Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 1.0MB
Покупки 0
Дата загрузки 03 Июнь 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Markaziy va nomarkaziy sirtlarning tenglamasini kanonik ko‘rinishi kurs ishi

Купить
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI Farg‘ona davlat unversiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika yo‘nalishi 24.03-guruh talabasi Umurzaqova Dildorabonu Ulug‘bek qizining Analitik geometriya fanidan “ Markaziy va nomarkaziy sirtlarning tenglamasini kanonik ko‘rinishi ” mavzusidagi KURS ISHI Kurs ishi rahbari: B.Toshbuvayev FAR G‘ ONA– 2025 2MUNDARIJA KIRISH.....................................................................................3 I BOB. IKKINCHI TARTIBLI SIRTLAR HAQIDA 1.1-§. Sirt haqida umumiy tushuncha..........................................5 1.2-§. Ikkinchi tartibli sirtlarning umumiy tenglamasi.................7 II BOB. MARKAZIY VA NOMARKAZIY SIRTLAR 2.1- §. Markazga ega bo‘lgan sirtlarning umumiy tenglamasini soddalashtirish.............................................................................9 2.2 -§. Markazga ega bo‘lmagan (nomarkaziy) sirtlarning umumiy tenglamasini soddalashtirish......................................................27 XULOSA.................................................................................32 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ...............................33 3KIRISH “Eng katta boylik–bu aql – zakovat va ilm, eng katta meros – bu yaxshi tarbiya, Eng katta qashshoqlik – bu bilimsizlikdir!” Sh.M.Mirziyoyev Prezidentimiz Shavkat Mirziyoyev Konstitutsiyamiz qabul qilinganining 25 yilligiga bag‘ishlangan tantanali marosimidagi nutqida: ―Biz ta’lim va tarbiya tizimining barcha bo‘g‘inlari faoliyatini bugungi zamon talablari asosida takomillashtirishni o‘zimizning birinchi darajali vazifamiz deb bilamiz deb‖ ta’kidlagan edi. Respublikamizda faoliyat ko‘rsatayotgan umumta’lim muassasalari uchun tayyorlanayotgan pedagog kadrlar sifatini tubdan yaxshilash, ta’lim muassasalaridagi o‘quv jarayonini zamonaviy talablar asosida qayta tashkil etish va tayyorlanayotgan mutaxassislari malakasining raqobatbardosh bo‘lishiga erishish asosiy vazifalaridan biri bo‘lib hisoblanadi. Mustaqil O‘zbekiston Respublikasida shakllanayotgan milliy istiqlol g‘oyasi Respublika Konstititsiyasida e‘tirof etilgan insonparvar, demokratik, huquqiy davlat va jamiyatni barpo etish, shuningdek, ijtimoiy-iqtisodiy hamda madaniy rivojlanishning yuqori bosqishlariga ko‘tarish, jahon hamjamiyati safidan munosib o‘rin egallashga yo‘naltirilgan ezgu maqsadlarni amalga oshirishga xizmat qiladi. Ushbu maqsadlarning ijobiy natijaga ega bo‘lishi, eng avvalo, yosh avlodga ilmiy bilimlar asoslarini puxta o‘rgatish, ularda keng dunyoqarash hamda tafakkur ko‘lamini hosil qilish, ma‘naviy-axloqiy sifatlarni shakllantirish borasidagi ta’limiy-tarbiyaviy ishlarni samaralitashkiletish bilan bog‘liqdir. Zero, yurtning porloq istiqbolini yaratish, uning nomini jahonga keng yoyish, ulug’ajdodlar tomonidan yaratilgan milliy-madaniy merosni jamiyatga namoyish etish, ularni boyitish mustaqil O‘zbekiston Respublikasining rivojlangan mamlakatlar qatoridan 4joy egallashini ta‘minlash yosh avlodni komil inson hamda malakali mutaxassis qilib tarbiyalashga bog‘liqdir. Kurs ishining dolzarbligi: Talabalar intellektual tafakkurini shakllantirish asosida talabalar qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirishularning umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli egri chiziqlar mavzulari bo‘yicha bilimlarni yanada chuqurlashtirish. Respublikamiz Prezidenti Sh. Mirziyoyev ―O‘zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo‘yicha Harakatlar strategiyasi to‘g‘risida gi‖ farmoni va oliy ta’lim tizimini yanada rivojlantirish bo‘yicha qabul qilingan PQ 29-09 Qarori mazmunida barkamol shaxs va malakali mutaxassisni tarbiyalab voyaga yetkazish jarayonining mohiyati to‘laqonli ochib berilgan. Malakali kadrlar tayyorlash jarayonining har bir bosqichi o‘zida ta’lim jarayonini samarali tashkil etish, uni yuqori bosqichlarga ko‘tarish, shu bilan birga jahon ta’limi darajasiga yetkazish borasida muayyan vazifalarni amalga oshirishi lozim. Mazkur vazifalarning muvaffaqiyatli hal etilishida yana bir omilning mavjudligi, ya‘ni, ta’lim jarayoning samaradorligini oshirish, uzluksiz ta’lim tizimi xodimlarining malakali mutaxassis bo‘lib yetishishlari muhim ahamiyat kasb etadi. Biz bo‘lajak pedagog ekanmiz, o‘sib kelayotgan yosh avlodni yetuk ma’naviyatli, bilimli, malakali kadr etib tarbiyalash har bir pedagogning asosiy vazifasidir va bu ishlarni biz ham munosib ravishda amalga oshirilishiga o‘z hissamizni qo‘shishga harakat qilamiz. Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Umumiy tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli sirtlar mavzusini o‘rgatish. Vazifalari: 1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish; 2. Ikkinchi tartibli sirtni uning tenglamasi bo‘yicha yasashni o‘rganish; 3. Parallel ko‘chirish va burish yordamida umumiy tenglama bilan berilgan ikkinchi tartibli sirtlarni kanonik holga keltirishni o‘rganish. 5 I BOB. IKKINCHI TARTIBLI SIRTLAR HAQIDA 1.1-§.Ikkinchi tartibli sirtlarning umumiy tenglamasi . 1- ta’rif. Berilgan to‘g‘ri burchakli koordinatalari sistemasida koordinatalari (1.1.1) tenglamani qanoatlantiruvchi nuqtalarning geometrik o‘rni sirt deb ataladi. (1.1.1) tenglama umuman sirt tenglamasi deb ataladi. Bu tenglama o‘zgaruvchilarning biriga nisbatan yechiladi deb faraz qilamiz. Masalan, u tenglama ga nisbatan yechilishi mumkin bo‘sin, bu holda (1.1.2) deb yozish mumkin, bunda o‘zgaruvchilarning funksiyasidir. Sirtga berilgan yuqoridagi ta‘rifga ko‘ra sirt tenglamasi deb uch o‘zgaruvchili shunday yoki tenglamaga aytiladiki, bu tenglamani sirtda yotgan har bir nuqtaning koordinatalari qanoatlantiradi. Shunday qilib fazodagi nuqtalarning geometrik o‘rni deb qaralgan har qanday sirt, bu nuqtalar koordinatalarini o‘zaro bog‘lovchi (1.1.1) tenglama bilan tasvirlaydi. Fazodagi sirtni tekshirish ikkita asosiy masalani tekshirishga olib keladi: 1. Fazodagi biror sirt o‘zining umumiy xossasi bilan nuqtalarning geometrik o‘rni, deb berilgan. Uning tenglamasini yuzish kerak; 2. Fazodagi biror sirtning tenglamasi berilgan. Bu tenglama yordamida uning xossalarini va shaklini tekshirish kerak. 2- ta’rif. To‘g‘ri burchakli dekart koordinatalari sistemasida o‘zgaruvchi koordinatalariga nisbatan ikkinchi darajali (1.1.3) algebraik tenglama bilan tasvirlangan sirtlar ikkinchi tartibli sirtlar deb ataladi. 6Bu tenglamada koeffitsiyentlarning kamida bittasi noldan farqli bo‘lishi kerak. Bu ta‘rifning koordinatalar sisemasini tanlab olishga nisbatan invariantligi ravshan. Haqiqatan ham, koordinatalarning istalgan boshqa biror x ′ y ′ z ′ sistemasiga nisbatan sirt tenglamasi x, y, z o‘rniga x ′ , y ′ , z ′ ning chiziqli ifodalarini qo‘yish natijasida hosil qilinadi, binobarin, u tenglama x ′ , y ′ , z ′ ga nisbatan ham (1.1.3) ko‘rinishga ega bo‘ladi. Istalgan tekislik ikkinchi tartibli sirtni ikkinchi tartibli egri chiziq bo‘yicha kesadi. Haqiqatan ham, sirt ta‘rifi koordinatalar sistemasining tanlab olishga nisbatan invariantligi sababli, kesuvchi tekislik xy (z=0) tekislikdan iborat deb hisoblash mumkin. Bu tekislikning esa sirt ikkinchi tartibli egri chiziq bo‘yicha kesishi ayon. Ikkinchi tartibli sirtning geometrik xossalarini tekshirish uchun uning tenglamasini shunday koordinatalar sistemasida yozish tabiiyki, natijada tenglama iloji boricha sodda bo‘ladi. Biz hozir koordinatalarning shunday sistemasini ko‘rsatamizki, unda sirtning tenglamasi ancha soddalashadi, ya‘ni sirt tenglamasida xy, xz va yz oldidagi koeeffitsiyentlar nolga aylanadi. Fazoning koordinatalari boshidan farqli hamma nuqtalar tenglik yordamida aniqlangan F(A) funksiyani ko‘zdan kechiraylik. Birlik sferada bu funksiya chegaralangandir, binobarin, u biror nuqtada absolyut minimumga erishadi. Lekin u koordinatalar boshidan chiqadigan istalgan nur bo‘ylab o‘zgarmas qiymatga ega shu sababdan funksiya nuqtada qiymatlarining absolyut minimumiga birlik 7sferadagina emas, balki butun fazoga nisbatan erishadi. nuqtani koordinatalar boshi sifatida saqlab va nurni z yarim to‘g‘ri chiziq sifatida qabul qilib, yangi dekart koordinatalari x ′ , y ′ , z ′ ni kiritamiz. Ma‘lumki x, y, z o‘rniga x ′ , y ′ , z ′ koordinatalar orasidagi bog‘lanish ushbu ko‘rinishidagi formulalar bilan ifodalanadi. Sirtning yangi x’, y’, z’ koordinatalaridagi tenglamasi x, y, z ni (1.1.3) formulalar bo‘yicha x’, y’, z’ ga almashtirish natijasida hosil bo‘ladi va bu tenglama ushbu ko‘rinishga egadir: Yangi koordinatalarga nisbatan funksiya quyidagi ko‘rinishga ega bo‘lib, F ning eski ifodasidagi ni ga (1.1.4) formulalar bo‘yicha almashtirish natijasida hosil qilinadi. Maxraji shakl jihatdan o‘zgarmaydi, chunki u A nuqtaning koordinatalar boshigacha masofaning kvadratini bildiradi, bu masofa esa ikkala sistemada ham bir xil ifoda qilinadi. koordinatalar sistemasining tanlab olinishiga binoan ning ifodasida deb faraz qilsak, bitta o’zgaruvchining funksiyasi hosil bo’ladi. Bu esa y ′ =0 qiymatida minimumga erishadi. Demak, y ′ =0 bo’lganda Ammo : Shunday qilib, sirt tenglamasida y ′ z ′ oldidagi koeffitsiyent nolga teng, 8x ′ z ′ oldidagi koeffitsiyentning nolga tengligi shunga o‘xshash ko‘rsatiladi. Demak, koordinatalarning x ′ , y ′ , z ′ sistemasida sirtning tenglamasi ushbu ko‘rinishni oladi: Endi yangi x ′′ , y ′′ , z ′′ koordinatalarni formulalar bo‘yicha kiritsak, ikkinchi tartibli egri chiziqlarni tekshirgan holdagi ?????? - burchakni xohlagan ravishda tanlab olish yo‘li bilan x ′′ y ′′ oldidagi koeffitsiyentni ham nolga aylantirib yurishga erishish mumkin. Shunday qilib, shunday to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalari sistemasi mavjudki, sirtning unga nisbatan tenglamasi ushbu ko‘rinishga egadir: 9II BOB. MARKAZIY VA NOMARKAZIY SIRTLAR 2.1-§. Markazga ega bo‘lgan sirtlar Ikkinchi tartibli sirtlarning markazi sistemani qanoatlantiruvchi nuqta(nuqtalar to‘plami) ga aytiladi. Aylanma sirtlar. tekislikda biror to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsin. Ta’rif: chiziqning to‘g‘ri chiziq atrofida aylanishidan hosil bo‘lgan figura aylanma sirt deb ataladi. Bunda aylanma sirtning meridian, aylanish o‘qi deb ataladi. Ravshanki, ning har bir nuqtasi atrofida aylanishida biror aylanani hosil qilib, bu aylananing markazi to‘g‘ri chiziqda bo‘ladi. 10 2.2.1-rasm Endi aylanma sirtning tenglamasini keltirib chiqarish bilan shug‘ullanamiz. Bu ishlarni dekart reperida qurib, ni biror koordinatalar tekisligi deb, u to‘g‘ri chiziqni esa koordinata o‘qlaridan biri (ya‘ni da yotgan ikki koordinata o‘qidan biri ) deb olamiz. Masalan, = yOx va u=oz hamda L: F (y, z)=0 (2.2.1) bo‘lsin. L chiziqning Oz o‘q atrofida aylanishidan 2.2.1-rasm dagidek sirt hosil qilingan deylik. M(x, y, z) shu sirtga tegishli ixtiyoriy nuqta bo‘lsin. M nuqtadan Oz ga perpendikular tekislik o‘tkazsak, kesimda markazi nuqtada bo‘lgan biror aylana hosil qilinadi, u aylana L chiziq bilan nuqtada kesishsin. U holda ning koordinatalari kesim aylanadan iborat bo‘lgani uchun (2.2.2) Bu masofalarni hisoblaylik: Bularni (2.2.2) ga qo‘ysak , yoki . Endi yoki (2.2.3) Demak, ga tegishli har bir nuqtaning koordinatalari (2.2.3) ni qanoatlantiradi. Lekin bo‘lsa, (2.2.2) shart bajarilmaydi, demak, (2.2.3) ham o‘rinli emas. Shuning uchun (2.2.3) ni ning tenglamasi deya olamiz. Shu (2.2.3) tenglamaga 11asoslanib, L ning boshqa koordinata o‘qlari atrofida aylantirishdan hosil qilingan aylanma sirt tenglamasini osongina yozish mumkin: maslan, L ning Oy o‘q atrofida aylanishidan hosil etilgan sirt tenglamasi: L chiziq xOy da olinsa, uning tenglamasini F(x, y)=0 ko‘rinishida olsak, L ning Ox o‘q atrofida aylanishidan sirt, o‘q atrofida aylanishidan esa sirt hosil bo‘ladi. Misol tariqasida tekisligida joylashgan quyidagi chiziqlarning o‘q atrofida aylanishidan hosil qilingan aylanma sirtlarning tenglamalarini yozaylik. (2.2.1) ga asosan: 1) ellipsni o‘qi atrofida aylantirsak: yoki sirt hosil bo‘lib, u aylanma ellipsoid deb ataladi; 2) giperbolani o‘qi atrofida aylantirish natijasida yoki sirt hosil qilinib, u aylanma giperboloid deb ataladi; 3) parabolani o‘q atrofida aylantirsak, yoki sirt hosil qilinib, u aylanma paraboloid deb ataladi. Shuni ta‘kidlaymanki, silindrik va konus sirtlarning yo‘naltiruvchilari ikkinchi tartibli chiziq bo‘lsa, shu sirtlarning o‘zlari ham ikkinchi tartibli sirt bo‘lar edi, lekin ikkinchi tartibli har qanday chiziqning biror o‘q atrifida aylanishidan doimo ikkinchi 12tartibli aylanma sirt hosil bo‘lavermaydi. Masalan, yuqoridagi parabolani atrofida aylantirishdan hosil qilingan sirt tenglamasi yoki bo’lgan holda va bo’lgan holda esa . Bu esa ikkinchi tartibli sirt emas. Yuqorida biz sirtning ta’rifiga asoslanib, uning tenglamalarini keltirib chiqarish bilan shug’ullandik, endi tanlab olingan repperda tenglamalari bilan berilgan ikkinchi tartibli sirtning shaklini va ba’zi geometrik xossalarini tekshirish bilan shug’ullanamiz. Ellipsoid Ta’rif. Tanlab olingan dekart repperida (2.3.1) tenglamani qanoatlantiruvchi fazodagi barcha nuqtalar to’plami ellipsoid deb ataladi. (2.3.1) tenglama bo‘yicha ellipsoidning shaklini va ba‘zi geometrik xossalarini aniqlaylik. 1. (2.3.1) tenglama ikkinchi tartibli algebraik tenglama bo‘lgani uchun ellipsoid ikkinchi tartibli sirtdir. 2. (2.3.1) tenglamaning chap tomoniga nazar tashlasak, uchta musbat sonning yig‘indisi 1 tengdir, demak, (2.3.2) 13yoki bulardan: (2.3.3) Ellipsoid chegaralangan sirt bo‘lib, qirralari 2a, 2b, 2c hamda simmetriya markazi koordinatalar boshidagi to‘g‘ri burchakli parallelepiped ichiga joylashgan figuradir.(2.3.1-rasm) 2.3.1-rasm 3. (2.3.2) va (2.3.1) dan ko‘rinadiki, qo‘shiluvchilardan bittasi 1 ga teng bo‘lsa, qolgan ikkitasi nol bo‘lishi kerak: bundan va ellipsoid o’qini nuqtalarda kesib o’tadi. Xuddi shunga o’xshash bu ellipsoid o’qini , nuqtalarda, o’qini esa nuqtalarda kesib o’tadi. Bu nuqtalar ellipsoidning uchlari deb ataladi. 4. Endi ellipsoidning koordinata tekisliklari bilan kesimlarini tekshiraylik: 14 a) tekisligi bilan kesishmasi: tekislik bilan kesishmasi ellipsdir. b) tekisligi bilan kesishmasi tekislik bilan kesishmasi ham ellipsdir. c) tekisligi bilan kesishmasi tekislik bilan kesishmasi ham ellipsdir. Xulosa. (2.3.1) ellipsoidning koordinata tekisliklari bilan kesishmasi ellipsdandan iboratdir. 1. Endi ellipsoidning koordinata tekisliklari bilan parallel tekisliklar bilan kesimini tekshiraylik. tekislikka parallel bo’lgan tekislik bilan kesimini qaraylik: Bu yerda quyidagi hollar bo’lishi mumkin: a) bo’lib, 15 Maxrajdagi musbat sonlarni deb belgilasak, hosil bo’ladi. Bu esa markazi nuqtada va o’zi tekislikda yotgan ellipsdir. b) yoki bo’lsa, bo’lib, bu shartni qanoatlantiradi, demak tekislik bu holda sirt bilan nuqtada kesishadi. c) yoki bo’lib, (*) ning o’ng tomonida manfiy son hosil bo’ladi., chap tomoni esa doimo musbat. Demak, tekislik ellipsoid bilan bu holda kesishmaydi. 2.3.2-rasm 2. Ellipsoidga tegishli ( ?????? 1 , ?????? 1 , ?????? 1 ) bilan bir vaqtda (− ?????? 1 , − ?????? 1 , − ?????? 1 ) nuqta ham unga tegishli: bundan ko‘rinadiki, ellipsoid koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik joylashgan. 16Bu ma‘lumotlar ellipsoidning (2.3.2-rasm) tuzilishidan darak beradi. holda aylanma ellipsoid hosil bo’ladi. holda bo’lib, markazi koordinatalar boshida bo’lgan va radiusi ga teng bo’lgan sferani aniqlaydi. shartda ellipsoid uch o’qli deyiladi. Giperboloidlar Giperboloidlar ikki xil bo‘ladi. Biror П tekislikda giperbolani olib, uni mavhum o‘qi atrifida aylantirsak, hosil qilingan sirt bir pallali aylanma giperboloid deb ataladi, lekin shu giperbolani haqiqiy o‘qi atrofida aylantirsak, hosil qilingan sirt ikki pallali aylanma giperboloid deb ataladi. Bu sirtlar giperboloidlarning xususiy holidir, biz quyida shu sirtlar bilan tanishamiz. I. Dekart repperida (2.5.1) tenglamani qanoatlantiruvchi fazodagi barcha nuqtalar to‘lplami bir pallali giperboloid deb ataladi. Bir pallali giperboloidning shaklini va ba‘zi geometrik xossalarini aniqlaylik. 171. Ellipsoid singari bir pallali giperboloid ham ikkinchi tartibli sirtdir. 2. ?????? 1 ( ?????? 1 , ?????? 1 , ?????? 1 ) bilan bir vaqtda ?????? ′ 1 (± ?????? 1 , ± ?????? 1 , ± ?????? 1 ) ham giperboloidga tegishli, demak, bir pallali goperboloid nuqtalari koordinatalar boshiga, koordinatalar tekisligiga nisbatan simmetrik joylashgan. a) Ox o‘q ( ?????? = 0, ?????? = 0) bilan kesimini tekshiraylik: b) Shuning singari o’q quyidagi nuqtalarda kesishadi: c) o’q bilan kesishmaydi, haqiqatdan: haqiqiy sonlar maydonida bu tenglama yechimga ega bo’lmagani uchun giperboloid o’qi bilan kesishmaydi. Shuning uchun o‘q bir pallali giperboloidning mavhum o‘qi deb ataladi. 18Yuqorida hosil qilingan nuqtalar bir pallali giperboloidning uchlari deyiladi. 3. Endi koordinata tekisliklari bilan kesimini tekshiraylik. a) bu kesim ellipsni ifodalaydi. b) bu kesim giperbolani ifodalaydi. c) bu kesim ham giperbolani ifodalaydi. 4. tekislikka parallel tekislik bilan kesimini aniqlaylik: yoki bu tenglama tekislikda ellipsni aniqlaydi. son kattalashgan sari ellipsning yarim o’qlari ham kattalashib, faqat uchun ellips eng kichik o’qli bo’ladi. 5. xOz tekislikka parallel ?????? = ℎ tekislik bilan kesimini tekshiraylik: 19 Bu yerda quyidagu hollar bo’lishi mumkin: a) bo’lsa, (**) yoki bo’lib, kesim ikkita kesishuvchi to’g’ri chiziqdan iborat. b) bo’lsa, bo’lib, (**) quyidagi ko’rinishni oladi: Bu yerda tekislikda mavhum o’qi ga parallel bo’lgan giperbolani aniqlaydi. c) bo’lsa, bo’lib, (**) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi: bundan Bu tenglama tekislikda giperbola tenglamasi bo‘lib, mavhum o‘qi Ox o‘qqa paralleldir. Xuddi shu hollar giperboloidni ?????? = ℎ tekislik bilan kesganda ham sodir bo‘ladi. Shu ma‘lumotlarga asosan, bir pallali giperboloidning ko‘rinishi 2.5.1- rasmdagidek bo‘ladi. 20 2.5.1-rasm holda (2.5.1) tenglama ko’rinishni oladi, bu esa bir pallali aylanma giperboloidni aniqlaydi. (2.5.2) yoki (2.5.3) tenglamalar ham bir pallali giperboloid bo‘lib, ular mavhum o‘qlari bilangina farq qiladi (2.5.2) uchun mavhum o‘q Oy , (2.5.3) uchun mavhum o‘q Ox dir. I. Fazoning (2.5.4) tenglamani qanoatlantiruvchi barcha nuqtalari to‘plami ikki pallali giperboloid deb ataladi. (2.5.4) tenglama bo‘yicha bu sirtning shaklini va ba‘zi geometrik xossalarini aniqlaylik. Yuqoridagi bir pallali giperboloid tenglamasini tekshirishdagi ba‘zi hollarni bu yerda mufassal ko‘rmaymiz, chunki ular bevosita takrorlanadi: 1) Ikki pallali giperboloid ikkinchi tartibli sirtdir; 212) Ikki pallali giperboloid koordinatalar boshiga va koordinata tekisliklariga nisbatan simmetrik joylashgan; 3) Faqatgina Ox o‘q bilan ?????? 1 ( ??????, 0,0 ) , ?????? 2 ( −??????, 0,0 ) nuqtalarda kesishib, boshqa koordinata o‘qlari bilan kesishmaydi, demak, yOz tekisligi bilan ham kesishmaydi, demak, Oy va Oz mavhum o‘qlar hisoblanadi. Bundan ko‘rinib turibdiki, ikki pallali giperboloid ikki qismdan iborat bo‘lib, ular yOz tekislikka nisbatan simmetrik joylashgandir. 4) (2.5.4) ning yOz tekislikka parallel ?????? = ℎ tekislik bilan kesimini tekshiraylik: yoki (***) bo’lsa, (***) tenglama ko‘rinishni olib, ?????? = ℎ tekislikda ellipsni aniqlaydi. ℎ = ?????? da kesim faqat bitta ?????? 1 ( ??????, 0,0 ) yoki ?????? 2 ( −??????, 0,0 ) nuqtadan iborat. Boshqa koordinata tekisliklari va bu tekisliklarga parallel tekisliklar bilan kesimlari ham giperboladan iborat. Ikki pallali giperboloidning shakli 2.5.2-rasmda tasvirlangan. 22 2.5.2-rasm shartda (2.5.4) tenglama ko’rinishni oladi va u giperbolaning o’q atrofida aylanishdan hosil qilingan bo’lib, u ikki pallali giperboloiddir. (2.5.4) tenglama yoki ko’rinishli bo’lsa, bular ham ikki pallali giperboloid bo’lib, birinchisi uchun Ox, Oy o‘qlar, ikkinchisi uchun Ox, Oz o‘qlar mavhum o‘qlar bo‘ladi. Konus sirt Biror tekislikda ikkinchi tartibli chiziq va bu tekislikka tegishli bo‘lmagan nuqta berilgan bo‘lsin. Ta’rif. Fazodagi nuqtadan o‘tib, ni kesib o‘tuvchi barcha to‘g‘ri chiziqlar to‘plami ikkinchi tartibli konus sirt (yoki konus ) deb ataladi. konus uchi, chiziq esa konus yo‘naltiruvchisi , konusni hosil qiluvchi to‘g‘ri chiziqlar esa uning yasovchilari deb ataladi. 23Konus yasovchilari markazi konus uchida bo‘lgan to‘g‘ri chiziqlar bog‘lamiga tegishlidir. 2.1.1-rasm Endi konus tenglamasini keltirib chiqaraylik. Konusning ixtiyoriy nuqtasini olaylik. U holda to’g’ri chiziq konusning yasovchisi bo’lib, bilan kesishgan nuqtasi bo’lsin. nuqtalar bir to’g’ri chiziqda yotgani uchun yoki Bundan yoki So’nggi tenglikdan ni topib, avvalgi ikki tenglikka qo’yamiz: 24 (2.1.1) yoki (2.1.2) Ravshanki, konusga tegishli barcha nuqtalarning koordinatalari (2.1.2) ni qanoatlantiradi, konusga tegishli bo‘lmagan hech qanday nuqtaning koordinatalari (2.1.2) qanoatlantirmaydi, demak (2.1.2) ifoda konus tenglamasidir. Konusning uchi koordinatalar boshidan iborat bo‘lgan holni tekshirayik. Buning uchun avvalo algebradan funksiyaning bir jinsliligi tushunchasini eslaylik: agar istalgan t uchun ?????? ( ????????????, ????????????, ???????????? ) = ?????? ?????? ?????? ( ??????, ??????, ?????? ) shart bajarilsa, ?????? ( ??????, ??????, ?????? ) funksiya k- darajali bir jinsli funksiya deb atalar edi, masalan, ?????? ( ??????, ??????, ?????? ) = ?????? 2 − ?????? 2 + ?????? 2 funksiya ikkinchi darajali bir jinsli funksiyadir: ??????( ????????????, ????????????, ???????????? ) = (????????????) 2 − ( t??????) 2 + ( t?????? 2 ) = ?????? 2 (?????? 2 − ?????? 2 + ?????? 2 ) = ?????? 2 ?????? ( ??????, ??????, ?????? ) (2.1.3) ?????? ( ??????, ??????, ?????? ) = 0 bir jinsli tenglama bo‘lib, biror S sirtni aniqlasin hamda M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) ∈ S bo‘lsin, ??????M 1 to‘g‘ri chiziqni o‘tkazamiz, uning parametrik tenglamalari: ?????? = ??????x 1 , ?????? = ??????y 1 , ?????? = ??????z 1 . (2.1.4) ??????M 1 ning ixtiyoriy ?????? ( ??????, ??????, ?????? ) nuqtasini olaylik, (2.1.4) ga asosan M(??????x 1 , ty 1 , ??????z 1 ) . Endi M nuqtaning koordnatalarini (2.1.3) ga qo‘yib, ?????? ( ??????, ??????, ?????? ) ning bir jinsli ekanini e‘tiborga olaylik: ?????? ( ????????????, ????????????, ???????????? ) = ?????? ?????? ?????? ( ??????, ??????, ?????? ) = 0; demak, ??????  ?????? . Xulosa: (2.1.3) ko‘rinishidagi bir jinsli tenglama uchi koordinatalar boshida bo‘lgan konusning tenglamasidan iborat. 25Agar bo‘lsa, konusning uchi sifatida, soddalik uchun, ni olsak, (2.1.2) tenglama quyidagi ko‘rinishni oladi: (2.1.5) Endi (2.1.3) ko‘rinishidagi tenglama qaysi shartlarda konusni aniqlashi mumkin degan savolga o‘taylik. S konusning uchi nuqtada deylik. Ixtiyoriy nuqtadan vektorga parallel to’g’ri chiziq o‘tkazaylik, uning parametrik tenglamalari: ?????? = x 0 + ????????????, ?????? = y 0 + ????????????, ?????? = z 0 + ???????????? . bilan (1) ning kesishish nuqtasini izlasak, ???????????? 2 + 2???????????? + ?????? = 0 tenglama hosil bo‘ladi, bunda: ?????? = ?????? 11 ?????? 2 + ?????? 22 ?????? 2 + ?????? 33 ?????? 2 + 2?????? 12 ???????????? + 2?????? 13 ???????????? + 2?????? 23 mn, (2.1.6) (2.1.7) ?????? = ??????(?????? 11 x 0 + ?????? 12 y 0 + ?????? 13 z 0 + ?????? 14 ) + m ( ?????? 21 x 0 + ?????? 22 y 0 + ?????? 23 z 0 + ?????? 24 ) + +??????(?????? 31 x 0 + ?????? 32 y 0 + ?????? 33 z 0 + ?????? 34 ) , (2.1.8) ?????? = ?????? 11 x 2 + ?????? 22 y 2 + ?????? 33 z 2 + 2?????? 12 ?????? 0 ?????? 0 + 2?????? 13 ?????? 0 ?????? 0 + 2?????? 23 ?????? 0 ?????? 0 + 2?????? 14 ?????? 0 + +2?????? 24 ?????? 0 + 2?????? 34 ?????? 0 + ?????? 44 . M 0 ∈ ?????? bo‘lsa, (2.1.8) → R=0 . U holda (2.1.7) 2???????????? = 26 (2.1.9) Konusning ta‘rifiga asosan u to‘g‘ri chiziq S ga to‘liq tegishli yoki faqat bitta M umumiy nuqtaga ega, bu degan so‘z (2.1.9) tenglama cheksiz ko‘p yechimga ega yoki faqat bitta t=0 ga egadir, (2.1.9) dan ko‘rinib turibdiki, bu shartlar bajarilishi uchun Q=0 bo‘lishi kerak, buni yoyib yozsak, ??????(?????? 11 x 0 + ?????? 12 y 0 + ?????? 13 z 0 + ?????? 14 ) + m ( ?????? 21 x 0 + ?????? 22 y 0 + ?????? 23 z 0 + ?????? 24 ) +??????(?????? 31 x 0 + +?????? 32 y 0 + ?????? 33 z 0 + ?????? 34 ) = 0 (2.1.10) Bu shart asimptotik yo‘nalishga ega bo‘lmagan har qanday ??????̅→ vektor uchun bajarilganligidan: (2.1.11) ?????? 0 ∈ ?????? ni hamda (2.1.11) ni e‘tiborga olsak, (2.1.3) → ?????? 41 x 0 + ?????? 42 y 0 + ?????? 43 z 0 + ?????? 44 = 0 (2.1.12) Demak, (1.1.3) tenglama konusni ifodalaganda konus uchining koordinatalari (2.1.11), (2.1.12) shartlarni qanoatlantirishi kerak. Aksincha, (1.1.3) tenglama berilgan bo‘lsa hamda biror M 0 nuqta uchun (2.1.11), (2.1.12) shartlar bajarilsa, berilgan tenglama uchi M 0 nuqtadagi konusni ifodalaydi. Haqiqatan ham, M 0 ning koordinatalarini (1.1.3) ga qo‘yib hisoblasak hamda (2.1.11), (2.1.12) ni e‘tiborga olsak, M 0 ∈ ?????? ekaniga ishonch hosil qilamiz. Endi M 0 nuqtadan ixtiyoriy (2.1.6) to‘g‘ri chiziqni o‘tkazib, u bilan S ning kesishgan nuqtasini topishga harakat qilsak, (2.1.7) tenglamada Q=R=0 bo‘lib, ???????????? 2 = 0. Bunda u to‘g‘ri chiziq S bilan faqat bitta M 0 nuqtada kesishadi yoki bu to‘g‘ri chiziq S ga to‘liq tegishli degan xulosa chiqadi, demak, S konusdir. Xullas, S sirt uchi M 0 nuqtada bo‘lgan konusdan iborat bo‘lishi uchun M 0 27ning koordinatalari (2.1.11), (2.1.12) shartlarni qanoatlantirishi zarur va yetarli. Xullas, S sirt uchi M 0 nuqtada bo‘lgan konusdan iborat bo‘lishi uchun M 0 ning koordinatalari (2.1.11), (2.1.12) shartlarni qanoatlantirishi zarur va yetarli. Ma‘lumki , (2.1.11), (2.1.12) dagi tenglamalarning birgalikda bo‘lishi uchun bu matritsalar ranglari teng bo‘lishi zarur va yetarlidir. Shuning uchun (1.1.3) tenglama konusni ifodalashi uchun (2.1.13) matritsalarning ranglari teng bo‘lishi kifoya. Agar (1.1.3) tenglama konusni ifodalasa, u holda (2.1.13) matritsalar ranglarining eng kattasi 3 ga teng, demak, konus uchun shart bajarilishi kerak. Endi yuqoridagi xulosalardan shuni aytish mumkinki, dekart reperida berilgan konusning eng sodda tenglamasi quyidagi ko‘rinishga keladi: (2.1.15) Haqiqatan ham, bu tenglama ikkinchi darajali bir jinsli tenglama bo‘lgani uchun u yuqorida chiqarilgan xulosaga asosan uchi koordinatalar boshida bo‘lgan konusni aniqlaydi. Shunisi diqqatga sazovorki, (2.1.15) konusni tanlab olingana11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 28ba‘zi tekisliklar bilan kessak, kesimda ikkinchi tartibli chiziqlarning hamma turini hosil qilish mumkin. 2.2-§.Markazga ega bo‘lmagan (nomarkaziy) sirtlar 1- Paraboloidlar Endi ikkinchi tartibli sirtlarning yana bir sinfi—paraboloidlar bilan tanishamiz. Bu sirtlar ham ikki turdan iborat bo‘lib, ularni ayrim-ayrim ko‘rib chiqamiz. I. Dekart reperida tenglamani qanoatlantiruvchi fazodagi barcha nuqtalar to‘plami elliptik paraboloid deb ataladi. Bu paraboloidning ham shaklini va ba‘zi geometrik xossalarini (2.4.1) tenglamani tekshirish yo‘li bilan aniqlaymiz. 1. Elliptik paraboloid ham ikkinchi tartibli sirt, undan tashqari bu sirt koordinatalar boshidan o‘tadi. 2. Koordinata o‘qlari bilan kesishish nuqtasini topaylik: a) 29b) Demak , eiiptik paraboloid koordinata o’qlari bilan faqatgina koordinata boshidagina kesishadi . 3. Koordinata tekisliklari va ularga parallel tekisliklar bilan kesimini tekshiraylik: a) bilan kesishish chizig’i: b) bilan kesishish chizig’i: bu tenglama tekislikda simmetriya o’qi dan iborat paraboloiddir: a) yOz bilan kesishish chizig‘i: bu ham simmetriya o‘qi Oz dan iborat yOz tekislikdagi paraboloiddir; Bundan tashqari, o‘zgaruvchilar (2.4.1) tenglamada juft darajada qatnashganligi uchun elliptik paraboloid xOz, yOz tekisliklariga nisbatan simmetrik 30joylashadi. Bu tekisliklarning kesishishidan hosil bo‘lgan Oz to‘g‘ri chiziq elliptik paraboloidning o‘qi deb ataladi p=q da tenglama ko‘rinishida bo‘lib, aylanma paraboloid bo‘ladi. O‘qlari Ox yoki Oy dan iborat elliptik paraboloidning tenglamalari mos ravishda ushbu tenglamalar bilan ifodalanadi: Dekart repperida (2.4.2) tenglamani qanoatlantiruvchi fazo nuqtalari to‘plami giperbolik paraboloid deb ataladi, tenglamasi bo‘yicha giperbolik paraboloidning shaklini va ba‘zi geometric xossalarini aniqlash mumkin. Quyida biz ba‘zi xossalarnigina beramiz. 1. Giperbolik paraboloid ikkinchi tartibli sirt bo‘lib, koordinatalar boshidan o‘tadi. 2. Koordinata o‘qlari bilan faqatgina koordinatalar boshida kesishadi. 3. a) xOy tekislik bilan kesishganda kesimda ikkita kesishuvchi to‘g‘ri chiziq hosil bo‘ladi; b) xOz tekislik bilan kesishganda kesimda simmetriya o‘qi Oz dan iborat parabola hosil bo‘ladi; 31c) yOz tekislik bilan kesishganda kesimda simmetriya o‘qi Oz dan iborat bo‘lgan parabola hosil bo‘ladi. 32 2.4.2-rasm 4. tekislik bilan kesganda kesimda a) shartda giperbola; b) da giperbola hosil qilinadi. 5. Boshqa koordinata tekisliklariga parallel tekisliklar bilan kesilganda kesimda doimo parabola hosil bo‘ladi. Shu ma‘lumotlarga asoslanib giperbolik paraboloidni 2.4.2-chizmadagidek sirt ko‘rinishida tasavvur qilish mumkin, ba‘zan bu sirtni ―egarsimon‖ sirt deb ham yuritiladi. Parabolik slindr Ikkinchi tartibli sirt tenglamasini biror dekart koordinatalar sistemasida (2.4.3) 33Ko‘rinishida yozish mumkin bo‘lsa,u parabolik slindr deb ataladi. (2.4.3-rasm) . 2.4.3-rasm 34XULOSA Kurs ishi uzluksiz ta’lim tizimining barcha bosqichlarida matematika fanini o‘qitishda muhim ahamiyatga ega bo‘lgan ikkinchi tartibli sirtlar va ularning tenglamalarini o‘rganish masalasiga bag‘ishlangan. Kurs ishi kirish, asosiy qism, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat. Kirish qismida yurtimizda ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlar va ularning samaralari natijasi va mavzu bo‘yicha boshlang‘ich ma‘lumotlar berildi. Men bu kurs ishi mavzusini turli xil adabiyotlardan foydalanib qisqacha bo‘lsada yortishga harakat qildim. Men bu kurs ishi mavzusini yaxshiroq yoritib berish maqsadida ikkinchi tartibli sirtlarning chizmalari va rasmlaridan ham foydalandim. Men ushbu kurs ishini tayyorlash davomida ikkinchi tartibli sirtlar haqida deyarli to‘liq ma‘lumotga ega bo‘ldim. Umumiy tenglamasi bilan berigan ikkinchi tartibli sirtning tenglamasini kanonik ko‘rinishga keltirishni va ularning usullarini o‘rgandim. Kanonik tenglamasi bilan berilgan ikkinchi tartibli sirtning fazodagi vaziyatini, ularning ixtiyoriy tekislilar bilan kesganimizda ikkinchi tartibli chiziqlar hosil bo‘lishini o‘rgandim. Bundan ikkinchi tartibli sirtlarning bosh kesimlari har doim ikkinchi tartibli chiziqlarni hosil qilishini bilib oldim. Ikkinchi tartibli sirtlar markazga ega bo‘lganlari, markazga ega bo‘lmaganlari, markazi yagona, markazi to‘g‘ri chiziqdan va markazi tekislikdan iborat bo‘lgan tekisliklarga ajratdim. Xulosa qiladigan bo‘lsam, matematikaning har bir bo‘limiga o‘tganimizda unda yangidan yangi, qiziqarli ma‘lumotlarga duch kelamiz, ularni o‘quvchilarga yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o‘qituvchining mahoratiga bog‘liq. Mavzuni hayotga bog‘lab tushuntirib berish, undagi o‘ziga xos xususiyatlarini o‘quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon. O‘qituvchi hamisha ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo‘lishi lozim. Malakasini, tajribasini muntazam oshirib borishi kerak. Zamon bilan hamnafas bo‘lishi ham bugungi kun talabi. 35FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Sh. Mirziyoyev. ―O‘zbekiston Respublikasini yanada rivojlantirish bo‘yicha Harakatlar strategiyasi to‘g‘risida . Ma‘naviyat nashriyoti.2017-y.‖ 2. S.V. Baxvalov, P.S. Modenov, A.S. Parxomenko, Analitik geometriyadan masalalar to‘plami. Toshkent, O‘qituvchi, 2006. 3. А.В. Погорелов, Аналитик геометрия. Тошкент, Укитувчи, 1983. 4. М.М. Постников, Аналитическая геометрия. Москва, Наука, 1979. 5. Д.В. Клетеник, Сборник задач по аналитической геометрии. Москва, Наука. 1998. 6. К. Кравченко, Решения задач по аналитической геометрии. http:// www.a- geometriy.narod.ru 10. Н.Д. Додажонов, М.Ш. Жураева, Геометрия, I-кисм. Тошкент – ―Укитувчи – 1982. ‖ 7. A.Y. Narmanov, Analitikgeometriya. O‘zbekistonfaylasuflarmilliyjamiyatinashriyoti, Toshkent, 2008. 8. А.В. Погорелов, Аналитическая геометрия. ― Наука , ‖ Москва, 1978. 9. Кори Ниёзий, Танланган асарлар, I том, Тошкент.1967. ELEKTRON ADABIYOTLAR: 1. www. ZiyoNet.uz. 2. www.Google.com. 3. www.unilibrary.uz

Markaziy va nomarkaziy sirtlarning tenglamasini kanonik ko‘rinishi kurs ishi

Купить