Lebeg integralining absolyut uzluksizlik xossasi
![I =
∫
A [ f ( x ) ± g ( x ) ] dμ =
∑
i , j ( f
i ± g
j ) μ ( F
i ∩ G
j )
μ = ( F
i ) =
∑
j μ ( F
i ∩ G
j ) , μ ( G
j ) =
∑
i μ ( F
i ∩ G
j )
ligidan
oxirgi yig‘inda absolyut yaqinlashuvi bo‘ladi va I = I
1 + I
2 bo‘ladi
2 0
. f – integrallanuvchi bo‘lsa A da, ∀ K
son uchun ∫
A Kf ( x ) dμ = K
∫
A f ( x ) dμ
3 0
. f – A da integral va ¿f(x)∨≤M bo‘lsa u holda |∫A
f(x)dμ |≤Mμ (A).
Ixtiyoriy funksiya uchun Lebeg integrali ta’rifi.
Ta’rif. f ( x )
funksiya A to‘plamda Lebeg ma’nosida integrallanuvchi
deyiladi, agar unga tekis yaqinlashuvchi integrallanuvchi sodda funksiyalar
ketma-ketligi mavjud bo‘lsa
{fn(x)}1∞ sodda funksiyalar ketma-ketligi f ( x )
ga
tekis yaqinlashsin, u holda
f(x) ning integrali quyidagicha aniqlanadi:
limn→∞∫A
fn(x)dμ =¿∫A
f(x)dμ ¿
Lebeg integralining asosiy xossalari
1 0
.
∫A
1dμ = μ(A)
2 0
.
∫A
Kf (x)dμ = K∫A
f(x)dμ
3 0
. ∫
A ¿ ¿
4 0
. Agar f ( x )
A da chegaralangan bo‘lsa, u holda u integrallanuvchi bo‘ladi.
5 0
. f ( x ) ≥ 0 ,
f - integrallanuvchi bo‘lsin, u holda ∫
A f ( x ) dμ ≥ 0
6 0
. Agar f ( x )
va
g(x) funksiyalar integrallanuvchi va f ( x ) ≥ g ( x )
bajarilsin, u
holda
∫
A f ( x ) dμ ≥
∫
A g ( x ) dμ
7 0
.
m≤ f(x)≤M , ∀ x∈A bo‘lsa, u holda mμ ( A ) ≤
∫
A f ( x ) dμ ≤ Mμ ( A )
8 0
. Agar μ ( A ) = 0
bo‘lsa, ∫
A f ( x ) dμ = 0
9 0
. Agar f ( x ) ∞ g ( x )
, bo‘lsa va biri integral bo‘lsa, u holda
∫
A f ( x ) dμ =
∫
A g ( x ) dμ
11](https://docx.uz/documents/93b5fec2-1fc6-409e-b02e-17b40e33e160/page_11.png?v=1)
![lim
n → ∞ ∫
A f
n ( x ) dμ =
∫
A f ( x ) dμ
Isbot. ¿fn(x)∨≤ϕ(x) shartdan ¿f❑(x)∨≤ϕ(x) ga ega bo‘lamiz va Lebeg
integrali xossasiga ko‘ra
f(x) - integral bo‘ladi.
Endi ∀ ε > 0 , ∍ δ > 0 , μ ( B ) < δ
da
∫B
ϕ(x)dμ <ε
4
bo‘ladi
Egrov teoremasiga ko‘ra μB < δ
shartni qanoatlantiruvchi B ni shunday
tanlash mumkinki, C = A ¿
da
fn(x)→(x),n→∞→ Demak ∍ N topiladiki, ∀ n > N
va
x ∈ C
uchun
¿ f ( x ) − f
n ( x ) ∨ ¿ ε
4 μ ( C )
Bu holda
∫
A f ( x ) dμ −
∫
A f
n ( x ) dμ =
∫
C [ f ( x ) − f
n ( x ) ] dμ +
∫
B f ( x ) dμ −
∫
B f
n ( x ) dμ
¿f(x)∨≤ϕ(x)
va ¿fn(x)∨≤ϕ(x) ligidan va ∫A
ϕ(x)dμ<ε
4 dan
|
∫
A f ( x ) dμ −
∫
A f
n ( x ) dμ | ≤ ε
4 + ε
4 + ε
4 + ε
4 = ε
Teorema isbot bo‘ladi.
Natija: Agar
¿fn(x)∨≤M ,∀ n va
bo‘lsa u holda
lim
n → ∞ ∫
A f
n ( x ) dμ =
∫
A f ( x ) dμ
Teorama. (Levi). A t o‘ o plam da
f1(x)≤ f2(x)≤ f3(x)≤.... ≤ fn(x)≤...
tengsizligi bajarilsin va har bir n
da f
n ( x )
integrallanuvchi bo‘lib,
∫
A f
n ( x ) dμ ≤ K , ∀ n
tengsizligi bajarilsin
U holda A da
f(x)= limn→∞ fn(x) chekli limit mavjud va f integrallanuvchi va
lim
n → ∞ ∫
A f
n ( x ) dμ =
∫
A f ( x ) dμ
o‘rinli
14](https://docx.uz/documents/93b5fec2-1fc6-409e-b02e-17b40e33e160/page_14.png?v=1)
![Natija. Agar ψn(x)≥0 va
∑
n = 1∞
∫
A Ψ
n ( x ) dμ < ∞
bo‘lsa, u
holda A ning deyarli barcha nuqtalarida
∑
n = 1∞
ψ
n ( x )
- qator yaqinlashadi va
∫A∑1
∞
ψn(x)dμ =∑n=1
∞
∫A
ψn(x)dμ
o‘rinlidir.
Teorama (Fatu). { f
n ( x ) }
1∞
- o‘lchovli manfiymay funksiyalar ketma-ketligi
f ( x )
deyarli yaqinlashsa va ∀ n
da ∫
A f
n ( x ) dμ ≤ K
tengsizligi bajarilsa u holda f ( x )
-
integrallanuvchi bo‘lib,
∫
A f ( x ) dμ ≤ K
Riman va Lebeg integrallarini taqqoslash
Biz bilamizki Riman integralining mavjud bo‘lishi uchun
f(x) funksiyaning
chegaralangan bo‘lishi zarur edi, Lebeg integralida shart emas, bundan tashqari
Riman integrali majud bo‘lishi uchun f ( x )
funksiyaning uzulish nuqtalari to‘plami
nol o‘lchovli bo‘lishi kerak. Va shunga o‘xshagan sifatlari bilan Riman integralini
farqlash mumkin quyidagi teorema o‘rinli:
Teorama: Agar
f(x) funksiya [a,b] da Riman ma’nosida
integrallanuvchi bo‘lsa, u hoda u
[a,b] da Lebeg ma’nosida ham
itegrallanuvchi bo‘ladi. Aksi esa o‘rinli emas.
Quyidagi tenglik o‘rinli
(R)∫a
b
f(x)dx =(L)∫[a,b]
f(x)dμ
MAVZUNI MUSTAQIL ISHLASH UCHUN SAVOL VA TOPSHIRIQLAR
1.
f(x)=[x],x∈[0;5 )= A ni sodda funksiya ekanligini ko‘rsating va uning to‘plam
bo‘yicha olingan integralini hisoblang.
2. Sodda funksiyalar ko‘paytmasi yana sodda funksiya bo‘lishligini isbotlang.
15](https://docx.uz/documents/93b5fec2-1fc6-409e-b02e-17b40e33e160/page_15.png?v=1)
![3. Dirixle funksiyasini A= [0;3 ] to‘plamda sodda funksiya ekanligini ta’rif
yordamida ko‘rsating. Uni integralini hisoblang.
4. Agar
f integrallanuvchi funksiya bo‘lsa, u holda fn(x)= 1
n
[nf (x)] sodda
funksiyaning integrallanuvchi bo‘lishligini isbotlang. Bu erda
[x]− x ning butun
qismi.
5. Lebeg integralining absolyut uzluksizlik va sanoqli additivlik xossalari Riman
integrali uchun o‘rinlimi? Asoslang.
6.
f(x)= {
1, agar x∈ Q ,
− 1, agar x∈ R ¿
7. funksiya misolida bu xossani tahlil qiling.
8. Agar
f funksiya A to‘plamda chegaralanmagan bo‘lsa u Lebeg ma’nosida
integrallanuvchi bo‘lishi mumkinmi? Asoslovchi misollar keltiring.
9.
f(x)=[2x2] funksiyaning A= [0;2 ] to‘plam bo‘yicha olingan Lebeg integralini
hisoblang.
10. Lebeg integralining absolyut uzluksizlik tasdig‘ida teorema shartlari isbotda
foydalanilgan o‘rinlarni toping.
MAVZU BO‘YICHA TEST
1.
E= [0;4 ] to‘plamda berilgan f sodda funksiyani toping.
A)
f(x)= x B) f(x)=[x] K) f(x)=ex D) f(x)= sin x
2. Quyidagi shartlarning qaysilari birgalikda bajarilganda,
f ga sodda funksiya
deyiladi.
1)
f o‘lchovli, 2) f ning qiymatlar to‘plami chekli yoki sanoqli, 3) f
chegaralangan.
A) 1 + 3 B) 1+ 2 K) 2+ 3 D) 3
3.
E= [0;3 ] to‘plamda berilgan sodda funksiyalarni ko‘rsating.
f1(x)= x,mod 4mmf 2(x)=1, mod 4mmf 3(x)= D (x)
16](https://docx.uz/documents/93b5fec2-1fc6-409e-b02e-17b40e33e160/page_16.png?v=1)
![A) f1,f2,f3 B) f2,f3 K) f1,f2 D) f1,f3
4.
E= [0;5 ] to‘plamda berilgan sodda funksiyalarni ko‘rsating.
f1(x)= ex,mod 4mmf 2(x)= R(x),mod 4mmf 3(x)= D (x)
A)
f1,f2,f3 B) f2,f3 K) f1,f2 D) f1,f3
5.
E= [0;3 ] to‘plamda berilgan sodda funksiyalarni ajrating.
f1(x)= cos x,mod 4mmf 2(x)= sign (x),mod 4mmf 3(x)=1 +[x]
A)
f1,f2,f3 B) f2,f3 K) f1,f2 D) f1,f3
6.
E= [0;4 ] to‘plamda berilgan sodda funksiyalarni ajrating.
f1(x)= sin x,mod 4mmf 2(x)=[x],mod 4mmf 3(x)= R(x)
A)
f1,f2,f3 B) f2,f3 K) f1,f2 D) f1,f3
7. Quyidagilar tasdiqlar ichidan to‘g'rilarini ajrating.
1) Sodda funksiyalar yig'indisi sodda funksiya bo‘ladi.
2) Sodda funksiyaning songa ko‘paytmasi sodda funksiya bo‘ladi.
3) Sodda funksiyalar ko‘paytmasi sodda funksiya bo‘ladi.
A) 1, 2 B) 1, 2, 3 K) 2, 3 D) 1, 3
8. Riman funksiyasi
R :R → R haqidagi tasdiqlar ichidan to‘g'rilarini ajrating.
1) O‘lchovli funksiya.
2) Qiymarlar to‘plami sanoqli.
3)
[0;1 ] da integrallanuvchi.
A) 1, 2 B) 1, 2, 3 K) 2, 3 D) 1, 3
9. Dirixe funksiyasi
D :R→ R haqidagi tasdiqlar ichidan to‘g'rilarini ajrating.
1) Qiymarlar to‘plami chekli.
2) Sodda funksiya.
3)
[0;1 ] da integrallanuvchi.
A) 1, 2 B) 1, 2, 3 K) 2, 3 D) 1, 3
10.
f(x)=1 +sign (x) sodda funksiya uchun A1= {x∈[− 2;3 ]:f(x)=0 }
to‘plamni toping.
17](https://docx.uz/documents/93b5fec2-1fc6-409e-b02e-17b40e33e160/page_17.png?v=1)
![A) [−2;0 ] B) [−2;0 ) K) [−2;−1] D) [−2;3 ]
11.
f(x)=5 −[2x] sodda funksiya uchun A1= {x∈[− 2;3 ]:f(x)=1 } to‘plamni
toping.
A)
[2;3 ] B) [2;3 ) K) [2;2,5 ) D) [2;2,6 ]
12. Sodda funksiyaning integrali uchun quyidagi tasdiqlarning qaysilari o‘rinli.
1)
g ( x ) dμ . ¿
2)
f ( x ) dμ . ¿
3)
g ( x ) dμ . ¿
A) 1, 2 B) 1, 3 K) 2, 3 D) 3
13. Quyidagi tasdiqlar ichidan to‘g'rilarini ajrating.
1) Cheklita qiymat qabul qiluvchi sodda funksiya integrallanuvchidir.
2) Chegaralangan sodda funksiya integrallanuvchidir.
3) Integrallanuvchi sodda funksiya chegaralangandir.
A) 1, 2 B) 1, 3 K) 2, 3 D) 3
14. Quyida berilgan shartlarning qaysilaridan
f(x)dμ =0 ¿ tenglik kelib
chiqadi.
1)
f nolga ekvivalent bo‘lsa.
2)
f toq funksiya bo‘lsa.
3)
f juft funksiya bo‘lsa.
A) 1, 2 B) 1, 3 K) 2, 3 D) 3
15. Integralning additivlik xossasini toping.
A) Agar
μ(A)=0 bo‘lsa, u holda f(x)dμ =0 .¿
B)
g ( x ) dμ . ¿
18](https://docx.uz/documents/93b5fec2-1fc6-409e-b02e-17b40e33e160/page_18.png?v=1)
![2) Chegaralangan o‘lchovli funksiya integrallanuvchidir.
3) Lebeg integralining VIII xossasi Riman integrali uchun ham o‘rinli.
A) 1, 2 B) 1, 3 K) 2, 3 D) 3
25. [0;1 ] kesmada Lebeg ma'nosida integrallanuvchi, lekin Riman ma'nosida
integrallanuvchi bo‘lmagan funksiyani toping.
A) Dirixe funksiyasi
D B) Riman funksiyasi R
K) Kantorning zinapoya funksiyasi
K D) f(x)=2 x+1
26.
A= [0;3 ] to‘plamda berilgan sodda f(x)=3 +D (x) funksiyaning
integralini hisoblang.
A)
3 B) 2 K) 6 D) 9
27.
A= [0;5 ] to‘plamda berilgan sodda f(x)=3 − R(x) funksiyaning
integralini hisoblang.
A)
3 B) 12 K) 15 D) 24
28.
A= [0;2 ] to‘plamda berilgan sodda f(x)=4 − [x] funksiyaning
integralini hisoblang.
A)
3 B) 7 K) 6 D) 4
29.
A= [−1;2 ] to‘plamda berilgan sodda f(x)=1 − sign (x) funksiyaning
integralini hisoblang.
A)
3 B) 2 K) 0 D) 1
30. Lebeg integralining VI xossasini toping.
A) Manfiymas funksiyaning integrali ham manfiymas.
B) Ekvivalent funksiyalarning integrallari teng.
K) Integrallanuvchi funksiyaning moduli ham integrallanuvchi va aksincha.
D) Integrallanuvchi
ϕ funksiya bilan chegaralangan funksiya ham
integrallanuvchidir.
31. Lebeg integralining VII xossasini toping.
A) Manfiymas funksiyaning integrali ham manfiymas.
B) Ekvivalent funksiyalarning integrallari teng.
21](https://docx.uz/documents/93b5fec2-1fc6-409e-b02e-17b40e33e160/page_21.png?v=1)
![K) Integrallanuvchi funksiyaning moduli ham integrallanuvchi va aksincha.
D) Integrallanuvchi ϕ funksiya bilan chegaralangan funksiya ham
integrallanuvchidir.
32. Lebeg integralining VIII xossasini toping.
A) Manfiymas funksiyaning integrali ham manfiymas.
B) Ekvivalent funksiyalarning integrallari teng.
K) Integrallanuvchi funksiyaning moduli ham integrallanuvchi va aksincha.
D) Integrallanuvchi
ϕ funksiya bilan chegaralangan funksiya ham
integrallanuvchidir.
33.
A= [1; ∞ ) to‘plamni ¿∞[n;n+1)¿ ko‘rinishda yoyib f(x)=e−[x]
funksiyaga Lebeg integralining
σ− additivlik xossasini qo‘llasak, f(x)dμ ¿
quyidagilarning qaysi biriga teng bo‘ladi.
A)
¿∞e
n−1
¿ B) ¿∞e
−n
¿ K) ¿∞e
n
¿ D) ¿∞e
−n+1
¿
34.
f(x)= x,x∈[0;100 ] funksiya va ε=0,1 uchun Lebeg integrali absolyut
uzluksizlik xossasini qanoatlantiruvchi
δ>0 ni toping.
A)
δ=0,01 B) δ=0,001 K) δ=0,1 D) δ=0,025
35.
ϕ(x)= ex,x∈ A= [0;1 ] funksiyaga Chebishev tengsizligini qo‘llab
C = {x∈ A:ϕ(x)≥ e0,9 }
to‘plam o‘lchovini baholang.
A)
μ(C )<0,1 B) μ(C )≤ e0,1 − e−0,9 K) μ(C )<0,01 D) μ(C )≤ e0,1
36. O‘lchovli
fn(x)= n⋅xα
n⋅x2+1
, x∈[0;1 ], funksiyalar ketma-ketligi uchun
integral belgisi ostida limitga o‘tish haqidagi Lebeg teoremasi shartlarini
qanoatlantiruvchi parametr
α∈ R ning barcha qiymatlarini toping.
A)
α>1 B) α>0 K) α≥− 1/2 D) α>− 1/2
22](https://docx.uz/documents/93b5fec2-1fc6-409e-b02e-17b40e33e160/page_22.png?v=1)
![37. O‘lchovli fn(x)= n⋅x1,3
n⋅x2+1
, x∈[0;1 ], funksiyalar ketma-ketligi uchun
integral belgisi ostida limitga o‘tish haqidagi Levi teoremasining qaysi shartlari
bajariladi.
A)
{fn} monoton (fn(x)≤ fn+1(x)), ¿ ¿ chegaralangan
B)
{fn} monoton emas, ¿ ¿ chegaralangan
K)
{fn} monoton, ¿ ¿ chegaralanmagan
D)
{fn} monoton emas, ¿ ¿ chegaralanmagan
38.
fn(x)= n⋅x1,5
n⋅x2+1
, x∈[0;1 ], o‘lchovli funksiyalar ketma-ketligi uchun
integral belgisi ostida limitga o‘tish haqidagi Levi teoremasini qo‘llab, limitik
funksiya
f ni toping va I=∫ ¿f(x)dμ ¿ integralni hisoblang.
A)
f(x)= x−1/2 va I=2 B) f(x)= x−1/2 va I=1
K)
f(x)= x1/2 va I=2/3 D) f(x)= x1/2 va I=1,5
39. Parametr
α∈ R ning qanday qiymatlarida ¿∞lnn ⋅n
α−x
¿ qatorni A= [0;1 ]
to‘plamda hadlab integrallash mumkin. Levi teoremasi natijasidan foydalaning.
A)
α<− 1 B) α<0 K) α≤− 1/2 D) α<− 1/2
40.
|f (x)|dμ =0 ¿ tenglikdan quyidagi tasdiqlarning qaysi biri kelib
chiqadi. Chiebishev tengsizligi natijasidan foydalanib javob bering.
A)
f nolga ekvivalent B) f(x)≡0
K)
f toq funksiya D) to‘g'ri javob keltirilmagan.
41. Lebeg integralining VI xossasidan foydalanib
f(x)= {
1, x∈[0;4 ]¿Q
2x, x∈[0;4 ]¿
funksiyaning
A= [0;4 ] to‘plam cholingan Lebeg integralini hisoblang.
23](https://docx.uz/documents/93b5fec2-1fc6-409e-b02e-17b40e33e160/page_23.png?v=1)
![A ) 9 B) 16 K) 25 D) 4
42. Lebeg integralining xossalaridan foydalanib
f(x)=
{
1, x∈[− 1;1 ]¿Q
1
1+x2, x∈[− 1;1 ]¿
funksiyaning
A= [− 1;1 ] to‘plam bo‘yicha olingan Lebeg integralini hisoblang.
A )
π B) π/2 K) π/4 D) 2
43. Lebeg integralining xossalaridan foydalanib
f(x)=2 xe x2 funksiyaning
A= [0; √ln 3]
to‘plam bo‘yicha olingan Lebeg integralini hisoblang.
A )
2 B) 3 K) 4 D) ln 3−1
44. Lebeg integralining xossalaridan foydalanib
f(x)= cos πx ⋅ex funksiyaning
A= [0;1 ]
to‘plam bo‘yicha olingan Lebeg integralini hisoblang.
A )
e+1
1+π2 B) − e+1
1+π2 K)
e− 1
1+π2 D)
− 1+e
1+π2
45. Lebeg integralining xossalaridan foydalanib
f(x)=(2x−1)4 funksiyaning
A= [0;1 ]
to‘plam bo‘yicha olingan Lebeg integralini hisoblang.
A )
1 B) 2 K) 0,5 D) 0,2
46. Lebeg va Riman integralini taqqoslasj haqidagi teoremadan foydalanib
f(x)=1 +sin x
funksiyaning A= [0; π] to‘plam bo‘yicha olingan Lebeg integralini
hisoblang.
A )
π+2 B) 2 K) π D) π+1
47. Kantorning zinapoya funksiyasini
[0;1 ] to‘plam bo‘yicha olingan Lebeg
integralini hisoblang.
A )
1 B) 2−1 K) 2−2 D) 3/4
48. Lebeg integralining VI xossasidan foydalanib Dirixle funksiyani
[0;1 ]
to‘plam bo‘yicha olingan Lebeg integralini hisoblang.
24](https://docx.uz/documents/93b5fec2-1fc6-409e-b02e-17b40e33e160/page_24.png?v=1)
![A) 1 B) 0 K) 0,25 D) 0,4
49. Lebeg integralining AU xossasidan foydalanib Riman funksiyani
[0;1 ]
to‘plam bo‘yicha olingan Lebeg integralini hisoblang.
A)
1 B) 0 K) 0,25 D) 0,4
50.
f(x)=2 −[x] va g(x)=e−x funksiyalar ch eksiz o‘lchovli A= [0; ∞ )
to‘plamda Lebeg ma'nosida integrallanuvchimi?
A) Ikkalasi ham integrallanuv ch i
B)
f integrallanuvchi, g integrallanuvchi e mas
K)
f integrallanuvchi e mas, g integrallanuv ch i
D) Ikkalasi ham integrallanuvchi e mas.
25](https://docx.uz/documents/93b5fec2-1fc6-409e-b02e-17b40e33e160/page_25.png?v=1)
![Modifikatsiyalangan ma’ruza- Bu o‘qitish metodida o‘qituvchi mavzu
mazmunini og‘zaki nutq orqali o‘quvchilarga yetkazadi. Ammo an’anaviy
ma’ruzadan farqli, o‘quvchilar orasida faol muloqot bo‘ladi. Qo‘llanilishi:
- o‘quvchilarga umumiy axborot berish uchun;
- fanga kirish va asosiy materiallarni berish uchun;
- biror turdagi faoliyatni boshlashdan avval, namoyish qilish, rolli o‘yin va
boshqa turdagi usullarni qo‘llashdan oldin;
- ta’rif, qoida, formulalarni masala yoki labaratoriya ishlarida qo‘llashning
namoyishi uchun.
Afzalligi:
- tezkorlik bilan amalga oshirish:
- darsga kerak bo‘lgan ko‘rgazmali qurollar va fizik jihozlarning
rejalashtirilishi va tayyorlanishi;
- katta guruhlarda samaraliligi;
- kam resurslar talab qilishi;
- boshqa usullar bilan birgalikda qo‘llash mumkinligi;
- vaqtni yengil boshqara olish;
- guruhni birgalikda ushlash imkonini berish.
2.2. “ LEBEG INTEGRALI VA UNING XOSSALARI” MAVZUSINI
O‘QITISHDA KEYS TA’LIM TEXNOLOGIYALARIDAN FOYDALANISH
Keys (inglizcha ”case”-hodisa) hayotda sodir bo‘ladigan, aniq muammoli
vaziyatning tafsilotidir [1] ”Keys-stadi” bu hodisa va vaziyatlarni tahlil qilish usuli
bo‘lib, u talabalarga bilim berish yakuniy natija deb qaralmasdan, o‘zlashtirilgan
bilimlarni amalda qo‘llash ta’limning yakuniy natijasi sifatida qaralishi kerakligini
anglatadi. Keys usuli ilg‘or pedagogik texnologiya usullari ichida muhim
ahamiyatga ega bo‘lib, u ishlab chiqarish masalalarini mashg‘ulotlarda tahlil qilish
va hal qilish imkoniyatini yaratadi hamda undagi muammolarni yechish jarayonida
o‘zlashtirilishi zarur bo‘lgan o‘quv materiali ham ifodalanadi. Keys manbalari:
43](https://docx.uz/documents/93b5fec2-1fc6-409e-b02e-17b40e33e160/page_43.png?v=1)
Lebeg integralining absolyut uzluksizlik xossasi
-
Похожие документы
- Ayirmali sxemalar, ularni qurish va differensial masalani approksimasiyalash. Dirixle masalasi. Chekli — ayirmali tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechish (Libman o‘rtalash jarayoni)
- Bernulli tenglamasi. puazeyl va darsi-veysbax formulalari. gidravlik zarba
- Boshlang‘ich sinflarda matematikadan uy ishlari va o‘quvchilar bilimini reyting baholash va baho normalalri
- Bir o‘lchamli nostatsionar issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan yechish
- Boshlang‘ich sinflarda matematika o‘qitish metodlari va ularning kilassifikatsiyasi