvadratik forma musbat (manfiy ) aniqlangan . u holda funksiya nuqtada
minimumga (maksimumga )erishadi .
Bu teorema funksiya ekstremumning yetarli shartni ifodalaydi .

Silvestr alomati. Ushbu
Kvadratik formaning musbat aniqlangan bo‘lishi uchun
,
tengsizliklarning , manfiy aniqlangan bo ‘lishi uchun
tengsizliklarning bajarilishi zarur va yetarli.
Xususiy holni funksiya ikki o‘zgaruvchiga bog‘liq bo‘lgan holni qaraylik.
funksiya nuqtaning biror atrofi
da berilgan bo ‘lsinva bu atrofda barcha birinchi, ikkinchi tartibli uzluksiz
hosilalarga ega bo ‘lsin.
esa qaralayotga funksiyaning statsionar nuqtasi bo‘lsin:
Odatdagidek ,
.Agar
va
b o‘lsa funksiya nuqtada minimumga erishadi .
Agar

va
b o‘lsa funksiya nuqtada maksimumga erishadi .
Agar
b o‘lsa funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi .
Agar
bo‘lsa funksiya nuqtada ekstremumga erishishi ham mumkin ,
erishmasligi ham mumkin. Bu “shubhali “ hol qo‘shimcha tekshirish yordamida
aniqlanadi.
Haqiqatan ham, - va - hollarda kvadratik forma mos ravishda musbat
aniqlanga yoki manfiy aniqlangan bo‘ladi.
1-misol . Ushbu
funksiyani qaraylik.Bu funksiyaning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari
bo‘ladi.
Sistemani yechib, berilgan funksiyaning statsionar nuqtalari va
ekanini topamiz.
nuqtada

bo ‘lib,
bo‘ladi.
Demak , bo ‘lganda ( bo‘lib) funksiya nuqta minimumga
erishadi, bo‘lganda funksiya nuqtada maksimumga erishadi.
Ravshanki, nuqtada
bo‘ladi. Demak , berilgan funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi.
2-misol. Quyidagi
funksiyani qaraylik. Berilgan funksiyaning statsionar nuqtasi nuqta
bo‘ladi. Bu nuqtada
bo‘lishini topish qiyin emas . Demak, biz bu yerda yuqoridagi 4-“shubhali “ holni
uchratyapmiz . Ekstremum bor-yo‘qligini aniqlash uchun qo ‘shimcha tekshirish
o‘tkazishimiz kerak. nuqtadan o‘tuvchi to‘g‘ri chiziqning
nuqtalarini qaraymiz. Ravshanki, bu to‘g‘ri chiziq nuqtalarida berilgan funksiya
bo‘lib, da da . da bo‘ladi. Demak,
funksiya nuqta atrofida ishora saqlamaydi. Binobarin , berilgan
funksiya nuqtada ekstremumga erishmaydi.
3-misol. Ushbu
funksiyaning to ‘plamda eng katta va eng kichik
qiymatlarini toping.
Berilgan funksiyaning statsionar nuqtalarini topamiz:

Demak, nuqta funksiyaning statsionar nuqtasi ekan. Bu nuqtada
berilgan funksiyaning qiymati
bo‘ladi.
Endi funksiyani ning chegarasi
aylanada qaraymiz. Bunda
va
bo‘ladi. Bu funksiyaning dagi eng katta hamda eng kichik
qiymatlarini topamiz:
.
funksiyaning segmentning chetki nuqtalaridagi qiymati
bo‘ladi.
Demak, funksiya eng kichik qiymati , eng katta qiymati esa
bo‘ladi. Boshqacha aytganda berilgan funksiyaning chegarasidagi eng
kichikqiymati , eng katta qiymati esa bo‘ladi. Bu qiymatlarni
funksiyaning statsionar nuqtadagi qiymati bilan solishtirib, berilgan funksiyaning
to‘plamdagi eng katta qiymati ,eng kichik qiymati esa bo‘lishini topamiz.
Shartli ekstremum tushunchasi va uni hisoblash usullari
Funksiyaning argumentlari hech bir qo‘shimcha shartlar bilan bog‘lanmagan
holda topilgan ekstremumlariga shartsiz ekstremumlar deyiladi. Funksiyaning

argumentlari hech bir qo‘shimcha shartlar bilan bog‘langan holda topilgan
ekstremumlariga shartli ekstremumlar deyiladi.
tenglama berilgan bo‘lib, nuqta bu tenglamani
qanoatlantirsin hamda funksiya nuqtaning biror  atrofida
aniqlangan va bu nuqtada uzluksiz bo‘lsin.
Agar  -atrofning tenglamani qanoatlantiruvchi barcha y
nuqtalarida tengsizlik bajarilsa,
nuqtaga funksiyaning shartli maksimum (shartli minimum) nuqtasi
deyiladi.
Bunda tenglama bog‘lanish tenglamasi deb ataladi, ekstremumga
bog‘lanish tenglamasi bilan bog‘langanlik shartida erishiladigan ekstremum
deyiladi.
Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi uchun shartli ekstremumni topish masalasi
quyidagi usullardan biri bilan yechiladi:
1. Agar bog‘lanish tenglamasini yoki ga nisbatan yechish
mumkin bo‘lsa, bu tenglamadan yoki topiladi va u
funksiyaga qo‘yiladi. Hosil bo‘lgan bir o‘zgaruvchining
funksiyasi ekstremumga tekshiriladi;
2. Agar bog‘lanish tenglamasini yoki ga nisbatan yechish
mumkin bo‘lmasa, Lagranj ko‘paytuvchilari usuli qo‘llaniladi.
Ikki o‘zgaruvchining funksiyasini Lagranj ko‘paytuvchilari usuli bilan
ekstremumga tekshirish quyidagi tartibda amalga oshiriladi:
. Lagranj funksiyasi deb ataluvchi
funksiya tuziladi va uning , va bo ‘ yicha xususiy hosilalari topiladi , bu
yerda - lagranj ko ‘ paytuvchisi deb ataluvchi son ;
Shartli ekstremumning zaruruy sharti

sistema bilan beriladi. Bu sistemadan bitta yoki bir nechta sonlar
uchligi topiladi, bu yerda shartli ekstremum bo‘lishi mumkin bo‘lgan
nuqta;
Shartli ekstremumning yetarli sharti
determinant orqali ifodalanadi. Bunda har bir sonlar uchligi uchun 
ning ishorasi tekshiriladi:
a) agar bo‘lsa nuqta , funksiyaning shartli
maksimum nuqtasi bo‘ladi;
b) agar bo‘lsa nuqta , funksiyaning shartli
minimum nuqtasi bo‘ladi.
3-misol. funksiyaning va o‘zgaruvchilar
tenglama bilan bog‘langanlik shartidagi ekstremumini toping.
Masalani har ikkala usul bilan yechamiz.
1-usul.
Funksiya tenglamasida to‘la kvadratlar ajratamiz:
Bu funksiya uchi nuqtada yotgan paraboloidni ifodalaydi.
Bog‘lanish tenglamasi tekislikni ifodalaydi. Bu tenglamadan
kelib chiqadi. ni berilgan funksiyaga qo‘yib, topamiz:

Bu funksiya parabolani ifodalaydi. Demak, paraboloid
bilan tekislik kesishishidan parabola hosil bo‘ladi.
funksiyani ekstremumga tekshiramiz:
. dan ;
Demak, - maksimum nuqta.
Shunday qilib, funksiya uchun shartli
maksimum nuqta bo‘ladi. Bundan ,
2-usul.
. Lagranj funksiyasini tuzamiz:
bu yerda .
Bundan ,
. Shartli ekstremumning zaruruy shartiga ko‘ra
Sistemani yechamiz: . Demak, mumkin
bo‘lgan shartli ekstremum nuqta.
. determinantga qo‘yiladigan xususiy hosilalarni topamiz:
U holda

Barcha nuqtalarda, jumladan nuqtada .
Demak, bu nuqtada funksiya shartli maksimumga ega:
Bir necha o‘zgaruvchi funksiyasini ekstremumga tekshirishning amaliy
tatbiqlaridan biri eng kichik kvadratlar usuli hisoblanadi. Bu usulning mohiyati
empirik formula bilan topilgan nazariy qiymatlarning tajriba
natijasida olingan mos qiymatlardan chetlashishi kvadratlarining yig ‘ indisini
minimallashtirishdan yoki boshqacha aytganda
qiymatning minimal bo‘lishini ta’minlashdan iborat.

Xulosa
Mazkur kurs ishida ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning ekstremum masalasi,
ya’ni funksiyaning maksimum va minimum qiymatlari mavjud bo‘lishining zaruriy
hamda yetarli shartlari batafsil tahlil qilindi. Ish jarayonida lokal ekstremum
tushunchasining matematik mazmuni, uning geometrik talqini hamda analitik
ifodasi izchil ravishda yoritib berildi. Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasida
ekstremum masalasi muhim o‘rin tutishi ilmiy asosda ko‘rsatib o‘tildi.
Avvalo, ekstremum mavjud bo‘lishining zaruriy sharti sifatida stasionar
nuqta tushunchasi o‘rganildi. Agar funksiya ma’lum bir nuqtada
lokal ekstremumga ega bo‘lsa va shu nuqtada xususiy hosilalar mavjud bo‘lsa, u
holda funksiyaning barcha birinchi tartibli xususiy hosilalari nolga teng bo‘lishi
kerak. Bu shart gradientning nolga tengligi, ya’ni ko‘rinishida
ifodalanadi. Biroq zaruriy shartning o‘zi ekstremum mavjudligini to‘liq
kafolatlamasligi misollar yordamida asoslandi.
Kurs ishida shuningdek shartli ekstremum masalasi ham alohida o‘rganildi.
Amaliy masalalarda ko‘pincha funksiya ma’lum cheklov sharti ostida qaralishi
sababli shartli ekstremum tushunchasi muhim ahamiyatga ega. Bunday masalalarni
yechishda Lagranj ko‘paytuvchilari usuli asosiy metod sifatida tahlil qilindi. Ushbu
usul yordamida cheklovli masala qo‘shimcha o‘zgaruvchi kiritish orqali cheklovsiz
masalaga keltirilishi va stasionar nuqtalar sistemasi orqali yechim topilishi
ko‘rsatildi.
Xulosa qilib aytganda, ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar ekstremumini aniqlash
nazariy jihatdan ham, amaliy jihatdan ham katta ahamiyatga ega. Mazkur mavzu
optimallashtirish masalalari, iqtisodiy modellashtirish, fizika va texnika sohalarida
keng qo‘llaniladi. Zaruriy va yetarli shartlarni chuqur o‘zlashtirish hamda shartli
ekstremum usullarini to‘g‘ri qo‘llash murakkab masalalarni samarali hal etish
imkonini beradi.
Bugungi kunda mamlakatimizda matematika va aniq fanlarni rivojlantirish
davlat siyosatining ustuvor yo‘nalishlaridan biri hisoblanadi. Jumladan,

O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti Shavkat Mirziyoyev tomonidan qabul
qilingan matematika ta’limini rivojlantirishga oid farmon va qarorlar yoshlarning
ilmiy salohiyatini oshirishga xizmat qilmoqda. Xususan, 2020-yil 7-maydagi
“Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy tadqiqotlarni rivojlantirish
chora-tadbirlari to‘g‘risida”gi PQ–4708-son Qarori matematik ta’limni yangi
bosqichga olib chiqishda muhim huquqiy asos bo‘ldi. Mazkur hujjatlarda
matematik tafakkurni rivojlantirish, zamonaviy pedagogik texnologiyalarni joriy
etish hamda xalqaro standartlarga mos mutaxassislar tayyorlash vazifalari
belgilangan.
Shu sababli, ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar va ularning uzluksizligini chuqur
o‘rganish nafaqat nazariy bilimlarni boyitadi, balki zamonaviy ilm-fan va
texnologiyalarni egallash uchun ham mustahkam poydevor yaratadi. Kelajakda
ushbu mavzu bo‘yicha ilmiy izlanishlarni davom ettirish va amaliy masalalarda
qo‘llash matematika fanining rivojlanishiga munosib hissa qo‘shadi.

Foy dalanilgan adabiy ot lar ro‘y xat i
1. O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi Qonuni. 2020 - yil
23 -sentabr, O‘RQ-637-son.
2. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2015-yil 2-
martdagi “ Magistratura to‘g‘risidagi Nizomni tasdiqlash haqida ”gi 36-
son Qarori.
3. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2024-yil 27-
martdagi “Davlat ta’lim standartlari va davlat ta’lim talablarini ishlab
chiqish hamda joriy etish tartibini takomillashtirish chora-tadbirlari
to‘g‘risida” 157-son Qarori.
4. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirining 2018-
yil 10-sentabrdagi “Oliy ta’lim muassasasi professor-o‘qituvchilar
tarkibining o‘quv yuklamasi hamda o‘quv-uslubiy, ilmiy-tadqiqot va
“ustoz-shogird” ishlarini belgilash qoidalarini tasdiqlash to‘g‘risida” gi
20-2018-son buyrug‘i.
5. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirining 2021-
yil 19-oktabrdagi “Oliy ta’limning davlat ta’lim standarti. Asosiy
qoidalar” O‘zbekiston Respublikasining davlat standartini tasdiqlash
to‘g‘risida”gi 35-2021-son buyrug‘i.
6. Egamberdiyev F.T. va boshqalar. “Iqtisodiyot nazariyasi” fanidan kurs
ishini bajarish uchun uslubiy qo‘llanma. - Toshkent, O‘zMU, 2019.
7. Ilxamov Sh.I., Xudoyqulov A. Kurs ishlarini yozish va himoya qilish
bo‘yicha uslubiy qo‘llanma. - Termiz. TDU, 2023.
Elek t ron t a’lim resurslari
1. http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/
2. http://www.allmath.ru/
3. http://www.pedagog.uz/
4. http://www.ziyonet.uz/

5. http://window.edu.ru/window/
6. http://ilib.mccme.ru/#begin
7. http://kvant.mirror1.mccme.ru/

Sotib olish