Konvektiv issiqlik– va massaalmashinuvining matematik va sonli modellari - Algebra - Referatlar

Dokument ma'lumotlari

Narxi	2000UZS
Hajmi	143.6KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	07 Noyabr 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Referatlar
Fan	Algebra

Konvektiv issiqlik– va massaalmashinuvining matematik va sonli modellari

Sotib olish

Konvektiv issiqlik – va massaalmashinuvining matematik va sonli
modellari
Reja:
1. Bussineska yaqinlashishida bir jinslimas suyuqlik modeli
2. Konvektiv issiqlik- va massa almashinuv masalalari uchun asosiy sxemani
modifikasiyalash

Asosiy sxema nafaqat bir jinsli siqilmaydigan suyuqlikning majburiy oqimi
haqidagi yuqorida muhokama qilingan masala yechimi uchun qo’llash mumkin.
Bizning keyingi maqsadimiz issiqlik va massa ko’chishida bir jinslimas suyuqlik
oqimi holida mumkin bo’lgan ommalashgan sxemalardan birini namuna qilib
ko’rsatishdan iborat.
1. Bussineska yaqinlashishida bir jinslimas suyuqlik modeli
Bir jinslimas suyuqlikning zichlik va fizik xossalari fazoviy o’zgaruvchi
bo’yicha o’zgarsin. Suyuqlik birjinslimasligi sababi birjinsli izotermik suyuqlikda
mavjud bo’lmagan bir qator yangi fizik effektlarni keltirib chiqaruvchi uning
tarkibi yoki harorati o’zgarishidan bog’liq bo’lishi mumkin (konveksiya, issiqlik-
va massako’chish).
Holat tenglamasi quyidagi ko’rinishda berilgan binar aralashmani qaraymizρ= f(C, T).
(1)
Bu yerda
T – harorat , C – aralashma konsentrasiya si .
Avvalgidek zichlik bosimdan bog’liq emas deb faraz qilinadi . Quyidagicha
deb faraz qilamiz
p= p0+ p', ρ= ρ0+ ρ',
(2)
bu yerda
p0,ρ0 ushbu statika tenglamasini qanoatlantiradi
− grad p0= ρ0g⋅n
, (3)
g
– og’irlik kuchlari yaratadigan tezlanish . p', { ρ'¿ og’ishlar uchun quyidagi
munosabatlar o’rinli
p'<< p0, { ρ'<< ρ0;¿
( 4)
u holda quyidagi tasvirlash o’rinli bo’ladi :
1
ρ
∂ p
∂y= 1
ρ0
∂ p0
∂y + 1
ρ0
∂ p'
∂y− 1
ρ02
∂ p0
∂ y ρ'=− g+βTgT'+βCgC'+ 1
ρ0
∂ p'
∂y
(5)
bu yerda

βT= − 1
ρ(
∂ρ
∂T )p,C
, βC= − 1
ρ(
∂ρ
∂C )p,T, (6)
T'= T− T0,C'= C− C0; T0,C0
– suyuqlik harorati va konsentrasiyasidan
hsioblanuvchi mos qandaydir o’zgarmas kattaliklar, chunki
T'<< T0,C'<< C0 .
Ko’tarish kuchlarining hisobga olinmaganligi harakat miqdori tenglamalarida
berilgan sistemani keltirib chiqarishda hamma joyda o’zgarmas hisoblanadi .
Suyuqlikning boshqa ushbu xossalarini o’zgarmas deb faraz qilinadi :
qovushqoqlik , issiqlik o’tkazuvchanlik , solishtirma issiqlik sig’imi , diffuzi ya
koeffisiyent lari . Issiqlik oqimi va diffuziya tenglamalarini yozishda issiqlik
ajralishi qovushqoq dissipasiya va siqish kuchlari ishi, issiqlik- va barodiffuziya
effektlari hisobidan deb faraz qilinadi. Bunday farazlarda harakat, birjinslimas
suyuqlik issiqlik va massa ko’chishi tenglamalari quyidagi ko’rinishga ega bo’ladi
(biz berilgan ikki o’lchovli sistemani og’irlik kuchivertikalga
ϕ burchak ostida
joylashganda dekart koordinatalarida yozamiz; 1-rasm.)
∂ω
∂t
+u∂ω
∂ x
+v∂ω
∂ y
= νΔω − gβ T(
∂T'
∂ y
sin ϕ− ∂T'
∂x
cos ϕ)−
− gβ C(
∂C'
∂ y sin ϕ− ∂C '
∂ x cos ϕ),
(7)
Δψ =ω ,
(8)
ρc p(
∂T'
∂t
+u∂T'
∂x
+v∂T '
∂ y )= λΔT ,
(9)
∂C '
∂t
+u∂C'
∂ x
+v∂C'
∂y
= DΔ C '
. (10)
Bu yerda
λ – issiqlik o’tkazuvchanlik koeffisiyenti, D –
diffuzii koeffisiyentlari dissipativ koeffisiyenlar hisoblanadi.
(9) da
cp – koeffisiyent o’zgarmas bosimda solishtirma
issiqlik sig’imi. Bu sistema uchun chegaraviy shartlarga
tezlik maydoni uchun chegaraviy shartlar va harorat va
1-расм. Ёпиқ текис
соҳада гравитацион
конвекцияни ҳисоб-лаш
схемаси.

konsentrasiya maydoni uchun chegaraviy shartlar kiradi. Oxirgisi uchta asosiy
turga bo’linishi mumkin :
1) Chegarada Tw harorat ( Cw aralashma konsentrasiya) beriladi .
2) Chegarada
qu=− λ∂T
∂n issiqlik oqimi ( jw=−D ∂C
∂n diffuzion oqim ) beriladi .
3) Chegarada issiqlik almashish qonuni
qw= α(Tw− Tl) ko’rinishida beriladi ,
bu yerda
α – issiqlik almashinuv koeffisiyent i , Tw – devor harorati , Tl – muhit
harorati ( mos
jw= αC(C w− C l) massa admashish qonunida , bu yerda αC – massa
almashinuv koeffisiyent i ). Bundan tashqari boshlang’ich vaqt momentida barcha
izlanayotgan funksiyalarning
ω0,ψ0,T0,C0 qiymatlari beriladi .
Izlanayotgan kattaliklar va erkli o’zgaruvchilar uchun masshtablar kiritib
(7)-(10) sistemani o’lchovsiz ko’rinishga keltirish mumkin
∂ω
∂t
+u∂ω
∂ x
+v∂ω
∂ y
= 1
Re
Δω − Gr
Re 2(
∂θ
∂ y
sin ϕ− ∂θ
∂x
cos ϕ)−
−
Gr D
Re 2 (
∂C
∂ y
sin ϕ− ∂C
∂ y
cos ϕ),
(11)
Δψ = ω ,
(12)
∂θ
∂t
+u∂θ
∂x
+v∂θ
∂ y
= 1
Re ⋅Pr
Δθ ,
(13)
∂C
∂t
+u∂C
∂x
+v∂C
∂ y
= 1
Re ⋅Sc
ΔC .
(14)
(11)-(14) sistema Reynolds sonidan tashqari masala shartlarda berilgan
kattaliklar bo’yicha aniqlanuvchi ushbu boshqa o’lchamsiz parametrlarni o’z
ichiga oladi :
Gr = gβL 3ΔT /v2 – Grasgof soni , Gr D= gβ cL3ΔC /v2 – Grasgof
diffuzi ya soni ,
Pr =v/a – Prandtl soni , Sc = Pr D= v/D – Prandtl diffuzi ya soni
yoki Shmidta diffuzi ya soni , bu yerda
a= λ/(ρc p) – harorat o’tkazuvchanlik
koeffisiyent i . Ushbu (11)-(14) sistemaga ko’plab keng ko’lamdagi jarayonlarni
yoritish mos keladi. 1-расм. Ёпиқ текис
соҳада гравитацион
конвекцияни ҳисоб-лаш
схемаси.

Eng muhim limitik rejimlar va xususiy hollarni ta’kidlagan olda bu
jarayonlarni qisqacha tasnifini qaraymiz.
Issiqlik (massa) ko’chishi rejimlarining eng oddiylari harakatsiz suyuqlikda(u≡ v≡ 0)
amalga oshuvchi issiqlikning (diffuziyaning) molekulyar jarayonlari
hisoblanadi.. Bu rejimlar (11)-(14) sistema uchun
Re → 0 , Gr → 0, Gr D→ 0 da
asimptotik hol hisoblanadi.
Gr = Gr D= 0, Re ≠ 0
da (11), (12) tenglamalar siqilmaydigan birjinsli
suyuqliklar uchun Navye-Stoks tenglamalarini beradi. Boshqa ikkita (13), (14)
tenglamalar issiqlik- va massaalmashinuv jarayonlari harakatga ta’sir qilmaydi
degan farazga ko’ra haraktdagi suyuqlikdagi issiqlik va massa ko’chishini yoritadi.
(11)-(14) sistema bilan yoritiluvchi eng muhim rejimlardan biri harorat
(konsetrasiya) gradiyentida og’irlik kuchi maydonida (yoki boshqa og’irlik
kuchlarida) vujudga keluvchi tabiiy gravitasion konveksiya rejimi hisoblanadi.
(11)-(14) sistemada ushbu ikki xil tabiiy konveksiyani yoritishni o’z ichiga oladi:
issiqlik va konsentrasion .
Issiqlik konveksiyasi jadalligi Grasgof soni bilan aniqlanadi . Bunda dinamik
va issiqlik chegaraviy qatlamlari qalinligi nisbatini ifodalovchi Prandtl soni ham
muhim ahamiyat kasb etadi . Ko’p hollarda
Ra = Gr ⋅Pr Reley soni ham muhim rol
o’ynaydi .
Konsentrasion konveksiya jadalligi Grasgof sonining analogi bo’lgan
diffuzion Grasgof soni bilan aniqlanadi . Bunda dinamik va diffuzion chegaraviy
qatlamlar qalinligi nisbatini tasvirlovchi diffuzion Prandtl soni (Shmidt soni)
muhim rol o’ynaydi . Konsentrasion konveksiya rejimida Reley sonining analogi
Ra D= Gr D⋅Sc
diffuzion Reley soni hisoblanadi .
Sonli amalga oshirishda tabiiy konveksiya jarayonlarida masala shartlari
bilan berilgan xarakterli tezlikning yo’qligi muhim . (11)-(14) sistemada masshtab
sifatida
V1 tezlik olinishi mumkin , masalan , tezlik o’lchoviga ega v/L kattalik .
Buning uchun (11), (12) sistemada masshtab faktori rolini bajaruvchi Reynolds
sonini birga teng qilib qo’yiladi . (11)-(14) sistemada o’lchamsiz tezlik
uL /v ga

teng bo’ladi, ya’ni mahalliy tezlikka olib boruvchi Reynolds soni hisoblanadi,
o’lchamsiz vaqt esa vt /L2 ga teng bo’ladi .
(11)-(14) sistema bilan aniqlanuvchi eng umumiy rejim yuqorida eslatib
o’tilgan barcha o’xshashlik kriteriylari qo’llanib yoziluvchi tabiiy va majburiy
konveksiyaning birgalikda ta’siridagi rejim hisoblanadi.
Yuqorida aytilganlar (11)-(14) sistema yorituvchi issiqlik va massa ko’chishi
oqimlari rejimlarining qandaydir darajada xilma-xilligini xarakterlaydi.
2. Konvektiv issiqlik- va massa almashinuv masalalari uchun asosiy
sxemani modifikasiyalash
Asosiy sxemani qaralgan konvektiv issiqlik- va massa almashinuv
masalalari sinfiga qo’llash vixr uchun tenglamada og’irlik kuchlari tashkil
etuvchilarini approksimasilash haqidagi, (13), (14) ko’chish tenglamalarini
approksimasiyalash, butun sistema iterasiyasini bir butun olib borish yo’li kabi
muammolarni yechish bilan aloqador.
Asosiy sxema ko’rsatilgan masalalar uchun quyidagi tarzda qo’llanishi
mumkin:
1) Vixr tenglamasini yechish uchun o’zgaruvchi yo’nalishli sxemalarda
F
o’ng taraf n,n+1/2 vaqt momentlarida ma’lum harorat va konsentrasiya
maydonlari qiymatlari bo’yicha approksimasiyalanadi:
~Fn+1/2=− Cr
Re 2(
θi,j+1
n − θi,j−1
n
2l sin ϕ−
θi+1,j
n − θi−1,j
n
2h cos ϕ)−
−
Cr D
Re 2(
Ci,j+1
n −Ci,j−1
n
2l sin ϕ−
Ci+1,j
n −Ci−1,j
n
2h cos ϕ),
~Fn+1= Cr
− Re 2(
θi,j+1
n+1/2− θi,j−1
n−1/2
2l sin ϕ−
θi+1,j
n+1/2− θi−1,j
n−1/2
2h cos ϕ)−
−
Cr D
Re 2(
C i,j+1
n+1/2− Ci,j−1
n+1/2
2l sin ϕ−
C i+1,j
n+1/2− C i−1,j
n+1/2
2h cos ϕ).
2) (13) va (14) ko’chish tenglamalarini yechish uchun vixr tenglamasi uchun
sxemalar analogi bo’yicha o’zgaruvchi yo’nalish usuli ayirmali sxemasi qo’llanadi .

Berilgan hol uchun sxemalar yozuvlarining to’la aynan o’xshashligi sababli biz bu
yerda mos ayirmali formulalarni keltirmaymiz .
3) (11)-(14) umumiy tenglamalar sistemasini yechishda yuqorida bayon
etilgan sxemani aniq holda har xil iterasiya yo’llarini olib borib qo’llash mumkin .
Butun (11)-(14) sistemani ketma-ket yechishda bitta va faqat bitta τ vaqt qadami
bilan olib borish eng oddiy yo’l hisoblanadi, stasionar masalalarni yechishda esa
iterasiya parametri hisoblanadi. Ammo vixr uchun chegaraviy shartlarni
approksimasiyalashda kelib chiqadigan (13) issiqlik va (14) tenglamalar uchun
turg’unlik bo’yicha cheklashlarning yo’qligi sababli katta vaqt qadamlari bilan (13)
issiqlik va (14) massa ko’chishi tenglamalari birinchi ikkita tenglamalardan
alohida yechish mumkin bo’lgan holatni qo’llash mumkin. Shuning uchun butun
sistemani ikkita blokka bo’lish maqsadga muvofiq, bittasi vixr, oqim funksiyasi
tenglamalar sistemasidan va boshqasi esa issiqlik va massa ko’chish
tenglamalaridan iborat.
Stasionar masalalarni bog’lash usuli bilan yechishda umumiy sistemada u
yoki bu aniq rejimdan aniqlovchi kriteriy kattaliklari bo’yicha bog’liqlikda har xil
imkoniyatlarga egaligi sababli boshlang’ich yaqinlashishni tanlash juda muhim
hisoblanadi.
Yaqinlashishni ancha tezlashtiruvchi bir qator umumiy andazalarni ifodalash
mumkin.
1) Amalda barcha stasionar masalalarda boshlang’ich yaqinlashish sifatida
muhit harakatini hisobga olmaydigan stasionar issiqlik o’tkazuvchanlik va
diffuziya tenglamalari yechimini qo’llash maqsadga muvofiq.
2) Katta
Re (Ra ) sonlari sohasida stasionar masalalarni yechishda
boshlang’ich ma’lumotlar sifatida kichik
Re (Ra ) son qiymatlarida stasionar
masala yechimini qo’llash maqsadga muvofiq, ya’ni ketma-ket stasionar holat
usuli bilan hisoblab amalga oshiriladi. Har xil harakat ko’rinishlari ta’sirini
tasvirlaydigan (masalan, tabiiy konveksiya va majburiy harakat) murakkab rejimda
hisoblashda boshlang’ich yaqinlashish sifatida bu harakatlardan biriga mos
stasionar yechimni qo’llash maqsadga muvofiq, va h.k.

Shuni ta’kidlaymizki, bu hisoblash usulini (11)-(14) tenglamalarni og’irlik
kuchlari (magnit maydoni, aylanma va h.k.) ta’sirini oydinlashtiruvchi tenglamalar
bilan birgalikda yechgan holda ham qo’llash mumkin.

Konvektiv issiqlik– va massaalmashinuvining matematik va sonli modellari

Sotib olish