Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar - Алгебра - Дипломные работы

Информация о документе

Цена	12000UZS
Размер	329.4KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Дипломные работы
Предмет	Алгебра

Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar

Купить

Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar
Reja:
1. Logarifmlar va ularning asosiy xossalari
2. O`nli va natural logarifmlar
3. Logarifmik funksiya va uning grafigi
4. Logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni yechish usullari
5. Logarifmik tenglamalar
6. Logarifmik tengsizlik
7. Ko`rsatkichli va darajali tenglamalar va tengsizliklar sistemasini
yechish
8. Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar sistemasini yechish

Logarifmlar va ularning asosiy xossalari
Quyidagi misollarni ko`ramiz:
1. 2 x
=4 ni yechish uchun 2 x
=2 2
deb yozamiz va x=2 yechimni
topamiz.
2. 2 x
=5 bo`lsin. o`ng tomondagi 5 ni asosi 2 bo`lgan daraja ko`rini-
shida tasvirlash mushkul. Lekin bu tenglamaning haqiqiy ildizi mavjud-
ligi bizga ma`lum. Bunday tenglamalarni yechish uchun logarifm tu-
shunchasi kiritiladi.
Umuman olganda, a x
=b (a>0, a≠1, b>0) tenglamaning ildizi a
asosga ko`ra b sonning logarifmi deyiladi.
Ta`rif: b sonning a asosga ko`ra logarifmi deb b sonni hosil qilish
uchun a sonni ko`tarish kerak bo`ladigan daraja ko`rsatkichiga aytiladi
va log
a b kabi belgilanadi. a x
=b tenglamani ( x=log
a b bo`lgani uchun)
alog ab= b (1)
ko`rinishida yozish mumkin. (1) formula asosiy logarifmik ayniyat deyi-
ladi, bu yerda
a>0 a≠1 va b>0
Misollar: 1) log
2 16 2) log
5 0,04 ning qiymatini toping.
Yechish: 1) 16=2 4
bo`lgani uchun, 16 ni hosil qilish uchun ikkini
to`rtinchi darajaga ko`tarish kerak, demak log
2 16=4.
2)
0,04 = 4
100 = 1
25 =5−2 ekanligi ma`lum. Shuning uchun log
5 0, 04=-2
Misollar: 3.
log 4x= 1
2, 4)log x4=− 3
4 tenglamalarni qanoatlantiruv-
chi x larni topamiz.
Yechish: Asosiy logarifmik ayniyatdan foydalanib:
3)
x= 4
1
2= 2
4)
xlog x4= 4 , ya`ni
x
−3
4= 4, x=4
−4
3= 1
3√256 larni topamiz.
2

Har qanday a>0, b>0, a≠1, b≠1, x>0, y>0 va haqiqiy istalgan n va
m sonlar uchun quyidagi tengliklar bajariladi:1) log a1= 0, 2) log aa= 1,
3) log a(xy )= log ax+log ay,
4) log a
x
y= log ax− log ay,
5) log axn= nlog ax,
6) log amx= 1
m log ax,
7) log amxn= n
m log ax,
8)log ax=
log bx
log ba ,
9)log ab=1
log ba ,
Bu tengliklar ko`rsatkichli funksiya xossalaridan kelib chiqadi.
Bulardan ba`zilarini isbot qilamiz.
Logarifmik ayniyatdan foydalanib:
x= alog ax, y= alogay
ni topamiz.
Bu tengliklarni hadlab ko`paytirsak yoki bo`lsak
xy = alog ax∗alogay=alogax+logay,
x
y= alog ax:alogay=alogax−logay,
hosil bo`ladi.
Bu tengliklardan logarifm ta`rifiga ko`ra 3) va 4) tengliklar kelib
chiqadi.
x=alogax
ayniyatning ikkala tomonini n – darajaga oshirsak,
xn=anlog ax
hosil bo`lib, bundan log axn=nlog ax ni topamiz.
Bir asosli logarifmdan boshqa asosli logarifmga o`tish formulasi 8)
ni xususiy holda 9) ni isbotlash uchun quyidagicha amal qilamiz:
3

log ax= b⇒ x= abHosil bo`lgan x=a b
ifodaning ikkala tomonidan b asosga ko`ra
logarifm topamiz:
log bx= log bab= blog ba⇒ b=
log bx
log ba
Chap tomonga b ning qiymatini qo`yib, 8) formulani hosil qilamiz.
Agar bu formuladan x=b desak, 9) formula hosil bo`ladi.
5-misol. Agar
log 25=a va log 23=b bo`lsa, log 23000 ni a va b orqali
ifodalang?
Yechish:
log 23000 = log 2(3⋅53⋅23)= log 23+3log 25+3log 22= b+3a+3
6-misol. Agar
log 3x=log 37+2log 35−3log 32 bo`lsa, x ni toping.
Yechish:
log 3x= log 37+log 352− log 323= log 3
7⋅52
23 = log 3
175
8 ,
Bundan
x=175
8 =21 ,875
12.2. O`nli va natural logarifmlar
1-ta`rif. Asosi a=10 bo`lgan logarifmlar o`nli logarifmlar deyiladi
va lgx orqali ifodalanadi, ya`ni log
10 x=lgx
7-misol. lg100=lg10 2
=2
8: lg0,01=lg10 -2
=-2
2-ta`rif. Natural logarifm deb asosi e son bo`lgan logarifmga
aytiladi va lnx bilan belgilanadi, ya`ni log
e x=lnx , e soni irratsional son
bo`lib, e=2,7182818284… amalda e≈2,7 deb qabul qilish mumkin.
O`nli va natural logarifmlar orasida
lg x= 1
ln 10 ⋅ln x≈ 0,434294 ln x
va
ln x= 1
lg e
⋅lg x≈ 2,302551 lg x
bog`lanish mavjud. Amalda
lg x≈0,4 ln x va
ln x≈2,3 lg x
tengliklardan foydalanish mumkin.
4

9-misol. ln100 , lge 2
ni hisoblang.
Yechish: ln 100 ≈ 2,3 ⋅lg 100 =2,3 ⋅2= 4,6 .
lg e2=2lg e≈ 2⋅0,4 ln e=0,8 .
Mashqlar
Quyidagi logarifmlarni toping:
298 ) 1) log 39 ; 2) llog 2
1
16 ; 3) log 416 ; 4) log 5
1
25 .
299 ) 1) log 33√3 ; 2) log 232 −5; 3) log 770; 4) log 327 .
300 ) 1) log 9
1
81 ; 2) log 432 ; 3) log √28 ; 4) log 0,2 125 .
Hisoblang:
301 ) 1) 2log 213 , 2) 3log39, 3)(
1
3 )
log 0,53
, 4) (
1
4 )
log 0,253
.
302 ) 1) 8log 23, 2) 9log34, 3) (0,25 )log 23, 4) (0,04 )log 54.
303 ) 1) log √2
3√2; 2) log 1
2
3√9 ; 3) log 3log 229;
4) log 9lg 1000 ; 5) log 4log 32 1024 − log 1
2
4;
6) log 85+log 840 − log 815 ;
7)
log 212 − 1
2 log 236
log 39− 1
3 log 39
; 8)
6log 72− log 764
8log 52+2
3 log 527
;
9)
2log 53
log 25 27 ; 10 )
log 27 8
log 92 .
304 ) 1) log 34; 2) log 715 ; 3) log 0,8 9; 4) log 1,3 12 .
Berilgan logarifmlarni natural logarifmlar bilan almashtirib, mikro-
kalkulatorda 0,01 aniqlik bilan hisoblang:
305 ) 1) log 25 ; 2) log 54; 3) log 725 ; 4) log 45 9.
306 ) 1) log 34 ; 2) log 715 ; 3) log 0,8 9 ; 4) log 1,3 12 .
Javoblar: 298. 2) -4; 4) -2. 299. 2) -25; 4) 3. 300. 2) 3,5; 4) -3.
5

301. 2) 9; 4) 3. 302. 2) 16. 4) 1
16 ; 303 .2)− 2
3; 4)1
2.
6)log 8
40
3 ;8)0;10 )2.
12.3. Logarifmik funksiya va uning grafigi
Logarifmik funksiya deb,2
y=log
a x
funksiyaga aytiladi. bu yerda a>0, a≠1 . Funksiyaning ba`zi xossalarini
ko`rib chiqamiz:
1) Funksiyaning aniqlanish sohasi x>0 . Bu logarifmning ta`rifidan
kelib chiqadi.
2) Logarifmik funksiyaning qiymatlar sohasi barcha haqiqiy sonlar-
dan iborat. Haqiqatda, har qanday haqiqiy son b uchun shunday musbat x
mavjudki, log
a x=b bo`ladi, ya`ni log
a x=b tenglama ildizga ega bo`ladi.
3) Barcha x>0 uchun agar a>1 bo`lsa logarifmik funksiya o`suvchi
bo`ladi. Agar 0<a<1 bo`lsa, kamayuvchi bo`ladi.
Haqiqatda a>1 bo`lganda x
2 >x
1 uchun
log ax2>log ax1 bo`ladi va
funksiya o`sadi. Agar 0<a<1 bo`lsa,
alog ax2>alogax1 dan log ax2>log ax1 kelib
chiqadi. Bu funksiya kamayuvchiligini bildiradi.
4) a>1 bo`lganda, y=log
a x funksiya 0<x<1 uchun manfiy va x>1
uchun musbat qiymatlar qabul qiladi: 0<a<1 bo`lganda, 0<x<1 uchun
funksiya musbat va x>1 uchun manfiy qiymatlar qabul qiladi. Bu xossa
y=log
a x funksiyaning o`suvchi ( a>1 ) va kamayuvchi ( 0<a<1 ) ekanligi-
dan kelib chiqadi. x=1 bo`lsa, y=0 grafik (1, 0) nuqtadan o`tadi.
5) Keltirilgan xossalardan foydalanib, funksiya grafigini yasaymiz.
Ko`rinadiki grafik Oy o`qdan o`ngda joylashgan (47, 48 rasmlar).
0< a <1

1
a
x
0
0 y
1
-1 a > 1
a y=log
a x у
х1
a
6

у
2 3
х)2 ( log
3
1   x yу
2
3
х
)2 (3 log 
 x
y -
1
47-rasm. 48-rasm.
Misollar. 1) y=log
3 (x-2), 2)
y=log 1
3
(x−2) funksiyaning grafik-
l arini yasang.
Yechish: Bu funksiyalarning grafiklari
y=log 3x va
y=log 1
3
x
funksiyalarning grafiklarini Ox o`q bo`yicha o`ng tomonga ikki birlikka
surishdan hosil bo`ladi (49 va 50- rasmlar).
49-rasm. 50-rasm.
3-misol.
y=log 3|3− x| funksiyaning grafigini yasang.
Yechish:
x∈(−∞,3)∪(3,∞)x=3 to`g`ri chiziqqa nisbatan grafik
simmetrik joylashgan. Shuning uchun grafikni x>3 holat uchun yasab,
uni x=3 to`g`ri chiziqqa nisbatan akslantirsak,
y=log 3|3−x| funksiyaning
grafigi hosil bo`ladi (51-rasm).
y
1
0 2 3
4
xx=3 y=log
a x
7

51-rasm.
4-misol. log 2x=− x+1 tenglamani grafik usulda yeching.
Yechish: bitta chizmada
y=log 2x va y=− x+1
funksiyalarning grafiklarini yasaymiz. Grafiklarning kesishish nuqtasi-
ning abssissasi berilgan tenglamaning yechimi bo`ladi (52-rasm).
Rasmda (1, 0) nuqtada grafiklar
kesishadi. Demak x=1 berilgan
tenglama
log 2x=− x+1 ning yechimi
bo`ladi.
52-rasm.
Mashqlar
306. Funksiyalarning aniqlanish sohalarini toping:
1) y= log 3(2x− 3); 2) y= lg (5− 3x);
3) y= log 1
2
(x2− 9); 4) y= ln (4− x2);
5) y= lg (x2+5x+4); 6) y= log 3(x2− 7x+6).
307. Sonlarning ishorasini toping.
1) log 34,5 ; 2) log 3
2
3 ; 3) log 0,3 0,7 ;
4) log 52,7 ; 5) lg 0,96 ; 6) ln 3,2 .
308. Funksiyaning o`suvchi yoki kamayuvchi ekanligini aniqlang. Y
y=-x+1
1
0 1
X
8

1) y= log 0,75 x; 2) y= log √5
2
x;
3) y= ln x; 4) y= lg x.
1) y= log 2x; 2) y= log 1
2
x.309. Funksiyalarning grafiklarini yasang va bu grafiklardan foyda-
lanib,
log 23;log 20,5 ;log 25 ni taqribiy hisoblang.
310. Funksiyalarning grafigini yasang.
1) y= log 2(x+1); 2) y= log 2(x− 3);
3) y= 2+log 3x ; 4) y= log 3x− 2;
5) y= 1+log 2(x+1); 6) y= log 1
2
x− 2;
7) y=|log 2x|; 8) y=|log 2x− 1|.
311. Tenglamani grafik usulda yeching.
1) log 2x= x− 1, 2) log 2x= 2x− 3
3) log 1
2
x= 2x2 4) log 2x= 1− x2.
Javoblar: 306.
2)(−∞ ,5
3); 4)(− 2,2); 6)(− ∞ ,1)∪(6,∞).
307. 2) manfiy; 4) musbat; 6) musbat.
308. 2) o`suvchi; 6) o`suvchi.
309. 2) kamayuvchi.
12.4. Logarifmik tenglamalar va tengsizliklarni
yechish usullari
12.4.1. Logarifmik tenglamalar
Logarifmik tenglama ma`lum almashtirishlardan keyin
9

log ax= log ab(1)
yoki
log ax=b (2)
ko`rinishga keltiriladi. (1) dan x=b va (2) dan x=a b
yechimni topamiz.
1-misol.
log 2(x2+5x+2)=3 tenglamani yeching.
Yechish: Berilgan tenglama x ning x 2
+5x+2=2 3
tenglik bajarila-
digan qiymatlardagina qanoatlantiradi. Bundan x 2
+5x-6=0 kvadrat teng-
lamaga ega bo`lib, x
1 =1, x
2 =-6 yechimni topamiz.
2-misol.
log 3(2x+3)=log 3(x+1) tenglamani yeching.
Yechish: Bu tenglama x ning 2x+3>0 va x+1>0 shartlarni qanoat-
lantiruvchi qiymatlari uchun aniqlangan. Bu tengsizliklarni yechib teng-
lamaning mavjudlik sohasi
x∈(−1,∞) ni aniqlaymiz. Berilgan tenglama
2x+3=x+1 tenglamaga teng kuchlidir. Bundan x=-2 ni topamiz. Ammo
bu ildiz tenglamaning mavjudlik sohasiga kirmaydi. Binobarin, berilgan
tenglamaning ildizlari mavjud emas.
3-misol.
log x(x2−3x+3)=1 tenglamani yeching.
Yechish: bu tenglama x ning x>0, x≠1( x- logarifmning asosi bo`l-
gani uchun) shartlar va x 2
-3x+3=x yoki x 2
-4x+3=0 tenglik bajariladigan
qiymatlardagina qanoatlantiriladi. Hosil bo`lgan kvadrat tenglamaning
ildizlari 1 va 3 bo`lib, x=1 berilgan tenglamaning yechimi bo`la
olmaydi. Demak, berilgan tenglamaning ildizi faqat x=3 .
4-misol.
log 5x−6log x5=1 tenglamani yeching.
Yechish: Bu tenglamaning mavjudlik sohasi
x∈(0,1)∪(1,∞) bo`ladi.
x asosli logarifmdan 5 asosli logarifmga o`tib,
log 5x− 6
log 5x−1=0 ni, bun-
dan
log 52x−log 5x−6= 0 ni hosil qilamiz. Bu kvadrat tenglamani noma`lum
log 5x
ga nisbatan yechib, log 5x1=3 va log 5x2=− 2 ni topamiz. Bu tengla-
10

malardan x
1 =5 3
=125 va x2 =5 -2
=
1
25 larni topamiz. Bu ildizlarning ikka-
lasi ham tenglamani qanoatlantiradi.
5-misol.
lg (2x+x+3)= x− xlg 5 tenglamani yeching.
Yechish: Ketma-ket teng kuchli tenglamalar bilan almashtirib,
topamiz:
lg (2x+x+3)= lg 10 x− lg 5x
lg (2x+x+3)= lg 10 x
5x = lg 2x
2x+ x+3= 2x; x+3= 0 x= − 3
Javob : x=-3
12.4.2. Logarifmik tengsizlik
Logarifmik tengsizlik lozim bo`lgan almashtirishlar bajarilgandan
keyin
log ax≥ b (log ax≤ b)
yoki (3)
log ax≥ log ab (log ax≤ log ab)
(4)
ko`rinishiga keladi.
Yechim:
log ax≥b⇒¿{x≥a
b
,¿¿¿ agar
agar
a>1
0<a<1
bo'lsa,
bo'lsa .
log ax≥log ab⇒ ¿{x≥b,agar a>1bo 'lsa ,¿¿¿
bo`ladi.
6-misol. lg(x+2)<1 tengsizlikni yeching.
Yechish: Tengsizlikning mavjudlik sohasi x+2>0 , yechimi esa
x+2<10 bo`ladi. tengsizlik yechimini topish uchun
11

{x+2>0¿¿¿¿ tengsizliklar sistemasiga ega bo`lamiz,
Uni yechib
{x>−2¿¿¿¿ ni yoki x∈(−2,8) ni hosil qilamiz.
Yechim:
x∈(−2,8) .
7-misol.
log 1
3
(2x− 4)>log 1
3
(x+1) tengsizlikni yeching.
Yechish: Mavjudlik sohasi uchun 2x-4>0, x+1>0, tengsizlikning
bajarilishi uchun 2x-4<x+1 (asos
1
3<1 bo`lgani uchun tengsizlik ishorasi
teskarisiga o`zgaradi) tengsizliklarga, ya`ni
{2x−4>0¿{x+1>0¿¿¿¿
sistemaga ega bo`lamiz.
Bundan
{x>2¿{x>−1¿¿¿¿ ni hosil qilamiz, demak yechim x∈(2,5 ) bo`ladi.
8-misol.
log 1
3
(x− 2)+log 1
3
(12 − x)≥− 2 tengsizlikni yeching.
Yechish: Tengsizlikning mavjudlik sohasi
{x−2>0¿¿¿¿
yoki {x>2¿¿¿¿ dan iborat.
Tengsizlikni
log 1
3
(x−2)(12 − x)≥log 1
3
(1
3)−2 teng kuchli tengsizlik bilan
almashtirib,
{(x−2)(12−x)≤3
2¿¿¿¿ sistemaga ega bo`lamiz.
Sistemani yechib,
{x≤3,x≥11¿¿¿¿ ni topamiz.
Javob:
x∈(2,3 ]∪[11 ,12 )
12

9-misol. log 1
2
(x2−5x−6)≥−3 tengsizlikni yeching.
Yechish: Tengsizlikning aniqlanish sohasi x 2
-5x-6>0 yoki
(x+1)(x-6)>0 yoki
x∈(−∞,−1)∪(6,∞) bo`ladi.
Tengsizlikni qanoatlantiruvchi x ni
x2−5x−6≤(1
2)−3 dan yoki x 2
-5x-
6≤8 yoki (x+2)(x-7)≤0 dan topamiz: -2≤x≤7 . Tengsizlikning mavjudlik
sohasi bilan birlashtirib, yechim
x∈[−2,−1)∪(6,7 ] ni topamiz.
13

Mashqlar
Tenglamalarni yeching:
3121) 5x= 0,3 ; 2)(0,2 )x= 3; 3) 3x= 10 ; 4) 10 x= 0;
5) log 3x= 2; 6) log 0,7 x=− 2; 7) log 4x=− 1
2 ; 8) ln x= 2;
9) log 1
2
(3x− 1)= − 3; 10 ) log 0,5 (5+3x)= 1.
313.
1)log 6(x−3)+log 6(x+2)=1;

2)log 3(x−2√2)+log 3(x+2√2)=0;
3) lg (x−√6)+log (x+6)=0;
4)ln (x−8)+ln (x+6)=0.
314.
1)log 5(7x+5)=log 5(5x+3);

2)log 1
3
(5x−2)=log 1
3
(3x+1);
3) log 5x×log 5(x−3)=log 5(x−3);
4)log √2(x+2)log 5x=2log 2(x+2).
315.
1)log 2(x−4)+log 2(2x−1)=2log 23;

2)lg(3x2+12 x+19 )−lg(3x+4)=1;
3)lg(x2+2x−8)−lg(x−2)=0;
4)ln(2x2−7x+6)−ln(x−2)=ln x.
316.
1)log 2
x+3
x+4+log 2((x+3)(x+4))=2;
2)log 2
x+2
2 +log 2x2=3;
3)1
lg x−6+5
lg x+2=1;
4)1
5− lg x+2
1+lg x=1.
Tengsizliklarni yeching
317.
1) log 2x>3; 2) log x3<− 2; 3) log 2,5 x>1;
14

4)log 3(x+5)>2; 5) log 0,7 (2x− 0,3 )<1; 6) log 1
7
(5x− 6)>− 2.
318. 1)
lg (4x− 5)>lg (x+1);2) log 0,3 (2x− 3)>log 0,3 (x+2);
3)
log 0,5 x>log 2(3− 2x);4) log π(x+3)+log πx<2log π2.
319. 1)
log 1,2 (x2−10 x+10 )>0;2)log 4
5
(x2− 3x−3)≥0;
3)
log 0,6 (x2−12 x+21 )>0;4) log 0,5 (x2−5x− 6)≥−3.
320. 1)
log 22x− 4≤ 0 ; 2) log 1
2
x− 9>0;
3)
log 0,5 x>log 2(3− 2x); 4)|2− log 2x|<1 ;
5)
|3log x−1|<2.
Javoblar:
312 .2)− log 53 4) lg e 6) 22
49 8) e. 10 )− 1,5 .
313 . 2) 3. 4) 1+5√2 314 .1) 1,5 . 4) 5. 315 .2)− 1,7 . 4) 2;3
316 .2) 2. 4) 100 ,1000 . 317 . 2)(9,∞ ); 4) (4,∞ ); 6)(− ∞ ,11 )
318 . 2) (1,5 ; 5). 4)(0,1). 319 . 2)[1,4 ]. 4)[− 2,7]
320 .2)(0,1
9 )∪(9,∞ ). 4) (2,8).
12.5. Ko`rsatkichli va darajali tenglamalar va tengsizliklar
sistemasini yechish
Mavzuni misollarda tushunib boramiz:
1-misol.
{y+3x=5¿¿¿¿ tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish: Sistemadagi birinchi tenglama chiziqli tenglama bo`lsa,
ikkinchisi ko`rsatkichli tenglamadir.
O`rniga qo`yish usuli bilan yechamiz. Birinchi tenglamadan y=5-
3x ni topib, ikkinchi tenglamaga qo`yamiz:
2x2−3x+5=23 hosil bo`ladi.
Bundan x 2
-3x+5=3 va x 2
-3x+2=0 hosil bo`ladi. Buni yechib, x
1 =1
va x
2 =2 ni topamiz. y ning mos qiymatlarini y=5-3x dan topamiz: y
1 =2,
y
2 =-1 .
15

Javob: (1, 2), (2, -1)
2-misol. {2x+2y=
1
8
¿¿¿¿ tenglamalar sistemasini yeching.
Yechish: Ikkala tenglama ham ko`rsatkichli tenglamadir. Ularda
chap va o`ng tomonlardagi asoslarni tenglashtiramiz.
{2
x+2y
=2
−3
¿¿¿¿ va daraja
ko`rsatkichlarini tenglashtirib teng kuchli
{x+2y=−3¿¿¿¿ sistemani hosil qila-
miz. Bu sistemani yechib
x= 1
3, y=− 5
3 ni topamiz.
Javob:
(
1
3;12
3).
3-misol.
{3
x
+3
y
=12 ¿¿¿¿ sistemasini yeching.
Yechish: Ketma-ket berilgan sistemani unga teng kuchli bo`lgan
sistema bilan almashtirib borib, topamiz:
{ 3
x
+ 3
y
= 12 ¿ ¿ ¿ ¿
¿
¿
Javob: (1; 2); (2; 1).
4-misol.
{2
x
2−3
y
=−7
¿
¿¿¿ sistemani yeching.
Yechish: Ketma-ket amallarni bajarib topamiz:
16

{ 2
x
2 − ( 2
x
+ 5 ) = − 7
¿
¿ ¿ ¿Javob: (2;2)
5-misol.
{x
2
−16 ≤0¿¿¿¿ tengsizlikni yeching.
Yechish: Sistemadagi har bir tengsizlikni alohida-alohida yechib,
ularga umumiy bo`lgan qismi sistemaning yechimi bo`ladi.
1) x2− 16 ≤ 0⇒ x2≤ 16 ⇒ [x]≤ 4 ⇒ − 4≤ x≤ 4
2) 3.5
x2+2x−15
x−4 > 3,5 0 ⇒ x+2x− 15
x− 4 >0 ⇒ (x+5)(x− 3)
x− 4 >0 ⇒ − 5<x<3,4<x<∞
sistema uchun
{− 4≤ x≤ 4 ¿¿¿¿ yoki −4≤ x<3 yechimni topamiz.
Javob:
−4≤ x<3 .
6-misol.
{(
2
3)
x
⋅(
8
9)
−x
>
27
64
¿¿¿¿ sistemani yeching.
Yechish: Har bir tengsizlikni alohida-alohida o`zgartirib boramiz:
{ (
2
3 )
x
× (
8
9 )
− x
>
27
64
¿ ¿ ¿ ¿ ¿
Javob:
x∈(−1,3)
Mashqlar
321. Tenglamalar sistemasini yeching:
1 ) ¿ { x − 2 y = 3 ¿ ¿ ¿
17

4 ) ¿ {2 × 5
x
− 9 × 3
x
= 23 ¿ ¿ ¿
¿
¿322. Tengsizliklar sistemasini yeching.
1 ) ¿ {(
1
4 )
10 x
> 64
8
3 − x2
¿ ¿ ¿
3 ) ¿ {
x − 1
2 − x
+
1
2
> 0 ¿ ¿ ¿
323. Tenglamalar sistemasini yeching.
1 ) ¿ {3
2 x
− 2
y
= 725 ¿ ¿ ¿
¿
¿
Javoblar: 321.
2)(
7
6:8
3);4)(2,1); 6)(3,4); 8)(12 ,5).
322.
2)(−0,5 ;3); 4)(
4
3,2). 323 .2)(5,1),(3,3);4)(−2,7).
12.6. Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar sistemasini yechish
1. Tenglamalar sistemasi.
Misollar yechish bilan tushuntiramiz.
1-misol.
{log 3x−log 3y=1¿¿¿¿ tenglamalar sistemasi yechilsin.
Yechish: Tenglamalarning mavjudlik sohasini topamiz. Ikkinchi
tenglama x va y ning barcha qiymatlarida aniqlangan. Birinchi tenglama-
dan x>0 va y>0 ni topamiz.
18

Birinchi tenglamadan log 3
x
y=1, x
y=3,x=3y ni topib, ikkinchi tengla-
maga qo`yamiz: 2y 2
-3y+1=0 . Bundan
y1= 1
2 , y2=1 ni topamiz. Bunga
mos x ning qiymatlarini x=3y dan topamiz:
x1= 3
2 , x2=3 .
Javob:
(
3
2,1
2),(3,1) .
2-misol.
{
log 1
2
(x+y)=2
¿
¿¿¿ sistemani yeching.
Yechish: Tenglamalarning mavjudlik
sohasini aniqlovchi
{x+y>0¿¿¿¿
sistemasini yechib
{x>+ y¿¿¿¿
ni topamiz. Bu soha
53-rasmda shtrixlab ko`rsatilgan.
Sistemani potensirlab quyidagi teng kuchli sistemaga kelamiz:
{x+y=
1
4
¿¿¿¿
Bu tenglamalarni qo`shib
x=21
8 ni, ayirib esa y=−17
8 ni topamiz.
Javob:
(21
8,−17
8)
3-misol.
{xy = 27 ¿ ¿¿¿ sistemani yeching. у
х0
53-rasm.
19

Yechish: Birinchi tenglama x va y ning barcha qiymatlarida aniq-
langan. Ikkinchi tenglamadan x>0, y>0, x≠1, y≠1 shartlarni aniqlaymiz.
Ikkinchi tenglamani quyidagicha o`zgartirib yozamiz:2log yx+ 2
log yx−5=0
yoki
2log y
2x−5log yx+2=0
hosil bo`lgan kvadrat tenglamadan noma`lum
log yx
ni topamiz.
(log yx)1,2 =5±3
4 ;1)(log yx)1=1
2, x= y
1
2
2)(log yx)2= 2, x= y2.
Bularni ketma-ket birinchi tenglamaga qo`yib, topamiz:
1) y
12⋅y= 27 y
32= 27 y1= (27 )
23= 9, x1= √9= 3
2) y2⋅y= 27 y3= 27 y2= 3√27 = 3 x2= 32= 9
Javob: (3; 9), (9; 3)
4-misol.
{lg (x
2
+ y
2)= 2 ¿¿¿¿ sistemani yeching.
Yechish: Birinchi tenglamadan x≠0, y≠0 ni ikkinchi tenglamadan
sistemaning mavjudlik sohasi x>0 va y>0 ni topamiz. Tenglamalarni
o`zgartirib, topamiz:
{lg (x
2
+ y
2)= 2¿¿¿¿ {x
2
+y
2
=100 ¿¿¿¿
Ikkinchi tenglamani 2 ga ko`paytiramiz va tenglamalarni qo`shib,
x 2
+2xy+y 2
=196 yoki (x+y) 2
=196 ni hosil qilamiz. Bundan x+y=±14 ni
topamiz.
Ikkinchi tenglamaga y=-x-14 va y=-x+14 ni qo`yamiz.
1) x(-x-14)=48 . Bundan x 2
+14x+48=0 ni va x
1 =-6 , x
2 =-8 ni
topamiz.
Bu qiymatlar sistemaning mavjudlik sohasiga tegishli bo`lmagani
uchun sistemaning yechimi bo`lmaydi.
20

2) x(-x+14)=48 . Bundan x 2
-14x+48=0 ni va x
1 =6 va x
2 =8 ni topa-
miz. Bu qiymatlarni y=-x+14 ga qo`yib y
1 =8 va y
2 =6 ni topamiz.
Javob: (6, 8); (8, 6).
2. Tengsizliklar sistemasi.
5-misol. {log 2(x+2)<3¿¿¿¿ tengsizliklar sistemasini yeching.
Yechish: Sistemadan mavjudlik shartlari
{x+2>0¿¿¿¿ va tengsizliklarni
bajarilishi sharti
{x+2<2
3
¿¿¿¿ ni hosil qilamiz. Bu tengsizliklarni birgalikda
yechib:
{x>−2¿{x>−1¿{x<6¿¿¿¿ ni topamiz.
Bu tengsizliklarga umumiy qismi
− 2
3<x<7 sistemaning yechimi
bo`ladi.
Javob:
x∈(−2
3,7).
6-misol.
{
log 1
2
(7−3x)<−4
¿
¿¿¿ sistemani yeching.
Yechish. Oldingi misolga o`xshab, topamiz:
{7− 3x>0¿{x+4>0¿{7−3x>16 ¿¿¿¿
-3 dan kichik, lekin 0 dan katta sonlar mavjud emas. Sistemaning
yechimi bo`sh to`plamdan iborat.
Javob: Ø
21

Mashqlar
353. Sistemani yeching.1 ) ¿ {log
7
( x + y )= 1 ¿ ¿ ¿
¿
¿
354. Tengsizliklar sistemasini yeching.
1 ) ¿ {log 4 ( 4 − 2 x )≥ 2 ¿ ¿ ¿
3 ) ¿ {log 3( 5 − 4 x )≥ log 3 ( x − 1 ) ¿ ¿ ¿
Javoblar: 353. 2) (2; 32), (32; 2); 4) (2; 6); 6) (11; 121).
354. 2) (6; 80); 4) (-1; 3).

22

ADABIYOTLAR
1. Alimov Sh. A. va boshqalar. Algebra va analiz asoslari, o`rta
maktabning 10-11 sinflari uchun darslik. Toshkent, “O`qituvchi”, 1996-
yil va keyingi nashrlari.
2. Kolmogorov A. N. tahriri ostida. Algebra va analiz asoslari. 10-
11 sinflar uchun darslik. Toshkent, “O`qituvchi”, 1992-yil.
3. Vafoyev R. H. va boshqalar. Algebra va analiz asoslari.
Akademik litsey va kasb-hunar kollejlari uchun o`quv qo`llanma.
Toshkent, “O`qituvchi”, 2001-yil.
4. Abduhamidov A. U. va boshqalar. Algebra va analiz asoslari.
Akademik litsey va kasb-hunar kollejlari uchun sinov darsligi. Toshkent,
“O`qituvchi”, 2001 yil.
5. Antonov K. P. va boshqalar. Elementar matematika masalalari
to`plami. Toshkent, “O`qituvchi”, 1975-yil va keyingi nashrlari.
6. Skanavi M. N. tahriri ostida. Matematikadan masalalar
to`plami. Toshkent, “O`qituvchi”, 1983-yil va keyingi nashrlari.
23

Logarifmik tenglamalar va tengsizliklar

Купить

Похожие документы
Ayirmali sxemalar, ularni qurish va differensial masalani approksimasiyalash. Dirixle masalasi. Chekli — ayirmali tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechish (Libman o‘rtalash jarayoni)
Bernulli tenglamasi. puazeyl va darsi-veysbax formulalari. gidravlik zarba
Boshlang‘ich sinflarda matematikadan uy ishlari va o‘quvchilar bilimini reyting baholash va baho normalalri
Bir o‘lchamli nostatsionar issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan yechish
Boshlang‘ich sinflarda matematika o‘qitish metodlari va ularning kilassifikatsiyasi