Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 399.4KB
Покупки 1
Дата загрузки 05 Июнь 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Kvadrika tenglamasini kanonik koʻrinishga keltirish kurs ishi

Купить
[Дата]1O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI FARG‘ONA DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA YO‘NALISHI 24.02-GURUH TALABASI NING ANALITIK GEOMETRIYA FANIDAN Kvadrika tenglamasini kanonik ko rinishga keltirish ʻ mavzusidagi KURS ISHI Ilmiy rahbar: Farg‘ona-2025 [Дата]2MUNDARIJA KIRISH……………………… ……………………...3 1.Kvadrika tasnifi……………………………………………………..6 2.Affin fazodagi kvadrikalar………………………………………... .10 3.Kvadrika tenglamasi………………………………………………..15 4 . Uch o‘lchovli Yevklid fazosidagi kvadrikalar…………………….17 5.Kvadrika tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltirish………………20 XULOSA…………………………………………….27 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………...28 [Дата]3KIRISH “Matematika hamma aniq fanlarga asos.Bu fanni yaxshi bilgan bola aqlli, keng tafakkurli bo‘lib o‘sadi, istalgan sohada muvaffaqiyatli ishlab ketadi” Shavkat Mirziyoyev Ilm o‘rganish har bir inson uchun hayot yo‘llarida asqotadigan, odamlar orasida uni ajratib turadigan, yolg‘iz qolgan paytlarida yo‘ldosh bo‘lib, tushkunlikka tushganida doimo madadkor bo‘luvchi yengilmas quroldir.Shu nuqtai nazardan bugun har birimiz ilm olishimiz, mukammal bilim egallab, kasb-hunar o‘rganishimiz va bu orqali o‘z kelajagimizni o‘zimiz yaratib, mamlakatimiz gullab yashnashi, ravnaq topishi uchun o‘z hissamizni qo‘shishimiz zarurdir. Mamlakatimizda hozirgi paytda yoshlarga ta’lim-tarbiya berishga alohida e’tibor qaratilmoqda. Ta’lim tarbiya hamisha jamiyat taraqqiyotining asosi bo‘lgan. Chunki, inson jamiyatdagi barcha munosabatlar, aloqalarning markazida turadi. Fan-texnika va axborotdagi revolyutsiya inson va uning ilmiy-ma’rifiy potensialini ijtimoiy- iqtisodiy taraqqiyotning hal qiluvchi omiliga aylantiradi.Kelajakda erishishimiz lozim bolgan buyuk maqsadlarga erishish uchun avvalo, yuqori malakali, zamon talabiga javob beradigan mutaxassis kadrlar tayyorlashimiz kerak. O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim to‘g‘risida”gi qonuni va “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” xalqaro ta’lim standartlarini mamlakatimiz oliy ta’lim tizimiga joriy qilish, yuqori malakali zamonaviy kadrlar tayyorlashda milliy an’ana va tajribalarimiz bilan birga ilg‘or jahon tajribalaridan keng foydalanish borasida yangi imkoniyatlar taqdim etayotganligi barchamizga ma’lum.Shu jumladan, yurtimizda matematikani rivojlantirishga qaratilgan ko‘plab chora- tadbirlar amalga oshirilayotganligining guvohimiz.. Matematika aniq bir bilim sohasi va turli sohalarga chuqur kirib borayotgan universal vosita bo‘lib qolmasdan sivilizatsiyaning ajralmas qismi, umuminsoniy madaniyatning muhim elementi hamda dunyoni ilmiy o‘rganish tilidir. Matematik [Дата]4bilim hayot sirlarini o‘rganishda, kasb tanlashda muhim bo‘lgani bois fikrlash madaniyati tarkibidagi qat’iylik, aniqlik, izchillik, mantiqiylik va asoslanish singari qirralarining shakllanishiga xizmat qiladi. Ulkan iqtisodiy o‘zgarishlar yuz bеrayotgan hozirgi davrda matеmatikaning ahamiyati yanada oshdi, shuning uchun ham matеmatik ta'lim katta ijtimoiy ahamiyatga ega. Rеspublikamiz hukumati yoshlarga ta'lim va tarbiya bеrish tizimini takomillashtirish, ta'lim va tarbiyani turmushning oshib borayotgan talablari darajasiga yеtkazish vazifasini qo`ydi. Ma’lumki o‘quvchilarning fikrlash qobiliyatlarini rivojlantirish har bir fan oldidagi muhim masalalardan hisoblanadi. Jumladan umumiy o‘rta ta’lim maktablarida o‘quvchilarning intellektual qobiliyatlarini rivojlantirish dolzarb masaladir. Shu bois geometriya o‘qitish jarayonida har bir o‘quvchining intellektual qobiliyatlarni rivojlantirish muammosi o‘zining strukturasi jihatidan ancha murakkab bo‘lib, uning tarkibida matematik qonuniyatlar, faktlar, munosabatlar asosida yuzaga kelishi tabiiy holdir. Shuning uchun ham har bir o‘quvchi geometriya darslarida geometrik obrazlar bilan ish ko‘radi, chunki undagi o‘lchamlarni, kattaliklarni sezadi va bu kattaliklar orasidagi mavjud qonuniyatlarni idrok etadi, o‘z tasavvuriga tegishli geometrik obrazlarni keltirib va bularni mushohada asosida o‘z in’nikosiga o‘tkazadi. Geometriya kursida geometrik obrazlarni ko‘p holda ideal ko‘rinishda tasavvuriga keltiriladi, va shunday tafakkur qilinadi, ya’ni nuqta, to‘g‘ri chiziq, tekislik, va bularning o‘zaro bog‘liqligi, hamda ularning kombinatsiyasidan hosil bo‘ladigan nuqta, to‘g‘ri chiziqlarning geometrik o‘rnini tasavvur qila olish muhim ahmiyatga ega. Bu borada ikkinchi tartibli chiziqlarning xossalarini bilish kundalik turmushdagi muammolarni hal qilishda muhim ahamiyatga egadir. Ayniqsa ikkinchi tartibli chiziqlarning fokuslari va eksentrisitetiga oid xossalar amaliyotda va texnikada keng qo‘llaniladi. Jumladan, agar yoritkich parabolaning fokusiga joylashtirilganda undan chiqqan nurlar parobala devoriga urilib singandan keyin parabola simmetriya o‘qiga parallel holda yo‘nalishi yoki paraboloid devoriga urilgan to‘lqinlar fokusda yig‘ilishi shular jumlasidandir. [Дата]5Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e’tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir. Ta’lim-tarbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridi. Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi. Ushbu kurs ishi oliy matematika kursining muhim bo‘limlaridan biri bo‘lgan “Geometriya” fanining “Kvadrika tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltirish” mavzusiga bag‘ishlangan. Kurs ishining maqsadi: Kvadrika tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltirishni quyidagi bo‘limlar: Kvadrika tenglamsi; Kvadrika tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltirish; Uch o‘lchovli Evklid fazosidagi kvadrikalar orqali o‘rganib ularning amaliyotdagi tadbiql Kurs ishining predmeti: Affin fazosidagi kvadrikalar. Kvadrika tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltirish Kurs ishining vazifasi: Affin fazosida kvadrikalar; Kvadrika tenglamalarini kanonik ko‘rinishga keltirish; Kvadrika markazi; Kvadrika tasnif [Дата]6 1.Kvadrika tasnifi Kvadrikaning tasnifi n o‘lchovli affin fazodagi kvadrikaning ko‘rinishdagi tenglamasini affin repperni maxsus tanlab olish yo‘li bilan I. II. , ≤ 1 , ε i = ± 1 (1) III. (2) ko‘rinishdagi uchta tenglamaning biriga keltirish mumkin. Hech qanday affin almashtirish bilan bu tenglamalardan birini ikkinchisiga o‘tkazib bo‘lmaydi, demak, ular o‘zaro affin ekvivalent sinflar emas: Shu tenglamalarning har birini ayrim-ayrim ko‘rib chiqaylik 1 . , ≤1 , da . 1 -xol. uchun (3) hosil q ilinib, kvadrika ellipsoid deb ataladi ( da A3 dagi ellipsoid). 2-xol. ; bulsa, (1) => da bu tenglamani qanoatlantiruvchi birorta haqiqiy nu q ta yo‘ q , bu xolda (3) tenglama mavxum ellipsoidni ani q laydi deymiz. 3- xol. , ; , bu xolda (2) tenglama bilan ani q lanadigan kvadrika n ta indeksli giperboloid deb ataladi (n=2 xol yuz bersa, ε 1 = 1, ε2 = -1 yoki ε 1 = -1, ε2 =1 da kvadrika tekislikdagi giperbolani ifoda q iladi, da ε 1 , ε2 , ε3 dan bittasi -1 ga teng bo‘lsa, kvadrika bir pallali giperboloidi, ε1 , ε2 , ε3 dan ikkitasi -1 ga teng bo‘lsa, Endi bo‘lgan xolni ko‘raylik. [Дата]7 (4) Ma’lumki, bu ko‘rinishdagi tenglama simmetriya markazlari (n-1) o‘lchovli koordinata tekisligidan iborat bo‘lgan sirtni ifoda qiladi, bunday kvadrikada silindrik sirt deb ataladi. 1- xol (4) tenglama (5) k o‘ rinishni oladi va k o‘lchovli tekislikdagi ellipsoidni aniqlab, An fazoda esa asosi shu ellipsoiddan, yasovchilari (n-k) o‘lchovli tekislikdan iborat elliptik silindrni beradi. = 2 da esa da yasovchilari biror koordinata o‘ q iga parallel elliptik silindrni ani q laydi. 2-x o l; uchun ; bu tenglama birorta ham haqiqiy nu q taga ega bo‘lmagan kvadrikani aniqlab, uni mavxum silindr deyiladi. 3-xol. , uchun (6) Bu tenglama k o‘lchovli tekislikda indeksli giperboloidni aniqlab, uning har bir nuqtasidan o‘lchovli tekislik o‘tadi. Bunday kvadrikani Ap da indeksli giperbolik t silindr deb ataladi, uning yasovchilari o‘lchovli tekislikdan iborat II. . Bu tenglama bilan aniqlangan kvadrikaning simmetriya markazi koordinatalar boshida bo‘lib, bu nuqta kvadrikaga tegishlidir. bo‘lsin. 1- x o l bo‘lsa, (6) =► tenglama bilan aniqlanadigan kvadrika mavxum konus deb ataladi, bu konus faqat bitta haqiqiy nuqtaga ega bo‘ladi (koordinatalar boshi O). [Дата]82- xol. ε1,ε2,… ,εn ning barchasi bir xil ishorali bo‘lmasa, kvadrika konus deb ataladi, demak, konus markazli sirtdir.Uning markazi konusning uchi deb ataladi. Shunisi qiziqki, bu konusga tegishli biror nuqtani olsak, to‘g‘ri chiziqning (O konusning markazi) barcha nuqtalari ham konusga tegishli bo‘ladi bu to‘g‘ri chiziq konusning yasovchisi deb ataladi. Endi xolni tekshiraylik. 1- x o l . (6) tenglama (7) Ko‘rinishni oladi bu tenglama bilan aniqlanadigan kvadrika ham mavxum konus deb yuritiladi. Lekin bu tenglamani A n da qarasak, bu kvadrika ( ) o‘lchovli tekislikning barcha nuqtalarini o‘z ichiga oladi (chunki ko‘rinishdagi barcha nuqtalarning koordinatalari (7) tenglamani qanoatlantiradi). Bunday konus uchi o‘lchovli tekislikdan iborat mavxum konus deb ataladi. 2- x o l . ning barchasi bir xil ishorali bo‘lmasa (masalan, tasi +1 bo‘lsa), u xolda (7) tenglama bilan aniqlanadigan kvadrikani ( ) indeksli, uchi ( ) o‘lchovli tekis likdan iborat konus deb ataladi. Ni h oyat, ( 1 ) dagi uchinchi tenglamani tekshiraylik: (8) . 1- xo l . ; (8) tenglama bilan aniqlanadigan kvadrika elliptik paraboloid deb ataladi ( bo‘lsa, (8) tenglama ko‘rinishda bo‘lib, An dagi elliptik paraboloidni ifodalaydi). 2- xol. ning barchasi bir xil ishorali bo‘lmasa (masalan, tasi +1 bulsa), u xolda (8) tenglama bilan aniqlanadigan kvadrika (8) indeksli giperbolik paraboloid deb ataladi. ≤ U xolda (8) tenglama O nuqta va [Дата]9 vektorlar bilan aniqlanadigan tekislikda biror paraboloid ni aniqlaydi. An da qarasak, bu kvadrikaga ( ) o‘lchovli tekislik kiradi, aniqrog‘i N nuqta paraboloidga tegishli bo‘lsa, u xolda boshlari shu nuqtada vektorlar bilan aniqlanuvchi tekislik shu paraboloid tarkibida bo‘ladi. Bu xolda ( 8 ) kvadrika yasovchilari ( ) o‘ lchovli tekislikdan iborat parabolik silindr deb ataladi. Bu kvadrikaning indeksi ( ) bo‘lsa, u mos ravishda ( ) indeksli parabolik silindr deb ataladi. [Дата]102.Affin fazodagi kvadrikalar bu n o‘lchovli affin fazo bo‘lsin. Ta’rif : A n dagi biror repperda quyidagi ikkinchi tartibli algebraik tenglamani qanoatlantiruvchi A n ning barcha nuqtalari to‘plami kvadrika (yoki ikkinchi tartibli sirt) deb ataladi (uni Q bilan belgilaylik): (1) (1) bunda bo‘lib, bulardan kamida bittasi noldan farqli. bo‘lgan holda ning tenglama: Bu yerda , desak, tenglama hosil qilinib, u affin tekislikda ikkinchi tartibli chiziqning tenglamasidir. Demak, affin tekislikda kvadrika ikkinchi tartibli chiziqdir. da (1) tenglama uch o‘zgaruvchili bo‘lib, , , desak, ko‘rinishda bo‘ladi. Bu esa uch o‘lchovli affin fazodagi ikkinchi tartibli sirtning tenglamasidir. (1) tenglamani qisqaroq quyidagicha yozib olaylik: (2) Bunda bo‘lib, kvadratik forma, esa chiziqli formadir. [Дата]11Shuni ham ta’kidlaymizki, A dagi kvadrika tushunchasi koordinatalar sistemasini almashtirishga nisbatan invariantdir, bir repperda berilgan ikkinchi darajali tenglama boshqa repperda yozilganda ham ikkinchi darajali tenglama boshqa repperda yozilganda ham ikkinchi darajali tenglamadan iborat bo‘ladi (chunki bir affin repperda ikkinchi affin repperga o‘tishda tenglamaning darajasi oshmaydi va kamaymaydi). Endi (2) tenglamani soddalashtirish bilan shug‘ullanaylik. Bu tenglamaning chap tomonidagi ifoda birinchi qo‘shiluvchi kvadratik formadan iboratligi sababli, uni alohida yozib olib, 43-& da ko‘rsatilgan usul bilan kanonik ko‘rinishga keltiramiz; faraz qilaylik u quyidagi ko‘rinishga kelsin: (3) U holda shu (3) kvadratik forma yozilgan repperda (2) ni yozaylik: (4) ravshanki, yangi repperga o‘tilganda chiziqli formaning ham koeiffitsientlari o‘zgaradi, ularni biz deb belgiladik. (4) dagi hadlarni guruhlab, to‘la kvadratga keltiramiz: Yoki [Дата]12Endi quyidagi formulalar orqali yangi repperga o‘tamiz: hamda belgilashni kiritamiz, natijada: (5) ko‘rinishda bo‘ladi. bu o‘lchovli affin fazo bo‘lsin. Ta’rif. dagi biror repperda quyidagi ikkinchi tartibli algebraik tenglamani qanoatlantiruvchi ning barcha nuqtalari to‘plami kvadrika (yoki ikkinchi tartibli sirt) deb ataladi (uni Q bilan belgilaymiz). Shuni ham ta’kidlaymizki, A dagi kvadrika tushunchasi koordinatalar sistemasini almashtirishga nisbatan invariantdir, bir repperda berilgan ikkinchi darajali tenglama boshqa hisoblanadi. Kesmaning o‘rta nuqtasi affin almashtirishda shu kesma obrazi ning o‘rta nuqtasiga o‘tadi, shunga asoslanib An da kvadrikaning simmetriya markazi tushunchasini kiritish mumkin. Ta‘rif. Kvadrikaning har bir nuqtasiga uning biror nuqtaga nisbatan simmetrik nuqtasi mavjud bo‘lsa, nuqta kvadrikaning simmetriya markazi deb ataladi. Masalan, dagi re pp erda kanonik tenglamasi bilan berilgan ellipsoid, bir va ikki palla li gip e rboloidlar uchun koordinatalar boshi simmetriya markazidir. Kvadrika (6) tenglama bilan berilsa, uning simmetriya markazi koordinatalar boshida bo‘lsa, uning tenglamasi shu repperda (6) lar boshidan iborat va aksinha, kvadrikaning markazi koordinata ko‘rinishda bo‘ladi. Xaqiqatdan ham, [Дата]13 (6) kesmaning o‘rta nuqtasi dir, chunki kesmaning uchlari uning o‘rta nuqtasiga nisbatan simmetrik joylashgan. Bundan, tenglamalari dan iborat ( ) o‘lchovli tekislikning barcha nu q talari (1) tenglama bilan aniqlanadigan kvadrikaning simmetriya markazi bo‘ladi deb chiq aramiz . Xususiy xolda bo‘lsa, simmetriya markazlari to‘plami n o‘lchovli tekislik bo‘lib, faqat bitta nuqtadan, u ham bo‘lsa, koordinatalar boshidan iborat. U vaqtda kvadrika faqat bitta simmetriya markaziga ega bo‘lib, u markazli kvadrika deb ataladi. Endi kvadrikaning tenglamasi (7) Ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, bu kvadrika markazining mavjudligi masalasiga to‘xtaylik. Kvadrika (8) ko‘rinishdagi (bunda φ 2 ifoda n o‘zgaruvchili kvadratik forma) tenglama bilan berilsa, uning simmetriya markazi koordinatalar boshidan iborat. Endi (7) ko‘rinishga mos xolni ko‘raylik. Faraz qilaylik, nuqta (7) kvadrikaning simmetriya markazi bo‘lsin, Repper boshini shu nuqtaga ko‘chiramiz, bazis vektorlarning yo‘nalishini esa saqlab qolamiz: (9) [Дата]14Bularni (7) ga qo‘yib, soddalashtirsak, (10) bunda ifoda o‘zgaruvchili kvadratik forma, α' - barcha ozod sonlarning algebraik yig‘indisi. Koordinatalar boshi kvadrikaning simmetriya markazi bo‘lishi uchun (10) tenglama (8) ko‘rinishni olishi kerak, ya’ni birinchi darajali xadlarning barcha koeffitsientlari bir va q tda nolga teng bo‘lishi yetarli va zarurdir: (11) [Дата]153.Kvadrika tenglamasi Kesmaning o‘rta nuqtasi affin almashtirishda shu kesma obrazi ning o‘rta nuqtasiga o‘tadi, shunga asoslanib da kvadrikaning simmetriya markazi tushunchasini kiritish mumkin. Ta‘rif . Kvadrikaning har bir nuqtasiga uning biror nuqtaga nisbatan simmetrik nuqtasi mavjud bo‘lsa, nuqta kvadrikaning simmetriya markazi deb ataladi. Masalan, dagi re pp erda kanonik tenglamasi bilan beril gan ellipsoid, bir va ikki pallal i gip e rboloidlar uchun koordinatalar boshi simmetriya markazidir. Kvadrika (1) tenglama bilan berilsa, uning simmetriya markazi koordinatalar boshida bo‘lsa, uning tenglamasi shu repperda (1) lar boshidan iborat va aksincha, kvadrikaning markazi koordinata ko‘rinishda bo‘ladi. Xaqiqatan ham (21) M M' kesmaning o‘rta nuqtasi dir, chunki kesmaning uchlari uning o‘rta nuqtasiga nisbatan simmetrik joylashgan. Bundan, tenglamalari ixtiyoriy , dan iborat o‘lchovli tekislikning barcha nu q talari (1) tenglama bilan aniqlanadigan kvadrikaning simmetriya markazi bo‘ladi deb chi q aramiz . Xususiy xolda bo‘lsa, simmetriya markazlari to‘plami nol o‘lchovli tekislik bo‘lib, faqat bitta nuqtadan, u ham bo‘lsa, koordinatalar boshidan iborat. U vaqtda kvadrika faqat bitta simmetriya markaziga ega bo‘lib, u markazli kvadrika deb ataladi. Endi kvadrikaning tenglamasi ( 2)ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, bu kvadrika markazining mavjudligi masalasiga to‘xtalaylik. [Дата]16Kvadrika (3) ko‘rinishdagi (bunda φ2 ifoda n o‘zgaruvchili kvadratik forma) tenglama bilan berilsa, uning simmetriya markazi koordinatalar boshidan iborat. Endi (2) ko‘rinishga mos xolni ko‘raylik. Faraz q ilayli k , S ( x 1 0 , x 2 0 ,…, xn0 ) nuqta (2) kvadrikaning simmetriya markazi bo‘lsin, Repper boshini shu nuqtaga ko‘chiramiz, bazis vektorlarning yo‘nalishini esa saqlab qolamiz (4) Bularni (2) ga qo‘yib, soddalashtirsak, (5) bunda φ2' ifoda o‘zgaruvchili kvadratik forma, α ' -barcha ozod sonlarning algebraik yigindisi. Koordinatalar boshi kvadrikaning simmetriya markazi bo‘lishi uchun (5) tenglama (3) ko‘rinishni olishi kerak, ya’ni birinchi darajali xadlarning barcha koeffitsientlari bir vaqtda nolga teng bo‘lishi yetarli va zarurdir: Demak, kvadrika simmetriya markazining koordinatalari ni qanoatlantirishi kerak, demak, kvadrika markazining mavjudligi masalasi sistemaning yechimiga bog‘liq quyidagi determinantni qaraylik; 1. (6) sistema yagona yechimga ega, kvadrika bitta simmetriya markaziga ega markazli deb atalgan kvadrika xosil qilinadi. [Дата]172. va (6) sistema cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lsa, kvadrikaning simmetriya markazlari ham cheksiz ko‘p bo‘ladi (bunday nuqtalar to‘plami k o‘lchovli tekislik bo‘ladi). 3. va (6) sistema birgalikda bo‘lmasa, kvadrika bitta ham simmetriya markaziga ega emas. Keyingi ikki xolda kvadrika markazsiz deb ataladi. Eslatma.(6) sistemaning birinchi tenglamasiga diqqat bilan q arasak,u : (7) tenglamadan buyicha ( q olgan larni doimiy deb olinsa) olingan xosiladan, ikkinchi tenglama es a ( 7 ) dan bo‘yicha olingan. [Дата]18 4. Uch o‘lchovli Yevklid fazosidagi kvadrikalar Uch o‘lchovli Yevklid fazosidagi kvadrikalar p o‘lchovli affin fazodagi kvadrikalar tasnifi bilan yaxshiroq tanishdik. Uch o‘lchovli affin fazoda 17 xil kvadrikaning borligini oshkor qilish osondir. (8) dagi tenglamalarda ni 1,2,3 sonlar deb olinsa 17 ta har xil tenglama xosil qilamiz.Shu kvadrikalarni uch o‘lchovli Evklid fazosida qarasak, Dekart repperini qulay tanlab olish yo‘li bilan ularning tenglamalarini quyidagi jadvalda ko‘rsatilgandek qilib yozish mumkin (o‘zgaruvchilarni bilan emas, balki eskicha belgilashimizga mos ravishda deb olamiz № К v adrikaning sodda tenglamasi Kvadrikaning nomi 1 E llipsoid 2 mаvxum ellipsoid 3 bir pаllаli giperboloid 4 ikki pаllаli giperboloid . 5 mаvxum konus 6 uchi koordinаtаlаr boshidа b o ‘lgаn konus [Дата]197 elliptik silindr 8 mаvxum silindr 9 mаvxum silindr 10 O z o ‘ q b o ‘yichа kesishuvchi 2 tа mаvxum tekisl ik № Kvаdrikаning soddа tenglаmаsi Kvаdrikаning nomi 11 ikkitа kesishuvchi tekislik 12 ikki o‘z а ro p а r а llel tekislik 13 ikki mаvxum o ‘zаro pаrаllel tekislik 14 x 2 =0 ikki ustma-ust tushuvchi togri chiziqlar. 15 x 2 a 2 + y2 b2 =2z Eliptik paraboloid [Дата]2016 Giperbolik paraboloid. 17 Parabolik silindr. [Дата]21 5. Kvadrika tenglamasini kanonik ko ‘ rinishga keltirish Avvalgi paragriflarda n o‘lchovli affin fazoda kvadratik formani kanonik ko‘rinishga, hatto normal ko‘rinishga keltirishni ko‘rib, uning n o‘lchovli affin fazodagi kvadrikalar uchun tadbiqini aniqladik. Endi kvadratik formani n o‘lchovli ( ) Yevkilid fazosida qarasak, uning dagi xossalari saqlanib, ushbu xossalar qatoriga yangi metrik harakterdagi xossalari qo‘shiladi. Avval, ba’zi yangi tushunchalarni kiritaylik (bu tushunchalar “Algebra va sonlar nazariyasi” kursida batafsil o‘rganilgani sababli ular haqidagi ba’zi teoramalarni isbotsiz keltirib o‘taman). 1 o . Xos vektorlar va harakteristik sonlar. Quyidagi chiziqli almashtirishlarni qaraylik: (2.2.1) Bu chiziqli almashtirishlarning matritsasi (2.2.2) aynimagan bo‘lsin. Agar (2.2.1) ning chap tomonidagi ni biror vektorning repperga nisbatan koordinatalari desak, xuddi shunday o‘xshash, o‘ng tomondagi ni ham shu repperga nisbatan biror vektorning koordinatalari deb qarash mumkin, u holda (2.2.1) almashtirish har bir vektorga aniq bitta vektorni mos keltiradi, buni quyidagicha yozaylik: [Дата]22 (2.2.3) Bu vaqtda chiziqli operator deb ham yuritiladi. Ta’rif . Agar (2.2.1) chiziqli almashtirishda vektor va unga mos vektorni bog‘lovchi (2.2.4) munosabat (bunda o‘rinli bo‘lsa, vektor chiziqli operatorning xos vektori deb ataladi. Agar (2.2.4) o‘rinli bo‘lsa bo‘lib, bu qiymatlarni (2.2.1) ga qo‘ysak, (2.2.5) (2.2.6) Ma’lumki, bu bir jinsli tenglamalar sistemasi nol bo‘lmagan yechimga ega bo‘lishi uchun uning bosh determinanti nolga teng bo‘lishi kerak: (2.2.7) Demak, chiziqli operatorning istalgan xos qiymati (ya’ni ) (2.2.7) tenglamani qanoatlantirishi kerak va aksincha, ning (2.2.7) tenglamani qanoatlantiruvchi har qanday haqiqiy qiymati ning xos qiymati bo‘ladi: (2.2.7) ning chap tomonidagi determinantni yoyib, o‘xshash hadlarni ixchamlab chiqsak, ga nisbatan n- darajali [Дата]23ko‘phad hosil qilinadi. Bu ko‘phad harakteristik ko‘phad, (3.7) bo‘lsa harakteristik tenglama deb ataladi. Quyidagi teoremalar o‘rinlidir. 1-teorema. Boshqa biror bazisga o‘tishda chiziqli operatorning matritsasi albatta o‘zgaradi, lekin harakteristik ko‘phadning koefitsientlari va ildizlari o‘zgarmaydi. 2-teorema . Tayin bir xos qiymatga mos keluvchi xos vektorlarning har qanday chiziqli kombinatsiyasi shu xos qiymatga mos keluvchi xos vektor bo‘ladi. Agar bazis vektorlar biror chiziqli operatorning xos vektorlari bo‘lib, ularga mos kelgan xos qiymatlar mos ravishda bo‘lsa, (2.2.1) tenglama quyidagi ko‘rinishni oladi: (2.2.8) U holda bu almashtirishning matritsasi diagonal ko‘rinishda bo‘ladi: (2.2.9) ( )ichida bir-biriga tenglar bo‘lishi mumkin, chunki harakteristik tenglama karrali ildizga ega bo‘lgan hol ham yuz berishi mumkin). 3-teorema. Biror dekart bazisiga nisbatan kvadratik forma va chiziqli operator bir xil matritsaga ega bo‘lsa, ular boshqa har qanday dekart bazisida bir xil matritsaga ega bo‘ladi. 4-teorema. Har qanday kvadratik formaning o‘zgaruvchilarini ortogonal almashtirish yordamida bu formani kanonik ko‘rinishga keltirish mumkin. [Дата]24Isbot: kvadratik forma berilgan bo‘lsin. Biror dekart bazisida kvadratik forma simmetrik matritsaga ega bo‘lsin. Biz xuddi shu matritsali chiziqli operatorni jo‘raylik. Bu chiziqli operatorning harakteristik tenglamasi (2.2.7) ga asosan (2.2.10) Bu tenglamaning ildizlarini desak, 7-teoremadan chiqqan natijaga asosan shunday dekart bazisi mavjudki, unda yuqoridagi operator matritsasi diagonal ko‘rinishga keladi va uning diagonal elementlari bo‘ladi. U holda kvadratik forma quyidagi ko‘rinishni oladi: (2.2.11) (bunda lar necha karrali ildiz bo‘lsa, ular (2.2.11) da shuncha marta qatnashadi). U holda yangi bazis vektorlar eski bazis vektorlari orqali Ko‘rinishda ifodalab, o‘tish matritsasi ortogonaldir. Demak kvadratik formani kanonik ko‘rinishda yozish uchun (2.2.7) harakteristik tenglamani tuzib, uning ildizlarini topish kifoya. Endi yangi Dekart bazisini topish va kvadratik formani kanonik ko‘rinishga keltiradigan ortogonal almashtirishni izlash usulini ko‘rsatamiz. [Дата]25 harakteristik tenglamaning bir karrali Ildizi. Bu ni (2.2.6) dagi ning o‘rniga qo‘yib ekanini nazarda tutsak, (2.2.12) Bundan ga mos keluvchi xos vektorning koordinatalarini topamiz (ya’ni (2.2.12) sistemani ga nisbatan yechib, nol bo‘lmagan yechimlarini topamiz); topilgan vektorni moduliga bo‘lish natijasida birlik vektor hosil qilamiz. Endi son harakteristik tenglamaning karrali ildizi bo‘lsin. Bu vaqtda ham ning qiymatini (2.2.6) dagi ning o‘rniga qo‘ysak, (2.2.12) ga o‘xshash Sistema hosil bo‘ladi. Bu sisitemaning m ta yechimini shunday tanlab olamizki, koordinatalari shu yechimlardan iborat m ta vektorning har biri birlik vektor bo‘lib, o‘zaro ortogonal bo‘lsin. Ravshanki, bu vektorlar m o‘lchovli vektorli Yevkilid fazosining bazisi bo‘ladi, shu vektorlarni ning ham bazis vektorlari sifatida qabul qilamiz. Shunga o‘xshash muhokamani har bir uchun yuritamiz. Barcha larning soni n ta bo‘lgani uchun (karraligi va karralik soni bilan olinadi) jami n ta o‘zaro ortogonal va birlik vektordan iborat dekart bazisi hosil qilinadi. [Дата]26XULOSA Ushbu kurs ishida Affin fazosidagi kvadrikalar. Kvadrika tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltirish haqida fikr yuritildi. Hozirgi paytda ta`lim muassalarida matematikani o‘qitishning asosiy vazifasi o‘quvchilarni har tomonlama yetuk insonlar qilib tarbiyalash hisoblanadi. Bunda ularda geometriya bo‘yicha bilimlar berish bilan birga ularga o‘rganilayotgan bilimlarni asosli va puxta bo‘lishini ta’minlash, ularni qo‘llay olish ko‘nikma va malakalarini shakllantirish muhim ahamiyatga ega. Ayniqsa, o‘quvchilarda geometrik dunyoqarashni shakllantirish matematik ta’limning asosiy vazifalaridan biri. Shu nuqtai nazardan bo‘lajak pedagoglarga oliy ta’limda geometriyadan chuqur bilimlar berish ahamiyatlidir. Ayniqsa, geometriyaning chiziqli va kvadratik formalarini chuqur o‘rgatish masalasi ko‘ndalang qo‘yilishi kerak. Matematikadan bilimlarning uzilish nuqtalari aynan shu mavzularda bo‘lib qolayapti. G eometriyada c hiziqli va kvadratik formalar o‘ziga xos xususiyatlarga ega, ularni ta’lim mazmuni va o‘rganilayotgan tushunchalar mohiyatini ochib berishda foydalanish, o‘zaro aloqadorlikda va o‘quvchilar amaliy faoliyati tajribasi bilan qo‘shgan holda o‘qitish, fundamental bilimlar asosida ta'lim berish dolzarb masalalardan hisoblanadi. Bu usullarni ishlab chiqish va amalda qo‘llash o‘qitish sifat va samaradorligini oshirishga xizmat qiladi. Geometriyani o‘qitishning asosiy maqsadlaridan biri ham o‘quvchilar intellektual tafakkurini shakllantirish asosida o‘quvchilar qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirish hisoblanadi. Ta‘lim jarayonini tashkil etishda geometrik bilimlarni chuqurlashtirish haqida fikr yuritilar ekan, geometriyani o‘qitishda c hiziqli va kvadratik formalar haqida bilimlar berish ahamiyatli jihatlardandir. [Дата]27FOYDALANILADIGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI Asosiy adabiyotlar: 1. Н.Д.Додажонов, М.Ш.Жўраева. Геометрия. 1-қисм, Тошкент. «Ўқитувчи», 1996 й. (ўқув қўлланма) 2. X.X.Назаров, X.O.Oчиловa, Е.Г.Подгорнова. Геометриядан масалалар тўплами. 1 ва 2 қисм. Тошкент «Ўқитувчи» 1993, 1997. (ўқув қўлланма) Qo‘shimcha adabiyotlar: y. 2. K.X. Aбдуллаев и другие Геометрия 1-часть. Тошкент, «Ўқитувчи» 2002й. 3. K . X . A бдуллаев и другие. Сборник задач по геометрии. Тошкент, “Ўқитувчи” 2004 г. 4. PARALLEL COORDINATES : VISUAL Multidimensional Geometry and its Applications Alfred Inselberg (2004) 5. Dadajonov N.D., Yunusmetov R., Abdullayev T. Geometriya. Toshkent 1989 y 6. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1995 “O zbеkiston ʻ [Дата]28Ele k tron ta’lim resurslari 1 . www /Ziyo. Net 2. http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/ 3. http://www.allmath.ru/ 4. http://www.pedagog.uz/ 5. http://www.ziyonet.uz/ 6. http://window.edu.ru/window/ 7. http://www.Nur.uz 8. http://www.school . edu. ru.

Kvadrika tenglamasini kanonik koʻrinishga keltirish  kurs ishi

Купить