Информация о документе

Цена 19900UZS
Размер 69.9KB
Покупки 0
Дата загрузки 08 Декабрь 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Bahrom

Дата регистрации 05 Декабрь 2024

383 Продаж

Ko’phadlar bilan tekis yaqinlashish

Купить
KURS ISHI Ko’phadlar bilan tekis yaqinlashish Reja: I. Kirish. II .Asosiy qism. 1 .Funksional ketma-ketliklarni integrallash. 2 .Dini teoremasi. Askoli-Arsela teoremasi. 3 . Delta-simon ketma-ketliklar. 4 .Ko’phadlar bilan tekis yaqinlashishga doir misollar yechish. 5 . Veyershtrass teoremasi. III. Xulosa. Kirish Mavzuning dolzarbligi. O zbekiston Respublikasi mustaqil huquqiy demokratikʻ davlat, erkin fuqarolik jamiyat qurish yo lida ulkan ishlar olib borilib, inson ʻ mohiyatining yangidan ochishga, uni o zligini anglashga, imkoniyatlarni ro yobga ʻ ʻ chiqarishga va ma’naviy intellektual, aqliy – amaliy rivojlanishga yangi shart- sharoitlar yaratib berishdi . Ta’limning fan va ishlab chiqarish bilan integrasiyasi mexanizmlarini rivojlantirish, uni amaliyotga joriy etish, o qishni, mustaqil bilim ʻ olishni individuallashtirish hamda masofaviy ta’lim tizimi texnologiyasini, uning vositalarini ishlab chiqish, o zlashtirish, yangi pedagogik va axborot ʻ texnologiyalari asosida o quvchi va talabalarni o qitishni jadallashtirish ana ʻ ʻ shunday dolzarb vazifalar sirasiga kiradi. Ushbu vazifalarni bajarish mavjud pedagogik jarayonlarni takomillashtirishni, uni hozirgi zamon o quvchi va ʻ talablariga mos rivojlantirishni, xususan oliy pedagogik ta’lim paradigmasini zamonaviy pedagogik va axborot texnologiyalarini o zlashtirishga, pedagogika ʻ oliy ta’lim muassasalarida kasbiy tayyorgarligi yuqori bo lgan pedagog kadrlarni ʻ tayyorlashga yo naltirishni taqozo etadi. Ta’limni isloh qilish, yangi mazmundagi ʻ va zamon talabiga javob beradigan o quv adabiyotlar, qo llanmalarni yaratish va ʻ ʻ ilg or pedagogik texnologiyalarni joriy etishni taqozo etadi. Ta’lim tizimidagi ʻ kamchiliklar, shu jumladan, matematika fanida ham o qitish uslubiyatini chetlab ʻ o tmaydi. Har bitta fanga alohida e’tibor berish, har bir mavzuni o`qitishda ʻ ma’suliyatli bo`lish o`qituvchining eng oliy maqsadi hisoblanadi. Bizga ma’lumki matematika fani juda qiziqarli va shu bilan birga murakkab fan bo`lib ham hisoblanadi. Ma’lumki bu mavzuda asosan [ a , b ] kesmada uzluksiz bo’lgan har qanday funksiyani algebraik ko’phadlar bilan tekis yaqinlashtirish mumkinligini ko’rsatish va shunga o xshash masalalar qaraladi. Ushbu fikrlar ʻ tanlangan mavzuning qanchalik darajada dolzarb ekanligini ko rsatadi. ʻ Kurs ishining tuzilishi. Kurs ishi kirish, 1 ta bob, 5 ta paragraf, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro yxati hamda mundarijadan ʻ iborat. 1. 1-tasdiq. [a,b] kesmada uzluksiz bo’lgan istalgan g funksiya uchun ∫a b |g(x)|dx ≤‖g‖∙(b− a)(1)tengsizlik o’rinli. Tasdiqni isbotlash uchun funksiya normasi ta’rifdan kelib chiqadigan quyidagi | g ( x ) | ≤ ‖ g ‖ , a ≤ x ≤ b tengsizlikni [ a , b ] kesma bo’yicha integrallash yetarli. 1-teorema . Agar [a,b] kesmada uzluksiz f n funksiyalar ketma-ketligi f funksiyaga shu kesmada tekis yaqinlashsa, u holda F n ( x ) = ∫ ax f n ( t) dt boshlang’ich funksiyalar ketma-ketligi quyidagi F(x)=∫a x f(t)dt boshlang’ich funksiyaga [ a , b ] kesmada tekis yaqinlashadi. Isbot . Quyidagi Fn(x)− F(x)=∫a x [fn(t)− f(t)]dt tenglikni yozib, 1-tasdiqni g ( t) = f n ( t) − f ( t ) funksiyaga qo’llaymiz. U holda |Fn(x)− F(x)|≤∫a x |fn(t)− f(t)|dt ≤ ≤∫a b |fn(t)− f(t)|dt ≤‖fn− f‖∙(b− a). Agar chap tomondan x ∈ [ a , b ] bo’yicha maksimum olsak, ‖ F n − F ‖ ≤ ‖ f n − f ‖ ∙ ( b − a ) tengsizlik hosil bo’ladi. Bunda o’ng tomon nolga intilgani sababli chap tomon ham nolga intiladi. Bundan chiqdi Fn ketma-ketlik [a,b] kesmada F funksiyaga tekis yaqinlashar ekan. Natija. Agar [ a , b ] kesmada uzluksiz fn funksiyalar ketma-ketligi shu kesmada f funksiyaga tekis yaqinlashsa, u holda quyidagi limn→∞∫a b fn(x)dx =∫a b f(x)dx (2) tenglik bajariladi. 1-eslatma . Ravshanki , agar c - berilgan [a,b] kesmaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lsa, yuqoridagi teorema kabi tasdiq quyidagi Ф n(x)=∫c x fn(t)dt ,ko’rinishdagi boshlang’ich funksiyalar uchun ham o’rinli. 2-eslatma . (2) tenglik [a,b] kesmada tekis yaqinlashuvchi uzluksiz funksiyalar ketma-ketligi uchun quyidagi limn→∞∫a b fn(x)dx =∫a b limn→∞ fn(x)dx (3) tenglikning bajarilishini anglatadi. Shuni aytish joizki, uzluksiz funksiyaga har bir nuqtada yaqinlashuvchi uzluksiz funksiyalar ketma-ketligi bunday xossaga ega bo’lishi shart emas. Masalan, f n ( x ) = n 2 x 1 + n 4 x 4 , 0 ≤ x ≤ 1 , ketma-ketlik [ 0,1 ] kesmaning har bir nuqtasida nolga yaqinlashishi turgan gap, ammo n → ∞ da ∫ 01 f n ( x ) dx = ∫ 01 n 2 xdx 1 + n 4 x 4 = 1 2 ∫ 0n 2 dt 1 + t 2 = 1 2 ∫ 0n 2 arctg n 2 → π 4 munosabatga ega bo’lamiz . ( bu yerda biz t= n2x2 almashtirishdan foydalandik). Eslatib o’tamiz, agar f funksiya [a,b] kesmaning har bir ichki nuqtasida differensiallanuvchi bo’lib, a nuqtada f ' ( a ) o’ng hosilaga va b nuqtada f ' ( b) chap hosilaga ega bo’lsa va bundan tashqari, shunday aniqlangan f ' ( x ) funksiya [a,b] kesmaning har bir nuqtasida uzluksiz bo’lsa, bunday funksiyani [a,b] kesmada uzluksiz differensiallanuvchi deb atagan edik. 2-teorema. Faraz qilaylik, f n ( x ) funksiyalar [a,b] kesmada uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib, { f ' n ( x ) } hosilalar ketma-ketligi shu kesmada tekis yaqinlashsin. Agar { f n ( c ) } sonli ketma-ketlik biror c ∈ [ a , b ] da yaqinlashsa, u holda: (i) fn(x) funksional ketma-ketlik biror f(x) funksiyaga tekis yaqinlashadi; (ii) f limit funksiya [a,b] kesmada uzluksiz diffeensiallanuvchi bo’ladi; (iii) quyidagi limn→∞ f' n(x)= f'(x) tenglik bajariladi. Isbot. Agar f' n(x) ketma-ketlik [a,b] kesmada biror g(x) funksiyaga tekis yaqinlashsa, g limit funksiya shu kesmada uzluksiz bo’ladi. Faraz qilaylik, fn(c) sonli ketma-ketlik a soniga yaqinlashsin. U holda , quyidagi fn(x)= fn(c)+∫0 ∞ f' n(t)dt Nyuton-Leybnits formulasida n→ ∞ deb limitga o’tsak, 1- teoremaga ko’ra, o’ng tomondagi ketma-ketlik tekis yaqinlashadi va biz limn→∞ fn(x)= A+∫c x g(t)dt tenglikka ega bo’lamiz. Demak, fn ketma-ketlik f ( x ) = A + ∫ cx g ( t) dt funksiyaga tekis yaqinlashar ekan. 2. Yuqorida keltirilgan misollarni ko’rganimizdek, uzluksiz funksiyaga har bir nuqtada yaqinlashuvchi uzluksiz funksiyalar ketma-ketligining tekis yaqinlashishi shart emas. Shu sababli bunday ketma-ketliklar bir qator noqullayliklarni tug’diradi. Masalan, ularni, umuman aytganda, hadma-had integrallash mumkin mumkin emas. Ammo , agar uzluksiz funksiyaga har bir nuqtada yaqinlashuvchi uzluksiz funksiyalar ketma-ketligi monoton bo’lsa, quyida isbotlanadigan Dini teoremasi ta’kidlashiga ko’ra, bunday ketma- ketlikning tekis yaqinlashishi shart ekan. 1-lemma. Faraz qilaylik, [a,b] kesmada uzluksiz gn funksiyalar ketma-ketligi n bo’yicha monoton kamayib, shu kesmaning har bir nuqtasida nolga yaqinlashsin: gn(x)≥gn+1(x)→ 0,n→ ∞ ,a≤x≤b.(4) U holda istalgan x n ∈ [ a , b ] ketma-ketlik uchun lim n → ∞ g n ( x n ¿ ) = 0 ( 5 ) ¿ tenglik o’rinli. Isbot. (5) tenglik bajarilmasin deb faraz qilaylik. U holda , (4) shartga ko’ra g n ( x ) funksiyalar manfiy bo’lmaganligi sababli, shunday musbat ε 0 > 0 son o’suvchi nk nomerlar ketma-ketligi topiladiki, g n k ( x n k ) ≥ ε 0 tengsizlik bajariladi. Ravshanki, {xnk} ketma-ketlik chegaralangan va demak, Bolsano- Veyershtrass teoremasiga asosan, uning biror qism ketma-ketligi x m j yaqinlashuvchi bo’lib, bu ketma-ketlikning x0 limit nuqtasi [a,b] kesmaga tegishli bo’ladi. Bundan tashqari, (4) kamayuvchilik shartiga ko’ra , istalgan n nomer uchun xj≥n bo’lganda g n ( x m j ) ≥ g m j ( x m j ) ≥ ε 0 tengsizlik o’rinli. Endi mj→ ∞ deb limitga o’tib, x m j → x 0 ni va g n funksiyaning uzluksizligini hisobga olsak, g n ( x 0 ) ≥ ε 0 > 0 tengsizlikka ega bo’lamiz. Hosil bo’lgan tengsizlik (4) shartga ziddir, chunki bu shartga ko’ra, n→ ∞ da gn(x0)→ 0 bo’lishi lozim. 3-teorema ( U.Dini). Faraz qilaylik, [a,b] kesmada f n uzluksiz funksiyalar ketma-ketligi n bo’yicha monoton o’suvchi, ya’ni fn(x)≤ fn+1(x),a≤x≤b,n≥1, bo’lib, shu kesmaning har bir nuqtasida yaqinlashsin. Agar f limit funksiya [ a , b ] kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda yaqinlashish shu kesmada uzluksiz bo’ladi. Isbot. Quyidagi ‖ f n − f ‖ → 0 , n → ∞ , ( 7 ) munosabatni isbotlash yetarli. Demak, agar g n ( x ) = f ( x ) − f n ( x ) desak, ‖ g n ‖ → 0 munosabatni ko’rsatishimiz zarur. Shartga ko’ra, gn funksiyalar uzluksiz bo’lib, ular manfiy emas. Shunday ekan, Veyershtrassning 2-teoremasiga asosan, har bir n nomer uchun shunday xn∈[a,b] nuqta topiladiki, g n( x ) = ‖ g n ‖ tenglik bajariladi. Boshqa tomondan, g n funksiyalar 1-lemmaning barcha shartlarini qanoatlantiradi va shu sababli g n ( x n ) → 0. Bu esa (7) shartning o’zi. Ta’rif. Agar shunday M >0 o’zgarmas topilib, { f n ( x ) } funksional ketma-ketlik uchun | f n ( x ) | ≤ M , a ≤ x ≤ b , n ≥ 1 , ( 8 ) tengsizlik o’rinli bo’lsa, bunday ketma-ketlik [ a , b ] kesmada tekis chegaralangan deyiladi. Bol’sano-Veyershtrassning taniqli teoremasiga ko’ra, har qanday chegaralangan sonli ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratish mumkin. Funksional ketma-ketliklar uchun mos tasdiq, umuman aytganda, o’rinli emas, chunki biror kesmada chegaralangan shunday funksional ketma-ketlik ko’rsatish mumkinki, undan shu kesmaning har bir nuqtasida yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib bo’lmaydi. Lekin shunga qaramasdan, biz navbatdagi tasdiqqa , Bol’sano-Veyershtrass teoremasini qo’llab, har qanday chegaralangan funksional ketma-ketlikdan istalgan sanoqli to’plamda yaqinlashuvchi qism ketma-kelik ajratish mumkinligini ko’rsatamiz. 2-tasdiq . Faraz qilaylik, [a,b] kesmaning ixtiyoriy sanoqli E qism to’plami berilga bo’lsin. U holda [a,b] kesmada tekis chegaralangan istalgan funksional ketma-ketlikdan E to’plamning har bir nuqtasida yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratish mumkin. Isbot . Shartga ko’ra, { f n ( x ) } ketma-ketlik [a,b] kesmada tekis chegaralangan bo’lib, E = { x 1 , x 2 , x 3 , … } berilgan sanoqli to’plam bo’lsin. Birinchi qadamda {fn(x1)} sonli ketma-ketlikni qaraymiz. Bu ketma- ketlik chegaralangan va Bol’sano-Veyershtrass teoremasiga binoan, undan yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratish mumkin. Ushbu qism ketma- ketlikni {f1n(x1)} deb belgilaymiz. Ikkinchi qadamda {f1n(x2)} sonli ketma-ketlikni qaraymiz. Bu ketma- ketlik ham chegaralangan va Bol’sano-Veyershtrass teoremasiga binoan undan yaqinlashuvchi { f 2 n ( x 2 ) } sonli ketma-ketlik ajratish mumkin. Ravshanki, {f2n(x)} funsional ketma-ketlik har ikki x= x1 va x= x2 nuqtalarda yaqinlashadi. So’ngra uchinchi qadamda { f 2 n ( x 3 ) } sonli ketma-ketlikni qaraymiz. Bu ketma-ket chegaralanganligi sababli undan yaqinlashuvchi { f 3 n ( x 3 ) } sonli ketma- ketlik ajratish mumkin. Shubhasis, {f3n(x)} funksional ketma-ketlik x= x1 va x= x2 va x = x 3 nuqtada yaqinlashadi. Bu jarayonni davom ettirib, k-qadamda k ta x1,x2,… ,xk nuqtalarda yaqinlashuvchi fkn(x) ketma-ketlikni olamiz. Endi f 11 ( x ) , f 22 ( x ) , f 33 ( x ) , … ko’rinishdagi { f nn ( x ) } diagonal ketma-ketlikni qaraymiz. Ravshanki, istalgan natural k uchun n≥k bo’lganda { f nn ( x ) } diagonal ketma-ketlikning barcha elementlari {fkn(x)} ketma-ketlikning elementlari bo’ladi va shuning uchun diagonal ketma-ketlik x1,x2,… ,xk nuqtalarda yaqinlashadi. Bundan, k ning ixtiyoriylgiga ko’ra, diagonal ketma-ketlikning E to’plamning barcha nuqtalarida yaqinlashishi kelib chiqadi. Demak, { f nn ( x ) } qidirilayotgan ketma-ketlik ekan. Shuni aytish kerakki, berilgan kesmada tekis yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratish masalasi nisbatan ancha murakkabdir. Biror kesmaning har bir nuqtasida yaqinlashuvchi bo’lib, ammo uning hech qanday qism qism ketma-ketligi shu kesmada tekis yaqinlashmaydigan funksional ketma-ketlikka misol keltirish qiyin emas. Misol. Aytaylik, an>0 sonli ketma-ketlik cheksiz kichik bo’lsin, ya’ni n → ∞ da a n → 0 bo’lsin. Manfiy bo’lmagan va 1 dan kichik quyidagi f n ( x ) = a n a n + x 2 , − 1 ≤ x ≤ 1 , ( 9 ) funksiyalar ketma-ketligini qaraymiz. Ravshanki, bu ketma-ketlik [−1,1 ] kesmaning har bir nuqtasida f ( x ) = { 0 , agar x ≠ 0 b o ' lsa , 1 , agar x = 0 b o ' lsa , ( 10 ) funksiyaga yaqinlashadi. Ushbu funksiya uzilishga ega bo’lganligi sababli, yaqinlashish [−1,1 ] kesmada tekis bo’la olmaydi. O’z-o’zidan ko’rinib turibdiki, (9) ketma- ketlikning istalgan qism-ketma-ketligi ham xuddi shu ko’rinishga ega. Tekis yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikning mavjudlik masalasini o’rganish maqsadida tekis darajali uzluksiz deb ataluvchi muhim tushunchani kiritamiz. Ta’rif.[a,b] kesmada uzluksiz {fn(x)} funksiyalar ketma-ketligi berilgan bo’lsin. Agar ixtiyoriy ε > 0 olganda ham shunday δ > 0 topilsaki, shu kesmadan olingan va |x− y|<δ shartni qanoatlantiruvchi istalgan ikki x va y nuqtalar uchun | f n ( x ) − f n ( y ) | < ε , n = 1,2,3 , … . ( 11 ) tengsizlik bajarilsa, {fn(x)} funksional ketma-ketlik tekis darajali uzluksiz deyiladi. Shunday qilib, tekis darajali uzluksizlik Koshi bo’yicha uzluksizlik ta’rifidagi δ > 0 sonni barcha f n ( x ) funksiyalar uchun bir xilda olish mumkinligini anglatadi. 4-teorema (Askoli, Arsela)(G.Ascoli, C. Arzela). Berilgan [ a , b ] kesmada tekis chegaralangan va tekis darajali uzluksiz bo’lgan har qanday funksiyalar ketma-ketligidan shu kesmada tekis yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratish mumkin. Isbot. Faraz qilaylik, {fn(x)} funksional ketma-ketlik [a,b] kesmada tekis chegaralangan va tekis darajali uzluksiz bo’lsin. Ma’lumki, [ a , b ] kesmada yotuvchi barcha ratsional nuqtalar to’plami sanoqli. Shunday ekan, 2- tasdiqqa asosan, tekis chegaralangan f n ( x ) ketma-ketlikdan [a,b] kesmadagi barcha ratsional nuqtalarda yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratish mumkin. Belgilashlarni soddalashtirish maqsadida ajratilgan qism ketma-ketlikni yana { f n ( x ) } simvol orqali belgilab, uning [a,b] kesmada tekis yaqinlashishini isbotlaymiz. Tekis darajali uzluksizlik ta’rifiga ko’ra, istalgan ε > 0 olganda ham biz shunday δ=δ(ε)>0 ni ko’rsatishimiz mumkinki, qaralayotgan kesmadan olingan va |x− y|<δ shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy x va y nuqtalar uchun | f n ( x ) − f n ( y ) | < ε 3 , n = 1,2,3 , … ( 12 ) tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Ko’rsatilgan δ>0 uchun biror natural m > ( b − a ) ∕ δ sonini tayinlaymiz va [a,b] kesmani m ta teng bo’lakka bo’lib, har bir qismiy kesma (uzunligi δ dan kichik bo’ladi) ichidan bir ratsional son olamiz. Natijada m ta ξ1,ξ2,… ,ξm ratsional sonlarga ega bo’lamiz. Faraz qilaylik, x berilgan [a,b] kesmaning ixtiyoriy nuqtasi bo’lib, ξk bu nuqtaga yuqorida tanlangan m ta ratsional nuqtalardan eng yaqini bo’lsin. U holda, ravshanki, |x−ξk|<δ bo’lib, (12) ga ko’ra, istalgan natural n va p lar uchun |fn+p(x)− fn(x)|≤ ≤ | f n + p ( x ) − f n + p ( ξ k ) | +| f n + p ( ξ k ) − f n ( ξ k ) | + |fn(ξk)− fn(ξk)|<¿ ¿|fn+p(ξk)− fn(ξk)|+2 3∙ε(13 ) tengsizlik o’rinli bo’ladi. Belgilashimizga ko’ra , { f n ( x ) } funksional ketma-ketlik m ta ξ 1 , ξ 2 , … , ξ m nuqtalarda yaqinlashadi. Bundan chiqdi, N = N ( ε) nomerni shunday tanlashimiz mumkinki, n≥N bo’lganda istalgan natural p uchun bir vaqtning o’zida m ta | f n + p ( x ) − f n ( ξ k ) | < ε 3 , k = 1,2 , … , m , ( 14 ) tengsizlik bajariladi. Endi (13) tengsizlikning o’ng tarafida (14) bahodan foydalansak, n≥N bo’lganda istalgan natural p uchun | f n + p ( x ) − f n ( x )| < ε , a ≤ x ≤ b , bahoni olamiz Koshi kriteriysiga binoan, hosil bo’lgan baho {fn(x)} ketma-ketlikning [ a , b ] kesmada tekis yaqinlashini anglatadi. 3. Kvant mexanikasi masalalarini yechish maqsadida, XX asarning yigirmanchi yillarida ingliz fizigi Poll Dirak <<delta funksiya>> deb ataluvchi va δ(x) simvoli orqali belgilanuvchi funksiyani kiritdi. Dirak bu funksiyani x=0 nuqtada +∞ qiymatini, bu nuqtadan tashqarida esa, nol qiymatini qabul qilsin va, quyidagi ∫−1 1 δ(x)dx =1 tenglikni qanoatlantirsin deb aniqladi. Dirakning tasdiqlashicha, bunday tanlash natijasida istalgan uzluksiz f funksiya va ixtiyoriy a∈R nuqta uchun ∫−1 1 δ(x)f(x+a)dx = f(a)(15 ) tenglikka ega bo’lamiz. Ravshanki, Dirakning delta-funksiyasi oddiy ma’noda funksiya bo’la olmaydi. Shu sababli, kvant mexanikasi masalalarini yechishdagi matematik izlanishlarda bu funksiyadan foydalanmaslikka harakat qilinar edi. Ammo, qizig’i shundaki,, delta-funksiya yordamida olingan natijalar to’g’ri bo’lib chiqa boshladi. Natijada matematiklarning bu funksiyaga bo’lgan qiziqishi yanada ortib bordi. Delta - funksiyaga matematik ravishda qat’iy ta’rif berish usullaridan biri <<delta-simon>> funksiyalar ketma-ketligini kiritishdan iboratdir. Ta’rif. Faraz qilaylik, [ − 1,1 ] kesmada aniqlangan δn(x) ketma-ketlik quidagi uchta shartni qanoatlantirsin: i) ketma-ketlikning har bir funksiyasi manfiy bo’lmasin: δn(x)≥0,−1≤x≤1; ii) ketma-ketlikning har bir funksiyasi [−1,1 ] kesmada integrallanuvchi bo’lib, ∫ − 11 δ n ( x ) dx = 1 tenglik o’rinli bo’lsin; iii) 0<a<1 shartni qanoatlantiruvchi istalgan a uchun δ n ( x ) ketma- ketlik { x : a ≤ | x| ≤ 1 } to’plamda nolga tekis yaqinlashsin. U holda bunday ketma-ketlik delta-simon ketma-ketlik deyiladi. Navbatdagi tasdiqda biz ixtiyoriy delta-simon ketma-ketlik uchun biror ma’noda limitga o’tganda ( 15 ) tenglikni bajarilishini ko’rsatamiz. Odatda C ( R ) simvoli orqali sonlar o’qida uzluksiz bo’lgan barcha funksiyalar to’plami belgilanishini qayd etamiz. 5 - teorema . Agar {δn(x)} - delta-simon ketma-ketlik bo’lsa, istalgan f ∈ C ( R ) funksiya uchun fn(x)=∫−1 1 δn(t)f(t+x)dt (16 ) ketma-ketlik sonlar o’qining har qanday kesmasida f funksiyaga tekis yaqinlashadi. Isbot. Ravshanki, ii) xossaga ko’ra, fn(x)− f(x)=∫−1 1 δn(t)[f(t+x)− f(x)]dt . Shu sababli, istalgan a > 0 uchun fn(x)− f(x)=∫−1 −a δn(t)[f(t+x)− f(x)]dt +∫−a a δn(t)[f(t+x)− f(x)]dt +∫a 1 δn(t)[f(t+x)− f(x)]dt Veyershtrassning ikkinchi teoremasiga asosan, C( R ) ga tegishli har qanday funksiya ixtiyoriy kesmada chegaralangandir. Shunday ekan, iii) xossa va (5)- teoremaga ko’ra, oxirgi tenglikdagi birinchi va uchinchi integrallar n → ∞ da ixtiyoriy kesmada x bo’yicha tekis ravishda nolga intiladi. Demak , har qanday [a,b] kesma uchun x ∈ [ a , b ] bo’yicha tekis ravishda quyidagi fn(x)− f(x)=∫−a a δn(t)[f(t+x)− f(x)]dt +ο(1)(17 ) baho o’rinli bo’ladi. Ma’lumki, f funksiya uzluksiz bo’lgani sababli, u istalgan kesmada tekis uzluksiz bo’ladi. Bundan chiqdi, istalgan ε>0 uchun shunday a>0 topiladiki, | f ( x + t ) − f ( x ) | < ε , a ≤ x ≤ b , | t| < a , tengsizlik bajariladi. Shunday ekan , (17) va ii) shartga asosan, ¿fn(x)− f(x)∨ ≤∫−a a δn(t)∨ f(t+x)− f(x)∨ dt +ο(1)≤ ≤ ε ∫ − aa ∂ n ( t) dt + ο ( 1) ≤ ε + ο ( 1) . Ya’ni ‖ f n − f ‖ C [ a , b ] ≤ ε + ο ( 1 ) va,shuning uchun, lim n → ∞ ‖ f n − f ‖ C [ a , b ] ≤ ε . Bundan, ε > 0 ning ixtiyoriyligiga ko’ra, lim n → ∞ ‖ f n − f ‖ C [ a , b ] = 0. Demak, (16) ketma-ketlik f funksiyaga [a,b] kesmada tekis yaqinlashar ekan. Eslatma . Agar delta-funksiya deb delta-simon ketma-ketlikni olsak, u holda (15) tenglikni quiydagicha tushunishimiz mumkin: lim n → ∞ ∫ − 11 δ n f ( x + a ) dx = f ( a ) . Shuni qayd etish joizki, hozirgi kunda (15) tenglikni boshqacha ma’noda asoslash kengroq tarqalgan. Bu asoslashga ko’ra, (15) tenglikning chap tomonidagi integral uni o’ng tomonidagi ifodaning simvollik ravishdagi belgilanishi deb qabul qilinadi. 4 . 1-misol . Quyidagi{ n / 2 , agar | x| < 1 / n b o ' lsa , 0 , agar | x| ≥ 1 / n b o ' lsa , Funksiyalar ketma-ketligi delta-simondir. Haqiqatan, bu ketma-ketlikning i)- ii) shartlarini qanoatlantirishi o’z- o’zidan ko’rinib turibdi. Demak, 5-teoremaga ko’ra, istalgan uzluksiz f funksiya uchun sonlar o’qining har qanday kesmasida tekis ravishda quyidagi lim n → ∞ n 2 ∫ − 1 n1 n f ( t + x ) dt = f ( x ) ( 18 ) tenglik o’rinli bo’ladi. 2-misol. Agar An o’zgarmasni A n = ∫ − 11 ( 1 − x 2 ) n dx ( 19 ) shartdan tanlab olsak, K n ( x ) = A n ( 1 − x 2 ) n , − 1 ≤ x ≤ 1 , ( 20 ) ketma-ketlik delta-simon bo’ladi. Haqiqatan, i) va ii) shartlarning bajarilishi shubhasiz. Bundan chiqdi, iii) shartni tekshirish kifoya. Buning uchun ∫ − 11 ( 1 − x 2 ) n dx = 2 ∫ 01 ( 1 − x 2 ) n dx ≥ 2 ∫ 01 ( 1 − x 2 ) n dx = 2 1 + n ≥ 1 n ekanini qayd etamiz. Su sababli, 0<a<1 bo’lganda a≤|x|≤1 to’plamda x bo’yicha tekis ravishda quyidagi K n( x ) ≤ n ( 1 − x 2 ) n ≤ n ( 1 − a 2 ) n → 0 , n → ∞ , baho o’rinlidir. Bundan iii) shartning bajarilishi bevosita kelib chiqadi. 3-misol. Agar B n o’zgarmasni 1 Bn =∫−1 1 (cos πx 2 ) 2n dx (21 ) shartdan tanlab olsak, Tn(x)= Bn(cos πx 2 ) 2n (22 ) ketma-ketlik delta-simon bo’ladi. Yana faqat iii) shartning bajarilishinin tekshirish yetarli, chunki i) va ii) shartlarning o’rinli ekanligi o’z-o’zidan ko’rinib turibdi. Integral ostidagi funksiyaning juftligini e’tiborga olib, t=cos πx 2 almashtirish bajarsak ∫−1 1 (cos πx 2 ) 2n dx = 2∫0 1 (cos πx 2 ) 2n dx = 4 π∫0 1 t2ndt √1−t2≥ ≥ 4 π ∫ 01 t 2 n dt = 4 π ( 2 n + 1 ) munosabatga ega bo’lamiz. Shuning uchun B n = O ( n ) . Endi (0,1 ) intervaldan olingan ixtiyoriy a uchun q=cos πa 2 deb belgilaymiz. U holda a≤|x|≤1 lar uchun cos πx 2 ≤ q bo’ladi va 0<q<1 bo’lgani sababli Kn(x)≤Bn∙q2n=O (n)q2n→ 0,n→ ∞. Bundan chiqdi, iii) shart ham bajarilar ekan. Demak, (22) delta-simon ketma-ketlik ekani isbotlandi. Shunday ekan, 5-teoremaga asosan, istalgan uzliksiz f funksiya uchun to’g’ri chiziqning istalgan kesmasida tekis ravishda quyidagi limn→∞Bn∫−1 1 ¿¿ tenglik bajariladi. Yuqoridagi misollarda f sifatida butun sonlar o’qida uzluksiz bo’lgan ixtiyoriy funksiyalar qaraldi. Agar bu funksiyalar qo’shimcha xossalarga ega deb faraz qilsak, ularga tekis yaqinlashuvchi funksional ketma-ketliklar uchun ancha qulay integral ko’rinishlar olishimiz mumkin. 4-misol . Faraz qilaylik, f butun sonlar o’qida uzluksiz funksiya bo’lib, An(19 ) shartdan tanlab olingan o’zgarmas bo’lsin. Quyidagi P n ( x ) = A n ∫ − 11 ( 1 − t 2 ) n f ( x + t ) dt ( 24 ) ketma-ketlikni qaraymiz. Agar (20) delta-simon ketma-ketlikka 5-teoremani qo’llasak, {Pn(x)} ketma-ketlikning f ( x ) funksiyaga sonlar o’qining har qanday kesmasida tekis yaqinlashishiga ega bo’lamiz. Endi f funksiya [0,1 ] kesmadan tashqarida nolga teng deylik. U holda y= x+t almashtirish bajarsak, P n ( x ) = A n ∫ − 1 + x1 + x [ 1 − ( y − x ) 2] n f ( y ) dy tenglik hosil bo’ladi. Ravshanki, agar 0≤x≤1 bo’lsa, [ 0,1 ] kesma uzunligi 2 ga teng bo’lgan [−1+x,1+x] kesma ichida yotadi va shuning uchun, f funksiyaga hozirgina qo’ygan talabimizga ko’ra, integrallash aslida faqat [0,1 ] kesma bo’yicha olib boriladi. Shu sababli, 0≤x≤1 uchun quyidagi P n ( x ) = A n ∫ 01 [ 1 − ( y − x ) 2] n f ( y ) dy , 0 ≤ x ≤ 1 , ( 25 ) integral ko’rinishi o’rinli. Bu formuladan P n ( x ) funksiyaning 0≤x≤1 kesmada algebraik ko’phad bilan ustma – ust tushishi bevosita ko’rinib turibturibdi. Davriy funksiyalar uchun integral ko’rinishi alohida ahamiyatga ega. 5-misol . Agar B n o’zgarmas (21) shartdan tanlab olingan bo’lsa quyidagi T n ( x ) = B n π ∫ − ππ ( 1 + cos y 2 ) n f ( y + x ) dy ( 26 ) ketma-ketlikni qaraymiz. Ravshanki , bu ketma-ketlik y = πt almshtirish yordamida (23) integralning chap tomonidagi ifodaga keladi. Agar (26) integralda t = y + x almashtirishini bajarsak, Tn(x)= Bn 2n 1 π ∫−π+x π+x [1+cos (t− x)]nf(t)dt (27 )tenglikka ega bo’lamiz. Endi f funksiya 2π davrga ega bo’lgan davriy funksiya bo’lsin, deylik. U holda, nvbatdagi integralda integrllash sohasini 2 π ga surib, quyidagi ifodani olamiz: ∫ ππ + x [ 1 + cos ( t − x )] n f ( t) dt = ∫ − π− πx [ 1 + cos ( t − x )] n f ( t) dt ( 28 ) Oxirgi ikki (27) va (28) tengliklarni solishtirib, (21) ketma-ketlik uchun muhim bo’lgan quyidagi T n ( x ) = B n 2 n 1 π ∫ − ππ [ 1 + cos ( t − x )] n f ( t) dt ( 29 ) Integral ko’rinishini hosil qilamiz. Shunday qilib, 2π davrga ega bo’lgan ixtiyoriy f uzluksiz davriy funksiya uchun (29) ketma-ketlik sonlar o’qining har qanday kesmasida f funksiyaga tekis yaqinlashar ekan. 5. Ushbu paragrafning asosiy maqsadi [a,b] kesmada uzluksiz bo’lgan har qanday funksiyani algebraik ko’phadlar bilan tekis yaqinlashtirish mumkinligini ko’rsatishdan iboratdir. Agar x = ( 1 − t ) a + tb deb belgilab, quyidagi g( t) = f [( 1 = t ) a + tb ] = f ( x ) funksiyani qarasak, biz faqat [0,1 ] kesmada berilgan uzliksiz funksiyalarni o’rganish yetarli ekaniga ishonch hosil qilamiz. Haqiqatan, f ( x ) = g ( x − a b − a ) bo’lgani sababli, agar Q(t) ko’phad [0,1 ] kesmada uzliksiz bo’lgan g ( t ) funksiyaga t bo’yicha tekis yaqin bo’lsa, u holda P ( x ) = Q ( t) = Q ( x − a b − a ) ko’phad [ a , b ] kesmada uzluksiz bo’lgan f ( x ) funksiyaga x bo’yicha tekis yaqin bo’ladi. 6-teorema (Veyershtrass). [ 0,1 ] kesmada uzluksiz har qanday f(x) funksiya uchun unga [0,1 ] kesmada tekis yaqinlashuvchi Pn(x) algebraik ko’phadlar ketma-ketligi mavjud. Isbot . 1) Avval f ( 0) = f ( 1) = 0 bo’lsin deylik. Uholda f funksiyani [0,1 ] kesmadan tashqarida nol deb, butun sonlar o’qiga davom ettirish mumkin. Bunday aniqlangan funksiyaning butun sonlar o’qida uzluksiz bo’lishi turgan gap. Endi (25) tenglik bilan aniqlangan Pn(x)= An∫0 1 [1−(y− x)2]nf(y)dy ,0≤x≤1, ko’phadlarni qaraymiz. Ravshanki, bu ko’phadlar ketma-ketligi, 5-teoremaga binoan, f funksiya bo’lsa, ~f(x)= f(x)−[(1− x)f(0)+xf (1)] deb belgilab, biz masalani birinchi holga keltiramiz, chunki ~ f ( x ) = ~ f ( 1) = 0 hamda f va ~f funksiyalar o’zaro birinchi tartibli ko’phadga farq qiladi. Shubhasiz , agar [0,1 ] kesmada ~f(x) funksiyaga tekis yaqinlashuvchi ko’phadlar ketma-ketligi mavjud bo’lsa, u holda berilgan f funksiya uchun ham tekis yaqinlashuvchi ko’phadlar ketma-ketligi mavjud bo’ladi. Odatda (algebraik) ko’phadlardan tashqari trigonometrik ko’phadlar deb ataluvchi quyidagi T ( x ) = c 0 + ∑ k = 1n ¿ ¿ ko’rinishga ega bo’lgan funksiyalar muhim ahamiyatga ega. Bu yerdagi a k , b k va c0 haqiqiy sonlar trigonometrik ko’phadlarning koeffitsiyentlari deb ataladi. Misol sifatida T1(x)=1+2cos x+3sin 5x,T2(x)= √3 2 cos 99 x+π 2sin 100 x ko’phadlarni olishimiz mumkin. Trigonometrik ko’phadlarning chiziqli kombinatsiyasi, shubhasis, trigonometrik ko’phad bo’ladi. Trigonometrik ko’phadlarning ko’paytmasi ham trigonometrik ko’phad bo’lishini tekshirish qiyin emas. Buning uchun, agar n va m sonlar natural bo’lsa, quyidagi cos nx ∙ cos mx , cos nx ∙ sin mx , sin nx ∙ sin mx ko’rinishga ega bo’lgan ko’paytma trigonometrik ko’phad bo’lishini qayd etish yetarli. Ravshanki, har bir trigonometrik ko’phad 2π davrga ega bo’lgan uzluksiz davriy funksiya bo’ladi. Shunday ekan, trigonometrik ko’phadlarning ketma-ketligi faqat 2π davrga ega bo’lgan uzluksiz davriy funksiyaga tekis yaqinlashish mumkin. Veyrshtrass teoremasining navbatdagi ko’rinishi haqiqatan har bir 2π davrga ega bo’lgan uzluksiz davriy funksiyani trigonometrik ko’phadlar bilan tekis yaqinlashtirish mumkinligini ko’rsatadi. 7-teorema (Veyershtrass ¿ . ¿ ] kesmada uzluksiz va f ( − π ) = f ( π ) shartni qanoatlantiruvchi har qanday f funksiya uchun [−π,π] kesmada f(x) funksiyaga tekis yaqinlashuvchi Tn(x) trigonometrik ko’phadlar ketma-ketligi mavjud. Isbot . Agar m = ± 1 , ± 2 , … uchun berilgan f funksiyani istalgan [2mπ −π,2mπ +π] kesmaga f ( x ) = f ( x − 2 mπ ) tenglik orqali davom ettirsak, f(−π)= f(π) shartga ko’ra, butun sonlar o’qida uzluksiz va 2π davrga ega bo’lgan funksiyani olamiz. Shunday qilib, (15) tenglik bilan aniqlangan Tn(x)= Bn 2n∙1 π∫−π π [1+cos (t− x)]nf(t)dt ketma-ketlik f funksiyaga [ − π , π ] kesmada tekis yaqinlashadi. Endi har bir t uchun x o’zgaruvchining quyidagi ¿¿ funksiyasi, yuqorida qayd etilganga ko’ra, (koeffitsientlari t ga bog’liq bo’lgan) trigonometrik ko’phad bo’lib, natijada Tn(x) funksiyalar ham trigonometrik ko’phad ekanini qayd etish yetarli. Xulosa Ushbu kurs ishini yozish davomida “ Ko’phadlar bilan tekis yaqinlashtirish” mavzusida ma’lumotlarga ega bo’ldim va ularga doir misollar yechish usullarini o’rganib chiqdim. Bu mavzuni o’rganib chiqish uchun biz delta-simon funksiyasini o’rganib chiqish ham mavzuni yoritib berish uchun yordam beradi. Bu haqida batafsil ma’lumotni, masalan, Jon fon Neymanning 1932- yilda chop etilgan <<Kvant mexanikasining matematik asoslari>> nomli monografiyasidan toppish mumkin. Ammo qizig’i shndaki, delta-funksiya yordamida olingan natijalar to’g’ri bo’lib chiqa boshladi ta’ni bu fizik eksperimentlarda hamda keying matematik ma’nodagi <<qat’iy>> isbotlarda tasdiqlandi. Natijada matematiklarning funksiyaga bo’lgan qizig’ishi yanada ortib bordi. Delta funksiyani matematik ravishda qay’iy ta’rif berish usullaridan biri <<delta-simon>> funksiyalar ketma-ketligini kiritishdan iboratdir. Aynan shu ketma-ketliklar orqali biror oraliqda ko’phadlarning tekis yaqinlashishini o’rganib chiqdim. Misol yechish davomida bunday ketma-ketliklarni delta-simon ketma- ketliklar eknligini shartlar asosida isbotlashlarni ko’rib chiqdim. Kurs ishining yana bir paragrafida Veyershtrass teoremsi ya’ni [0,1 ] kesmada uzluksiz har qanday f ( x ) funksiya uchun unga [ 0,1 ] kesmada tekis yaqinlashuvchi P n ( x ) ko’phadlar ketma-ketligi mavjudligi isbotlandi va bu teorema orqali ko’phadlar ketma-ketligini hosil qilishi mumkin. Xulosa o’rnida shuni aytish mumkinki bu mavzuda algebraik ko’phadlardan tashqari trigonometrik ko’phadlarni ham o’rganib chiqish imkoniyatiga ega bo’ldim. Foydalanilgan adabiyotlar 1.Sh.M.Mirziyoyev. “ Erkin va faravon, demokratik O’zbekiston davlatini birgalikda barpo etamiz” . “O’zbekiston”. 2.Sh.M.Mirziyoyev. “ Tanqidiy tahlil, qat’iy tartib-intizom va shaxsiy javobgarlik- har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo’lishi kerak”. “O’zbekiston”. 3. .Sh.M.Mirziyoyev. “ Buyuk kelajagimizni mard va oliyjanob xalqimiz bilan birga quramiz”. “o’zbekiston”. 4.Sh.Alimov, R.Ashurov. Matematik analiz . Toshkent ‘’Mumtoz so’z’’ 2018- yil. 1-qism 5.T.Azlarov,X.Mansurov. Matematik analiz. Toshkent ‘’O’zbekiston’’ 1973. 1975-yil.2-qism. 6.G.M.Fixtengolv. Matematik analiz asoslari. ‘’O’qituvchi’’ nashriyoti, Toshkent-1970,1972-yil. 1-2-qismlar. 7.A.Sadullayev va boshqalar. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami. Toshkent ’’O’zbekiston’’. 1993-1995-yil. 1-2-qism. 8.A.Gaziyev, I.Isroilov.Funksiyalar va gradniklar. ‘’Voris ‘’ nashriyoti, Toshkent-2006-yil 9. A.Gaziyev, I.Isroilov. . Matematik analizdan misol va masalalar. 2-qism. Toshkent-2012-yil. 10. ziyonet.uz. Mundarija 1. Kirish………………………………………………………………………..2 2. Asosiy qism…………………………………………………………………3 3. Funksional ketma-ketliklarni integrallash………………………………….3 4. Dini teoremasi. Askoli-Arsela teoremasi…………………………………6 5. Delta-simon ketma-ketliklar……………………………………………….12 6. Ko’phadlar bilan tekis yaqinlashishga doir misollar yechish…………..15 7. Veyershtrass teoremasi…………………………………………………….18 8. Xulosa………………………………………………………………………18 9. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati………………………………………..23

Ko’phadlar  bilan tekis  yaqinlashish

I.Kirish.

II.Asosiy qism. 

1.Funksional ketma-ketliklarni  integrallash.

2.Dini teoremasi.    Askoli-Arsela  teoremasi.

3. Delta-simon   ketma-ketliklar.

4.Ko’phadlar bilan  tekis  yaqinlashishga doir  misollar yechish.

5. Veyershtrass teoremasi.

III.Xulosa.

Купить