Информация о документе

Цена 36000UZS
Размер 146.7KB
Покупки 0
Дата загрузки 19 Январь 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Alisher

Дата регистрации 03 Декабрь 2024

112 Продаж

Kuchaytirilgan katta sonlar qonuni

Купить
2MUNDARIJA: KIRISH...................................................................................................................3 I. BOB. ALGEBRA, δ -ALGEBRA, LEMMA HAQIDA UMUMIY MA'LUMOTLAR..................................................................................................... ........ 5 1.1. Kolmogorov tengsizligi........... ...........................................................................5 1.2. Borel teoremasi.............................................................................................. ..10 KIRISH ................................................................................................................................................ 3 Elektron resurslar ................................................................................................................................... 22 3KIRISH O’zbekiston Res p ublikasida shakllangan uzluksiz ta’lim tizimi barkamol shaxs va malakali mutaxassisni tayyorlash jarayonining s amarali tashkil etilishini ta’minlashga xizmat qiladi. Uzluksiz ta’lim tizimi doirasida faoliyat olib boruvchi ta’lim muassasalari ilg’or, demokratik hamda insonparvar g’oyalarga tayangan, hamda yangicha mazmunga ega bulgan t a’lim jarayonini tashkil etishda muhim o’rin tutadi. Uzluksiz ta’lim tizimini shakllantirish, shuningdek, tag’lim mazmunini yangilash ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlarning bosh g’oyasi sanaladi. Oliy ta’lim mazmunini yangilash jarayonida bo’lajak mutaxassislarning umumiy mehnat va kasbiy ko’nikma hamda malakalarga ega bo’lishlarini ta’minlash masalasining samarali hal etilishiga alohida ahamiyat qaratilishi zarur. Bozor iqtisodiyotiga o’tish sharoitida o’qituvchilarning mehnat bozoriga moslashuvini ta’minlash alohida ahamiyat kasb etmoqda. Shu o’rinda alohida ta’kidlash joizki, oliy ta’lim muassasalarida bo’lajak mutaxassislarni tayyorlash jarayoni talabalarda zaruriy ishlab chiqarish iqtisodiy mazmunga ega faoliyat, ko’nikma va malakalari sifatini sh akllantirishga e’tiborni qaratish talab etiladi. Biroq, ta’lim jarayonlarini takomillashtirishga qo’yilayotgan yangi, yanada yuqoriroq talablar, shuningdek, talabalarning kasbiy ko’nikma va malakalarini, yangi pedagogik texnologiyalarni rivojlantirish bilan yangicha fikrlovchi mutaxassisni shakllantirish imkonini beruvchi sharoitlarning ishlab chiqilmaganligi o’rtasida ob’ektiv qarama- qarshilik mavjud. Har tomonlama barkamol insonni shakllantirish bugungi jamiyatimiz oldida turgan dolzarb masalalardan biri bo’lib qolmoqda. Hozirgi maktab o’rindiqlarida o’tirgan yosh avlod ertaga bizning qo’limizdan ishimizni oladigan, hayotimizni davom ettirib, o’zidan keyingi avlodga yetkazuvchi vorislarimiz, O’zbekiston buyuk kelajagining egalaridir! Shu sababli Prezidentimiz Islom Karimov butun mamlakatimiz diqqat e’tiborini barkamol avlod tarbiyasiga qaratmoqda. “Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida yaratiladi, boshqacha aytganda, xalqimizning ertangi kuni qanday bo’lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim va tarbiya olishiga bog’liq. Buning uchun har qaysi ota –ona, ustoz va murabbiy har bir bola timsolida 4avvalo shaxsni ko’rishi zarur. Ana shu oddiy talabdan kelib chiqqan holda, farzandlarimizni mustaqil va keng fikrlash qobiliyatiga ega bo’lgan, ongli yashaydigan komil insonlar etib voyaga yetkazish – ta’lim-tarbiya sohasining asosiy maqsadi va vazifasi bo’lishi lozim, deb qabul qilishimiz kerak. Bu esa ta’lim va tarbiya ishini uyg’un holda olib borishni talab etadi” Ta’lim jarayoniga pedagogik texnologiyalarni olib kirish “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”ning ikkinchi bosqich vazifalaridan biridir. Ta’lim - kelajakdagi muvaffaqiyatlar kaliti ekan, uning mahsuli sifatida bugungi o’quvchi kelajakda huquqiy-demokratik jamiyat a’zosi sifatida bu jamiyat hayotida to’laqonli ishtirok eta olishi, zamonning bozor iqtisodiyoti qo’yayotgan talablariga to’la javob bera olishi kerak. Axborot oqimi keskin ortgan,turli yangiliklar hayotimizga shitob bilan kirib kelayotgan davrda mustaqil tanqidiy fikrlash ko’nikmalariga ega bo’lgan,yangilikni o’rganishga doim tayyor bo’lgan, hamkorlikdan cho’chimaydigan , muloqotga erkin kirisha oladigan shaxsni tarbiyalash ta’lim- tarbiya jarayonining asosiy maqsadi bo’lishi kerak va bu borada ta’limda yangi texnologiyalarning qo’llanishiga yo’l ochilishi maqsadga erishish yo’lidagi to’g’ri qadamdir. Hozirgi kunda yangi texnologiya elementi bo’lgan interfaol usullardan keng foydalanilmoqda. Boshlang’ich sinf matematik darslarida ilg’or pedagogik texnologiyadan foydalanib dars o’tilsa, o’qitish jarayoni takomillashadi. Kurs ishi dolzarbligi ana shu bilan asoslanadi. Kurs ishi maqsadi: Boshlang’ich sinflarda arifmetik amallarni o’rgatishda pedagogik texnologiyalardan foydalanish pedagogik asoslarini ishlab chiqish. Kurs ishi obyekti: U mumiy o’rta ta’limning boshlang’ich sinflaridagi o’quv- tarbiyaviy jarayoni . Kurs ishi predmeti: B oshlang’ich sinflarda a rifmetik amallarni o’rgatishda pedagogik texnologiyalardan foydalanish. Kurs ishi tuzilishi: Kurs ishi kirish, 2 ta bob, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro’yxatidan iborat. I. BOB. ALGEBRA, δ -ALGEBRA, LEMMA HAQIDA UMUMIY MA'LUMOTLAR 1.1. Algebra va δ -algebra Agar bog‘liqsiz tasodifiymiqdorlar ketma-ketligi ξ1,ξ2,… ξn,… chekli matematik kutilma hamda chekli dispersiyaga ega bo'lsa, u holda P( max1<k<n 1 k¿¿ Isboti. Gayek-Reni tengsizligida Ck= 1 k deb olsak, 2-natijaning isboti kelib chiqadi. Kolmogorov tengsizligini P( max 1 < k < n ¿ ¿ ko‘rinishda qayta ifodalash mumkin. 6-teorema. Agar ξ 1 , ξ 2 , … ξ n , … bogliqsiz tasodifiy miqdorlarbo‘lib, Mξ n =0, Dξ n=σn2 va ∑ n = 1∞ σ n2 n 2 < ∞ bo‘lsa, u holda ξ 1 + … + ξ n n n → ∞→ 0 munosabat o‘rinli, ya’ni bu ketma-ketlik uchun kuchaytirilgan kata sonlar qonuni o‘rinli. Isboti. Sn=ξ1+ξ2+… +ξn bo‘lsin. U holda S n n n → ∞→ 0 bolishi uchun, ixtiyoriy ε >0 uchun P( ¿ k ≥ n | S k k | > ε ) n → ∞→ 0 (7) shart bajarilishi zarur va yetarlidir. Quyidagi A n max 2 n − 1 ≤ k ≥ 2 n | S k k | > ε hodisani kiritamiz. U holda (7) yaqinlashish P ( ¿i=1¿nAi¿¿n→ ∞ → 0 munosabatga ekvivalent. Kolmogorov tengsizligiga ko'ra 5 P(An¿=¿ P( max 2 n − 1 ≤ k ≥ 2 n | S k k | > ε ¿ ≤ P ( max 2 n − 1 ≤ k ≥ 2 n | S k | > ε 2 n − 1 ) ≤ P ¿ Songra ∑ k = 1∞ P ( A k ) ≤ 4 ε − 2 ∑ k = 1∞ 2 − 2 k ∑ n = 12 k σ n2 ≤ 4 ε − 2 ∑ n = 1∞ σ n2 ∑ k = 2 k∞ 2 − 2 k = 4 ε − 2 ∑ n = 12 k σ n2 ∑ k : 2 n ≥ n 1 2 k 2 ≤ 8 4 ε − 2 ∑ n = 1∞ σ n2 n 2 < ∞ Chunki ∑ k = k 0∞ 2 − 2 k ≤ 2 ∙ 2 − 2 k 0 Bundan ∑ k = 1∞ P ( A k ) qatoming yaqinlashishi kelib chiqadi. Demak, P( ( ¿ i = 1 ¿ n A i ¿ ¿ ≤ ∑ k = n∞ P ( A ¿ ¿ k ) n → ∞→ 0 ¿ va bu esa (6) munosabatga ekvivalentdir. Teorema isbot boldi. 1-Iemma . M ξ tasodifiy miqdorning matematik kutilmasi chekli bolishi uchun ∑ n = 1∞ { P | ξ| > n } < ∞ bolishi zarur va yetarli. Isboti. M ξ matematik kutilmaning chekliligidan M |ξ|<∞ kelib chiqadi va aksincha. Quyidagi ∑n=1 ∞ (n−1)I{n−1<|ξ|≤n}≤|ξ|Iξ=0+∑n=1 ∞ |ξ|I{n−1<|ξ|≤n}≤∑n=1 ∞ nI{n−1<|ξ|≤n} tengsizlik o‘rinli bolgani sababli, ∑n=1 ∞ (n−1)P(n−1)<|ξ|≤n¿≤M |ξ|≤∑n=1 ∞ nP ¿(n−1)<|ξ|≤n¿(8) ammo ∑ n = 1∞ ( n − 1 ) P ( n − 1 ) < | ξ| ≤ n ¿ ≤ ∑ n = 0∞ P (| ξ| > n ) ≤ 1 ¿ P (| ξ| > n )( 9) ∑ n = 1∞ ( N − 1 ) P ( n − 1 ) < | ξ| ≤ n ¿ ≤ ∑ n = 1∞ nP ( n − 1 ¿ ¿ | ξ| < n ) P (| ξ | > 0 ) = ∑ n = 1∞ P (| ξ| > 0 ) ¿ ( 10 ) (8) - (10) munosabatlardan ∑ n = 1∞ P (| ξ| > n ) ≤ M | ξ| ≤ 1 + ∑ n = 1∞ P ( | ξ| > n ) bundan esa lemmaning isboti kelib chiqadi. 7-teorema (Kolmogorov teoremasi). N} {ξn,n Nϵ } bogliqsiz 6 bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bolsin. Kuchaytirilgan katta sonlar qonuni oMinli boMishi uchun, ya’ni 1 n ∑ k = 1n ξ k n → ∞→ 0 bolishi uchun ξk tasodifiy miqdorlar chekli M ξk=ak nϵ matematik kutilmaga ega bolishi zarur va yetarli. Isboti. Yetarliligi . Quyidagi belgilashlami kiritamiz xI{|x|≤n} funksiya har qaysi n uchun Borel funksiyasi bolgani sababli ξ 1 , … ξ n , … bogliqsiz tasodifiy miqdorlar ketma- ketligidan iborat. Sn=ξ1+ξ2+… +ξn bolsin. U holda S n − na n = S n − S n n + S n − M S n n + M S n n -a= J 1n + J 2n + J 3n tenglik o‘rinli. Teorema shartining yetarliligini isbotlash uchun har uchala qo'shiluvchi ham nolga 1 ehtimol bilan yaqinlashishini ko‘rsatamiz, Uchinchi had uchun J 3n = 1 n M ∑k=1 n I{|ξ|≤k}− a= 1 nM ∑k=1 n I{|ξ|≤k}− 1 n∑k=1 n M (ξk(I¿¿{|ξ|≤k}+I{|ξ|≤k}))¿ ammo M( ξkI{|ξ|≤k}¿n→ ∞ → 0 U holda Shtols teoremasidan. J 3n n → ∞→ 0 A n = { ξ n ≠ ξ n } hodisa kiritamiz. U holda, M ξn¿¿ < ∞ bo'lgani sababli, avvalgi lemmaga ko‘ra, har bir n uchun Songra bolgani sababli Р( A ¿ ) = 0, ya’ni chekli sondagi n uchun ξ n ≠ ξ n Demak, J 1n n → ∞→ 0 Endi J3nSn− M Sn n n→ ∞ → 0 munosabatning o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun, kuchaytirilgan katta sonlar qonuni bajarilishining yetarlilik shartini beruvchi 7 6- teoremadan foydalanamiz. Buning uchun ∑ n = 1n Dξ n n 2 < ∞ ekanligini isbotlaymiz. Dξ n ≤ M ξ n 2 ≤ ∑ k = 1n k 2 P ¿ ¿ tengsizliklar o‘rinli bolgani sababli Ushbu tengsizliklar o‘rinli bo‘lgani sababli, Zarurligi. Agar 1 n ∑ k = 1n ξ k n → ∞→ 0 bo‘lsa, u holda ξ n n = S n n − n − 1 n S n − 1 n − 1 n → ∞→ 0 ehtimol bilan :{ ω Ω ϵ : | ξ n n | > 1 } hodisalardan faqat cheklitasi ro‘y beradi. ∑ k = 1n P ( ¿ | ξ n | > n ) = ∑ k = 1n P ( ¿ | ξ 1 | > n ) < ∞ ¿ ¿ Место для формулы . ∑ k = 1n P ¿ ¿ B¿ orqali {ω Ωϵ :| ξn n|>1} hodisalardan cheksiz ko‘pi bajarilishini bildiruvchi tasodifiy hodisani belgilaymiz va ξ k tasodifiy miqdorlaming bog’liqsizligidan foydalanib, quyidagilarga ega bo‘ lamiz: Demak, M ξn¿¿ < ∞ Teorema isbot boldi. 1.2. Borel teoremasi 8 Yutuqning ehtimoli p bolgan Bernulli sxemasi boyicha otkazilayotgan n ta tajribada yutuqlar soni uchun kuchaytirilgan katta sonlar qonuni o‘rinli, y a ’ni μ n n n → ∞→ 0 . Misol. Bernshteyn polinomlari. Katta sonlar qonuni, matematik analiz kursidan bizga ma’lum bo‘lgan uzluksiz funksiya ko‘phadlar orqali tekis yaqinlashishi haqidagi Veyershtrass teoremasini isbotilashda ishlatiladi. Har bir tajribada “yutuq” chiqish hodisasining ehtimoli x , qarama-qarshi hodisaning ehtimoli 1 - x , (0 < x < 1) bo'lgan bogliqsiz tajribalar o'tkazilayotgan bolib, μ n esa n ta tajribada chiqqan “yutuq”lar soni fϵC[0,1] bolsin. U holda P( μ n = k ¿ = C n k x k ( 1 − k ) n − k tenglik o‘rinli bolgani sababli Bn(x)= Mf ( μn n )=∑k=0 n (k n)Cnkxk(1− k)n−k (11) Bn(x) kophad f(x) funksiya uchun Bernshteyn polinomi deb ataladi. Bernulli teorem asiga k o ‘ra μ n n n → ∞→ 0 holda Mf( μ n n ¿ n → ∞→ f ( x ) munosabatning o‘rinli ekanligini ko‘rish mumkin. Bernshteyn teorem asi. (11) formula orqali aniqlangan { B n ( x ) n Nϵ } ko‘phadlar ketm a- ketligi [0,1] oraliqda aniqlangan uzluksiz f{x) funksiyaga tekis yaqinlashadi. Isboti. F funksiya [0,1] oraliqda uzluksiz bolgani sababli u [ 0, 1] oraliqda tekis uzluksiz boladi, ya’ni ixtiyoriy ε > 0 uchun shunday δ ( ε ) son topiladiki, | x 1 − x 2 | < ε 2 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x1 va x2 sonlar uchun |f(x1)− f(x2)|ε 2 boladi. f( x ) funksiya [0,l] oraliqda chegaralangan bolgani uchun, shunday o‘zgarmas son с topiladiki, uning uchun f(x) < с tengsizlik o‘rinli boladi. Ushbu 9 ∑k=0 n Cnkxk(1− k)n−k=1binom formulasi o‘rinli. Bunga ko‘ra B n ( x ) − f ( x ) = ∑ k = 0n ( f ( k n ) − f ( x ) ) C nk x k ( 1 − k ) n − k demak, Chebishev tengsizligidan kelib chiqadi, chunki 0 < x < 1 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha x sonlar uchun x(x-1) ¿ 1 4 soni 1 4N (δ)δ2<ε 2 tengsizlikni qanoatlantiruvchi natural son bolsin. U holda ixtiyoriy xe [ 0.1] uchun |Bn(x)− f(x)|<ε tengsizlik o‘rinli. Shuni isbotlash talab qilingan edi. Misol. Monte-Karlo metodi. Bizdan, qandaydir uzluksiz g(x) funksiya uchun ∫0 1 g(x)dx integralni hisoblash talab qilinayotgan bolsin. { ξ n , n N ϵ } [0;1] oraliqda tekis taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma-ketligi bolsin. U holda Mg( ξn¿ = ∫−∞ +∞ g(x)pξn(x)dx =∫0 1 g(x)dx va kuchaytirilgan katta sonlar qonuniga asosan, 1 ehtimol bilan g ¿ ¿ Mg( ξ 1 ¿ = ∫ 01 g ( x ) dx deb ta’kidlashimiz mumkin. Shunday qilib, ∫0 1 g(x)dx integralni taqribiy hisoblash algorilо mini keltirib chiqarish uchun katta sonlar qonuni nazariy asos vazifasini bajaradi Chebishev tengsizligi Teorema (Chebishev ) . A gar X tasodifiy miqdor D X dispersiyaga ega bolsa, u 10 holda ∀ ε > 0 uchun quyidagi tengsizlik o'rinli: P{|X− MX |≥ε}≤ DX ε2 (1) tengsizlik Chebishev tengsizligi deyiladi. Isboti. P {| X − a | ≥ ε } ehtimollik X tasodifiy miqdorning [ a− ε ;a+ε ] oraliqqa tushmasligi ehtimolligini bildiradi bu yerda a= MX . U holda P {| X − MX | ≥ ε } = ∫ − ∞a − ε dF ( x ) + ∫ a + ε+ ∞ dF ( x ) = ∫ | x − a | ≥ ε❑ dF ( x ) = ¿ ∫ | x − a | ≥ ε❑ 1 ∗ dF ( x ) ≤ ∫ | x − a | ≥ ε❑ ( x − a ) 2 ε 2 dF ( x ) , ¿ chunki {|x−a|≥ε} integrallash sohasini (x−a)2≥ε2 ko'rinishda yozish mumkin. Bu yerdan ( x − a ) 2 ε 2 ekanligi kelib chiqadi. Agar integrallash sohasi kengaytirilsa, musbat funksiyaning integrali faqat kattalashishini hisobga olsak, P {| X − a | ≥ ε } ≤ 1 ε 2 ∫ | x − a | ≥ ε❑ ( x − a ) 2 dF ( x ) ≤ 1 ε 2 ∫ − ∞+ ∞ ( x − a ) 2 dF ( x ) = ¿ 1 ε 2 DX ¿ Chebishev tengsizligini quyidagi ko'rinishda ham yozish mumkin: P{|X− MX |<ε≥1− DX ε2} (2) Chebishev tengsizligi ihtiyoriy tasodifiy miqdorlar uchun o'rinli. Xususan, X tasodifiy miqdorlar binomial qonun bo'yicha taqsimlangan bo'lsin, P{X= m}=Cnmpmqn−m,m=0,1 ,… ,mq =1− p∈(0,1 ) . U holda MX =a=np ,DX = npq hám (1) den P {| m − np | < ε } ≥ 1 − npq ε 2 (3) n ta bog 'liqsiz tajribalarda ehtimolligi P = M ( m n ) = a , dispersiyasi D ( m n ) = qp n bo'lgan hodisaning m n chastotasi uchun, P {| m n − p | < ε } ≥ 1 − qp n ε 2 (4) X tasodifiy miqdorni [ ε ; +∞ ) oraliqga tushushi ehtimolligini baholashni Markov tengsizligi beradi. Teorema(Markov) . Manfiy bolmagan, matematik kutilmasi MX chekli bolgan X tasodifiy miqdor uchun ∀ ε>0 da 11 (5) tengsizlik orinli. Isboti. Quyidagi munosabatlar orinlidir: (5) tengsizlikdan (1) di ason keltirip chiqarish mumkin. (6) Markaziy limit teorema Markaziy limit teorema tasodifiy miqdorlar yigindisi taqsimoti va uning limiti normal taqsimot orasidagi boglanishni ifodalaydi. Bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar uchun markaziy limit teoremani keltiramiz. Teorema . X1,X2,… ,Xn bogliqsiz, bir xil taqsimlangan, M Xi= a chekli matematik kutilma va D Xi=δ2i=1,n dispersiyaga ega bolsin, 0<δ2<∞ u holda, tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni n → ∞ da standart normal taqsimotga intiladi. (1) Demak, (1) ga kora yetarlicha katta n larda Zn N (0,1 ),Sn= X1+… +Xn yigindi esa quyidagi normal qonun boyicha taqsimlangan boladi: S n N ( na , √ n δ ) . Bu holda ∑ i = 1n X i tasodifiy miqdor asimptotik normal taqsimlangan deyiladi. Agar X tasodifiy miqdor uchun MX = 0 , DX = 1 bolsa X tasodifiy miqdor markazlashtirilgan va normallashtirilgan (yoki standart) tasodifiy miqdor deyiladi. (1) formula yordamida yetarlicha katta n larda tasodifiy miqdorlar yigindisi bilan bogliq hodisalar ehtimolligini hisoblash mumkin. 12 S n = ∑ i = 1n X i tasodifiy miqdorni standartlashtirsak, yetarlicha katta n larda yamasa Misol. Xi bogliqsiz tasodifiy miqdorlar [0,1] oraliqda tekis taqsimlangan bolsa, Y=∑i=1 100 Xi tasodifiy miqdorning taqsimot qonunini toping va P{55 <Y<70 } ehtimollikni hisoblang. Markaziy limit teorema shartlari bajarilganligi uchun, Y tasodifiy miqdorning zichlik funksiyasi boladi. Tekis taqsimot matematik kutilmasi va dispersiyasi formulasidan boladi. U holda soniń ushin formulaga kore, II.BOB. BOREL δ -ALGEBRA VA O'LCHOVLI FAZOLAR 2.1. Kolmogravning "0 yoki 1" qonuni Matematik kutilmasi a va dispersiyasi δ2 bo‘lgan bog‘liq bo‘lmagan, bir хil taqsimlangan { ξn } tasodifiy miqdorlar ketma - ketligi berilgan bo‘lsin. Umumiylikka zarar keltirmasdan a = 0 , δ2=1 deymiz. Quyidagi tasodifiy miqdorlarni kiritamiz: Matematikada Borel to'plami - bu ochiq to'plamlardan (yoki teng ravishda, yopiq to'plamlardan ) hisoblanuvchi birlashma ,sanaladigan kesishish va nisbiy to'ldiruvchi operatsiyalari orqali hosil bo'lishi mumkin bo'lgan topologik fazodagi har qanday to'plam . Borel to'plamlari Emile Borel sharafiga nomlangan . X topologik fazosi uchun X dagi barcha Borel to'plamlarining to'plami Borel algebrasi yoki Borel s-algebrasi deb nomlanuvchi s -algebrani hosil qiladi . X dagi 13 Borel algebrasi barcha ochiq to'plamlarni (yoki teng ravishda barcha yopiq to'plamlarni) o'z ichiga olgan eng kichik s-algebradir. Borel to'plamlari o'lchovlar nazariyasida muhim ahamiyatga ega , chunki bo'shliqning ochiq to'plamlarida yoki fazoning yopiq to'plamlarida aniqlangan har qanday o'lchov shu bo'shliqning barcha Borel to'plamlarida ham aniqlanishi kerak. Borel to'plamlarida belgilangan har qanday o'lchov Borel o'lchovi deb ataladi . Borel to'plamlari va ular bilan bog'liq Borel ierarxiyasi ham tavsiflovchi to'plamlar nazariyasida asosiy rol o'ynaydi . Ba'zi kontekstlarda Borel to'plamlari ochiq to'plamlar emas, balki topologik makonning ixcham to'plamlari tomonidan yaratilishi uchun aniqlanadi . Ikki ta'rif ko'plab yaxshi xulqli bo'shliqlar uchun, jumladan, barcha Hausdorff s-ixcham bo'shliqlar uchun ekvivalentdir, lekin ko'proq patologik bo'shliqlarda farq qilishi mumkin. Agar X metrik fazo bo'lsa, Borel algebrasi birinchi ma'noda generativ tarzda quyidagicha ta'riflanishi mumkin. X ning kichik to plamlariningʻ T to plami uchun (ya ni ʻ ʼ X ning P( X ) quvvatlar to plamining ʻ har qanday kichik to plami uchun ʻ ) bo lsin. ʻ  T elementlarining barcha sanaladigan birlashmalari bo'lsin  T elementining barcha hisoblanuvchi kesishmalari bo‘lsin  Endi transfinit induksiya orqali G m ketma-ketlikni aniqlang, bu yerda m tartib son , quyidagi tarzda:  Ta'rifning asosiy holati uchun keling X ning ochiq kichik to'plamlari to'plami bo'lsin .  Agar i chegara tartibli bo'lmasa , u holda i ning bevosita oldidagi tartib i − 1 bo'lsin Agar i chegara ordinal bo'lsa, o'rnating Da'vo shundaki, Borel algebrasi G ō 1 bo'lib, bu erda ō 1 birinchi sanab bo'lmaydigan tartib raqamidir . Ya'ni, operatsiyani takrorlash orqali ochiq to'plamlar sinfidan Borel algebrasini yaratish mumkin birinchi sanoqsiz tartib raqamiga. 14 Ushbu da'voni isbotlash uchun, metrik fazodagi har qanday ochiq to'plam yopiq to'plamlarning ortib borayotgan ketma-ketligining birlashmasiga e'tibor bering. Jumladan, to'plamlarning to'ldirilishi G m xaritalarini har qanday chegara ordinal m uchun o'z ichiga oladi ; bundan tashqari, agar m sanab bo'lmaydigan chegara ordinal bo'lsa, G m sanaladigan birlashmalar ostida yopiladi. E'tibor bering, har bir Borel B to'plami uchun ba'zi hisoblanuvchi tartibli a B mavjud, shuning uchun B ni a B ustidagi operatsiyani takrorlash orqali olish mumkin . Biroq, B barcha Borel to'plamlarida o'zgarganidek, a B barcha sanaladigan tartiblar bo'yicha o'zgaradi va shuning uchun barcha Borel to'plamlari olinadigan birinchi tartib ō 1 , birinchi sanab bo'lmaydigan tartibdir. Muhim misol, ayniqsa, ehtimollar nazariyasida , haqiqiy sonlar to'plamidagi Borel algebrasi . Bu Borel o'lchovi aniqlangan algebradir. Ehtimollar fazosida aniqlangan haqiqiy tasodifiy o'zgaruvchini hisobga olsak , uning ehtimollik taqsimoti ta'rifiga ko'ra Borel algebrasida ham o'lchovdir. Realdagi Borel algebrasi R dagi eng kichik s-algebra bo'lib, barcha intervallarni o'z ichiga oladi . Transfinit induktsiyasi yordamida qurilishda shuni ko'rsatish mumkinki, har bir bosqichda to'plamlar soni , eng ko'p, kontinuumning kardinalligidir . Shunday qilib, Borel to'plamlarining umumiy soni kamroq yoki teng Aslida, Borel to'plamlari to'plamining kardinalligi kontinuumga teng (mavjud bo'lgan Lebesg o'lchanadigan to'plamlar soni bilan solishtiring, ular qat'iy kattaroq va teng ). X topologik fazo bo'lsin . X bilan bog'langan Borel fazosi juft ( X , B ), bu erda B - X ning Borel to'plamlarining s-algebrasi . Jorj Makki Borel fazosini biroz boshqacha ta'riflab, bu "borel to'plamlari deb ataladigan alohida s-maydoniga ega bo'lgan to'plam" deb yozgan. [1] Biroq, zamonaviy foydalanish ajralib turadigan sub-algebrani o'lchanadigan to'plamlar va bunday bo'shliqlarni o'lchanadigan bo'shliqlar deb atashdir . Bu farqning sababi shundaki, Borel to'plamlari ochiq to'plamlar (topologik fazoda) tomonidan yaratilgan s- algebradir, Makkey ta'rifi esa ixtiyoriy s-algebra bilan jihozlangan to'plamga ishora qiladi . Pastki fazoda topologiyani tanlash uchun Borel bo'shliqlari bo'lmagan 15 o'lchanadigan bo'shliqlar mavjud. O'lchanadigan bo'shliqlar kategoriyani tashkil qiladi, unda morfizmlar o'lchanadigan bo'shliqlar orasidagi o'lchanadigan funktsiyalardir . Funktsiya Agar u o'lchanadigan to'plamlarni orqaga tortsa, o'lchanadi, ya'ni Y dagi barcha o'lchanadigan B to'plamlari uchun to'plam X da o'lchanadi . Teorema . X Polsha fazosi bo'lsin , ya'ni Xda X topologiyasini aniqlaydigan va X to'liq ajratiladigan metrik fazoga aylantiruvchi d metrikasi mavjud bo'lgan topologik fazo bo'lsin. U holda X Borel fazosi sifatida ulardan biriga izomorf bo'ladi 1. R , 2. Z , 3. cheklangan makon. (Bu natija Maharam teoremasini eslatadi .) Borel bo'shliqlari sifatida qaralsa, haqiqiy chiziq R , R ning sanaladigan to'plam bilan birlashishi va R n izomorfdir. Standart Borel maydoni Polsha makoniga bog'langan Borel maydonidir . Standart Borel fazosi izomorfizmgacha o'zining kardinalligi bilan tavsiflanadi [3] va har qanday son-sanoqsiz standart Borel fazosi kontinuumning kardinalligiga ega. Polsha bo'shliqlarining kichik to'plamlari uchun Borel to'plamlari Polsha bo'shliqlarida aniqlangan doimiy in'ektsion xaritalar diapazonlari bo'lgan to'plamlar sifatida tavsiflanishi mumkin. Shuni yodda tutingki, doimiy bo'lmagan xarita diapazoni Borel bo'lmasligi mumkin. Analitik to'plamga qarang . Standart Borel maydonidagi har bir ehtimollik o'lchovi uni standart ehtimollik maydoniga aylantiradi . Lusin [4] tufayli Borel bo'lmagan reallarning kichik to'plamiga misol quyida tasvirlangan. Bundan farqli o'laroq, o'lchovsiz to'plamning misolini ko'rsatish mumkin emas, lekin uning mavjudligi isbotlanishi mumkin. Har bir irratsional son cheksiz davomli kasr bilan yagona tasvirga ega qayerda ba'zi 16 bir butun va boshqa barcha raqamlardir musbat butun sonlardir . Mayli ketma-ketliklarga mos keladigan barcha irratsional sonlar to'plami bo'lsin quyidagi xususiyatga ega: cheksiz pastki ketma- ketlik mavjud Shunday qilib, har bir element keyingi elementning bo'luvchisi bo'ladi. Bu to'plam Borel emas. Aslida, bu analitik va analitik to'plamlar sinfida to'liq. Qo'shimcha ma'lumot olish uchun tavsiflovchi to'plam nazariyasiga va Kechris kitobiga qarang , ayniqsa 209- betdagi Mashq (27.2), 169-betdagi Ta'rif (22.9) va 14-betdagi (3.4) (ii) mashqlari. Shuni ta'kidlash kerakki, ayni paytda ZFda tuzilishi mumkin, faqat ZFda Borel bo'lmaganligini isbotlab bo'lmaydi. Aslida, bu ZF bilan mos keladi sanaladigan to'plamlarning sanaladigan birlashmasi bo'lib, [5] ning istalgan kichik to'plami Borel to'plamidir. Borel bo'lmagan boshqa to'plam - bu teskari tasvir cheksiz paritet funksiyasi . Biroq, bu aniq misol emas, mavjudlikning isboti (tanlov aksiomasi orqali). 2.2. O'lchovli fazolar Yilda ehtimollik nazariyasi, Kolmogorovning nolinchi qonuni, sharafiga nomlangan Andrey Nikolaevich Kolmogorov, ma'lum bir turini belgilaydi tadbirdeb nomlangan dum voqeasi, ham bo'ladi deyarli aniq yuz beradi yoki deyarli yuz bermaydi; ya'ni ehtimollik sodir bo'layotgan bunday hodisaning nol yoki bittasi. Quyruq hodisalari cheksiz jihatdan belgilanadi ketma-ketliklar ning tasodifiy o'zgaruvchilar. Aytaylik cheksiz ketma-ketligi mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar (bir xil taqsimlanishi shart emas). Ruxsat bering bo'lishi b-algebra tomonidan yaratilgan . Keyin, a dum voqeasi bu voqea ehtimollik jihatdan mustaqil ushbu tasodifiy 17 o'zgaruvchilarning har bir cheklangan kichik to'plamidan. (Eslatma: tegishli degan ma'noni anglatadi ning qiymatlari bilan noyob tarzda aniqlanadi ammo oxirgi holat mutlaqo kuchsizroq va nol bitta qonunni isbotlash uchun etarli emas.) Masalan, ketma- ket yaqinlashadigan voqea va uning yig'indisi yaqinlashadigan voqea ikkala quyruq hodisasidir. Tangalarni tashlashning cheksiz ketma-ketligida cheksiz ko'p marta yuz beradigan ketma-ket 100 boshning ketma-ketligi quyruq hodisasidir. Quyruq hodisalari - bu o'zboshimchalik bilan katta, ammo cheklangan boshlang'ich segmenti bo'lsa, ularning paydo bo'lishi hali ham aniqlanishi mumkin bo'lgan hodisalar olib tashlandi. Ko'p holatlarda Kolmogorovning nol-bitta qonunini qo'llash ba'zi bir hodisaning 0 yoki 1 ehtimolga ega ekanligini ko'rsatish uchun oson, ammo ajablanarli darajada qiyin emas qaysi bu ikkita haddan tashqari qiymat to'g'ri. Kolmogorovning nol-bitta qonunining umumiy bayoni mustaqil b-algebralarining ketma-ketligi uchun amal qiladi. Qilsin (Ω,F,P) bo'lishi a ehtimollik maydoni va ruxsat bering Fn tarkibidagi o'zaro bog'liq b-algebralarning ketma-ketligi bo'lsin F. Ruxsat bering o'z ichiga olgan eng kichik b-algebra bo'ling Fn, Fn+1,…. Keyin Kolmogorovning nolinchi qonuni har qanday voqea uchun buni tasdiqlaydi bittasida ham bor P(F) = 0 yoki 1. Qonunning tasodifiy o'zgaruvchilar bo'yicha bayonoti ikkinchisidan har birini olish orqali olinadi Fn tasodifiy o'zgaruvchi tomonidan hosil qilingan σ-algebra bo'lishi Xn. Keyin quyruq hodisasi ta'rifi bo'yicha hamma tomonidan ishlab chiqarilgan σ-algebra bo'yicha o'lchanadigan hodisa Xn, lekin bu har qanday sonli songa bog'liq emas Xn. Ya'ni, quyruq hodisasi aniq kesishmaning elementidir. Oddiy farazlar bo'lsa, ko'rib chiqilayotgan mezonlarning statistik ma'lumotlarining chegaraviy taqsimotlari Kolmogorov, Smirnovning Mizes kelishuvlari ma'lum va kuzatilgan shakldan mustaqildir. Statistik ma’lumotlarni chegaraviy taqsimlash: (1) bu yerda - empirik taqsimot funksiyasi; - nazariy taqsimot funksiyasi; n -tanlanma hajmi; 18 Statistikabo’yicha taqsimot funksiyasi da Kolmogorov taqsimot funksiyasiga yaqinlashadi. (2) (3) (4) (5) (6) n - namuna hajmi; x1, x2, . . . , xn - o'sish tartibida tartiblangan namunaviy qiymatlar; - taqsimlash qonunining funktsiyasi bo'lib, u bilan kelishuv tekshiriladi. SK ning taqsimlanishi chegaradagi oddiy gipoteza K(S) taqsimot funksiyali Kolmogorov qonuniga bo‘ysunadi. Agar tanlanmadan hisoblangan S*statistik ma’lumotlarning qiymati quyidagi tengsizlikni qanoatlantirsa (7) u holda gipotezasini rad qilish uchun hech qanday sabab yo'q. Statistikada Kolmogorov - Smirnov testi (K - S testi yoki KS testi) doimiy (yoki uzluksiz, 2.2- bo'limga qarang) bir o'lchovli ehtimollik taqsimotlarining tengligining parametrik bo'lmagan testi bo'lib, u namunani bir o'lchov bilan taqqoslash uchun ishlatilishi mumkin. mos yozuvlar ehtimoli taqsimoti (bir namunali K - S testi) yoki ikkita namunani solishtirish uchun (ikki namunali K - S testi). Aslini olganda, test "Ushbu ehtimollik taqsimotidan namunalar to'plami olingan bo'lishi ehtimoli qanday?" Degan savolga javob beradi. yoki ikkinchi holatda, "Bu ikki namunalar to'plami bir xil (lekin noma'lum) ehtimollik taqsimotidan olinganligi ehtimoli qanday?". U Andrey 19 Kolmogorov va Nikolay Smirnov sharafiga nomlangan. Kolmogorov - Smirnov statistikasi namunaning empirik taqsimot funktsiyasi va mos yozuvlar taqsimotining kümülatif taqsimot funktsiyasi o'rtasidagi yoki ikkita namunaning empirik taqsimot funktsiyalari orasidagi masofani aniqlaydi. Ushbu statistikaning nol taqsimoti tanlanma mos yozuvlar taqsimotidan (bir namunali holatda) yoki namunalar bir xil taqsimotdan (ikki namunali holatda) olinganligi haqidagi nol gipoteza bo'yicha hisoblanadi. Bitta namunali holatda, nol gipoteza bo'yicha ko'rib chiqilgan taqsimot uzluksiz (2-bo'limga qarang), sof diskret yoki aralash bo'lishi mumkin (2.2-bo'limga qarang). Ikki namunali holatda (3-bo'limga qarang), nol gipoteza bo'yicha ko'rib chiqilgan taqsimot uzluksiz taqsimotdir, lekin boshqa tarzda cheklanmagan. Shu bilan birga, ikkita namunaviy test namunalar orasidagi uzilish, heterojenlik va bog'liqlikni ta'minlaydigan umumiy sharoitlarda ham amalga oshirilishi mumkin. X U L O S A Ushbu kurs ishida bog'liqsiz tasodifiy miqdorlar seriyasi uchun katta sonlar qonuni qaralgan bo’lib, bunda haqiqiy sonlar qatori uchun quyidagi Levi teoremasi mavjud bo’lib, u quyidagicha bayon etiladi: Agar haqiqiy sonlar qatori absolyut yaqinlashmasa, u holda uning hadlarining o’rinlarini almashtirish yordamida yig’indisi 20 oldindan berilgan ixtiyoriy haqiqiy songa teng bo’lgan qator tuzish mumkin. Tabiiyki, shartli yaqinlashuvchi qatorlarning yig’indilar sohasini tadqiq etish haqida savol tug’iladi. Ushbu teorema haqiqiy sonlar uchun bayon etilgan bo’lib, keyinchalik bu teoremani n-o’lchamli fazo elementlari uchun qo’llash masalasi ko’plab matematik olimlarni o’ylantirib keladi va olimlar ilmiy izlanishlarida Riman teoremasini n-o’lchamli fazo uchun qo’llash va uni isbotlash masalasini hal etishga urinib ko’radilar. P.Levi o’zining ilmiy izlanishida Riman teoremasiga o’xshash teoremani ayrim xatoliklar bilan isbotlagan. Biroz keyinroq, Shteynits o’z ishlarida dastlab P. Levi tomonidan yaratilgan teoremaning to’la isbotini keltiradi. Mazkur kurs ishida ham bog'liqsiz va bir xil taqsimlangan tasodifiy miqdorlar ketma ketligi uchun markaziy limit teoremasini qo’llash va uni isbotlash masalasini hal etishga bag’shlangan bo’lib, bunda ushbu maqsad yo’lida mavzular atroflicha o’rganib chiqildi. Ushbu kurs ishini yozish davomida P.Levi hamda Shteynitslarning ilmiy izlanishlari natijasida erishgan natijalari o’rganildi. Keltirilgan teorema va lemmalar isbotlandi hamda Orlich tomonidan bayon etilgan sharsiz hamda absolyut yaqinlashish haqidagi teorema isbotsiz keltirildi. Mazkur ishdan talabalar, ilmiy izlanuvchilar foydalanislari mumkin. 21 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI 1. G.M.Fiхtengols. “Matematik analiz asoslari” 1 – jild, “O’qituvchi”, Toshkent 1970 yil. 2. N.S.Piskunov. Differensial va integral hisob. 1 – jild, “O’qituvchi”, Toshkent 1972 yil. 3. T.Jo’raev va boshqalar. Oliy matematika asoslari. 1 – qism, “O’zbekiston”, Toshkent 1995 yil. 4. B.A. Abdalimov. Oliy matematika, “O’qituvchi” Toshkent 1994 yil. 5. Sh.I.Tojiev. Oliy matematikadan masalalar yechish. “O’zbekiston”, Toshkent 2002 yil. 6 . I.A.Maron.Differensialnoe i integralnoe ischislenie v primeraх i zadachaх “Nauka”, M.1973. 7. T.Sharifova, E.Yo’ldoshev. Matematik analizdan misol va masalalar yechish “O’qituvchi”, Toshkent 1996 yil. 8. Xojixonov U. Analitik geometriya. Namangan. 2005 Elektron resurslar 1. https://uz.wikipedia.org/wiki/Termiz 2. https://www.google.com 3. www.ziyonet.uz 22

KURS ISHI TALABALAR UCHUN

Купить