Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari 26 - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	35000UZS
Размер	717.2KB
Покупки	0
Дата загрузки	13 Июнь 2026
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

201 Продаж

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari 26

Купить

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TALIM,
FAN VA INOVATSIYALAR VAZIRLIGI
FARG‘ONA DAVLAT UNIVERSITETI
Fizika-matematika fakulteti
“Matematik analiz va differensial tenglamalar’’ kafedrasi
“Matematik analiz’’ fanidan
KURS ISHI
Mavzu: “ Ko ‘ p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy h osilalari ”
Bajardi: 2-kurs 24.03 -guruh
talabasi: O.Qosimova
Kurs ishi rahbari: Matematik analiz va differensial
tenglamalar kafedrasi o‘qituvchisi:
__________________
Farg‘ona-2026
1

Mundarija
KIRISH ................................................................................................................. 3
I BOB. FUNKSIYANING XUSUSIY HOSILALARI 1.1-§. Ko‘p
o‘zgaruvchili funksiyaning limiti, uzluksizligi .................................................. 7
1.2-§. Funksiyaning xususiy hosilalari. Funksiyaning differensiali .............. 16
II BOB. YUQORI TARTIBLI XUSUSIY HOSILA ...................................... 22
2.1-§. Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar ................................... 22
XULOSA ............................................................................................................ 29
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR. ......................................................... 31
2

KIRISH
Jismoniy va ma`naviy yetuk yoshlar –
ezgu maqsadlarimizga yetishda
tayanchimiz va suyanchimizdir.
Sh.M. Mirziyoyev
O‘quv jarayonida samaradorlikka erishish uchun zamonaviy ilg‘or
pedagogik texnologiyalar, noan’anaviy dars usullari va o‘zaro faol o‘quv
jarayonini tadbiq qilish lozim. O‘zaro faol usullarni o‘quv jarayoniga qo‘llash
uchun esa o‘tiladigan mavzuni talabalar, o‘quvchilar o‘zlari mustaqil tayyorlab
kelishlari talab etiladi. Jarayonning samaradorligini oshirish maqsadida
innovatsion usullarini qo‘llashda endi biz pedagoglar o‘qituvchilarni
o‘qitmaymiz, balki kitobni o‘qishga o‘rgatamiz, shiorini amalga oshiramiz.
Buning sababi shundaki, agarda talaba va o‘quvchilar darsga tayyor holda
kelmasalar, hech qanaqa faol usuldan samarali foydalanib bo‘lmaydi. Natijada
o‘qituvchi yana o‘z-o‘zidan an’anaviy shaklda dars o‘tishiga to‘g‘ri keladi.
Tarixiylik tamoyili masalalarni tarixiy bilimlardan foydalanib yechish
imkoniyatini beradi. Bu esa ilmiy dunyoqarashning, ijodiy fikrning shakllanishi,
bitta dalilning o‘ziga nisbati turli nuqtai nazarlar mantiqini va kurashini hisobga
olish va sabab, oqibat bog‘lanishlarini aniqlashga imkon beradi. Ba’zi tarixiy
dalillar ta’lim jarayoniga qiziqarlilik elementini olib kirishi mumkinki, bu ham
erkin fikrlashning rivojlanishiga olib keladi.
Fanlararo aloqalarni amalga oshirish tamoyilini turli o‘quv fanlarida bilish
faoliyati aspektida qarash va shu asosda yaxlit masalalar strukturasini yaratish
mumkin.
Bu esa pirovard natijada, erkin fikrlashning rivojlanishiga jiddiy ta’sir
etadi. Kasbiy yo‘nalganlik tamoyilidan erkin fikrlashni rivojlantirish jarayonida
foydalanishdan bosh maqsad bo‘lajak pedagog faoliyatining ma’lum sifatlarini
rivojlantirishga yo‘naltirishni ko‘zda tutadi. Talabalarda kasbga yo‘nalganlikni
rivojlantirish bu ularda bo‘lajak kasbiga munosabat, qiziqish, unga bo‘lgan
maxsus qobiliyatlarini mustahkamlash demakdir.
3

Mustaqil o‘qib bilim orttirish tamoyili shaxsning o‘zi tomonidan
boshqariladigan maqsadga yo‘nalgan bilim faoliyatini ta’minlaydi. Qo‘yilgan
masalaning o‘z yechimini izlash maqsadlarini aniqlash, mustaqil xulosalar
qilishga intilish, fan, texnika,madaniyatning turli sohalarida izchil bilim olish
shaxs tomonidan erkin fikrlash madaniyati rivojlanganligining yuqori darajasiga
erishilganligi haqida guvohlik beradi.
Zero, Prezidentimiz Sh.M.Mirziyoyev ta’kidlaganidek: Yoshlarimizning
bo‘sh vaqti dushmanlarimizning ish vaqti.
2017-2021 yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta
ustuvor yo‘nalishlari bo‘yicha Harakatlar strategiyasining 4.4-bo‘limi ta’lim va
fan sohasini rivojlantirishga qaratilgan bo‘lib, unda uzluksiz ta’lim tizimini
yanada takomillashtirish yo‘lini davom ettirish, sifatli ta’lim xizmatlariga
imkoniyatlarni oshirish, mehnat bozorining zamonaviy ehtiyojlariga muvofiq
yuqori malakali kadrlar tayyorlash; ta’lim muassasalarini qurish, rekonstruksiya
qilish, kapital ta’mirlash, ularni zamonaviy o‘quv va laboratoriya uskunalari,
kompyuter texnikasi va o‘quv-metodik qo‘llanmalar bilan jihozlash bo‘yicha
ishlarni amalga oshirish orqali ularning moddiy-texnik bazasini mustahkamlash
yuzasidan aniq maqsadga qaratilgan chora-tadbirlarni ko‘rish; bolalar
maktabgacha ta’lim muassasalari tarmog‘ini kengaytirish, bolalarning har
tomonlama intellektual, estetik va jismoniy rivojlanishi uchun maktabgacha
ta’lim muassasalaridagi shart-sharoitlarni tubdan yaxshilash, bolalarning
maktabgacha ta’lim bilan qamrab olinishini jiddiy oshirish va uning qulayligini
ta’minlash, pedagog va mutaxassislarning malaka darajasini yuksaltirish;
umumiy o‘rta ta’lim sifatini tubdan oshirish, chet tillar, informatika,
matematika, fizika, ximiya, biologiya kabi boshqa muhim va talab yuqori
bo‘lgan predmetlarni chuqurlashtirilgan tarzda o‘rganish; bolalarni sport bilan
ommaviy tarzda shug‘ullanishga jalb qilish, ularni musiqa va san’at olami bilan
bog‘lash maqsadida yangi bolalar sporti ob’ektlarini, bolalar musiqa va san’at
maktablarini qurish, mavjudlarini rekonstruksiya qilish; kasb-hunar kollejlari
o‘quvchilarini bozor iqtisodiyoti va ish beruvchilarning ehtiyojlariga javob
4

beradigan mutaxassisliklar bo‘yicha tayyorlash hamda ishga joylashtirish
borasidagi ishlarni takomillashtirish; ta’lim va o‘qitish sifatini baholashning
xalqaro standartlarini joriy etish asosida oliy ta’lim muassasalari faoliyatining
sifati hamda samaradorligini oshirish, oliy ta’lim muassasalariga qabul
kvotalarini bosqichma-bosqich ko‘paytirish; ilmiy-tadqiqot va
innovatsiyafaoliyatini rag‘batlantirish, ilmiy va innovatsiya yutuqlarini
amaliyotga joriyetishning samarali mexanizmlarini yaratish, oliy o‘quv yurtlari
va ilmiy-tadqiqotinstitutlari huzurida ixtisoslashtirilgan ilmiy-eksperimental
laboratoriyalar, yuqori texnologiya markazlari tashkil etish rejalashtirilgan.
Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab
vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e’tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati,
iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir.
Ta’lim-tarbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud
imkoniyatlarini safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi
vazifalaridan biridir.
Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv
fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib,
ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga
yo‘naltirilganlik, mantiqiy fikrlash, topshiriq xislatlarini shakllantirib boradi.
Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni
dildli, go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab
boradi.
Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning
takomillashib borish asosida fanlar o‘qitilishiga bo‘lgan talablarni hisobga olgan
holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan
uyg‘unlashtirish maktabda o‘quvchilarga matematikani o‘qitishdan ko‘zda
tutilgan asosiy maqsadlardan biridir.
Matematika fani o‘quvchilarni iroda, diqqatni to‘play olishni, qobiliyat va
faollikni, tasavvurning rivojlangan bo‘lishini talab eta borib, mustaqil,
ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o‘zining qarash
5

va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko‘nikmalarini rivojlantirishni
talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo‘yiladigan eng muhim talablardan biri har
bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo‘lishidir, ya’ni darsdan
ko‘zlangan maqsad hamda o‘quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu
xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o‘rganilgan mavzu
bilan bog‘lash, o‘quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning
ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak bo‘ladigan jihozlarni belgilash va
qo‘shimcha.

6

I BOB. FUNKSIYANING XUSUSIY HOSILALARI
1.1-§. Ko ‘ p o ‘ zgaruvchili funksiyaning limiti, uzluksizligiR2
fazoda D va E to ‘ plamlar berilgan bo‘lsin.
1.1.1-ta’rif . Agar
D to‘plamning har bir (x,y) haqiqiy sonlar juftiga
biror qonun yoki qoida bilan
E to‘plamdagi yagona haqiqiy z soni mos
qo‘yilgan bo‘lsa,
D to‘plamda ikki o‘zgaruvchining funksiyasi aniqlangan
deyiladi.
Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi
z= f(x,y),
z= z(x,y) , …
kabi belgilanadi. Bu yerda
x va y argumentlar (yoki erkli o ‘ zgaruvchilar ), z
ikki
x va y o‘zgaruvchining funksiyasi (yoki bog‘liq o ‘ zgaruvchi ) deb
ataladi.
D to‘plamga f(x,y) funksiyaning aniqlanish sohasi , E
to‘plamga uning qiymatlar sohasi (yoki o ‘ zgarish sohasi ) deyiladi.
Masalan . Perimetri
a ga teng uchburchakning ikki tomoni x va y ga teng.
Uchburchakning yuzasini
x va y orqali ifodalaymiz. Uchburchakning uchinchi
tomoni
z bo ‘ lsin deymiz. U holda a= x+ y+z bo ‘ ladi. Bundan z= a− x− y.
Uchburchakning yuzasini Geron formulasi bilan topamiz:
S= √p(p− x)(p− y)(p− z),
bu yerda
p= a
2
.
p
va z ni Geron formulasiga qo ‘ yamiz:
S=
√
a
2 (
a
2
− x)(
a
2
− y)(
a
2
− a+ x+ y)
yoki
S(x,y)= 1
4√a(a− 2x)(a− 2y)(2x+2y− a)
.
Geometrik nuqtai-nazardan to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar
sistemasida haqiqiy sonlarning har bir
(x,y) juftiga Oxy tekislikning yagona
7

P(x;y) nuqtasi mos keladi. Shu sababli ikki o‘zgaruvchining funksiyasini
P(x;y)
nuqtaning funksiyasi deb qarash va z= f(x,y) yozuvni f(P) kabi
yozish mumkin. Bu holda ikki o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi Oxy
tekislik nuqtalarining biror to‘plamidan yoki butun tekislikdan iborat bo‘ladi.
Argumentlarning tayin
x= x0 va y= y0 qiymatlarida (yoki P0(x0;y0)
n uqtada) (
z= f(x,y) funksiyaning qabul qiladigan z0 xususiy qiymati
z0= z|x=x0 y=y0
yoki z0= f(x0,y0) (yoki z0= f(P0) ) deb yoziladi.
1.1.1-misol.
f(x,y)= y(y2− 1)
x funksiyaning A(3;− 2),B(y;3),C (x+2;x+1)
nuqtalardagi xususiy qiymatlarini topamiz. Buning uchun
f(x,y) funksiy a ga bu
nuqtalarning koordinatalarini qo ‘ yamiz:
f(A)= − 2⋅((− 2)2− 1)
3 =− 2;
f(B )= 3⋅(32− 1)
y
= 24
y
;
f(C )= (x+1)⋅((x+1)2− 1)
x+2 = x(x+1).
z= f(x,y)
funksiya jadval, grafik va analitik usullarda berilish mumkin.

z= f(x,y) funksiyaning jadval usuldagi berilishida jadvalning birinchi
satriga
x o‘zgaruvchining qiymatlari, chap ustuniga y o‘zgaruvchining
qiymatlari va qolgan kataklarga
z funksiyaning mos qiymatlari qo‘yiladi.
Bunda funksiyaning
x va y ning berilgan
qiymatlariga mos qiymati bu qiymatlar
yotgan satr va ustunlarning kesishmasida
joylashadi. Masalan. 1.1.1-jadvalda
ihifhvhihu
z= z| x=7
y=0,06
=6.
Grafik usuldagi berilishida
z= f(x,y)
funksiyaning geometrik tasviri uch o‘lchovli
8 1.1.1- jadval

fazodagi sirtdan iborat bo‘ladi. Masalan, 1.1.1-rasmda z= x2+ y2− 1
funksiyaning grafigi tasvirlangan.
Analitik usulda ikki o‘zgaruvchining funksiyasi oshkor ko‘rinishda
z= f(x,y)
formula bilan yoki oshkormas ko‘rinishda F(x,y,z)=0 tenglik
bilan berilishi mumkin. Funksiya oskormas ko‘rinishda berilganda
F(x,y,z)=0
tenglikdagi har bir
(x,y) sonlar juftiga yagona z sonning mos qo‘yilishi talab
etiladi.
Analitik usulda berilganda funksiyaning
aniqlanish sohasi funksiyani aniqlovchi formula
ma’noga ega bo‘ladigan barcha
nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
1.1.2-misol.
z= 3x2+ y2
y− x f unksiya y= x
shartda aniqlanmagan. Demak,
y≠ x .
Geometrik nuqtai- nazardan
y≠ x shart
funksiyaning aniqlanish sohasi ikkita yarim
tekislikdan tashkil topishini bildiradi. Bunda
birinchi yarim tekislik
y= x to ‘ g‘ri chiziqdan
yuqorida, ikkinchisi bu to ‘ g‘ri chiziqdan pastda
yotadi (1.1.2-rasm).
1.1.3-misol.
z= arcsin (x2+ y2− 8) Funksiya − 1≤ x2+ y2− 8≤ 1 shartda
aniqlangan. Bu shart
7≤ x2+ y2≤ 9 shartga teng kuchli. Funksiya aniqlanish
sohasining chegaraviy chiziqlari bo ‘ lgan
x2+ y2= 7 va x2+ y2= 9 aylanalar
9 1.1.1-rasm

ham bu sohaga tegishli. Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi markazi
koordinatalar boshida bo ‘ lgan, radiuslari mos ravishda √7 va 3 ga teng
aylanalar orasida va bu aylanalarda yotuvchi barcha nuqtalardan iborat bo ‘ ladi
(1.1.3-rasm).
Ikkidan ortiq o ‘ zgaruvchining funksiyasi
R3
fazoda D va E to‘plamlar berilgan bo‘lsin.
1.1.2-ta’rif . Agar
D to‘plamning har bir (x,y,z) haqiqiy sonlar
uchligiga biror qonun yoki qoida bilan
E to‘plamdagi yagona haqiqiy u soni
mos qo‘yilgan bo‘lsa,
D to‘plamda uch o‘zgaruvchining funksiyasi aniqlangan
deyiladi.
Uch o‘zgaruvchining funksiyasi ikki o‘zgaruvchining funksiyasi kabi
belgilanadi:
u= f(x,y,z),u= u(x,y,z),F (x,y,z,u)= 0,....
Uch o‘zgaruvchining funksiyasini
P(x;y;z) nuqtaning funksiyasi deb
qarash va
u= f(x,y,z) yozuvni f(P) kabi yozish mumkin. Bu holda uch
o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi
Oxyz fazodagi nuqtalarining
biror to‘plamidan yoki butun fazodan iborat bo‘ladi.
1.1.4-misol.
u= √3x− 2 y+z− 6 funksiyalarning aniqlanish sohasini
topamiz. Bu funksiya
3x− 2y+z− 6≥ 0 yoki 3x− 2y+z≥ 6 shartda haqiqiy
qiymatlar qabul qiladi. Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi
Oxyz
koordinatalar fazosining
3x− 2y+z− 6= 0 tekislikda va bu tekislikdan
yuqorida yotgan nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
Uch o‘zgaruvchining funksiyasi jadval va analitik usullarda berilishi
mumkin. Bunda ikkidan ortiq kirish parametriga ega jadval foydalanishga
noqulay bo‘lgani uchun ikkidan ortiq o‘zgaruvchinig funksiyasi asosan analitik
usulda beriladi.
10 1.1.3-rasm1.1.2-rasm

1.1.4-rasm .
.To‘rt o‘zgaruvchining, besh
o‘zgaruvchining va umuman n
o‘zgaruvchining funksiyasi yuqoridagi kabi
ta’riflanadi va belgilanadi.
n
o‘zgaruvchining
y= f(x1,x2,...,xn)
funksiyasi ko‘pincha
Rn fazodagi
P(x1;x2;...;xn)
nuqtaning funksiyasi sifatida
qaraladi va
y= f(P) deb yoziladi. n
o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi
(x1,x2,...,xn)
haqiqiy sonlar sistemasining
D
to ‘ plamidan iborat bo ‘ ladi. Bunda t o‘rtta va undan ortiq o‘zgaruvchiga
bog‘liq funksiyalarning aniqlanish sohasini ko‘rgazmali (chizmalarda)
namoyish qilib bo‘lmaydi.
Funksiyaning limiti
Ikki (va ikkidan ortiq) o‘zgaruvchi funksiyasining limiti va uzluksiligi
bir o‘zgaruvchi funksiyasidagi kabi ta’riflanadi. Bu ta’riflar nuqtaning
δ−
atrofiga tushunchasiga asoslanadi.
P0(x0;y0) nuqtaning δ− atrofi deb
√(x− x0)2+(y− y0)2< δ
(yoki ρ(P ,P0)<δ ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi
barcha
P(x;y) tekislik nuqtalari to‘plamiga aytiladi. Bu to‘plam markazi P0
nuqtada bo‘lgan va radiusi
δ ga teng ochiq (chegarasiz) doirada yotuvchi
barcha
P nuqtalardan tashkil topadi (1.1.4-rasm).
1.1.3-ta’rif . Agar
∀ ε>0 son uchun P0(x0;y0) nuqtaning shunday δ−
atrofi topilsaki, bu atrofning istalgan
P(x;y) nuqtasi ( P0 nuqta bundan istisno
bo‘lishi mumkin) uchun
11

|f(P)− A|<ε tengsizlik bajarilsa, A songa z= f(x,y) funksiyaning
P0(x0;y0)
nuqtadagi yoki P→ P0 dagi limiti deyiladi va
lim ¿x→x0¿
y→y0¿
¿f(x,y)=A¿ ,
lim (x,y)→(x0,y0)
f(x,y)= A
yoki limP→P0
f(P)= A kabi belgilanadi.
Quyida bu teoremalarni keltiramiz.
1.1.1-teorema . Ikkita funksiya algebraik yig‘indisining limiti bu
funksiyalar
limitlarining algebraik yig‘indisiga teng, ya’ni
limP→P0
(f(P)± g(P))= limP→P0
f(P)± limP→P0
g(P)
.
1.1.2-teorema . Ikkita funksiya ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar
limitlarining ko‘paytmasiga teng ya’ni
limP→P0
(f(P)⋅g(P))= limP→P0
f(P)⋅limP→P0
g(P)
.
1.1.1-natija . Funksiya
P→ P0 da yagona limitga ega bo‘ladi.
1.1.2-natija . O‘zgarmas funksiyaning limiti uning o‘ziga teng , ya’ni
limP→P0
f(C )=C
.
1.1.3-natija . O‘zgarmas ko‘paytuvchini limit belgisidan tashqarida
chiqazish mumkin, ya’ni
limP→P0
(k⋅f(P))= k⋅limP→P0
f(P ),k∈R.
1.1.4-natija . Funksiyaning natural ko‘rsatkichli darajasining limiti bu
funksiya limitining shu tartibli darajasiga teng, ya’ni
limP→P0
(f(P)n)=(limP→P0
f(P))n
,
n∈N .
1.1.3-teorema . Ikki funksiya bo‘linmasining limiti bu funksiyalar
limitlarining nisbatiga teng, ya’ni
lim
P→P0
f(P)
g(P)=
limP→P0
f(P)
limP→P0
g(P )
, limP→P0
g(P)≠ 0 .
12

1.1.4-teorema . Agar P0 nuqtaning biror atrofidagi barcha P nuqtalar
uchun
f(P)≤ ϕ(P)≤ g(P) tengsizlik bajarilsa va
lim
P→P0
f(P )= lim
P→P0
g(P)= A
bo‘lsa, u holda
lim
P→P0
ϕ(P)= A bo‘ladi.
1.1.5-misol .
lim
(x,y)→(2,−1)
x+2y2
x2+3xy limitni limitlar haqidagi teoremalarni
qo ‘ llab, topamiz:
lim
(x,y)→(2,−1)
x=2
va lim
(x,y)→(2,−1)
y=−1 .
U holda
1.1.6-misol.
lim
(x,y)→(0,0 )
√xy +9− 3
x− y limitni topish uchun (0;0) nuqtaga y= kx
to ‘ g‘ri chiziq bo ‘ ylab yaqinlashamiz. U holda
lim
(x,y)→(0,0 )
√xy +9− 3
x− y
= lim
x→0
√kx 2+9− 3
(1− k)x
= lim
x→0
kx 2
(1− k)x(√kx 2+9+3)
=
= lim
x→0
kx
(1− k)(√kx 2+3+3)
= 0
6(1− k)
= 0.
Yuqorida keltirilgan ikki o‘zgaruvchi funksiyasining limiti unung karrali
limiti deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi uchun karrali limitdan tashqari
takroriy limitlar deb ataluvchi
limx→x0
(limy→y0
f(x,y)) va limy→y0
(limx→x0
f(x,y)) limitlar
ham kiritiladi. Umuman olganda
lim (x,y)→(x0,y0)
f(x,y) karrali limit har ikki argument
bir vaqtda nuqtalarga intilganda takroriy limitlar bilan ustma-ust tushish shart
emas.
1.1.7-misol. Ushbu
13

funksiyaning aniqlanish to‘plami topilsin.
Qaralayotgan munosabat ma’noga ega bo‘lishi uchun
bo‘lishi kerak. Ravshanki,
bo‘lib, u fazoda

bo‘lib, u fazoda
to‘plamni ifodalaydi.
Demak, berilgan funksiyaning aniqlanish to‘plami
bo‘ladi.
1.1.8-misol. Ushbu
funksiyaning dagi limiti nol ekanligi ko‘rsatilsin.
Bu funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, nuqta shu
to‘plamning limit nuqtasi.
14

a) Geyne ta’rifi bo‘yicha: nuqtaga intiluvchi ixtiyoriy
ketma-ketlik olamiz. Unga mos ketma
ketlik uchun quyidagicha
bo‘lib, da bo‘ladi.
Demak,
b) Koshi ta’rifi bo‘yicha: songa ko‘ra deb olinsa,
u holda tengsizlikni qanoatlantruvchi barcha
nuqtalarda
tengsizlik o‘rinli bo’ladi. Bu esa
ekanligini bildiradi.
1.1.9-misol. Quyidagi
funksiyaning dagi limitining
mavjud emasligi ko‘rsatilsin.
15

Bu funksiya to‘plamda berilgan bo‘lib, shu
to‘plamning limit nuqtasi nuqtaga intiluvchi ikkita
ketma-ketliklar olinsa, ular uchun mos ravishda
bo‘ladi. Bu esa da berilgan funksiyaning limiti mavjud
emasligini bildiradi.
1.2-§. Funksiyaning xususiy hosilalari. Funksiyaning differensiali
z= f(x,y) funksiya D ⊂ R2 to‘plamda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib,
P0(x0;y0)
, P1(x0+Δx ;y0) , P2(x0;y0+Δy ) va P3(x0+Δx ;y0+Δy ) nuqtalar D
to‘plamga tegishli bo‘lsin, bu yerda
Δx ,Δy − argumentlarning orttirmalari.

Δxz= f(P1)− f(P)= f(x0+Δx ,y0)− f(x0,y0) va
Δyz= f(P2)− f(P)= f(x0,y0+Δy )− f(x0,y0)
ayirmalarga z= f(x,y)
funksiyaning
P0(x0;y0) nuqtadagi x va y o ‘ zgaruvchilar bo ‘ yicha xususiy
orttirmalari deyiladi.

Δz = f(P3)− f(P)= f(x0+Δx ,y0+Δy )− f(x0,y0) ayirmaga z= f(x,y)
funksiyaning
P(x,y) nuqtadagi to ‘ liq orttirmasi deyiladi.
1.2.1-misol.
z= xy +x2− y2 funksiyaning M 0(1;−1) nuqtadagi xususiy va
to ‘ liq orttirmalarini
Δx = 0,1 va Δy =− 0,2 lar uchun topamiz:
16

Δ xz= (x+ Δx )y+(x+ Δx )2− y2− xy − x2+ y2=
= (1+0,1 )⋅(− 1)+(1+0,1 )2− 1⋅(− 1)− 12= 0,01 ;
Δ yz= x(y+ Δy )+ x2− (y+ Δy )2− xy − x2+ y2=
=1⋅(−1−0,2 )−(−1−0,2 )2−1⋅(−1)+(−1)2=−0,64 ;
Δz = (x+ Δx )⋅(y+ Δy )+(x+ Δx )2− (y+ Δy )2− xy − x2+ y2=
= (1+0,1 )⋅(− 1− 0,2 )+(1+0,1 )2− (− 1− 0,2 )2− 1⋅(− 1)− 12+(− 1)2= − 0,55 . 1.2.1-ta’rif . Agar
Δxz
Δx nisbatining Δx → 0 dagi limiti mavjud bo ‘ lsa, bu
limitga
z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi x o ‘ zgaruvchi bo ‘ yicha
xususiy hosilasi deyiladi va
(
∂z
∂x)P0
,(
∂ f
∂x)P0
,zx
'(x0,y0),fx
'(x0,y0)
ko ‘ rinishlarda belgilanadi.
Demak,
fx
'(x0,y0)= lim
Δx→0
Δxz
Δx =lim
Δx→0
f(x0+Δx ,y0)− f(x0,y0)
Δx
.
z= f(x,y)
funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi y o ‘ zgaruvchi bo ‘ yicha
xususiy hosilasi shu kabi ta’riflanadi:
fy
'(x0,y0)=lim
Δy→0
Δyz
Δy =lim
Δy→0
f(x0,y0+Δy )− f(x0,y0)
Δy
.
n
( n≥ 2 ) o ‘ zgaruvchi funksiyasining xususiy hosilalari ham z= f(x,y)
funksiyaning xususiy hosilalari kabi ta’riflanadi va belgilanadi.
1.2.2-misol.
z= ln tg x
y funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini
topamiz:
∂z
∂x
= 1
tg x
y
⋅ 1
cos 2x
y
⋅(
x
y)x′= 2
sin 2 x
y
⋅1
y
= 2
ysin 2x
y
,
17

∂ z
∂ y= 1
tg x
y
⋅ 1
cos 2x
y
⋅(
x
y)y′= 2
sin 2x
y
⋅(− x
y2)= − 2x
y2sin 2x
y
. 1.2.3-misol.
u= xyz + x2− y3+ z funksiyaning birinchi tartibli xususiy
hosilalarini topamiz:
∂u
∂x
= yz +2x,

∂u
∂y
= xz − 3y2, ∂u
∂z
= xy +1.
z= f(x,y)
funksiya xususiy hosilalarining geometrik ma’nolarini
aniqlaymiz.
Funksiyaning differensiallanuvchanligi
z= f(P)
funksiya P(x,y) nuqtaning biror atrofda aniqlangan bo‘lsin.
1.2.2-ta’rif . Agar
z= f(x,y) funksiyaning P(x,y) nuqtadagi to ‘ liq
orttirmasini
Δz = AΔx + BΔy +αΔx + βΔy
(1.2.1)
ko ‘ rinishda ifodalash mumkin bo ‘ lsa, u holda
z= f(x,y) funksiya P(x,y)
nuqtada differensiallanuvchi deyiladi, bu yerda
A,B− Δx ,Δy ga bog ‘ liq
b o‘ lmagan sonlar,
Δx → 0 ,Δy → 0 da α→ 0 ,β→ 0.
1.2.1-teorema . Agar
z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqtada
diffrensiallanuvchi bo ‘ lsa, u holda u shu nuqtada uzluksiz bo ‘ ladi.
1.2.2-teorema ( funksiya differensiallanuvchi bo ‘ lishining zaruriy sharti ).
Agar
z= f(x,y) funksiya P(x,y) nuqtada differensiallanuvchi bo ‘ lsa, u holda u
shu nuqtada
A= fx'(x,y)
va B= fy
'(x,y)
xususiy hosilalarga ega bo ‘ ladi.
Shunday qilib,
z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqtada differensiallanuvchi
bo ‘ lishi uchun faqat xususiy hosilalarning mavjud bo ‘ lishi yetarli bo ‘ lmaydi.
Bunda qo ‘ shimcha tarzda xususiy hosilalarning uzluksizligi talab qilinsa
18

funksiya P(x;y) nuqtada differensiallanuvchi bo ‘ ladi. Boshqacha aytganda
quyida isbotsiz keltiriladigan teorema o ‘ rinli bo ‘ ladi.
1.2.3-teorema ( funksiya differensiallanuvchi bo ‘ lishining yetarli sharti ).
Agar
z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqta ning biror atrofida uzluksiz xususiy
hosilalarga ega bo ‘ lsa, u holda u shu nuqtada differensiallanuvchi bo ‘ ladi.
Funksiyaning to‘liq differensiali
z= f(x,y)
funksiya P(x;y) nuqtada diferrensiallanuvchi b o‘ lsin.
1.2.3-ta’rif .
Δz to ‘ liq orttirmaning Δx ,Δy larga nisbatan chiziqli bo ‘ lgan
bosh qismi
AΔx +BΔy ga z= f(x,y) funksiyaning P(x;y) nuqtadagi to ‘ liq
differensiali deyiladi va u
dz bilan belgilanadi.
Demak, ta’rifga ko‘ra
dz = AΔx +BΔy yoki 2-teoremaga binoan
dz = fx
'(x,y)Δx + fy
'(x,y)Δy .
Shunday qilib, funksiyaning to ‘ liq differensiali xususiy hosilalarning mos
argumentlar orttirmasiga ko ‘ paytmasining yig ‘ indisiga teng.
To ‘ liq differensialni argumentlarning orttirmalari va diferrensiallarining
tengligi
Δx = dx ,Δy = dy ni hisobga olib, quyidagicha yozish mumkin:
dz = fx
'(x,y)dx + fy
'(x,y)dy
(1.2.2)
yoki
dz = dxz+dyz,
bu yerda
dxz= fx'(x,y)dx , dyz= fy
'(x,y)dy − z= f(x,y) funksiyaning
P(x;y)
nuqtadagi xususiy differensiallari.
1.2.4-misol.
z= 3
x
y funksiyalarning xususiy va to‘liq differensiallarini
topamiz. Buning uchun avval funksiyaning xususiy hosilalarni aniqlaymiz:
∂z
∂x
= 3
x
yln 3⋅1
y
,

∂ z
∂ y= 3
x
yln 3⋅(− x
y2) .
U holda
19

dxz= 1
y
3
x
yln 3dx , dyz=− x
y23
x
yln 3⋅dy , dz = 1
y 3
x
yln 3⋅(dx − x
y dy ).
Ko ‘ pchilik masalalarni yechishda
z= f(x,y) funksiyaning
P0(x0;y0)

nuqtadagi to‘liq orttirmasi funksiyaning shu nuqtadagi to ‘ liq
differensialiga
taqriban tenglashtiriladi, ya’ni
Δy ≈ dy deb olinadi.
Demak,
f(x0+Δx ,y0+Δy )− f(x0,y0)≈ fx
'(x0,y0)Δx + fy
'(x0,y0)Δy
yoki
f(x,y)≈ f(x0,y0)+ fx
'(x0,y0)Δx + fy
'(x0,y0)Δy
. (1.2.3)
(1.2.3) taqribiy tenglikka
z= f(x,y) funksiyani P0(x0;y0) nuqta atrofida
chiziqlashtirish deyiladi. Bunda qandaydir
A kattalikning taqribiy qiymatini
hisoblash quyidagi tartibda amalga oshiriladi:
1o
. A ni biror f(x,y) funksiyaning P(x;y) nuqtadagi qiymatiga
tenglashtiriladi, ya’ni
A= f(x,y) deb olinadi;
2o
. P0(x0;y0) nuqta P(x;y) nuqtaga yaqin va f(x0,y0) ni hisoblash qulay
qilib tanlanadi;
3o
. f(x0,y0) hisoblanadi;
4o
. fx
'(x,y),fy
'(x,y) lar topilib, fx
'(x0,y0),fy
'(x0,y0) lar hisoblanadi;
5o
. x,y,x0,y0,f(x0,y0),fx
'(x0,y0),fy
'(x0,y0) qiymatlar (1.2.2),(1.2.3)
formulaga qo ‘ yiladi.
1.2.5-misol. ni taqribiy hisoblaymiz.

1o . A= arctg (
1,98
1,03
− 1) , f(x,y)= arctg (
x
y
− 1) deymiz.
20

U holda f(x,y)= A , x=1,98 ,y=1,03 ;
2o
. x0= 2,y0= 1 , ya’ni P0(2;1) deb olamiz;
3o
. f(2,1 )= arctg (
2
1
− 1)= π
4
= 0,785 ;
4o
.
fx
'(x,y)= 1
1+(
x
y
− 1)
2⋅1
y
, fy
'(x,y)=
1
1+(
x
y
− 1)
2⋅(−
x
y2),
fx
'(2,1 )= 1
2
= 0,5 ,fy
'(2,1 )=− 1
;
5o
. arctg (
1,98
1,03
− 1)≈ 0,785 +0,5 ⋅(1,98 − 2)− 1⋅(1,03 − 1)= 0,745 .
21

II BOB. YUQORI TARTIBLI XUSUSIY HOSILA
2.1-§. Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallarP(x;y)
nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan z= f(x,y) funksiya
shu atrofda
∂z
∂x
= fx
'(x,y),
∂z
∂y
= fy
'(x,y) xususiy hosilalarga ega bo ‘ lsin. Ular
birinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi.
Bu hosilalar
x va y o‘zgaruvchilarning funksiyalarini ifodalaydi. Bu
funksiyalar xususiy hosilalarga ega bo ‘ lishi mumkin. Agar bu hosilalar mavjud
bo ‘ lsa, ularga ikkinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi va quyidagicha
belgilanadi:
∂
∂x(
∂z
∂x)= ∂2z
∂x2= zxx
''= fx2''(x,y);
∂
∂x(
∂z
∂y)= ∂2z
∂y∂x
= zxy
''= fxy
''(x,y);
∂
∂y(
∂z
∂x)= ∂2z
∂x∂y
= zyx
''= fyx
''(x,y);
∂
∂y(
∂z
∂ y)= ∂2z
∂y2= zyy
''= fy2''(x,y).
Uchinchi, to‘rtinchi va umuman
n− tartibli xususiy hosilalar shu kabi
aniqlanadi.

fxy
''(x,y) va fyx
''(x,y) hosilalarga ikkinchi tartibli aralash xususiy
hosilalar deyiladi.
2.1.1-teorema . Agar
z= f(x,y) funksiyaning ikkinchi tartibli aralash
xususiy hosilalari
P(x;y) nuqtaning biror atrofida mavjud va shu nuqtada
uzluksiz bo ‘ lsa, u holda ular shu nuqtada teng bo ‘ ladi, ya’ni
fxy
''(x,y)= fyx
''(x,y).
Bunday teorema istalgan yuqori tartibli xususiy hosilalar uchun ham o ‘ rinli
bo ‘ ladi. Masalan, uzluksiz uchinchi tartibli xususiy hosilalar uchun
fxyx'''(x,y,z)= fx2y
'''(x,y,z)= fyx2'''(x,y,z)
22

tenglik bajariladi.z= f(x,y)
funksiyaning P(x;y) nuqtadagi to ‘ liq differensiali
dz = fx
'(x,y)dx + fy
'(x,y)dy
ga birinchi tartibli to ‘ liq differensial deyiladi.
P(x;y)
nuqtada z= f(x,y) funksiya ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy
hosilalarga ega bo‘lsin. U holda ikkinchi tartibli to ‘ liq differensial
d2z= d(dz )
kabi aniqlanadi.
Uni topamiz:
d(dz )= d(fx
'(x,y)dx + fy
'(x,y)dy )=
=(fx
'(x,y)dx +fy
'(x,y)dy { )x
'dx +¿ (fx
'(x,y)dx +fy
'(x,y)dy { )y
'dy = ¿
=(fx2''(x,y)dx +fxy''(x,y)dy { )'dx +¿ (fyx''(x,y)dx + fy2''(x,y)dy )dy .
Bundan
d2z= fx2''(x,y)dx 2+2 fxy''(x,y)dydx + fy2dy 2,
(2.1.1)
bu yerda
dx 2= (dx )2,dy 2= (dy )2.
(2.1.1) formula simvolik ko ‘ rinishda
d2z= (
∂
∂ x
dx + ∂
∂ y
dy )
2
⋅z
kabi yoziladi.
2.1.1-misol. Ushbu
funksiyaning xususiy hosilalari topilsin.
Aytaylik, bo‘lsin. U holda
23

bo‘ladi.
Endi bo‘lsin. U holda ta’rifga binoan
bo‘ladi.
Demak, berilgan funksiya da xususiy
hosilalarga ega.
2.1.2-misol. Ushbu funksiyani
nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi ko‘rsatilsin.
Haqiqatdan ham, nuqtada funksiyaning orttirmasi
bo‘lib, unda deyilsa, natijada
bo‘ladi. Bu esa berilgan funksiyaning nuqtada
differensiallanuvchi ekanligini bildiradi.
2.2-§. Bir necha o ‘ zgaruvchi funksiyasining ekstremumlariz= f(x,y)
funksiya biror D sohada aniqlangan va P0(x0;y0)∈ D
bo ‘ lsin.
24

2.2.1-ta’rif . Agar P0(x0;y0) nuqtaning shundav δ− atrofi topilsaki, bu
atrofning barcha
P0(x0;y0) nuqtadan farqli P(x;y) nuqtalarida
f(x,y)< f(x0,y0)
(f(x,y)> f(x0,y0)) tengsizlik bajarilsa, P0(x0;y0) nuqtaga
f(x,y)
funksiyaning maksimum ( minimum ) nuqtasi deyiladi.
Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalariga ekstremum nuqtalar
deyiladi. Funksiyaning ekstremum nuqtadagi qiymati funksiyaning ekstremumi
deb ataladi.
Ekstremum tushunchasi funksiya aniqlanish sohasining biror atrofi bilan
bog‘liq. Shu sababli funksiya ekstremumga aniqlanish sohasining faqat ichki
nuqtalarida erishadi va shu bilan birga funksiyaning ekstremumi lokal
xarakterga ega bo‘ladi, ya’ni funksiya o‘zining aniqlanish sohasida bir nechta
ekstremumga erishishi mumkin yoki umuman ekstremumga ega bo‘lmasligi
mumkin.
2.2.1-teorema ( ekstremum mavjud bo ‘ lishining zaruriy sharti ). Agar
z= f(x,y)
funksiya P0(x0;y0) nuqtada ekstremumga ega bo ‘ lsa, u holda bu
nuqtada
∂z
∂x va
∂z
∂y xususiy hosilalar nolga teng bo ‘ ladi yoki ulardan hech
bo ‘ lmaganda bittasi mavjud bo ‘ lmaydi.
P0(x0,y0)
nuqta
funksiyaning ekstremum nuqtasi bo ‘ lsin. U holda
fx
'(x0,y0)= 0,fy
'(x0,y0)= 0
bo ‘ ladi. Bu hosilalarni z= f(x,y) tenglama bilan
berilgan sirtga
P0(x0;y0) nuqtada o ‘ tkazilgan urinma tekislikning
z− z0= fx
'(x0,y0)(x− x0)+ fy
'(x0,y0)(y− y0)
tenglamasiga qo ‘ ysak,
z− z0= 0 yoki z= z0 kelib chiqadi.
Bundan ekstremum nuqtalarida sirtga o ‘ tkazilgan urinma tekislik Oxy
koordinata tekisligiga parallel bo ‘ ladi degan xulosa kelib chiqadi. Bu xulosa ikki
o ‘ zgaruvchi funksiyasi ekstremumi zaruriy shartining geometrik ma’nosini
bildiradi.
25

Xususiy hosilalar nolga teng bo ‘ ladigan nuqtalarga statsionar nuqtalar
deyiladi.
Xususiy hosilalar nolga teng bo ‘ ladigan yoki ulardan hech bo ‘ lmaganda
bittasi mavjud bo ‘ lmagan nuqtalarga kritik nuqtalar deyiladi.
Kritik nuqtalarda funksiya ekstremumga ega bo ‘ lishi yoki ega bo ‘ lmasligi
mumkin. Masalan, z= xy funksiya uchun O(0;0) nuqta kritik nuqta bo ‘ ladi,
chunki bu nuqtada har ikkala
zx
'= y,zy
'= x xususiy hosila nolga teng va
f(0,0 )=0.
Bunda O(0;0) nuqtaning atrofida f(x,y)> f(0,0 ) bo ‘ ladigan
nuqtalar ham (
I va III chorak nuqtalari) f(x,y)<f(0,0 ) bo ‘ ladigan nuqtalar ham
(
II va IV chorak nuqtalari) mavjud bo ‘ ladi. Shu sababli O(0,0 ) nuqta
ekstremum nuqta bo ‘ lmaydi. Bunday
O(0;0) nuqtaga minimaks nuqta deyiladi.
2.2.2-teorema ( ekstremum mavjud bo ‘ lishining yetarli sharti ).
z= f(x,y)
funksiyaning
P0(x0;y0) statsionar nuqtaning biror atrofida birinchi va ikkinchi
tartibli uzluksiz xususiy hosilalari mavjud va bunda
fx2''(x0,y0)= A,
fxy
''(x0,y0)= B,
fy2''(x0,y0)=C bo‘lsin. U holda
a) agar
Δ= AC − B2>0 bo‘lsa, z= f(x,y) funksiya P0(x0;y0) nuqtada
ekstremumga ega bo ‘ lib, bunda
A<0 (yoki C <0 ) bo‘lganda P0(x0;y0)
nuqta maksimum nuqta,
A>0 (yoki C >0 ) bo ‘ lganda P0(x0;y0) nuqta
minimum nuqta bo ‘ ladi;
b) agar
Δ= AC − B2<0 bo ‘ lsa, P0(x0;y0) nuqtada ekstremum mavjud
bo ‘ lmaydi;
c) agar
Δ= AC − B2= 0 bo ‘ lsa, P0(x0;y0) nuqtada ekstremum mavjud
bo ‘ lishi ham, mavjud bo ‘ lmasligi ham mumkin ( bu holda qo ‘ shimcha
tekshirishlar o ‘ tkaziladi).
2.2.1-teoremaga asoslangan ikki o ‘ zgarubchi funksiyasini ekstremumga
tekshirish tartibi bilan tanishamiz.
26

z= f(x,y) funksiyani ekstremumga tekshirish tartibi :
1o.

∂z
∂x ,
∂z
∂y xususiy hosilalar topiladi;
2o.
Statsionar nuqtalar aniqlanadi;
3o.

∂2z
∂x2,∂2z
∂y2, ∂2z
∂x∂y xususiy hosilalar topiladi;
4o.

A= ∂2z
∂ x2,C = ∂2z
∂ y2, B= ∂2z
∂x∂y hususiy hosilalarning statsionar
nuqtalardagi qiymatlari hisoblanadi;
5o.
Har bir statsionar nuqtada Δ= AC − B2 ning qiymati hisoblanadi va
2.2.2-teorema asosida xulosa chiqariladi.
2.2.1-misol.
z= x2+2 y2− 2x+4 y− 3 funksiyani ekstremumga
tekshiramiz.

1o.
∂z
∂x
= 2x− 2, ∂z
∂y
= 4y+4 .

2o. {2(x−1)=0,¿¿¿¿
sistemani yechib, statsionar nuqtani topamiz:
P(1;−1).
3o.
Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz:
∂2z
∂x2=2,
∂2z
∂x∂y
=0, ∂2z
∂y2= 4.
4o.
Demak, barcha nuqtalarda, jumladan P(1;−1) nuqtada A= 2, B=0,
C= 4.
5o.
Δ= AC − B2= 2⋅4= 8>0, bunda A>0. Demak, P(1;−1) nuqta
minimum nuqta va
zmin = z(1;− 1)= 12+2⋅(− 1)2− 2⋅1+4⋅(− 1)− 3=− 6.
27

2.2.2-misol. Kimyoviy reaksiyada x , y
va z
miqdordagi konsentratsiyalar
bilan 3 xil modda ishlatiladi. Reaksiya v vaqt doimiyligi ushbu qonun bilan
ifodalanadi
v=kx2yz
x,y
va z konsentratsiyalar maksimal v tezlikda reaksiya borishni toping.
Yechish: x + y + z = 100
(%) . Shunda

(2.2.1)
funksiya hosilasini topamiz
v :
Olingan ifodani nolga tenglashtiramiz, aniqmas ikki tenglik sistemasi kelib
chiqadi:
x=0 va y=0 maksimum funksiya (2.2.1) mohiyatini bermaydi va tenglik
qisqartmasini quyidagi ko ‘ rinishda tuzib olamiz:
Aniqlangan bu sistemadan natijani olamiz.
nuqtani va shartlardan foydalanib , ekanligini osongina
tekshiramiz .
28

XULOSA
Ushbu kurs ishida ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalarning xususiy hosilalari,
differensiali hamda yuqori tartibli hosilalari mavzusi batafsil o‘rganildi.
Matematik analiz fanining muhim bo‘limlaridan biri hisoblangan ko‘p
o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy
masalalarni yechishda ham katta ahamiyat kasb etishi ko‘rsatib berildi.Kurs
ishining birinchi bobida ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning limiti va uzluksizligi
tushunchalari yoritildi. Funksiyaning aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi hamda
geometrik talqini misollar yordamida tushuntirildi. Shuningdek, funksiyaning
xususiy orttirmalari, xususiy hosilalari va to ‘ liq differensiali haqida nazariy
ma’lumotlar berilib, ularni hisoblash usullari misollar asosida ko ‘ rib chiqildi.
Funksiyaning differensiallanuvchanligi va uning zaruriy hamda yetarli shartlari
ham bayon etildi. Ikkinchi bobda esa yuqori tartibli xususiy hosilalar va
differensiallar tushunchasi o ‘ rganildi. Aralash hosilalarning tengligi haqidagi
teorema, yuqori tartibli differensial formulalari hamda ularning qo ‘ llanilishi
misollar yordamida ko ‘ rsatildi. Bundan tashqari, bir necha o ‘ zgaruvchili
funksiyaning ekstremumlari mavzusi ham tahlil qilinib, statsionar va kritik
nuqtalarni aniqlash usullari yoritildi. Funksiyaning maksimum va minimum
qiymatlarini topishning zaruriy va yetarli shartlari misollar yordamida
tushuntirildi. Mazkur kurs ishini bajarish davomida ko ‘ p o ‘ zgaruvchili
funksiyalar mavzusi bo ‘ yicha nazariy bilimlar mustahkamlandi hamda amaliy
misollar yechish ko ‘ nikmalari hosil qilindi. O ‘ rganilgan mavzu matematik
analiz fanining keyingi bo ‘ limlarini chuqur o ‘ zlashtirish uchun muhim nazariy
asos bo ‘ lib xizmat qiladi. Shu bilan birga, ko ‘ p o ‘ zgaruvchili funksiyalar fizik,
iqtisodiy, texnik va boshqa ko ‘ plab sohalardagi jarayonlarni matematik
modellashtirishda keng qo ‘ llanilishi bilan ham ahamiyatlidir.
Men ushbu kurs ishimda ‘‘ Ko ‘ p o ‘ zfaruvchili funksiyaning xususiy
xosilalari mavzusini yoritishga xarakat qildim. Bu kurs ishi kirish ikkita bob
xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat. Kurs ishini bajarish jarayonida
bobga bo ‘ lib o ‘ rgandim.
29

1. Birinchi b о bda ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari,
limiti, uzluksuzligi haqida ma’lumotlar berilgan. Ko ‘ p o ‘ zgaruvchili funksiya
haqida ta’rif va teoremalar berilgan.
2. Ikkinchi b о bda yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar, bir
nech o‘zgaruvchi funksiyaning ekstremymlari haqida ta’rif va teromalar
ko‘rsatilgan.
Kelajakda talaba va izlanuvchilar ilmiy maqola va to ‘ plamlar
nazariyasini kengroq o ‘ rganishlari va to ‘ plamlarga oid teoremalarni
isbotlashda misollarni yechishlarida ushbu kurs ishimdan keng foydalanishlari
mumkin bo ‘ ladi.
30

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR.
1. O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi Qonuni. 2020 - yil
23 -sentabr, O‘RQ-637-son.
2. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2015-yil 2-martdagi
“ Magistratura to‘g‘risidagi Nizomni tasdiqlash haqida ”gi 36-son Qarori.
3. O‘zbekiston Respublikasi Vazirlar Mahkamasining 2024-yil 27-martdagi
“Davlat ta’lim standartlari va davlat ta’lim talablarini ishlab chiqish hamda joriy
etish tartibini takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida” 157-son Qarori.
4. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirining 2018-yil 10-
sentabrdagi “Oliy ta’lim muassasasi professor-o‘qituvchilar tarkibining o‘quv
yuklamasi hamda o‘quv-uslubiy, ilmiy-tadqiqot va “ustoz-shogird” ishlarini
belgilash qoidalarini tasdiqlash to‘g‘risida” gi 20-2018-son buyrug‘i.
5. O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirining 2021-yil 19-
oktabrdagi “Oliy ta’limning davlat ta’lim standarti. Asosiy qoidalar”
O‘zbekiston Respublikasining davlat standartini tasdiqlash to‘g‘risida”gi 35-
2021-son buyrug‘i.
6. Egamberdiyev F.T. va boshqalar. “Iqtisodiyot nazariyasi” fanidan kurs ishini
bajarish uchun uslubiy qo‘llanma. - Toshkent, O‘zMU, 2019.
7. Ilxamov Sh.I., Xudoyqulov A. Kurs ishlarini yozish va himoya qilish
bo‘yicha uslubiy qo‘llanma. - Termiz. TDU, 2023.
ELEKTRON TA’LIM RESURSLARI
1. http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/
2. http://www.allmath.ru/
3. http://www.pedagog.uz/
4. http://www.ziyonet.uz/
5. http://window.edu.ru/window/
6. http://ilib.mccme.ru/#begin
7. http://kvant.mirror1.mccme.ru/
31

Купить

Похожие документы
To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda akslantirishlar 26
Tekislikda kordinatalar metodi 26
Sonli qatorlar 26
Sonli qatorlar 2-variant
Sonlar ketma-ketligi va uning xossalari 26