• Всего документов: 5844
  • Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 966.0KB
Покупки 0
Дата загрузки 17 Март 2025
Расширение doc
Категория Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

105 Продаж

Matematik analiz va differensial tenglamalar

Xulosa Ushbu kurs ishida differensial hisob va differensial hisobning ayrim tatbiqlari, ya’ni funksiyani o’zgarmas qiymatni saqlashi, funksiyani moonoton bulishi, funksiyaning o’suvchiligi hamda, kamayuvchiligi, funksiya grafigining qavariqligi va botiqligi, funlsiyani egilish nuqtalari ,funksiya asimptotalari, funksiya grafigi va aniqmasliklarni ochish haqida so’z yuritilgan va har bir paragrafga oid ayrim misollarni isbotlari bilan keltirib o’tilgan. Mazkur kurs ishidan oliy o’quv yurtining talabalari differensial hisobning ba’zi tatbiqlarini o’rganishda foydalanishlari mumkin. Oliy matematikada matematik analiz fani muhim ro’l o’ynaydi. Matematik analiz umuman olganda, matematikasiz hayotni tasavvur ham qilib bo’lmaydi. Matematika fanida ham haligacha yechimi topilmayotgan masalalar juda ko’p. Ularning ustida izlanish olib borish uchun esa bu fanni chuqur o’rganishimiz, bizni qiynab kelayotgan masalalarga yechim topishimiz, fanning rivojlanishi uchun qo’limizdan kelgunicha harakat qilishimiz kerak. Funksiya grafigining botiq qismini qavariq qismidan ajratuvchi nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi deb ataladi (14-shakl). 5-teorema .Agar funksiya intervalda ikkinchi tartibli hosilaga ega va da bo‘lsa, u holda funksiya grafigi intervalda qavariq (botiq) bo‘ladi. Isboti. d a bo‘lsin. Funksiya grafigida abssissali ixtiyoriy nuqta olamiz (15-shakl). Funksiyaning grafigi bu urinmadan pastda yotishini ko‘rsatamiz.Buning uchun nuqtada egri chiziqning ordinatasi bilan urinmaning ordinatasini solishtiramiz. Urinma tenglamasini tuzamiz: yoki U holda Lagranj teoremasiga ko‘ra bu yerda bilan ning orasida yotadi. Shu sababli yoki . ayirmaga Lagranj teoremasini takror qo‘llaymiz: bu yerda bilan ning orasida yotadi. Demak, Bu tengsizlikni tekshiramiz: 1) Agar bo’lsa, u holda , bo’ladi va yoki integrallashga oid mavzularni e`tabor bilan o`rganishimiz kerak. Shu jihatdan meni kurs ishim ham dolzarb mavzulardandir. O`z kurs ishimda bu mavzuni atroficha va chuqur yoritishga harakat. Kurs ishining maqsadi . Differensial hisob tushunchasi, funksiya differensiali va hosilasi, differensial hisobning asosiy teoremalari, differensial hisobning ba’zi tatbiqlarini chuqurroq o’rganish. Kurs ishining obyekti. Oliy va o’rta ta’lim muassasalarida Matematik analiz fanini o’qitish jarayoni. Kurs ishining predmeti. Matematik analiz fanining o’qitish metodi va vositalari. Kurs ishining vazifalari. Kurs ishining vazifasi mavzuga oid ma’lumotlarni yig’ib, differensial hisob va funksiya hosilasi tushunchasini bilish bilan birga uni amaliyotga tatbiq etabilishdan iborat. Kurs ishing hajmi va tuzilishi. Kurs ishi 2 ta bob, 1-bob 3ta paragrafdan, 2- bob 2ta paragrafdan iborat. Kurs ishi 25betdan ,kirish qismi xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan ruixatidan iborat. ch е ksiz uzoqlashgani sari nuqtadan bu to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofa nolga intiladi. Bunda nuqta asimptotaga juda yaqinlashib boradi, l е kin uni k е sib o‘tmaydi (16-shakl). Uch turdagi , ya ’ ni vertikal , gorizontal va og‘ma asimptotalar mavjud . Agar limitlardan hech bo‘lmaganda bittasi cheksiz bo‘lsa , to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigining vertikal asimptotasi deyiladi . Masalan , funksiya grafigi uchun to‘g‘ri chiziq vertikal asimptota , chunki va . Agar shunday va sonlari mavjud bo‘lib, da funksiya ko‘rinishda ifodalansa to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigining og‘ma asimptotasi deyiladi . 8-teorema . funksiya grafigi og‘ma asimptotaga ega bo‘lishi uchun bo‘lishi zarur va etarli. Isboti. Zarurligi. funksiya grafigi og‘ma asimptotaga ega bo‘lsin. U holda og‘ma asiimptotaning ta‘rifiga ko‘ra bo‘ladi. Bundan Foydalanilgan adabiyotlar 1. В . A. Илик , В . A. Садовничев , B. X. C едов “ Матемачиский анализ M: 1979. 2.T. A зларов , H. Ma нсуров “Ma тематик анализ ” 2- кисм . T: Укитувчи 1989. 3.N. Y.Vi1enkin vaboshq. Algebra va matematik anali z, 10- sinf. Matematika chuqur o‘rganiladigan maktablar va sinflar uchun. T., «O'qituvchi», 192. 4,Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami’’. A. Sa’dullayev, H. Mansurov, G. Xudoyberganov, A. Vorisov, R. G’ulomov. 5.,,Differensial va integral hisob ’’. I qism. N. S. Piskunov. Toshkent «o’qituvchi», 1974 6.,Differensial va integral hisob ’’. II qism. N. S. Piskunov. Toshkent «o’qituvchi», 1974 Internet saytlari 7.www.ziyonet.uz 8. www.pedagog.uz Isboti . da , da bo‘lsin. U holda 5-teoremaga ko‘ra nuqtadan chapda funksiya grafigi botiq va o‘ngda qavariq bo‘ladi. Demak, nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi. da va da bo‘lgan hol uchun teorema shu kabi isbotlanadi. Bu teorema funksiya nuqtaning biror atrofida ikkinchi tartibli hosilaga ega bo‘lib, nuqtada mavjud bo‘lmasa ham o‘rinli bo‘ladi. Shu sababli egilish nuqtalarni ikkinchi tartibli hosila nolga teng bo‘lgan yoki uzilishga ega bo‘lgan nuqtalar, ya’ni ikkinchi tur kritik nuqtalar orasidan izlash kerak. 2.2.1.misol. funksiya grafigini botiq va qavariqlikka tekshiramiz. Ikkinchi tartibli hosila nuqtalarda nolga teng va mavjud emas. hosilaning bu nuqtalardan chapdan o‘ngga o‘tishdagi ishoralarini tekshiramiz. Demak, funksiyaningg rafigi va intervallarda qavariq, va intervallarda botiq bo‘ladi. nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi. Egri chiziqning asimptotasi deb shunday to‘g‘ri chiziqqa aytiladiki, egri chiziqda yotuvchi nuqta egri chiziq bo‘ylab harakat qilib koordinata boshidan 1-teorema. funksiya intervalda chekli hosilaga ega bo’lsin. Bu funksiya shu intervalda o’suvchi bo’lishi uchun da bo’lishi zarur va yetarli. 2-teorema. funksiya intervalda chekli hosilaga ega bo’lsin. Bu funksiya shu intervalda kamayuvchi bo’lishi uchun da bo’lishi zarur va yetarli. 1.3.1.misol: Ushbu funksiyani o’suvchi va kamayuvchi bo’lishga tekshiring. Yechim: Bu funksiya da aniqlangandir. Uning hosilasi bo ’ ladi endi , ya ’ ni o ’ suvchi buladi , ya ’ ni kamayuvchi bo’lishga tekshiramiz: o’suvchi bo’ladi, Matematik analiz va differensial tenglamalar Reja Kirish I- bob. Funksiyaning o’zgarib borish 1.1 -§ Funksiya o’zgarmas qiymatini saqlash 1.2 -§ Funksiyaning monoton bo’lishi 1.3-§ Funksiyaning o’suvchiligi hamda kamayuvchiligi II-bob. Funksiyaning qavariqligi va botiqligi 2.1 -§ Funksiyaning egilish nuqtalari 2.2 -§ Funksiya grafigining assimtotalari Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar Demak , va to‘g‘ri chiziqlar vertikal asimptotalar bo‘ladi. ( da ham da ham ), Demak, to‘g‘ri chiziq da ham da ham gorizontal asimptota bo‘ladi. 6 0 . Funksiyaning monotonlik oraliqlarini aniqlaymiz va ekstremumlarini topamiz. . Birinchi tartibli hosila va da mavjud emas va da nolga teng. Bu nuqtalar berilgan funksiyaning aniqlanish sohasini to‘rtta intervallarga ajratadi. Hosilaning bu intervallardagi va har bir birinchi tur kritik nuqtadan chapdan o‘ngga o‘tishdagi ishoralarini chizmada belgilaymiz: Demak, funksiya intervalda o‘sadi va intervalda kamayadi. maksimum nuqta, . 8 0 .Funksiyaning qavariqlik va botiq-lik oraliqlarini hamda egilish nuqtalarini aniqlaymiz. Ikkinchi tartibli hosila va nuqtalarda mavjud emas. hosilaning intervallardagi va har bir ikkinchi tur kritik nuqtalardan chapdan o‘ngga o‘tishdagi ishoralarini tekshiramiz: Hosila va da nolga teng. Bu nuqtalar berilgan funksiyaning aniqlanish sohasini uchta intervallarga ajratadi. Hosilaning bu intervallardagi va har bir birinchi tur kritik nuqtadan chapdan o‘ngga o‘tgandagi ishoralarini chizmada belgilaymiz: Demak, funksiya intervalda o‘sadi va va intervallarda kamayadi. minimum nuqta, va maksimum nuqta 7 0 . Funksiyaning qavariqlik va botiqlik intervallarini hamda egilish nuqtalarini aniqlaymiz. . Ikkinchi tartibli hosila va nuqtalarda nolga teng. Bu nuqtalar funksiyaning aniqlanish sohasini . Intervallarga ajratadi. hosilaning bu intervallardagi va ikkinchi tur kritik nuqtalardan chapdan o‘ngga o‘tgandagi ishoralarini chizmada belgilaymiz: Demak, funksiyaning grafigi intervalda qavariq, va intervallarda botiq bo‘ladi, va funksiya grafigining egilish nuqtalari. 8 0 .1 0 - 7 0 bandlar asosida funksiya grafigini chizamiz I-BOB Funksiyaning o’zgarib borishi 1.1-§. Funksiya o’zgarmas qiymatini saqlash Funksiya intervalda aniqlangan bo’lsin. 1–teorema. Funksiya intervalda chekli hosilaga ega bo’lsin. Bu funksiya itervalda o’zgarmas bo’lishi uchun shu bo’lishi zarur va yetarli. Zarurligi. Shartga ko’ra funksiya intervalda o’zgarmas, yani hosilaga ega va intervalda istalgan va tayinlangan. Ravshanki, bu holda intervalda bo’ladi. Yetarliligi. Shartga ko’ra funksiya intervalda chekli yoki segmentni qaraylik: Lagranj teoremasiga ko’ra bilan nuqtalar orasida shunday nuqta mavjudki, ( bo’lishini hisobga olgan holda) (1.1) (1.1) tenglikdan tenglik orinli bo’ladi esa kelib chiqadi. Bu funksiya intervalda o’zgarmas ekanini anglatadi. 1–natija. Agar va funksiyalar intervalda chekli va hosilaga ega bo’lib, shu intervalda tenglik o’rinli bo’lsa, u holda bilan funksiyalar intervalda bir biridan o’zgarmas songa farq qiladi. Bundan . Demak, to‘g‘ri chiziq og‘ma asimptota. Funksiyalarning asimtotalari.Vertikal asimtotalar Faraz qilaylik a nuqtadagi bir tomonli limitlarining kamida bir cheksizga teng bo’lsin . U holda egri chiziqdagi nuqta da koordinatalar boshidan cheksiz uzoqlashadi, shu nuqtadan to’g’ri chiziqgacha bo’lgan masofa nolga intiladi. Demak, ta’rifga ko’ra to’g’ri chiziq egri chiziqning (funksiya grafigining) vertikal asimtotasi bo’ladi. Ravshanki , haqiqiy sonlar to’plamida uzluksiz bo’lgan funksiyalar uchun vertikal asimtota mavjud emas. Vertikal asimptota faqat ikkinchi tur uzilish nuqtalarida bo’lishi mumkin. 5 0 . Shunday qilib, funksiya grafigining qavariqlik va botiqlik oraliqlarini, egilish nuqtalarini topish uchun , oldin funksiya aniqlanish sohasini ikkinchi tur kritik nuqtalar bilan oraliqlarga bo’lish va bu oraliqlarda ikkinchi tartibli hosila ishorasini tekshirish kerak. Keyin yetarli shartlardan foydalanib, qavariqlik, botiqlik oraliqlari va egilish nuqtalari aniqlanadi. 2.2-§. Funksiya grafigining asimptotalari. 4-ta’rif . funksiya grafigidagi nuqta shu grafik bo’ylab cheksiz uzoqlashganda, undan biror to’g’ri chiziqqacha masofa nolga intilsa , bu to’g’ri chiziq funksiya grafigining asimptotasi deyiladi. bo’lsa, to’g’ri chiziq funksiya grafigining vertikal asimptotasi bo’ladi. va yoki limitlar mavjud bo ’ lsa , to ’ g ’ ri chiziq funksiya grafigining og ’ ma asimptotasi bo ’ ladi . bo’lsa, gorizantal asimptota bo’ladi. funksiya intervalda differensiallanuvchi bo‘lsin. U holda funksiya grafigining nuqtada urinmasi mavjud bo‘ladi. 2-ta’rif . Agar intervalning istalgan nuqtasida funksiya grafigi unga o‘tkazilgan urinmadan yuqorida (pastda) yotsa, funksiya grafigi botiq ( qavariq ) deyiladi. Demak, funksiyaning grafigi intervalda qavariq, intervallarda botiq bo‘ladi. Funksiya grafigining egilish nuqtasi yo‘q. 8 0 .1 0 - 7 0 bandlar asosida funksiya grafigini chizamiz (17-shakl). 2. funksiyani tekshiramiz va grafigini chizamiz. 1 0 . Funksiyaning aniqlanish sohasi: 2 0 . da bo‘ladi. Funksiya va o‘qlarini nuqtada kesadi. 3 0 . Funksiya va intervallarda musbat ishorali. 4 0 . Funksiya uchun va bo‘ladi. Demak, u umumiy ko‘rinishdagi funksiya. 5 0 . Funksiya aniqlanish sohasida uzluksiz bo‘lgani uchun u vertikal asimptotaga ega emas. Demak, da to‘g‘ri chiziq gorizontal assimptota. Demak, da funksiya assimptotaga ega emas. 6 0 . Funksiyaning monotonlik intervallarini aniqlaymiz va ekstremumlarini topamiz. bo‘lishi mumkin. Har qanday chegaralangan ketma-ketlikning limiti mavjud bo’lavermaydi. Limiti mavjud bo‘ladigan ketma-ketlik chegaralangan bo‘lishdan tashqari yana qandaydir xususiyatga ega bo‘lishi kerak. Ketma-ketlikning bunday xususiyati uning monotonligidir. Ketma-ketlikning limiti mavjud bo‘lishining asosiy belgisi uning bir vaqtda cliegaralangan va monoton bolishidir. Chegaralanganlik va monotonlik cheksiz ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishining yetarli shartlarini ifodalaydi. Shunday ekan biz berilgan ketma-ketlikning monotonlik xususiyatini va chegaralanganligini ko‘rsata olsak, albatta, bunday ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘ladi. Keyingi vazifa esa limitni hisoblash usulini tanlab, uni topishdan iboratdir (Teorema Veyershtrass). Har qanday monoton chegaralangan ketma-ketlik limitga ega bo ‘ladi. Bu teoremaning isbotini keltirmaymiz. Veyershtrass teoremasi ketma-ketlik limitining mavjud bo‘lishining yetarli shartlarini ifodalaydi. Lekin limitni topish usulini ko‘rsata olmaydi. Ko‘pchilik hollarda ketma-ketlik limitining mavjudligi haqida m a’lum ot berish bu limitni topish uchun yetarli bo‘ladi. 1.3-§. Funksiyaning o’suvchiligi hamda kamayuvchiligi Faraz qilaylik, funksiya oraliqda berilgan bo’lsin. Bizga ma’lumki, bo’lsa, funksiya da o’suvchi, bo’lsa, funksiya da kamayuvchi deyilar edi. Funksiya hosilasi yordamida uning o’suvchiligini hamda kamayuvchiligini aniqlash mumkin. 2) Agar bo‘lsa, u holda , bo‘ladi va bundan yoki Demak, da urinmaning ordinatasi funksiya grafigining ordinatasidan katta bo‘ladi va nterval da funksiya grafigi qavariq. da funksiya grafigi botiq bo‘lishi shu kabi isbotlanadi. Funksiya grafigining egilish nuqtasini topish quyidagi teoremalarga asoslanadi. 6-teorema ( egilish nuqta mavjud bo‘lishining zaruriy sharti ). Agar funksiya intervalda uzluksiz ikkinchi tartibli hosilaga ega va nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘lsa, u holda bo‘ladi. Isboti. Teskarisini faraz qilamiz, ya’ni , aniqlik uchun , bo‘lsin. Teoremaning shartiga ko‘ra ikkinchi tartibli hosila uzluksiz. U holda hosila nuqtaning biror atrofida musbat bo‘ladi va funksiya grafigi bu atrofda botiq bo‘ladi. Bu nuqta egilish nuqtaning abssissasi bo‘ladi mulohazasiga zid. Demak, qilingan faraz noto‘g‘ri va bo‘ladigan nuqtalarning barchasi ham funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘lmaydi. Masalan, funksiya grafigining nuqtasi egilish nuqta emas, ammo da . Demak, shart egilish nuqta mavjud bo‘lishining zaruriy sharti bo‘ladi. 7-teorema. ( egilish nuqta mavjud bo‘lishining yetarlilik sharti ) funksiya nuqtaning biror atrofida ikkinchi tartibli hosilaga ega bo‘lsin. Agar atrofning nuqtadan chap va o‘ng tomonlarida hosila har xil ishoraga ega bo‘lsa, u holda nuqta funksiya grafigining egilish nuqtasi bo‘ladi. (1.4) o’rinli (1.3) va (1.4) munosabatlardan intervalning barcha nuqtalarida tengsizlik o’rinli bo’lishini topamiz. Yetarliligi. Shartga ko’ra funksiya intervalda chekli hosilaga ega bo’lib, shu intervalda tengsizlik o’rinli. Endi intervalda va nuqtalarni olaylik. Bu holda segmentda funksiya Lagranj teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Lagranj teoremasiga muvofiq va nuqtalar orasida shunday nuqta mavjutki, ushbu (1.5) tenglik o’rinli boladi. (1.5) tenglikdan va da bo’lgani uchun bo’lishi kelib chiqadi .Demak , bo’lganda tengsizlik ham o’rinli bo’ladi bundan funksiya intervalda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lishi kelib chiqadi. Teorema isbotlandi Yuqorida ketma-ketlikning chegaralanganligi uning limitga ega bo‘lishi uchun zaruriy shart bo‘lishini inobatga olsak. Limitga ega bo‘lgan ketma-ketlik chegaralangan bo‘ladi. Lekin teskari mulohaza noto‘g‘ri Kirish Kim matematikani bilmasa, haqiqatni bilmaydi, Kim uni tushunmasa, zulmatta yashaydi. (Rene Dekart) Darhaqiqat, kelajak bugundan boshlanadi. Kelajagimiz poydevorini esa biz yoshlar quramiz. Xalqimizning ertangi kuni qanday bo`lishini bugungi yosh avlodning ta`lim va tarbiyasi belgilab beradi. Shuning uchun ham davlatimiz mustaqil bo`lganidan to bugungi kunga qadar butun mamlakat miqyosida ta`lim va tarbiya, ilm-fan, kasb-hunar o`rgatish tizimlari tubdan isloh qilinmoqda. Haqiqatdan ham, istiqlol davrida barpo etilgan,barcha shart-sharoitlarga ega bo`lgan akademik litsey va kasb-hunar kollejlari, oliy o`quv yurtlarida taxsil olayotgan, zamonaviy kasb-hunar va ilm-ma`rifat sirlarini o`rganayotgan , hozirdanoq ikki-uch tilde bemalol gaplashayotgan ming-minglab o`quvchilar, katta hayotga kirib kelayot-gan, o`z iste`dodi va salohiyatini yorqin namoyon etayotgan yosh kadrlarimiz misolida ana shunday orzu-intilishlarimiz bugunning o`zida o`z hosilini berayotgani- ni guvohi bo`lamiz. Muxtasar qilib aytganda, oxirgi yillarda ta`lim-tarbiya sohasida amalga oshirgan ko`lami va mohiyatiga ko`ra ulkan ishlarimiz biz ko`zlagan ezgu niyatlarimizga eri-shish, hech kimdan kam bo`lmayotgan hayot barpo etish, yoshlarimiz, butun xalqi- mizning ma’naviy yuksalishi yo`lida mustahkam zamin yaratdi,desak hech qanday xato bo`lmaydi. Respublikamiz prezidenti Shavkat Miromonovich Mirziyoyevning 2020-yil 6- noyabrdagi “O`zbekistonning yangi taraqqiyot davrida ta`lim-tarbiya va ilm-fan sohalarini rivojlantirish chora tadbirlari to`g`risidagi PF-6108-sonli qarori qabul qilindi.Bu qarorning oliy ta`lim sohasiga tegishli joyini ko`rib chiqsak; 2021-yil yanvar oyidan boshlab davlat oliy ta`lim tashkilotlariga kirish uchun test sinovi topshiriqlarini tuzish va ekspertizadan o`tkazishning yangi tartibi joriy qilindi,va unga muvofiq; Test sinovi topshiriqlari davlat ta`lim standartlari va o`quv dasturlari asosida tuziladi; Test sinovi materiallarining ma`no-mazmuni umumiy-o`rta ta`lim tizimidagi fanlarning o`quv dasturlariga moslashtiriladi; Abiturentlarning nazariy bilimlarini o`zlashtirish bilan birgalikda mantiqiy fikrlashi, masala va misollarni bajara olish qobiliyati va ta`limning keying bosqichiga tayyorgarligini baholaydigan, kompetensiyaga asoslangan test topshiriqlari ishlab chiqiladi; Bular birgina qaror holos. Bunaqa qaror va farmoyishlardan judayam ko`p. Joriy yilda abiturentlarga cheksiz ko`p oliy ta`lim muassalarini tanlash imkoniyati berilmoqda. May oyidan boshlab ijarada yashovchi talabalarning ijara to`lovlari to`lab berish boshlandi. Qizlarga ajratilgan alohida grantlar fikrimizning yana bir isbotidir. Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarning ongini rivojlantirishda matematikaning o`rni beqiyosdir. Matematikani o`zlashtira olgan bola har qanday boshqa yo`nalishni bemalol o`rgana olishi ayni haqiqatdir. Matematika fani o`sib kelayotgan yosh avlodni kamol topdirishda o`quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o`quvchi tafakkurini rivojlantirib, aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi. Shuning uchun ham davlatimizga yetuk matematiklar kerak.Matematik analiz fani matematika yo`nalishida tahsil oluvchi talabarning eng asosiy fanidir. Bu fan chuqur tahlilga asoslanadi. Bu fanning asosiy mavzularidan biri- integraldir. Integral mavzusining amaliy ahamiyati nihoyatda kattadir. Boshlang`ich funksiya va integral differensial tenglamalar fanining asosidir. Ko`pgina amaliy masalalar differensial tenglamaga olib kelinadi. Differensial tenglamalarni esa boshlang`ich funksiya toppish orqali yechamiz. Bundan kelib chiqadiki biz kamayuvchi bo ’ ladi . Bundan esa, da bo’lishini topamiz. Demak , berilgan funksiya da o ’ suvchi , da esa kamayuvchi bo ’ ladi . Misol: Hosilasi bo'lgan funksiyaning o’suvchiligi hamda kamayuvchiligi haqida nima deyish mumkin? Yechim: Bu masalani hal qilish uchun yoki tengsizliklarni yechish lozim. endi tengsizlikni yechamiz: , ke lib с hiqadi. Yetarliligi . bo‘lsin. U holda dan ke lib с hiqadi. Demak, da bo‘ladi. Bu esa to‘g‘ri chiziq funksiya grafigining asimptotasi ekanini bildiradi . Agar limitlardan hech bo‘lmaganda bittasi mavjud bo‘lmasa yoki cheksiz bo‘lsa, funksiya grafigi og‘ma asimptotaga ega bo‘lmaydi. Agar bo‘lsa, bo‘ladi. Bunda to‘g‘ri chiziqqa funksiya grafigining gorizontal asimptotasi deyiladi . Izoh. funksiya grafigining asimptotalari da va da har xil bo‘lishi mumkin. Shu sababli limitlarni aniqlashda va hollarini alohida qarash lozim. 2.2.2.misol: funksiya grafigining asimptotalarini topamiz . Demak , to‘g‘ri chiziq vertikal asimptota . Haqiqatan ham, (1.2) bo’lishini topamiz. Isbot etilgan teoremaga ko’ra bo’ladi munosabatdan kelib chiqadi. 1.2-§ Funksiyaning monoton bo’lishi funksiya intervalda aniqlangan bo’lsin. 2–teorema. funksiya intervalda chekli hosilaga ega bo’lsin. Bu funksiya shu intervalda o’suvchi (kamayuvchi) bo’lishi uchun intervalda tenglik o’rinli bo’lishi zarur va yetarli. Zarurligi. Shartda ko’ra funksiya da chekli hosilaga ega bo’lib, intervalda o’suvchi (kamayuvchi). nuqtani olib, u bilan birga nuqtada ham qaraymiz. U holda da da munosabatlar o’rinli bo’ladi va bu munosabatlardan har doim (1.3) tengsizlik kelib chiqadi. funksiya da chekli hosilaga ega bo’lgani uchun ushbu limit mavjud va chekli bo’lib, Demak, da bo’ladi. oraliqda esa bo’ladi. Shunday qilib, berilgan funksiya da kamayuvchi, da esa o’suvchi bo’ladi. II-BOB. Funksiyaning qavariqligi va botiqligi 2.1-§. Funksiyaning egilish nuqtalari 1-ta’rif . funksiyaning grafigi oraliqning istalgan nuqtasidan unga o’tkazilgan urinmadan pastda yotsa, funksiya grafigi shu oraliqda qavariq deyiladi. 2-ta’rif . funktsiyaning grafigi oraliqning istalgan nuqtasidan unga o’tkazilgan urinmadan yuqorida yotsa, funksiya grafigi shu oraliqda botiq deyiladi. 3-ta’rif . Funksiya grafigining qavariq qismini , botiq qismidan ajratuvchi nuqta egilish nuqtasi deyiladi. Funksiya grafigining qavariq yoki botiq bo’lishining yetarli shartlari: 1) oraliqda differentsiallanuvchi funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi manfiy, ya’ni bo’lsa, bu oraliqda funksiya grafigi qavariq bo’ladi; 2) oraliqda differentsiallanuvchi funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi musbat , ya’ni bo’lsa, bu oraliqda funksiya grafigi botiq bo’ladi. va mavjud bo’lmagan nuqtalarga ikkinchi tur kritik nuqtalar deyiladi. Egilish nuqtalari mavjud bo’lishining yetarli sharti. nuqta funksiya uchun ikkinchi tur kritik nuqta bo’lsa va ikkinchi tartibli hosila bu nuqtadan o’tishda ishorasni o’zgartirsa, abstsissali nuqta egilish nuqtasi bo’ladi.
Купить