Информация о документе

Цена 40000UZS
Размер 355.6KB
Покупки 0
Дата загрузки 06 Май 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Механика

Продавец

Telzor Uchun

Дата регистрации 21 Апрель 2025

9 Продаж

Markaziy bo’lmagan maydon aktiv qismida programmalashtirilgan harakatning turg’unligini tadqiqot qilish

Купить
MARKAZIY BO’LMAGAN MAYDON AKTIV QISMIDA PROGRAMMALASHTIRILGAN HARAKATNING TURG’UNLIGINI TADQIQOT QILISH. Reja: I.Kirish II.Asosiy qism: 2.1. Maydonlar haqida umumiy tushuncha 2.2.Harakatning turg’unligi haqidagi Lyupunov teoremasi 2.3.Markaziy maydondagi harakat grafigi tahlili integrallari 2.4.Mavzuga doir masalalar III.Xulosa. IV.Foydalanilgan adabiyotlar ro`yxati KIRISH Turg ’ unlik sozi lotincha «stable» so’zidan olingan bolib, «mustahkam o’rnatilgan», «mustahkam turuvchi» dеgan ma'noni anglatadi. Turg’unlik nazariyasi birinchi bolib mеxanikadagi qaralayotgan sistеma muvozanati xolatini o’rganishda paydo bolgan. 1644 yil E.Torichеlli umumiy holda og’irlik kuchi ta'siri ostida bo’lgan jismlar sistеmasi muvozanat xolatining turg’unligi kritеrisini yaratdi. 1788 yil esa J Lagranj ixtiyoriy konsеrvativ sistеmalar muvozanat xolati turg’unligining yеtarli shartlarini aniqlovchi tеorеmani isbotladi. 19-asrning o’rtalariga kеlib fan va tеxnikada turg’unlikning umumiy masalasi yuzaga kеldi, ya'ni sistеmaning faqat muvozanat xolati emas, balki harakat xolatining turg’unligi masalasi paydo bo’ldi. Masalan, bug’ mashinasiga o’rnatilgan markazdan qochuvchi rеgulyator katta bo’lmagan quvvatda dvigatеlning bеrilgan aylanish tеzligini turg’un holda saqlaydi. Ammo quvvat ortishi bilan bu xolat buziladi. 1868 yili K.Maksvеl, 1876-1877 yillari I.A.Vashnеgradskiy va boshqa olimlar oz ishlarida yuqoridagiga o’xshash masalalarni hal etish uchun harakat turg’unligining kritеriyasini aniqlash kеrakligini korsatishdi. 19-asrning oxiriga kеlib harakat turg’unligini umumiy holda o’rganish boshlandi. 1877-1881 yillarida E.DJ.Rauss bu sohada birinchi monografiyani yozdi.1882 yil esa N.Е.Jukovskiy doktorlik dissеrtatsiyasini shu mavzuda yozdi. Bu olimlarning olgan natijalari hozirgi kunda ham o’z ahamiyatini yo’qotgan emas. 1892 yili A.M.Lyapunov «Harakat turg’unligining umumiy masalalari haqida» mavzusidagi doktorlik dissеrtatsiyasini yoqlab, turg’unlik nazariyasi sohasida yangi davr ochib bеrdi. 2.1.Maydonlar haqida umumiy tushuncha Magnit maydonning ayrim joylarida elektr Magnit maydon - harakatlanayotgan elektr zaryadlarga vamagnit jismlarga ta sir qiladigan kuchʼ maydoni. M. Faradey birinchi marta 1845 yilda fanga kiritgan.Magnit maydon mikrodunyo hodisalarida, kosmik ob yektlarda ham kuzatiladi. Mikrodunyo ʼ hodisalaridagi Magnit maydon, asosan, barcha zarralarning magnit momentga ega bo lishligiga, harakatlanuvchi elektr zaryadiga Magnit maydon ko rsatadigan ʻ ʻ ta sirga bog liq. Bular esa moddalardagi paramagnetizm, diamagnetizm, ʼ ʻ ferromagnetizm, antiferromagnetizm, magnit rezonans, magnitooptika hodisalari, Faradey effekti kabi hodisalarni yuzaga keltiradi.Harakatlanuvchi elektr zaryadi Magnit maydon zaryadlarning harakat yo nalishi qarama-qarshisiga o zgarishi ʻ ʻ mumkin. Magnit maydonning bunday joylari magnit ko zgular deyiladi. Magnit ʻ maydon ta sirida atom ichidagi elektronlar qo shimcha harakat qiladi. Atomning ʼ ʻ nurlanishi Magnit maydon ta sirida o zgaradi . Jismda tarqaluvchi yorug likning ʼ ʻ ʻ qutblanish tekisligi Magnit maydon ta sirida ma lum burchakka buriladi (Faradey ʼ ʼ effekti). Yer, Quyosh singari ko pgina moddiy sistemalar Magnit maydon ga ega. ʻ Quyosh dog lari kuchli Magnit maydon bilan bog langan. Quyoshdagi ʻ ʻ o zgarishlar natijasida Yer Magnit maydonning kuchli g alayonlanishi — magnit ʻ ʻ bo ronlari hosil buladi. Kosmosni o zlashtirish, yadrolarni sintez qilish, plazma ʻ ʻ fizikasi va boshqa sohalardagi fan va texnika masalalari Magnit maydon ni o rganish bilan bog liq. Magnit maydon, asosan, kuchsiz (500 Gs), o rtacha (500 ʻ ʻ ʻ Gs dan 40 kGs gacha), kuchli (40 kGs dan 1 MGs gacha) va o ta kuchli (1 MGs ʻ dan yuqori) xillarga bo linadi. Kuchsiz va o rtacha Magnit maydondan elektronika, ʻ ʻ elektrotexnika radiotexnikada, shuningdek, 500 Gs dan 40 kGs gacha bo lgan ʻ Magnit maydondan zaryadli zarralar tezlatkichlari, Vilson kamerasi, pufakli kamera, mass-spektrometr kabi qurilmalarda foydalaniladi. Kuchli va o ta kuchli ʻ Magnit maydon, asosan, qattiq jismlar fizikasida, ferromagnetizm va antiferromagnetizm xossalarini o rganishda, magnitogidrodinamik generator vaʻ boshqalarda ishlatiladi. Kuchsiz va o rtacha Magnit maydon doimiy magnitlar, ʻ elektr magnitlar, o ta o tkazuvchi magnitlar, solenoidlar (elektr toki o’tkazgichi) ʻ ʻ yordamida, kuchli Magnit maydon yo naltirilgan portlatish usulida olinadi (oxirgi ʻ usulda mis quvur ichida oldindan kuchli impulsli Magnit maydon hosil qilinadi va u kuchli portlashning radial bosimiga duchor qilinadi.Elektr maydon — elektr zaryadlar yoki o zgaruvchan magnit maydon hosil qilgan fizik maydon. Vaqt ʻ bo yicha o zgarmaydigan Elektr maydon elektrostatik maydon). Elektr maydon ʻ ʻ tushunchasini birinchi bo lib M. Faradey 19-asr 30-yillarida kiritgan. Elektr ʻ maydon materiyaning maydon ko rinishidir. Materiyaning har qanday ʻ o zgarishlari, ularning o zaro ta sirlari vaqt oralig ida va fazoda ro y beradi, har ʻ ʻ ʼ ʻ ʻ qanday fizik ta sir faqat chekli tezlik bilan tarqaladi. Elektrlangan jismlarning bir- ʼ biriga ta siri, ularning harakati Elektr maydonlari tufaylidir. Elektr zaryadlar bir- ʼ biriga bevosita emas, balki bilvosita ta sir etadi. Har bir zaryad o z atrofidagi ʼ ʻ fazoda Elektr maydon harakat qiladi va shu maydon orqali boshqa maydonga ta sir ʼ etadi. Demak, Elektr maydonning asosiy xususiyatlaridan biri mavjud bo lgan ʻ Elektr maydonga zaryad kiritilganda unga F kuch ta sir etishidir. Elektr maydon ʼ elektr maydon kuchlanganligi va maydon potensiali f bilan tavsiflanadi. Elektr maydon kuchlanganligi maydonning kuch xarakteristikasi bo lib, u miqdor ʻ jihatdan maydonning muayyan nuqtasidagi birlik musbat zaryadga maydon tomonidan ta sir etadigan elektr kuchlanishi bilan o lchanadi. Kuchlanish vektor ʼ ʻ kattalik bo lib, yo nalishi musbat zaryadga ta sir etuvchi kuch yo nalishi bilan bir ʻ ʻ ʼ ʻ xil. Barcha nuqtalarda Elektr maydon kuchlanganligi ham yo nalish, ham miqdor ʻ jihatdan bir xil bo lgan magnit maydon bir jinsli maydon deb ataladi. Maydon ʻ potensiali skalyar kattalik, u Elektr maydonning energetik xarakteristikasi hisoblanadi. Elektr maydonni yaqqol tasavvur qilish maqsadida elektr kuch chiziqlari va ekvipotensial sirt tushunchalaridan foydalaniladi. Har bir nuqtasida vektor o ziga urinma bo lgan chiziqni elektr kuch chizig i deyiladi. Elektr kuch ʻ ʻ ʻ chiziqlari Elektr maydonni faqat yaqqol tasvirlabgina qolmay, balki ularning zichligi orqali Yer ni baholash mumkin. Kuch chiziqlari zich o tkazilgan joylardaʻ kichik bo ladi. Bir jinsli maydonning kuch chiziqlari o zaro parallel yotadi. ʻ ʻ Hamma nuqtalarida potensial qiymati bir xil bo lgan sirtlar ekvipotensial ʻ sirtlar deyiladi. Bir jinsli Elektr maydon uchun ekvipotensial sirtlar o zaro parallel ʻ tekisliklardagi, nuqtaviy zaryad maydoni uchun markazi zaryad ustida yotgan konsentrik aylanalardan iborat.Magnit maydon ta'sirida ramka magnit kuch chiziqlariga perpendikular joylashishga harakat qiladi. Bunda AvaВ cho'tkalar kollektor qoplamalariga tegmay qoladi va ramkadan tok o'tmaydi. Lekin ramka o'z inersiyasi bilan aylanishni davom ettirib, magnit kuch chiziqlariga parallel joylashib oladi . Bunda cho'tkalar kollektorplastinalariga tegib qoladi. Magnit maydon ta'sirida ramka yana perpendikular holatga kelib qolishga harakat qiladi. Shu tariqa jarayon davom etib, ramka uzluksiz aylanadi.Magnit maydon ta'sirida aylanma harakatga keltirilgan tokli ramkaning harakati rotor o'qi orqali boshqa mexanizmlarga maxsus tarzda uzatiladi.Amalda bitta ramkali rotordan iborat bo'lgan dvigatellar qo'llanilmaydi. Chunki ularda ramkaning aylanishi bir tekis bo'lmaydi va ramkaning rotor o'qini aylantirishga kuchi yetmaydi. Ramka magnit kuch chiziqlariga perpendikular vaziyatdan parallel vaziyatga kelguncha, sekin va kuchsiz aylanma harakatda bo'ladi.Amalda qo'llaniladigan elektr dvigatellarda rotor ramkasi ikkita bo'ladi. Bunda ramkalar bir-biriga perpendikular qilib bitta o'qqa mahkamlanadi. Kollektorning qoMagplamalari ikkita emas, balki to'rtta bo'ladi.Ikkita ramkali rotorda magnit kuch chiziqlariga parallel joylashgan birinchi ramkadan tok o'tganda, magnit maydon ta'sirida u perpendikular vaziyatda bo'lishga harakat qiladi. Birinchi ramka perpendikular vaziyatda bo'lganda, parallel vaziyatdagi ikkinchi ramkadan tok o'tadi va u perpendikular vaziyatga Elektr dvigatellarning issiqlik dvigatellariga nisbatan afzal tomonlari ko'p. Birinchidan, elektr dvigatellari issiqlik dvigatellariga qaraganda ixcham va foydalanish uchun qulaydir, ularni istalgan qulay joyga o'rnatish mumkin. Ikkinchidan, ishlaganda gaz, tutun va bug' chiqarmaydi. Uchinchidan, ular uchun yoqilg'i va suvning keragi yo'q. To'rtinchidan, elektr dvigatellarning foydali ish koeffitsienti 80% dan ortiqdir, issiqlik dvigatellarniki esa 20% dan ortmaydi.Elektr dvigatellarning afzalliklari: ixcham va foydalanishga qulay, havoni ifloslantirmaydi, moddiy mahsulot talab qilmaydi, foydali ish koeffitsienti yuqori.Elektr dvigatellar istalgan quvatga mo'ljallab ishlab chiqariladi. Masalan, elektr ustaralarda dvigatel quvati bir necha vattli bo'lsa, elektrovoz, kemalarning elektr dvigatellari bir necha megavattli bo'ladi ham yagona moddiy maydon yordamida amalga oshadi, deb hisoblagan. Elektromagnit maydonning klassik nazariyasini J. Maksvell yaratgan (1873). O zgaruvchi Magnit maydon o zgaruvchi elektr maydon bilan uzviyʻ ʻ bog langan. Magnit maydon harakatdagi elektrlangan jismlar, elektr tokli ʻ o tkazgichlar va magnitlangan jismlar atrofida hosil bo ladi . Elektr toki hosil ʻ ʻ qiladigan Magnit maydon Bio— Savar — Laplas qonuniga, Magnit maydonning elektr tokiga ta siri esa Amper qonuniga asosan aniqlanadi. ʼ MAYDON (fizikada) — fizikaning asosiy tushunchalaridan biri. Fizik hodisalar ma lum kattaliklar bilan tavsiflanadi. Fazoviy nuqtalarning xar birida ʼ ma lum bir qiymatga ega bulgan bu kattaliklar holisalarni miqdoriy tekshirish ʼ uchun zarur funksiyalardir. Fazodagi yoki uning ayrim qismidagi biror fizik kattalikning taqsimot sohasi M fizik kattalikning maydoni buladi. Fizik kattalikning tabiati (matematik ma nosi)ga qarab, (skalyar Maydoni, bosim , ʼ potensial va b.), vektor (tezlik , kuch, tezlanish va h. k.), tenzor M. (deformatsiya M. i, kuchlanishlar Maydoni va h. k.) bo lishi mumkin. Fazodagi taqsimlangan ʻ fizik kattaliklar xususiyatlarini tekshiruvchi nazariya Maydon nazariyasi deyiladi.Maydon so zining fizik ma nosi materiya tushunchasi bilan bog liq,. ʻ ʼ ʻ Fizika tekshiradigan xodisalarda materiya, umuman, ikki shaklda — modda va Maydon shakllarida uchraydi. Modda va Maydon tafovutlarini ifolalashda tinch holatdagi massa, erkinlik darajalari soni tushunchalari muximdir. Magnit, modda tinch xolatda massaga ega, uning erkinlik darajalari soni chekli; Magnitning erkinlik darajalari soni esa cheksiz, u tinch xolatda massaga ega emas . Fizik Maydonlar jumlasidan elektromagnit Maydonni ko rsatish mumkin. Modda ʻ massaga, energiyaga, harakat mikdoriga, xarakat mikdori momentiga ega bo lgani ʻ singari, elektromagnit Maydon ham elektromagnit massaga. elektromagnit energiyaga, elektromagnit xarakat miqdoriga, elektromagnit harakat mikdori momentiga ega.Klassik fizikada modda uzluksiz (diskretlik, zarralik) xususiyatiga, Maydon esa uzluksiz (to lqinlik) xususiyatiga ega, ular o zaro bog’lanmagan holdaʻ ʻ mavjud, deb hisoblanadi. Atom yadrolari, elementar zarralar fizikasining rivojlanishi natijasida modda va Maydonning o zaro bog lanishi, ya ni ularda xam ʻ ʻ ʼ to lqinlik, ham zarralik xususiyatlari borligi, yetarli sharoitlar mavjud bo’lganda, ʻ moddaning Maydonga aylanishi yoki Maydonning moddaga aylanishi mumkinligi aniqlandi.Elektr maydon. Elektrostatika. Elektr zaryadi. Zaryadning diskretligi. Elektr zaryadining saqlanish qonuni. Kulon qonuni. Elektrostatik maydon. Elektr maydon kuchlanganligi. Nuqtaviy zaryad maydonining kuchlanganligi. Superpozitsiya prinsipi. Kuchlanganlik chiziqlari. Nuqtaviy zaryadlar tizimining maydon kuchlanganligi. Elektrostatik maydon kuchlarining bajargan ishi. Elektrostatik maydon kuchlanganlik vektorining regulyatsiyasi. Elektrostatik maydon potensiali. Nuqtaviy zaryad va zaryad tizimi maydonlarining potentsiali. Ekvipotentsial sirtlar.Vakuumda magnit maydoni. Magnit maydon induksiya vektori. Magnit maydon induksiyasi vektori uchun superpozitsiya prinsipi. Bio- Savar-Laplas qonuni. Turli shakldagi o’tkazgichlar atrofidagi magnit maydonini hisoblash. Magnit maydonining tokli o’tkazgich va elektr zaryadlariga ta’siri. Amper kuchi. Parallel toklarning o’zaro ta’siri. Lorens kuchi. Bir jinsli elektr va magnit maydonida zaryadli zarralar harakati. Vakuumdagi magnit maydon induksiya vektorining regulyatsiyasi va oqimi. Magnit maydon induksiya vektorining regulyatsiyasi haqidagi teorema va uni tadbiqi. Magnit maydon oqimi. Gauss teoremasi. Tokli o’tkazgichni magnit maydonida ko’chirishda bajarilgan ish. Solenoid va toroidning magnit maydoni. Xoll effekti. Tezlatgichlar.Faradey tajribalari. Faradeyning elektromagnit induktsiya qonuni. Lens qoidasi. O’zinduksiya hodisasi. Induktivlik. O’zaro induksiya. Transformatorlar. Magnit maydon energiyasi va uning zichligi. Muhitlarda magnit maydon. Molekulyar toklar. Magnitlanish vektori. Muhitlarda magnit maydoni uchun to’la tok qonuni. Magnit singdiruvchanlik. Magnetiklar va ularning turlari: diamagnetiklar, paramagnetiklar va ferromagnetiklar. Gisterezis xalqasi va domenlar nazariyasi. Fuko toklari. Ferromagnetiklar va gisterezis hodisasi. Elektromagnit maydon uchun Maksvel tenglamalari. Elektromagnit induksiya hodisasining Faradey-Maksvell talqini. Uyurmaviy elektr maydon. Siljish toki. Maksvell tenglamalari tizimining integral va differensial ko`rinishi. Elektr va magnit maydonlarning nisbiyligi. Fizik maydonlar - materiyaning alohida shakli; cheksiz katta erkinlik darajasiga ega bo lgan fizikaviy tizimlar. Fizik kattaliklarning fazoda uzluksizʻ taqsimlanishi bilan tavsiflanadi va cheksiz erkinlik darajalari soniga ega bo ladi. ʻ Elektromagnit va gravitatsion maydonlar, yadro kuchlari maydoni, turli zarralarga tegishli to lqin (kvant) maydonlar Fizik maydonlar hisoblanadi. Maydon ʻ tushunchasini birinchi marta 19-asr 30-yillarida M.Faradey elektr va magnit maydonlarga nisbatan ishlatgan. M.Faradeyning elektromagnit maydon to g risidagi g oyasini 19-asr 60-yillarida J.K.Maksvell rivojlantirgan. Hozirgi ʻ ʻ ʻ zamonaviy elementar zarralar nazariyasida o zaro ta sirlashuvchi kvant Fizik ʻ ʼ maydonlar (elektronpozitron, foton, mezon) va boshqa maydonlar o rganiladi. ʻ Oxiridagi xulosalar oldi qochdi gaplar bilan to ldirilgan. Bu maqoladan umuman ʻ foydalanib bo lmaydi. Maydon kvant nazariyasi elementar zarralar va ularning ʻ o zaro ta siri, umuman, cheksiz ko p erkinlik darajasiga ega (fizik maydonlar) ʻ ʼ ʻ kvant sistemalarni tadqiq qilish bilan shug ullanuvchi fizik nazariyalarning ʻ umumiy nomi. Kvant mexanikasining elementar zarralar bilan bog’liq jarayonlar (zarralar yutilishi, bir-biriga aylanishi va boshqalar) ga tatbiqi natijasida paydo bo lgan. Qattiq jism fizikasi, atom yadrosi nazariyasi va boshqalarga tatbiq ʻ qilinadi.Kvant mexanikadan farqli ravishda, relyativistik (nisbiy) kvant mexanikada zarralar soni saqlanmaydi, deb qaraladi. Unga ko ra, o zaro ta sirlar ʻ ʻ ʼ natijasida zarralar xosil bo ladi va yo qoladi.Dastlabki M.kl1. — kvant ʻ ʻ elektrodinamika.Maydon kvant nazariyasining keyingi rivojlanishi kvant elektrodinamika usullarini elektromagnit bo lmagan o zaro ta sirlar (mas, neytron- ʻ ʻ ʼ proton ta siri va boshqalar)ni tasvirlashga qo llash bilan bogliq. Bu soxadagi ʼ ʻ birinchi qadam 1934 yilda E. Fermi yaratgan beta-yemirilishi nazariyasi edi. Yadro kuchlarini tushuntirish uchun yaratilgan X. Yukavainig zarralar gipotezasi (1935) ham Maydon kvant nazariyasin. rivojlanishila muqim omil bo ldi.Erkin maydon. ʻ Maydon kvant nazariyasin. da barcha manjud va mumkin bo lgai maydonlarʻ operatorlar bilan tasvirlanadi. U Lorens kuchiga nisbatan ma lum kovariant ʼ xossalarga ega va Lorens gruppasining tasavvurlariga tegishli bo ladi. Erkin ʻ Maydon kvant nazariyasining ahamiyati shundan iboratki, u zarralar bilan bir qatorda antizarralar mavjudligini ko rsatib beradi va u bu fakt tajribada ʻ tasdiqlangan.Erkin Maydon kvant nazariyasin. faqat kinematik xususiyatlarning to la tasavvurini berib, o zaro ta sir natijasida hosil bo luvchi dinamik ʻ ʻ ʼ ʻ xususiyatlarni nazarga olmaydi. Vaxolanki, faqat zarralarning o zaro ta siri ʻ ʼ zarralarning hosil bo lishi va yo qolishiga olib keladi va erkin Maydon kvant ʻ ʻ nazariyasi zarralarning o zaro ta siriga qadar va undan so nggi xolatini ʻ ʼ ʻ tasvirlaydi.Zarralarning o zaro ta sirlarini ma lum hadlarni tasvirlash ʻ ʼ ʼ mumkin.Elektromagnit maydon kvantlari. 1900 yilda M. Plank jismlarning issiqlik nurlanish tushunchasiga porsiya, ya ni kvant degan iborani kiritdi. A. Eynshteyn ʼ bu g oyani umumlashtirib, nurlanish diskret bo lishini aytdi. Elektromagnit ʻ ʻ nurlanish kvantlar — fotonlardan "tashkil topar" ekan. bu esa fotoeffekt va Komiton effekti tasdiklangan. Foton har doim diskret parametrlarga, ya ni anik, ʼ energiya, impuls, soniga ega bo ladi. Ikkilamchi kvantlash. Klassik mexanikadan ʻ kvant mexanikaga o tish, odatda, kvantlash deb ham ataladi va sistemada zarralar ʻ sonining o zgarishi sxematik tasvirlash imkoniyatini beradi. Ikkilamchi ʻ kvantlashlar zarralarning paydo bo lishi va yo qolishini ifodalaydigan operatorlar ʻ ʻ ko riladi. ʻ Maydon kvant nazariyasining usullaridan biri algebraik usuldir. Algebraik yo’nalishda har bir fizik sistemaga qandaydir algebra mos keltirildi. Kuzatiladigan kattaliklarga o’z-o’ziga qo’shma operatorlar mos kelib, xolatlarni esa algebrada aniqlangan musbat funksiyalar tasvirlaydi. Bu yunalishda relyativistik kvantlangan maydon lokal (cheklangan) algebraik tushuncha bilan almashtiriladi. Algebraik yo nalish sochilish kesimi uchun qulay formula hosil qilishga va boshqa natijalar ʻ olishga imkon beradi.Maydon kvant nazariyasidagi operatorlar operator mazmunidagi umumlashgan funksiyalar bulib, asosiy funksiyalar fazosini tanlash masalasi katta ahamiyatga ega bo lgan masalalardandir. Bu fazoni sababiylik ʻ prinsipi yordamida aniqlash Maydon kvant nazariyasini ancha kengaytirib, maydonlarni lokalizatsiyalanuvchi va lokalizatsiyalanmaydigan gruppalarga bo’lishga olib keldi. Chekli Maydon kvant nazariyasi usullaridan biri cheklanmagan Maydon kvant nazariyasi bo’lib, unda Lorens invariantlik sharti qanoatlantiriladi 2.2 Harakatning turg’unligi haqida Lyuponov teoremasi 1.Turg‘un muvozanat. Jismni muvozanat holatidan chetga chiqaril ganda, uni dastlabki vaziyatiga qaytaruvchi kuch hosil bo‘ladigan muvozanatga turg‘un muvozanat deyiladi . Bunda yarim sfera ichiga qo‘yilgan sharcha muvozanat vaziyatidan chetlashtirilganda, unga ta’sir etayotgan kuchlarning teng ta’sir etuvchisi uni yana muvozanat holatiga qaytaradi. 2.Turg‘unmas muvozanat. Jismni muvozanat holatidan chetga chiqarilganda, uni dastlabki vaziyatidan uzoqlashtiruvchi kuch hosil bo‘ladigan muvozanatga turg‘unmas muvozanat deyiladi.Bunda yarim sfera ustiga qo‘yilgan sharcha muvozanat vaziyatidan chetlashtirilganda, unga ta’sir etayotgan kuchlarning teng ta’sir etuvchisi uni muvozanat holatidan yanada chetlashtiradi. 3.Farqsiz muvozanat. Jismni muvozanat holatidan chetga chiqarilganda, uning holatini o‘zgartiradigan hech qanday kuch hosil bo‘lmasa farqsiz muvozanat deyiladi Gorizontal sirt ustiga qo‘yilgan sharchaga tashqi turtki berilganda, joyidan siljiydi. Lekin unga ta’sir etayotgan kuchlarning teng ta’sir etuvchisi nolga teng bo‘ladi. Lyuponov teoremasi . 1.Ehtimollar nazaryasiga bog’liqsiz tasodifiy miqdorlar yig’indisi taqsimotini ancha keng shartlarda,normal taqsimotga yaqinlashishini o’rganuvchi teorema . 2. potensiallar nazariyasida potensiallar va Dirixle masalasi yechimi haqidagi teorema. Bu teoremalar integral tenglamalar usuli bilan Dirixle masalasining yechimga ega bo lish nazariyasini yaratishga asos bo ldia ega bo’lisnazaryasiniʻ ʻ yaratishga asos bo’ldi. Teorema2.1 (Lyuponovning harakat turg’unligi haqida teorema). Agar to’yingan harakat differensial tenglamasi uchun aniq ishorali V funksiya topish mumkin bo’lib .Bu funksiyadan shu tenglamalar yordamida olingan hosila V funksiya V funksiyaga qarama-qarshi ishorali bo’lgan o’zgarmas ishorali yoki aynan nolga teng bo’lsa,u holda toyinmagan harakat turg’un bo’ladi. Isbot. Ixtiyoriy yetarli kichik musbat sonni tanlab sferani yasaymiz.Keyin shu εsferaning ichida yotuvchi V(c sirtni quramiz. Buni doim qilish mumkin,chunki V funksiya uzluksiz va koordinata boshida nolga teng. Endi δni shunday tanlaymizki, unda sfera V=sirtni ichida to’laligicha yotib,u bilan umumiy nuqtaga ega bo’lmasin δ sfera ichida harakat boshlagan M nuqta hech qachon ε sferaga yetib bormasligini ko’rsatamiz.Umumiylikni buzmasdan V funksiyani musbat aniqlangan deb hisobl ashimiz mumkin. Teorema shartiga ko’ra .U holda tenglikka asosan yoki ga ega bo’lamiz.Bu tengsizlikdan ko’rinadiki , da M nuqta sirtda(agar V=0 bo’lsa )yoki bu sirtning ichida (agar V<0 bo’lsa)yotadi. Isbot tugadi. Teorema 2.2 (Lyuponovning asimptotik turg’unlik haqidagi teoremasi). Agar to’yingan harakat differensial tenglamasi uchun aniq ishorali V topish mumkin bo’lib,bu funksiyadan shu tenglamalar yordamida olingan hosila V funksiya,V funksiyaga qarama-qarshi ishorali bo’lgan ,aniq ishorali funksiyadan iborat bo’lsa u holda to’yinmagan harakat asimptotik turg’un bo’ladi. Isbot.Teoremani shartlari bajarilganda turg’unlik haqidagi Lyaponov teoremasiningham hamma shartlari bajariladi.shuning uchun harakatlanayotgan nuqta sirtdan tashqariga chiqib ketmaydi.Ammo assimptotik turg’unlik haqidagi Lyaponov teoremasidagi shart kuchliroq ya’ni V hosila aynan nolga teng bo’lmay ,faqat koordinata boshidagi nolga aylanadi.Shuning uchun M nuqta harakat boshlanishi bilanoq sirtning ichiga kiradi. Umumiylikni buzmasdan V funksiyani musbat aniqlangan deb hisoblash mumkin.Teoremaning shartiga ko’ra uning hosilasi V manfiy aniqlangan bo’ladi. tengsizlikdan V funksiyani musbatligicha qolib,monoton kamayishi kelib chiqadi.Buning ma’nosi shuki V funksiya limitga ega.Boshqacha aytganda M nuqta tashqi tomondan limitik sirtga intiladi. ya’ni sirt koordinata boshiga aylanishini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, u holda va sirtlar bilan chegaralangan yopiq sohada teorema shartiga ko’ra V manfiy bo’ladi,e(e>0) bilan uning shu sohadagi aniq yuqori chegarasini belgilasak,V faqat koordinata boshidagina nolga aylangani uchun bo’ladi.Aniq yuqori chegarasini ta’rifga ko’ra ayniyat foydalansak, bo’lib, dan hosil bo’ladi.Bundan .Bu tengsizlikdan ko’rinadiki,vaqt o’tishi (ortishi)bilan V funksiya manfiy bo’ladi ,buning bo’lishi mumkin emas,chunki teoremaning shartiga ko’ra V funksiya(+)musbat aniqlangan. Bu qarama-qarshilik degan farazni inkor etadi,ya’ni bo’lib,harakatlanayotgan nuqta koordinata boshiga asimptotik intiladi.Bu esa teoremani isbotlaydi. Tarif:Agar ixtiyoriy son uchun shunday son topish mumkin bo’lsaki,unda (2.2.1) Shartni qanoatlantiruvchi barcha toyishlar va ixtiyoriy < lar uchun (2.2.2) Shart bajarilsa,to’yinmagan harakat turg’un,aks holda turg’unmas deyiladi. Agar to’yinmagan harakat turg’un bo’lib,ixtiyoriy to’yingan harakatlar yetarli kichik toyishlardato’yinmagan harakatga intilsa,ya’ni (2.2.3) (3)shart bajarilsa, to’yinmagan harakat asimptotik turg’un deyiladi. Lekin bu shartning o’zi asimptotik turg’unlik uchun yetarli emas. Ba’zan turg’unlik ixtiyoriy toyishlarga emas balki qandaydir shartlarga bo’ysunuvchi toyishlarda bo’lishi mumkin. Bunday turg’unlik sharti turg’unlik deb ataladi. Lyapunovning to’g’ri usulini o’rganishni (2. 2.4) Sohada aniqlangan haqiqiy funksiyani qarashdan boshlaymiz. Bu funksiya (2.2.4)sohada bir qiymatli ,uzluksiz va da nolga aylanadi,ya’ni (2.2.5) Agar V funksiya (2.1)sohada noldan boshqa faqat bir xil ishorali qiymatlarni qabul qilsa,u holda y o’zgarmas ishorali (mos ravishda musbat yoki manfiy)deyiladi. Agar o’zgarmas ishorali funksiya faqat dagina nolga aylansa, u holda bu funksiya aniq ishorali (mos ravishda musbat aniqlangan yoki manfiy aniqlangan deyiladi.Ham musbat, ham manfiy qiymatlarni qabul qiladigan funksiyalar esa o’zgaruvchi ishorali funksiyalar deyiladi. Harakat turg’unligini aniqlash uchun ishlatiladigan ,bunday kiritilgan funksiyalar Lyapunov funksiyalari deyiladi. Agar qaralayotgan xaqiqiy funksiya oshkor holatda t vaqtga bog’liq bo’lsa,u holda (2.2.4)soha o’rniga , , , >0, (2.2.6) soha qaralib,(2.2.5) shart (2.2.7) Shart bilan almashtiriladi. Aniqlangan,uzluksiz va (2.2.7)shartni qanoatlantiruvchi faqat Agar (2.2.6) sohada bir xil ishorali qiymatlar qabul qilsa ,bu funksiyani o’zgarmas ishorali deymiz.Oshkor holda t vaqtga bog’liq funksiya uchuntvaqtga bog’liq bo’lmagan musbat aniqlangan funksiya mavjud bo’lib,yetarli katta va yetarli kichik M uchun (2.2.7) sohada (2.2.8) Shart bajarilsa,bu funksiya musbat aniqlangan.Shart bajarilsa, manfiy aniqlangan deyiladi.Bu aytilganlardan ko’rinadiki, nuqtada musbat aniqlangan funksiya minimumga, manfiy aniqlangan funksiya maksimumga ega bo’ladi.O’zgarmas ishorali funksiyalar esa ekstremumga ega bo’lmaydi. Misol 2.2.1 funksiya va o’zgaruvchilarning ixtiyoriy noldan farqli qiymatlarida musbat bo’lib,faqat dagina nolga aylananadi.Bundan ko’rinadiki,bu funksiya musbat aniqlangan. O fazoda bu funksiyaning grafigi O tekislikning bir tomonida yotib,bu tekislikka faqat 0 nuqtadagina urinadi. Misol 2.2.2 manfiy qiymatlarni qabul qilmaydi,ammo koordinata boshidan tashqari to’g’ri chiziqda ham nolga aylanadi.Shuning uchun bu funksiya musbat ,lekin musbat aniqlangan emas. Bu holatda funksiyani fazodagi grafigi tekislikning bir tomonida yotadi ,ammo bu tekislikka faqat koordinata boshida emas,balki to’gri chiziq bo’yicha urinadi. Endi ishorasi aniqlangan V funksiyani Makloren qatoriga yoyamiz.Ishorasi aniqlangan funksiya ta’rifidan bo’lib,koordinata boshida bu funksiya ekstremumga ega bo’lgani uchun (2.2.9) ko’rinishda bo’ladi,bu yerda (2.2.10) (2.2.9) dan ko’rinadiki,V ishorasi aniqlangan funksiyani o’zgaruvchilarning darajakari bo’yicha qatorga yoyilmasida birinchi darajali hadlar qatnashmaydi. Faraz qilaylik, (2.2.11) Kvadratik forma faqat dagina nolga aylanib, musbat qiymatlarni qabul qilsin.U holda (2.2.9)dan ko’rinadiki,V funksiya larning yetarli kichik qiymatlarida yuqori tartibli hadlargaa bog’liq bo’lmagan holda musbat qiymatlarni qabul qilib, dagina nolga aylanadi.Shuning uchun (2.2.11) kvadratik forma musbat aniqlangan bo’lsa V funksiya ham musbat aniqlangan bo’ladi. Agar (2.2.6) shartlarda ning qiymati qandaydir chekli musbat sondan ortib ketmasa, funksiya yuqoridan chegaralangan deyiladi.Ixtiyoriy vaqtga oshkor holda bog’liq bo’lmagan funksiyalar uzluksiz bo’lgani uchun M ning yetarli kichik qiymatlarida y yuqoridan chegaralangandir. V chegaralangan funksiya cheksiz kichik yuqori limitga yo’l qo’yadi deyiladi, agarda ixtiyoriy ε>0 uchun , (2.2.12) Shartlarni qanoatlantiruvchi topilib (2.2.13) bo’lsa, qo’pol qilib aytganda cheksiz kichik yuqori limitning ma’nosi shuki, funksiya modulini ixtiyoriy da barcha larning modullarini kamaytirish hisobiga keragicha kichik qilib olish mumkin,t vaqtga oshkor holda bog’liq bo’lmagan funksiyalar cheksiz kichik yuqori limitga ega bo’ladi. 2.3.Markaziy maydondagi harakat grafigi tahlili integrallari Agar tashqi kuch maydonidagi MN PE si faqat uning radius vektorining absolyut qiymati bilan aniqlanadigan bo’lsa, bunday kuch maydoni markaziy kuch maydoni deb ataladi.MN ga ta’sir etuvchi kuch 2.3.1) bilan beriladi va u doimo radius vector bo`yicha yo`nalgan .IX bo`limda ta’kdlagandek , markaziy maydonda maydon markaziga nisbatan aniqlangan impuls momenti saqlanadi.Bitta MN uchun va perpendikulyar va bo’lganliklari bois, MN ga perpendikulyar tekislikda harakatanadi.Bu tekislikda qutb koordinatalari sistemasi (QKS)da MN LFsi ( 2.3.2) formuladan topiladi.Bu LF bevosita φga bog’liq emas.Lagranj funkiyasiga bevosita kirmaydigan o`zgaruvchi siklik o`zgaruvchi deb ataladi.ELT ga muofiq siklik koordinataga mos keluvchi umumlashgan impuls HI bo`ladi.Chunki dan (2.3.3) Kelib chiqadi.Xususan, markaziy maydon uchun bu impuls impuls momentning o`qidagi proeksiyasi bilan teng bo`ladi. yani (2.3.4) (2.3.1-rasm ) (Markaziy maydondagi harakatda impuls saqlanish qonunining geometrik ma`nosini tushuntishga oid) Markaziy maydonda impulsning saqlanish qonuni sodda geometrik talqin qilinadi.2.3.1-rasm da tasvirlangandek, cheksiz yaqin joylashgan ikki radius vektorlar va trayektoriya yoyi bilan cheklangan sektor maydoni yuzasiga teng.Bu yuzani deb belgilab MN impuls momentini (2.3.5) deb yozishimiz mumkin. hosila sektorial tezlik deyiladi.Shu sabab, impuls momenti saqlanish qonunini markaziy maydondagi harakat uchun sektorial tezlikning doimiyligi yoki saqlanishi deb aytsa bo`ladi.Ya`ni, harakatlanuvchi MN radius vektori teng ichida teng yuzalar chizadi. (Kelerning II qonuni ).MN ning markaziy maydondagi harakatini energiya va impuls momenti saqlanish qonunlari yordamida,HT sini yozmasdan ,yechish mumkin.QKS sida markaziy maydonda harakatlanuvchi MN energiyasini (2.3.4) yordamida (2.3.6) ko`rinishga keltiramiz.Bu yerdan ni topamiz (2.3.7) va uni o`zgaruvchilarni ajratib integrallaymiz. (2.3.8) (2.3.4) dan ni topib,unga (2.3.7) dan dt ni qo’yib va integrallab (2.3.9) ni topamiz.(2.3.8)va (2.3.9) formulalar MN ning markaziy maydondagi harakatini to`laligicha tavsiflaydi.(2.3.8) formula r ning bevosita vaqt t ga bog’laydi yani MN ning markazdan masofasi vaqt bo’yicha qanday o`zgarishini ko`rsatadi.(2.3.9) formula esa va φ o`zaro bog’lab ,trayektoriya tenglamasini ifodalaydi.Shuni aytish kerakki,φ burchak monoton ravishda o`zgaradi, ishorasini o`zgartirmaydi. (2.3.6) formuladan MN ning radial harakatini ”effektiv” potensial maydon (2.3.10) Da bir o`lchamli harakat deb qarash mumkin ekanligi kelib chiqqadi.Bunda had markazdan qochma energiya deyiladi.Mnning harakatlanish sohasi chegaralar (2.3.11) Tenglama yechimlari bilan aniqlanadi.(2.3.11) tenglik o`rinlanganda MN ning radial tezligi nolga teng bo’ladi.Ammo,bu bilan u to`xtab qolmaydi,chunki uning burchak tezligi nolga teng bo`lmaydi. munosabat MN cheksizlikdan kelib cheksizlikka ketadi.Agar rning o`zgarish sohasi bo`lsa, harakat finitli bo`ladi.Bu holda MN trayektoriyasi va aylanalar bilan chegaralangan doiraviy halqa ichida bo’ladi.MN ning dan ga va teskari harakati vaqtida radius-vektor (2.3.12) burchakka buriladi.Shu sabab trayektoriya berk egri chiziqni hosil etmaydi.Finitli harakatning trayektoriyasi berk emas. Trayektoriya berk bo`lish uchun shart bajarilishi kerak. Bu yerda n va m butun sonlar. U holda n ta aylanish vaqtidan keyin radius-vektor ham m marta aylanib, oldingi vaziyatiga qaytadi va trayektoriya yopiladi.Trayektoriyasi berkitilgan faqat ikki markaziy maydon mavjud. Bulardan biri PE si ga proporsional bo`ladigan maydon bo`lsa, ikkinchisi PE gasi ga proportsional bo`ladigan maydon . Birinchisi gravitatsiya va Kulon maydoni bo’lsa ikkinchisi fazoviy ostsillyatorga mos keladi. Harakat integrallari .MS harakati davomida uning fazoviy vaziyati 2s miqdorlar va bilan to`liq tavsiflanadi.Ammo , bu miqdorlar funksiyasi bo`lgan shunday kattaliklar borki, ular harakat davomida o`z qiymatlarini saqlaydilar.Bu funksiyalarning qiymatini o`zgartirmaydigan fizik kattalik harakat integrallari (HI)deb ataladi.Erkinlik darajasi s bo`lgan BS ning mustaqil HI lari soni ga teng bo`ladi.Buni quyidagicha dalillasa bo`ladi.HT sining yechimi 2s doimiyga ega.BS ning HT si vaqtga bevosita bog’liq bo`lmaganligi uchun vaqtning sanoq boshi ixtiyoriy bo`lishi mumkin.Shu sabab, doimiylardan birini deb qabul eta olamiz.U holda qolgan tenglamalar (2.3.13) Dan doimiylarni va lar funksiyasi shakliga tasvirlashimiz mumkin. Bu doimiylar HI lari bo’ladi va ularning soni ga teng. Mexanikada juda katta ahamiyatga ega bir nechta HI lari mavjud bo`lib , ularning saqlanishi fazo va vaqtning fundamental xossalari:bir jinsligi va izotropligidan kelib chiqadi.Bu HI lari additiv miqdorlar bo`lib, murakkab MS ning HI, agar uni tashkil etuvchi qismlar orasida ta’sirlashuv bo’lmasa,qismlar HI lari yig’indisiga teng bo’ladi. Aynan HI larning additivlik xossasi ularni tahlil etishda qo`l keladi. Masalan , ikki jism biror cheklangan vaqt davomida to’qnashsin. To`qnashuvdan oldin va keyin bu sistemaning Hilari teng bo’lishi lozim. Agar jismlarning to`qnashishdan oldingi HI lari ma’lum bo`lsa, ularning to`qnashishdan keyingi holat aniqlanishi mumkin.Harakat jarayonida sistemaga kirgan moddiy nuqtalarning holati o`zgaradi, shunga ko`ra ularning umumlashgan koordinatlari va tezliklari ham o`zgarib boradi. Ammo shu kattaliklardan tuzilgan va fizik jarayon mavjud, ular saqlanuvchi kattaliklar deyiladi. Matematik ta`rifdan boshlaylik. Ta`rif bo`yicha, (2.3.14) funksiya , (2.3.15) Differensial tenglamalar sistmasining birinchi integrali yoki harakat integrali deyiladi.qachonki larning o`rniga (2.3.15) tenglamalarning yechimini qo`yganimizda f funksiyamiz o`zgamas songa aylansa. Uning son qiymati masalaning boshlang’ich shartlariga bog’liq bo`ladi. Harakat integrallari saqlanuvchi kattalikning yana bir boshqa nomlanishidir. (2.3.15) tenglamalarning birinchi integrallarining soni bir nechta bo`lishi mumkin.Umumiy holda s erkinlik darajali sistema 2s-l ta harakat integraliga ega bo`ladi. Saqlanuvchan kattaliklar fizikada markaziy rollardan birini o`ynaydi.Saqlanuvchan kattaliklarning hammasi ham teng ma’noga ega emas.Masalan, bir necha saqlanuvchan kattalikdan tuilgan ixtiyoriy funksiya yana saqlanuvchan kattalik bo`ladi, ammo uning mustaqil ahamiyati katta bo’lmaydi. Biror bir kattalikning sistema uchub qiymati shu sistemaga kirgan qismlar uchun qiymatlarning yig’indisiga teng bo`lsa, bu kattalik additiv kattalik deyiladi.Saqlanuvchi kattaliklar ichida additivlik xossasiga ega bo`lganlari ayniqsa katta ahamiyatga egadir.Biz shu bo`limda ko`rib chiqadigan saqlanuvchi kattaliklar bir tomondan fundamental xarakterga ega –ularning kelib chiqishi fazo va vaqtning fundamental xossalariga bog’liq –ikkinchi tomondan ular aditivlik xossasiga ega. Saqlanuvchan kattaliklar fizik jarayonlar haqida muhim ma’lumot beradi va ko`pgina hollarda masalani to`liq yechishga birdan- bir imkoniyat beradi. 2.4.Mavzuga doir masalalar. 2.4.1-misol. vektor maydonning vektor chizig’ini toping. -o’zgarmas vektor. , ; bo`lgani uchun (2.4.1) Tenglamaga asosan Birinchi kasrni xga ikkinchi kasrni y ga, uchinchi kasrni z ga ko`paytiramiz va proporsiyaning xossasiga asosan quyidagini olamiz. , bundan Endi birinchi kasrni c 1 ga ,ikkinchi kasrni c 2 ga, uchinchi kasrni c 3 ga ko`paytiramiz va yana proporsiyaning xossasiga asosan topamiz. Biz izlagan vektor chiziqlari Demak, berilgan vektor maydonning vektor chiziqlari markazi koordinata boshida bo’lgan sferalar bilan tekisliklarning kesishidan hosil bo`lgan aylanalardan iborat. 2.4.2-misol. Vektor maydonning (1,0,0)nuqta orqali o`tuvchi vektor chizig’ini toping. bundan quyidagicha olamiz , C 1¿0 t-parametr kiritsak Ikkinchi tenglamani yechamiz Demak,vektor chiziqlarning parametrik tenglamasi quyidagicha bo`ladi. (2.4.2) (1,0,0)nuqtada t parametr nolga teng bo`ladi. (2.4.2)tenglamadan quyidagini olamiz: (2.4.3) Bundan , ni topamiz.Demak, vektor maydonning (1,0,0) nuqta orqali o`tuvchi vektor chizig’i vint chizig’idan iborat ekan (2.4.4) Maydonning vektor chiziqlari vint chiziqlaridan iboratdir. III.Xulosa Mening kurs ishim ”Markaziy bo’lmagan maydon aktiv qismida programmalashtirilgan harakatning turg’unligini tadiqot qilish”mavzusiga bag’ishlangan bo`lib , bu kurs ishim uchun ma’lumot to’plash jaarayonida va yozish mobaynida ko`plab maydon aktivligi turgunlik tushunchalari bo`yicha va markaziy maydon harakati va harakat integrallari, turg’unlik holati bo`yicha bilimlarimni mustahkamladim. Bundan tashqari Lyuponovning teoremalarini va markaziy maydon harakat integrallarini turg’unlik tuhunchalari masalalarini va masalalarning qo`yilishi- yechimlarini Markaziy maydondagi harakatda impuls saqlanish qonunining geometrik ma’nosini keltirib o`tdim. Kurs ishini tayyorlash mobaynida harakatning turg’unlik haqida Lyupunov masalasi va magnit maydonni Bio-Savar –Laplas qonunlari va Elektr maydon haqida tushunchalarga ega bo’ldim . Markaziy bo’lmagan maydon aktiv qismida programmalashgan harakatning turg’unligi haqida masala va misollar yechimlari haqida bilib oldim. Kundalik hayotimizda uchrab turgan Magnit maydon ,Maydonlar haqida tushuncha, Harakat turg`unligi haqida, Markaziy maydondagi harakat integrallari haqida ushbu kurs ishimda qisqacha va tushunarli ma’lumot keltirib o`tdim. IV. Foydalanilgan adabiyotlar ro`yxati. 1.P.Shohaydarova va boshqalar.Nazariy mexanika.-T.: ”O`qituvchi”,1992 y. 2.T.R.Rashidov va boshqalar.Nazariy mexanika asoslari.-T.:”O`qituvchi”,1991 y. 3.I.V.Meshcherskiy.Nazariy mexanikadan masalalar to`plami.-T.:”O`qituvchi” 1990 y. 4.M.M.Murodov, X.M.Inoyatova, K.U.Usnatdinov.Nazariy mexanika.- T.:”Istiqlol”,2004 y. 5.A.Azizqoriyev, S.K.Yangurazev. Nazariy mexanikadan masalalar yechish.- T.:”O`qituvchi”,1980 y. 6.D.I.Tolibova.Nazariy mexanika(Dinamika).-T.:” O`qituvchi”,1987 y. 7.Sh.A.Shobidov va boshqalar.Nazariy mexanika.-T.:” O`qituvchi”,2008 y. 8.M.S.Yahyoyev, K.B.Mo`minov “Nazariy mexanika” Toshkent 1990-yil 9.Sh.M.Mamatqulov “Nazariy mexanika” Toshkent 2009-yil. 10.Z.Abduqahhorov.” Nazariy mexanika” Namangan 2016-yil. 11.U.J.Saydullayev.” Nazariy mexanika” Samarqand 2013-yil. 12.B.Ahmadxo`jayev.” Nazariy mexanika” Toshkent 2006-yil Internet saytlari. http://kutubxona.adu.uz http://ilmiy.bmti.uz http://arm.tdpushf.uz http://library.naviy-uni.uz http://ziyonet.uz http://uz.m.wikipedia.org http://kitobxon

Markaziy bo’lmagan maydon aktiv qismida programmalashtirilgan harakatning turg’unligini tadqiqot qilish

Купить