Monoton ketma-ketlik va uning limitlari, tatbiqlari 26 - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	35000UZS
Размер	183.0KB
Покупки	0
Дата загрузки	13 Июнь 2026
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

201 Продаж

Monoton ketma-ketlik va uning limitlari, tatbiqlari 26

Купить

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
FARG‘ONA DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
MATEMATIKA YO‘NALISHI
24.02-GURUH TALABASI
______________________________
MATEMATIK ANALIZ FANIDAN
KURS ISHI
Mavzu: Monoton ketma-ketlik va uning limitlari,
tatbiqlari
Ilmiy rahbar:
Farg‘ona-2026
1

MUNDARIJA
KIRISH
1-§. Monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari
2-§. Monoton ketma-ketliklarning lmitlari haqidagi
teoremalarining tatbiqlari
3-§. Qismiy ketma-ketliklar. Bolsano-Veyershtras lemmasi
4-§. Koshi teoremasi (yaqinlashish prinsipi)
5-§. Sonli ketma -ketlikning yuqori va quyi limitlari
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
2

KIRISH
Matematik analiz fani zamonaviy matematikaning poydevor tarmoqlaridan
biri hisoblanadi. U cheksiz jarayonlarni, chegaralarni, uzluksizlik va yaqinlashish
tushunchalarini o‘rganadi. Bu fanning eng muhim ob’ektlaridan biri — sonli
ketma-ketliklar bo‘lib, ular orqali ko‘plab murakkab matematik tuzilmalar tahlil
qilinadi. Xususan, monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari mavzusi nafaqat
nazariy jihatdan chuqur ahamiyatga ega, balki amaliy tatbiqlari jihatidan ham
dolzarbdir. Monoton ketma-ketliklarning asosiy xususiyati shundaki, agar u
chegaralangan bo‘lsa, u albatta yaqinlashadi. Bu fakt real sonlar to‘plamining
to‘liqligi (komplektligi) bilan chambarchas bog‘liq.Bu xususiyat Bolzano-
Veyerstrass teoremasi, siqish teoremasi va boshqa fundamental natijalarning
isbotida keng qo‘llaniladi. Shuning uchun monoton ketma-ketliklar matematik
tahlilning keyingi bo‘limlari — funksiyalar limiti, uzluksizlik, differensial va
integral hisob uchun mustahkam nazariy poydevor yaratadi.
Zamonaviy ilm-fan va texnikada cheksiz ketma-ketliklarning xulq-atvorini
tushunish muhim ahamiyat kasb etadi. Raqamli usullar (iteratsion algoritmlar),
iqtisodiy o‘sish modellari, fizikaviy jarayonlarni modellashtirish, mashinaviy
o‘qitish va optimizatsiya masalalarida monotonlik xususiyati markaziy o‘rin tutadi.
Masalan, Nyuton usuli yoki gradient tushish algoritmlarining konvergensiyasi
ko‘pincha monoton yaqinlashishga asoslanadi. O‘zbekiston Respublikasida ta’lim
va ilm-fanni rivojlantirish strategiyasida aniq fanlarni, xususan matematik tahlilni
chuqur o‘zlashtirish ustuvor vazifa hisoblanadi. Monoton ketma-ketliklar mavzusi
talabalarda mantiqiy fikrlash, isbotlash ko‘nikmalarini shakllantirishda muhim rol
o‘ynaydi. Masalaning qo‘yilishi: Monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari
haqida asosiy tushunchalar bilan tanishish . Monoton ketma-ketliklar va ularning
limitlari haqida ta’riflar va tushunchalar .
Masalaning dolzarbligi: Bu masalaning dolzarbligi ba’zi matematik masalalarni
yechishda qulaylik tug‘duradi.
3

Ishning maqsadi va vazifalari: Ishning maqsadi monoton ketma-ketliklar va
ularning limitlari haqida asosiy tushunchalarga ega bo‘lish va hayotda kerakli
joyda qo‘llay olishni o‘rganish.
Ishning tuzilishi: Mazkur kurs ishi monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari
haqida asosiy tushunchalar mavzusi va mavzuga oid ta’rif teoremalarni
o‘rganishga bag‘ishlangan bo‘lib, kirish qismi, 5 ta paragraf, xulosa va
foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat .
Bajarilgan ishlarning qisqacha mazmuni: Monoton ketma-ketliklar va ularning
limitlari haqida asosiy tushunchalar mavzusi asosan 5 ta paragrafda keng yoritib
berilgan. Monoton ketma-ketliklar yordamida ketma-ketlik o‘suvchi yoki
kamayuvchi ekanligini bundan tashqari ajoyib limitlar bizga bir qancha murakkab
bo‘lgan limitlarni hisoblashda qulaylik tug‘diradi .
Kurs ishining dolzarbligi: Mamlakatimizda matematika 2020-yildagi ilm-fanni
rivojlantirishning ustuvor yo‘nalishlaridan biri sifatida belgilandi. O‘tgan davr
ichida matematika ilm-fani va ta’limini yangi sifat bosqichiga olib chiqishga
qaratilgan qator tizimli ishlar amalga oshirildi: birinchidan, ilg‘or ilmiy
markazlarda faoliyat yuritayotgan vatandosh matematik olimlarning taklif qilinishi
va xalqaro ilmiy-tadqiqotlar olib borilishi uchun zarur shart-sharoit yaratildi;
Ushbu vazifalarning samarali bajarilishining asosiy omili o‘quv vositalaridir.
Ta‘lim vositalari sivilizatsiyaning ajralmas qismi umuminsoniy madaniyatning
muhim elementi hamda dunyoni ilmiy o‘rganish tilidir.
Kurs ishining vazifalari.
Oliy ta’lim muassasalari uchun DTS , taqvim rejasi , mazuga oid mavjud adabiyotlar,
internet ma’lumotlarini to‘plash va tahlil qilish;
“Monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari haqida asosiy tushunchalar”
mavzusida masalalar ishlashning muammolarini , fanda tutgan o‘rni va ahamiyatini
o‘rganib chiqish.
Oliy ta’lim muassasalarida “Monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari haqida
asosiy tushunchalar” mavzusining asosiy tushunchalarini tahlil qilish, innovatsion
4

texnologiyalardan foydalangan holda mavzuni o‘qitish metodikasini ishlab chiqish .
Oliy ta’lim muassasalarida “Monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari haqida
asosiy tushunchalar” ga doir masalalar yechish metodikasini ishlab chiqish .
Bitiruv malakaviy ish yuzasidan tajriba o‘tkazish , uning natijalarini tahlil qilish va
tegishli xulosalar chiqarish.
5

1-§. Monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari
Biror {xn} ketma-ketlik berilgan bo‘lsin .
1-ta’rif. Agar ketma -ketlik
∀ n∈N son uchun xn≤xn+1 tenglik o‘rinli bo‘lsa { x
n }
o‘suvchi ketma-ketlik deb ataladi .
Agar
∀ n∈N uchun xn<xn+1 tengsizlik o‘rinli bo‘lsa {xn} qat’iy o‘suvchi ketma-
ketlik deb ataladi .
Masalan 1,2,2,3,3,3 , n , n , n , .. , n ,
… ketma -ketlik o‘suvchi ,
2,22,23,24,… .,2n
,… ketma-ketlik esa qat’iy o‘suvchi ketma-ketlik deyiladi .
Agar
{ x
n } ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lsa , u quyidan chegaralangan bo‘ladi .
Haqiqatdan bu holda
{xn} ketma-ketlikning istalgan hadi uchun x1≤xn tengsizlik
o‘rinli . Bu esa
{ x
n } ketma-ketlikning quyidan x
1 son bilan chegaralanganligini
bildiradi .
2-ta’rif. Agar
{xn} ketma-ketlikda ∀ n ∈ N
son uchun xn≥xn+1 tengsizlik o‘rinli
bo‘lsa ,
{ x
n } kamayuvchi ketma-ketlik deb ataladi .
Agar ∀ n ∈ N
son uchun x
n > x
n + 1 tengsizlik o‘rinli bo‘lsa ,
{ x
n } ketma-ketlik qat’iy
kamayuvchi ketma-ketlik deb ataladi .
Masalan , 1 , 1
2 , 1
2 , 1
3 , 1
3 , 1
3 , .... 1
n , 1
n , 1
n . .. , 1
n …
ketma-ketlik kamayuvchi . Ushbu
2
1 , 3
2 , 4
3 , … , n + 1
n , …

ketma-ketlik esa qat’iy kamayuvchi ketma-ketlik . Haqiqatdan ,
∀ n∈N uchun
x
n + 1 − x
n = n + 2
n + 1 − n + 1
n = − 1
n ( n + 1 ) < 0
bo‘lib , undan
xn>xn+1 bo‘lishi kelib chiqadi .
Agar
{ x
n } ketma-ketlik kamayuvchi bo‘lsa , u yuqoridan chegaralangan bo‘ladi.
Haqiqatdan , bu holda
∀ n∈N uchun x1≥xn tengsizlik o‘rinli . Bu esa ketma-
ketlikning yuqoridan chegaralanganligini ko‘rsatadi .
O‘suvchi va kamayuvchi ketma-ketliklar umumiy nom bilan monoton ketma-
ketliklar deb ataladi .
1-teorema . Agar
{xn} ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lib , yuqoridan chegaralangan
bo‘lsa , u chekli limitga ega ; agar
{xn} ketma-ketlik yuqoridan chegaralanmagan
6

bo‘lsa , u holda {xn} ketma-ketlikning limiti +∞ bo‘ladi.
Isbot . Avvalo
{ x
n } ketma-ketlik o‘suvchi va yuqoridan chegaralangan xolni
qaraymiz .Ketma-ketlik yuqoridan chegaralanganligi uchun shunday o‘zgarmas
M
son mavjudki ,
∀ n∈N son uchun x
n < M
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi . Bu esa ketma-
ketlikning barcha hadlaridan tuzilgan
{ x
n } to‘plamning yuqoridan
chegaralanganligini ifodalaydi . Unda to‘plamning aniq yuqori chegarasi
1- teoremaga asosan bu to‘plam uchun ¿
{ x
n } mavjud bo‘ladi . Biz uni a
bilan
belgilaylik : ¿
{ x
n } = a
. Endi a son { x
n } ketma-ketlikning limiti bo‘lishini
ko‘rsatamiz .
Aniq yuqori chegarani ta’rifiga ko‘ra , birinchidan ,
{xn} to‘plamning har bir
elementi uchun
xn≤a tengsizlik o‘rinli bo‘lsa , ikkinchidan , ∀ ε>0 olinganda ham
ketma-ketlikning shunday x
n
0 , hadi topiladiki , bu had uchun x
n 0 > a − ε
tengsizlik
o‘rinli bo‘ladi . Demak ,

a− xn≥0,∀ n∈N ,

¿{xn}=a⟹ a − x
n 0 < ε ,

Qaralayotgan
{ x
n } ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lgani uchun n > n
0 tengsizlikni
qanoatlantiradigan barcha natural sonlar uchun x
n ≥ x
n 0 tengsizlik o‘rinli . Shu
sababli
n>n0 bo‘lganda 0≤a− xn≤a− xn0<ε tengsizlik bajariladi . Shunday qilib ∀ ε>0
olinganda ham shunday
n0∈N son topiladiki , n>n0 bo‘lganda | a − x
n | < ε
tengsizlik
bajariladi . Bu esa a
son x
n ketma-ketlikning limiti ekanini ko‘rsatadi : lim
n → ∞ x
n = a .
Endi
{xn} ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lib , yuqoridan chegaralangan bo‘lsin . Unda
har qanday katta musbat A
son olinganda ham
{ x
n } ketma-ketlikning shunday x
n 0 hadi
topiladiki , bu had x
n 0 > A
bo‘ladi . Ammo barcha
n>n0 lar uchun x
n ≥ x
n 0 tengsizlik
o‘rinli bo‘lgani sababli x
n > A
tengsizlik ham bajariladi . Bu esa lim
n → ∞ x
n = + ∞
bo‘lishini
bildiradi . Teorema isbot bo‘ldi .
2-teorema . Agar
{xn} ketma-ketlik kamayuvchi bo‘lib , quyidan chegaralangan
bo‘lsa , u chekli limitga ega ; agar
{xn} ketma-ketlik quyidan chegaralanmagan
bo‘lsa , u holda
{xn} ketma-ketlikning limiti − ∞
bo‘ladi .
7

Isbot etilgan teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi .
Natija . O‘suvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning yuqoridan
chegaralanganligi kelib chiqadi . Agar o‘suvchi ketma-ketlik yuqoridan
chegaralangan bo‘lsa , u yuqorida isbot etilgan teoremaga asosan yaqinlashuvchi
bo‘ladi .
Natija . Kamayuvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning quyidan
chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli .
1-misol . Ushbu {xn}={
n!
nn} ketma-ketlikning limitini toping .
Avvalo bu ketma-ketlik limitining mavjudligini ko‘rsatamiz . Ravshanki ,

xn+1= (n+1)!
(n+1)n+1= n!
nn
nn
(n+1)n= xn( n
n+1)
n
Bundan barcha
n≥1 lar uchun xn+1<xn tengsizlik o‘rinli ekani kelib chiqadi . Bu esa
berilgan ketma-ketlik kamayuvchi ekanini ko‘rsatadi . Ketma-ketlikning har bir
hadi musbat ,
xn>0 , n=1,2 ,…
Demak , u quyidan chegaralangan . Shunday qilib ,
{xn}={
n!
nn} ketma-ketlik
kamayuvchi va quyidan chegaralangan . 2-teoremaga ko‘ra bu ketma-ketlik chekli
limitga ega . Biz uni
a bilan belgilaylik :
lim
n → ∞ n !
n n = a .
Ravshanki ,
a≥0. Ushbu (1+α)n≥1+αn (α>−1). Bernulli tengsizligidan foydalanib
topamiz :
( 1 + 1
n ) n
≥ 1 + n 1
n = 2 .

Bundan esa ( n + 1 ) n
≥ 2 n n
kelib chiqadi . U holda

xn− xn+1= xn− xn nn
(n+1)n= xn[
(n+1)n− nn
(n+1)n ]≥xn2nn− nn
(n+1)n=¿
8

¿ xnnn
(n+1)n= xn+1,bo‘lib natijada quydagi x
n ≥ 2 x
n + 1 tengsizlikka kelamiz . Bu tengsizlikda limitga
o‘tamiz :
limn→∞xn≥2limn→∞xn+1. Undan a ≥ 2 a
va a ≥ 0
ni hisobga olsak , a = 0
ekani kelib
chiqadi . Demak ,
lim
n → ∞ n
n n = 0 .
2-misol . Quyidagi

√
a , √ a + √ a , √ a + √ a + √ a …

√
a + √ a + √ a + . + √ a …,
( a > 0 )
ketma -ketlik limitini toping .
Bu ketma ketlik yuqoridan chegaralangan bo‘ladi :
x
n <
√ a + 1 ( n = 1,2 , … . ) ( ¿ )
Shuni ko‘rsatamiz . Ravshanki ,
x
1 =
√ a < √ a + 1

(*) munosabat
n= k uchun o‘rinli bo‘lsin :
x
k <
√ a + 1

Deb n = k + 1
uchun o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz :
x
k + 1 =
√ a + x
k < √ a + √ a + 1 < √ a + 2 √ a + 1 = √ a + 1.
Demak , matematik induksiya usuliga binoan ,
∀ n∈N uchun

xn<√a+1
bo‘ladi .
Ravshanki ,
x
1 =
√ a < √ a + √ a = x
2 .
Endi
k nomer uchun xk−1<xk tengsizlik bajarilsin deyilsa , xk<xk+1 bo‘ladi .
Haqiqatdan ham ,
x
k =
√ a + x
k − 1 < √ a + x
k = x
k + 1 .
Demak ,
∀ n∈N uchun xn<xn+1 bo‘ladi . Bu esa berilgan ketma-ketlikning o‘suvchi
ekanligini bildiradi . Monoton ketma-ketlikning limiti haqida
1-teoremaga ko‘ra berilgan ketma-ketlik chekli limitga ega . Biz uni
y bilan
9

belgilaylik : lim
n → ∞ x
n = y .
So‘ngra xn2=a+xn−1 tenglikda hadlab limitga o‘tish amalini
bajarib topamiz :
limn→∞xn2= limn→∞a+limn→∞xn−1 yoki y2= a+y . Natijada y
ni topish uchun
ushbu
y 2
− y − a = 0 kvadrat tenglamaga kelamiz . Bu kvadrat tenglamaning ildizlarini
yozamiz :

y1= 1+√1+4a
2 ,y2= 1− √1+4a
2
Ketma -ketlik hadlari musbat bo‘lganligi uchun y
1 = 1 +
√ 1 + 4 a
2 son ketma ketlikning
limiti bo‘ladi . Demak ,
lim
n → ∞ x
n = lim
n → ∞ ¿ ¿ ¿
Xususan , ushbu

√
3 , √ 3 + √ 3 , √ 3 + √ 3 + √ 3

√
3 + √ 3 + √ 3 + .... + √ 3 …,
ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti 1 +
√ 13
2 ≈ 2,29
ga teng .
10

2-§. Monoton ketma-ketliklarning lmitlari haqidagi
teoremalarining tatbiqlari
Biz monoton ketma -ketlikning limiti haqidagi teoremalarning matematik analiz
kursida qaraladigan ba’zi masalalarga tatbiq etishini qarab chiqaylik .
1. e soni .

a¿e sonining ta’rifi.
Quyidagi
{xn}={(1+1
n)
n
};

(1+1
1)
1
,(1+1
2)
2
,… .,(1+1
n)
n
,… . (1)
ketma-ketlik berilgan bo‘lsin . Bu ketma-ketlik limitining mavjudligini
ko‘rsatamiz. Berilgan (1) ketma-ketlik bilan birga ushbu

{yn}={(1+1
n)
n+1
}
ketma-ketlikni ham ko‘ramiz . Bu ketma-ketlik kamayuvchi . Haqiqatdan ham

yn
yn+1
=
{(1+1
n)
n+1
}
{(1+ 1
n+1)
n+2
}
=[(n+1)2
n(n+2)]
n+2 n
n+1=[1+ 1
n(n+2)]
n+2 n
n+1
berilgan tengsizlikka asosan
[ 1 + 1
n ( n + 2 ) ] n + 2
≥ 1 + ( n + 2 ) 1
n ( n + 2 ) = 1 + 1
n
bo‘lishini hisobga olsak , natijada
y
n
y
n + 1 ≥ ( 1 + 1
n ) n
n + 1 = 1 ,
ya’ni y
n ≥ y
n + 1 ( ∀ n ∈ N )

tengsizlik kelib chiqadi . Bu
{ y
n } ketma-ketlikning kamayuvchi ekanligini anglatadi
. Ikkinchi tomondan ,
{ y
n } = {( 1 + 1
n ) n + 1 }
ketma-ketlikning har bir hadi musbat bo‘lgani
uchun u quyidan chegaralangandir . Shunday qilib
{yn}={(1+1
n)
n+1
} kamayuvchi va
11

quyidan chegaralangandir. 2- teoremaga ko‘ra bu { y
n } ketma-ketlik limitga ega .
Agar

yn=(1+1
n)
n+1
= xn(1+1
n)
tengsizlikdan x
n = y
n n
n + 1 tenglikning kelib chiqishini va lim
n → ∞ n
n + 1 = 1
ekanini
e’tiborga olsak , unda
limn→∞xn=¿limn→∞yn¿ ga ega bo‘lamiz . Bu esa (1) ketma-ketlik
limitining mavjudligini ko‘rsatadi .
1-ta’rif . Berilgan
{xn}={(1+1
n)
n
} ketma-ketlikning limiti e soni deb ataladi :

limn→∞(1+1
n)
n
=e.
Bunda e
soni lotincha exponentis-“ ko‘rsatish , ko‘rsatgich , namoyish qilish “
so‘zining dastlabki harfini ifodalaydi .

b¿e sonini taqribiy hisoblash . e sonini taqribiy hisoblash maqsadida ( 1 + 1
n ) n
ifodani Nyuton binomi formulasidan foydalanib quydagicha yozib olamiz :
(
1 + 1
n ) n
= 1 + n
1 ∙ 1
n + n − 1
1 ∙ 2 ∙ 1
n +
( n − 1 )( n − 2 )
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 1
n 2 + + ( n − 1 )( n − 2 )( n − k + 1 )
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ∙ k ∙ 1
n k − 1 + + 1
n n = 2 + 1
1 ∙ 2 ( 1 − 1
n ) + 1
1 ∙ 2 ∙ 3 ( 1 − 1
n ) ( 1 − 2
n ) + + 1
1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ ∙ k ( 1 − 1
n ) ( 1 − 2
n ) ( 1 − k − 1
n ) + + 1
n ! ( 1 − 1
n ) ( 1 − 2
n ) ( 1 − n − 1
n ) .
Agar

S1= 2+ 1
2!(1− 1
n)+ 1
3!(1− 1
n)(1− 2
n)++1
k!(1− 1
n)(1− 2
n)
( 1 − k − 1
n ) , 1 < k < n ,
S
2 = ¿
1
( k − 1 ) ! ( 1 − 1
n ) ( 1 − 2
n ) ( 1 − k
n ) + + 1
n ! ( 1 − 1
n ) ( 1 − 2
n ) ( 1 − n − 1
n )
deb olsak :

(1+1
n)
n
= S1+S2

{ x
n } = {( 1 + 1
n ) n}
ketma-ketlik uchun x1= 2 qolaversa , ( 1 + 1
n ) n
ning yoyilmasidan ,
1
k ! ≤ 1
2 k − 1 , k ∈ N
tengsizlikka ko‘ra , x
n < 2 + 1
2 + 1
2 2 + + 1
2 n − 1 = 3 − 1
2 n − 1 < 3 .
shunga asosan
e
12

soni 2<e<3 tengsizlikni qanoatlantiradi . Bu sonni yanada aniqroq hisoblash uchun
quyidagi mulohazalarni keltiramiz .
Yuqoridagi
S2 yig‘indini quyidagicha yozib olamiz :
S2= 1
k!(1− 1
n)(1− 2
n)(1− k−1
n )[
1
k+1(1− k
n)+ +1
(k+1)(k+2)(1− k
n)(1− k+1
n )+ +1
(k+1)(k+2)n(1− k
n)(1− k+1
n )(1− n−1
n )].
Bu tenglikning o‘ng tomonida turgan yig‘indining har bir hadida qatnashgan
(1− i
n),i=k,k+1,… .,n−1
ko‘rinishidagi ko‘paytuvchilarni undan katta bo‘lgan 1
bilan va
1
( k + 1 ) ( k + 2 ) ( k + j ) , j = 1,2,3 , … . , n − k
ko‘rinishidagi ko‘paytuvchilarni esa undan katta bo‘lgan
1
(k+1)j bilan almashtirib ,
S2
yig‘indi uchun ushbu

S2< 1
k![ 1
k+1+ 1
(k+1)2+...+ 1
(k+1)n−k]
tengsizlikka kelamiz . Cheksiz kamayib boruvchi geometrik progressiya barcha
hadlari yig‘indisi formulasidan foydalanib : (bunda birinchi had
1
k+1, maxraji ham
1
k + 1 bo‘ladi ) topamiz :
S
2 < 1
k ! 1
( k + 1 ) ( 1 − 1
k + 1 ) = 1
k ! k ,
Shunday qilib ,
( 1 + 1
n ) n
= S
1 + S
2 < 2 + 1
2 !
( 1 − 1
n ) + 1
3 ! ( 1 − 1
n )( 1 − 2
n ) … + 1
k ! ( 1 − 1
n ) ( 1 − 2
n ) ( 1 − k − 1
n ) + 1
k ! k
va undan
0 < ¿
( 1 + 1
n ) n
− [ 2 + 1
2 ! ( 1 − 1
n ) + 1
3 ! ( 1 − 1
n ) ( 1 − 2
n ) + ... + 1
k ! ( 1 − 1
n ) ( 1 − 2
n ) ( 1 − k − 1
n ) ] < 1
k ! k
tengsizliklarga ega bo‘lamiz ,
n→ ∞ bu tengsizliklarda limitga o‘tib olamiz :
13

0 ≤ e − ( 2 + 1
2 ! + 1
3 ! + ... + 1
k ! ) ≤ 1
k ! k .
Bu munosabat e
sonini taqribiy hisoblash imkonini beradi . Demak ,
e ≈ 2 + 1
2 ! + 1
3 ! + ... + 1
k !
bo‘lib , bu taqribiy formulaning xatosi 1
k ! k dan oshmaydi . Masalan , k = 10
da
e ≈ 2 + 1
2 ! + 1
3 ! + … + 1
10 ! ≈ 2,718281
bo‘lib xatolik esa
1
10 ! 10 < 0,0000001

bo‘ladi . e
sonining yanada aniqroq qiymati : e= 2,7182818459045
Ichma-ich joylashgan segmentlar prinspi .
1-teorema . Ikkita
{ x
n } va { y
n } ketma-ketlik berilgan bo‘lsin . Agar
1)
{xn} o‘suvchi { y
n } kamayuvchi ketma-ketlik ;
2)
∀ n∈N lar uchun xn<yn ,
3) lim
n → ∞ ( y
n − x
n ) = 0
bo‘lsa
{xn} va { y
n } ketma -ketliklar yaqinlashuvchi va limn→∞xn= limn→∞yn
tenglik o‘rinli bo‘ladi .
Isbot .
{ x
n } ketma -ketlik o‘suvchi { y
n } ketma-ketlik esa kamayuvchi hamda har
bir n ∈ N
uchun
xn<yn tengsizlik o‘rinli bo‘lganidan ∀ n∈N uchun x
n ≤ y
1 , y
n ≥ x
1
tengsizliklar bajariladi . Bu esa
{ x
n } ketma-ketlik yuqoridan { y
n } ketma-ketlik esa
quyidan chegaralanganligini bildiradi . Monoton ketma -ketlikning limiti haqidagi
teoremalarga asosan
{ x
n } va { y
n } ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo‘ladi . Demak ,
limn→∞xnva limn→∞yn
lar mavjud . Shuning uchun
14

lim
n → ∞ ( y
n − x
n ) = ¿ lim
n → ∞ y
n − lim
n → ∞ x
n ¿
bo‘lib . Teoremaning uchinchi sharti esa
lim
n → ∞ y
n − lim
n → ∞ x
n = 0 , lim
n → ∞ y
n = lim
n → ∞ x
n
bo‘lishi kelib chiqadi . Teorema isbot bo‘ldi .
Isbot qilingan teoremadan muhim natija kelib chiqadi . Bu natijani keltirishdan
avval ichma-ich joylashgan segmentlar ketma -ketligi tushunchasi bilan
tanishamiz .
Ma’lumki , {x,x∈R,a≤x≤b} to‘plam [a,b] segment deb atalar edi . Agar
[a1,b1]⊂[a,b]
bo‘lsa [a1,b1] segment [a,b] segmentning Ichida joylashgan deyiladi .
Agar
[a1,b1],[a2,b2],… .[an,bn],… . segmentlar ketma -ketligi quyidagi

[ a
1 , b
1 ] ⊃ [ a
2 , b
2 ] ⊃ [ a
3 , b
3 ] … . ⊃ [ a
n , b
n ] ⊃ ....
munosabatda bo‘lsa , bu segmentlar
ichma-ich joylashgan segmentlar ketma -ketligi deyiladi .
Natija . Agar ichma-ich joylashgan

[ a
1 , b
1 ] ,[ a
2 , b
2 ] , … . [ a
n , b
n ] .
segmentlar ketma-ketligi uchun
limn→∞(bn−an)=0 bo‘lsa , u holda { a
n } va { b
n } ketma -
ketliklar bitta limitga ega hamda bu limit barcha segmentlarga tegishli bo‘lgan
yagona nuqta bo‘ladi .
Isbot .
[a1,b1],[a2,b2],… .[an,bn] ichma -ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi
bo‘lib ,

limn→∞(bn−an)=0
bo‘lsin. Bunda
{ a
n } ketma-ketlik o‘suvchi , { b
n } esa kamayuvchi ketma-ketliklardir va
barcha
n∈N lar uchun an<bn bo‘ladi . Demak , { a
n } va { b
n } ketma -ketliklar 3-
15

teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi , bu teoremaga ko‘ra { a
n } va { b
n } ketma
-ketliklar yaqinlashuvchi va
lim
n → ∞ a
n = lim
n → ∞ b
n

bo‘ladi .
Endi
limn→∞an= limn→∞bn=c deb belgilab , c
nuqta barcha [ a
n , b
n ] n = 1,2 …
segmentlarga
tegishli bo‘lgan yagona nuqta ekanini ko‘rsatamiz .
{ a
n } ketma -ketlik o‘suvchi va
lim
n → ∞ a
n = c
bo‘lganidan
an≤c(n=1,2 ,… ) shuningdek { b
n } ketma-ketlik kamayuvchi va
limn→∞bn= c
bo‘lganidan esa bn≥c(n=1,2 ,… ) bo‘lishi kelib chiqadi . Bundan
b
n − a
n ≥
| c −
˙c | > 0
bo‘lib , bu munosabat
limn→∞(bn−an)=0 shartga zid bo‘ladi . Demak c= ˙c
keltirilgan natija ichma -ich joylashgan segmentlar prinspi deb yuritiladi .
Sanoqli bo‘lmagan cheksiz to‘plamning mavjudligi .
Ma’lumki natural sonlar to‘plamiga ekvivalent bo‘lgan har qanday to‘plam sanoqli
to‘plam deb atalar edi . Ravshanki , sanoqli to‘plamlar cheksiz to‘plamlardir . Endi
sanoqli bo‘lmagan cheksiz to‘plamlarning mavjudligini ko‘rsatamiz . buning
uchun avvalo sanoqli to‘plamlar bilan ketma -ketliklar orasida bog‘lanish borligini
ko‘rsatamiz .
Agar biror E ( E ⊂ R )
to‘plamning barcha elementlarini
x
1 , x
2 , x
3 , … x
n …
,
ketma-ketlik ko‘rinishida ifodalash mumkin bo‘lsa ,
E sanoqli to‘plam bo‘ladi .
Haqiqatdan bunda har bir x
n ga uning indeksi n
ni mos qo‘yib
(xn→ n),E
to‘plamning elementlari bilan
N to‘plamning elementlari orasida o‘zaro bir
qiymatli moslik o‘rnatish mumkin .
16

Aksincha , agar E ( E ⊂ R )
sanoqli to‘plam bo‘lsa , unda n(n∈N) nomerga mos
keladigan E
to‘plamning elementlari
xn bilan belgilab , E ni elementlari

x1,x2,x3,… xn… ,
ketma-ketlik ko‘rinishida bo‘lishini aniqlaymiz .
Shunday qilib E ( E ⊂ R )
to‘plam sanoqli to‘plam bo‘lishi uchun uni tashkil
etgan elementlar

x1,x2,x3,… xn… ,
ketma-ketlik hosil qilish zarur va yetarli ekanini qayd qilib o‘tamiz .
2-teorema . Ushbu E = ( x : x ∈ R , 0 ≤ x ≤ 1 )
to‘plam sanoqli bo‘lmagan cheksiz
to‘plamdir .
Isbot . Bu
E to‘plam sanoqli bo‘lsin deb faraz qilaylik . Unda E ning
elementlari yuqoridagi mulohazaga ko‘ra

x1,x2,x3,… xn,…
ketma -ketlik tashkil etadi . Demak ,
E to‘plamning har bir elementi { x
n } ketma-
ketlikning tegishli hadidan iborat .
Endi
E= [0,1 ] segmentni 1
3 , 2
3 nuqtalar yordamida uchta [0,1
3],[
1
3,2
3],[
2
3,1]
segmentga ajratamiz . x
1 ∈ E =
[ 0,1 ]
olaylik . Bu . x
1 yuqoridagi uchta segmentchani
hech bo‘lmaganda bittasiga tegishli bo‘lmaydi . Bu segmentchani
E1 orqali
belgilaylik ( bu
E1¿'plam yo [0,1
3]yo [
1
3,2
3]yoki [
2
3,1]bo 'lishi mumkin ¿ . Agar bordi-yu
x
1
[0,1
3],[
1
3,2
3],[
2
3,1]
segmentchalardan ikkitasiga tegishli bo‘lmasa ( unda x1 albatta
uchinchisiga tegishli bo‘ladi ) , unda E
1 deb ulardan birini , masalan chap tomonda
17

turganini olamiz . Ravshanki E1⊂ Eva E1 segmentning uzunligi 1
3 ga teng bo‘ladi.
Endi E
1 ni ham uchta teng segmentga ajratamiz va yuqoridagi o‘xshash x
2 ∈ R
element tegishli bo‘lmagan segmentchani
E2 bilan belgilaymiz . Bunda E2⊂ E1 va E2
segmentning uzunligi
1
32 ga teng bo‘ladi . So‘ng E2 segmentchani ham uchta teng
segmentchaga ajratib , ular ichida
x3∈R element tegishli bo‘lmaganini E3 orqali
belgilaymiz . Bu jarayonni davom ettirib natijada ushbu

E1,E2,E3,… .,En
Segmentlar ketma -ketligini xosil qilamiz, bunda barcha n
lar uchun
xn∈En
bo‘lib
En segmentning uzunligi
1
3n ga teng bo‘ladi . Bu segmentlar ketma -ketligi
uchun E
1 ⊃ E
2 ⊃ E
3 … . E
n ⊃ ... .

munosabatlar o‘rinli bo‘lib , ushbu
limn→∞
1
3n=0 limitga egamiz, u holda ichma -ich
joylashgan segmentlar prinspiga asosan barcha segmentlarga tegishli bo‘lgan
yagona
a nuqta mavjud : a∈En,n=1,2 ,… Ammo xn∈En bo‘lgani sababli a≠xn . Bu
holda
a ning E= [0,1 ] segmentga tegishli bo‘la turib , {xn} ketma-ketlikning birorta
hadiga teng bo‘lmasligini ko‘rsatadi . Bunga sabab ,
E ni sanoqli deb olinishidir.
Demak
E= [0,1 ] sanoqli to‘plam bo‘lmaydi . Teorema isbotlandi.
2-ta’rif . Ushbu
E = ( x : x ∈ R , 0 ≤ x ≤ 1 ) =
[ 0,1 ]
to‘plamga ekvivalent bo‘lgan har qanday to‘plam kontinnum quvvatli to‘plam deb
ataladi .
18

3-§. Qismiy ketma-ketliklar. Bolsano-Veyershtras lemmasi
Biror { x
n } : x
1 , x
2 , x
3 , … , x
n , …
ketma-ketlik berilgan bo‘lsin . Bu ketma-
ketlikning biror n
1 nomerli x
n
1 hadini olamiz . So‘ngra nomeri n
1 dan katta bo‘lgan n
2
nomerli
xn2 hadni olamiz . Shu usul bilan x
n
3 , x
n
4 va hokazo hadlarni olish mumkin.
Natijada nomerlari n
1 < n
2 < n
3 < … < n
k < ...
tengsizliklarni qanoatlantiradigan hadlar tanlangan bo‘ladi . Bu hadlar ushbu
x
n
1 , x
n
2 , … . , x
n
k , … ( n
1 < n
2 < n
3 < .... < n
k < .... )

ketma-ketlikni tashkil etadi .
Odatda yuqoridagi ketma-ketlik
{ x
n } ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi deb
ataladi va
{ x
n
k } kabi belgilanadi . Ba’zida { x
n } ketma-ketlikdan { x
n
k } ketma-ketlik
ajratilgan deyiladi .
Qismiy ketma-ketlikning tuzilishidan ravshanki , k → ∞
da n
k ham cheksizlikka
intiladi : lim
k → ∞ n
k = + ∞
.
1-misol .Quyidagi
1,3,5,7,…,
2n−1 ,….
2,4,6,8,…, 2 n
,….
1,4,9,16...,
n 2
,….
ketma-ketliklar natural sonlar ketma-ketligi 1,2,3,...,n,… ning qismiy ketma-
ketliklari bo‘ladi .
2-misol . Ushbu
1 , 1
10 , 1
10 2 , … . 1
10 n , … .
ketma-ketlik

1,1
2,1
3,… ,1
n…
ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligidir .
3. Quyidagi
1,-1,1,-1,….
(−1)n+1 ,
ketma-ketlikdan , masalan , ushbu,
19

1,1,1 , … , 1 , …
−1,−1,−1,… ,−1,...
qismiy ketma-ketliklarga ajratish mumkin .
Keltirilgan tushuncha va misollardan ravshanki , bitta ketma-ketlikdan turli
qismiy ketma-ketliklar ajratish mumkin . Har bir qismiy ketma-ketlik
ba’zi,umuman aytganda , mustaqil , yangi ketma-ketlik bo‘lib , uning uchun ham
yaqinlashuvchilik yoki uzoqlashuvchilik masalasi o‘rganilishi mumkin .
Ketma-ketlik limiti bilan uning qismiy ketma-ketliklari limiti orasidagi
munosabatni quyidagi teorema ifodalaydi .
1-teorema. Agar
{xn} ketma-ketlik limitga (chekli yoki , +∞ ,yoki − ∞ )ega bo‘lsa
, uning har qanday qismiy ketma-ketligi ham shu limitga ega bo‘ladi .
Isbot.
limn→∞xn=a bo‘lsin , {xn} ketma-ketlikning biror

{ x
n } : x
n
1 , x
n
2 , … , x
n
k , …

qismiy ketma-ketligini olaylik.
Limit ta’rifiga ko‘ra
∀ ε>0 olinganda ham , shunday n0∈N son mavjudki ,
barcha
n>n0 lar uchun | x
n − a | < ε
bo‘ladi . k→ ∞ da nk→ ∞ bo‘lishidan shunday m∈N
son topiladiki ,
nm>n0 tengsizlik o‘rinli bo‘ladi . Demak barcha k>m lar uchun
|
x
n
k − a | < ε
tengsizlik bajariladi . Bu esa lim
n → ∞ x n
k = a
limitning o‘rinli ekanini
ifodalaydi . Xuddi shuningdek lim
n → ∞ x
n = + ∞ ( − ∞ )
bo‘lganida ham
{xn} ketma-ketlikning
har qanday qismiy ketma-ketligi
+∞(−∞) ga intilishi ko‘rsatiladi . Teorema isbot
bo‘ldi .
Eslatma . Ketma-ketlik qismiy ketm-ketliklarning limiti mavjud bo‘lishidan
berilgan ketma-ketlikning limiti mavjud bo‘lishi har doim ham kelib
chiqavermaydi . Masalan ;
1,-1,1,-1,… ( − 1 ) n + 1
…
,
ketma-ketlikdan , masalan , ushbu

1,1,1 ,… ,1,…

−1,−1,−1,… ,−1,…
qismiy ketma-ketliklari limitga ega (ular mos ravishda 1 va -1 larga teng ) . Ammo
20

berilgan { ( − 1 ) n + 1 }
ketma-ketlik limitga ega emas .
Demak berilgan ketma -ketlik limitga ega bo‘lmasa ham uning qismiy ketma
-ketliklari limitga ega bo‘lishi mumkin ekan .
1-ta’rif. .
{xn} ketma-ketlikning qismiy ketma-ketligi limiti berilgan ketma-
ketlikning qismiy limiti deb ataladi .
1-lemma . (B o l s a n o – V e y e r s h t r a s l e m m a s i ) . Agar
{xn}
chegaralangan bo‘lsa , bu ketma-ketlikdan shunday qism ketma-ketlik ajratish
mumkinki , u yaqinlashuvchi bo‘ladi .
Isbot .
{ x
n } ketma-ketlik chegaralangan bo‘lsin . Demak , ketma-ketlikning
barcha hadlari biror
[a,b] segmentga tegishli bo‘ladi . [ a , b ]
segmentni teng ikki
qismga ajratib ,
[a,a+b
2 ]va [
a+b
2 ,b] segmentlarni hosil qilamiz . Berilgan ketma-
ketlikning barcha hadlari
[a,b] da bo‘lgani sababli , uning cheksiz ko‘p sondagi
hadlari bo‘lgan segmentni , ya’ni
[a,a+b
2 ] yoki [ a + b
2 , b ]
ni (agar ikkalasida ham
ketma-ketlikning cheksiz ko‘p sondagi hadlari bo‘lsa , ulardan ixtiyoriy birini )
[
a
1 , b
1 ] deb belgilaymiz . Ravshanki [ a
1 , b
1 ] ning uzunligi b − a
2 bo‘ladi .
Yuqoridagiga o‘xshash ,
[ a
1 , b
1 ] segmentni teng ikki qismga ajratib , [a1,a1+b1
2 ] va
[
a
1 + b
1
2 , b
1 ] segmentlarni hosil qilamiz va bu segmentlardan { x
n } ketma -ketlikning
cheksiz sondagi hadlari bo‘lganini
[ a
2 , b
2 ] deb olamiz . Ravshanki , [ a
2 , b
2 ]
segmentning uzunligi b − a
2 2 bo‘ladi . Bu jarayonni davom ettirish natijasida ushbu

[a1,b1],[a2,b2],… ,[ak,bk]… ,
segmentlar ketma-ketligi hosil bo‘ladi . Tuzilishga ko‘ra har bir
[ a
k , b
k ] , k=1,2,3 ,…
segmentda
{ x
n } ketma-ketlikning cheksiz ko‘p sondagi hadlari bo‘ladi .
Ravshanki ,

[ a
1 , b
1 ] ⊃ [ a
2 , b
2 ] ⊃ … ⊃ [ a
k , b
k ] ⊃ .. .

[ a
k , b
k ] segmentning uzuunligi b
k − a
k = b − a
2 k bo‘lib , k→ ∞ da nolga intiladi . Ichma -
21

ich joylashgan segmentlar prinspiga ko‘ra { a
k } va { b
k }
lim
n → ∞ a
k = lim
n → ∞ b
k = c
Endi
{ x
n } ketma-ketlikning [ a
1 , b
1 ] dagi birorta hadini olaylik . U n
1 -had bo‘lsin :
x
n
1 ∈
[ a
1 , b
1 ] . So‘ngra { x
n } ning [a2,b2] dagi birorta hadini olaylik . U n2 -had bo‘lsin :
x
n
2 ∈
[ a
2 , b
2 ] . Qaralayotgan segmentlarning har birida ketma-ketlikning cheksiz ko‘p
hadlari bo‘lganligi uchun , ravshanki ,
n2>n1 qilib olishimiz mumkin .
Xuddi shuningdek ,
{xn} ning [a3,b3] dagi xn1,xn2 hadlaridan keyin keladigan
birorta x
n
3 hadini ( n
1 < n
2 < n
3 ) olamiz . Bu jarayonni davom ettirib k- qadamda ,
[ a
k , b
k ]
segmentdagi
{ x
n } ketma-ketlikning x
n
1 , x
n
2 , , x
n
k − 1 lardan keyin keladigan hadlaridan biri
x
n
k ni olamiz va hokazo . Natijada
{xn} ketma-ketlik hadlaridan tashkil topgan ushbu
x
n
1 , x
n
2 , … , x
n
k …
, (
n1<n2<… <nk<....¿
Qismiy ketma-ketlik hosil bo‘ladi . Qismiy
xnk ketma-ketlikning hadlari uchun

ak<xnk<bk,k=1,2 ,…
tengsizliklar o‘rinli bo‘lib , undan k → ∞
da
lim
n → ∞ x
n
k = c

bo‘lishi kelib chiqadi . Lemma isbot bo‘ldi .
Eslatma . Keltirilgan lemmada ketma-ketlikning chegaralangan bo‘lishi muhim
shartdir . Shu shart bajarilmasa , lemmaning xulosasi o‘rinli bo‘lmasdan qolishi
mumkin . Masalan , chegaralanmagan ushbu

1,2,3 ,… ,n,…
natural sonlar ketma-ketligining har qanday qismiy ketma-ketligi ham
+∞ ga
intiladi .
4-§. Koshi teoremasi (yaqinlashish prinsipi)
Ketma-ketlikning qachon chekli limitga ega bo‘lishi haqidagi masala,
yuqorida ta’kidlaganimizdek limitlar nazariyasining muhim masalalaridan biridir.
22

Bu masalada monoton ketma-ketliklar uchun hal qilingan. Tabiiyki, ixtiyoriy
ketma-ketlik qanday shartda yaqinlashuvchi bo‘ladi degan savol tug‘iladi. Bu
savolga javob berishdan avval fundamental ketma-ketlik tushunchasi bilan
tanishamiz.
Biror {xn } ketma-ketlik berilgan bo‘lsin.
1-t a’rif : Agar ∀
Ɛ >0 olinganda ham shunday n
0 N
ϵ
son mavjud bo‘lsaki,
barcha n>
n0 va barcha m> n0 lar uchun

| x
n − x
m | < ¿
Ɛ
tengsizlik bajarilsa, {xl} fundamental ketma-ketlik deb ataladi.
Demak fundamental ketma-ketlik shunday ketma ketlikkki , uning biror
n0= n0(e)
hadidan boshlab har qanday ikkita hadi orasidagi masofa avvaldan
berilgan ixtiyoriy
ε>0 dan kichik bo‘ladi .
Biz bu paragrfda ketma-ketlikning fundamental bo‘lishi bilan uning
yaqinlashuvchi bo‘lishi ekvivalent ekanligini ko‘rsatamiz . Avvalo fundamental
bo‘lgan hamda bo‘lmagan ketma-ketliklarga misollar keltiraylik .
1-misol
{ x
n } = { n
n + 1 } .
Bu ketma-ketlik uchun ta’rifdagi shartni bajarilishini
ko‘rsatamiz . Haqiqatdan ,

| x
n − x
m | = | n
n + 1 − m
m + 1 | < n + m
nm = 1
n + 1
m
Agar ∀ ε > 0
songa ko‘ra natural n
0 sonni
n
0 =
[ 2
ε ] + 1
deb olsak , u holda barcha
n>n0 va barcha m>m0 lar uchun

|xn− xm|< 1
n0
+ 1
n0
<ε
bo‘lishini topamiz . Demak berilgan ketma -ketlik fundamentaldir .
2-misol
{xn}={1+ 1
22+ 1
32+ 1
42+... 1
n2}
Bu holda
( n > m da )

| x
n − x
m | = 1
( m + 1 ) 1 + 1
( m + 2 ) 2 + ... + 1
n 2
23

bo‘lib bu tengsizlikning o‘ng tomonidagi har bir qo‘shiluvchi ushbu
1
p2< 1
p−1− 1
p
tengsizlikni qo‘llab topamiz:

|xn− xm|<(
1
m − 1
m+1)+...+(
1
n−1− 1
n)= 1
m− 1
n< 1
m
Agar ∀ ε > 0
songa ko‘ra n
0 =
[ 2
ε ] + 1
deb olinsa , unda n > m > n
0 bo‘lganda

|xn− xm|<ε
bo‘ladi. Bu berilgan ketma-ketlikning fundamental ekanini ko‘rsatadi .
3-misol Endi fundamental bo‘lmagan ketma -ketlikka misol keltiramiz .
Quyidagi

{ x
n } = { 1 + 1
2 + 1
3 + ... + 1
n } :
1,1 + 1
2 , 1 + 1
2 + 1
3 , …
ketma-ketlikni qaraylik . Bu ketma-ketlik uchun har qanday
m>1 olganimizda ham

|x2m− xm|= 1
m+1+ 1
m+2+...+ 1
2m >m 1
2m= 1
2
bo‘lishi kelib chiqadi . Bu holda berilgan ketma-ketlikning fundamental emasligini
ko‘rsatadi .
1-teorema . (Koshi Teoremasi) . ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun u
fundamental bo‘lishi zarur va yetarlidir .
Isbot . Zarurligi .
{xn} ketma -ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib limn→∞xn=a , bo‘lsin .
Limitning tarifiga muvofiq ,
∀ ε>0 berilganda ham ε
2 ga ko‘ra shunday n
0 N ϵ
son
topiladiki barcha
n>n0 sonlar uchun | x
n − a | < ε
2 tengsizlik o‘rinli bo‘ladi . Demak ,
ixtiyoriy
n>n0 va m>n0 sonlar uchun

| x
n − x
m | = | x
n − a + a − x
m | ≤ | x
n − a | +| x
m − a | < ε
Bu esa
{xn} fundamental ketma-ketlik ekanini ko‘rsatadi .
Yetarliligi .
{ x
n } − ¿
fundamental ketma-ketlik bo‘lsin . Demak ∀ ε>0 uchun
shunday
n0 Nϵ son topiladiki , n>n0,m>n0 lar uchun | x
n − x
m | < ε
tengsizlik o‘rinli . Bu
24

tengsizlikda n son ( n0 dan katta ) ixtiyoriy bo‘lishini qoldirib , m natural sonning n0
dan katta biror tayin qiymatini olib , yuqoridagi tengsizlikni quyidagi

xn−ε<xn<xn+ε
ko‘rinishida yozib olamiz . Demak ,
n>n0 da {xn} ketma -ketlikning xn hadlari
(
x
m − ε , x
m + ε )
intervalga tegishli bo‘lib , undan ketma-ketlikning chegaralanganligi
kelib chiqadi . Bolsano – Veyershtras lemmasiga ko‘ra
{ x
n } ketma -ketlikdan chekli
songa intiluvchi
{xnk} qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin . Bu qismiy ketma-ketlik
limitini
a bilan belgilaylik ; lim
k → ∞ x
n
k = a .
Endi a son { x
n } ketma-ketlikning limiti ekanini
ko‘rsatamiz . Darhaqiqat , bir tomondan x
n
k → a
bo‘lgani uchun
∀ ε>0 ga ko‘ra
shunday k
0 N
ϵ
son topiladiki k>k0 lar uchun |xnk− a|<ε tengsizlik bajariladi .

|xn−a|=|xn− xnk+xnk−a|≤|xn− xnk|+|xnk−a|<2ε
bo‘lishi kelib chiqadi . Bu esa lim
n → ∞ x
n = a
ekanini ko‘rsatadi . Teorema isbot bo‘ldi .
Isbot etilgan teorema Koshi teoremasi yoki yaqinlashish mezoni deb ataladi .
Bu teorema muhim nazariy ahamiyatga ega.

5-§. Sonli ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari
Bizga
{xn} ketma -ketlik berilgan bo‘lib , {xnk} esa uning uning biror qismiy
25

ketma-ketligi bo‘lsin .
Ma’lumki , ketma-ketlik limitga ega bo‘lmagan holda ham u qismiy limitlarga
ega bo‘lishi mumkin . Bu qismiy limitlarning eng kattasi hamda eng kichigining
mavjudligi masalasini qaraymiz .
1-ta’rif : { x
n } ketma-ketlik qismiy limitlarining eng kattasi (eng kichigi )
berilgan ketma-ketlikning yuqori (quyi ) limitlari deb ataladi va

limn→∞xn(limn→∞xn)
kabi belgilanadi .
Har qanday ketma-ketlik yuqori va quyi limitlarga ega bo‘lishini isbotlaymiz.
Avvalo yuqoridan chegaralanmagan hamda yuqoridan chegaralangan ketma-
ketliklar uchun har doim yuqori limitning mavjud bo‘lishini ko‘rsataylik .
1.
{ x
n } ketma ketlik yuqoridan chegaralanmagan .
O‘suvchi hamda
+∞ ga intiluvchi

a1,a2,a3,… ,ak,…
ketma-ketlikni olaylik
(a1<a2<...<ak… ak→ +∞) .
Modomiki ,
{ x
n } yuqoridan chegaralanmagan ekan , unda ketma-ketlikning shunday
x
n
1 hadi topiladiki , x
n
1 > a
1 tengsizlik o‘rinli bo‘ladi .
Xuddi shunga o‘xshash ketma -ketlikning x
n
1 haddan keyin keladigan x
n
2 hadi
( n
1 < n
2 )
topiladiki , x
n
1 > a
2 tengsizlik ham o‘rinli bo‘ladi . Bu
jarayonni davom ettirib, k − ¿
qadamda
{xn} ketma-ketlikning xn1,xn2,… ,xnk−1,…
hadlaridan keyin keladigan shunday x
nk hadini topamizki , bu had uchun

xn1>ak(n1<n2<… <nk−1<nk)
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi va h.k.
Natijada
{xn} ketma -ketlikdan ushbu
x
n
1 , x
n
2 , … , x
n
k , …
Qismiy ketma -ketlik ajratilib , bundan barcha
k∈N lar uchun xnk>ak tengsizlik
o‘rinli bo‘ladi . Shartga ko‘ra
limn→∞ak=+∞ . Bundan yuqoridagi tengsizlikka ko‘ra
lim
n → ∞ x
n
k = + ∞
ga ega bo‘lamiz . Shunday qilib , ketma-ketlik yuqoridan
chegaralanmagan bo‘lsa , uning yuqori limiti mavjud va
+∞ ga teng bo‘ladi :
26

2. { x
n } ketma-ketlik yuqoridan yuqoridan chegaralangan . Bu holda shunday
o‘zgarmas
M son mavjud bo‘ladiki , barcha n ∈ N
lar uchun x
n ≤ M
bo‘ladi .

{ x
n } ning hadlari yordamida quydagi ketma-ketliklarni tuzamiz :

{ x
n }
1 : x
2 , x
3 , … , x
n , …

{ x
n }
2 : x
3 , x
4 , ... , x
n , …
,
Bunda ,
{ x
n } , k = 1,2,3 , ...
lar , { x
n } ketma-ketlikning qismiy ketma-ketliklaridir . Agar ,
,{xn}k
belgining o‘zi bilan ,{xn}k ketma-ketlik hadlaridan tuzilgan to‘plamni
belgilasak , unda bir tomondan ,
,{xn}1,{xn}2,… to‘plamlarning yuqoridan
chegaralanganligi , ikkinchi tomondan esa , bu to‘plamlar orasida

,{xn}1⊃,{xn}2⊃… ⊃,{xn}k⊃…
munosabatlar borligini ko‘ramiz . Bu to‘plamlarning aniq yuqori chegaralari
mavjud . Biz ularni mos ravishda M
1 , M
2 , ... , M
k , …
lar orqali belgilaymiz :

¿,{xn}1=¿n>1,{xn}= M 1

sup ,{xn}2=¿n>2,{xn}= M 2
¿ ,
{ x
n }
k = ¿
n > k , { x
n } = M
k
Aniq yuqori chegaraning xossasiga asosan

M k+1≤M k,k=1,2,3 ,…
bo‘ladi . Demak , ,
{M k}−¿ kamayuvchi ketma-ketlik . U holda

limn→∞M k= limn→∞ ¿n>k,{xn}
limit mavjud va u chekli yoki − ∞
bo‘ladi .
faraz qilaylik , lim
n → ∞ M
k = − ∞
bo‘lsin . U holda har qanday musbat A
son
olinganda ham shunday
n0∈N topiladiki , M
n
0 ← A
bo‘ladi . Ammo n > n
0 lar uchun

xn≤M n0={xn0+1,xn0+2,…}¿
bo‘lib bundan esa

xn← A
tengsizlik kelib chiqadi . Bu esa lim
n → ∞ x
n = − ∞
ekanini ko‘rsatadi .
{
M
k } ketma-ketlik chekli limitga ega bo‘lsin . Biz uni M
0 bilan belgilaylik :
limn→∞M k= M 0
.
27

Nolga intiluvchi { 1
k } ketma-ketlikni olamiz . Modomiki ,
M
k = ¿
n > k
{ x
n } , k = 1,2,3 , ...

ekan unda aniq yuqori yuqri chegaraning xossasiga ko‘ra ,
{xn} ketma-ketlikning
shunday x
n
k , k = 1,2,3 , …
hadlari mavjudki ,

M k− 1
k<xnk≤M k
tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi . Keyingi tengsizliklarda k → ∞
da limitga o‘tib ,

limk→∞xnk= M 0
bo‘lishini topamiz . Demak,
M 0 berilgan {xn} ketma-ketlikning qismiy limiti . Endi
M 0
ni {xn} ketma-ketlik qismiy limitlarining eng kattasi ekanini ko‘rsatamiz.
Haqiqatdan , limit ta’rifiga asosan
∀ ε>0 son olinganda ham shunday n0∈N son
topiladiki , barcha
k>n0(k∈N ) lar uchun M 0− ε<M k<M 0+ε tengsizliklar o‘rinli
bo‘ladi . Ya’ni M
k = ¿
n > k
{ x
n } ni e’tiborga olib , barcha n > n
0 lar uchun
xn<M 0+ε
ekanini topamiz . Bundan esa { x
n } ketma-ketlikning har qanday qismiy
limiti
M 0+ε dan katta bo‘la olmasligi ko‘rinadi . Olingan ε
sonining ixtiyoriyligidan
esa
{xn} ketma-ketlikning qismiy limiti M 0 dan katta bo‘la olmasligi kelib chiqadi .
Demak ,
M 0 son {xn} ketma-ketlik qismiy limitlarining eng kattasidir, ya’ni
lim
n → ∞ x
n = M
0
Xuddi shunga o‘xshash quyidan chegaralanmagan hamda quyidan chegaralangan
ketma-ketliklar uchun har doim ularning quyi limitlari mavjud bo‘lishi
ko‘rsatiladi . ketma-ketlik quyidan chegaralangan holda , uning quyi limiti

limn→∞xn= limk→∞mk
bo‘lib , bunda m
k = inf
n > k
{ x
n }
.
Shunday qilib quyidagi teoremaga kelamiz .
1-teorema . Har qanday ketma-ketlikning quyi hamda yuqori limitlari mavjud .
Natija . Agar ketma-ketlik chegaralangan bo‘lsa , uning quyi hamda yuqori
limitlari chekli bo‘ladi .
1-misol . Ushbu
28

{ x
n } = { ( − 1 ) n n + 1
n }
ketma -ketlikning quyi hamda yuqori limitlarini toping .
Bu ketma -ketlik uchun

M 1=¿n>1{xn}= 3
2,m1=infn>1{xn}= − 4
3
M
2 = ¿
n > 2
{ x
n } = 5
4 , m
2 = inf
n > 2 { x
n } = − 4
3
M
2 k = ¿
n > 2 k + 1
{ x
n } = 2 k + 3
2 k + 2 , m
2 k − 1 = m
2 k = − 2 k + 2
2 k + 1 ,
bo‘ladi . U holda
lim
k → ∞ M
k = 1 , lim
k → ∞ m
k = − 1 .
Demak ,
lim
n → ∞
{ ( − 1 ) n n + 1
n } = 1 , lim
n → ∞ { ( − 1 ) n n + 1
n } = − 1
,
Endi yuqori va quyi limitlarning xossalarini keltiramiz . Biror
{ x
n } ketma -ketlik
uchun

limn→∞xn=a
bo‘lsin . U holda ∀ ε > 0
son olinganda ham :

1°. Shunday n0∈N son topiladiki , barcha n>n0 lar uchun
x
n < a + ε

2°.∀ n1∈N son uchun ε va n1 larga bog‘liq shunday natural son
´n > n
1 topiladiki ,

xn>a− ε
bo‘ladi .
Yuqoridagi limitning bu xossalari quyidagi ma’noni anglatadi :
∀ ε>0 son
tayin olinganda , birinchi xossa
{ x
n } ketma-ketlikning faqatgina chekli sondage
hadlarigina
x
n > a + ε

tengsizlikni qanoatlantirishini , ikkinchi xossa esa bu ketma-ketlikning
29

xn>a− ε
tengsizlikni qanoatlantiradigan hadlari soni cheksiz ko‘p bo‘lishini ifodalaydi .
Haqiqatdan agar
{xn} ning cheksiz ko‘p sondagi hadlari a+ε dan katta bo‘lsa, u
xolda ,
a+ε sondan kichik bo‘lmagan b(b≥a+ε) ga intiluvchi {xn} ketma ketlikning
qismiy ketma-ketligi mavjud , bu a = lim
n → ∞ x
n
ga zid bo‘ladi Demak , a + ε
dan o‘ngda
ketma-ketlikning ko‘pi bilan chekli sondagi hadlari yotadi . Bu 1 °
ni isbotlaydi :
Modomiki , lim
k → ∞ x
n
k = a
ekan , unda
{ x
n } ning qismiy limitlaridan biri a ga teng:
lim
k → ∞ x
n
k = a
. Limit ta’rifidan esa bu
{xnk} ketma-ketlikning , demak { x
n } ning ham,
cheksiz ko‘p sondagi hadlari a − ε
dan katta bo‘ladi . Demak 2 °
- xossa ham isbot
bo‘ldi . Aksincha biror
a son yuqoridagi ikki shartni qanoatlantirsa , u { x
n } ketma-
ketlikning yuqori limiti bo‘ladi .
Ravshanki ,
1°− va 2°− ¿ shartlarni qanoatlantiruvchi a son uchun
a = lim
k → ∞ ¿
n > k
{ x
n }
bo‘lib , bunday ifodalangan a
{ x
n } ketma-ketlikning yuqori limiti bo‘ladi . Demak
a= limn→∞xn.
Faraz qilaylik , biror
{ x
n } ketma-ketlik uchun
b = lim
n → ∞ x
n
bo‘lsin . U holda ∀ ε > 0
olinganda ham :
1°.
Shunday n0∈N son topiladiki , barcha n>n0 lar uchun
x
n > b + ε
2°.∀ n1∈N
son uchun ε va n1 larga bog‘liq shunday natural son
´n > n
1 topiladiki ,

xn<b− ε
bo‘ladi .
Ketma-ketlik quyi limitining bu xossalari yuqoridagidek isbotlanadi .
2-teorema .
{xn} ketma-ketlik c limitga ega bo‘lishi uchun

limn→∞xn= limn→∞xn=c
tengliklarning o‘rinli bo‘lishi zarur va yetarli .
30

Isbot . Zarurligi . lim
n → ∞{ x
n } = c
bo‘lsin . Ketma-ketlik limitga ega bo‘lgan holda uning
har qanday qismiy ketma-ketligi ham shu limitga ega bo‘lishidan yuqoridagi
tengliklarning o‘rinli bo‘lishi kelib chiqadi .
Yetarliligi .
{xn} ketma-ketlik uchun yuqoridagi tengliklar o‘rinli bo‘lsin . Quyi
limit xossasiga ko‘ra ,
∀ ε>0 son olinganda ham shunday n0∈N son topiladiki, n>n0
lar uchun x
n > c − ε
bo‘ladi . Shuningdek yuqori limit xossasiga asosan , o‘sha
∀ ε>0
son olinganda ham shunday
n1∈N son topiladiki , barcha n>n1 lar uchun xn<c+ε
bo‘ladi .
Endi
n0 va n1 sonlarning kattasini n deb olsak , unda n>n lar uchun
c − ε < x
n < c + ε
tengsizliklar o‘rinli bo‘ladi . Bu esa lim
n → ∞
{ x
n } = c
ekanini bildiradi . Teorema isbotlandi
.

XULOSA
Kurs ishining kirish qismida masalaning qo‘yilishi , masalaning dolzarbligi ,
ishning maqsad va vazifalari , ishning tuzilishi , bajarilgan ishning qisqacha
mazmuni haqida aytilgan . Kurs ishining asosiy qismi beshta qismdan iborat .
Birinchi qism monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari haqida . Bu
paragrafga tegishli ta’rif teorema o‘rganildi va turli misollar ko‘rib chiqildi.
Asosiy qisimning ikkinchi paragrafi monoton ketma-ketliklarning limitlari
haqidagi teoremalarning tatbiqlari haqida edi. Bu paragrafga ham tegishli ta’rif
teoremalar o‘rganildi va turli xil misollar ishlandi. Asosiy qismning uchinchi
paragrafi qismiy ketma-ketliklar. Bolsano-Veyershtras lemmasi isboti keltirildi va
o‘rganildi . To‘rtinchi paragrafda biz Koshi teoremasi (yaqinlashish prinsipi) ni
31

o‘rgandik va teoremaning isbotini ko‘rib chiqdik . Asosiy qismning beshinchi paragrafi
sonli ketma-ketlikning yuqori va quyi limitlari haqida bo‘ldi . Bu paragrafda biz bir
nechta ta’rif va teoremalr isbotlarini ko‘rib chiqdik. Kurs ishi , kirish , asosiy qism,
xulosa va foydalanilgan adabiyotlar bo‘limidan iborat . Foydalanilgan adabiyotlar
ro‘yhati oxirgi sahifada ko‘rsatilgan . Ish jarayonida nazariy materiallar amaliy misollar,
grafik tahlillar va qiyosiy tahlillar bilan mustahkamlandi. Monoton va nomonoton
ketma-ketliklar solishtirilib, monotonlik shartining yaqinlashishni kafolatlashdagi hal
qiluvchi roli ko‘rsatildi.
Xulosa qilib aytish mumkinki, monoton ketma-ketliklar matematik tahlilning
muhim nazariy vositasi bo‘lib, ularsiz ko‘plab fundamental teoremalarni isbotlash va
amaliy masalalarni yechish qiyinlashadi. Bu mavzu talabalarda mantiqiy fikrlash,
isbotlash ko‘nikmalarini rivojlantirishda va keyingi matematik fanlarni (differensial va
integral hisob, funksional tahlil) o‘zlashtirishda mustahkam poydevor yaratadi.
Olingan bilimlar kelajakda raqamli usullar, iqtisodiy-matematik modellar va
zamonaviy texnologiyalarni o‘rganishda keng qo‘llanilishi mumkin. Tavsiya etiladiki,
ushbu mavzuni chuqurroq o‘rganish uchun amaliy dasturlar (Python, MATLAB)
yordamida ketma-ketliklarning yaqinlashishini modellashtirish va grafik tahlil qilish
foydali bo‘ladi.

Foydalanilgan adabiyotlar
1. Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill.
https://www.mheducation.com
2. Apostol, T. M. (1974). Mathematical Analysis. Addison-Wesley.
3. Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2011). Introduction to Real Analysis.
Wiley.
4. Courant, R., & John, F. (1999). Introduction to Calculus and Analysis.
Springer.
5. Zorich, V. A. (2004). Mathematical Analysis I. Springer.
6. Fichtenholz, G. M. (1968). Differential and Integral Calculus. Nauka.
32

7. Демидович, Б. П. (1980). Сборник задач и упражнений по
математическому анализу. Наука.
8. Кудрявцев, Л. Д. (1988). Курс математического анализа. Высшая
школа.
9. Ильин, В. А., & Позняк, Э. Г. (2005). Основы математического анализа.
Физматлит.
10. Никольский, С. М. (1983). Курс математического анализа. Наука.
11. Фихтенгольц, Г. М. (2001). Курс дифференциального и интегрального
исчисления. Лань.
12. Тер-Крикоров, А. М., & Шабунин, М. И. (2003). Курс математического
анализа. МГУ.
13. Natanson, I. P. (1964). Theory of Functions of a Real Variable. Frederick
Ungar.
14. Hardy, G. H. (1949). A Course of Pure Mathematics. Cambridge University
Press.
15. Spivak, M. (2008). Calculus. Publish or Perish.
16. Tao, T. (2016). Analysis I. Hindustan Book Agency.
17. Abbott, S. (2015). Understanding Analysis. Springer.
18. Pugh, C. C. (2015). Real Mathematical Analysis. Springer.
19. Malik, S. C., & Arora, S. (1992). Mathematical Analysis. New Age
International.
20. Lay, S. R. (2001). Analysis with an Introduction to Proof. Pearson.
21. Rosenlicht, M. (1985). Introduction to Analysis. Dover Publications.
22. Trench, W. F. (2013). Introduction to Real Analysis. Trinity University.
https://digitalcommons.trinity.edu/mono/7/
23. Klazar, M. (2022). Mathematical Analysis 1. Charles University.
https://kam.mff.cuni.cz/~klazar/MAI22_textbook.pdf ( kam.mff.cuni.cz )
24. Saunders, B. Chapter 2: Limits of Sequences. University of Illinois Chicago.
https://homepages.math.uic.edu/~saunders/MATH313/INRA/INRA_Chapte
r2.pdf ( homepages.math.uic.edu )
33

25. Oxford University. Analysis I: Monotone Sequences.
https://people.maths.ox.ac.uk/flynn/genus2/AnI0506/analysisI-wk5.pdf
( people.maths.ox.ac.uk )
26. Konarovskyi, V. Lecture 4: Subsequences and Monotone Sequences.
https://konarovskyi.de/teaching/2018/Math1/pdf/Note4.pdf ( konarovskyi.de )
27. Weisstein, E. W. Monotone Sequence. MathWorld.
https://mathworld.wolfram.com/MonotoneSequence.html
28. Encyclopaedia of Mathematics. Monotone Sequence.
https://encyclopediaofmath.org
29. Wikipedia contributors. Monotone Convergence Theorem.
https://en.wikipedia.org/wiki/Monotone_convergence_theorem
( Википедия )
30. MIT OpenCourseWare. Single Variable Calculus.
https://ocw.mit.edu/courses/18-01sc-single-variable-calculus-fall-2010/
34

Купить

Похожие документы
To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda akslantirishlar 26
Tekislikda kordinatalar metodi 26
Sonli qatorlar 26
Sonli qatorlar 2-variant
Sonlar ketma-ketligi va uning xossalari 26