Matlab dasturi yordamida ikki o’zgaruvchili issiqlik tarqalish tenglamasini chekli ayirmalar yordamida taqribiy yechish

Информация о документе

Цена	35000UZS
Размер	398.9KB
Покупки	0
Дата загрузки	21 Апрель 2025
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Telzor Uchun

Дата регистрации 21 Апрель 2025

0 Продаж

Matlab dasturi yordamida ikki o’zgaruvchili issiqlik tarqalish tenglamasini chekli ayirmalar yordamida taqribiy yechish

Купить

KIRISH
Issiqlik tarqalish tenglamasi fizika va matematikada asosiy o‘rin tutuvchi
tenglamalardan biri bo‘lib, u turli muhitlarda issiqlikning vaqt o‘tishi bilan qanday
tarqalishini tasvirlaydi. Ushbu tenglama nafaqat nazariy bilimlar uchun muhim,
balki ko‘plab amaliy masalalarni yechishda ham qo‘llaniladi. Masalan, qurilishda
materiallarning issiqlik o‘tkazuvchanligini aniqlash, elektronika sohasida
chiplarning issiqlik tarqalishini modellashtirish va boshqa ko‘plab amaliyotlarda
bu tenglama asosiy o‘rinni egallaydi.
Zamonaviy fan va texnologiyada bu masalalarni raqamli usullar yordamida
yechish yanada dolzarb bo‘lib bormoqda. Shu sababli, ikki o‘zgaruvchili issiqlik
tarqalish tenglamasini yechish uchun samarali raqamli usullarni ishlab chiqish va
tadqiq qilish muhim vazifalardan biridir. Ushbu kurs ishida issiqlik tarqalish
tenglamasini yechishda chekli ayirmalar usuli qo‘llaniladi, chunki u differensial
tenglamalarni yechishda eng keng tarqalgan va ishonchli usullardan biri
hisoblanadi.
Issiqlik tarqalish tenglamasi fizikadagi va matematika sohasidagi eng muhim
tenglamalardan biridir. Bu tenglama turli muhitlarda issiqlikning vaqt o‘tishi bilan
qanday tarqalishini tasvirlaydi. Uning qo‘llanilishi nafaqat nazariy jihatdan, balki
amaliy fanlarda ham keng tarqalgan. Masalan, muhandislikda qurilish
materiallarining issiqlik o‘tkazuvchanligini hisoblash, atrof-muhit monitoringida
iqlim o‘zgarishini tahlil qilish, shuningdek, biologiyada organizmlarning issiqlik
tarqalishi jarayonlarini o‘rganishda ushbu tenglamaning ahamiyati kattadir. Shu
nuqtai nazardan, issiqlik tarqalish tenglamasini yechishda samarali usullarni ishlab
chiqish va tahlil qilish dolzarb vazifalardan biri hisoblanadi.
Mazkur kurs ishida ikki o‘zgaruvchili issiqlik tarqalish tenglamasini
yechishda chekli ayirmalar usulini qo‘llash masalasi ko‘rib chiqiladi. Chekli
ayirmalar usuli differensial tenglamalarni yechishda keng qo‘llaniladigan va yuqori
aniqlik bilan yechim topishga imkon beradigan raqamli usullardan biridir. Ushbu
usulning dolzarbligi shundan iboratki, u matematik hisob-kitoblarni algoritmlar
shaklida amalga oshirishga moslashgan va zamonaviy kompyuter
3

texnologiyalaridan foydalangan holda masalalarni samarali hal etishga yordam
beradi.
Kurs ishining dolzarbligi: Zamonaviy dunyoda differensial tenglamalar
yordamida turli murakkab jarayonlarni modellashtirish amaliy fanlarning muhim
qismi hisoblanadi. Issiqlik tarqalish tenglamasi nafaqat issiqlik jarayonlarini, balki
boshqa fizik, kimyoviy va biologik hodisalarni tushuntiradi. Chekli ayirmalar usuli
kabi raqamli usullarning rivoji ushbu jarayonlarni aniq va samarali
modellashtirishga imkon beradi. Shuning uchun bu kurs ishi ikki asosiy masalaga
yo‘naltiriladi: issiqlik tarqalish jarayonlarini chuqur tushunish va ularni matematik
jihatdan hal qilishning raqamli usullarini tadqiq qilish.
Kurs ishining maqsadi: Kurs ishining asosiy maqsadi ikki o‘zgaruvchili
issiqlik tarqalish tenglamasini yechishda chekli ayirmalar usulini qo‘llashni
o‘rganish va uning qo‘llash sohalarini tahlil qilishdan iborat. Shuningdek, ushbu
usulning afzallik va cheklovlarini o‘rganish orqali uning samaradorligini baholash
ham ushbu ishning asosiy maqsadidir.
Kurs ishining vazifalari: Issiqlik tarqalish tenglamasining matematik
modelini tahlil qilish.
1. Chekli ayirmalar usulining nazariy asoslarini o‘rganish va ularning
matematik formulalarini aniqlash.
2. Chekli ayirmalar usulining ikki o‘zgaruvchili issiqlik tarqalish
tenglamasi uchun qo‘llanilishini o‘rganish.
3. Algoritmlar yordamida amaliy misollarni yechish va natijalarni tahlil
qilish.
4. Issiqlik tarqalishi masalasini yechishda chekli ayirmalar usulining
afzalliklari va cheklovlarini aniqlash.
5. Chekli ayirmalar usulini dasturiy modellashtirish orqali natijalarni
vizualizatsiya qilish.
Kurs ishining tuzilishi : kirish, ikkita bob, har bobda ikkitadan rejalar,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar.
4

I.BOB. ISSIQLIK TARQALISH TENGLAMASI VA CHEKLI
AYIRMALAR USULI ASOSLARI
1.1. Issiqlik tarqalish tenglamasining matematik modeli.
Issiqlik Tarqalish Tenglamasining Matematik Modeli
1. Issiqlik Tarqalish Jarayonining Fizik Asoslari
Issiqlik tarqalish jarayoni fizik muhitda energiyaning yuqori haroratli
nuqtalardan past haroratli nuqtalarga qarab uzatilishini anglatadi. Bu jarayon
Fourier qonuniga asoslanadi:
bu yerda:
- q – issiqlik oqimi (energiyaning birlik vaqtda o‘tuvchi miqdori),
- k – issiqlik o‘tkazuvchanlik koeffitsienti, bu materialning issiqlikni qanday
o‘tkazishini ko‘rsatadi,
- ∇ u – harorat gradienti, ya’ni haroratning fazoviy o‘zgarish tezligi.
Bu qonun issiqlik oqimi har doim issiqlik tarqaladigan hududda yuqori
haroratdan past haroratga qarab yo‘nalishini tasdiqlaydi.
2. Issiqlik Tarqalish Tenglamasining Umumiy Matematik Modeli
Issiqlik tarqalish tenglamasi uch o‘lchamda quyidagicha yoziladi:
Bunda:
– harorat,
– issiqlik tarqalish koeffitsienti, material xususiyatlariga
bog‘liq.
Ikki o‘lchamli model:
Bir o‘lchamli model:
5

Chegaraviy va Boshlang‘ich Shartlar
Differensial tenglamani yechishda boshlang‘ich va chegaraviy shartlar
qo‘llaniladi. Ushbu shartlar muammoning fizik mohiyatini to‘liq aks ettiradi.
- Boshlang‘ich shartlar: t=0 vaqtda haroratning boshlang‘ich tarqalishini
ko‘rsatadi:
- Chegaraviy shartlar: issiqlikning o‘tkazilishi yoki chegaralarda qanday
harakatlanishini aniqlaydi:
1. Dirixle sharti:
2. Neyman sharti:
3. Robin sharti:
4. Issiqlik Tarqalish Tenglamasini Yechish Usullari
Issiqlik tarqalish tenglamasini yechish uchun quyidagi asosiy usullar
qo‘llaniladi:
- Analitik usullar:
1. Ajratish usuli (Separation of Variables): Tenglama va shartlarni ajratib,
oddiy funksiyalar yig‘indisi sifatida yechim topiladi.
2. Fourier qatori usuli: Haroratni trigonometrik funksiyalar qatorlari
sifatida ifodalaydi.
3. Laplas va Furye transformatsiyalari: Transformatsiya yordamida
tenglamani oson yechishga mos shaklga keltiradi.
- Raqamli usullar:
1. Chekli ayirmalar usuli (Finite Difference Method): Fazoviy va vaqt
o‘zgaruvchilarini diskretlashtirish orqali tenglamani raqamli yechadi.
2. Chekli elementlar usuli (Finite Element Method): Tenglamani mayda
elementlarga bo‘lib, yechimni lokal funksiyalar yig‘indisi sifatida ifodalaydi.
3. Chekli hajmlar usuli (Finite Volume Method): Energiya balansi asosida
hosil qilinadigan tenglamalar tizimini yechadi.
5. Amaliy Qo‘llanilish Sohalari
6

Issiqlik tarqalish tenglamasi turli sohalarda qo‘llaniladi:
- Muhandislik: Qurilish materiallarining issiqlik o‘tkazuvchanligini
hisoblash, energetik qurilmalarning samaradorligini oshirish.
- Meteorologiya: Iqlim o‘zgarishini modellashtirish, tuproq va suvning
issiqlik dinamikasini tahlil qilish.
- Elektronika: Komponentlarning ortiqcha qizishini oldini olish uchun
issiqlik tarqalishini aniqlash.
- Biologiya: Tirik organizmlardagi issiqlik almashinuv jarayonlarini
o‘rganish.
- Kimyo va farmatsevtika: Reaktor va mahsulotlarning issiqlik ta’sirida
qanday harakat qilishini kuzatish.
6. Raqamli Modellashtirishning Ahamiyati
Bugungi kunda issiqlik tarqalish jarayonlarini tahlil qilishda raqamli
modellashtirish keng qo‘llaniladi. Bu, ayniqsa, murakkab geometrik shakllar yoki
murakkab chegaraviy shartlar mavjud bo‘lgan hollarda qo‘l keladi. Chekli
ayirmalar usuli yordamida differensial tenglamani diskret ko‘rinishga keltirish va
kompyuter algoritmlari orqali yechim topish matematik va texnik amaliyotning
muhim qismidir.
7. Issiqlik Tarqalish Tenglamasining Cheklovlari
Ushbu tenglama bir qator soddalashtiruvchi taxminlarga asoslanadi:
- Muhit gomogen va izotrop deb hisoblanadi (bir xil issiqlik xususiyatlariga
ega).
- Issiqlik tarqalish tezligi muhitning haroratiga bog‘liq emas deb olinadi.
- Fazoda haroratning aniqligi cheklangan bo‘lishi mumkin.
Murakkabroq holatlarni modellashtirishda bu tenglamaga qo‘shimcha
noxatoliklar kiritilishi kerak.
Issiqlik tarqalish tenglamasi turli jarayonlarni modellashtirish va tahlil qilish
uchun asosiy matematik vositadir. Uning nazariy va amaliy ahamiyati katta bo‘lib,
muhandislikdan biologiyaga, iqlimshunoslikdan elektronika sohasigacha keng
qo‘llaniladi. Chekli ayirmalar va boshqa raqamli usullar yordamida tenglamaning
7

samarali yechimlari topilib, bu usullar zamonaviy texnologiyalarda keng
foydalanilmoqda. Shu sababli, ushbu tenglamaning fizik va matematik asoslarini
o‘rganish muhim ilmiy vazifalardan biridir.
8

1.2. Chekli ayirmalar usulining nazariy asosi.
Bugungi kunda inshootlar qurish loyixalarining muttasil murakkablashib
borishi, yangi konstruktiv yechimlarning loyixalardan urin olishi, seysmik aktiv
joylarda binolar mustaxkamligiga kuyiladigan talablarning ortishi loyixa
kursatkichlarini chukur asoslash zaruriyatini keltirib chikaradi. Bunday kurilish
masalalari bilan bir katorda suv ta’minoti va kanalizatsiya, issiklik ta’minoti,
kommunal xujaligi va boshka bir kator muammolarni xal kilish uchun tegishli
amaliy masalalarni yechish kerak buladi.
Yukoridagi turli soxalarga tegishli masalalarni yechishda asosan kuyidagi
konstruksiyalardan foydalaniladi.
1) 2) 3)

Anikrok kilib aytadigan bulsak:
1) Ikki chetidan sharnirli maxkamlangan, elastik tusinning yukoridan
beriluvchi kuch ta’sirida egilishi
(bunda chetki a,b nuktalar uchun u(a)
= 0, u(b) = 0 shartlar kuyiladi.)
2) Bir uchidan maxkamlangan elastik tusinning tashkaridan beriluvchi kuch
ta’sirida egilishi (bunda esa chetki a,b nuktalar uchun u(a)
= 0, u’(b) = 0
shartlar kuyiladi.)
3) Ikki uchi maxkamlangan tusinning yukoridan beriluvchi kuch ta’sirida
egilishi (bunda u(a)
= 0, u(b) = 0 shartlar kuyiladi.)
Bu konstruksiyalarning egilish va sikilish xolatlariga chidamliligini
tekshirish va ulardan amaliy inshootlarni kurishda foydalanish uchun ularning
9

matematik modellarini kurish lozim buladi. Mazkur masalalarning matematik
modeli kuprok kuyidagi kurinishdagi ikkinchi tartibli, uzgaruvchan koeffitsientli
oddiy differensial tenglamalar orkali ifodalanadi, ya’ni:
(1)
differensial tenglamaning yechimlariga [a, b] oralikning chetki a va b
nuktalarida
(2)
chegaraviy shartlar berilgan bulsin, (1) tenglama va (2) chegaraviy shartlarni
kanoatlantiruvchi funksiya differensial tenglamaning xususiy yechimi
deyiladi.
(1) da berilgan koeffitsient funksiyalarning [a, b] oralikda
uzluksizligi talab kilinadi. chegaraviy shart belgilari bulgan
uzgarmas sonlar xisoblanadi.
Bu uzgarmaslarga turli kiymatlar berilishi orkali zarur bulgan chegaraviy
shartni xosil kilishimiz mumkin.
kuyilgan chegaraviy masalaning turgun yechimini olish uchun bu
uzgarmaslar kuyidagi shartlarni kanoatlantirishi lozim:
;
Ayrim paytlarda yechilishi lozim bulgan masalalarning matematik modellari
turtinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar orkali xam ifodalanishi mumkin.
Amalda kupincha turtinchi tartibli differensial tenglamalarning kuyidagi
kurinishi uchraydi:
bu yerda k kiymati anik beriluvchi koeffitsient xisoblanadi. Bu differensial
tenglama uchun kuyidagi belgilashlarni kiritib, uni ikkinchi tartibli differensial
tenglamalar sistemasiga keltirish mumkin.
10

noma’lum funksiyani funksiya orkali belgilab olib, kuyidagi
almashtirishlar kilamiz, ya’ni:
Shunday kilib, turtinchi tartibli differensial tenlamaning urniga ikkita
ikkinchi tartibli differensial tenglamalar sistemasini xosil kilamiz. Shuning uchun
biz asosan ikkinchi tartibli differensial tenglamalarning chegaraviy shartlarni
kanoatlantiruvchi xususiy yechimlarini topishni urganamiz.
Avval ta’kidlab utganimizdek, ikkinchi tartibli differensial tenglamalarda
xususiy yechimni ajratib olish uchun ikkita kushimcha shart, ya’ni chegaraviy
shartlar berilgan bulishi lozim. Bundan buyon kulaylik uchun ikkinchi tartibli
oddiy differensial tenglamalarni yechish masalasini chegaraviy masala deb
yuritamiz.
Chegaraviy masalalarni yechish usullarini kuyidagi guruxlarga bulish
mumkin:
1. analitik usullar
2. sonli-takribiy usullar
3. takribiy-analitik usullar.
1. Analitik usullar bilan oliy matematika kursida tanishganmiz. Unda
chizikli, bir jinsli bulmagan differensial tenglamaning umumiy yechimi bu
tenglamaning xususiy yechimi va mos bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi
yigindisidan iboratdir. Chizikli bir jinsli tenglamalarning umumiy yechimini topish
uchun esa uning xususiy yechimlari fundamental sistemasini topish kerak buladi.
Xususiy yechimlarni differensial tenglamalarga mos xarakteristik tenglamalar
yordamida topiladi. Yukoridagi barcha bajariladigan amallar differensial
tenglamaning kurinishi juda sodda bulgandagina biror bir natija berishi mumkin.
Demak, analitik usullar bilan barcha ikkinchi tartibli differensial
tenglamalarni yechish imkoni deyarli yuk.
11

2. Sonli-takribiy usullar.
Sonli-takribiy usullarda yechim sonlar yoki sonlar jadvali kurinishida
olinadi.
Albatta, bunda differensial tenglamalar oldin diskret tenglamalar bilan
almashtirib olinadi. Sonli usullarning imkoniyatlari boshka takribiy usullarga
karaganda ancha kengdir. Sonli usullar ikki guruxga bulinadi:
1) Chegaraviy masalalarni Koshi masalasiga keltiruvchi usullar;
2) Chekli ayirmalar usuli.
Sonli usullar ichida eng kup ishlatiladigani chekli ayirmali usullardir.
3. Takribiy-analitik usullar.
Bu usulda differensial tenglama va kushimcha shartlar u yoki bu darajada
soddalashtirilib, masala osonrok masalaga keltiriladi. Takribiy-analitik usullarga
Galyorkin usuli, eng kichik kvadratlar usuli, kollokatsiya usuli, Rits va boshkalar
kiradi. Amalda eng kup ishlatiladigan amallardan biri bu Galyorkin usulidir.
Chekli ayirmalar usuli
Demak, bizga kuyidagi
(1)
ikkinchi tartibli, uzgaruvchan koeffitsentli oddiy differensial tenglamaningx∈[a,b]
oralikning chetki nuktalarida kuyilgan
(2)
chegaraviy shartlarni kanoatlantiruvchi yechimini topish lozim bulsin.
Bu yerda lar [a, b] oralikda uzluksiz funksiyalar sinfiga
kiradi. - uzgarmaslar, ya’ni chegaraviy shart belgilari.
Yukoridagi masalani sonli-takribiy usul xisoblanmish chekli ayirmalar usuli
bilan yechish uchun yechim kidiriladigan [a,b] oralikda kuyidagi turni kiritamiz,
12

ya’ni oralikni koordinatalari formula bilan aniklanuvchi tugun nuktalar
bilan bulaklarga bulamiz, bu yerda , n - tugun nuktalar soni.
nuktalar uchun yukoridagi (1) tenglama urinli bulgani uchun, uni shu
nuktalarda yozib olamiz:
kulaylik uchun, bu tenglamani kuyidagi kurinishda yozib olamiz:
(3)
Ma’lumki, izlanuvchi funksiyaning xi nukta atrofidagi Teylor katoriga
yoyilmasini kuyidagicha ifodalash mumkin:
(4)
yoki
(4’)
(4) va (4’) katordagi ikki va undan yukori tartibli xosilalar katnashgan
xadlarni tashlab yuborsak, izlanuvchi funksiyaning
xi nuktadagi xosilalari uchun
kuyidagi takribiy xisoblash formulalari xosil buladi.
(4) formuladan (5)
(4’) formuladan
y'(xi)≈y(xi)−y(xi−1)
h (6)
formulalar kelib chikadi.
(5)-formula ung chekli ayirmali formula, (6)-formula chap chekli ayirmali
formula deyiladi.
Bu formulalar O(h) mikdorli xatoliklar bilan baxolanadi.
Endi (4) va (4’) Teylor katoridagi uchinchi va undan yukori tartibli xosilalar
katnashgan xadlarni tashlab yuborib, xosil bulgan takribiy tengliklarni ayirish
13

xisobiga birinchi tartibli xosilani takribiy xisoblashning markaziy chekli ayirmali
formulasini xosil kilamiz:
(7)
bu almashtirishning xatolik darajasi O(h 2
) mikdor bilan belgilanadi.
Agar yukoridagi (4) va (4’) formuladagi 2 tartibli xosila katnashgan xadni
xam kushib olib, xosil bulgan tengliklarni xadlab kushsak, y''=y(xi+1)−2y(xi)+y(xi−1)
h2
(8)
dan iborat izlanuvchi funksiyaning
xi nuktalari uchun ikkinchi tartibli
xosilasini takribiy xisoblash formulasi kelib chikadi. Bu almashtirishning xatoligi
xam O(h 2
) mikdor bilan baxolanadi.
(1) differensial tenglamadagi
y',y'' xosilalar urniga xosil kilingan chekli
aymrmali formulalarni kuyamiz va (1) differensial tenglama urniga xosilalar
katnashmagan va
yi noma’lumlardan iborat tenglamalarni xosil kilamiz.
(7) va (8) takribiy kattaliklarni (1) differensial tenglamaga kuyamiz:
yi+1−2yi+yi−1
h2 +pi
yi+1− yi−1
2h +qiyi= fi
.
Xosil bulgan tenglamani xar ikkala tomonini
h2 ga kupaytiramiz va mos
xadlarni gruppalaymiz:
yi+1(1+pih
2 )− yi(2+h2qi)+yi−1(1− pih
2 )= fih2
buladi.
kuyidagicha belgilashlar kiritish natijasida:
Ai=1+h
2 pi
Bi= 2−h2qi
Ci=1−h
2 pi
Di=h2fi
(9)
kuyidagi tenglamalar sistemasini xosil kilamiz:
Aiyi+1−Biyi+Ciyi−1=Di
(10)
Bu yerda
i=1,n−1 gacha uzgargani uchun i ga mos kiymatlarni berib,
kuyidagi tenglamalar sistemasini xosil kilamiz:
14

A1y2−B1y1+C1y0= D1
A2y3−B2y2+C2y1= D2
A3y4−B3y3+C3y2=D3 (11)
. . . . . . . . . . . . . . . . .
Anyn+1−Bnyn+Cnyn−1= Dn
Xosil bulgan sistema
y0,y1,...,yn lardan iborat ( n+1 )ta noma’lumli, (n−1) ta
tenglamadan iborat uch diagonalli chizikli tenglamalar sistemasidan iborat.
Uch diagonalli bulishiga sabab, sistemadagi xar bir tenglamada fakat 3 tadan
noma’lum katnashgan xadlar mavjud bulib, sistemada ularning joylashgan urni
asosiy diagonal, uni pasti va yukorisidagi diagonallarga mos keladi
Ma’lumki, tenglamalar sistemasining yagona yechimini aniklash uchun
tenglamalar va noma’lumlar soni teng bulishi kerak. Shuning uchun ikkita
tenglamani chegaraviy shart xisobiga tuldirib olamiz.
x0 va xn oralikning chetki
nuktalari uchun (2) shartlarni kuyidagicha yozib olamiz:
{m0y0+m1y0
¿
=m2¿¿¿¿
y0
¿,yn
¿
-larni mos ravishda (5) va (6) chekli ayirmalar formulalar bilan
almashtiramiz, ya’ni
y(x) ni x= x0 yoki x=a nuktadagi xosilasi uchun ung chekli
ayirma formulasini,
x= xn yoki x=b nuktadagi xosilasi uchun chap chekli ayirma
formulasini kuyamiz:
g0yn+g1
yn− yn−1
h
= g2
Xosil bulgan tenglamalarni h ga kupaytirib, uxshash xadlarni yigamiz.
{(hm 0−m1)y0+m1y1=hm 2¿¿¿¿
(12)
15

kuyidagicha belgilashlarni kiritib ,A0= hm 0− m1
C0=hm 2
Bn=− g1
B0= m1
An= hg 0+g1
Cn= hg 2
Xosil kilingan tenglamalarni (10) tenglamalar sistemasiga “ulaymiz” va
natijada (
n+1 )ta noma’lumli, ( n+1 )ta tenglamadan iborat y0,y1,...,yn
noma’lumlarga nisbatan yozilgan kuyidagi chizikli algebraik tenglamalar
sistemasiga ega bulamiz:
{A
0
y
0
+B
0
y
1
=C
0¿{A
i
y
i+1
−B
i
y
i
+C
i
y
i−1
=D
i¿¿¿¿
(
i=1,n−1 ) (13)
Ma’lumki, kidirilayotgan takribiy yechimning aniklik darajasini oshirish
uchun [a,b] oralikda kiritilgan
xi= a+ih turning h kadamini kichraytirish lozim.
Bu mikdorni kichraytirish uchun esa uz navbatida tugun nuktalar
xi ning sonini
keskin oshishiga olib keladi. Shunday kilib, kuyilgan masalani zarur aniklikda
yechish uchun xosil kilingan (13) sistemaning tartibi ming, ayrim xollarda esa un
mingdan xam ortik bulishi mumkin.
Yukorida eslatganimizdek, sistemaning xar bir tenglamasida fakat
uchtadangina noma’lum katnashgan xadlar mavjud. kolgan noma’lumlarning
koeffitsentlari 0 ga teng. Agarda biz bunday sistemani an’anaviy usullar(Gauss,
Kramer, teskari matritsa kabi) yordamida yechmokchi bulsak, nollar ustida
ma’nosiz bulgan xajmdagi amallarni bajarishimizga tugri keladi.
Shuning uchun, bunday maxsus sistemalarni yechishning maxsus usullari
ishlab chikilgan. Bu usullarning eng soddasi, dasturlashga kulayi, xatolar
yigilmasini xosil kilmaydigani “xaydash” usuli xisoblanadi.
kuyida “Xaydash ” usulining kiskacha moxiyati bilan tanishib chikamiz.
Maxsus, diagonalli sistemalarni yechishga muljallangan “Xaydash” usuli
ikki boskichdan iborat:
- noma’lum koeffitsentlarni aniklash (tugri boskichi)
- sistemaning yechimlarini aniklash (teskari) boskichi.
16

1-boskichda (13) sistemaning noma’lum yechimini kuyidagi kurinishda
kidiramiz:yi=αi+1yi+1+βi+1 yi+1= αiyi+βi
(14)
bu yerda
αi+1 va βi+1 noma’lum xaydash koeffitsentlari.
Noma’lum
αi+1,βi+1 koeffitsentlarni topish uchun (14)
tenglikni
x= xi va x=xi−1 nuktalardagi kurinishini (13) formuladagi
ikkinchi tenglamaga ketma-ket kuyib,
Aiyi+1− Bi(αi+1yi+1+βi+1)+Ci(αi(αi+1yy+1+βi+1)+βi)= Di
yoki
(Ai− Biαi+1+Ciαiαi+1)yi+1+(− Biβi+1+Ciαiβi+1+Ciβi− Di)=0
ni xosil kilamiz.
Bu chizikli ifoda aynan 0 ga teng bulishi uchun, barcha koeffitsentlar 0
bulishi kerakligini xisobga olib, kuyidagi tenglamalarni xosil kilamiz:
{Ai− Biαi+1+Ciαiαi+1= 0¿¿¿¿
¿
¿
Xosil kilingan tengliklardan
αi+1,βi+1 noma’lum koeffitsentlarni topish
unchalik kiyin emas.
αi+1= Ai
Bi−Ciαi
;
βi+1= ciβi− Di
Bi−Ciαi ; i=1,n−1 (15)
Mazkur rekkurent formuladagi barcha
α1 va βi+1 larni aniklash uchun yoki
boshkacha aytganda rekkurent formulani “yurishi” uchun dastvlabki
α1 va β1
kiymatlarni topishimiz kerak. Bu kiymatlarni topishimiz uchun
x= a nuktadagi
chegaraviy shartdan xosil kilingan (13) formuladagi birinchi tenglamadan
foydalanmiz.
A0y0+B0y1=C0
tenglamani xar ikkala tomonini A0 ga bulib, y0 ni topamiz:
y0=− B0
A0
y1+C0
A0
;
17

Keltirib chikarilgan formulani (14) formulaning i= 0 dagi kiymatida xosil
kilingan
y0=α1,y1+β1 bilan solishtirish natijasida
αa =−
B0
A0
;
β1=
C0
A0 ekanligi kelib chikadi.
Eslatib utamiz,
A0,B0,C0 larning kiymati oldinrok aniklangan edi.
α1,β1
lar ma’lum bulgach, barcha keyingi αi,βi lar (15) rekkurent
formuladan topiladi. Bu jarayon “xaydash” usulining tugri boskichini tashkil etadi.
2-boskichda
αi,βi noma’lum koeffitsentlarning barcha kiymatlari topilgach
(14) rekkurent formula yordamida kidirilayotgan yechim
yi larni topish mumkin,
bu yerda xam rekkurent formulaning ishlashi uchun dastlabki kiymat sifatida
yn ni
aniklash lozim. Bu ishni bajarish uchun
x=b nuktadagi chegaraviy shartdan xosil
kilingan (13) sistemaning uchinchi tenglamasi
Anyn+Bnyn−1=Cn
va (14) formulaning
i= n−1 nuktadagi kurinishidan
foydalanamiz, ya’ni ularni sistema deb karab, bu sistemadan
yn ni aniklaymiz.
yn= Cn− Bnβn
An+Bnαn
kidirilayotgan
yn xisoblangach, yi=αi+1⋅yi+1+βi +1 rekkurent formulasi
yordamida (
i=n−1,0 ) barcha kolgan yechimlar topiladi.
Bu jarayon
i ga nisbatan teskari tartibda bulgani uchun, uni xaydashning
teskari boskichi deb ataymiz.
18

II.BOB. CHEKLI AYIRMALAR USULINI QO‘LLASH VA DASTURIY
REALIZATSIYA
2.1. Chekli ayirmalar sxemalarining turlari va ularning barqarorligi.
1. Chekli Ayirmalar Sxemalarining Turlari
Chekli ayirmalar (конечные разности) usullari differensial tenglamalarni
yechishda va sonli hisoblashda keng qo'llaniladi. Bu usullarning sxemalari
hisoblash algoritmlarini tuzishda va ularning xususiyatlarini o'rganishda muhim rol
o'ynaydi. Quyida chekli ayirmalar sxemalarining asosiy turlari bilan tanishtirib
o'tamiz.
1. Eksplisit (ochiq) sxemalar
Eksplisit sxemalarda joriy paytdagi qiymatlar faqat avvalgi qadamdagi
ma'lumotlarga asoslanib hisoblanadi. Bular sodda va tezkor hisoblanadi, lekin
turg'unlik sharti (stability condition) qattiqroq bo'ladi.
Misol:
- Eylеrning eksplisit usuli
- To'lqin tenglamasi uchun eksplisit sxema
Afzalliklari:
- Oson amalga oshiriladi.
- Hisoblash tezligi yuqori.
Kamchiliklari:
- Turg'unlik masalalari tez-tez yuzaga keladi.
2. Implitsit (yopiq) sxemalar
Implitsit sxemalarda yangi vaqt qatlamidagi qiymatlar tenglamaning o'zi
orqali hisoblanadi. Bu sxemalar odatda turg'unroq bo'ladi, lekin hisoblash qiyinroq
va qimmatroq.
Misol:
- Eylеrning implitsit usuli
- Trapesiya usuli
- Krank-Nikolson usuli
Afzalliklari:
19

- Turg'unlik yuqori.
- Katta vaqt qadamlarida ishlashga imkon beradi.
Kamchiliklari:
- Hisoblashda murakkabroq va resurs talab qiladi.
3. Yarim eksplisit (yoki yarim implitsit) sxemalar
Bu sxemalar eksplisit va implitsit usullarning kombinatsiyasidir. Ba'zi
qismlar eksplisit, ba'zilari esa implitsit hisoblanadi.
Misol:
- Alternatsiyalangan yo'nalishlar usuli (ADI - Alternating Direction Implicit)
Afzalliklari:
- Turg'unlik va samaradorlikning yaxshi muvozanati.
- Yirik masalalarda oson ishlatiladi.
Kamchiliklari:
- Yechimni qo'llash uchun ba'zan murakkab o'zgartirishlar talab qilinadi.
4. Markaziy (simmetrik) sxemalar
Markaziy ayirmalar usulida hosilalar o'rtacha qiymatlar bilan taxmin
qilinadi. Bular yuqori aniqlikni ta'minlaydi, ammo turg'unlikka sezgir bo'lishi
mumkin.
Misol:
- Markaziy ayirmalar sxemasi issiqlik o'tkazuvchanligi uchun.
Afzalliklari:
- Aniqligi yuqori.
- Oddiy formulalar orqali amalga oshiriladi.
Kamchiliklari:
- Turg'unlikni ta'minlash uchun vaqt qadamining chegaralanishi talab etiladi.
2. Chekli Ayirmalar Batafsil Tahlil
Chekli ayirmalar usullari zamonaviy ilm-fan va texnika sohalarida keng
qo‘llaniladigan va murakkab differensial tenglamalarni yechishda yuqori
samaradorlikka ega bo‘lib, ular nafaqat nazariy jihatdan muhim, balki amaliy
sohalarda ham dolzarb hisoblanadi.Masalan, fizik jarayonlarni model qilish,
20

muhandislik hisob-kitoblarini amalga oshirish va iqtisodiy prognozlash singari
masalalarda keng qo‘llaniladi.
Eksplisit (ochiq) sxemalar o‘zining sodda ishlash printsipi bilan ajralib
turadi; bu usullarda joriy vaqt qatlamidagi qiymatlar faqat oldingi vaqt qatlamidagi
qiymatlar orqali hisoblanadi. Ushbu usul oddiy formulalar yordamida amalga
oshiriladi, bu esa uni dasturlash va kompyuterda amalga oshirishni osonlashtiradi.
Misol uchun eksplisit Eylеr usuli yuqori samaradorlikka ega.
Implitsit (yopiq) sxemalarda yangi vaqt qatlamidagi qiymatlar tenglamaning
o‘zi orqali hisoblanadi, ya’ni ular yangi qiymatlarni topish uchun iteratsion
usullarni talab qiladi; bu esa hisoblash jarayonini eksplisit sxemalarga nisbatan
qiyinlashtiradi, ammo turg‘unlik shartlari bo‘yicha eksplisit sxemalardan ancha
qulaydir.
Chekli ayirmalar usullari muhandislik, fizik jarayonlar modelleştirilishi,
atmosferaning haroratini tahlil qilish va boshqa sohalarda keng qo‘llaniladi; bu
sohalarda masalalar odatda yuqori aniqlik va turg‘unlikni talab qiladi. Shuningdek,
iqtisodiyot, biologiya va kimyo sohalarida ham sonli hisoblashlarni
optimallashtirish uchun ushbu usullar muvaffaqiyatli qo‘llanilib kelmoqda.
21

2.2. Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun dasturiy algoritm.
1-misol
tenglamaning
shartni qanoatlantiruvchi yechimini toping.
% Issiqlik tenglamasi uchun yechim (FTCS usuli)
% Parametrlar
dx = 0.02; % Fazoviy qadam
dt = 0.00005; % Vaqt qadam
x = 0:dx:1; % Fazoviy koordinatalar
t = 0:dt:0.1; % Vaqt intervali
alpha = 1; % Issiqlik tarqalish koeffitsienti
r = alpha * dt / dx^2; % Barqarorlik sharti uchun parametr
if r > 0.5
error('Barqarorlik sharti buzildi: r = %f. dt yoki dx ni kamaytiring.', r);
end
% Dastlabki shart: u(x, 0) = 4x(1-x)
u = zeros(length(x), length(t));
u(:, 1) = 4 * x .* (1 - x); % Dastlabki holat
% Chegara shartlari: u(0, t) = 0, u(1, t) = 0
u(1, :) = 0;
u(end, :) = 0;
% FTCS usuli bilan hisoblash
22

for n = 1:length(t)-1
for i = 2:length(x)-1
u(i, n+1) = u(i, n) + r * (u(i+1, n) - 2*u(i, n) + u(i-1, n));
end
end
% Natijani tasvirlash
[X, T] = meshgrid(x, t);
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Fazoviy koordinata, x');
ylabel('Vaqt, t');
zlabel('Harorat, u(x, t)');
title('Issiqlik tenglamasi yechimi');
colorbar;
Natija:
23

2-misol
% Issiqlik tenglamasi uchun MATLAB kodi (FTCS usuli)
% Parametrlar
dx = 0.1; % Fazoviy qadam
dt = 0.001; % Vaqt qadam
x = 0:dx:1; % Fazoviy koordinatalar
t = 0:dt:0.025; % Vaqt intervali
alpha = 1; % Issiqlik tarqalish koeffitsienti
r = alpha * dt / dx^2; % Barqarorlik sharti uchun parametr
if r > 0.5
error('Barqarorlik sharti buzildi: r = %f. dt yoki dx ni kamaytiring.', r);
end
% Dastlabki shart: u(x, 0) = sin(pi*x)
u = zeros(length(x), length(t));
u(:, 1) = sin(pi * x); % Dastlabki holat
% Chegara shartlari: u(0, t) = 0, u(1, t) = 0
u(1, :) = 0;
u(end, :) = 0;
% FTCS usuli bilan hisoblash
for n = 1:length(t)-1
for i = 2:length(x)-1
u(i, n+1) = u(i, n) + r * (u(i+1, n) - 2*u(i, n) + u(i-1, n));
end
end
24

% Natijani tasvirlash
[X, T] = meshgrid(x, t);
surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none');
xlabel('Fazoviy koordinata, x');
ylabel('Vaqt, t');
zlabel('Harorat, u(x, t)');
title('Issiqlik tenglamasi yechimi');
colorbar;
Natija:
25

3-misol
% Misol 4.1: Issiqlik tenglamasi uchun MATLAB kodi (Haydash usuli)
% Parametrlar
dx = 0.04; % Fazoviy qadam
dt = 0.00005; % Vaqt qadam
x = 0:dx:1; % Fazoviy koordinatalar
t = 0:dt:0.1; % Vaqt intervali
alpha = 1; % Issiqlik tarqalish koeffitsienti
r = alpha * dt / dx^2; % Barqarorlik sharti uchun parametr
if r > 0.5
error('Barqarorlik sharti buzildi: r = %f. dt yoki dx ni kamaytiring.', r);
end
% Dastlabki shart: u(x, 0) = 4x(1-x)
u = zeros(length(x), length(t));
u(:, 1) = 4 * x .* (1 - x); % Dastlabki holat
% Chegara shartlari: u(0, t) = 0, u(1, t) = 0
u(1, :) = 0;
u(end, :) = 0;
% Haydash usuli bilan hisoblash
A = diag(2 * (1 + r) * ones(length(x)-2, 1)) + ...
diag(-r * ones(length(x)-3, 1), 1) + ...
diag(-r * ones(length(x)-3, 1), -1);
26

$for n = 1:length(t)-1 b = u(2:end-1, n) * (1 - 2 * r) + ... [r * u(3:end-1, n); 0] + [0; r * u(1:end-3, n)]; u(2:end-1, n+1) = A \ b; end % Natijani tasvirlash [X, T] = meshgrid(x, t); surf(X, T, u', 'EdgeColor', 'none'); xlabel('Fazoviy koordinata, x'); ylabel('Vaqt, t'); zlabel('Harorat, u(x, t)'); title('Issiqlik tenglamasi yechimi (Misol; Haydash usuli)'); colorbar; Natija: 27$

XULOSA
Ikki o‘zgaruvchili issiqlik tarqalish tenglamasini yechish, fizik jarayonlarni
modellashtirishda muhim ahamiyatga ega. Ushbu masala MATLAB dasturi
yordamida chekli ayirmalar usulida taqribiy yechim topish orqali samarali hal
qilinadi. Chekli ayirmalar usuli tenglamani fazoviy va vaqt o‘zgaruvchilari
bo‘yicha diskretizatsiya qilib, uzluksiz differensial tenglamani algebraik
tenglamalar tizimiga aylantiradi.
Mazkur usul quyidagi afzalliklarga ega:
Universallik: Tenglamani har qanday dastlabki va chegaraviy shartlar bilan
hal qilishga imkon beradi.
Oddiylik: Diskretizatsiya qilingan tenglamalar MATLAB kabi dasturiy
muhitlarda sodda algoritmlar yordamida hisoblash imkonini beradi.
Grafik vizualizatsiya: MATLAB yordamida natijalarni grafik shaklda
ko‘rish mumkin, bu esa jarayonni yaxshiroq tushunishga yordam beradi.
Barqarorlik sharti va vaqt bosqichi (Δ ?????? ) tanlanishiga alohida e'tibor berish
kerak, chunki noto‘g‘ri tanlov hisoblashni barqaror emas qilib qo‘yishi mumkin.
Ushbu loyiha ikki o‘zgaruvchili issiqlik tenglamasi bo‘yicha fizik jarayonlarni
model qilishda amaliy qo‘llanma bo‘lib xizmat qiladi va real muammolarni hal
qilish uchun keng qo‘llanilishi mumkin.
28

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Chapra S.C., Canale R.P. "Numerical Methods for Engineers".
McGraw-Hill, 2015.
2. Smith G.D. "Numerical Solution of Partial Differential Equations:
Finite Difference Methods". Oxford University Press, 1985.
3. Kreyszig E. "Advanced Engineering Mathematics". Wiley, 2011.
4. Strikwerda J.C. "Finite Difference Schemes and Partial Differential
Equations". SIAM, 2004.
5. MATLAB Documentation. "Partial Differential Equations Toolbox".
MathWorks, 2023. https://www.mathworks.com
6. Thomas J.W. "Numerical Partial Differential Equations: Finite
Difference Methods". Springer, 1995.
7. Mitchell A.R., Griffiths D.F. "The Finite Difference Method in Partial
Differential Equations". Wiley, 1980.
8. Süli E., Mayers D.F. "An Introduction to Numerical Analysis".
Cambridge University Press, 2003.
9. PDE Toolbox User’s Guide. "Solving Partial Differential Equations
Using MATLAB". MathWorks, 2023.
10. LeVeque R.J. "Finite Difference Methods for Ordinary and Partial
Differential Equations". SIAM, 2007.
29

Matlab dasturi yordamida ikki o’zgaruvchili issiqlik tarqalish tenglamasini chekli ayirmalar yordamida taqribiy yechish

Купить

Похожие документы
Qavariq ko’pyoqlar
Nyutonning teng oraliqlar uchun ikkinchi interpolyatsion formulasining Matlab dasturidagi tadbig‘i.
Oddiy differensial tenglamalarni sonli yechish eyler usulining matlab dasturidagi tadbig’i
Matlab dasturi yordamida ikki o’zgaruvchili laplas tenglamasini chekli ayirmalar yordamida taqribiy yechish
Chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini zeydel usuli yordamida matlab dasturidan foydalanib yechish

Информация о документе

Продавец

Matlab dasturi yordamida ikki o’zgaruvchili issiqlik tarqalish tenglamasini chekli ayirmalar yordamida taqribiy yechish

Похожие документы