Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 715.6KB
Покупки 0
Дата загрузки 11 Июнь 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari

Купить
O‘ ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA LIM,ʼ FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI FARG‘ONA DA V LAT UNI V ERSITETI “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi “ Matematik analiz” fanidan KURS ISHI Mavzu: ” Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari ” Bajardi: 2-kurs 23.05-guruh talabasi Ilmiy rahbar: Farg ona-2025 ʻ 1 MUNDARIJA KIRISH……………………………………............................................3-5 I BOB FUNKSIYANING XUSUSIY HOSILALARI 1.1-§. Ko‘p o‘zgaruvchi li funksiya haqida tushuncha……………………………...6-8 1.2-§. Ko‘p o‘zgaruvchili funks iyaning limiti, uzluksizligi……………………….8-15 1.3 -§. Funksiyaning xususiy hosilalari.Funksiyaning differensiali……………….15-19 II BOB YUQORI TARTIBLI XUSUSIY XOSILA 2.1 -§. Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar. ………………….……20-21 2.2-§. Bir necha o‘zgaruvchi funksiyasining ekstremumlari…………………….21-24 XULOSA………………………………………………………………...25 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………………………….....26 2 KIRISH Jismoniy va ma`naviy yetuk yoshlar – ezgu maqsadlarimizga yetishda tayanchimiz va suyanchimizdir. Sh.M. Mirziyoyev Respublikamiz Prezidenti Sh.M.Mirziyoyev “Ta’lim O‘zbekiston xalqi ma’naviyatiga yaratuvchanlik faoliyatini baxsh etadi. O‘sib kelayotgan avlodning barcha eng yaxshi imkoniyatlari unda namoyon bo‘ladi, kasbkori, mahorati uzluksiz takomillashadi, katta avlodning tajribasi anglab olinadi va yosh avlodga o‘tadi”,- degan edi. Matematika fani mamlakatimizda ilm-fanni rivojlantirishning ustuvor yo‘nalishlaridan biri sifatida belgilandi. O‘tgan davr ichida matematika ilm-fani va ta’limini yangi sifat bosqichiga olib chiqishga qaratilgan qator tizimli ishlar amalga oshirildi: birinchidan, ilg‘or ilmiy markazlarda faoliyat yuritayotgan vatandosh matematik olimlarning taklif qilinishi va xalqaro ilmiy-tadqiqotlar olib borilishi uchun zarur shart- sharoit yaratildi; ikkinchidan, xalqaro fan olimpiadalarida g‘olib bo‘lgan yoshlarimiz va ularning murabbiy ustozlari mehnatini rag‘batlantirish tizimi joriy etildi; uchinchidan, oliy ta’lim va ilmiy-tadqiqotlarning o‘zaro integratsiyalashuvini ta’minlash maqsadida Talabalar shaharchasida Fanlar akademiyasining V.I. Romanovskiy nomidagi Matematika institutining yangi va zamonaviy binosi barpo etildi. Matematika sohasidagi fundamental tadqiqotlarni moliyalashtirish hajmi bir yarim 3 barobarga oshirildi, budjet mablag‘lari hisobidan superkompyuter, zamonaviy texnika va asbob uskunalar xarid qilindi; to‘rtinchidan, ilmiy darajali kadrlarni tayyorlashning birlamchi bosqichi sifatida stajyor- tadqiqotchilik instituti joriy etildi; beshinchidan, ilm-fan sohasidagi ustuvor muammolarni tezkor bartaraf etish, fan, ta’lim va ishlab chiqarish integratsiyasini kuchaytirish masalasini Hukumat darajasida belgilash maqsadida O‘zbekiston Respublikasining Bosh vaziri raisiligida Fan va texnologiyalar bo‘yicha respublika kengashi tashkil etildi. Shu bilan birga, sohada yechimini topmagan qator masalalar matematika sohasidagi ta’lim sifati va ilmiy-tadqiqot samaradorligini oshirishga qaratilgan chora-tadbirlarni amalga oshirish zaruratini ko‘rsatmoqda. Ta’limning barcha bosqichlarida matematika fanini o‘qitish tizimini yanada takomillashtirish, pedagoglarning samarali mehnatini qo‘llab- quvvatlash, ilmiy-tadqiqot ishlarining ko‘lamini kengaytirish va amaliy ahamiyatini oshirish, xalqaro hamjamiyat bilan aloqalarni mustahkamlash davlat dasturi belgilangan. Matematik analiz – matematika sohalaridan biri. Matematik analiz takomilashib va rivojlanib boruvchi apparatga ega bo‘lib, bu apparat asosini differensal va integral hisob tashkil qiladi. Matematik analiz matematikaning bo‘limi sifatida XVIII- asr oxirida shakillanadi. Matematik analizning tadqiqot predmeti funksiyalardan yoki o‘zgaruvchi miqdorlar orasidagi bog‘lanishlardan iborat. Kurs ishining dolzarbligi . Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e’tiqodi, kasb mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir. Ta’lim-tarbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi 4 navbatdagi vazifalaridan biridir. Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi. Maktaabda matematika fanini o‘qitish jarayonida ilg‘or pedagogik texnologiyalardan foydalanish–o‘qitish samaradorligini oshirishning omillaridan biri sifatida yaqqol ko‘zga ko‘rinmoqda. Chunki o‘qitishning ilg‘or, nostandart (interfaol) shakllari- ta’lim-tarbiya o‘quvchilarning bilish faoliyatini masalalarini kuchaytirishga mashg‘ulotlarini takomillashtirish yo‘llaridan biri. unumli yechishga, qaratilgan o‘quv mashg‘ulotlarini takomillashtirish yo‘llaridan biri. uv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, unibga soladi, o‘ Kurs ishining maqsadi: Matematik analiz kursining “Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari” mavzusini chuqur o‘raganish. Kurs ishining ob’ekti: Barcha oliy o‘quv yurtlarining Fizika Matematika Fakultetlarini Matematika yo‘nalishlarida matematik jarayon. Kurs ishining predmeti: Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning qay darajada kengligi Kurs ishining vazifalari:  Mavzuga doir ma’lumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish;  Matematik analiz “ Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya” mavzusini chuqur o‘rganish;  Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya haqida asosiy tushunchalar; 5  Kurs ishini jihozlab, uni himoyaga tayyor qilish; Kurs ishining tuzilishi : Bu kurs ishi kirish, 2 ta bob , 5 ta band, 26 ta sahifa, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan ibora t. I BOB. FUNKSIYANING XUSUSIY HOSILALARI. 1.1-§.Ko‘p o‘zgaruvchili funksiya haqida tushuncha . Biror to‘plam berilgan bo‘lsin. 1-ta’rif: Agar M to‘plamdagi xar bir nuqtaga biror qoida yoki qonunga ko‘ra bitta haqiqiy son mos qo‘yilgan to‘plamda ko‘p o‘zgaruvchili (m ta o‘zgaruvchili ) funksiya berilgan (aniqlangan) deb ataladi va uni yoki (1) kabi belgilanadi. Bunda M- funksiyaning berilish (aniqlanish) to‘plami erkli o‘zgaruvchilar-funksiyaning argumentlari, erksiz o‘zgaruvchi – o‘zgaruvchilarning funksiyasi deyiladi. 6 nuqta bitta x bilan belgilanishini e’tiborga olib , bundan keyin deyarlik hamma vaqt o‘rniga ni ishlataveramiz. Unda yuqoridagi (1) belgilashlar quyidagicha yoziladi. yoki Funksiyaning berilish to‘plamidan olingan nuqtaga mos keluvchi son funksiyaning nuqtadagi xususiy qiymati deb ataladi. funksiya to‘plamda berilgan bo‘lsin. o‘zgaruvchi to‘plamda o‘zgarganda funksiyaning mos qiymatlaridan iborat to‘plam funksiya qiymatlari to‘plami (funksiyaning o‘zgarish sohasi) deb ataladi. Ko‘p o‘zgaruvchili ( ta o‘zgaruvchili ) funksiyalarda funksiyaning berilish to‘plami fazodagi to‘plam bo‘lib, bu funksiya qiymatlari to‘plami esa haqiqiy sonlarning qism to‘plamidan iboratdir. fazoning nuqtalaridan iborat ushbu to‘plam funksiya grafigi deb ataladi. Masalan, bo‘lganda ( fazoda) funksiyalar grafigi mos ravishda fazoda giperbolik parabolond, aylanma parabolond hamda yuqori yarim sferalardan iboratdir . to‘plamda funksiya berilgan bo‘lib, larning xar biri to‘plamda berilgan funksiyalar bo‘lsin: 7 … … … … Bunda o‘zgaruvchi to‘plamda o‘zgarganda ularga mos nuqta to‘plamda bo‘lsin. Natijada o‘zgaruvchi o‘zgaruvchi orqali o‘zgaruvchilarning funksiyasi bo‘ladi: . Bu funksiya murakkab funksiya yoki hamda funksiyalar superpozitsiyasi deb ataladi. funksiya to‘plamda berilgan bo‘lsin. Agar bu funksiya qiymatlari to‘plami yuqoridan (quyidan) chegaralangan bo‘lsa, ya’ni shunday o‘zgarmas (o‘zgarmas P) son topilsaki, ixtiyoriy uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, funksiya to‘plamda yuqorida (quyidan) chegaralangan deb ataladi, aks holda, ya’ni har qanday kata musbat son olinganda ham, to‘plamda shunday nuqta topilsaki, tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, funksiya to‘plamda yuqoridan (quyidan) chegaralangan deb ataladi. 8 1. 2 -§. Ko‘p o‘zgaruvchi li funksiya ning limiti , uzluksizligi.R2 fazoda D va E to‘plamlar berilgan bo‘lsin. 1-ta’rif. Agar D to‘plamning har bir (x,y) haqiqiy sonlar juftiga biror qonun yoki qoida bilan E to‘plamdagi yagona haqiqiy z soni mos qo‘yilgan bo‘lsa, D to‘plamda ikki o‘zgaruvchining funksiyasi aniqlangan deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi z= f(x,y), z= z(x,y) ,… kabi belgilanadi. Bu yerda x va y argumentlar (yoki erkli o‘zgaruvchilar ), z ikki x va y o‘zgaruvchining funksiyasi (yoki bog‘liq o‘zgaruvchi ) deb ataladi. D to‘plamga f(x,y) funksiyaning aniqlanish sohasi , E to‘plamga uning qiymatlar sohasi (yoki o‘zgarish sohasi ) deyiladi. Masalan. Perimetri a ga teng uchburchakning ikki tomoni x va y ga teng. Uchburchakning yuzasini x va y orqali ifodalaymiz. Uchburchakning uchinchi tomoni z bo‘lsin deymiz. U holda a= x+ y+ z bo‘ladi. Bundan z= a− x− y. Uchburchakning yuzasini Geron formulasi bilan topamiz: S= √p(p− x)(p− y)(p− z), bu yerda p= a 2 . p va z ni Geron formulasiga qo‘yamiz: S= √ a 2 ( a 2 − x)( a 2 − y)( a 2 − a+ x+ y) yoki S(x,y)= 1 4√a(a− 2x)(a− 2y)(2x+2y− a) . Geometrik nuqtai-nazardan to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasida haqiqiy sonlarning har bir (x,y) juftiga Oxy tekislikning yagona P(x;y) nuqtasi mos keladi. Shu sababli ikki o‘zgaruvchining funksiyasini P(x;y) nuqtaning 9 funksiyasi deb qarash va z= f(x,y) yozuvni f(P) kabi yozish mumkin. Bu holda ikki o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi Oxy tekislik nuqtalarining biror to‘plamidan yoki butun tekislikdan iborat bo‘ladi. Argumentlarning tayin x= x0 va y= y0 qiymatlarida (yoki P0(x0;y0) n uqtada) ( z= f(x,y) funksiyaning qabul qiladigan z0 xususiy qiymati z0= z|x=x0 y=y0 yoki z0= f(x0,y0) (yoki z0= f(P0) ) deb yoziladi. Misollar. 1. f(x,y)= y(y2− 1) x funksiyaning A(3;− 2),B(y;3),C (x+2;x+1) nuqtalardagi xususiy qiymatlarini topamiz. Buning uchun f(x,y) funksiy a ga bu nuqtalarning koordinatalarini qo‘yamiz: f(A)= − 2⋅((− 2)2− 1) 3 =− 2; f(B)= 3⋅(32− 1) y = 24 y ; f(C )= (x+1)⋅((x+1)2− 1) x+2 = x(x+1). z= f(x,y) funksiya jadval, grafik va analitik usullarda berilish mumkin. z= f(x,y) funksiyaning jadval usuldagi berilishida jadvalning birinchi satriga x o‘zgaruvchining qiymatlari, chap ustuniga y o‘zgaruvchining qiymatlari va qolgan kataklarga z funksiyaning mos qiymatlari qo‘yiladi. Bunda funksiyaning x va y ning berilgan qiymatlariga mos qiymati bu qiymatlar yotgan satr va ustunlarning kesishmasida joylashadi. Masalan. 1-jadvalda z= z| x=7 y=0,06 =6. Grafik usuldagi berilishida z= f(x,y) funksiyaning geometrik tasviri uch o‘lchovli fazodagi sirtdan iborat bo‘ladi. Masalan, 1-rasmda z= x2+ y2− 1 funksiyaning grafigi tasvirlangan. 10 1- jadval Analitik usulda ikki o‘zgaruvchining funksiyasi oshkor ko‘rinishda z= f(x,y) formula bilan yoki oshkormas ko‘rinishda F(x,y,z)=0 tenglik bilan berilishi mumkin. Funksiya os h kormas ko‘rinishda berilganda F(x,y,z)=0 tenglikdagi har bir (x,y) sonlar juftiga yagona z sonning mos qo‘yilishi talab etiladi. Analitik usulda berilganda funksiyaning aniqlanish sohasi funksiyani aniqlovchi formula ma’noga ega bo‘ladigan barcha nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi. Misollar. z= 3x2+ y2 y− x f unksiya y= x shartda aniqlanmagan. Demak, y≠ x . Geometrik nuqtai- nazardan y≠ x shart funksiyaning aniqlanish sohasi ikkita yarim tekislikdan tashkil topishini bildiradi. Bunda birinchi yarim tekislik y= x to‘g‘ri chiziqdan yuqorida, ikkinchisi bu to‘g‘ri chiziqdan pastda yotadi (2-rasm). 2. z= arcsin (x2+ y2− 8) Funksiya − 1≤ x2+ y2− 8≤ 1 shartda aniqlangan. Bu shart 7≤ x2+ y2≤ 9 shartga teng kuchli. Funksiya aniqlanish sohasining chegaraviy chiziqlari bo‘lgan x2+ y2= 7 va x2+ y2= 9 aylanalar ham bu sohaga tegishli. 11 1-rasm 3-rasm2-rasm Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi markazi koordinatalar boshida bo‘lgan, radiuslari mos ravishda √7 va 3 ga teng aylanalar orasida va bu aylanalarda yotuvchi barcha nuqtalardan iborat bo‘ladi (3-rasm). Ikkidan ortiq o‘zgaruvchining funksiyasi R3 fazoda D va E to‘plamlar berilgan bo‘lsin. 2-ta’rif. Agar D to‘plamning har bir (x,y,z) haqiqiy sonlar uchligiga biror qonun yoki qoida bilan E to‘plamdagi yagona haqiqiy u soni mos qo‘yilgan bo‘lsa, D to‘plamda uch o‘zgaruvchining funksiyasi aniqlangan deyiladi. Uch o‘zgaruvchining funksiyasi ikki o‘zgaruvchining funksiyasi kabi belgilanadi: u= f(x,y,z),u= u(x,y,z),F (x,y,z,u)= 0,.... Uch o‘zgaruvchining funksiyasini P(x;y;z) nuqtaning funksiyasi deb qarash va u= f(x,y,z) yozuvni f(P) kabi yozish mumkin. Bu holda uch o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi Oxyz fazodagi nuqtalarining biror to‘plamidan yoki butun fazodan iborat bo‘ladi. Misol. u= √3x− 2 y+z− 6 funksiyalarning aniqlanish sohasini topamiz. Bu funksiya 3x− 2y+z− 6≥ 0 yoki 3x− 2y+z≥ 6 shartda haqiqiy qiymatlar qabul qiladi. Demak, funksiyaning aniqlanish sohasi Oxyz koordinatalar fazosining 3x− 2y+z− 6= 0 tekislikda va bu tekislikdan yuqorida yotgan nuqtalar to‘plamidan iborat bo‘ladi. Uch o‘zgaruvchining funksiyasi jadval va analitik usullarda berilishi mumkin. Bunda ikkidan ortiq kirish parametriga ega jadval foydalanishga noqulay bo‘lgani uchun ikkidan ortiq o‘zgaruvchinig funksiyasi asosan analitik usulda beriladi. To‘rt o‘zgaruvchining, besh o‘zgaruvchining va umuman n o‘zgaruvchining funksiyasi yuqoridagi kabi ta’riflanadi va belgilanadi. n o‘zgaruvchining y= f(x1,x2,...,xn) funksiyasi ko‘pincha Rn fazodagi P(x1;x2;...;xn) nuqtaning 12 4-rasm . .funksiyasi sifatida qaraladi va y= f(P) deb yoziladi. n o‘zgaruvchi funksiyasining aniqlanish sohasi (x1,x2,...,xn) haqiqiy sonlar sistemasining D to‘plamidan iborat bo‘ladi. Bunda t o‘rtta va undan ortiq o‘zgaruvchiga bog‘liq funksiyalarning aniqlanish sohasini ko‘rgazmali (chizmalarda) namoyish qilib bo‘lmaydi. Funksiyaning limiti Ikki (va ikkidan ortiq) o‘zgaruvchi funksiyasining limiti va uzluksizligi bir o‘zgaruvchi funksiyasidagi kabi ta’riflanadi. Bu ta’riflar nuqtaning δ− atrofiga tushunchasiga asoslanadi. P0(x0;y0) nuqtaning δ− atrofi deb √(x− x0)2+(y− y0)2< δ (yoki ρ(P ,P0)<δ ) tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha P(x;y) tekislik nuqtalari to‘plamiga aytiladi. Bu to‘plam markazi P0 nuqtada bo‘lgan va radiusi δ ga teng ochiq (chegarasiz) doirada yotuvchi barcha P nuqtalardan tashkil topadi (4-rasm). 3-ta’rif. Agar ∀ ε>0 son uchun P0(x0;y0) nuqtaning shunday δ− atrofi topilsaki, bu atrofning istalgan P(x;y) nuqtasi ( P0 nuqta bundan istisno bo‘lishi mumkin) uchun |f(P)− A|<ε tengsizlik bajarilsa, A songa z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi yoki P→ P0 dagi limiti deyiladi va lim ¿x→x0¿ y→y0¿ ¿f(x,y)=A¿ , lim (x,y)→(x0,y0) f(x,y)= A yoki limP→P0 f(P)= A kabi belgilanadi. Quyida bu teoremalarni keltiramiz. 13 1-teorema. Ikkita funksiya algebraik yig‘indisining limiti bu funksiyalar limitlarining algebraik yig‘indisiga teng ,ya’ni limP→P0 (f(P)± g(P))= limP→P0 f(P )± limP→P0 g(P) . 2-teorema. Ikkita funksiya ko‘paytmasining limiti bu funksiyalar limitlarining ko‘paytmasiga teng, ya’ni limP→P0 (f(P)⋅g(P))= limP→P0 f(P)⋅limP→P0 g(P) . 1-natija. Funksiya P→ P0 da yagona limitga ega bo‘ladi. 2-natija. O‘zgarmas funksiyaning limiti uning o‘ziga teng , ya’ni limP→P0 f(C )=C . 3-natija. O‘zgarmas ko‘paytuvchini limit belgisidan tashqarida chiqazish mumkin, ya’ni limP→P0 (k⋅f(P))= k⋅limP→P0 f(P ),k∈R. 4-natija. Funksiyaning natural ko‘rsatkichli darajasining limiti bu funksiya limitining shu tartibli darajasiga teng, ya’ni limP→P0 (f(P)n)=(limP→P0 f(P))n , n∈N . 3-teorema. Ikki funksiya bo‘linmasining limiti bu funksiyalar limitlarining nisbatiga teng, ya’ni lim P→P0 f(P) g(P)= limP→P0 f(P) limP→P0 g(P ) , limP→P0 g(P)≠ 0 . 4-teorema. Agar P0 nuqtaning biror atrofidagi barcha P nuqtalar uchun f(P)≤ ϕ(P)≤ g(P) tengsizlik bajarilsa va lim P→P0 f(P )= lim P→P0 g(P)= A bo‘lsa, u holda lim P→P0 ϕ(P)= A bo‘ladi. Misollar . 1. lim (x,y)→(2,−1) x+2y2 x2+3xy limitni limitlar haqidagi teoremalarni qo‘llab, topamiz: 14 lim (x,y)→(2,−1) x=2 va lim (x,y)→(2,−1) y=−1 . U holda lim (x,y)→(2,−1) x+2y2 x2+3xy = lim (x,y)→(2,−1)(x+2y2) lim (x,y)→(2,−1)(x2+3xy )= lim (x,y)→(2,−1)x+2 lim (x,y)→(2,−1)y2 lim (x,y)→(2,−1)x2+3 lim (x,y)→(1,−2)xy = 2+2⋅(− 1)2 22+3⋅2⋅(− 1)=− 2. 2. lim (x,y)→(0,0 ) √xy +9− 3 x− y limitni topish uchun (0;0) nuqtaga y= kx to‘g‘ri chiziq bo‘ylab yaqinlashamiz. U holda lim (x,y)→(0,0 ) √xy +9− 3 x− y = lim x→0 √kx 2+9− 3 (1− k)x = lim x→0 kx 2 (1− k)x(√kx 2+9+3) = = lim x→0 kx (1− k)(√kx 2+3+3) = 0 6(1− k) = 0. Yuqorida keltirilgan ikki o‘zgaruvchi funksiyasining limiti unung karrali limiti deyiladi. Ikki o‘zgaruvchining funksiyasi uchun karrali limitdan tashqari takroriy limitlar deb ataluvchi limx→x0 (limy→y0 f(x,y)) va limy→y0 (limx→x0 f(x,y)) limitlar ham kiritiladi. Umuman olganda lim (x,y)→(x0,y0) f(x,y) karrali limit har ikki argument bir vaqtda nuqtalarga intilganda takroriy limitlar bilan ustma-ust tushish shart emas. Quyida f(x,y) funksiyaning karrali limitini uning takroriy limitlari bilan almashtirish imkonini beruvch teoremani keltiramiz. 1.3-§. Funksiyaning xususiy hosilalari . Funksiyaning diff e rensiali z= f(x,y) funksiya D ⊂R2 to‘plamda aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, P0(x0;y0) , P1(x0+Δx ;y0) , P2(x0;y0+Δy ) va P3(x0+Δx ;y0+Δy ) nuqtalar D to‘plamga tegishli b o ʻ lsin, bu yerda Δx ,Δy − argumentlarning orttirmalari. Δxz= f(P1)− f(P)= f(x0+Δx ,y0)− f(x0,y0) va 15 Δyz= f(P2)− f(P)= f(x0,y0+Δy )− f(x0,y0) ayirmalarga z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi x va y o‘zgaruvchilar bo‘yicha xususiy orttirmalari deyiladi. Δz = f(P3)− f(P)= f(x0+Δx ,y0+Δy )− f(x0,y0) ayirmaga z= f(x,y) funksiyaning P(x,y) nuqtadagi to‘liq orttirmasi deyiladi. Misol. z= xy +x2− y2 funksiyaning M 0(1;−1) nuqtadagi xususiy va to‘liq orttirmalarini Δx = 0,1 va Δy =− 0,2 lar uchun topamiz: Δ xz= (x+ Δx )y+(x+ Δx )2− y2− xy − x2+ y2= = (1+0,1 )⋅(− 1)+(1+0,1 )2− 1⋅(− 1)− 12= 0,01 ; Δ yz= x(y+ Δy )+ x2− (y+ Δy )2− xy − x2+ y2= =1⋅(−1−0,2 )−(−1−0,2 )2−1⋅(−1)+(−1)2=−0,64 ; Δz = (x+ Δx )⋅(y+ Δy )+(x+ Δx )2− (y+ Δy )2− xy − x2+ y2= = (1+0,1 )⋅(− 1− 0,2 )+(1+0,1 )2− (− 1− 0,2 )2− 1⋅(− 1)− 12+(− 1)2= − 0,55 . 1-ta’rif. Agar Δxz Δx nisbatining Δx → 0 dagi limiti mavjud bo‘lsa, bu limitga z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi x o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi deyiladi va ( ∂z ∂x)P0 ,( ∂ f ∂x)P0 ,zx '(x0,y0),fx '(x0,y0) ko‘rinishlarda belgilanadi. Demak, fx'(x0,y0)= lim Δx→0 Δxz Δx =lim Δx→0 f(x0+Δx ,y0)− f(x0,y0) Δx . z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi y o‘zgaruvchi bo‘yicha xususiy hosilasi shu kabi ta’riflanadi: fy '(x0,y0)=lim Δy→0 Δyz Δy =lim Δy→0 f(x0,y0+Δy )− f(x0,y0) Δy . n ( n≥2 ) o‘zgaruvchi funksiyasining xususiy hosilalari ham z= f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalari kabi ta’riflanadi va belgilanadi. 16 Misollar. 1. z= ln tg x y funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz: ∂z ∂x = 1 tg x y ⋅ 1 cos 2x y ⋅( x y)x′= 2 sin 2 x y ⋅1 y = 2 ysin 2x y , ∂ z ∂ y= 1 tg x y ⋅ 1 cos 2x y ⋅( x y)y′= 2 sin 2x y ⋅(− x y2)= − 2x y2sin 2x y . 2. u= xyz + x2− y3+ z funksiyaning birinchi tartibli xususiy hosilalarini topamiz: ∂u ∂x = yz +2x, ∂u ∂y = xz − 3y2, ∂u ∂z = xy +1. z= f(x,y) funksiya xususiy hosilalarining geometrik ma’nolarini aniqlaymiz. Funksiyaning differensiallanuvchanligi z= f(P) funksiya P(x,y) nuqtaning biror atrofda aniqlangan bo‘lsin. 2-ta’rif. Agar z= f(x,y) funksiyaning P(x,y) nuqtadagi to‘liq orttirmasini Δz = AΔx + BΔy +αΔx + βΔy (1) ko‘rinishda ifodalash mumkin bo‘lsa, u holda z= f(x,y) funksiya P(x,y) nuqtada differensiallanuvchi deyiladi, bu yerda A ,B− Δx ,Δy ga bog‘liq bo‘lmagan sonlar, Δx → 0 ,Δy → 0 da α→ 0 ,β→ 0. 1-teorema . Agar z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqtada diffrensiallanuvchi bo‘lsa, u holda u shu nuqtada uzluksiz bo‘ladi. 2-teorema ( funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining zaruriy sharti ). Agar z= f(x,y) funksiya P(x,y) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda u shu nuqtada 17 A= fx'(x,y) va B= fy '(x,y) xususiy hosilalarga ega bo‘ladi. Shunday qilib, z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqtada differensiallanuvchi bo‘lishi uchun faqat xususiy hosilalarning mavjud bo‘lishi yetarli bo‘lmaydi. Bunda qo‘shimcha tarzda xususiy hosilalarning uzluksizligi talab qilinsa funksiya P(x;y) nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi. Boshqacha aytganda quyida isbotsiz keltiriladigan teorema o‘rinli bo‘ladi. 3-teorema ( funksiya differensiallanuvchi bo‘lishining yetarli sharti ). Agar z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqta ning biror atrofida uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsa, u holda u shu nuqtada differensiallanuvchi bo‘ladi. Funksiyaning to‘liq differensiali z= f(x,y) funksiya P(x;y) nuqtada diferrensiallanuvchi bo‘lsin. 3-ta’rif. Δz to‘liq orttirmaning Δx ,Δy larga nisbatan chiziqli bo‘lgan bosh qismi AΔx +BΔy ga z= f(x,y) funksiyaning P(x;y) nuqtadagi to‘liq differensiali deyiladi va u dz bilan belgilanadi. Demak, ta’rifga ko‘ra dz = AΔx +BΔy yoki 2-teoremaga binoan dz = fx '(x,y)Δx + fy '(x,y)Δy . Shunday qilib, funksiyaning to‘liq differensiali xususiy hosilalarning mos argumentlar orttirmasiga ko‘paytmasining yig‘indisiga teng. To‘liq differensialni argumentlarning orttirmalari va diferrensiallarining tengligi Δx = dx ,Δy = dy ni hisobga olib, quyidagicha yozish mumkin: dz = fx '(x,y)dx + fy '(x,y)dy (2) yoki dz = dxz+dyz, bu yerda dxz= fx'(x,y)dx , dyz= fy '(x,y)dy − z= f(x,y) funksiyaning P(x;y) 18 nuqtadagi xususiy differensiallari. Masalan. z= 3 x y funksiyalarning xususiy va to‘liq differensiallarini topamiz. Buning uchun avval funksiyaning xususiy hosilalarni aniqlaymiz: ∂z ∂x = 3 x yln 3⋅1 y , ∂ z ∂ y= 3 x yln 3⋅(− x y2) . U holda dxz= 1 y 3 x yln 3dx , dyz=− x y23 x yln 3⋅dy , dz = 1 y 3 x yln 3⋅(dx − x y dy ). Ko‘pchilik masalalarni yechishda z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) nuqtadagi to‘liq orttirmasi funksiyaning shu nuqtadagi to‘liq differensialiga taqriban tenglashtiriladi, ya’ni Δy ≈ dy deb olinadi. Demak, f(x0+Δx ,y0+Δy )− f(x0,y0)≈ fx '(x0,y0)Δx + fy '(x0,y0)Δy yoki f(x,y)≈ f(x0,y0)+ fx '(x0,y0)Δx + fy '(x0,y0)Δy . (3) (3) taqribiy tenglikka z= f(x,y) funksiyani P0(x0;y0) nuqta atrofida chiziqlashtirish deyiladi. Bunda qandaydir A kattalikning taqribiy qiymatini hisoblash quyidagi tartibda amalga oshiriladi: 1o . A ni biror f(x,y) funksiyaning P(x;y) nuqtadagi qiymatiga tenglashtiriladi, ya’ni A= f(x,y) deb olinadi; 2o . P0(x0;y0) nuqta P(x;y) nuqtaga yaqin va f(x0,y0) ni hisoblash qulay qilib tanlanadi; 3o . f(x0,y0) hisoblanadi; 4o . fx '(x,y),fy '(x,y) lar topilib, fx '(x0,y0),fy '(x0,y0) lar hisoblanadi; 5o . x,y,x0,y0,f(x0,y0),fx '(x0,y0),fy '(x0,y0) qiymatlar (2.3) formulaga qo‘yiladi. 19 Masalan. ni taqribiy hisoblaymiz. 1o . A= arctg ( 1,98 1,03 − 1) , f(x,y)= arctg ( x y − 1) deymiz. U holda f(x,y)= A , x=1,98 ,y=1,03 ; 2o . x0= 2,y0= 1 , ya’ni P0(2;1) deb olamiz; 3o . f(2,1 )= arctg ( 2 1 − 1)= π 4 = 0,785 ; 4o . fx '(x,y)= 1 1+( x y − 1) 2⋅1 y , fy '(x,y)= 1 1+( x y − 1) 2⋅(− x y2), fx '(2,1 )= 1 2 = 0,5 ,fy '(2,1 )=− 1 ; 5o . arctg ( 1,98 1,03 − 1)≈ 0,785 +0,5 ⋅(1,98 − 2)− 1⋅(1,03 − 1)= 0,745 . II BOB . YUQORI TARTIBLI XUSUSIY HOSILA 20 2.1-§. Yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar.P(x;y) nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan z= f(x,y) funksiya shu atrofda ∂z ∂x = fx '(x,y), ∂z ∂y = fy '(x,y) xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. Ular birinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi. Bu hosilalar x va y o‘zgaruvchilarning funksiyalarini ifodalaydi. Bu funksiyalar xususiy hosilalarga ega bo‘lishi mumkin. Agar bu hosilalar mavjud bo‘lsa, ularga ikkinchi tartibli xususiy hosilalar deyiladi va quyidagicha belgilanadi: ∂ ∂x( ∂z ∂x)= ∂2z ∂x2= zxx ''= fx2''(x,y); ∂ ∂x( ∂z ∂y)= ∂2z ∂y∂x = zxy ''= fxy ''(x,y); ∂ ∂y( ∂z ∂x)= ∂2z ∂x∂y = zyx ''= fyx ''(x,y); ∂ ∂y( ∂z ∂y)= ∂2z ∂y2= zyy ''= fy2''(x,y). Uchinchi, to‘rtinchi va umuman n− tartibli xususiy hosilalar shu kabi aniqlanadi. fxy ''(x,y) va fyx ''(x,y) hosilalarga ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilalar deyiladi. 7-teorema . Agar z= f(x,y) funksiyaning ikkinchi tartibli aralash xususiy hosilalari P(x;y) nuqtaning biror atrofida mavjud va shu nuqtada uzluksiz bo‘lsa, u holda ular shu nuqtada teng bo‘ladi, ya’ni fxy ''(x,y)= fyx ''(x,y). Bunday teorema istalgan yuqori tartibli xususiy hosilalar uchun ham o‘rinli bo‘ladi. Masalan, uzluksiz uchinchi tartibli xususiy hosilalar uchun fxyx '''(x,y,z)= fx2y '''(x,y,z)= fyx2'''(x,y,z) 21 tenglik bajariladi.z= f(x,y) funksiyaning P(x;y) nuqtadagi to‘liq differensiali dz = fx '(x,y)dx + fy '(x,y)dy ga birinchi tartibli to‘liq differensial deyiladi. P(x;y) nuqtada z= f(x,y) funksiya ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo‘lsin. U holda ikkinchi tartibli to‘liq differensial d2z= d(dz ) kabi aniqlanadi. Uni topamiz: d(dz )= d(fx '(x,y)dx + fy '(x,y)dy )= =(fx '(x,y)dx + fy '(x,y)dy { )x 'dx +¿ (fx '(x,y)dx +fy '(x,y)dy { )y 'dy = ¿ =(fx2''(x,y)dx + fxy''(x,y)dy { )'dx +¿ (fyx ''(x,y)dx + fy2''(x,y)dy )dy . Bundan d2z= fx2''(x,y)dx 2+2 fxy ''(x,y)dydx + fy2dy 2, (16) bu yerda dx 2= (dx )2,dy 2= (dy )2. (16) formula simvolik ko‘rinishda d2z= ( ∂ ∂ x dx + ∂ ∂ y dy ) 2 ⋅z kabi yoziladi. 2.2-§. Bir necha o‘zgaruvchi funksiyasining ekstremumlari. z= f(x,y) funksiya biror D sohada aniqlangan va P0(x0;y0)∈ D bo‘lsin. 1-ta’rif. Agar P0(x0;y0) nuqtaning shundav δ− atrofi topilsaki, bu atrofning barcha P0(x0;y0) nuqtadan farqli P(x;y) nuqtalarida f(x,y)< f(x0,y0) (f(x,y)> f(x0,y0)) tengsizlik bajarilsa, P0(x0;y0) nuqtaga f(x,y) funksiyaning maksimum ( minimum ) nuqtasi deyiladi. 22 Funksiyaning maksimum va minimum nuqtalariga ekstremum nuqtalar deyiladi. Funksiyaning ekstremum nuqtadagi qiymati funksiyaning ekstremumi deb ataladi Ekstremum tushunchasi funksiya aniqlanish sohasining biror atrofi bilan bog‘liq. Shu sababli funksiya ekstremumga aniqlanish sohasining faqat ichki nuqtalarida erishadi va shu bilan birga funksiyaning ekstremumi lokal xarakterga ega bo‘ladi, ya’ni funksiya o‘zining aniqlanish sohasida bir nechta ekstremumga erishishi mumkin yoki umuman ekstremumga ega bo‘lmasligi mumkin. 1-teorema ( ekstremum mavjud bo‘lishining zaruriy sharti ). Agar z= f(x,y) funksiya P0(x0;y0) nuqtada ekstremumga ega bo‘lsa, u holda bu nuqtada ∂z ∂x va ∂z ∂y xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladi yoki ulardan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud bo‘lmaydi. P0(x0,y0) nuqta ) , ( y x f z funksiyaning ekstremum nuqtasi bo‘lsin. U holda fx '(x0,y0)= 0,fy '(x0,y0)= 0 bo‘ladi. Bu hosilalarni z= f(x,y) tenglama bilan berilgan sirtga P0(x0;y0) nuqtada o‘tkazilgan urinma tekislikning z− z0= fx '(x0,y0)(x− x0)+ fy '(x0,y0)(y− y0) tenglamasiga qo‘ysak, z− z0= 0 yoki z= z0 kelib chiqadi. Bundan ekstremum nuqtalarida sirtga o‘tkazilgan urinma tekislik Oxy koordinata tekisligiga parallel bo‘ladi degan xulosa kelib chiqadi. Bu xulosa ikki o‘zgaruvchi funksiyasi ekstremumi zaruriy shartining geometrik ma’nosini bildiradi. Xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladigan nuqtalarga statsionar nuqtalar deyiladi. Xususiy hosilalar nolga teng bo‘ladigan yoki ulardan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud bo‘lmagan nuqtalarga kritik nuqtalar deyiladi. Kritik nuqtalarda funksiya ekstremumga ega bo‘lishi yoki ega bo‘lmasligi mumkin. Masalan, z= xy funksiya uchun O(0;0) nuqta kritik nuqta bo‘ladi, chunki bu nuqtada har ikkala zx '= y,zy '= x xususiy hosila nolga teng va f(0,0 )= 0. Bunda O(0;0) nuqtaning atrofida f(x,y)> f(0,0 ) bo‘ladigan nuqtalar ham ( I va III 23 chorak nuqtalari) f(x,y)<f(0,0 ) bo‘ladigan nuqtalar ham ( II va IV chorak nuqtalari) mavjud bo‘ladi. Shu sababli O(0,0 ) nuqta ekstremum nuqta bo‘lmaydi. Bunday O(0;0) nuqtaga minimaks nuqta deyiladi. 2-teorema ( ekstremum mavjud bo‘lishining yetarli sharti ). z= f(x,y) funksiyaning P0(x0;y0) statsionar nuqtaning biror atrofida birinchi va ikkinchi tartibli uzluksiz xususiy hosilalari mavjud va bunda fx2''(x0,y0)= A, fxy ''(x0,y0)= B, fy2''(x0,y0)=C bo‘lsin. U holda a) agar Δ= AC − B2>0 bo‘lsa, z= f(x,y) funksiya P0(x0;y0) nuqtada ekstremumga ega bo‘lib, bunda A<0 (yoki C <0 ) bo‘lganda P0(x0;y0) nuqta maksimum nuqta, A>0 (yoki C >0 ) bo‘lganda P0(x0;y0) nuqta minimum nuqta bo‘ladi; b) agar Δ= AC − B2<0 bo‘lsa, P0(x0;y0) nuqtada ekstremum mavjud bo‘lmaydi; c) agar Δ= AC − B2= 0 bo‘lsa, P0(x0;y0) nuqtada ekstremum mavjud bo‘lishi ham, mavjud bo‘lmasligi ham mumkin ( bu holda qo‘shimcha tekshirishlar o‘tkaziladi). Teoremaga (hamda 1-teoremaga) asoslangan ikki o‘zgarubchi funksiyasini ekstremumga tekshirish tartibi bilan tanishamiz. z= f(x,y) funksiyani ekstremumga tekshirish tartibi : 1o. ∂z ∂x , ∂z ∂y xususiy hosilalar topiladi; 2o. Statsionar nuqtalar aniqlanadi; 3o. ∂2z ∂x2,∂2z ∂y2, ∂2z ∂x∂y xususiy hosilalar topiladi; 24 4o. A= ∂2z ∂x2,C = ∂2z ∂ y2, B= ∂2z ∂x∂y hususiy hosilalarning statsionar nuqtalardagi qiymatlari hisoblanadi; 5o. Har bir statsionar nuqtada Δ= AC − B2 ning qiymati hisoblanadi va 2-teorema asosida xulosa chiqariladi. Misollar . 1 . z= x2+2 y2− 2x+4 y− 3 funksiyani ekstremumga tekshiramiz. 1o. ∂z ∂x = 2x−2, ∂z ∂y = 4y+4 . 2o. {2(x−1)=0,¿¿¿¿ sistemani yechib, statsionar nuqtani topamiz: P(1;−1). 3o. Ikkinchi tartibli xususiy hosilalarni topamiz: ∂2z ∂x2=2, ∂2z ∂x∂y =0, ∂2z ∂y2= 4. 4o. Demak, barcha nuqtalarda, jumladan P(1;−1) nuqtada A= 2, B=0, C= 4. 5o. Δ= AC − B2= 2⋅4= 8>0, bunda A>0. Demak, P(1;−1) nuqta minimum nuqta va zmin = z(1;− 1)= 12+2⋅(− 1)2− 2⋅1+4⋅(− 1)− 3=− 6. 2 . Kimyoviy reaksiyada x , y va z miqdordagi konsentratsiyalar bilan 3 xil modda ishlatiladi. Reaksiya v vaqt doimiyligi ushbu qonun bilan ifodalanadi v = k x 2 yz x , y va z konsentratsiyalar maksimal v tezlikda reaksiya borishni toping. Yechish : x+y+z=100 (%) . Shunda (1) Funksiya xosilasini topamiz v : 25 Olingan ifodani nolga tenglashtiramiz, aniqmas ikki tenglik sistemasi kelib chiqadi: x=0 va y = 0 maksimum funksiya (1) mohiyatini bermaydi va tenglik qisqartmasini quyidagi ko‘rinishda tuzib olamiz: 200 −3x− 2y=0 , 100 − x− 2y=0 Aniqlangan bu sistemadan x=50 ,y= 25 natijani olamiz. M 0 ( 50 , 25 ) nuqtani D>0 va A < 0 shartlardan foydalanib, z = 25 ekanligini osongina tekshiramiz. XULOSA Kurs ishi uzluksiz ta’lim tizimining barcha bosqichlarida matematika fanini o‘qitishda muhim ahamiyatga ega bo‘lgan ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar, ko‘ o‘zgaruvchi funksiya limiti, uzluksizligi, xususiy hosilalari mavzusiga bag‘ishlangan. Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat. Kirish qismida yurtimizda olib borilayotgan islohatlar, ularning samarali natijalari va mavzu bo‘yicha boshlang‘ich tushunchalar berildi. Asosiy qismda ko‘p o‘zgaruvchili funksiya haqida tushunchalar, ta’riflar keltirildi.Ko‘p ozgaruvchili funksiya limiti, uzluksizligi, ko‘p o‘zgaruvchili funksiya hosilalari va hususiy hosilalari haqida ta’riflar teoremalar va ularning isbotlari mavzuga doir misollar bilan keng tushuntirildi.Kurs ishining keyingi bobida funksiya differensiali, yuqori tartibli xususiy hosila va differensiallar, bir necha o‘zgaruvchili funksiyaning ekstrmumlari haqida ta’riflar va nisollar ishlab ko‘rsatilgan. Kurs ishining asosiy qismida mavzuni kengroq yoritishga misollar,isbotlar va chizmalar bilan keltirishga harakat qildim. 26 Kelajakda talaba va izlanuvchilar ilmiy maqola va to‘plamlar nazariyasini kengroq o‘rganishlari va to‘plamlarga oid teoremalarni isbotlashda misollarni yechishlarida ushbu kurs ishimdan keng foydalanishlari mumkin bo‘ladi. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1) O‘zbekiston Respublikasi Prezidentining 2020-yil 7-maydagi “Matematika sohasidagi ta’lim sifatini oshirish va ilmiy-tadqiqotlarni rivojlantirish chora tadbirlari to‘g‘risida”gi PQ-4708-sonli Qarori. 2) Azlarov T.A., Mansurov X.T. Matematik analiz, 1-qism, Toshkent, ʺO‘qituvchiʺ, 1994 3) Xudayberganov G., Varisov A., Mansurov H., SHoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar, 1-qism, Qarshi, “Voris-nashriyot”, 2010. 4) A.Sadullayev, X.Mansurov, G.Xudoyberganov, A.Vorisov, R.G‘ulomov Matematik analiz kursidan misol va masalalar to‘plami, Toshkent, “O‘qituvchi” 2008. 5) Фихиенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т. 1-часть “Лань”2015. 6) Демидрович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. Санкт-Петербург. “Лань” 2021. 27 7) Кудряцев Л.Д. и др. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. 1-часть Масква. “Наука” 2003 31 28

Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari

Купить