kuchlanish tenzorlari. Tutash muhitning Lagranj shaklidagi harakat tenglamalari.Kuch impulsi momenti - Algebra - Referatlar

Dokument ma'lumotlari

Narxi	2000UZS
Hajmi	105.4KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	07 Noyabr 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Referatlar
Fan	Algebra

kuchlanish tenzorlari. Tutash muhitning Lagranj shaklidagi harakat tenglamalari.Kuch impulsi momenti

Sotib olish

kuchlanish tenzorlari. Tutash muhitning Lagranj shaklidagi harakat
tenglamalari.Kuch impulsi momenti. Energiyaning saqlanish qonuni.
Energiya tenglamasi. Asosiy tenglamalar uchun chegaralar. Asosiy
tenglamalar ro’yxati
Reja:
1. Dekart koordinatalar sistemasida tutash muhitning harakat tenglamalari.
2. Kuchlanish tenzori.
3. Kuchlanish vektorining fizik komponentalari.
4. Ixtiyoriy koordinatalar sistemasida tutash muhitning harakat
tenglamalari.

Tayanch iboralar: kuchlanish, kuchlanish vektori komponentalari, uzluksiz
harakat, hajm, bazis vektori, zichlik, kovariant
komponentalar, hajmiy kuchlar, massa.
1. Dekart koordinatalar sistemasida tutash muhitning harakat
tenglamalari
Quyidagilim
V→0
Ω
V
= 0
(12.1)
shartni qaraymiz. Yuqoridagi
∫
∑
⃗pndσ =∫
V(
д⃗p1
дx +д⃗p2
дy +д⃗p3
дz )dr
(12.2)
(12.2) munosabatga ko'ra
Ω ni quyidagi ko'rinishda tasvirlaymiz.
Ω=∫
V
¯F ρdτ +∫
V(
д⃗p1
дx +д⃗p2
дy +д⃗p3
дz )dτ −∫
V
d⃗v
dt ρdτ
va (12.1) shartdan
ρd⃗v
dt = ρ⃗F+д⃗p1
дx +д⃗p2
дy +д⃗p3
дz
(12.3)
ni hosil qilamiz.
Bu vektorli tenglama tutash muhit harakatining asosiy differensial
tenglamasidir. U ixtiyoriy muhitlarning ixtiyoriy harakatlari uchun bajariladi va
uzluksiz harakat holida
d
dt ∫
V
⃗vρdτ =∫
V
⃗F ρdτ +∫
∑
⃗pndσ
(12.4)
harakat miqdori tenglamalariga ekvivalent bo'ladi, chunki harakat miqdori
tenglamalariga ko'ra ixtiyoriy V hajm uchun
Ω=0 . Aytib o'tish kerakki, (12.2) va
(12.3) tengliklar
⃗pi vektorlar uzluksiz va differensiallanuvchi degan farazda
chiqarilgan. (12.4) tenglama umumiy hollar uchun o'rinli
⃗p1,⃗p2,⃗p3
vektorlarni dekart koordinatalar sistemasining э1=⃗i,э2=⃗j, э3=⃗k
bazis vektorlari orqali yoyamiz
⃗p
1
=p
k1
⃗э
k
,¿}⃗p
2
=p
k2
⃗э
k
,¿}¿¿ yoki ⃗p
i
=p
ki
⃗э
k
¿
(12.5)
hamda 9 ta sondan iborat bo'lgan quyidagi matrisani kiritamiz
‖
p11 p12 p13
p21 p22 p23
p31 p32 p33
‖=‖pki‖= p
kuchlanishlarning hossasiga ko'ra

⃗pn= pn1⃗э1+pn2⃗э2+pn3⃗э3= pni⃗эi (12.6)
kuchlanish vektotining tutash muhitning berilgan nuqtasida olingan ixtiyoriy
orientirlangan yuzachasidagi
pni komponentasi quyidagi formulalar orqali
ifodalanadi.
pn1= p11cos (¯n,x)+p12cos (¯n,y)+p13cos (¯n,z)= p1ini,
pn2= p21cos (¯n,x)+p22cos (¯n,y)+p23cos (¯n,z)= p2ini,
pn3= p31cos (¯n,x)+p32cos (¯n,y)+p33cos (¯n,z)= p3ini.
(12.7)
Shunday qilib,

p matrisa ⃗n=ni⃗эi vektorning ni komponentasidan ⃗pn
vektorning
pni komponentasiga almashishni aniqlaydi.
Tutash muhit harakatining vektor tenglamalari (12.3) ga 9 ta
pik funksiyalar
kiradi, ularni dekart koordinatalar sistemasining o'qlariga nisbatan proyeksiyalarda
quyidagicha yozish mumkin:
ρdu
dt = ρF x+дp 11
дx +дp 12
дy +дp 13
дz ,
ρdv
dt = ρF y+дp 21
дx +дp 22
дy +дp 23
дz ,
ρdw
dt = ρF z+дp 31
дx +дp 32
дy +дp 33
дz ,
(12.8)
bu yerda
Fx, Fy, Fz orqali ⃗F hajmiy (massaviy) kuch zichliklarining koordinata
o'qlariga proeksiyalari belgilangan.
Agarda bu tenglamalarga uzviylik tenglamalarini qo'shsak, u holda biz
berilgan tashqi massaviy kuchlarda, umuman olganda, 13 ta noma'lum funksiya:
zichlik -
ρ , tezlik komponentalari u, v, w, va ichki sirt kuchlanishlarining
to’qqizta komponentasi
pik larga bog'liq 4 ta tenglamalar sistemasini hosil qilamiz.
2. Kuchlanish tenzori
Orientirlangan yuzachadagi
⃗pn kuchlanish vektorining koordinata
yuzachalardagi
⃗p1,⃗p2,⃗p3 kuchlanish vektorlari orasidagi munosabatlar (12.6) orqali
ifodalanadi. Bu munosabatlarni (12.7) formulalar yordamida quyidagicha yozish
mumkin
⃗pn=⃗pini= pki⃗эkni=⃗pi(⃗эi⃗n)= pki⃗эk(⃗эi⃗n)
. (12.9)
Bu tenglik
⃗n vektor komponentalarini ⃗pn vektorning komponentalariga pki
koeffisientlar bo'yicha chiziqli almashtiradi. Bu tenglik ortogonal dekart
koordinatalar sistemasi yordamida hosil qilingan va demak,
pki lar ixtiyoriy
ortogonal dekart koordinatalar sistemasida aniqlangan. (12.9) munosabat
⃗pn va ⃗n
vektorlar orasidagi bog'lanishni ifodalaydi va shuning uchun uni ixtiyoriy egri
chiziqli koordinatalar sistemasida yozish mumkin. Bundan kelib chiqadiki,

p= pki⃗эk⃗эi (12.10)
tenzorning kontravariant komponentalari sifatida qarash mumkin bo'lgan
pki
miqdorlarni (12.9) tenglik yordamida nafaqat ortogonal dekart o'qlarda balkim
ixtiyoriy egri chiziqli koordinatalar sistemasida ham kiritish mumkin. (12.10)
ko'rinishdagi tenzor ichki kuchlanish tenzori deyiladi . Shu bilan birga ixtiyoriy
koordinatalar sistemasida
⃗pn= p⋅⃗n= ⃗pini
tenglik o'rinli, bu yerda
⃗pn−⃗n normalli ixtiyoriy yuzachadagi kuchlanish vektori,
ni−⃗n
normalning kovariant komponentalari.
3. Kuchlanish vektorining fizik komponentalari
Aytish kerakki,
⃗pi=⃗pn tenglik mos keluvchi koordinat yuzachalarda
faqatgina ortogonal dekatr koordinatalar sistemasida bajariladi, ixtiyoriy egri
chiziqli koordinatalar sistemasida mos keluvchi koordinat yuzachalarda
⃗pi≠ ⃗pn
ekanligini ko'rsatish qiyin emas.
Haqiqatan ham berilgan egri chiziqli koordinatalar sistemasida
⃗эi+1 va ⃗эi+2
bazis vektorlari orqali aniqlanadigan yuzachani qaraymiz, bu yuzachaga nisbatan
normalning yo'nalishini
⃗эi=
⃗эi+1× ⃗эi+2
√ g
kontravariant bazis vektorni yo'nalishlari kabi aniqlaymiz. Bu yo'nalishning birlik
vektori
⃗ni=
⃗эi
√gii
formula orqali aniqlanadi, bu yerda
gii>0 , kvadrat ildiz esa bu yerda va bundan
keyin musbat ishora bilan olinadi. (12.9) ga ko'ra bunday yuzachalar kuchlanish
vektori
⃗pn orqali belgilaymiz va u
⃗pi
¿=
pαk⃗эα(⃗эk⋅⃗эi)
√gii =
pαi⃗эα
√gii
ko'rinishda tasvirlanadi va demak, umuman olganda
⃗pi= pαi⃗эα
kuchlanish vektorini qaralayotgan nuqtada olingan
⃗эα/√gαα bazisning birlik
vektorlari bo'yicha yoyish mumkin, ya'ni
⃗pi
¿= X αi ⃗эα
√gαα
.
Xαi
miqdorlar ⃗pi
¿ kuchlanish vektorining fizik komponentalari deyiladi.
Keyingi ikkita tengliklar asosida

pαi= X αi √gii
√gααdeb yozishimiz mumkin (bu formulada
α bo'yicha yig’indi yo'q). Bu yerdan
ko'rinadiki
Xαi fizik komponentalar hech qanday tenzorning komponentasi bo'la
olmaydi.
Ortogonal Dekart koordinatalar sistemasida
pαi= Xαi
bo'ladi.
4. Ixtiyoriy koordinatalar sistemasida tutash muhitning harakat tenglamalari
(12.4) harakat miqdorining vektor tenglamalaridan
∫
V
ρd⃗v
dt dτ =∫
V
⃗F ρdτ +∫
∑
⃗pndτ
hamda Gauss-Ostrogradskiy teoremasi
∫
∑
⃗pndσ=∫
∑
⃗pinidσ =∫
V
∇ i⃗pidτ
ga ko'ra uzluksiz harakatlar holida ixtiyoriy chiziqli koordinatalar sistemasida
bajariladigan quyidagi harakat tenglamalarini hosil qilamiz.
ρ⃗a= ρ⃗F+∇ i⃗pi
yoki ρa k= ρF k+∇ i⃗pki (12.11)
(12.11) harakat tenglamalarida
ak= дv k
дt +vi∇ ivk= дv k
дt +vi
(
дv k
дη i+vsГsik
)
va
∇ i⃗pi= д⃗pi
дη i+⃗psГsi
i=(∇ ipki)⃗эk.
(12.11) vektorli tenglama ham harakatlanuvchi, ham qo'zg'almas koordinatalar
sistemasida o'rinli, xususiy holda hisob sistemasida ham, yo'ldosh sistemada ham
o'rinli. Ammo shuni hisobga olish kerakki
⃗a vektor tutash muhit individual
nuqtalarining biror bir inersial koordinatalar sistemasiga nisbatan tezlanishidan
iborat,
⃗F esa berilgan massaviy kuchlarning zichliklaridan iborat. Agarda harakat
va tezlanishni noinersial koordinatalar sistemasiga nisbatan qarasak, u holda
⃗F
ning ifodasiga inersiya kuchlarini ham qo'shish kerak.
Tutash muhitda
ρdτ massali cheksiz kichik zarrachasi qaraymiz, unga ρ⃗Fdτ
- massaviy kuchlar hamda yo'ldosh koordinatalar sistemasida inersiya
kuchlari dan iborat bo'lgan
ρ⃗adτ kuchlar, zarracha chegarasida sirt kuchlari
tasirida paydo bo'layotgan massaviy kuchlar deb qarash mumkin bo'lgan
∇i⃗pidτ =(∇ ipki)⃗эkdτ
kuchlar ta’sir qiladi. (12.11) tenglamani yo'ldosh koordinatalar
sistemasiga nisbatan muvozanat sharti deb qarash mumkin; (12.11) ga ko'ra
zarrachaga ta'sir qiluvchi barcha kuchlar yig'indisi 0 ga teng. Agarda
p= pki⃗эk⃗эi

tenzor tutash muhitning barcha nuqtalarida o'zgarmas bo'lsa, u holda ∇i¯pi=0
bo'ladi. Dekart koordinatalar sistemasida
pki kuchlanish tenzori komponentalari
harakat tenglamalariga faqatgina ular x, y, z koordinatalardan bog'liq bo'lganda
qatnashadilar. Shu bilan birga
∇ i⃗pi=0
yoki ∇ i⃗pki=0
tenglik hamda
p= pki⃗эk⃗эi=const tenglik ekvivalent emas. Masalan, agar massaviy
kuchlar ta'sir qilmayotgan muhit muvozanatda bo'lsa, u holda
∇ i⃗pki=0
.
Bu tenglama faqat tashqi sirt kuchlari bilan yuklangan har xil ob'ektlarning
muvozanati haqidagi masalalar qaralayotganda elastiklik nazariyaning asosiy
tenglamasi hisoblanadi.
Mustaqil ishlar uchun savollar.
1. Tutash muhit harakatining asosiy differensial tenglamasini yozing
(vektorli ko’rinishi).
2. P matrisa nimani aniqlaydi.
3. Dekart koordinatalar sistemasida tutash muhitning harakat tenglamalari
qanday ko’rinishda bo’ladi?
4. Kuchlanish tenzori deb nimaga aytiladi?
5. Kuchlanish tenzorining fizik komponentalarini keltiring.
6. Ixtiyoriy koordinatalar sistemasida tutash muhit harakat tenglamalarini
keltiring.
7. Gauss – Ostrogradsiy formulasini yozing.
8. Vektorning kovariant va kontravariant komponentasini yozing.
Adabiyotlar :
1. Л.И. Седов. Механика сплошной среды. М.: 1983 г; Том I стр. 141 – 145 .

kuchlanish tenzorlari. Tutash muhitning Lagranj shaklidagi harakat tenglamalari.Kuch impulsi momenti

Sotib olish