Информация о документе

Цена 12000UZS
Размер 281.2KB
Покупки 4
Дата загрузки 07 Декабрь 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Yulduzxon

Дата регистрации 07 Декабрь 2024

4 Продаж

Lebeg integrali

Купить
Mundarija. Kirish. 4 1-§. Jordan va Lebeg o’lchovi………………………….. 6 2-§. To’g’ri chiziq va tekislikda Lebeg ma’nosida o’lchovli to’plamlar……………………………………………….. 14 3-§. O’lchovli to’plamlarning xossalari………………… 18 4-§. Lebeg ma’nosida o’lchovli to’plamlar uchun misollar……………………………………………………… 29 Xulosa. 32 Foydalanilgan adabiyotla r. 34 1 “Tanqidiy tahlil, qat’iy tartib-intizom va shaxsiy javobgarlik- har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo’lishi kerak.” Sh.Mirziyoyev. KIRISH O`zbekistоnning iqtisоdiy va ijtimоiy sоhalarda yuqоri natijalarga erishishi, jahоn iqtisоdiy tizimida to`laqоnli sheriklik o`rnini egallay bоrishi, insоn faоliyatining barcha jabhalarida zamоnaviy axbоrоt texnоlоgiyalaridan yuqоri darajada fоydalanishning ko`lamlari qanday bo`lishiga hamda bu texnоliyalar ijtimоiy mehnat samaradоrligining оshishida qanday ahamiyat kasb etishiga bоg`liq. Oliy ta’lim tizimini kelgusida yanada takomillashtirish va kompleks rivojlantirish bo’yicha eng muhim vazifalar quyidagilar etib belgilandi: Har bir oily ta’lim muassasasi jahonning yetakchi ilmiy-ta’lim massasalari bilan yaqin hamkorlik aloqalari o’rnatish, o’quv jarayoniga xalqaro ta’lim standartlariga asoslangan ilg’or pedagogik texnalogoyalar, o’quv dasturlari va o’quv uslubiy materiallarini keng joriy qilish o’quv-pedagogik faoliyatga, master- klasslar o’tkazishga, malaka oshirish kurslariga xorijiy hamkor ta’lim muassasalaridan yuqori malakali o’qituvchilar va olimlarni faol jalb qilish, ularni bazasida tizimli asosda respublikamiz oily a’lim muassasalari magistrant, yosh o’qituvchi va ilmiy xodimlarning stajirovka o’tashlarini, professor-o’qituvchilarni qayta tayyorlash va malakasini oshirishni tashkil qilish. Oliy malumotli mutaxassislar tayyorlashning maqsadli parametrlarini shakllantirish, oily ta’lim muassasalarida o’qitish yo’nalishlari va mataxassisliklarini istiqbolda mintaqalar va iqtisodiyot tarmoqlarini kompleks rivojlantirish, amalga oshrilayotgan hududiy va tarmoq dasturlarining talablarini inobatga olgan holda optimallashtirish. Ta’lim jarayonini, oily ta’limning o’quv reja va dasturlarini yangi pedagogik 2 texnologiyalar va o’qitish usullarini keng joriy etish, magistratura ilmiy ta’lim jarayonini sifat jihatdan yangilash va zamonaviy tashkiliy shakllarni joriy etish asosida yanada takomillashtirish. O’zbekiston Respublikasi Prezidenti Sh. Mirziyoyevning 2017-yil 7-fevraldagi “O’zbekiston respublikasini yanada rivojlantirish bo’yicha Harakatlar strategiyasi to’g’risida”gi farmonida ijtimoiy soha xususan ta’lim va ilm-fan sohalarini rivojlantirish borasida belgilangan vazifalar ijrosini ta’minlash hamda sohadagi dolzarb hujjatda ta’lim muassasalarining moddiy texnik bazasini mustahkamlash yangi ta’lim muassasalarini qurish, ta’mirlash va apital ta’mirlash barobarida ularni zamonaviy o’quv va labaratoriya jihozlari, kompyuter texnikasi va o’quv metodik qo’llanmalar bilan ta’minlash nazarda tutilgan. Kurs ishi mavzusining dalzarbligi. Ravshanki, “Matematik analiz” kursining Lebeg ma’nosida o’lchovli to’plamlar mavzusi bu fanning xilma-xil va qiziqarli amaliy tatbiqlariga ega bo’lgan mavzusidir. So’ngi yillarda oliy ta’lim tizimida bu fan, ayniqsa, bu bo’limga ajratilgan soat birmuncha kamayib ketganligi sababli, bu nazariyani atroflicha va chuqur o’rganishning imkoniyati cheklanib qo’yilyapti. Shu munosabat bilan mazkur kurs ishining mavzusini, ayniqsa, fintegrallovchi ko’paytuvchini o’rganishga bag’ishlangani bejiz emas. Garchi bu mavzuga oid yetarli materiallar turli xil adabiyotlarda turli darajada aks etgan bo’lsada, uni sistemali tarzda bir joyga joylashtirib o’rganishni talab darajasida deb bo’lmaydi. Yuqoridagilarni hisobga olib, kurs ishi mavzusini dolzarb mavzular qatoriga kiritish mumkin. Kurs ishi mavzusining asosiy vazifalari : Oliy ta’lim muassasalarda Lebeg ma’nosida o’lchovli to’plamlar mavzusidagi darslarni tashkil etishda yangi pedagogik texnologiyalardan foydalanish. Kurs ishi mavzusining mazmuni : Mazkur kurs ishi kirish, to’rtta paragrifdan iborat asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro’yhatidan iborat. 3 1-§. Jordan va Lebeg o’lchovi. Biz bu paragrafda Lebeg va Jordan ma’nosida o‘lchovli to‘plam ta’rifini beramiz. Elementar to‘plam o‘lchovi. Aytaylik c b a , , va d lar ixtiyoriy sonlar bo‘lsin. Tekislikda bxabxabxabxa <<,<,<,  va dycdycdycdyc <<,<,<,  tengsizliklarning istalgan bir jufti bilan aniqlangan to‘plamlar sistemasi berilgan bo‘lsin. Bu to‘plamlarni to‘g‘ri to‘rtburchaklar deb ataymiz. Bizga , , d y c b x a     tengsizliklar bilan aniqlangan to‘g‘ri to‘rtburchak berilgan bo‘lsin. Agar dcba <,< bo‘lsa, u chegaralari o‘ziga qarashli bo‘lgan to‘g‘ri to‘rtburchakni, agar b a = va d c< yoki b a < va d c= bo‘lsa kesmani, agar d c b a = , = bo‘lsa nuqtani va agar b a > yoki d c> bo‘lsa, bo‘sh to‘plamni aniqlaydi. Ochiq d y c b x a < < , < < to‘g‘ri to‘rtburchak c b a , , va d larga bog‘liq ravishda chegarasi o‘ziga qarashli bo‘lmagan to‘g‘ri to‘rtburchak yoki bo‘sh to‘plam bo‘ladi. Yarim ochiq to‘g‘ri to‘rtburchaklarning har biri bir, ikki yoki uch tomonsiz to‘rtburchaklarni, ochiq, yarim ochiq oraliqlarni aniqlaydi.  deb tekislikdagi barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasini belgilaymiz. 1-lemma. Tekislikdagi barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi  yarim halqa tashkil qiladi. Isbot. c b a , , va d sonlari bilan aniqlanuvchi ochiq to‘g‘ri to‘rtburchak b a = bo‘lganda bo‘sh to‘plamni aniqlaydi, demak . Ø   Ikki to‘g‘ri 4 0 x a a1 b1 bcc1 d d1 1 y P5 P1P2 P3 P4 1.2 – chizma. xy 0 1.1 – chizma P1 P2to‘rtburchakning kesishmasi to‘g‘ri to‘rtburchakdir (1.1-chizmaga qarang), ya’ni  21 ,P P dan  2 1 P P  ekanligi kelib chiqadi. Faraz qilaylik abcdP P = to‘g‘ri to‘rtburchak 1111 =1 dcbaP P to‘g‘ri to‘rtburchakni o‘zida saqlasin. U holda d d c c b b a a       1111 , munosabatlar o‘rinli. 1 \P P ayirmani quyidagicha tasvirlash mumkin. , = 54321 P P P P P\ P    bu yerda (1. 2 -chizmaga qarang) P2= Paa1cd , P3= Pa1bd1d, P4= Pb1bcd 1, P5= Pa1b1cc1. Demak, tekislikdagi barcha to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi B yarim halqa tashkil qilar ekan.  1-ta’rif.  yarim halqadan olingan va dc b a ,, , sonlari bilan aniqlangan (yopiq, ochiq yoki yarim ochiq) abcdP P = to‘g‘ri to‘rtburchak uchun 5 y x0 Q1 Q2 Q3 Q4 1.4-chizma.y x0 P5 P1 P2 P3 P4 P6 1.3-chizma.) )( ( =) ( c d a b P m   sonni mos qo‘yamiz, agar P bo‘sh to‘plam bo‘lsa 0=)( Pm deymiz va R B m  : to‘plam funksiyasini o‘lchov deymiz. Shunday qilib,  dagi har bir P to‘g‘ri to‘rtburchakka uning o‘lchovi - ) )( ( =) ( c d a b P m   son mos qo‘yildi. Bu moslik quyidagi shartlarni qanoatlantiradi: 1) ) (P m - manfiy bo‘lmagan haqiqiy son. 2) R m  : o‘lchov additiv, ya’ni agar kiPPPP kikn k  ,=,= =1   bo‘lsa, u holda quyidagi tenglik o‘rinli )(=)( 1= kn k PmPm  ettirishdan iborat. ) (  bilan  yarim halqa ustiga qurilgan minimal halqani belgilaymiz. 6 2-ta’rif. ) (  halqa elementlari elementar to‘plamlar deyiladi. 3-teoremaga ko‘ra ixtiyoriy ) (  A to‘plam chekli sondagi o‘zaro kesishmaydigan to‘g‘ri to‘rtburchaklarning yig‘indisi shaklida ifodalanadi va aksincha. 1-xossaga ko‘ra quyidagi tasdiq o‘rinli. 1-lemma. Ikki elementar to‘plamning birlashmasi, kesishmasi, ayirmasi va simmetrik ayirmasi yana elementar to‘plam bo‘ladi. Endi ) (  halqadagi to‘plamlarning, ya’ni elementar to‘plamlarning o‘lchovi tushunchasini kiritamiz. 3-ta’rif. Har bir ) ( = 1=   k n k P A  elementar to‘plamga  k n k P m A m   1= =) ( sonni mos qo‘yuvchi R m     ) ( : moslikni aniqlaymiz. ) (A m miqdorni A to‘plamning o‘lchovi deb ataymiz. Elementar to‘plamlar sistemasi ) (  da aniqlangan m funksiyaning qiymati A elementar to‘plamni chekli sondagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar yig‘indisiga yoyish usulidan bog‘liq emasligini ko‘rsatamiz. Aytaylik,   m k P k , 1,2,= ,  va   n j Q j , 1,2,= ,  larning har biri o‘zaro kesishmaydigan to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemalari bo‘lib, j n j k m k Q P A   1= 1= = = 7   )(1.=)( 1= AAmAm kn k  tenglik o‘rinli bo‘lsin (1.3 va 1.4-chizma). U holda ikkita kP va j Q to‘g‘ri to‘rtburchaklarning kesishmasi j k Q P  to‘g‘ri to‘rtburchak ekanligidan A to‘plam o‘zaro kesishmaydigan j k Q P  to‘g‘ri to‘rtburchaklar yig‘indisi shaklida, ya’ni )(= 1=1= jkn jm k QPA  ko‘rinishda tasvirlanadi va    , = =) ( 1=1=1= jkn jm kkm k Q P m P m A m          jkm kn jjn j Q P m Q m A m      1=1=1= = =) ( tengliklar o‘rinli. Oxirgi tengliklar ko‘rsatadiki, A elementar to‘plamning o‘lchovi ) (A m uning to‘g‘ri to‘rtburchaklar yig‘indisi shaklida tasvirlanish usulidan bog‘liq emas ekan, ya’ni elementar to‘plam o‘lchovi m ning aniqlanishi kerak ekan. 1. Agar ) (  A to‘plam to‘g‘ri to‘rtburchak bo‘lsa, u holda ) ( =) ( A m A m bo‘ladi. 2. Agar ) (  A to‘plam chekli sondagi o‘zaro kesishmaydigan , 1A ,2A nA,  elementar to‘plamlarning yig‘indisi shaklida tasvirlansa, ya’ni k n k A A 1= = u holda 8     (1.1) n n AmAm    xy 0 a bcd A A 1.6 – chizma xy 0 a bcd AA 1/n 1.5 – chizma tenglik o‘rinli. Haqiqatan ham, ) (   k A bo‘lganligi uchun , = 1= kj km j k P A  bu yerda  kjP - o‘zaro kesishmaydigan to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi. U holda    . = =) ( = 1= 1= 1= 1=1= k n k kj km j n k kj km j n k A m P m A m P A      va   (6.A) tenglik m o‘lchovning additivlik xossasini ifodalaydi. 1-teorema. Agar ) (  A va   nA elementar to‘plamlarning chekli yoki sanoqli sistemasi bo‘lib, n n AA   bo‘lsa, tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Isbot. Ixtiyoriy 0 >  va A elementar to‘plam uchun   2 ) (      A m A m tengsizlikni qanoatlantiruvchi va A to‘plamda saqlanuvchi yopiq A elementar to‘plam mavjud (1.5- chizmaga qarang, n>4(b−a+d−c) ε ). 9 Har bir elementar nA to‘plam uchun ochiq n n A A  ~ elementar to‘plam mavjudki (1.6- chizmaga qarang)     1 2~   nnn AmAm  tengsizlik bajariladi. A va n A~ to‘plamlarning tanlanishiga ko‘ra n n AA ~   munosabat o‘rinli bo‘ladi. Ochiq to‘plamlar sistemasi  nA~ dan Geyne-Borel lemmasiga ko‘ra A ni qoplovchi chekli sondagi sn n n A A A ~, , ~, ~ 2 1  to‘plamlarni ajratish mumkin. A to‘plam chekli sondagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar bilan qoplangani uchun ¿ s m ' ( ~ A ni)¿ tengsizlik o‘rinli. Yuqoridagilardan ¿ ∞ m ' ( ~ A n ) + ¿               n nn nn n AmAm =11 =1=1 = 222 ni hosil qilamiz va 0 >  ning ixtiyoriyligidan teoremaning isboti kelib chiqadi.  1-teorema tasdig‘idagi m o‘lchovning xossasi, ya’ni A elementar to‘plamning o‘lchovi uni qoplovchi chekli yoki sanoqli sondagi elementar 10 to‘plamlarning o‘lchovlari yig‘indisidan oshmasligi, m o‘lchovning yarim additivlik xossasi deyiladi. m o‘lchovning yarim additivlik xossasidan uning  - additivlik xossasi kelib chiqadi, ya’ni quyidagi teorema o‘rinli. 2-teorema. A elementar to‘plam sanoqli sondagi o‘zaro kesishmaydigan   , , , , 2 1 nA A A elementar to‘plamlarning yig‘indisidan iborat, ya’ni n n A A   1= = bo‘lsin. U holda   n n A m A m     =1 =) ( bo‘ladi. Isbot. m o‘lchovning chekli additivlik xossasiga ko‘ra  . = ) ( =1 =1 n N n n N n A m A m A m            Agar   N da limitga o‘tsak,  n n A m A m      =1 ) ( bo‘ladi. 1.1 - teoremaga ko‘ra  . ) ( =1 n n A m A m      Demak,      .=)( =1 n n AmAm 11   (1.2)=)(* k kPA PmA k k  inf    (1.3)).(=)( 1=* AmPmA kn k   2-§. To’g’ri chiziq va tekislikda Lebeg ma’nosida o’lchovli to’plamlar. Geometriya va klassik analizda uchraydigan to‘plamlar faqatgina elementar to‘plamlardan iborat bo‘lmaydi. Shu sababli o‘lchov tushunchasini, uning xossalarini saqlagan holda elementar to‘plamlar sistemasi ) (  dan kengroq to‘plamlar sistemasi uchun aniqlashga harakat qilamiz. Lebeg o‘lchovi nazariyasini bayon qilish jarayonida bizga nafaqat chekli, balki cheksiz sondagi to‘g‘ri to‘rtburchaklar birlashmalarini ham qarashga to‘g‘ri keladi. Bunda birdaniga «cheksiz o‘lchov» li to‘plamlarga duch kelmaslik uchun, dastlab 1} 0 1, 0:) ; {(=     y x y x E birlik kvadratda saqlanuvchi to‘plamlar bilan chegaralanamiz. 4-ta’rif. Ixtiyoriy E A  to‘plam uchun son A to‘plamning tashqi o‘lchovi deb ataladi. Bu yerda aniq quyi chegara A to‘plamni qoplovchi to‘g‘ri to‘rtburchaklarning barcha chekli yoki sanoqli sistemalari bo‘yicha olinadi. 1-eslatma. Agar A elementar to‘plam bo‘lsa, u holda ). ( =) (* A m A   Haqiqatan ham, A elementar to‘plam n P P P , , ,21  to‘g‘ri to‘rtburchaklarning birlashmasi ko‘rinishida tasvirlansin, u holda 12 (1.4)).(=)()( * AQmAm j j   inf}{kPto‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi A to‘plamni qoplaydi, shuning uchun (1.3) o‘rinli. Ikkinchi tomondan,  j Q sistema A to‘plamni qoplovchi chekli yoki sanoqli sondagi ixtiyoriy to‘g‘ri to‘rtburchaklar sistemasi bo‘lsa, 1-teoremaga ko‘ra  j j Q m A m    ) ( kelib chiqadi. Shuning uchun Demak, (1.3) va (1.4) lardan ) ( =) ( * A A m   tenglikka ega bo‘lamiz. Shunday qilib, ) (  da m va * o‘lchovlar ustma-ust tushar ekan.  3-teorema. Agar chekli yoki sanoqli sondagi } { nA to‘plamlar sistemasi uchun n n A A   bo‘lsa, u holda   n n A A **) (     tengsizlik o‘rinli. Xususiy holda, agar B A  bo‘lsa, ) ( ) ( * * B A    bo‘ladi. Isbot. Ixtiyoriy 0 >  va har bir nA uchun tashqi o‘lchov ta’rifiga ko‘ra to‘g‘ri to‘rtburchaklarning shunday chekli yoki sanoqli   nk P sistemasi topiladiki,     . 2* nnn k kn k kn APmPA    va  U holda 13   (1.5).=)( =1* 1 kn k PA PmAj kn k  inf               n n n k k n n k k n A P m A P A * * ) ( va  tengsizlik o‘rinli. 0 >  sonning ixtiyoriyligidan teoremaning isboti kelib chiqadi.  Ma’lumki, elementar to‘plamlar sistemasi ) (  da m va * lar ustma-ust tushadi. Demak, 1.1-teorema 1.3-teoremaning xususiy holini ifodalaydi. 5-ta’rif. Bizga E A  to‘plam berilgan bo‘lsin. Agar ixtiyoriy 0 >  uchun shunday E B  elementar to‘plam mavjud bo‘lib,   <) (* B A tengsizlik bajarilsa, u holda A Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam deyiladi. Agar A Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam bo‘lsa, uning o‘lchovi deb tashqi o‘lchovini qabul qilamiz. Faqat o‘lchovli to‘plamlar sistemasida aniqlangan * to‘plam funksiyasi Lebeg o‘lchovi deb ataladi va u  bilan belgilanadi. Shunday qilib, o‘lchovli to‘plamlar sistemasi  va unda Lebeg o‘lchovi  aniqlandi. Demak, ixtiyoriy  A uchun ). ( =) ( * A A   Bizning asosiy maqsadimiz o‘lchovli to‘plamlar sistemasi  ni chekli yoki sanoqli sondagi to‘plamlarning birlashmasi va kesishmasiga nisbatan yopiqligini ko‘rsatish, ya’ni  ning  - algebra tashkil qilishini isbotlashdan iborat. 2-eslatma. Agar (6.2) tenglikda aniq quyi chegara A to‘plamni qoplovchi to‘g‘ri to‘rtburchaklarning barcha chekli sistemalari bo‘yicha olinsa, A to‘plamning Jordan ma’nosidagi tashqi o‘lchovi hosil bo‘ladi, u ) (* A j bilan belgilanadi, ya’ni 14 Ushbu ) \ ( 1=) ( * * A E j A j  son A to‘plamning Jordan ma’nosidagi ichki o‘lchovi deyiladi. Agar ) ( =) ( * * A j A j bo‘lsa, u holda A Jordan ma’nosida o‘lchovli to‘plam deyiladi. Shuni ta’kidlash joizki, agar A Jordan ma’nosida o‘lchovli to‘plam bo‘lsa, u Lebeg ma’nosida ham o‘lchovli to‘plam bo‘ladi va bu o‘lchovlar o‘zaro teng bo‘ladi. 15 3-§. O’lchovli to’plamlarning xossalari. 4-teorema. O‘lchovli to‘plamning to‘ldiruvchisi o‘lchovlidir. Isbot. Teoremaning tasdig‘i elementar to‘plamning to‘ldiruvchisi elementar to‘plam ekanligidan va    B\ E A\ E B A   = tenglikdan kelib chiqadi.  5-teorema. O‘lchovli to‘plamlar sistemasi  halqa tashkil qiladi. Isbot. Teoremani isbotlash uchun o‘lchovli to‘plamlarning kesishmasi va simmetrik ayirmasi yana o‘lchovli to‘plam ekanligini ko‘rsatish yetarli. 2 1,A A o‘lchovli to‘plamlar bo‘lsin. Ta’rifga ko‘ra, ixtiyoriy 0 >  son uchun shunday ) ( 1   B va ) ( 2   B elementar to‘plamlar mavjud bo‘lib, quyidagi tengsizliklar bajariladi     . 2 < , 2 < 2 2 * 1 1 *     B A B A   U holda         22112121 B A B A B B A A        munosabatdan va tashqi o‘lchovning yarim additivlik xossasidan               < 2 2 * 1 1 * 2 1 2 1 * B A B A B B A A        16 ga ega bo‘lamiz. 21B B  ning elementar to‘plam ekanligidan 21 A A  ning o‘lchovli to‘plam ekanligi kelib chiqadi. Ikki to‘plam simmetrik ayirmasining o‘lchovli ekanligi         22112121 = B A B A B B A A       tenglikdan kelib chiqadi.  Agar o‘lchovli to‘plamlar sistemasi  da birlik element mavjud bo‘lsa, u algebra tashkil qiladi.  da 1} 0 1, 0:) , {(=     y x y x E to‘plam birlik element shartlarini qanoatlantiradi. Demak, o‘lchovli to‘plamlar sistemasi  algebra tashkil qilar ekan. 1-natija. O‘lchovli to‘plamlarning birlashmasi va ayirmasi yana o‘lchovli to‘plamdir. 2-natija. Chekli sondagi o‘lchovli to‘plamlarning birlashmasi va kesishmasi yana o‘lchovli to‘plamdir. 6-teorema (O‘lchovning additivlik xossasi). Agar nA A A , , , 2 1  lar o‘zaro kesishmaydigan o‘lchovli to‘plamlar bo‘lsa, u holda  k n k k n k A A          =1 =1 =  tenglik o‘rinli. Teoremani isbotlashda quyidagi lemmadan foydalaniladi. 2-lemma. Ixtiyoriy ikkita A va B to‘plamlar uchun )()()( *** BABA     tengsizlik o‘rinli. 17 Isbot. ) ( B A B A    bo‘lgani uchun 1.3-teoremaga ko‘ra ). ( ) ( ) ( * * * B A B A       Bu yerdan ) ( ) ( * * B A    hol uchun lemmaning isboti kelib chiqadi. Xuddi shunday, ) ( B A A B    munosabatdan ) ( ) ( ) ( * * * B A A B       ni olamiz. Yuqoridagilardan     ). ( |) ( ) ( | * * * B A B A    1-teoremaning isboti. Teoremani 2 =n uchun isbotlash yetarli. Bizga 1A va 2A o‘zaro kesishmaydigan o‘lchovli to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Ixtiyoriy 0 >  son uchun shunday 1B va 2B elementar to‘plamlar mavjudki,     <) ( , <) ( 2 2 * 1 1 * B A B A   tengsizliklar bajariladi. 21 = A A A  va 21 = B B B  deymiz. 6.1-natijaga ko‘ra A to‘plam - o‘lchovli. 1A va 2A to‘plamlar o‘zaro kesishmaganligi uchun     221121 B A B A B B      munosabat o‘rinli va bundan   2 21   B B m  tengsizlik kelib chiqadi. 2-lemmaga ko‘ra , |<) ( ) ( |=|) ( ) ( | 1 1 * 1 * 1 *     B m A A B    . |<) ( ) ( |=|) ( ) ( | 2 2 * 2 * 2 *     B m A A B    Endi m o‘lchovning additivlik xossasiga ko‘ra 18 . 4 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( =) ( 2 * 1 * 2 1 2 1             A A B B m B m B m B m Agar     2211 B A B A B A      munosabatni hisobga olsak,           6 2 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 * 1 * * *           A A B m B A B m A ga ega bo‘lamiz. 0 >  sonning ixtiyoriyligidan    2 * 1 * * ) ( A A A      ni hosil qilamiz. Teskari tengsizlik    2 * 1 * * ) ( A A A      esa 21 A A A   munosabatdan hamda 3-teoremadan kelib chiqadi. Demak,    2 * 1 * * =) ( A A A     tenglik o‘rinli. 2 1,A A va A to‘plamlar o‘lchovli bo‘lganligi uchun * ni  bilan almashtirish mumkin.  3-natija. Ixtiyoriy E A  o‘lchovli to‘plam uchun   ) ( 1= \ A A E    tenglik o‘rinli. Isbot. A va A E \ to‘plamlar o‘zaro kesishmaydi va 1.=)(=)\()( EAEA     Bu yerdan   ). ( 1 =) ( A A E   \ 19   (1.6) 2< 0>   ' n nn A7-teorema. Sanoqli sondagi o‘lchovli to‘plamlarning birlashmasi va kesishmasi yana o‘lchovli to‘plamdir. Isbot.    , , , , 21 n A A A o‘lchovli to‘plamlarning sanoqli sistemasi bo‘lib, n n A A   1= = bo‘lsin. Quyidagi belgilashlarni kiritamiz 2. , \ = , = 1 1=11   n A A A A A kn kn' n'  Ravshanki, ' n n AA   1== hamda 'nA to‘plamlar juft-jufti bilan o‘zaro kesishmaydi. 1 va 2-natijalarga ko‘ra, 'nA to‘plamlar - o‘lchovli. 6-teoremadan hamda tashqi o‘lchovning yarim additivlik xossasidan ixtiyoriy chekli N n uchun quyidagiga ega bo‘lamiz ). ( ) ( = * =1 =1 A A A 'k n k 'k n k             Shuning uchun  'n n A    =1 qator yaqinlashadi. Demak, ixtiyoriy 0 >  son uchun shunday 0n mavjudki, 20   (1.7) 2<*   BC tengsizlik bajariladi. 'n n n A C  0 1= = to‘plam o‘lchovli to‘plamlarning chekli yig‘indisi sifatida o‘lchovli bo‘lgani uchun, shunday B elementar to‘plam mavjudki, tengsizlik bajariladi. U holda          'n nn A B C B A   0> ) ( munosabatdan va o‘lchovning yarim additivlik xossasidan hamda (1.6) va (1.7) lardan foydalansak,         = 2 2 < ) ( 0> *            'n nn A B C B A  kelib chiqadi. Demak, A o‘lchovli to‘plam ekan. O‘lchovli to‘plamlarning to‘ldiruvchisi o‘lchovli ekanligidan hamda  n n n n A E E A \ \   = tenglikdan sanoqli sondagi o‘lchovli to‘plamlarning kesishmasi yana o‘lchovli ekanligi kelib chiqadi.  4-natija. O‘lchovli to‘plamlar sistemasi ,    algebra tashkil qiladi. Natijaning isboti 6.7-teoremadan hamda  sistemada 1} 0 1, 0:) , {(=     y x y x E ning birlik element ekanligidan kelib chiqadi. 8-teoroema (O‘lchovning  - additivlik xossasi). Agar  nA - o‘zaro kesishmaydigan o‘lchovli to‘plamlar ketma-ketligi uchun 21   (1.8)=)( 1= n n AA      (1.9))( 1= AA n n       (1.10).)( 1= n n AA    n n AA   1== bo‘lsa, u holda tenglik o‘rinli. Isbot. Ixtiyoriy k da . 1=A A nk n   6 va.3-teoremalarga ko‘ra   ). ( = =1 =1 A A A n k n n k n             Agar   k da limitga o‘tsak, tengsizlikka ega bo‘lamiz. O‘lchovning yarim additivlik xossasiga ko‘ra, (1.9) va (1.10) dan (1.8) tenglik kelib chiqadi.  Yuqorida keltirilgan teorema o‘lchovning sanoqli additivlik yoki  - additivlik xossasi deb ataladi. O‘lchovning  - additivlik xossasidan uning uzluksizlik xossasi kelib chiqadi. 9-teorema. (O‘lchovning uzluksizlik xossasi). Agar o‘lchovli to‘plamlarning       n A A A21 ketma-ketligi uchun 22   (1.11),=)( 1 =11   nn n AAA \   (1.12).=)( 1 =   nn NnN AAA \ n n AA   1== bo‘lsa, u holda ).( lim=)( n n AA   Isbot. Ø = A to‘plam bo‘lgan holni qarash yetarli, chunki umumiy hol nA ni A A n \ bilan almashtirish natijasida Ø = A holga keltiriladi. Quyidagi           4332211 = A A A A A A A \ \ \ va           32211 =  NNNNNNN A A A A A A A \ \ \ tengliklar o‘rinli va qo‘shiluvchi to‘plamlar juft-jufti bilan o‘zaro kesishmaydi. O‘lchovning  - additivlik xossasiga ko‘ra (1.11) qator yaqinlashuvchi bo‘lgani uchun uning qoldig‘i (1.12)   N da nolga intiladi. Shunday qilib,   0.=)( lim N N A  5-natija. Agar       n A A A21 o‘lchovli to‘plamlar ketma-ketligi uchun n n AA   1== bo‘lsa, u holda ).( lim=)( n n AA    23 (1.13))(=)( , m nZnm AA   Natijani isbotlash uchun nA to‘plamlardan ularning to‘ldiruvchilariga o‘tish va 9- teoremadan foydalanish yetarli. Ayrim to‘ldirishlar. Biz yuqorida faqat birlik kvadrat 1} 0 1, 0:) , {(=     y x y x E da saqlanuvchi to‘plamlarni qaradik. Bu cheklashdan xalos bo‘lish mumkin. Ma’lumki, koordinatalar tekisligini 1} < 1, < :) , {(=     n y n m x m y x E mn ( n m , butun sonlar) kvadratlar yig‘indisi ko‘rinishida tasvirlash mumkin: mn Znm ER  ,2 = 4-ta’rif. Agar istalgan n m, butun sonlar uchun mnmn E A A  = to‘plamlar o‘lchovli bo‘lsa, u holda A to‘plam o‘lchovli deyiladi. Agar A to‘plam o‘lchovli bo‘lsa, qator yig‘indisi A to‘plamning Lebeg o‘lchovi deyiladi. Agar (1.13) qator yig‘indisi chekli bo‘lsa, A chekli o‘lchovli to‘plam deyiladi. Aks holda A cheksiz o‘lchovli to‘plam deyiladi. Shuning uchun  o‘lchov cheksiz qiymat ham qabul qilishi mumkin. O‘lchov va o‘lchovli to‘plamlarning yuqorida o‘rnatilgan barcha xossalari bu hol uchun ham o‘rinli bo‘ladi. Biroq 9-teoremada (1.11) qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun  <) ( 1A  shartni qo‘shishimiz kerak bo‘ladi. Takidlash lozimki, sanoqlita chekli o‘lchovli to‘plamlar yig‘indisi cheksiz o‘lchovga ega bo‘lishi mumkin. Tekislikdagi barcha o‘lchovli to‘plamlar sinfini  simvol bilan belgilaymiz. Bu paragrafda tekislikdagi to‘plamlar uchun Lebeg o‘lchovining qurilish usulini bayon qildik. Sonlar o‘qi R dagi va uch o‘lchamli 3 R fazodagi to‘plamlar 24 uchun ham Lebeg o‘lchovi shunga o‘xshash usulda quriladi. Masalan sonlar o‘qida ol’chov dastlab ) , ( b a intervallar, ] , [ b a kesmalar va ), , [ b a ] , ( b a yarim intervallardan tashkil bo‘lgan  yarim halqada, ularning uzunligi sifatida aniqlanib, keyin  ni saqlovchi minimal halqaga davom ettiriladi. Undan keyin esa tekislikdagiga o‘xshash usulda Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plamlardan iborat  algebragacha davom ettiriladi. Aynan shunga o‘xshash usulda Lebeg o‘lchovini istalgan n o‘lchamli Evklid fazosida ham qurish mumkin. Tekislikda Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plamlarni kiritish jarayonida odatdagi yuza ta’rifidan kelib chiqdik. Shunga o‘xshash bir o‘lchovli holda Lebeg o‘lchovining kiritilishi interval (kesma, yarim interval) uzunligi tushunchasiga asoslanadi. Ayrim umumlashtirishlar. Umuman olganda o‘lchov tushunchasini boshqacha usulda, ya’ni umumiyroq usulda kiritish mumkin. Bu umumiyroq usulni sonlar o‘qidagi to‘plamlar uchun amalga oshiramiz. Bizga sonlar o‘qida aniqlangan kamaymaydigan o‘ngdan uzluksis F funksiya berilgan bo‘lsin. Interval, kesma va yarim intervallarda F funksiya yordamida quyidagi sonlarni mos qo‘yamiz: ),(0)(=),( aFbFbam  0), ( ) ( =] , [   a F b F b a m ),()(=],( aFbFbam  0). ( 0) ( =) , [    a F b F b a m Ravshanki, bu usulda aniqlangan m interval (kesma va yarim interval) funksiyasi manfiymas va additiv. Yarim halqada kiritilgan bu o‘lchovga yuqoridagidek mulohazalarni qo‘llab, qandaydir )( F  o‘lchovni qurishimiz mumkin. Bunda F  o‘lchovga nisbatan o‘lchovli bo‘lgan to‘plamlarning F  sistemasi sanoqli yig‘indi va sanoqli keshishmaga nisbatan yopiq bo‘ladi, F  o‘lchov esa   additiv bo‘ladi. Umuman olganda, F  o‘lchovga nisbatan o‘lchovli to‘plamlar sinfi F funksiyaning tanlanishiga bog‘liq. Ammo R da o‘ngdan uzluksis, kamaymaydigan istalgan F funksiya uchun ochiq va yopiq to‘plamlar, shuningdek, ularning 25 istalgan sanoqli yig‘indi va sanoqli kesishmalari o‘lchovli to‘plamlar bo‘ladi. U yoki bu kamaymaydigan o‘ngdan uzluksiz F funksiyalar vositasida olingan F o‘lchovlar Lebeg-Stiltes o‘lchovlari deb ataladi. Bizga Lebeg o‘lchovi  va Lebeg-Stiltes o‘lchovi F  berilgan bo‘lsin. 5-ta’rif. Agar 0 =) (A  ekanligidan 0 =) (A F  kelib chiqsa, F  absolyut uzluksiz o‘lchov deyiladi. Agar F  o‘lchov chekli yoki sanoqli qiymat qabul qiluvchi F funksiya yordamida aniqlansa, F  diskret o‘lchov deb ataladi. Agar F  o‘lchovda istalgan bir nuqtali to‘plam 0 o‘lchovga ega bo‘lsa va Lebeg o‘lchovi nolga teng bo‘lgan biror A to‘plam uchun 0 =) \ ( A R F  bo‘lsa, u holda F  singulyar o‘lchov deyiladi. Ko‘rsatish mumkinki, istalgan o‘lchov absolyut uzluksiz, diskret va singulyar uzluksiz o‘lchovlar yig‘indisi ko‘rinishida tasvirlanadi va bu tasvir yagonadir. 26 4-§. Lebeg ma’nosida o’lchovli to’plamlar uchun misollar. To’plamlar o’lchov topishda asosan, Lebeg bo’yicha aniqlaymiz . Har doim Jordan bo’yicha to’plamlar o’lchovini aniqlab bo’lmaydi.shuning uchun asosan Lebeg ma’nosida aniqlanadi.Bunga doir bir qator misollar keltiramiz . Hozir biz Lebeg ma’nosida o‘lchovli, ammo Jordan ma’nosida o‘lchovli bo‘lmagan to‘plamga misol keltiramiz. 1-misol. A = [− 4 ;6 ] Q = Q [− 4;6] B = [0 ;10 ]/Q = I (0 ;10 ) μ ( A /B )= ? To’plamning o’lchovini topish uchun avvalo berilgan to’plamlarning ayirmasini topamiz: A / B = Q [− 4 ,; 6 ]/ I (0 ;10 )= Q [− 4 ;6 ] 27 To’plamlar ayirmasi Q [−4;6] ekanligini topib oldik. Demak, to’plamning o’lchovi xossasidan Ratsional sonlarning o’lchovi nol ekanligidan uchbu to’plamlarning ayirmasini ham o’lchovi nolga teng. μ ( A / B )= 0 2-misol. E A  birlik kvadratdagi barcha ratsional koordinatali nuqtalar toplami bo‘lsin. A va A E \ to‘plamlar E da zich bo‘lganligi uchun 1=) \ ( 1,=) ( * * A E j A j tengliklar o‘rinli. Bu yerdan ). ( ) ( 0 =) ( * * * A j A j A j  va Demak, A to‘plam Jordan ma’nosida o‘lchovli emas. Ma’lumki, A - sanoqli to‘plam, shuning uchun uning elementlarini N k y x k k  ), , ( ko‘rinishda nomerlab chiqish mumkin. Shunday ekan }.,:),{(=, 1= kkkkkk k yyyxxxyxPPA    Ikkinchi tomondan ixtiyoriy N k uchun 0. =) ( kP m Bu yerdan 0 =) (* A  ekanligi kelib chiqadi. Shuni ta’kidlash kerakki, tashqi o‘lchovi nolga teng bo‘lgan har qanday to‘plam o‘lchovli to‘plamdir. Buning uchun elementar to‘plam sifatida Ø = B ni olish yetarli: . <0 =) ( =) Ø ( =) ( * * *     A A B A   28 Demak, A Lebeg ma’nosida o‘lchovli to‘plam. Shunday qilib, A Lebeg ma’nosida o‘lchovli bo‘lgan, lekin Jordan ma’nosida o‘lchovli bo‘lmagan to‘plamga misol bo‘ladi. 3 -misol. Kantor to‘plami K ning Lebeg o‘lchovi toping? Yechish. Kantor to‘plami K ning o‘lchovi 1=)\([0,1] K  tenglikdan kelib chiqadi. Barcha chiqarib tashlangan intervallar uzunliklari yig‘indisi   1.= 3 2 27 4 9 2 3 1 =) ( = 10 1 1= 1=                    n n n n n n K K K\], [    Demak, 0. =) (K  4-misol. 12=)( xxF funksiya yordamida qurilgan F Lebeg-Stiltes o‘lchovi absolyut uzluksiz o‘lchov bo‘ladi. Bu o‘lchov bo‘yicha (1;5]=A to‘plamning o‘lchovini toping. Yechish. Ta’rifga ko‘ra 8. = 3 11 = 1) 1 (2 1 5 2 = (1) (5) =) (        F F A F  5-misol. ] [ =) ( x x F funksiya yordamida qurilgan F Lebeg-Stiltes o‘lchovi diskret o‘lchov bo‘ladi. Chunki ] [ =) ( x x F funksiya monoton kamaymaydigan o‘ngdan uzluksiz funksiya bo‘lib, uning qiymatlar to‘plami butun sonlar to‘plami Z dan iborat. Butun sonlar to‘plami esa sanoqli to‘plamdir. Bu o‘lchov bo‘yicha {7;8} (1;5] =  A to‘plamning o‘lchovini toping. Yechish. Hosil qilingan F Lebeg-Stiltes o‘lchovi bo‘yicha ixtiyoriy Z n nuqtaning o‘lchovi birga teng. Chunki ] ; [ =} { n n n tenglik o‘rinli bo‘lgani uchun, ta’rifga ko‘ra   1.= 1) ( = 0) ( ) ( = ] ; [     n n n F n F n n F  29 Demak, 2. = ({7;8}) F  Endi (1;5]=B to‘plamning o‘lchovini topamiz. 4. = 1 5 = (1) (5) =) (   F F B F  Berilgan A to‘plam o‘zaro kesishmaydigan B va {7;8} to‘plamlarning birlashmasidan iborat. O‘lchovning additivlik xossasiga ko‘ra 6. = 2 4 = ({7;8}) ) ( = ) (   F B F A F  XULOSA . Mustaqil mamlakatimizning ijtimoiy-iqtisodiy, madaniy taraqqiyotida tub o’zgarishlar qilish uning bosh maqsadidir. Kadrlar tayyorlash milliy dasturining maqsadi – ta’lim sohasini tubdan isloh qilish, uni o’tmish dan qolgan mafkuraviy qarashlar va sarqitlardan to’la xalos etish, rivojlangan demokratik davlatlar darajasida, yuksak ma’naviy va axloqiy talablarga javob beruvchi yuqori malakali kadrlar tayyorlash Milliy tizimini yaratishdir. Dunyoga yangi ko’z bilan qaraydigan, uddaburon, ishning ko’zini biluvchi, buyuk kelajagimiz poydevorini quruvchi va yuksaltiruvchi mutaxassis kadrlarni tayyorlash, respublikamiz pedagoglari oldida turgan eng muhim va mashuliyatli vazifadir. Men kurs ishimni yozishdan oldin to’plamdagi o’lchov tushunchani bilmasdim. Shu kurs ishim orqali yangi bilimlarni o’rgandim. To’plamlarni o’lchovlarini topishda mustaqil misollar ishlashni kurs ishimni yozish orqali mustahkamladim. 30 O’lchov tushunchasi juda ham keng tushuncha ekan. To’plamlar o’lchovi uning xususiyat va elementlariga qarab o’zgarib borar ekan. Masalan, ratsional sonlar va natural sonlar to’plamining o’lchovi nolga teng ekan. O’lchov tushunchasini ko’plab olimlar fanga olib kirga. Biz asosan Jordan va Lebeg o’lchovlarini o’rgandik. Ularrning xususiyatlari xar-hil ekan. O’lchov tushunchasi ko’plab xossalarga ega ekan. To’plamning o’lchovi µ kabi belgilanadi. Ushbu kurs ishi tayyorlash jarayonida dastlab shu mavzuga oid adabiyotlar, manbalar tayyorladim. Tayyorlagan kurs ishi kirish, 4 ta paragrifdan iborat asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan tashkil topgan. Lebeg ma’nosida o’lchovli to’plamlar matematik analiz fanining eng asosiy va muhim bo’limlaridan biri bo’lib, u xilma-xil tatbiqlarga ega. Shu sababdan, ushbu mavzu muhim va asosiy ahamiyatga egadir. Garchi, bunday masala bilan “Matematik analiz” faning umumiy kursida shug’ullanilsada, dasturda ko’zda tutilgan soatda uni atroflicha o’rganish imkoniyati bo’ladi. Shu sababdan, mazkur masalani kurs ishining mavzusi qilib tanlash bejiz emas. Bu masalani hal etish uchun dastlab mavzuga oid qator adabiyotlarni to’plab, tegishli materiallarni tahlil etishga harakat qildim. Ushbu kurs ishidan ana shunday maxsus hisoblash usullarini o`rganishda barcha qiziquvchi talabalar foydalanishlari mumkin. Lebeg ma’nosida o’lchovli to’plamlar mavzusi ustida bajariladigan misol va masalalar qiziqarli va tushunarliligi bilan ajralib turar ekan. Ushbu mavzuda keltirilgan barcha misol va masalalar talabalarni “Matematik analiz” faniga qiziqishini orttiradi. Kurs ishidan Akademik litsey, kasb-hunar kollejlari va oliy ta’lim muassasasi talabalari foydalanishlari mumkin. 31 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR . 1. О‘zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bо‘yicha harakatlar strategiyasi tо‘g‘risida O‘bekiston Respublikasi Prezidentining farmoni. 201 8 yil 8 fevraldagi 28 (6722)-soni. 2. Toshmetov O’., Turgunbayev R., Saydamatov E., Madirimov M. Matematik analiz I-qism. T.: “Extremum-Press”, 2015. -390-398b. 3. Claudia Canuto, Anita Tabacco Mathematical analysis. I. Springer-Verlag. Italia, Milan. 2008.- 331-338p. 4. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar. I T.:«Voris-nashriyot». 2010 y. 288-293b. 5. Abdullaye J.I, G’anixo’jayev R.N, Shermatov .M.H. Haqiqiy o’zgaruvchining funksiyalari nazariyasi. SamDu nashri, Toshkent-2009y. 97-118 b 6. S.Sarimsoqov, T.Toshpo’latov “Haqiqiy o’zgaruvchi funksiyalar nazariyasi”. Toshkent-2007y 7. Internetdan: W.W.W.google.uz, W.W.W.ziyonet.uz, W.W.W.referat.uz, W.W.W.Yahoo.uz, W.W.W. kitoblar.uz. 32 33

Oliy ta'lim muassalari asosiy fan uchun kerakli ma'lumot 

Купить