Войти Регистрация

Docx

  • Рефераты
  • Дипломные работы
  • Прочее
    • Презентации
    • Рефераты
    • Курсовые работы
    • Дипломные работы
    • Диссертациии
    • Образовательные программы
    • Инфографика
    • Книги
    • Тесты

Информация о документе

Цена 15000UZS
Размер 40.7KB
Покупки 0
Дата загрузки 17 Март 2026
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Bohodir Jalolov

Kompleks sonlarning geometrik va trigonometrik shakli

Купить
MUNDARIJA
KIRISH .................................................................................................................................................... 2
I BOB. KOMPLEKS SONLARNING ASOSIY TUSHUNCHALARI VA GEOMETRIK TALQINI ............................ 8
1.1. Kompleks sonlar tushunchasi va ularning algebraik shakli .............................................................. 8
1.2. Kompleks sonlarni kompleks tekislikda tasvirlash ........................................................................... 9
1.3. Kompleks sonlarning moduli va argumenti ................................................................................... 12
II BOB. KOMPLEKS SONLARNING TRIGONOMETRIK SHAKLI VA QO‘LLANILISHI ................................... 16
2.1. Kompleks sonlarning trigonometrik shaklda ifodalanishi .............................................................. 16
2.2. De Moivre formulasi va uning isbotlari ......................................................................................... 19
2.3. Kompleks sonlarning trigonometrik shaklining amaliy qo‘llanilishi ............................................... 22
XULOSA ................................................................................................................................................ 28
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI .......................................................................................... 30
1 KIRISH
Zamonaviy   matematikaning   rivojlanish   bosqichlarida   kompleks   sonlar
tushunchasi   alohida   o‘rin   egallab,   u   nafaqat   sof   matematikada,   balki   fizika,
muhandislik, informatika, texnika, signal va tasvirlarni qayta ishlash kabi fanlar
kesishmasida   ham   fundamental   nazariy   asos   sifatida   shakllanib   bordi.
Kompleks   sonlar   g‘oyasining   paydo   bo‘lishi   matematik   tafakkur   tarixida
chinakam   inqilob   bo‘lib,   real   sonlar   bilan   cheklanib   qolgan   algebraik
tenglamalar   doirasini   sezilarli   kengaytirdi,   yangi   tushunchalar,   yangi   metodlar
va   yangi   hisoblash   paradigmalarining   shakllanishiga   zamin   yaratdi.   Ayniqsa,
kompleks   sonlarning   geometrik   va   trigonometrik   shakllarda   ifodalanishi
ularning   tabiatini   chuqur   tushunishda,   murakkab   funksiyalar   nazariyasini
shakllantirishda   va   ko‘plab   matematik   muammolarning   yechimlarini
soddalashtirishda nihoyatda muhim ahamiyatga ega bo‘ldi.
Kompleks   sonlarni   o‘rganish   jarayoni   insoniyat   tafakkurining   mantiqiy
kengayishi,   abstraktlashtirish   qobiliyatining   yuksalishi   bilan   bevosita   bog‘liq.
Masalan,     kabi   oddiy   ko‘rinishdagi   tenglamaning   haqiqiy   yechimga   ega
bo‘lmasligi  matematikani  tabiiy chegaradan tashqariga olib chiqdi  va mavhum
birlik   tushunchasini  yaratishga sabab bo‘ldi. Bunday mavhum  birlikning joriy
etilishi   dastlab   ko‘plab   matematiklar   tomonidan   shubha   bilan   qabul   qilingan
bo‘lsa-da,   vaqt   o‘tishi   bilan   uning   zarurati,   qo‘llanish   doirasi   va   mantiqiy
asoslari   chuqur   isbotlandi.   Natijada   kompleks   sonlar   oddiy   algebraik   vosita
emas,   balki   keng   universallikka   ega   bo‘lgan   matematik   struktura   sifatida
shakllandi.
Kompleks   sonlarning   yana   bir   alohida   jihati   —   ularning   geometrik
talqinidir.   Kompleks   sonlarni   tekislikdagi   nuqta   yoki   vektor   sifatida   qarash,
algebra va geometriya o‘rtasida kuchli, ammo tabiiy ko‘prik yaratdi. Bu ko‘prik
Evklid geometriyasi  bilan abstrakt  algebra  orasidagi  murakkab  munosabatlarni
sodda,   intuitiv   va   aniq   tasavvur   etish   imkonini   berdi.   Kompleks   tekislikdagi
modullar, argumentlar, radius-vektorlar va burchaklarning matematik mazmuni
2 trigonometrik   ifodalar   bilan   uyg‘unlashib,   kompleks   sonlarning   trigonometrik
shaklini   yuzaga   keltirdi.   Bu   shakl,   ayniqsa,   ko‘paytirish,   bo‘lish,   darajaga
oshirish   va   ildiz   chiqarish   kabi   amallarni   sezilarli   yengillashtirdi.   Aynan
trigonometrik   shakl   De   Moivre   formulasining   tabiiy   kelib   chiqishiga   sabab
bo‘lib, murakkab algebraik munosabatlarning geometrik mohiyatini ochib berdi.
Murakkab   sonlarning   trigonometrik   shakllari   ko‘p   o‘lchamli   matematik
modellashtirishda,   chastotaviy   tahlillarda,   differensial   tenglamalarda,   rezonans
hodisalarida,   tebranishlar   nazariyasida,   elektr   zanjirlarining   tahlilida   va
elektrodinamikada   ham   asosiy   vosita   sifatida   xizmat   qiladi.   Masalan,   elektr
toklarining fazali tahlilida kompleks sonlarning trigonometrik ifodasi eng qulay
va aniq model bo‘lib, sinusoidal signallar, fazalar farqi, amplituda va chastotani
bir vaqtning o‘zida ifodalash imkonini beradi. Shu bilan birga, kompleks sonlar
signalni   qayta   ishlashda   Fourier   qatorlari   va   Fourier   transformatsiyasining
poydevorini   tashkil   etadi.   Ushbu   jarayonlarda   trigonometrik   shaklning
ahamiyati beqiyosdir.
Matematikaning boshqa bo‘limlari, xususan, kompleks analiz ham bevosita
kompleks   sonlarning   geometrik   modellashuvi   bilan   bog‘langan.   Analitik
funksiyalar,   konformal   tasvirlashlar,   kompleks   integrallar,   Riman   sirtlari   kabi
chuqur   nazariy   lar   aynan   kompleks   sonlarning   geometrik   va   trigonometrik
talqiniga   asoslanadi.   Bu   yerda   kompleks   sonlarning   modul-argument   shakli
funksiyalar   xatti-harakatlarini   tahlil   qilishda,   radius-vektorlar   o‘zgarishini
kuzatishda   va   kompleks   funksiyalar   xaritasini   vizual   tasvirlashda   alohida
qulaylik tug‘diradi.
Shu   sababli   kompleks   sonlarning   geometrik   va   trigonometrik   shaklini
mukammal   o‘zlashtirish   matematikaning   keyingi   bo‘limlarini   to‘liq   anglash
uchun   zarur   bo‘lgan   ilmiy   poydevordir.   U   nafaqat   talabalarning   nazariy
bilimlarini   boyitadi,   balki   ularga   matematik   fikrlashni,   tahlil   qilishni,
abstraktlashtirishni   va   mantiqiy   bog‘lanishlarni   aniqlashni   o‘rgatadi.
Shuningdek,   kompleks   sonlar   yo‘nalishida   shakllangan   yondashuvlar   ko‘plab
3 amaliy   masalalarda   optimal   matematik   modellar   yaratishda   asosiy   metodga
aylanadi.
Ushbu   kurs   ishining   dolzarbligi   shundan   iboratki,   unda   kompleks   sonlar
nafaqat   algebraik   ko‘rinishda,   balki   ularning   geometriyaga   asoslangan   talqini
orqali ham mukammal ochib beriladi. Bundan tashqari, trigonometrik shaklning
matematik va amaliy jihatdan afzalliklari chuqur tahlil qilinadi, ular yordamida
bajariladigan hisoblash jarayonlarining soddaligi va samaradorligi ilmiy asoslar
bilan   ko‘rsatib   beriladi.   Bugungi   kunda   murakkab   sonlar   matematik
modellashtirishning   eng   samarali   vositalaridan   biri   sifatida   qaralmoqda   va
ularni   chuqur   o‘rganish   zamonaviy   fan  va   texnologiyalar   rivoji   uchun   beqiyos
ahamiyat kasb etadi.
Mazkur   kurs   ishi   ana   shunday   keng   ko‘lamli,   ko‘p   bosqichli   matematik
strukturaning  mohiyatini,  uning  nazariy  asoslarini,   amaliy  qo‘llanma  sifatidagi
imkoniyatlarini   mukammal   yoritishga   xizmat   qiladi.   Ish   davomida   kompleks
sonlarning   geometriyaga   asoslangan   modeli,   trigonometrik   talqini,   De   Moivre
formulasining   qo‘llanilishi,   shuningdek,   real   matematik   jarayonlarda
uchraydigan   masalalarga   kompleks   yondashuvlar   tahlil   qilinadi.   Shuningdek,
mavzuning   nazariy   asoslari   turli   tarixiy   manbalar,   mashhur   matematiklar
asarlari va zamonaviy ilmiy adabiyotlar bilan solishtirilib, chuqur ilmiy xulosa
chiqariladi.
Kompleks sonlarning nazariyasi shakllanish jarayonida matematik tafakkur
doimiy evolyutsiyani boshdan kechirdi. Bu evolyutsiya, bir tomondan, algebraik
tushunchalarning  chuqurlashuvi,  ikkinchi   tomondan esa,   geometriyaning  yangi
talqinlar bilan boyishi orqali amalga oshdi. Kompleks sonlarni nafaqat algebraik
formula   sifatida,   balki   fazoviy   obyekt   sifatida   ko‘rish,   ularning   mazmunini
chuqurroq   anglash   imkonini   berdi.   Ayniqsa,   kompleks   sonlarni   Argand
diagrammasida   tasvirlash,   ya’ni   ularni   koordinatalar   tekisligidagi   nuqta   yoki
vektor sifatida talqin qilish, matematikada yangi intuitiv dunyo yaratdi.
4 Tarixiy   manbalarda   keltirilishicha,   kompleks   sonlar   tushunchasi   dastlab
faqat   algebraik   manipulyatsiya   sifatida   qaralgan,   ya’ni   ularni   “imkonsiz”   yoki
“fantastik”   sonlar   deb   atashgan.   Ammo   XVI-XVII   asrlarga   kelib   Girolamo
Kardano,   Rafael   Bombelli   kabi   matematiklar   bu   sonlarning   amaliy   zarurati
borligini   isbotladilar.   Ularning   ishlari   keyinchalik   Leonard   Eyler,   Karl   Fridrix
Gauss,   Abraham   de   Moivre,   Argand   va   boshqa   matematiklarning   tadqiqotlari
bilan   to‘ldirildi.   Aynan   Gauss   kompleks   sonlar   to‘plamiga   qat’iy   matematik
asos   yaratib,   ularni   to‘liq   sonlar   sistemasiga   aylantirdi.   Shundan   so‘ng
kompleks   sonlar   matematikaning   normal   bo‘lmasligi   kerak   bo‘lgan   “mavhum
g‘oya” emas, balki to‘la huquqli matematik obyekt sifatida tan olindi.
Kompleks   sonlarning   trigonometrik   shakli   esa   ularning   eng   kuchli   va
universal   ifodalaridan   biridir.   Bu   shakl   kompleks   sonlarning   geometriya   bilan
chuqur   bog‘langanligini   ko‘rsatadi.   Trigonometrik   ko‘rinishda   modul   —
masofani,   argument   esa   —   burchakni   bildiradi.   Shu   bois   kompleks   sonlarning
trigonometrik   shakli   barcha   fazoviy   jarayonlar   bilan   tabiiy   mos   keladi.   Aynan
shu   xususiyat   tufayli   kompleks   sonlar   sinusoidal   tebranishlar,   elektromagnit
to‘lqinlar,   mexanik   rezonanslar,   akustik   hodisalar,   kvant   mexanikasi,   optika,
elektronika   va   hatto   aerodinamika   kabi   o‘ta   murakkab   tizimlarni
modellashtirishda ham asosiy matematik vosita bo‘lib xizmat qiladi.
Kompleks   sonlarning   bunday   ko‘p   qirrali   qo‘llanilishi   ularning
universalligidan   dalolat   beradi.   Masalan,   differensial   tenglamalarning   ko‘plab
yechimlari   tabiiy   ravishda   kompleks   shaklda   ifodalanadi.   Chastotaviy   tahlilda,
ayniqsa,   Fourier   transformatsiyasi   orqali   funksiyani   komponentlarga  ajratishda
kompleks   sonlarning   trigonometrik   shakli   alohida   o‘rin   tutadi.   Chunki   har   bir
tebranishni amplituda, chastota va fazaga ajratish talab etiladi, bu esa kompleks
sonlarning modul va argumenti orqali juda sodda ifodalanadi.
Hozirgi   zamon   informatsion   texnologiyalari,   telekommunikatsiya   va
raqamli   signalni   qayta   ishlash   fanlarida   kompleks   sonlar   asosiy   matematik
struktura   sifatida   xizmat   qiladi.   Masalan,   mobil   aloqa   tizimlaridagi   OFDM
5 modulyatsiya,   Wi-Fi   signalining   chastotaviy   spektri,   audio   va   video   siqish
algoritmlari,   sun’iy   intellektning   ba’zi   optimizatsion   modellarida   kompleks
sonlarning   trigonometrik   talqiniga   asoslangan   hisoblashlar   amalga   oshiriladi.
Bunday   sohalarda   algebraik   shakl   ko‘p   hollarda   murakkab   va   noqulay   bo‘lsa,
trigonometrik   ko‘rinish   orqali   masalani   sezilarli   darajada   soddalashtirish
mumkin.
Kompleks   sonlarning   moduli   va   argumenti   bilan   bog‘liq   bo‘lgan   De
Moivre   formulasi   ham   matematikaning   turli   yo‘nalishlarida   o‘ta   muhim   rol
o‘ynaydi.   Bu   formula   kompleks   sonlarni   darajaga   oshirish   va   ulardan   ildiz
chiqarishni   juda   sodda   va   tushunarli   qiladi.   Ayniqsa,   katta   darajali
ko‘rsatkichlar   bilan   ishlashda   trigonometrik   shaklning   qulayligi   juda   yorqin
ko‘rinadi.   Shuningdek,   De   Moivre   formulasi   trigonometrik   identitetlar,
geometriya   teoremalarini   isbotlash,   polinomlarning   ildizlarini   topish   va   hatto
kristall   strukturalarning   simmetriyasini   tahlil   qilish   kabi   jarayonlarda   keng
qo‘llaniladi.
Ushbu   kurs   ishining   ilmiy   ahamiyati   shundan   iboratki,   unda   kompleks
sonlarning   geometriya   bilan   bog‘liqligi   birlamchi   o‘ringa   qo‘yiladi.   Ya’ni,
nafaqat   algebraik   manipulyatsiya   sifatida,   balki   fazoviy   obyektlar   sifatida
o‘rganiladi.   Natijada   o‘quvchi   kompleks   sonlarning   moduli,   argumenti,
vektorial   ifodasi,   aylanishlar   bilan   bog‘liqligi,   trigonometrik   ko‘rinishning
fazoviy   mazmuni   haqida   yanada   mukammal   tasavvurga   ega   bo‘ladi.   Bundan
tashqari, ishda trigonometrik shakldan amaliy foydalanish  metodlari  ham keng
yoritiladi, bu esa nazariy bilimning amaliyot bilan uyg‘unlashuvini ta’minlaydi.
Shu   nuqtai   nazardan,   mazkur   kurs   ishining   maqsadi   —   kompleks
sonlarning   geometrik   va   trigonometrik   shakllarini   ilmiy   asosda   yoritish,
ularning   matematik   mohiyatini   chuqur   tahlil   qilish,   algebraik   va   fazoviy
xususiyatlarini   solishtirish,   trigonometrik   ifodaning   amaliy   samaradorligini
ochib   berishdan   iborat.   Ish   davomida   kompleks   sonlarning   parametrik   tasviri,
6 vektorli   sharhi,   polar   koordinatalarga   o‘tish   jarayoni,   kompleks   sonlar   ustida
amallarni geometrik izohlash kabi masalalar chuqur o‘rganiladi.
Mazkur   ishning   ilmiy   yangiligi   shundaki,   unda   kompleks   sonlarning
trigonometrik   shakliga   yangicha   qarash,   uni   ko‘p   o‘lchamli   fazolardagi
jarayonlar bilan bog‘lash, differensial tenglamalar va signal tahlilida qo‘llanishi
bo‘yicha   konseptual   izohlar   taqdim   etiladi.   Shuningdek,   De   Moivre   formulasi
orqali   yuqori   darajali   murakkab   sonlarning   xatti-harakati,   ularning   simmetriya
guruhlari,   fazoviy   aylanishlar   bilan   bog‘liqligi   haqida   ham   zamonaviy   ilmiy
qarashlar yoritiladi.
Xulosa   qilib   aytganda,   kompleks   sonlar   —   bugungi   matematikaning   eng
kuchli, eng  mukammal  va  eng  universal   tushunchalaridan   biridir.  Ular  nafaqat
matematik   muammolarni   yechishda,   balki   real   hayotdagi   tizimlarni
modellashtirishda   ham   eng   samarali   vositadir.   Shu   bois,   kompleks   sonlarning
geometrik   va   trigonometrik   shaklini   o‘rganish   matematika   fanining   chuqur
qatlamlarini anglash uchun asosiy bosqich hisoblanadi.
Kurs   ishining   tuzilishi   ikki   asosiy   bobdan   iborat   bo‘lib,   birinchi   bob
kompleks   sonlarning   algebraik   tuzilishi   va   geometrik   interpretatsiyasiga
bag‘ishlanadi.   Ikkinchi   bob   esa   kompleks   sonlarning   trigonometrik   shaklidir
hamda   De   Moivre   formulasi,   trigonometrik   ifodaning   qo‘llanish   sohalari
batafsil yoritiladi.
7 I BOB. KOMPLEKS SONLARNING ASOSIY TUSHUNCHALARI VA
GEOMETRIK TALQINI
1.1. Kompleks sonlar tushunchasi va ularning algebraik shakli
Matematika   tarixida   son   tushunchasining   rivojlanishi   inson   tafakkurining
eng   yirik   kashfiyotlaridan   biri   bo‘lib,   bu   jarayon   asrlar   davomida   turli
bosqichlarni   bosib   o‘tdi.   Natural   sonlardan   boshlangan   rivojlanish   manfiy
sonlar,   ratsional   sonlar,   irratsional   sonlar   va   nihoyat   real   sonlar   majmuasining
shakllanishi   bilan   izchil   kengayib   bordi.   Biroq   vaqt   o‘tishi   bilan   real   sonlar
to‘plami   barcha   algebraik   tenglamalar   uchun   yetarli   emasligi   ayon   bo‘ldi.
Ayniqsa,
x^2+1=0
i^2=-1.
Mavhum   birlikning   joriy   qilinishi   avvaliga   matematiklar   orasida   qizg‘in
bahs-munozaralarga   sabab   bo‘lgan   bo‘lsa-da,   vaqt   o‘tishi   bilan   bu
tushunchaning   zaruriyligi,   mantiqiy   asoslari   va   amaliy   qo‘llanilishi   to‘liq
isbotlandi. XVI asr  oxiriga kelib Bombelli, Euler, Gauss  kabi  matematiklar  bu
tushunchani   mukammallashtirdilar   va   natijada   kompleks   sonlar   nazariyasi
mustahkam ilmiy asosga ega bo‘ldi.
Kompleks   sonlarning   asosiy   ko‘rinishi   algebraik   shakl   bo‘lib,   u
quyidagicha ifodalanadi:
z = a + bi,
a — kompleks sonning haqiqiy qismi,
b — kompleks sonning mavhum qismi,
Kompleks  sonlar   to‘plami     deb  belgilanadi.  Bu   to‘plam  nafaqat  algebraik
jihatdan,   balki   topologik   va   geometrik   nuqtai   nazardan   ham   boy   struktura   —
ikki   o‘lchovli   vektorli   fazodir.   Shuning   uchun   kompleks   sonlar   ustida
bajariladigan   barcha   amallar   ikki   o‘lchovli   fazodagi   amallar   bilan   bevosita
bog‘liq.
8 Kompleks   sonlarning   algebraik   shakli   ularning   ustida   quyidagi   amallarni
aniq va sodda tarzda bajarish imkonini beradi:
1) Qo‘shish
(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i.
2) Ayirish
(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i.
3) Ko‘paytirish
(a+bi)(c+di) = (ac - bd) + (ad + bc)i.
4) Bo‘lish
Bu xossalar keyinchalik trigonometrik shaklga o‘tishda muhim ahamiyatga
ega.
Kompleks sonlarning sonlar sistemasidagi o‘rni
Kompleks sonlar to‘plami real sonlar to‘plamini to‘ldiradi, ammo uni inkor
etmaydi.   Kompleks   sonlar   quyidagi   ketma-ketlikning   eng   so‘nggi
bosqichlaridan birini tashkil etadi.
Bu zanjir shuni ko‘rsatadiki, kompleks sonlar butun sonlar, ratsional sonlar
va   real   sonlarning   uzviy   davomidir.   Ularning   asosiy   ustunligi   shundaki,
kompleks   sonlar   to‘plami   algebraik   jihatdan   yopiq   maydon   bo‘lib,   barcha
algebraik tenglamalar aynan shu maydonda to‘liq yechimga ega bo‘ladi.
1.2. Kompleks sonlarni kompleks tekislikda tasvirlash
Kompleks   sonlarning   geometriyaviy   talqini   matematikaning   eng   muhim
g‘oyalaridan   biri   bo‘lib,   algebraik   ifodaning   fazoviy   mazmunini   ochib   beradi.
Real sonlar bir o‘lchamli sonlar o‘qida joylashgan bo‘lsa, kompleks sonlar ikki
o‘lchamli   tekislikda   —   kompleks   tekislikda   (yoki   Argand   tekisligi,   Gauss
tekisligi) tasvirlanadi. Bu tekislik kartesiy koordinatalar sistemasiga  asoslanadi
va unda:
gorizontal o‘q — haqiqiy o‘q,
vertikal o‘q — mavhum o‘q sifatida qaraladi.
9 Agar kompleks son
z = a + bi
ko‘rinishida berilgan bo‘lsa, u kompleks tekislikda
(a, b)
koordinatalariga ega nuqta sifatida tasvirlanadi.
Kompleks sonning tekislikdagi tasviri
Kompleks son quyidagicha ifodalanadi:
z = a + bi
Bu yerda:
a — haqiqiy qism
b — mavhum qism
Kompleks tekislikda u quyidagi nuqtaga mos keladi:
z  ↦  (a, b)
Mazkur nuqta tekislikda radius-vektor orqali tasvirlanadi:
→OZ = (a, b)
Kompleks tekislikning asosiy elementlari
Kompleks tekislik ikki o‘qdan iborat:
Haqiqiy o‘q:   Re(z)
Mavhum o‘q:    Im(z)
Kompleks sonning grafik ko‘rinishi:
Im(z)
      |
      |       • z(a,b)
      |
+- Re(z)
      |
      |
Kompleks sonni vektor orqali ifodalash
10 Har bir kompleks son fazoda vektor sifatida qaraladi:
→z = (a, b)
Vektorning uzunligi — kompleks sonning moduli,
vektorning   ijobiy   haqiqiy   o‘q   bilan   hosil   qilgan   burchagi   —   argumenti
sifatida aniqlanadi. (Bu tushunchalar 1.3-bandda batafsil.)
Kompleks sonlarni qo‘shishning geometrik talqini
Agar ikki kompleks son berilgan bo‘lsa:
z1 = a1 + b1 i
z2 = a2 + b2 i
Ularning yig‘indisi quyidagicha:
z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) i
Geometrik jihatdan bu ikki vektorning uchma-uch qo‘shilishidir:
→z1 + →z2 = →(z1 + z2)
Kompleks sonlarni ayirishning geometrik talqini
Ayirish amali:
z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2) i
Bu geometrik jihatdan vektorlar farqidir.
Kompleks sonning konjugati tekislikda
Kompleks sonning konjugati:
z = a + bi
 = a - biz̄
Tekislikda bu nuqtaning mavhum o‘q bo‘yicha akslantirilgan holati:
(a, b) → (a, -b)
Algebraik shakldan geometrik shaklga o‘tish formulalari
Agar z = a + bi berilgan bo‘lsa, u quyidagicha yoziladi:
x = Re(z) = a
y = Im(z) = b
Shunday qilib:
z  ↦  (x, y)
11 Bu ifoda keyingi bo‘limda trigonometrik shaklga o‘tishning asosini tashkil
qiladi.
1.3. Kompleks sonlarning moduli va argumenti
Kompleks   sonlarning   geometrik   talqini   ularni   fazoviy   obyekt   sifatida
tasavvur   qilishga   imkon   beradi.   Ayniqsa,   kompleks   sonning   moduli   va
argumenti   ularning   trigonometrik   shaklini   hosil   qilishda,   geometriya   bilan
bog‘liq   xossalarini   o‘rganishda,   hamda   kompleks   tekislikda   aylanish   va
masshtablash   kabi   amallarni   tahlil   qilishda   markaziy   ahamiyatga   ega
tushunchalardir.
Kompleks son umumiy ko‘rinishda quyidagicha aniqlanadi:
z = a + bi
Bu   son   kompleks   tekislikda   (a,   b)   nuqtaga   mos   keladi.   Shu   nuqtaga
chizilgan   radius-vektorning   uzunligi   kompleks   sonning   moduli,   ijobiy   haqiqiy
o‘q bilan hosil qilgan burchagi esa kompleks sonning argumenti deb ataladi.
Kompleks sonning moduli
Kompleks   sonning   moduli   —   bu   kompleks   tekislikda   boshlang‘ich
nuqtadan   (0,0)   kompleks   sonning   koordinatalariga   bo‘lgan   masofa.   U   Pifagor
teoremasi asosida aniqlanadi:
|z| = √(a² + b²)
Bu yerda:
a = Re(z) — haqiqiy qism,
b = Im(z) — mavhum qism.
Modulning kvadrati esa:
|z|² = a² + b²
Bu ifoda bir qator amallarda (masalan, bo‘lishda) qulaylik yaratadi.
Kompleks sonning argumenti
12 Kompleks sonning argumenti — radius-vektorning ijobiy haqiqiy o‘q bilan
hosil qilgan burchagi:
arg(z) = φ
Agar z = a + bi bo‘lsa, burchak quyidagicha aniqlanadi:
φ = arctan(b / a)
Biroq bu formula to‘rtinchi kvadrantlarga ko‘ra aniq belgilanadi. Shuning
uchun to‘liq aniqlik uchun quyidagi ko‘rinish ishlatiladi:
φ = atan2(b, a)
Bu funksiyada:
a — x koordinata (Re),
b — y koordinata (Im).
Agar   kompleks   son   haqiqiy   o‘qda   joylashgan   bo‘lsa   (b   =   0),   u   holda
argumenti:
arg(z) = 0        (a > 0)
arg(z) = π        (a < 0)
Agar z sof mavhum bo‘lsa (a = 0):
arg(z) =  π/2     (b > 0)
arg(z) = -π/2     (b < 0)
Argument umumiy holda quyidagi oraliqdan tanlanadi:
-π < arg(z) ≤ π
Modul va argumentning vektor shaklida talqini
Kompleks son vektor ko‘rinishida:
→z = (a, b)
Moduli — vektor uzunligi:
|→z| = √(a² + b²)
Argumenti — vektor burchagi:
φ = atan2(b, a)
Geometrik tasvir:
13 b (Im)
      |
      |   • z(a,b)
      |  /
      | /
+-- a (Re)
     φ
Modul va argumentning yordamida kompleks sonni ifodalash
Kompleks sonni quyidagicha yozish mumkin:
a = |z| cos φ
b = |z| sin φ
Shunday qilib:
z = a + bi = |z|(cos φ + i sin φ)
Bu   ifoda   kompleks   sonning   trigonometrik   shakli   bo‘lib,   II   bobda   batafsil
o‘rganiladi.
Kompleks sonning konjugati uchun modul va argument
Agar
z = a + bi
 = a - biz̄
bo‘lsa, u holda:
| | = |z|
z̄
arg( ) = -arg(z)	
z̄
Modul va argumentning asosiy xossalari
Quyidagi xossalar matematikaning ko‘plab bo‘limlarida keng qo‘llanadi:
1. Ko‘paytma modulining xossasi
|z1 * z2| = |z1| * |z2|
2. Bo‘lish modulining xossasi
|z1 / z2| = |z1| / |z2|
3. Ko‘paytma argumenti
14 arg(z1 * z2) = arg(z1) + arg(z2)
4. Bo‘lish argumenti
arg(z1 / z2) = arg(z1) - arg(z2)
5. Modulli uchburchak tengsizligi
|z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|
15 II BOB. KOMPLEKS SONLARNING TRIGONOMETRIK SHAKLI VA
QO‘LLANILISHI
2.1. Kompleks sonlarning trigonometrik shaklda ifodalanishi
Kompleks   sonlarning   trigonometrik   shakli   matematik   analiz,   differensial
tenglamalar,   kvant   mexanikasi,   elektr   zanjirlar   nazariyasi   kabi   ko‘plab   ilmiy
sohalarda   alohida   o‘rin   tutadi.   Trigonometrik   shakl   kompleks   sonlarni
aylanishlar,   burchaklar   va   radiuslar   orqali   talqin   qilish   imkonini   berib,   ularni
vektorlar   bilan   bog‘laydi.   Boshqacha   qilib   aytganda,   algebraik   shaklning
geometrik ekvivalenti sifatida yuzaga chiqadi.
Kompleks   sonning   trigonometrik   ifodasi   uning   moduli   va   argumenti   ga
asoslangan holda quriladi. Avval z = a + bi sonini modul (radius) va argument
(burchak) orqali qayta ifodalash usuli keltiriladi.
Kompleks sonning asosiy trigonometrik ifodasi
Agar kompleks son
z = a + bi
bo‘lsa, u holda uning moduli:
|z| = r = √(a² + b²)
va argumenti:
φ = atan2(b, a)
bo‘ladi.
Trigonometrik ifoda esa quyidagicha beriladi:
z = r (cos φ + i sin φ)
Bu   ko‘rinish   kompleks   sonning   geometriya   bilan   uzviy   bog‘liqligini
ko‘rsatadi.
Trigonometrik ifodaning kelib chiqishi
Kompleks   tekislikda   (a,   b)   nuqta   radius-vektorning   kartes   koordinatalari
bo‘lib, quyidagi trigonometrik mosliklarga ega:
cos φ = a / r
sin φ = b / r
16 Shundan kelib chiqib:
a = r cos φ
b = r sin φ
Demak:
z = a + bi = r cos φ + i r sin φ = r (cos φ + i sin φ)
Bu — trigonometrik shaklning to‘la isboti.
Euler formulasiga o‘tish
Trigonometrik   ifoda   Euler   formulasi   bilan   yanada   ixchamlashtirilishi
mumkin:
e^(iφ) = cos φ + i sin φ
Shu sababli trigonometrik shakl quyidagicha yoziladi:
z = r e^(iφ)
Bu ifoda matematikaning ko‘plab bo‘limlarida fundamental rol o‘ynaydi.
Trigonometrik shaklning unifikatsiya xususiyati
Trigonometrik   shakl   nafaqat   kompleks   sonlarning   geometrik   talqinini
sodda   ko‘rsatadi,   balki   murakkab   amallarni   ham   osonlashtiradi.   Masalan,
algebraik   shaklda   ko‘paytirish   yoki   darajaga   oshirish   murakkab   bo‘lsa,
trigonometrik   shaklda   bu   amal   bir   necha   satrdagi   burchak   va   radius-
transformatsiyaga aylanadi.
Ko‘paytirish:
z1 = r1 (cos φ1 + i sin φ1)
z2 = r2 (cos φ2 + i sin φ2)
z1 * z2 = r1 r2 [cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)]
Bo‘lish:
z1 / z2 = (r1 / r2) [cos(φ1 - φ2) + i sin(φ1 - φ2)]
Bu xossalar keyingi bo‘limda — De Moivre formulasi va uning isbotida —
yanada chuqurlashadi.
17 Trigonometrik shaklning afzalliklari
Trigonometrik shaklning qulayliklari juda ko‘p, jumladan:
1. Geometrik talqin
Kompleks sonni quyidagicha tasvirlash mumkin:
r → uzunlik (modul)
φ → burchak (argument)
2. Ko‘paytirish va bo‘lishning soddalashuvi
Ko‘paytirish → modul ko‘payadi, burchaklar yig‘iladi
Bo‘lish → modul bo‘linadi, burchaklar ayiriladi
3. Darajaga oshirish va ildiz chiqarishning osonlashuvi
Bu 2.2-bo‘limda ko‘rib chiqiladi.
4. Aylanish operatsiyasi
Kompleks sonni fazoda burchak ostida aylantirish oson:
z → z * e^(iθ)
5. Fizikadagi qo‘llanish
Elektr zanjirlaridagi fazorlar:
I = I  e^(iωt)₀
To‘lqinlar nazariyasidagi ifoda:
ψ = A e^(i(kx - ωt))
Trigonometrik shaklning to‘liq matematik xulosasi
Trigonometrik shakl quyidagi uchlik orqali aniqlanadi:
z = (a, b)
a = r cos φ
b = r sin φ
r = √(a² + b²)
φ = atan2(b, a)
z = r (cos φ + i sin φ)
18 Bu   formulalar   kompleks   sonning   trigonometrik   shaklga   to‘liq   va   puxta
o‘tishini ifodalaydi.
2.2. De Moivre formulasi va uning isbotlari
Kompleks   sonlar   nazariyasida   asosiy   o‘rin   tutuvchi   formulalardan   biri   —
De   Moivre   formulasi   bo‘lib,   u   kompleks   sonlarning   trigonometrik   shaklda
darajaga   oshirilishi   va   ildiz   chiqarilishining   nazariy   asoslarini   yaratadi.   Ushbu
formula   yordamida   ko‘plab   trigonometriya   identitetlari   hosil   qilinadi,   ayniqsa,
yuqori   darajali   trigonometrik   tenglamalarni   yechishda   u   fundamental   vositaga
aylanadi.
De Moivre formulasi kompleks sonning trigonometrik ifodasi orqali uning
n-darajasini  trigonometrik funksiyalar  yig‘indisi  sifatida olish imkonini  beradi.
Bu esa uning algebraik shakldan ko‘ra ancha yengil va geometrik mazmuni boy
bo‘lgan ko‘rinishda talqin qilish imkonini beradi.
De Moivre formulasi
Agar kompleks son:
z = r (cos φ + i sin φ)
bo‘lsa, uning n-darajasi De Moivre teoremasiga ko‘ra:
zⁿ = rⁿ [cos(nφ) + i sin(nφ)]
Bu yerda:
r — kompleks sonning moduli,
φ — kompleks sonning argumenti,
n — butun son (ixtiyoriy musbat yoki manfiy).
Formulaning mazmuni
De Moivre formulasi shuni bildiradiki:
Kompleks   sonni   n-darajaga   oshirish   →   modulni   n-darajaga   oshirish   +
burchakni n-baravarga ko‘paytirish
Geometrik talqin:
Radius vektorning uzunligi: r → rⁿ
19 Aylanish burchagi: φ → nφ
Shu   sababli   trigonometrik   shakl   kompleks   darajalarni   hisoblashda   ideal
vositadir.
De Moivre formulasining isboti
De Moivre teoremasining bir nechta klassik isbot yo‘llari mavjud. Quyida
eng asosiy, fundamental isbotlar keltiriladi.
1) Matematik induksiya yordamida isbot
Bazaviy hol: n = 1
z¹ = r (cos φ + i sin φ)
Bu o‘z-o‘zidan to‘g‘ri.
Induksiya taxmini
Faraz qilamiz, formula n = k uchun to‘g‘ri:
z  = r  [cos(kφ) + i sin(kφ)]ᵏ ᵏ
Induksiya bosqichi: n = k+1 uchun isbot
z  va z ni ko‘paytiramiz:
ᵏ
z ¹ = z  * z
ᵏ ᵏ⁺
     = r  [cos(kφ) + i sin(kφ)] * r [cos φ + i sin φ]	
ᵏ
Modullar ko‘payadi:
= r ¹ [cos(kφ) + i sin(kφ)] [cos φ + i sin φ]	
ᵏ⁺
Trigonometrik ko‘paytma formulasini qo‘llaymiz:
cos(kφ)cos φ – sin(kφ)sin φ = cos((k+1)φ)
sin(kφ)cos φ + cos(kφ)sin φ = sin((k+1)φ)
Natija:
z ¹ = r ¹ [cos((k+1)φ) + i sin((k+1)φ)]	
ᵏ ᵏ⁺ ⁺
Demak, induksiya bo‘yicha formula barcha butun n uchun isbotlandi.
2) Euler formulasi yordamida isbot
De Moivre formulasining eng elegant isboti Eulerdan foydalanadi.
Euler formulasi:
e^(iφ) = cos φ + i sin φ
20 Demak, z quyidagicha yoziladi:
z = r e^(iφ)
Darajaga oshiramiz:
zⁿ = (r e^(iφ))ⁿ
    = rⁿ e^(i n φ)
Euler formulasi yana qo‘llaniladi:
e^(i n φ) = cos(nφ) + i sin(nφ)
Demak:
zⁿ = rⁿ [cos(nφ) + i sin(nφ)]
Bu De Moivre formulasining eng qisqa, mantiqan eng toza isbotidir.
3) Geometrik isbot (aylanma harakat)
Kompleks sonning trigonometrik shakli aylanma harakatga o‘xshaydi:
r → radius, φ → boshlang‘ich burchak
n-marta aylantirish:
z → r (cos φ + i sin φ)
z² → r² (cos 2φ + i sin 2φ)
z³ → r³ (cos 3φ + i sin 3φ)
Shu tarzda davom ettirilsa:
zⁿ → rⁿ (cos nφ + i sin nφ)
Bu   isbot   intuiziyaga   asoslangan   bo‘lsa-da,   uning   geometrik   talqini   to‘la
mos keladi.
De Moivre formulasining qo‘llanilishi
1) Kompleks sonlarni darajaga oshirish
Masalan:
z = 2 (cos 30° + i sin 30°)
z³ = 2³ [cos 90° + i sin 90°]
    = 8 (0 + i·1)
    = 8i
21 2) Trigonometrik identitetlarni hosil qilish
Misol:
(cos φ + i sin φ)ⁿ = cos(nφ) + i sin(nφ)
Bu tenglikdan cos(nφ) va sin(nφ) ko‘paytmalar orqali ochiladi.
3) Kompleks ildizlarni topish (keyingi bo‘lim)
De Moivre formulasi asosida:
z^(1/n) = r^(1/n) [cos((φ+2kπ)/n) + i sin((φ+2kπ)/n)]
Bu 2.3 bo‘limning asosiy mavzusidir.
De Moivre formulasi kompleks sonlar nazariyasida:
darajaga oshirishni soddalashtiradi,
trigonometrik identitetlarni isbotlashda asosiy vosita bo‘ladi,
ayiqilmas ko‘rinishdagi trigonometrik ifodalarni boshqaradi,
kompleks ildizlar nazariyasini quradi.
2.3. Kompleks sonlarning trigonometrik shaklining amaliy qo‘llanilishi
Kompleks   sonlarning   trigonometrik   shakli   matematika,   fizika,
muhandislik,   elektr   texnikasi,   signallar   nazariyasi,   gidrodinamika,   aerokosmik
hisoblar   va   hatto   kompyuter   grafikasi   kabi   ko‘plab   sohalarda   fundamental
ahamiyatga   ega.   Trigonometrik   shakl   kompleks   sonlarni   nafaqat   algebraik
ob’yekt   sifatida,   balki   fazoviy-harakat   va   to‘lqinli   jarayonlar   bilan   bog‘liq
bo‘lgan geometrik tushunchalar orqali talqin qilish imkonini beradi.
Trigonometrik shaklning qulayligi shundaki, ko‘paytirish, bo‘lish, darajaga
oshirish, aylanish va masshtablash kabi amallar modul hamda burchaklar orqali
soddalashtiriladi.   Bu   esa   kompleks   sonlarning   amaliy   qo‘llanilishining   asosiy
manbai hisoblanadi.
22 1) Elektr zanjirlarida kompleks fazorlar (AC signallar)
Alternativ  tok (AC)   fizikasi  kompleks  sonlar   trigonometrik shaklga   to‘liq
tayanadi. Chunki AC signallar sinusoidal xarakterga ega va ular fazaga ega:
I(t) = I  cos(ωt + φ)₀
Bu ifoda fazor yordamida quyidagicha yoziladi:
I = I  e^{iφ}	
₀
Yoki trigonometrik shaklda:
I = I  (cos φ + i sin φ)
₀
Elektr qarshiliklar (rezistor, induktor, kondensator) kompleks shaklda:
Z_R = R
Z_L = iωL
Z_C = 1 / (iωC)
Ohm qonuni fazorlar uchun:
V = I Z
Trigonometrik shakl esa bu amallarni soddalashtiradi:
|V| = |I| |Z|
arg(V) = arg(I) + arg(Z)
Bu elektr muhandisligi uchun nihoyatda muhim hisoblanadi.
2) To‘lqinlar nazariyasida kompleks ifodalar
To‘lqin tenglamalari ham kompleks eksponentsial yordamida ifodalanadi:
ψ(x,t) = A e^{i(kx - ωt)}
Euler formulasi yordamida:
ψ(x,t) = A [cos(kx - ωt) + i sin(kx - ωt)]
Bu   ifoda   elektromagnit   to‘lqinlar,   kvant   mexanikasi,   ovoz   to‘lqinlari   va
vibratsiyalar nazariyasida qo‘llaniladi.
Trigonometrik shaklning qulayligi:
amplituda → modulga teng (A)
faza → argumentga teng (kx - ωt)
3) Mechanika va robototexnikada aylanishlar
23 Ikki o‘lchamli fazoda burilish operatori quyidagicha beriladi:
R(θ) = cos θ + i sin θ = e^{iθ}
Agar z = x + iy bo‘lsa, u holda:
z' = z e^{iθ}
Bu har bir vektorni θ burchakka aylantiradi:
|z'| = |z|
arg(z') = arg(z) + θ
Bu prinsip:
robototexnika,
dronlar boshqaruvi,
kompyuter grafikasi,
mexanik tizimlarni modellashtirishda asosiy vositadir.
4) Kompyuter grafikasi va animatsiyada aylanishlarni hisoblash
Kompyuter   grafikasida   ikki   o‘lchamli   obyektlarni   aylantirish   uchun
matritsalar o‘rniga ko‘pincha kompleks sonlar ishlatiladi.
Agar nuqta (x, y) kompleks son sifatida ko‘rilsa:
z = x + iy
θ ga burilishi:
z' = z (cos θ + i sin θ)
Bu usul:
animatsiya,
sprite aylantirish,
2D fizik dvigatellar,
geometriya modellarida
eng samarali yechimlardan biridir.
5) Rotatsion dinamikada trigonometrik shakl
Agar jism radius vektor bilan berilgan bo‘lsa:
24 r = |z|
φ = arg(z)
Jismni ω burchak tezlik bilan aylantirish:
z(t) = r (cos(φ + ωt) + i sin(φ + ωt))
Bu mexanika darsliklaridagi:
x(t) = r cos(ωt + φ)
y(t) = r sin(ωt + φ)
ifodalarining kompleks ekvivalenti hisoblanadi.
6) Kompleks sonlardan foydalanib trigonometrik tenglamalarni yechish
Trigonometrik   shakl   turli   sinus   va   kosinus   ko‘paytmalari   uchun
identitetlarni hosil qilishda qo‘llaniladi.
Masalan:
(cos φ + i sin φ)ⁿ = cos(nφ) + i sin(nφ)
Bu orqali:
cos(nφ) = Re[(cos φ + i sin φ)ⁿ]
sin(nφ) = Im[(cos φ + i sin φ)ⁿ]
Trigonometrik   tenglamalarning   ko‘pchiligi   aynan   shu   formulalar   orqali
yechiladi.
7) Kompleks ildizlarni topish (n-ta ildizlar)
Kompleks sonning trigonometrik shakli yordamida:
Agar
z = r (cos φ + i sin φ)
bo‘lsa, uning n ta kompleks ildizi:
z_k = r^{1/n} [cos((φ + 2kπ)/n) + i sin((φ + 2kπ)/n)]
k = 0, 1, 2, ..., n − 1
Bu   geometriya   jihatdan   aylana   bo‘ylab   teng   taqsimlangan   nuqtalar   hosil
qiladi.
25 8) Fraktallar va Julioning tasvirlari
Fraktal algoritmlar, xususan:
z → z² + c
ko‘rinishida iteratsiyalar asosida quriladi.
Trigonometrik shakl yordamida z² ni tez hisoblash mumkin:
z = r (cos φ + i sin φ)
z² = r² (cos 2φ + i sin 2φ)
Bu   Julia   to‘plamlari   va   Mandelbrot   to‘plamlarida   hisoblash   tezligini
oshiradi.
9) Signal va spektral tahlil (Fourier tahlili)
Fourier qatorida har bir komponent kompleks eksponentga teng:
e^{i n ω t} = cos(nωt) + i sin(nωt)
Bu asosda:
audio signallarni filtrlash,
tasvirni siqish,
raqamli signal tahlili,
spektral analizlar ishlab chiqiladi.
Trigonometrik shaklsiz Fourier nazariyasi mavjud bo‘lolmaydi.
10) Navigatsiya va xaritalash tizimlari
Kompleks sonlar yordamida:
yo‘nalish burchagi,
masofalar,
koordinatalar transformatsiyasi
o‘ta qulay hisoblanadi.
Agar kema kursi θ bo‘lsa:
s = v t
z = s (cos θ + i sin θ)
Bu navigatsiyadagi asosiy formulalardan biridir.
Kompleks sonlarning trigonometrik shakli:
26 fazoviy jarayonlarni model qilish,
to‘lqinlar va tebranishlarni ifodalash,
elektr tizimlarini hisoblash,
aylanish va animatsiyalar,
kompleks ildizlar nazariyasi,
trigonometrik  identitetlar  yaratish   kabi   ko‘plab  sohalarda   eng  samarali  va
mukammal matematik vositalardan biridir.
27 XULOSA
Ushbu   kurs   ishida   kompleks   sonlarning   algebraik,   geometrik   va
trigonometrik   ko‘rinishlari   chuqur   tahlil   qilinib,   ularning   matematik   asoslari
hamda   amaliy   qo‘llanishlari   keng   yoritildi.   Kompleks   sonlar   zamonaviy
matematika   va   texnikaning   fundamental   qismini   tashkil   etishi,   ularning
geometrik   va   trigonometrik   talqini   esa   ko‘plab   murakkab   jarayonlarni
soddalashtirishi ilmiy jihatdan asoslab berildi.
Avvalo, kompleks sonning klassik algebraik shakli:
z = a + bi
uning moduli va argumenti esa quyidagi formulalar orqali aniqlandi:
|z| = sqrt(a^2 + b^2)
φ = atan2(b, a)
Bu   asosiy   formulalar   kompleks   sonni   kompleks   tekislikda   vektor   sifatida
talqin qilishga imkon berishi, modul radiusga, argument esa burchakka tengligi
orqali geometrik mazmun kasb etishi tushuntirildi.
Kompleks sonning trigonometrik shaklga o‘tishi quyidagicha ifodalanadi:
z = r (cos φ + i sin φ)
bu yerda r = |z| va φ = arg(z).
Bu   ifoda   kompleks   sonlarni   ko‘paytirish   va   bo‘lish   amallarini   sezilarli
darajada soddalashtiradi. Masalan:
z1 * z2 = r1 r2 [cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2)]
z1 / z2 = (r1 / r2) [cos(φ1 - φ2) + i sin(φ1 - φ2)]
Kurs   ishining   markaziy   qismida   De   Moivre   formulasining   umumiy
ko‘rinishi o‘rganildi:
(cos φ + i sin φ)^n = cos(nφ) + i sin(nφ)
Bu   formula   orqali   kompleks   sonlarning   n-darajasi   va   trigonometrik
identitetlar oson hisoblanishi ko‘rsatildi.
Euler formulasi asosida trigonometrik shaklning eksponentsial ko‘rinishga
o‘tishi ham muhim natija sifatida qayd etildi:
28 e^(iφ) = cos φ + i sin φ
z = r e^(iφ)
Kompleks   ildizlarni   topish   formulasi   ham   trigonometrik   shaklga
asoslanadi:
z_k = r^(1/n) [cos((φ + 2kπ)/n) + i sin((φ + 2kπ)/n)]
k = 0, 1, ..., n-1
Bu   ildizlarning   geometrik   joylashuvi   aylana   bo‘ylab   teng   taqsimlanishi
orqali aniqlanishi ham tushuntirildi.
Kompleks   sonlarning   trigonometrik   shaklining   amaliy   qo‘llanilishlari
bo‘yicha quyidagi asosiy sohalar ko‘rsatildi:
Alternativ tok (AC) va elektr zanjirlarda fazorlar:
I = I0 (cos φ + i sin φ)
V = I Z
To‘lqinlar nazariyasi:
ψ = A e^(i(kx - ωt))
Geometrik aylanishlar:
z' = z (cos θ + i sin θ)
Fourier tahlili:
e^(i n ω t) = cos(nωt) + i sin(nωt)
Yakun sifatida aytish mumkinki, kompleks sonlarning trigonometrik shakli
algebraik   shakldan   ko‘ra   ancha   kuchli,   qulay   va   ko‘p   qirrali   matematik
apparatdir.   U   nafaqat   nazariy   masalalarni,   balki   murakkab   fizik,   muhandislik,
texnik   va   kompyuter   grafikasi   masalalarini   echishda   beqiyos   imkoniyatlar
yaratadi.
29 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1. Ахмедов М. Oliy matematika kursi. – Toshkent: O‘qituvchi, 2019.
2. Ҳамидов К., Мирзаев Н. Yuqori matematika. – Toshkent: Turon-Iqbol,
2021.
3.   Корн   Г.,   Корн   Т.   Справочник   по   математике.   –   Москва:   Наука,
2018.
4. Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. – Москва: Физматлит, 2017.
5.   Фихтенгольц   Г.   М.   Курс   дифференциального   и   интегрального
исчисления. Т.1–3. – Москва: Физматлит, 2016.
6.   Колмогоров   А.   Н.,   Фомин   С.   В.   Элементы   теории   функций   и
функционального анализа. – Москва: Наука, 2015.
7. Бронсон Р. Комплексные переменные. – Москва: Мир, 2019.
8.   Маркушевич   А.   Краткий   курс   теории   аналитических   функций.   –
Москва: Наука, 2014.
9.   Смирнов   В.   И.   Курс   высшей   математики.   –   Москва:   Физматлит,
2020.
10.   Ларсон   Р.,   Хостетлер   Р.   Precalculus   with   Limits.   –   McGraw-Hill,
2014.
11. Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. – Cengage Learning, 2020.
12. Brown J. W., Churchill R. V. Complex Variables and Applications. –
McGraw-Hill, 2018.
13. Kreyszig E. Advanced Engineering Mathematics. – Wiley, 2021.
14.   Spiegel   M.   R.   Complex   Variables.   Schaum’s   Outline   Series.   –
McGraw-Hill, 2017.
15.   Zill   D.,   Wright   W.   Advanced   Engineering   Mathematics.   –   Jones   &
Bartlett, 2018.
30

Kompleks sonlarning geometrik va trigonometrik shakli

Купить
  • Похожие документы

  • Axborot texnologiyalar yordamida matematikani o`qitish samaradorligi oshirish metodikasi
  • Chiziqli algebra elementlari
  • Proеktsiyalash nazariyasining ba'zi bir masalalari
  • Taqqoslamalar tushunchasi
  • Bir noma'lumli ko‘p hadli tenglamalar

Подтвердить покупку

Да Нет

© Copyright 2019-2026. Created by Foreach.Soft

  • Инструкция по снятию с баланса
  • Контакты
  • Инструкция использования сайта
  • Инструкция загрузки документов
  • O'zbekcha