Mexanik sistema dinamikasining umumiy teoremasi

Dokument ma'lumotlari

Narxi	30000UZS
Hajmi	148.3KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	04 May 2025
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Fizika

Sotuvchi

Esonboyev Nasrullo

Ro'yxatga olish sanasi 30 Aprel 2025

0 Sotish

Mexanik sistema dinamikasining umumiy teoremasi

Sotib olish

REJA
KIRISH
1. Mexanik sistema. Mexanik sistemaga ta sir etuvchi kuchlarning tafsifi.ʼ
2. Mexanik sistemaning xarakat differensial tenglamalari.
3. Bog`lanishdagn mexanik sistema xarakatining differensial tenglamalari
4.istemaning massalar markazi va uning koordinatalari
5.Sistemaning inersiya momentlari. Inersiya momentlarining umumiy formulalari
6.Jismning parallel uklarga nisbatan inersiya momentlarini xisoblash. Gyuygens-
Shteyner teoremasi
7.Dinamika dinamikaning asosiy tushunchalari
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

Kirish:
Mexanika – tabiatdagi jismlarning harakatini, ularning o‘zaro ta’siri va bu ta’sirlar
natijasida vujudga keladigan holat o‘zgarishlarini o‘rganuvchi fundamental fan
sohasidir. Ayniqsa, mexanik tizimlar — ya’ni bir nechta jismlardan tashkil topgan
murakkab tuzilmalar — real hayotda juda keng uchraydi: masalan, avtomobil
dvigateli, sanoat mexanizmlari, kosmik apparatlar, robotlar va boshqalar. Bunday
tizimlarning harakatini matematik jihatdan aniq tavsiflash uchun kuchlar va harakat
orasidagi munosabatni ifodalovchi qonunlar zarur bo‘ladi.
Nyutonning ikkinchi qonuni – kuch va tezlanish orasidagi bog‘liqlikni belgilovchi
asosiy qonun – mexanik tizimlarning dinamikasini tahlil qilishda tayanch bo‘lib
xizmat qiladi. Ana shu qonunga asoslangan holda ishlab chiqilgan mexanik sistema
dinamikasining umumiy teoremasi orqali bir butun tizimga ta’sir qilayotgan
kuchlarning umumiy natijasi, tizimning impuls yoki impuls momentining o‘zgarish
tezligi bilan ifodalanadi.
Bu teorema yordamida, nafaqat biror jismning holatini, balki ko‘plab jismlardan
iborat sistemalarning umumiy harakatini ham tahlil qilish mumkin. U fizik
modellashtirishda, dinamika tenglamalarini tuzishda, energiya va impuls balansi
asosida yechimlar topishda keng qo‘llaniladi. Ayniqsa, tizim holatining vaqt bo‘yicha
o‘zgarishi, ya’ni harakatning rivojlanishini tushunishda bu teorema muhim
ahamiyatga ega.
Zamonaviy texnologiyalar, avtomatlashtirilgan boshqaruv tizimlari, aerokosmik
qurilmalar, transport vositalari mexanikasi kabi ko‘plab sohalarda ushbu qonunlar
asosida tahlil va hisob-kitoblar olib boriladi. Shu boisdan, mexanik sistema
dinamikasining umumiy teoremasi nafaqat nazariy mexanika, balki amaliy
muhandislik fanlari uchun ham tayanch prinsip hisoblanadi.

1.Mexanik sistema. Mexanik sistemaga ta sir etuvchiʼ
kuchlarning tafsifi
Bir-biri bilan ma lum munosabatda boglangan xamda xar bir nuktasining
ʼ
xarakati boshka nuktalarining xolati va xarakatiga boglik bulgan moddiy nuktalar
tuplami mexanik sistema deyiladi. Istalgan mashina yoki mexanizm mexanik
sistemaga misol bula oladi, chunki mashina va mexanizmlarning kismlari bir-birlari
bilan sharnirlar, sterjenlar, tasmalar yoki tishli gildiraklar vositasida boglangan
buladi. Bu xolda sistema nuktalariga boglanishlar orkali beriladigan taranglik
kuchlari yoki uzaro bosim kuchlari tasir etadi.
Agar mexanik sistemani tashkil etuvchi nuktalar orasidagi masofalar doimo
uzgarmasdan kolsa, bunday mexanik sistema uzgarmas mexanik sistema deyiladi.
Masalan, absolyut kattik jismni uzgarmas mexanik sistema nuktalarining tuplamidan
iborat deb karash mumkin.
Agar mexanik sistemaning barcha nuktalari erkin bulsa, u xolda sistemani tashkil
etuvchi nuktalar orasidagi boglanishlar mazkur nuktalarning uzaro tasir kuchidan
iborat buladi. Bunda biz erkin nuktalardan tashkil topgan mexanik sistemaga ega
bulamiz. Masalan, Kuyosh sistemasini bunday sistemaga misol kilnb kursatish
mumkin, chunki Kuyosh va planetalar uzaro butun dunyo tortilish kuchi ta sirida
ʼ
buladi.
Agar mexanik sistema nuktalariga boglaiishlar kuyilgan bulsa, sistema
boglanimdagi sistema deyiladi. Bunday sistemaga misol tarikasida uzunligi uzgarmas
bulgan sterjen bilan biriktirilgan ikki moddiy nuktani olish mumkin.
Berilgan mexanik sistema nuktalariga ta sir etuvchi kuchlar ichki va tashki kuchlarga
ʼ
ajratiladi.
Mexanik sistemani tashkil etuvchi nuktalarning uzaro ta sir kuchlari ichki
ʼ
kuchlar deyiladi. Ichki kuchlar, odatda, R bilan belgilanadi.
Mexanik sistema nuktalariga bu sistemaga kirmaydigan nukta yoki jismlarning ta sir
ʼ
kuchlari tashki kuchlar deip lad». Tashki kuchlar F ye
bilan belgilanadi.

Masalan, avtomobilni mexanik sistema deb karasak, dvigatel si-lindrlarida
xosil buladigan gazlarning porshenga bosim kuchlari, porshenningshatunga,
shatunningtirsakli valgata sir kuchlari va xokazo kuchlar ichki kuchlardir; avtomobilʼ
ogirligi, avtomobil gildiraklari bilan Yer sirti orasidagi ishkalanish kuchi, xavoning
karshilik kuchi va boshkalar tashki kuchlardir.
Boglanishdagi mexanik sistema nuktalariga ta sir etuvchi kuchlar boglanish
ʼ
reaksiya kuchlariga va aktiv kuchlarga ajratiladi. Bu kuchlar uz navbatida ichki yoki
tashki kuchlar bulishi mumkin.
Ichki kuchlarning asosiy xossalari bilan tanishamiz.
1. Dinamikaning uchinchi konuniga kura mexanik sistemaning xar kanday
ikki nuktasi (masalan. M
1 va mikdor jixatdan teng va bir chizik buylab karama-
karshi xossalari bilan konuniga kura kanday ikki M
2 nuktalari bir chizik buylab
Rasm 1 tomonlarga yunalgan ¯
F
2i
va ¯
F
21
kuchlar bilan bir-biriga ta sir etadi (1rasm). Bu
ʼ
kuchlarning geometrik yigindisi nolga teng:
¯F1i+¯F2i=0
Shu sababli N ta nuktadan tashkil topgan mexanik sistema uchun kuyidagi
munosabat urinli buladi:
¯
R i
=
∑
K = 1N
¯
F
ki
= 0 ( 1 )
Demak, sistema nuktalariga ta sir etuvchi ichki kuchlarning geometrik
ʼ
yigindisi (bosh vektori) nolga teng buladi. Bundan buyen yigindi chegarasini tushirib
yozamiz va K ni 1 dan N gacha kiymatlarni oladi, deb xisoblaymiz.
(1) ni biror Ox ukka proyeksiyalasak
∑ X
ki
= 0 ( 2 )
ya ni ichki kuchlarning ixtiyoriy ukdagi proyeksiyalari yigindisi nolga teng buladi.
ʼ
2.
¯F1i -va ¯F21 kuchlarning biror O nuktaga nisbatan momentlarini topamiz. 1 -rasmdan
М
0 ( Fi ) + M
0 ( F ) = 0
bulishini kuramiz, chunki ikkala kuchning yelkasi bir xil bulib, moment vektorlari
karama-karshi yunalgan. U xolda butun sistema uchun kuyidagini yoza olamiz:
¯M 0i=∑ ¯M 0(¯Fki)(3)

bunda ¯
M
0i
ichki kuchlarning O markazga nisbatan bosh momentini ifodalaydi. (3) ni
ixtiyoriy O
x ukka proyeksiyalaymiz:∑ M 0x(¯Fki)=0(4)
(4) (3) va (4) lardan kuramizki, ichki kuchlarning ixtiyoriy nuktaga nisbatan
xisoblangan momentlarining geometrik yigindisi yoki ixtiyoriy ukka iisbatan
momentlarining yigindisi nolga teng buladi.
(2) va (4) ifodalar fazoda ixtiyoriy vaziyatda joylashgan kuchlar sistemasining
muvozanat tenglamalariga uxshasada, ichki kuchlar muvozanatlashmaydi. Chunki
ular sistemaning turli nuktalariga kuyilganligi tufayli mazkur kuchlar ta sirida
ʼ
sistemaning nuktalari bir-biriga nisbatan xarakatlanadi. Uzgarmas mexanik sistema
yoki kattik jism karalayotganda ichki kuchlar muvozanatlashuvchi kuchlar
sistemasini tashkil etadi.
2.Mexanik sistema xarakatining differensial tenglamalari
Mexanik sistema N ta moddiy nuktalardan tashkil topgan bulsin. Bu
sistemaning ixtiyoriy M, nuktasini olib, massasini t bilan, unga ta sir etuvchi tashki
ʼ
kuchlar xamda ichki kuchlarning teng ta sir etuvchilarini mos ravishda
ʼ ¯Fk/¿e¯Fki¿ bilan
belgilaymiz (2 -rasm). U xolda sistema nuktalari xarakatining differensial
tenglamalari Nyutonning ikkinchi konuniga binoan kuyidagicha yoziladi:
m
k ¯a
k = ¯
F
ke
+ ¯
F
ki
( K = 1 , ¯
N ) ( 5 )

(5) ni Dekart koordinata uklariga proyeksiyalab kuyidagi ZN ta tenglamalar
sistemasiga ega bulamiz:
¿ m
k ¨
X
k = X
ke
+ X
ki
¿ m
k ¨
Y
k = Y
ke
+ Y
ki
¿ m
k ¨z
k = z
ke
+ z
ki} ( K = 1 ¯
N ) ( 6 )
Bu tenglamalar sistemasi mexanik sistema xarakatining Dekart koordinata
uklaridagi differensial tenglamalari deyiladi. Bu tenglamalarning ung tomoni umumiy
xolda t vaktga xamda sistemani tashkil kiluvchi barcha nuktalarning koordinatalari
va koordinatalarning vakt buyicha xosilasiga boglik buladi. Bu tenglamalar
sistemasining, umumiy xolda, mexanik sistema xatto bitta nuktadan tashkil topganda
xam anik yechimi topilmagan. Lekin xozirgi zamon elektron xisoblash mashinalarini
kullab bu tenglama-larnnng takribiy yechimini juda katta aniklik bilan topish
mumkin.
Kupincha (6) tenglamalarda katnashuvchi ichki kuchlar xam noma lum buladi, shu
ʼ
sababli masalani yechish yanada murakkablashadi.
3.Bog`lanishdagn mexanik sistema xarakatining differensial tenglamalari
Agar sistema nuktalariga boglanishlar kuyilgan bulsa, u xolda boglanishlardan
bushatish xakidagi aksiomaga kura, ta sir etayotgan F aktiv kuchlar katoriga N
ʼ
boglanish reaksiya kuchlarini xam kushish kerak. Natijada mexanik sistemani F aktiv
kuchlar va N reaksiya kuchlari ta siridagi erkin mexanik sistema deb karaladi.
ʼ
Bunday sistema xarakatining differensial tenglamalari Nyutonning ikkinchi konuniga
asosan kuyidagicha yoziladi:
m
k ¯a
k = ¯
F
k + ¯
N
k , ( k = 1 , ¯
N ) ( 7 )
U xolda boglanishdagi sistema xarakatining Dekart koordinata uklaridagi
differensial tenglamalari kuyidagi kurinishni oladi
m
k ¨
X
k = X
k + N
kx
mk¨Yk=Yk+Nky(8) m
k ¨z
k = z
k + N
kz
Bunda Xk, , Yk, Zk lar aktiv kuchlarning,
N kx,Nky,Nkz lar esa reaksiya kuchlarining
koordinata uklaridagi proyeksiyalaridir. (8) tenglamalarda erkin sistemadan farkli
ravishda ZN ta
N kx,Nky,Nkz noma lum reaksiya kuchlari xam katnashadi. ʼ

Shunday kilib, boglanishdagi mexanik sistema xarakatining ZN ta
differensial tenglamalarida 6N x
k , y
k , z
k , N
kx , N
ky , N
kz noma lumlar katnashadi, ya niʼ ʼ
noma lumlar soni tenglamalar sonidan ortik buladi. Shu sababli boglanishdagi
ʼ
mexanik sistemaning xarakatini aniklash uchun boglanishlar turini ifodalovchi
kushimcha ma lumotlar (masalan, ishkalanish konuni) berilgan bulishi kerak.
ʼ
4.istemaning massalar markazi va uning koordinatalari
Mexanik sistema dinamikasida sistema nuktalari massalarining taksimlanishini
ifodalovchi kattaliklar muxim axamiyatga ega. Bu kattaliklar xakidagi ta limot
ʼ
massalar geometriyasi deyiladi. Mexanik sistema Mi, M
2 . . . , Mp nuktalardan tashkil
topgan bulsin. Bu nuktalarning massalarini moc ravishda tj, t
2 .., t
N bilan belgilaymiz.
Oxug koordinatalar sistemasiga nisbatan sistema nuktalarining xolati radius-
vektorlar bilan aniklansin (3-rasm).
Sistema nuktalari massalarining yigindisi sistemaning massasi deyiladi.
M =
∑ mk
Sistema dinamikasida radius-vektori
¯Vc= ∑ mk ¯rk
M (9)
Rasm 3
formula yordamida aniklanadigan geometrik nukta S sistemaning massalar markazi
deyiladi.

(9) ning ikkala tomonini x, u, g koordinata uklariga proyeksiyalab massalar
markazining koordinatalari aniklanadi:Xc= ∑ mkXk
M ;Yc= ∑ mk Yk
M ;Zc= ∑ mk Zk
M (10 )
Bu formulalardan kuramizki, sistema massalar markazining xolati ta sir
ʼ
etuvchi kuchlarga boglik bulmay, fakat berilgan sistema nuktalarining xolatiga va
ularning massalariga boglik buladi. Agar sistema bir jinsli ogirlik kuchi maydonida
joylashsa, bu sistemaning massalar markazi uning ogirlik markazi bilan ustma-ust
tushadi. Sistema ogirlik kuchi maydonida xarakatlansa, ogirlik markazi mavjud; (10)
formulalar esa ixtiyoriy sistema uchun urinli buladi. Shuning uchun sistemaning
massalar markazi tushunchasi ogirlik markaziga nisbatan keng ma noga ega.
ʼ
Tekshirish uchun savollar
1. Mexanik sistemami ta riflang va misollar keltiring.
ʼ
2. Tashki va ichki kuchlarning ta rifi.
ʼ
3. Erkin mexanik sistema va boglanishdagi mexanik sistema xarakat differensial
tenglamalari nima bilan farklanadi?
4. Massalar markazi bilan ogirlik markazi bir xilmi?
5. Ichki kuchlarning xossalari qanday ?
5.Sistemaning inersiya momentlari. Inersiya momentlarining umumiy
formulalari
Sistema dinamikasini urganishda muxim axamiyatga. ega bulgan sistema
nuktalari massalarining ukka, nuktaga yoki tekislikkacha bulgan masofalar kvadratiga
kupaytmalarining yigindisiga teng bulgan dinamik kattaliklar aniklanadi. Bu
kattaliklar sistema massalarining u k, nukta yoki tekislikka nisbatan taksimlanishini
ifodalaydi va moc ravishda sistemaning ukka, nuktaga yoki tekislikka nisbatan
inersiya momentlari deyiladi.
Sistemaning x, u, g, koordinata uklariga nisbatan inersiya momentlari
Jx,Jy,Jz
bilan belgnlanadi. U xolda ta rifga kura
ʼ

bunda hk berilgan ukdan t massali nuktagacha bulgan masofa (4-rasm).
Sistemaning nuktaga (kutbga) nisbatan inersiya momenti esa kuyidagicha yoziladi:
J0=∑ mk r2k(12 )
bu yerda
rk−O nuktadan sistemaning M.k nuktasigacha bulgan masofa. xolatini Oxug
koordinatalar sistemasiga nisbatan aniklaymiz (4-rasm). Sistema M nuktasining
[koordinatalarini
Xk,Yk,Zk bilan belgilaymiz. U xolda sistemaning O koordinatalar
boshiga nisbatan inersiya momenti kuyidagicha yoziladi:
J
0 =
∑ m
k r
k2
=
∑ m
k ( X
k2
+ Y
k2
+ Z
k2
) ( 13 )
Sistemaning koordinata uklariga nisbatan inersiya momentlari
¿ j
X =
∑ m
k ( Y
k2
+ Z
k2
)
¿ J
y =
∑ m
k ( X
k2
+ Z
k2
)
¿ J
z =
∑ m
k ( Y
k2
+ X
k2
)
} ( 14 )
formulalardan aniklanadi.
Ukka nisbatan inersiya momentlarini kushib koordinatalar boshida joylashgan
nuktaga nisbatan inersiya momenti olinadi:
Jx+Jy+JZ= 2J0(15 )
Moddiy jism tekis shakldan iborat bulsa, x va u uklarni shakl tekisligida olsak,
Jr= J0
buladi. U xolda (15) kuyidagicha yoziladi:
J
x + J
y = J
0 ( 16 )
Sistemaning ug, xg va xu tekisliklarga nisbatan inersiya momentlari
kuyidagi formulalar asosida xisoblanadi:
¿ J ( yz ) =
∑ m
k x
k2
¿ J ( yz ) =
∑ m
k y
k2
¿ J ( xy ) =
∑ m
k z
k2
} ⥂ ⥂ ⥂ ⥂ ⥂ ⥂ ⥂ ⥂ ⥂ ⥂ ( 17 )

MKGSS birliklar sistemasida inersiya momenta 1 kgk-m-s 2
da xalkaro SI
birliklar sistemasida esa, 1 kgm 2
da ulchanadi. Kattik jismning biror z ukka nisbatan
inersiya momentnni aniklash uchun uni juda kichik bulakchalardan tashkil topgan
deb karab, xar bir bulakcha massasining berilgan ukacha bulgan masofa kvadratiga
kupaytmalarining yigindisini tuzamiz va bulakchalar soni N → ∞ xamda bulakchalar
massasi m
k → 0
bulgandagi limitini xisoblaymiz;
Jz= lim ∑K=1
N
rk2Δmk
N → ∞ Δ m
k → 0
ёки Jz= ∫(M)
r2dm
Bu integral butun jism massasi buyicha aniklanadi.
Xajmga ega bulgan jism uchun dm = pdv
, bunda: r — xajm birligiga tugri
keladigan jism massasi;
dv —jism bulakchasining xajmi.
Bir jinsli jism uchun p=const bulib,
Jz= ∫(M)
r2dm =∫(Y)
r2pd ϑ= p∫(V)
r2dϑ(18 )

Bir jinsli moddiy sirtning inersiya momenta
J
z = p
∫
( 5 ) r 2
dS ( 19 )
formuladan aniklanadi, bunda: pi—sirt birligiga tugri keladigan massa;
ds—sirt bulakchasining yuzi bulib, integral butun sirtning 5 yuzi buyicha olinadi.
Bir jinsli moddiy chizik, uchun
Jz= P2∫(α)
r2dl (20 )
bunda: ra — uzunlik birligiga tugri keluvchi massa; dl — chizik bu lakchasining
uzunligi. Integral butun chizikning L uzunligi buyicha olinadi.
Kupincha jismning ukka nisbatan inersiya momenti
Jz= M pu2
formuladan aniklanadi,
Pu= √
Эz
M (22 )
bulib, jismning ukka nisbatan inersiya radius ы deyiladi. Inersiya radiusi uzunlik
birligida ulchanadi. Jismning massasi va inersiya radiusi berilgan bulsa, ukka
nisbatan inersiya momentini (21) dan aniklash kulay. Oddii shakldagi jismlarning
inersiya radiuslari jadvallarda beriladi.

$Xajmga ega bulgan bir jinsli jismning biror kutbga nisbatan inersiya momenti uchun (18)—(20) ga uxshash formulalar urinli buladi va g ni jismning biror zarrasidan kutbgacha bulgan masofa deb karaladi. 6.Jismning parallel uklarga nisbatan inersiya momentlarini xisoblash. Gyuygens-Shteyner teoremasi Jismning ukka nisbatan inersiya momenti jism nuktalarining massalariga va mazkur nuktalardan ukkacha bulgan masofalar kvadratiga boglikligi (14) formulalardan kurinib turibdi. Shu sababli jismning turli uklarga nisbatan inersiya momentlari turlicha buladi. Jismning biror ukka nisbatan inersiya momenti ma lum bulsa, shu ukkaʼ parallel bulgan istalgan boshka ukka nisbatan inersiya momentini kanday xisoblashni kurib utamiz. Buning uchun jismning massalar markazi S orkali ixtiyoriy Sx u z koordinata ʼ ʼ ʼ uklarini utkazamiz va Sx ukda ixtiyoriy O nuktani olib, bu nuktada Ou \\ Su , Oz=S ʼ ʼ Sz bulgan Ox, Ou,Oz koordinata ukdarini utkazamiz (5-rasm). U xolda (14) ga kura J z = ∑ m k ( X k2 + Y k2 ) 5-rasmdan jismning ixtiyoriy M k nuktasi uchun x=x — d , Uk=uk bulganidan Jz=∑ mk ¿¿ (23) da ∑ mk(X'k2+Y'k2)= Jcz -jismning massalar markazidan utuvchi ukka nisbatan inersiya momenti; ∑ mk = M — butun jism massasi; d—parallel uklar orasidagi masofa. Massalar markazining koordinatalarini aniklovchi (10) formulaga asosan u ∑ m k x k' = M x c . Karalayotgan xolda massalar markazi S koordinata boshida olinganidan xi = 0 . Shu sababli ∑ m k x k = 0 buladi. Natijada (23) kuyidagi kurinishni oladi: Jz= Jcz+M d2(24 ) Bu formula ushbu — Gyuygens- Shteyner tgoremasini ifodalaydi:$

jismning biror ukka nisbatan inersiya momenti, jismning massalar markazidan
utuvchi va mazkur ukka parallel bulgan ukka nisbatan inersiya momenti bilan jism
massasining uklar oraligi kvadratiga kupaytmasining yigindisiga teng.
Ba zi oddin shaklli jismlarning inersiya momentlarini xisoblash 1. Bir jinsliʼ
sterjennnng inersiya momenti. Kundalang kesimining ulchamlari uzunligiga nisbatan
ancha kichik silindr yoki prizma shaklidagi jismlar ingichka sterjen deb karaladi. AV
sterjen perpendikulyar bulgan Au ukka nisbatan inersiya momentini xisoblaymiz (6-
rasm). Uzunligi / ga teng
Rasm 5
Sterjenning Au ukdan x masofada joylashgan bulagi uzunligini dx bilan, massasini dt
bilan belgilaymiz. Agar sterjenning uzunlik birligiga tugri keladigan massasini bilan
belgilasak, dt=dx buladi. Jism inersiya momentini xisoblash formulasining integral
kurinishi (20) dan foydalanib ushbu ifodani yoza olamiz. Agar butun sterjenning
massasini M bilan belgilasak, u xolda M = P
2 l bulganidan
J
y = M l 2
3 ( 25 )
Sterjenning massalar markazidan unga perpendikulyar utgan Su ukka nisbatan
ʼ
inersiya momenti JC
y , ni Gyuygens-Shteyner teoremasi va (25) formulaga kura
xisoblash mumkin: Jc y '
= J
y − M d 2
= M l 2
12
2. Ingichka doiraviy • xalkaning inersiya momenti. Massasi M va radiusi R. ga. teng
A1 bulgan ingichka doiraviy xalkaning markazdan utuvchi va xalka tekisligiga
perpendikulyar bulgan Sz- ukka nisbatan inersiya momentini topamiz. Xalkaning
xamma nuktalari S
ya ukdan h
k = R
masofada joylashganligidan va jismning massasi
xalka gardishi buylab tekis taksimlanganidan, (11) formulaga kura

Jcz=∑ mkR2= R2∑ mk= M R2(27 )kelib chikadi.
3. Bir jinsli doiraviy playetinkaning inersiya momentn. Massasi M va radiusi R ga
teng bulgan bir jinsli doiraviy playetinkaning plastinka tekisligiga perpendikulyar
bulgan va massalar markazidan utuvchi S z ukka nisbatan inersiya momentini
ʼ
xisoblaymiz (7-rasm). Buning uchun undan radiuslari r va
r+dr bulgan aylanalar
orasidagi doiraviy elementar xalkani ajratamiz. Uning yuzi 2prdr massasi esa dt =
2 πr p
1 dr
ga teng, bu yerda p
1 — plactinkaning yuza birligidagi massasi. U xolda (27)
formulaga binoan, ajratilgan elementar xalka katlamining inersiya momenti
dJ cz=r2dm =2πp1r3dr
7.Dinamika dinamikaning asosiy tushunchalari
Nazariy mexanikaning dinamika bo`limida jismlarning harakati ularning
massasiga va harakatni vujudga keltiruvchi kuchlarga bog`liq ravishda tekshiriladi.
Jism harakatlanganda unga o`zgarmas kuchlardan tashqari miqdor va yo`nalish
jixatidan o`zgaradigan kuchlar ham ta’sir yetadi. Jismlarning o`zaro ta’sir kuchlari
vaqtga, jism holatiga va uning tezligiga ma’lum munosabatda bog`liq bo`ladi.
Masalan: elektrovoz reostatini ketma-ket ulashda i1k o`zishda hosil bo`ladigan
tortish kuchi jismning harakatiga bog`liq, xavoning qarshilik kuchi esa jismning
tezligiga bog`liq bo`ladi. Demak, umumiy holda jismga ta’sir etuvchi kuchlar vaqtga,
jismning holatiga va tezligiga bog`liq bo`ladi.
¯F= ¯F(t,¯r,¯υ)

bunda
t -vaqt, ¯r -radius vektor , ¯υ -nuqta tezligi.
Jismning qo`yilgan kuchlar ta’sirida o ` z tezligini tez yoki s e kin o`zgartirish
xususiyati jismning inyertligi deyiladi. Jismning inyertligini miqdor jixatidan
ifodalovchi fizik kattalik jismning massasi deyiladi. Mexanikada jismning massasi
o`zgarmas, skalyar va musbat kattalik deb qaraladi. Dinamikada dastlab jismlarning
o`lchamlari va massalarining ta q simlanishini e ’ tiborga olmagan holda ularning
harakatini o`rganish uchun moddiy nuqta tushunchasi kirtiladi. Harakatini

o`rganishda o`lchamlari ahamiyatga ega bo`lmagan, lekin massaga ega bo`lgan jism
moddiy nuqta deyiladi.
Dinamikada jismning harakatini o`rganishni, odatda, uning nuqtasining harakatini
o`rganishdan boshlanadi.
Dinamika ikki qismga bo`linadi:
1. Moddiy nuqta dinamikasi
2. Mexanik sistema va qattiq jism dinamikasi.
Dinamikada quyidagi ikkita masala yechamiz:
1. Nuqta yoki sistemaning harakati berilgan, shu nuqta yoki sistemaga ta’sir
qiluvchi kuchni topish kerak.
2. Nuqta yoki sistemaga ta’sir qiluvchi kuchlar berilgan, nuqta yoki sistemaning
harakatini aniqlash kerak.
Dinamikaning asosiy qonunlari
Mexanika qonunlari jismlarning tezliklari yorug ` lik tezligidan ancha kichik
bo`lgan holda o` rinli bo`ladi. Dinamika quyidagi 4 ta qonunga asoslangan:
1-qonun (inersiya qonuni)
Agar nuqtaga kuch ta’sir etmasa nuqta o`zining tinch yoki to`g`ri chiziqli tekis
harakat holatini saqlaydi.
Inersiya qonuniga ko`ra ¯F=0 bo`lsa, ¯α= 0 bo`ladi, ¯υ= –”nst bo`ladi. Bu yerda ¯υ− ¿
moddiy nuqtaning tezlik vektori,
¯α - tezlanish vektori, ¯
F
-kuch vektori.
2-qonun (dinamikaning asosiy qonuni).
Nuqtaga ta’sir etayotgan kuchning miqdori uning massasi bilan tezlanishining
ko`paytmasiga teng bo`lib, kuch bilan tezlanishning yo`nalishi bir xil bo`ladi.
F= mα
(152)
bunda: F
- kuch miqdori

m - nuqtaning massasi
α
- nuqtaning tezlanishi
M
F

131-Rasm
Nuqtaning massasi quyidagicha aniqlanadi.
m = F
α (153)
Jismning og`irligi uning massaci bilan erkin tushish tezlanishining ko`paytmasiga
teng. P= mg
bundan m = P
g (154)
bunda g- erkin tushishi tezlanishi g=9,81 m/c 2
(152) ning vektor ko`rinishi quyidagicha yoziladi.
m
¯α =
⃗ F (155)
Kinematikadan ma’lumki nuqtaning tezlanishi quyidagiga teng.
¯α = d
¯υ
dt ;

¯α = d 2
r
❑
d t 2 u holda
(153) tenglama quyidagicha yoziladi
m d2¯r❑
dt2= F
m d¯V
dt = ¯F (156)
(153) va (154) tenglikka nuqta dinamikasining asosiy tenglamasi deyiladi.
3-qonun (ta’sir va aks ta’sir qonuni)
Har qanday ta’sir miqdor jixatidan o`ziga teng bo`lgan va bir to`g`ri chiziq bo`ylab
teskari tomonga yo`nalgan aks ta’sirni vujudga keltiradi.
132-Rasm
A jism V jismga kuchi bilan ta’sir etsa, V jism ham A jismga kuch bilan ta’sir
qiladi.
¯FA=− ¯FB|
¯
F
A | = | ¯
F
B | (157)
Bu yerda
¯FА va ¯Fе kuchlari o`zaro muvozanatlashmaydi, chunki kuchlar har
xil jismga qo`yilgan .в
А

4-qonun (kuchlar ta’sirining erkinlik qonuni)
Nuqtaning bir n echta kuch birdaniga ta’sir etganda olgan tezlanishi shu
kuchlarning har biri alo h ida-alo h ida ta’sir etganda olgan tezlanishlarining geometrik
yig`indisiga teng.¯α= ¯α1+¯α2+¯α3+...+¯αn
(158)
bunda
¯α - nuqtaning ¯F1,¯F2,¯F3,... ,¯Fn kuchlari birdaniga ta’sir etganda olgan
tezlanishi.
¯α
1 ,
¯α
2 ,
¯α
3 ...
¯α
n - shu kuchlarning har biri alohida-alohida ta’sir etganda olgan
tezlanishi (rasm-102)
(158)-tenglamani ikkala qismini nuqtaning massasiga ko`paytiramiz.
m
¯α = m
¯α
1 + m
¯α
2 + m
¯α
3 + ... + m
¯α
n
133-Rasm
¯F1+¯F2+¯F3+...+¯Fn
yoki m α =
∑ ¯
F
k (159)
Klassik mexanika qonunlari o` rinli bo`lgan sanoq sistemasi inersial sistema
deyiladi. Texnika masalalarini yechishda inersial sistema sifatida yer bilan bevosita
bog`langan sistema olinadi.
Mexanik o`lchov birliklari sistemasi
Hamma mexanik kattaliklarni o’lchash uchun 3 ta asosiy o`lchov birliklarini
kiritish yetarlidir. B u lardan ikkitasi uchun vaqt va uzunlik birliklari olinishi
kinematika bo`limidan ma’lum. 3- o`lchov birligi sifatida massa yoki kuchning
o`lchov birliklari olinadi.
Mexanikada bir-biridan farq qiluvchi ikkita turdagi birliklar sistemasi kiritiladi.
Birinchi tur birliklar sistemasi. М

H alqaro SI birliklar sistemasining tarkibiy qismi bo`lgan MKS sistemasi keng
qo`llaniladi. Bu sistemada asosiy o`lchov birliklari uchun quyidagi birliklar olinadi:
1. Uzunlik birligi – 1 metr (m)
2. Massa birligi – 1 kilogramm (kg)
3. Vaqt birligi – 1 sekund (sek)
Qolgan barcha mexanik kattaliklarning birligi asosiy birliklardan hosilaviy birlik
sifatida olinadi.
Masalan : kuch birligi uchun 1 n’y u ton (N) qabul qilinadi. 1N=kgm/s 2
, ya’ni
1kg massaga 1m/c 2
tezlanish beradigan kuch birligi 1N ga teng.
Ikkinchi tur birliklar sistemasi.
Texnik birliklar sistemasi deb ataluvchi MKGSS sistemasi ham qo`llaniladi. Bu
sistemada asosiy o`lchov birliklari uchun quyidagi birliklar qabul qilinadi.
1. uzunlik birligi 1 metr (m)
2. kuch birligi – 1 kilogramm kuch (kgk)
3. vaqt birligi – 1 sekund- (sek)
Bu birliklar sistemasida massa birligi uchun bir texnik massa birligi ( t m b ) qabul
qilingan
1 ( t m b ) =1ђ‹ђ
“/–2
1kgk=9,81n 1n=0,102kgk
Bundan tashqari quyidagi munosabatlar o` rinlidir:
1kgk=1tmb  1m/s 2
1kgk=1kg  9,81 m/s 2
Har qanday massani yechishda faqat bitta birliklar sistemasidan foydalanish kerak.
Moddiy nuqta harakatining Dekart koordinatalaridagi differensial
tenglamalari.
Massasi t ga teng bo`lgan M nuqta ¯
F
kuchi ta’sirida qo`zg`almas OXO’Z
koordinatalar sistemasiga nisbatan harakatlanayotgan bo`lsin.
¯F -nuqtaga qo`yilgan
barcha kuchlarning teng ta’sir etuvchisi.
Nuqta dinamikasining asosiy tenglamasini yozamiz:

m¯α= ⃗F (160)

¯α= d¯ϑ
dt = d2r
dt2 bo`lgani uchun (160) formula quyidagicha yoziladi.
m d¯ϑ
dt = ¯F ;
(161) m d 2
r
d t 2 = F
(162)
(161) yoki (162) tenglamalar erkin moddiy nuqta harakati differensial
tenglamasining vektorli ifodasi deyiladi.
(161) tenglamani koordinata o`qlariga proyeksiyalaymiz
m d¯V›
dt = ¯F›;
m d ¯
V
y
dt = F
y ,
m d¯Vz
dt = ¯Fz; (163)
bunda ϑ
› = ϑ
— = ϑ
z tezlik vektorining X,Y,Z o`qlaridagi proyeksiyasi
V
x › = dx
dt = ˙
X ,
V
y = dy
dt = ˙
Y ,
V
z = dz
dt = ˙
Z ,
(164)
F
x , F
y , F
z -F kuchining X,Y,Z o`qlaridagi proyeksiyasi.
(163) formulaga nuqta harakatining Dekart koordinatalardagi differensial
tenglamalari deyiladi.
(164) ni (163) ga qo` ysak quyidagi tenglamalar hosil bo`ladi.
m d2›
dt2= ¯F›;
m d 2
y
d t 2 = ¯
F
y ;
m d 2
z
d t 2 = ¯
F
z ;
(165)
yoki m x ″
= F
x ;

m y″= Fy; m z ″
= F
z ;
(165.1)
(165), (165.1) formulalar ham nuqta harakatining Dekart koordinatalardagi
differensial tenglamalarini ifodalaydi. Agar nuqta bir tekislikda (XOU) tekisligida
harakat qilsa, (165) tenglama quyidagicha yoziladi:
m d ¯
ϑ
›
dt = ¯
F
› ;
m d ¯
ϑ
y
dt = ¯
F
y ;
(166)
Agar nuqta to`g`ri chiziqli harakat qilsa (165) tenglama quyidagicha yoziladi
m d ¯
ϑ
›
dt = ¯
F
› ;
(167)
(167) tenglamaga to`g`ri chiziqli harakatning differensial tenglamasi deyiladi.
134-Rasm
М
YZ
Z
X X

Xulosa:
Mexanik sistema dinamikasining umumiy teoremasi shuni ko‘rsatadiki, tizimning
tashqi kuchlar ta’siridagi impulslarining o‘zgarish tezligi shu kuchlarning geometriya
yig‘indisiga teng bo‘ladi. Boshqacha aytganda, mexanik tizimdagi jism yoki jismlar
guruhining harakati unga ta’sir qilayotgan tashqi kuchlarning natijasiga bog‘liq
bo‘ladi. Bu teorema orqali biz murakkab tizimlar harakatini soddalashtirib tahlil
qilishimiz, impulslar, momentlar va energiya balansi asosida tizim holatini bashorat
qilishimiz mumkin.
Ushbu teorema nafaqat mexanikada, balki muhandislik, aviatsiya, robototexnika va
boshqa sohalarda ham keng qo‘llaniladi. Shuningdek, bu qonunlar mexanik
modellashtirishda asosiy o‘rin tutadi.

Adabiyotlar:
1. P. Shoxaydarova, Sh. Shoziyotov, Sh. Zoirov «Nazariy mexanika» darslik.
Toshkent 1991 yil.
2. T.R. Rashidov, Sh. Shoziyotov, K.B.Muminov «Nazariy mexanika asoslari»
darslik. Toshkent 1990 y.
3. S. M. Targ «Kratkiy kurs teoreticheskoy mexanik i » «Visshaya shkola» 2002 g.
4 . I. V. Meshcherskiy. Nazariy mexanikadan masalalar to`plami. O`quv qo`llanmasi
Toshkent. 1989 y.

Sotib olish

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

Mexanik sistema dinamikasining umumiy teoremasi

O'xshash dokumentlar