Koshining asosiy teoremasi. Analatik funksiyalar. Garmonik funksiyalar.Kosining integral formulasi - Алгебра - Рефераты

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	68.4KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Рефераты
Предмет	Алгебра

Koshining asosiy teoremasi. Analatik funksiyalar. Garmonik funksiyalar.Kosining integral formulasi

Купить

Koshining asosiy teoremasi. Analatik funksiyalar. Garmonik
funksiyalar.Kosining integral formulasi.
Reja:
1. Koshi integral teoremasi
2.Analitik funksiya
3.Garmonik funksiyalar
4.Koshining integral formulasi.
Adabiyotlar

Koshi integral teoremasi
Koshi integral teoremasi -kompleks o zgaruvchili funksiyalar nazariyasiningʻ
fundamektal teoremasi. G (7.) — kompleks tekislikdagi bir boglamli D sohada
ʻ
aniqlangan golomors funksiya, u esa D sohada yotuvchi bo lakli silliq yopiq chiziq
ʻ
bo lsin. U holda bo ladi. Bu teorema O. Koshi tomonidan 1825-yilda e lon
ʻ ʻ ʼ
qilingap. Uning to la isbotiii 1884-yilla E. Gure bsrli. Koshi integral teoremasi t.
ʻ
golomorf funksiyalar xossalaryning asosiy harakteristikalarilap birini ifodalaydi.
Uzluksiz funksiyalar uchun Koshi integral teoremasi t.ga teskari teoremaga Marera
teoremasi deyiladi.ko rinishlagi integral; bunda u — to g rilaiuvchi yopiq egri
ʻ ʻ ʻ
chiziq, f(^) — kompleks o zgaruvchili funksiya bo lib, u u — chiziq bilan
ʻ ʻ
chegaralangan chekli D sohada golomorf va bu sohaning yopig i Oda uzluksizlir.
ʻ
Agar nuqta D sohaga tegishli bo lsa, u holda Koshi integral teoremasi f(g) ga teng
ʻ
bo ladi, ya ni D sohala golomorf va uning yopigi D la uzluksiz har qanday
ʻ ʼ
funkniyaning D soxadagi qiymati chegaralari qiymatlari orqali Koshi integral
teoremasi vositasida ifolalanadi.
Koshi integral teoremasinikg umumlashmalari Koshi tipidagi integrallardir.
ularning ko rinishi ham Koshi integral teoremasi ko rikishila bo lali, lskik u egri
ʻ ʻ ʻ
chiziq yopiq bo lishi va f funksiya golomorf bo lishi shart emas, Koshi tipidagi
ʻ ʻ
iktegrallar matematik fizika va gidrolinamikaning ayrim masalalarini yechishda
qo llaniladi.
ʻ
Analitik funksiya
Analitik funksiya – matematikaning asosiy tushunchalaridan biri; f(z)=c +c (z-a)
₀ ₁
+c (z-a)²+c (z-a)³+... darajali qator yig indisi ko rinishida yozilishi mumkin
₂ ₃ ʻ ʻ
bo lgan funksiya. Bundan Analitik funksiyaning istalgan tartibdagi hosilasi ham
ʻ
mavjudligi kelib chiqadi. Analitik funksiya sinfi yetarlicha keng bo lib, unga
ʻ
matematikada va uning tadbikdarida uchraydigan funksiyalarning ko pchiligi
ʻ
kiradi. Ayni paytda bu sinf bir qator ajoyib xossalarga ega. Avvalo, Analitik
funksiya sinfi arifmetik, algebraik amallarga, limitga o tish amaliga nisbatan yopiq
ʻ

sinfdir. Analitik funksiyalarni ikki turga bo'lish mumkin: haqiqiy va kompleks
analitik funksiyalar.
Xossalari.
1. Agar f(z)-kompleks o'zgaruvchili analitik funksiya bir bog lamli D sohadaʻ
analitik bo lsa, ixtiyoriy yopiq γ
ʻ ⊂ D kontur bo yicha olingan integral nolga teng. ʻ
2. Agar f(z)-kompleks o'zgaruvchili analitik funksiya bir bog lamli D sohada
ʻ
analitik bo lsa, D sohani chegarasida berilgan qiymatlar orqali sohani ichidagi
ʻ
qiymatlarini aniqlash mumkin.
3. Agar f(z)-kompleks o'zgaruvchili analitik funksiya bir bog lamli D sohada
ʻ
analitik bo lsa, uning haqiqiy va mavhum qismlari D sohada
ʻ garmonik
funksiya bo'ladi.
Shu va boshqa xossalar Analitik funksiya sinfining muhim ob’ekt ekanligini
ko rsatadi. Analitik funksiya nazariyasiga O. Koshi, B. Riman, K. Veyershtrass
ʻ
asos solgan.
Garmonik funksiyalar
Garmonik funksiyalar - Laplas tenglamasini kanoatlantiradigan biror sohada
birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz bo lgan haqiqiy funksiyalar.
ʻ
Tarif n o'lchamli fazodagi D sohada aniqlangan ikki marta differensiallanuvchi u
funksiya Δu=0 tenglamani qanoatlantirsa u holda u funksiya D sohada garmonik
funksiya deyiladi. D sohada garmonik funksiyalar sinfi h(D) bilan belgilanadi.
Xossalari
1. D sohada garmonik funksiya har qanday tartibli xususiy hosilalarga ega, ya'ni
cheksiz marta differensiallanuchi bo'ladi.
2. Garmonik funksiyani D sohadagi S ⊂ D sfera bo'yicha o'rta qiymati S sfera
markazidagi qiymatiga teng.

3. Garmonik funksiyani D sohadagi B ⊂ D shar bo'yicha o'rta qiymati B shar
markazidagi qiymatiga teng.
4. Agar D ⊂ C kompleks tekislikdagi bir bog'lamli sohada u - garmonik bo'lsa u
holda shunday f - D sohada analitik funksiya mavjudki u = Re f tenglik o'rinli.
Muhim vektor maydonlarning potensiallari (mas, siqilmaydigan bir jinsli suyuqlik
harakatida tezlik potensiali, jism ichida temperaturaning tarqalishi va b.) G.f.
hisoblanadi. Ikki x, u o zgaruvchining G. f. i kompleks z = x + iy o zgaruvchiningʻ ʻ
analitik funksiyasi / (x) bilan uzviy bog langan. Har bir i (x, u) G.f. biror analitik /
ʻ
(x) funksiyaning haqiqiy yoki mavhum qismi va, aksincha, ixtiyoriy analitik
funksiyaning haqiqiy va mavhum qismlari G. f. bo ladi. G. f. nazariyasining eng
ʻ
muhim masalalari chegaraviy masalalardan ibo-rat. Bulardan biri Dirixle masalasi
bo lib, bunda biror soha ichidagi G. f. soha chegarasida berilgan qiymatlariga
ʻ
asosan izlanadi. G. f. nazariyasining bu va b. chegaraviy masalalarini yechish
uchun nazariy va amaliy jihatdan ahamiyati katta bo lgan turli usullar ishlab
ʻ
chiqilgan. G.f. nazariyasini fizika va texnika masalalariga tatbiq qilishda
chegaraviy masalalarni sopli yechish usullarini ishlab chiqish juda muhim (qarang
Matematik fizika tenglamalari).
Koshining integral formulasi.
Kompleks sonlar tekisligi C da D sohani qaraylik. Uning chegarasi
∂D silliq
(bo’lakli silliq) chiziqdan iborat. Bu yopiq egri chiziq musbat yo’nalishda olingan
bo’lsin. Aytaylik,
D da f(z) funksiya aniqlangan bo’lsin.
Teorema: Agar
f(z)∈V (D )∩ C (D ) bo’lsa, u holda ∀ z∈D nuqta uchun
…………………………………
f(z)= 1
2πi ∫
∂D
f(ξ)
ξ− z
(1)
tenglik o’rinli bo’ladi.
O’ng tomonda f(z) funksiyamizni faqat chegaradagi qiymatlar ishtirok qilyapti.
Demak golomorf funksiya o’zini chegaradagi qiymatlari bilan to’la aniqlanadi.

Isbot:
Etarlicha kichiq  son uchun U ρ= {z:|z'− z|< ρ} doirani qaraymiz (U ρ⊆ D ) ,
u holda
D ρ= D {U ρ¿ sohada
f(ξ)
ξ−z funksiya 2 ta golomorf funksiyaning nisbati
sifatida (maxraji nolga teng emas) golomorfdir (hattoki
D ρ da ham). Ko’p
bog’lamli soha uchun Koshi teoremasiga ko’ra
∫
∂Dρ
f(ξ)
ξ− z
dξ = 0

yoki bundan

Endi
ρ→ 0 da o’ng tomon 2πif(z) ga intilsa bas. Shuni ko’rsatamiz. f(z)
funksiya z nuqtada uzluksiz bo’lganligi uchun
∀ ε>0 songa ko’ra, ∃δ>0 ni
|ξ− z|= ρ<δ
bo’lganda |f(ξ)− f(z)|<ε tengsizlik bajariladi.
B undan

ρ→ 0 da (3) ning chap tomoni nolga intilishi kelib chiqdi. (2) ni chap tomoni 
ga bog’lik emasligini hisobga olsak
f(z)= 1
2πi ∫
∂Uρ
f(ξ)
ξ− z
dξ = 1
2πi ∫
∂D
f(ξ)
ξ− z
dξ
ni hosil qilamiz. Shartga ko’ra
f(z)= 1
2πi ∫
∂D
f(ξ)
ξ− z
dξ

ekan.
Odatda (1) formulaga Koshining integral formulasi deyiladi.
Endi Koshining integral formulasini xususiy holda, chegarasi aylanadan iborat
soha uchun keltiramiz. Kompleks tekislik C da ushbu
D = {z∈ C :|z− z0|<r,r>0}
doirani qaraylik (z0∈C ) . Ravshanki bu doiraning
chegarasi
∂ D = {z∈C :|z− z0|= r,r>0} aylana bo’ladi.
Aytaylik f(z) funksiya
D to’plamda berilgan bo’lsin.
Teorema: (O’rta qiymat haqidagi teorema)
Agar
f(z)∈V (D )∩ C (D ) bo’lsa, u holda
f(z0)= 1
2π ∫
0
2π
f(z0+re iϕ)dϕ (4)
formula o’rinli bo’ladi.
Isbot: Koshining integral formulasiga ko’ra
f(z0)= 1
2πi ∫
∂D
f(ξ)
ξ− z
dξ (5)
formula o ’ rinli .
Ravshanki , markazi
z0∈C nuqtada radiusi r bo ’ lgan ∂D aylanada
ξ= z0+ re iϕ (0≤ ϕ≤ 2π )
bo ’ lib dξ = ire iϕdϕ bo ’ ladi .
Unda
∫
∂D
f(ξ)
ξ− z
dξ = ∫
0
2π f(z0+ re iϕ)⋅ire iϕ
re iϕ dϕ= i∫
0
2π
f(z0+ re iϕ)dϕ (6)

bo’ladi. (5) va (6) tenglikdan (4) tenglik kelib chiqadi.

Adabiyоtlar:
1. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. 2-nashri, 1- ч .- М , “ Наука ”,
1976.
2. Xudoyberganov G., Vorisov A., Mansurov X. Kompleks analiz. (ma’ruzalar).
T, “Universitet”,1998.
3. Sadullaev A., Xudoybergangov G., Mansurov X., Vorisov A., Tuychiev T.
Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami. 3-qism (kompleks analiz)
“O’zbekiston”,2000.
4. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории
функций комплексного переменного. 3- nashri . – М. “Наука”, 1975.

Koshining asosiy teoremasi. Analatik funksiyalar. Garmonik funksiyalar.Kosining integral formulasi

Купить

Похожие документы
Ayirmali sxemalar, ularni qurish va differensial masalani approksimasiyalash. Dirixle masalasi. Chekli — ayirmali tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechish (Libman o‘rtalash jarayoni)
Bernulli tenglamasi. puazeyl va darsi-veysbax formulalari. gidravlik zarba
Boshlang‘ich sinflarda matematikadan uy ishlari va o‘quvchilar bilimini reyting baholash va baho normalalri
Bir o‘lchamli nostatsionar issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan yechish
Boshlang‘ich sinflarda matematika o‘qitish metodlari va ularning kilassifikatsiyasi