Информация о документе

Цена 35000UZS
Размер 950.9KB
Покупки 0
Дата загрузки 13 Июнь 2026
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari, tadbiqlari 26

Купить
Monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari, tadbiqlari MUNDARIJA KIRISH……………………………………………………………………… 3-6 I-BOB SONLI KETMA-KETLIKLAR HAQIDA ………………………. 7-17 1.1 § . Sonli ketma-ketliklar ……………………………………………………7 1.2 § . Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketliklar……………………….7-10 1. 3§. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar va ularning xossalari………………….10-12 1.4 §. Ketma-ketlikning limit nuqtalari……………………………………….12-17 II-BOB . MONOTON KETMA-KETLIKLAR VA ULARNING LIMITLARI, TADBIQLARI…………………………………………………………….18-28 2.1 § . Monoton ketma- ketliklar va uning limitlari…………………………..18-19 2 .2§. Monoton ketma-ketlikning kimiti haqida teoremalar…………………19-22 2.3 § . Monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremalarning tadbiqlari...22-28 XULOSA ……………………………………………………………………...28 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI……………………….30 2 Kirish “Eng katta boylik – bu aql – zakovat va ilm, eng katta meros – bu yaxshi tarbiya, eng katta qashshoqlik – bu bilimsizlikdir !” Sh.M.Mirziyoyev Bugun biz tarixiy davrda xalqimiz o‘z oldiga ezgu maqsadlar qo‘yib, tinch osoyishta hayot kechirayotgan, avvalombor o‘z kuchi va fuqarolik jamiyati qurish yo‘lida ulkan natijalarni qo‘lga kiritayotgan avvalombor o‘z kuch va imkoniyatlari-ga tayanib, demokratik davlat va fuqarolik jamiyati qurish yo‘lida ulkan natijalarni qo‘lga kiritayotgan bir zamonda yashamoqdamiz. Men Abdulla Avloniyning “tarbiya biz uchun yo hayot yo mamot yo halokat yo saodat yo falokat masalasidir” degan fikrini ko‘p mushohada qilaman. Buyuk ma’rifatparvarlarning bu so‘zlari asrimiz boshida millatimiz uchun qanchalik muhim va dolzarb bo‘lgan bo‘lsa hozirgi kunda biz uchun ham shunchalik, balki undan ko‘ra muhim va dolzarbdir. Chunki ta’lim–tarbiya ong mahsuli, lekin ayni vaqtda ong darajasi va uning rivojini ham belgilaydigan omildir. Binobarin ta’lim–tarbiya tizimini o‘zgartirmasdan turib, biz ko‘zlagan oliy maqsad, ozod va obod jamiyatni barpo etib bo‘lmaydi. Barchamizga ma’lumki kelajak avlod haqida qayg‘urish, sog‘lom barkamol avlodni tarbiyalab yetishtirishga intilish bizning milliy xususiyatimizdir. Ta’limning yangi modeli jamiyatda mustaqil fikrlovchi erkin shaxsning shakllanishiga olib keladi. Va biz o‘zining qadr-qimmatini, anglaydigan, irodasi baquvvat, iymoni butun, hayotda aniq maqsadga ega bo‘lgan insonlarni tarbiyalash imkoniyatiga ega bo‘lamiz. Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida yaratiladigan, boshqacha aytganda xalqimizning ertangi kuni qanday bo‘lishi farzandlarimizning bugun qanday ta’lim-tarbiya olishiga bog‘liq. Ta’limni tarbiyadan, tarbiyani esa ta’limdan ajratib bo‘lmaydi, bu sharqona qarash, sharqona hayot falsafasi. Shu maqsadda yurtimizda kadrlar tayyorlash milliy 3 dasturining uzviy va mantiqiy davomi bo‘lmish 2004-2005 yillarda maktab ta’limini rivojlantirish umummilliy davlat dasturi qabul qilindi. Ushbu dasturga muvofiq, yurtimizda mavjud bo‘lgan o‘n mingga yaqin umumta’lim maktabining moddiy texnik bazasini mustahkalash, mazmunini tubdan takomillashtirish, o‘qituvchilarning mehnatini moddiy va ma’naviy rivojlantirish bo‘yicha katta ishlar qilinmoqda. Bugungi kunda ham ta`lim-tarbiya sohasiga katta e`tibor qaratilmoqda. Xususan, maktabgacha ta'lim tizimini yanada takomillashtirish, moddiy-texnika bazasini mustahkamlash, maktabgacha ta'lim muassasalari tarmog‘ini kengaytirish, malakali pedagog kadrlar bilan ta'minlash, bolalarni maktab ta'limiga tayyorlash darajasini tubdan yaxshilash, ta'lim-tarbiya jarayoniga zamonaviy ta'lim dasturlari va texnologiyalarini tatbiq etish, bolalarni har tomonlama intellektual, axloqiy, estetik va jismoniy rivojlantirish uchun shart-sharoitlar yaratish maqsadida Prezidentimiz Shavkat Mirziyoyev tomonidan “2017-2021-yillarda maktabgacha ta'lim tizimini yanada takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida” qaror qabul qilindi. Ushbu dastur (keyingi o‘rinlarda Dastur deb yuritiladi) ning asosiy maqsadli vazifalari va yo‘nalishlari quyidagilarni o‘z ichiga oladi: Ilg‘or xorijiy tajribani hisobga olgan holda bolalarni har tomonlama intellektual, axloqiy, estetik va jismoniy rivojlantirish sharoitlarini yaratish; maktabgacha ta'lim sifatini oshirish, maktabgacha ta'lim muassasalarida bolalarni maktabga sifatli tayyorlashni tubdan yahshilash, ta'lim-tarbiya jarayoniga jahon amaliyotida keng qo‘llaniladigan zamonaviy ta'lim dasturlari va texnologiyalarini joriy etish; 2200 ta maktabgacha ta'lim muassasasining moddiy-texnika bazasini mustahkamlash, shu jumladan qishloq joylarda maktabgacha ta'lim muassasalarini yangidan qurish, ularni zamonaviy talablarga javob beradigan inventar, jihoz, o‘quv- metodik qo‘llanmalar va multimediali vositalar bilan ta'minlash. Bundan tashqari, yurboshimiz akademik litseylarda o‘quv jarayoni sifati va samaradorligini tubdan oshirish, akademik litseylarda umumta'lim maktablarining eng qobiliyatli bitiruvchilarini jamlash, umumta'lim maktablar bitiruvchilarining tanlangan kasblar va mutaxassisliklarni egallab olishga bo‘lgan ehtiyojini qondirish uchun shart-sharoitlarni yanada kengaytirish maqsadida “O‘rta maxsus, kasb-hunar 4 ta'limi muassasalari faoliyatini yanada takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida” (O‘zbekiston Respublikasi qonun hujjatlari to‘plami, 2017-y, 11-son, 156-modda) qaror qabul qildi. Ushbu dastur quyidagilarni o‘z ichiga oladi: O‘zbekiston Respublikasi Iqtisodiyot vazirligi, Moliya vazirligi, Oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligi, Madaniyat vazirligi, Sog‘liqni saqlash vazirligi, O‘zbekiston Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligining O‘rta maxsus, kasb-hunar ta'limi markazining respublikada faoliyat ko‘rsatayotgan akademik litseylar sonini optimallashtirishni, akademik litseylarda o‘quv jarayoni sifatini tubdan yaxshilash chora-tadbirlari amalga oshirilishini nazarda tutuvchi, jumladan: moddiy-texnik va o‘quv-pedagogik bazasi nisbatan past darajali ba’zi akademik litseylarni tugatish, tugatilayotgan akademik litseylarning 1-bosqichlariga o‘quvchilarni qabul qilishni o‘quv yilidan boshlab to‘xtatish; faoliyati ko‘rsatkichlari eng past bo‘lgan ba’zi akademik litseylarni bosqichma-bosqich kasb-hunar kollejlariga aylantirish; o‘quv jarayoni samaradorligini yanada oshirish va akademik litseylar bitiruvchilarining oliy ta'lim muassasalariga o‘qishga kirishi ko‘rsatkichlarini oshirish chora-tadbirlari dasturi haqidagi taklifi qabul qilish. Oldin bayon qilinganlar bilan birgalikda quyidagilar akademik litseylarning muhim vazifalari va faoliyati yo‘nalishlari etib belgilandi: umumta'lim maktablarining eng iste'dodli o‘quvchilarini tanlash, ularning intellektual qobiliyatlarini yanada rivojlantirish va o‘qishni oliy ta'lim muassasalarida davom ettirishga maqsadli chuqur tayyorlash; o‘quvchilarning ijodiy salohiyati namoyon bo‘lishi va faollashishiga ko‘maklashuvchi, individual iste'dodlarni va har bir o‘quvchining qobiliyatlari hamda xususiyatlarini hisobga olgan holda bilimlarni egallab olish jarayonida mustaqil faoliyat ko‘nikmalarini shakllantiruvchi va rivojlantiruvchi ta'lim muhitini yaratish; ilg‘or mahalliy va xorijiy o‘ta'lim muassasalarining tajribasini hisobga olgan holda ta'lim jarayonini tashkil etishning zamonaviy shakllarini joriy etish va uning mazmunini doimiy ravishda yangilab borish. Mustaqillik yillarida O‘zbekiston Respublikasida uzluksiz ta'limning noyob tizimi yaratildi, ilmiy-tadqiqot faoliyati, oliy malakali ilmiy va ilmiy-pedagog kadrlar 5 tayyorlash va attestatsiyadan o‘tkazish samaradorligini oshirishga, mamlakatning ijtimoiy va iqtisodiy taraqqiyotida ilm-fanning rolini kuchaytirishga yo‘naltirilgan salmoqli ishlar amalga oshirildi. Kurs ishining maqsadi. Matematik analiz kursining “ Monoton ketma –ketliklar va uning limiti, tadbiqlari mavzusini o‘rganish. Kurs ishini ob’ekti. Barcha oliy o‘quv yurtlarida Fizika-matematika fakultetlarini Matematika yo‘nalishlarida matematik analiz masalalrini o‘qitish jarayoni. Kurs ishining predmeti. Monoton ketma-ketliklar va uning limitini qay darajada kengligi va tadbiqlarini muhumligi. Kurs ishini ng vazifalari. - Mavzuga doir ma’lumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish; - Matematik analizdan “ Monoton ketma –ketliklar va uning limiti, tadbiqlari ” mavzusini chuqur o‘rganish; - Monoton ketma –ketliklar va uning limiti, tadbiqlari haqida asosiy tushunchalar; - Kurs ishini himoyaga tayyor qilish. Kurs ishini tuzilishi. 2ta bob, 7ta reja, 30ta sahifa, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yhatidan iborat. 6 I-BOB KETMA- KETLIKLAR HAQIDA SONLI KETMA-KETLIKLAR 1.1§. Sonli ketma-ketliklar. Agar sonlarning natural qatori dagi har bir songa ma’lum bir qonun qoida bo‘yicha biror haqiqiy son mos keltirilsa, u holda nomerlangan haqiqiy sonlar to‘plami (1) ga sonli ketma-ketlik yoki ketma-ketlik deyiladi. sonlarni (1) ning elementlari yoki hadlari deyiladi. Bizga ixtiyoriy va ketma-ketliklar berilgan bo‘lsin. Bu ketma-ketliklar yig‘indisi va ayirmasi deb , ko‘paytmasi yoki bo‘linmasi deb yoki ketma-ketlikka aytamiz. Agar shunday haqiqiy M soni (m soni) topilsaki va bunda shartlar bajarilsa u holda ketma-ketlik yuqoridan (quyidan) chegaralangan deyiladi. Bunda M soni (m soni) ketma-ketlikning yuqori chegarasi (quyi chegarasi) deyiladi. Masalan: ketma-ketlik yuqoridan -1 bilan , 1,2,3,..., n,... ketma-ketlik esa quyidan 1 bilan chegaralangan. Agar ketma-ketlik ham yuqoridan ham quyidan chegaralangan bo‘lsa, ya’ni tengsizlik bajarilsa ketma-ketlik chegaralangan deyiladi. Chegaralangan ketma-ketlikni ko‘rinishida ya’ni ko‘rinishida yozish mumkin. Agar har qanday musbat A soni uchun ketma-ketlikning tengsizlikni qanoatlantiruvchi element topilsa, u holda ketma-ketlik chegaralanmagan deyiladi. 7 1.2 §. Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma –ketliklar. 1.2.1-ta’rif: Ixtiyoriy A soni uchun shunday N nomer ko‘rsatish mumkin bo‘lsaki bo‘lganda ketma-ketlikning hamma elementlari tengsizlikni qanoatlantirsin, u holda cheksiz katta ketma -ketlik deyiladi. Ma’lumki har qanday cheksiz katta ketma-ketlik chegaralanmagan bo‘ladi. Chunki ixtiyoriy A>0 son uchun shunday N nomer ko‘rsatish mumkinki, da boshlab ning hamma elementlari tengsizlikni qanoatlantiradi va demak ixtiyoriy A>0 son uchun tengsizlikni qanoatlantiradigan hech bo‘lmaganda bitta element topish mumkin. Biroq chegaralanmagan ketma-ketlik cheksiz katta bo‘lmasligi ham mumkin. 1.2.1-misol . Chegaralanmagan (1,2,1,3,…,1,n,…) ketma-ketlik cheksiz katta bo‘la olmaydi, chunki A>1 da tengsizlik toq nomerli barcha elementlar uchun bajarilmaydi. 1.2.2-ta’rif. Ixtiyoriy musbat son uchun shunday N nomer ko‘rsatish mumkin bo‘lsaki dan boshlab ketma-ketlikning hamma elementlari tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik deyiladi. 1.2.2-misol. ketma-ketlik cheksiz kichikligini isbotlang. da Shuning uchun berilgan bo‘yicha N nomerni shartdan topish mumkin. Masalan, deb olsa bo‘ladi. Cheksiz kichik ketma-ketlikning asosiy xossalari. 1.2.1-teorema. Ikki cheksiz kichik ketma-ketlikning yig‘indisi yana cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘ladi. Isbot. va cheksiz kichik ketma-ketliklar bo‘lsin. ketma- ketlikning cheksiz kichik ekanini isbot qilamiz. -ixtiyoriy musbat son, esa 8n N n N n N tengsizlik bajarilishi boshlangan, esa tengsizlik bajarilishi boshlangan nomerlar bo‘lsin. (bunday va cheksiz kichik ketma-ketliklar ta’rifidan topiladi). Ikki son yig‘indisining moduli ular modullari yig‘indisidan katta bo‘lmaganligi uchun ya’ni nomerlarning kattasini N orqali belgilab, ya’ni shu N nomerdan boshlab, tengsizlik o‘rinli ekanini chiqaramiz. Bu esa ketma-ketlikning cheksiz kichik ekanligini ko‘rsatadi. Teorema isbotlandi. 1.2.2-teorema. Ikki cheksiz kichik ketma-ketlikning ayirmasi yana cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘ladi. 1.2.3-teorema. Cheksiz kichik ketma-ketliklar chegaralangandir. I sbot. Cheksiz kichik ketma-ketlik biror son bo‘lsin. So‘ngra tengsizlik bajarilishi boshlangan nomer N bo‘lsin. Ushbu N ta sonning eng kattasini A deb belgilaymiz. Buni quyidagicha yozish mumkin. . Ma’lumki ixtiyoriy N nomer uchun tengsizlik bajariladi bu esa ketma-ketlikning chegaralanganliginini ko‘rsatadi. Teorema isbotlandi. 1.2.4-teorema. Chegaralangan ketma-ketlikning cheksiz kichik ketma-ketlikka ko‘paytmasi cheksiz kichik ketma-ketlikdan iborat. Isbot. chegaralangan, -cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘lsin. ketma-ketlik chegaralanganligi uchun shunday A>0 soni mavjudki, ixtiyoriy element uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Ixtiyoriy musbat sonini olamiz. ketma-ketlik cheksiz kichik bo‘lganidan musbat son uchun shunday N nomer ko‘rsatish mumkinki, da tengsizlik bajariladi. Bu holda da shuning uchun ketma-ketlik cheksiz kichikdir. Teorema isbotlandi. 9 Natija. Ixtiyoriy chekli sondagi cheksiz kichik ketma-ketliklar ko‘paytmasi ham cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘ladi. Ikki cheksiz kichik ketma-ketlikning nisbati ixtiyoriy turdagi ketma-ketlik bo‘lishi mumkin. Hatto ma’noga ega bo‘lmasligi mumkin. 1.2.3-misol . , bo‘lsa, ketma-ketlikning hamma elementi birga teng bo‘ladi. Agar desak, u holda ketma-ketlik cheksiz katta va aksincha, agar desak, ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘ladi. Agar ning cheksiz ko‘p elementlari noldan iborat bo‘lsa, u holda nisbat ma’noga ega emas. 1.2.5-teorema. Agar cheksiz kichik ketma-ketlikning hamma elementlari biror c songa teng bo‘lsa, u holda c=0 bo‘ladi. Isbot. Faraz qilaylik, , deb olamiz. Bu songa mos keluvchi N nomerdan boshlab, tengsizlik bajariladi. va , bo‘lgani uchun, oxirgi tengsizlikni , deb qayta yozish mumkin, bundan . Bu qarama- qarshilikdan, degan farazimiz o‘rinli emasligi kelib chiqadi. Demak ekan. Teorema isbotlandi. 1.3 §. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar va ularning xossalari. 1.3.3-ta’rif. Agar, ketma-ketlik uchun shunday a soni mavjud bo‘lsaki ushbu ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘lsa, u holda ketlik yaqinshuvchi deyiladi va a son ketma-ketlikning limiti deyiladi. Agar shunday a soni mavjud bo‘lsaki, har qanday musbat uchun shunday N nomer ko‘rsatish 10 mumkin bo‘lib, dan boshlab bu ketma-ketlikning hamma elementlari tengsizlikni qanoatlantirsa u holda ketma-ketlik yaqinlashuvchi deyiladi. Agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, a soni uning limiti bo‘lsa bu holda quyidagicha yoziladi yoki da bo‘ladi. Ushbu ayirma cheksiz kichik ketma-ketlik ekanliginini bildiradi. Demak limiti a bo‘lgan har qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlikning ixtiyoriy elementi ko‘rinishda bo‘lishi mumkin, bunda -cheksiz kichik ketma- ketlik elementidir. 1.3.6-teorema. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik faqat bitta limitga ega. Isbot. a va b yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limiti bo‘lsin. U holda yaqinlashuvchi ketma-ketlikning elementlari uchun ifodadan foydalanib, , ni yozamiz, , cheksiz kichik ketma-ketlikning elementlari. Topilgan ifodalarni ayirib, ni hosil qilamiz cheksiz kichik ketma-ketlikning hamma elementlari bitta o‘zgarmas qiymatga ega bo‘lgani uchun yuqorida keltirilgan 1.1.5-teoremaga asosan ya’ni tenglik hosil bo‘ladi. Teorema isbotlandi . 1.3.7-teorema. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangandir. 1.3.8-teorema. Yaqinlashuvchi va ketma-ketliklarning yig‘indisi ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo‘lib, uning limitlari va ketma-ketliklari limitlari yig‘indisiga teng. Isbot. a va b sonlar mos ravishda va ketma-ketliklarning limiti bo‘lsin, u holda , bu yerda va cheksiz kichik ketma- ketlikdir. Demak, shunday qilib ketma- ketlik cheksiz kichik ketma-ketlikdir va shuning uchun ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti ga teng bo‘ladi. 11lim n n x a    n  nx a  1.3.9-teorema. Yaqinlashuvchi va ketma-ketliklar ayirmasi yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo‘lib uning limiti va ketma-ketliklar limitlari ayirmasiga teng. 1.3.10-teorema. Yaqinlashuvchi va ketma-ketliklar ko‘paytmasi yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo‘lib, uning limiti va ketma-ketliklar limitlari ko‘paytmasiga teng. 1.3.11-teorema . Agar cheksiz katta ketma-ketlik bo‘lsa, u holda biror n nomerdan boshlab ketma-ketlik aniqlangan va u cheksiz kichik bo‘ladi. 1.3.12-teorema. Agar yaqinlashuvchi ketma-ketlikning elementlari biror nomerdan boshlab, tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda bu ketma- ketlikning limiti a ham tengsizlikni qanoatlantiradi. Isbot . ketma-ketlikning elementlari biror nomerdan boshlab tengsizlikni qanoatlantirsin, tengsizlikni isbot qilish talab etiladi. Faraz qilaylik, bo‘lsin a soni ketma-ketlikning limiti bo‘lgani uchun uchun shunday N nomer ko‘rsatish mumkinki: bo‘lganda tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlik ushbu ikki tengsizlikka teng kuchli. Bu tengsizliklarning o‘ng tomonida turgan tengsizlikdan foydalanib, ga ega bo‘lamiz. Bu esa teorema shartiga zid ham shunga o‘xshash chiqariladi. Teorema isbotlandi. Natija. Agar yaqinlashuvchi va ketma-ketlikning elementlari biror nomerdan boshlab tengsizlikni qanoatlantirsa u holda ularning limitlari ham xuddi shunday tengsizlikni qanoatlantiradi. Ya’ni va bo‘lsa munosabat o‘rinli bo‘ladi. 1.3.13-teorema. va umumiy a limitga ega bo‘lgan yaqinlashuvchi ketma- ketlik bo‘lsin. Bundan tashqari, biror nomerdan boshlab ketma-ketlikning 12 elementlari tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, a limitga ega bo‘ladi. 1.4 §. Ketma-ketlikning limit nuqtalari . 1.4.7-ta’rif. Agar cheksiz to‘g‘ri chiziqning x nuqtasining ixtiyoriy atrofida ketma-ketlikning cheksiz ko‘p hadlari bor bo‘lsa, u holda, shu x nuqta ketma-ketlikning limit nuqtasi deyiladi. 1.4.16-teorema. Agar x nuqta ketma-ketlikning limit nuqtasi bo‘lsa , u holda bu ketma-ketlikdan shu x nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. Isbot. x nuqta ketma-ketlikning limit nuqtasi bo‘lsin. x nuqtaning - atrofidagi nuqtani qaraymiz bunda navbat bilan ga teng. Bu atroflarning birinchisidan ketma-ketlikning , elementini olamiz, ikkinchi atrofidan shunday olamizki bunda, . Uchinchi atrofdan shunday elementni olamizki, bunda . Bu jarayonni cheksiz davom ettirish mumkin, chunki x elementning ixtiyoriy atrofida ketma-ketlikning cheksiz ko‘p elementlari bor. Natijada biz ketma-ketlikning x ga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketligiga ega bo‘lamiz chunki, . Teorema isbotlandi. Teskari tasdiq ham o‘rinli: agar ketma-ketlikdan x nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo‘lsa, u holda x soni ketma-ketlikning limit nuqtasi bo‘ladi. Haqiqatdan ham, x nuqtaning ixtiyoriy atrofida ajratilgan qismiy ketma-ketlikning va ketma-ketlikning cheksiz ko‘p elemetlari yotadi. Shunday qilib, ketma-ketlik limit nuqtasining 1-ta’rifiga teng kuchli bo‘lgan 2-ta’rifni berish mumkin. 13 1.4.8-ta’rif. Agar ketma-ketlikdan nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma- ketlik ajratish mumkin bo‘lsa, nuqta ning limit nuqtasi deyiladi. 1.4.17-teorema . Har bir yaqinlashuvchi ketma-ketlik faqat bitta limit nuqtaga ega bo‘lib bu nuqta ketma-ketlikning limiti bilan usma-ust tushadi. Isbot. Yaqinlashuvchi -ketlikning limiti uning limit nuqtasi bo‘ladi, nuqtaning ixtiyoriy atrofida biror nomerdan boshlab ketma-ketlikning hamma elementlari yotadi. Endi yaqinlashuvchi ketma-ketlikning boshqa limit nuqtasi yo‘qligini ko‘rsatamiz. Haqiqatdan ham - yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limit nuqtasi bo‘lsin. Teoremaga asosan ketma-ketlikdan ga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin, lekin yaqinlashuvchi ketma-ketlikning ixtiyoriy qismiy ketma-ketligi a limitga ega va shuning uchun . Ikkita limit nuqtaga ega bo‘lgan ketma-ketlikka misol keltiramiz. Ushbu ketma-ketlik faqat ikkita 0 va 2 limit nuqtalarga ega ekanligini isbotlaymiz. Ma’lumki bu nuqtalar ketma-ketlikning limit nuqtalaridir. Chunki bu ketma-ketlikning ushbu qismiy ketma-ketligining limiti noldan iborat. 2, 2,....,2 qismiy ketma-ketligining limiti esa 2 ( 2-ta’rif: agar ketma-ketlikdan x nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo‘lsa, nuqta ning limit nuqtasi deyiladi) dan iborat. Berilgan ketma-ketlikning boshqa nuqtalari yo‘q haqiqatdan ham x -son o‘qining 0 va 2 nuqtalardan farqli ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin.Endi 0, 2 va nuqtalar ustma-ust tushmaydigan atroflarini qaraymiz. 0 va 2 nuqtalrning atroflarida biror nomerdan boshlab ketma-ketlikning hamma elementlari yotadi va shuning uchun nuqtaning ko‘rsatilayotgan atrofida ketma-ketlikning faqat chekli sondagi elementlari yotadi, ya’ni x limit nuqta bo‘la olmaydi. 1-eslatma. Biz to‘plamning aniq quyi chegarasi ketma-ketlikning limit nuqtasi ekanini isbotladik. Endi dan katta birorta ham son ketma- ketlikning limit nuqtasi bo‘la olmasligini ya’ni bu ketma-ketlikning eng katta limit 14x nuqtasi ekanini isbotlaymiz. son dan katta ixtiyoriy son bo‘lsin. ni shunday kichik qilib olamizki, son ham dan katta bo‘lsin. to‘plamdan shunday nuqta topiladiki u dan chapdan yotadi. to‘plamning kiritilishidan ko‘ra nuqtaning atrofida ketma-ketlik ko‘pi bilan chekli sonda elementlari yotadi. Bu esa soni limit nuqtasi bo‘la olmasligini isbotlaydi. 1.4.9-ta’rif . ketma-ketlikning eng katta limit nuqtasi bo‘lsin bu ketma- ketlikning yuqori limiti deyiladi va kabi belgilanadi. Quyi limiti kabi belgilanadi. Yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish haqida teorema. ( Balsano–Veyershtrass teoremasi). Ixtiyoriy chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. Isbot. Ketma-ketlik chegaralangan uchun u hech bo‘lmaganda bitta limit nuqta ga ega bo‘ladi. Bu holda ketma-ketlikda nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma- ketlik ajratish mumkin. 2-eslatma. Ixtiyoriy chegaralangan ketma-ketlikdan monoton qismiy ketma- ketlik ajratish mumkin. Haqiqatdan ham, Bolsano –Veyershtrass teoremasiga asosan har qanday chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. 3-eslatma. chegaralangan ketma-ketlik bo‘lib, uning elementlari esa [a,b] kesmada yotsin deylik. Bunda ixtiyoriy yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikning limiti c ham shu [a,b] kesmada yotadi. Haqiqatdan ham, bo‘lgani uchun tengsizlik bajariladi. Bu esa ning [ ] segmentda yotishini ko‘rsatadi. Ayrim ixtiyoriy hollarda hatto chegaralanmagan ketma-ketlikdan ham yaqinlashuvchi ketma-ketlik ajratish mumkin. Masalan ketma-ketlik chegaralanmagan bunga qaramasdan juft nomerli elementlardan tuzilgan . qismiy ketma-ketlik yaqinlashuvchidir. Lekin har bir chegaralanmagan ketma- ketlikdan ham yaqinlashuvchi qismiy katma-ketlik ajratish mumkin bo‘lavermaydi. 15x x  Masalan 1,2,3,4,..., n,... ketma-ketligi uzoqlashuvchidir. Shuning uchun ham hamma chegaralanmagan ketma-ketliklardan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin degan mulohoza umuman olganda to‘g‘ri emas. 1.4.18-teorema. Har bir chegaralanmagan ketma-ketlikdan cheksiz katta qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. Isbot: chegaralanmagan ketma-ketlik bo‘lsin. U holda bu ketma-ketlikning shartni qanoatlantiruvchi elementi, shartni qanoatlantiruvchi elementi topiladi. Shu yo‘sinda cheksiz davom ettirsak ni hosil qilamiz. Ma’lumki qismiy ketma-ketlik cheksiz katta bo‘ladi. Balsano-Veyershtrass teoremasidan quyidagilar kelib chiqadi. 1.4.19-teorema. Mutlaqo ixtiyoriy ketma-ketlikdan yoki cheksiz katta yoki cheksiz kichik qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. 1.4.10-misol. ketma-ketlik chegaralanganligini isbotlang. Isbot. uchun : .Bu ketma-ketlik quyidan chegaralangan. bo‘lib, undan Bu esa ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligini bildiradi va bu ketma-ketlik chegaralangan. 1.4.11-misol . ketma-ketlikning limiti 1 ga teng bo‘lishini isbotlang. sifatida olinsa ( ga ko‘ra topilib ) uchun bo‘ladi. Bu esa bo‘lishini bildiradi. 1.4.12-misol. ketma-ketlikning limiti 2 ga teng bo‘lishini isbotlang. 16 01 0, . 1 1 , 1. 1 1 1n n n n n x a x n n N n n n                 sifatida olinsa ( ga ko‘ra topilib ) uchun bo‘ladi. Bu esa bo‘lishini bildiradi. 1.4.13-misol. ketma-ketlikning limiti 1,5 ga teng bo‘lishini isbotlang. sifatida olinsa ga ko‘ra topilib) uchun bo‘ladi. Bu esa bo‘lishini bildiradi. II BOB MONOTON KETMA-KETLIKLAR VA UNING LIMITI TADBIQLARI 2.1 § .Monoton ketma ketliklar va uning limiti Biror berilgan bo‘lsin. 2.1.1-ta’rif. Agar ketma-ketlikda son uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, o‘suvchi ketma-ketlik deb ataladi. Agar son uchun yengsizlik o‘rinli bo‘lsa, qat’iy o‘suvchi ketma-ketlik deb ataladi. Masalan, ketma-ketlik o‘suvchi, ketma-ketlik esa qat’iy o‘suvchi ketma-ketlikdir. Agar ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lsa, u quyidan chegaralangan bo‘ladi. haqiqatan bu holda ketma-ketlikning istalgan hadi uchun tengsizlik 17 02 2 2 0, . 2 1 , 2 1. 1 1 1n n n n n x a x n n N n n n                0 3 1 7 7 7 0, . 1, 5 1, 5 , 1, 5. 2 3 4 6 4 6 4n n n n n x a x n n N n n n c                   o‘rinli. Bu esa ketma-ketlikning quyidagi son bilan chegaralanganligini bildiradi. 2.1.2-ta’rif. Agar ketma-ketlikda son uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, kamayuvchi ketma-ketlik deb ataladi. Agar son uchun yengsizlik o‘rinli bo‘lsa, qat’iy kamayuvchi ketma-ketlik deb ataladi. Masalan, ketma-ketlik kamayuvchi.Ushbu ketma-ketlik esa qat’iy kamayuvchi ketma-ketlikdir. Haqiqatan uchun bo‘lib undan bo‘lishi kelib chiqadi. Agar ketma-ketlik kamayuvchi bo‘lsa, u yuqoridan chegaralangan bo‘ladi. Haqiqatan, bu holda ketma-ketlikning istalgan hadi uchun tengsizlik o‘rinli. Bu esa ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligini bildiradi. O‘suvchi va kamayuvchi ketma-ketliklar umumiy nom bilan monoton ketma- ketliklar deyiladi. Monoton ketma-ketlikning chegaralanganligini aniqlash uchun, agar u o‘suvchi ketma-ketlik bo‘lsa, uning yuqoridan, kamayuvchi ketma-ketlik bo‘lsa, quyidan chegaralanganligini aniqlash yetarli bo‘ladi. 2.2 § . Monoton ketma-ketlikning limiti haqida teoremalar 2.2.3-teorema. Agar ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lib, yuqoridan chegaralangan bo‘lsa, u chekli limitga ega; agar ketma-ketlik yuqorida chegaralanmagan bo‘lsa, u holda ketma-ketlikning limiti bo‘ladi. Isbot. Avvalo ketma-ketlik o‘suvchi va yuqoridan chegaralangan holni qaraymiz. Ketma-ketlik o‘suvchi va yuqoridan chegaralanganligiuchun shunday o‘zgarmas M son mavjudki, son uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. bu 18 esa ketma-keylik barcha hadlaridan tuzilgan to‘plamning yuqoridan chegaralanganligini ifodalaydi. Aniq yuqori chegaraning ta’rifga ko‘ra, birinchidan, to‘plamning har bir elementi uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, ikkinchidan olinganda ham ketma-ketlik shunday hadi topiladiki, bu had uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Demak, qaralayotgan ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lgani uchun tengsizlikni qanoatlantiradigan barcha natural sonlar uchun tengsizlik o‘rinli. Shu sababli bo‘lganda tengsizlik bajariladi. Shunday qilib olinganda ham shunday son topiladiki, bo‘lganda tengsizlik bajariladi. Bu esa son ketma-ketlikning limiti ekanini ko‘rsatadi: Endi ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lib yuqoridan chegaralangan bo‘lsin. Unda har qanday katta musbat son olinganda ham ketma-ketlik shunday hadi topiladiki, bu had bo‘ladi. Ammo barcha lar uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lgani sababli tengsizlik ham bajariladi. Bu esa bo‘lishini bildiradi. Teorema isbotlandi. 2.2.4-teorema. Agar ketma-ketlik kamayuvchi bo‘lib, quyidan chegaralangan bo‘lsa, u chekli limitga ega; agar ketma-ketlik quyidan chegaralanmagan bo‘lsa, u holda ketma-ketlikning limiti bo‘ladi.Isbot etilgan teoremalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi. 1-natija . O‘suvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun, uning yuqoridan chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.Haqiqatan, agar o‘suvchi ketma- ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning chegaralangan bo‘lishidan, uning yuqoridan chegaralanganligi kelib chiqadi. Agar o‘suvchi ketma- 19  0, sup ( ) n n n a x n N x a f x a x                ketlik yuqoridan chegaralangan bo‘lsa, u isbot etilgan 2.1.3-teoremaga asosan yaqinlashuvchi bo‘ladi. 2-natija. Kamayuvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning quyidan chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli. Misollar. 1 Ushbu ketma-ketlikning limitini toping Avvalo, bu ketma-ketlikning mavjudligini ko‘rsatamiz. Ravshanki, bundan barcha lar uchun tengsizlikning o‘rinli ekani kelib chiqadi. Bu esa berilgan ketma-ketlik kamayuvchi ekanini ko‘rsatadi. Ketma-ketlikning har bir hadi musbat, Demak, u quyidan chegaralangan. Shunday qilib ketma-ketlik kamayuvchi va quyidan chegaralangan. 2.1.4-teoremaga ko‘ra bu ketma-ketlik chekli limitga ega. Biz uni bilan belgilaylik: Ravshanki, . Ushbu . Bernulli formulasidan foydalanib topamiz: bundan esa kelib chiqadi. U holda bo‘lib, natijada quyidagi tengsizlikka kelamiz. Bu tengsizlikda limitga o‘tamiz: . Undan va ni hisobga olsak, ekani kelib chiqadi. Demak, 2. Quyidagi 201 1 1 1 2 n n n n         1 1 ( 1)! ! ( 1) ( 1) 1 n n n n n n n n n n n x x n n n n                (1 ) 1 ( 1) n n        ( 1) 2 n n n n    1 1 ( 1) 2 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) n n n n n n n n n n n n n n n n n n x n n n n n n x x x x x x x n n n n                       lim 0 n n n  , , , .... , ... ntaildiz a a a a a a a a a a        (a>0)ketma-ketlikning limitini toping. Bu ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo‘lsin (*) Shuni ko‘rsatamiz. Ravshanki, (*) munosabat n=k uchun o‘rinli bo‘lsin: Deb uchun o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz: . Demak, matematik induksiya usuliga binoan, uchun bo‘ladi. Ravshanki, . Endi nomer uchun tengsizlik bajarilgan deyilsa, bo‘ladi. Haqiqatan ham, . Demak, uchun bo‘ladi. Bu esa berilgan ketma-ketlikning o‘suvchi ekanligini bildiradi. Monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi 2.1.3- teoremaga ko‘ra berilgan ketma-ketlik chekli limitga ega. Biz uni bilan belgilaylik: so‘ngra tenglikda hadlab limitga o‘tish amalini bajarib topamiz: yoki . Natijada ni toppish uchun ushbu kvadrat tenglamaga kelamiz. Bu kvadrat tenglamaning ildizlarini yozamiz: ketma-ketlikning hadlari musbat bo‘lgani uchun son ketma- 211( 1, 2, ...) nx a n    1 1 x a a    1 kx a   1 1 2 1 1 k kx a x a a a a a         1 nx a   1 2x a a a x     1 1 k k k kx a x a x x        ketlikning limiti bo‘ladi. Demak, Xususan, ushbu ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti ga teng. 2.3 § . Monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremalarning tatbiqlari Quyidagi ; ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Bu ketma-ketlik limitning mavjudligini ko‘rsatamiz. Berilgan (1) ketma-ketlik bilan birga ushbu ketma-ketlikni ham qaraymiz. Bu ketma-ketlik kamayuvchi. Haqiqatan, Bernulli tengsizligiga asosan bo‘lishini hisobga olsak, natijada 22( ... )1 1 4 lim lim 2 a a a n a x        3 3 3 ... 3, 3, 3 3 , 3 3 3          2 1 1 1 (1 1) , 1 , ..., 1 1. 2 n n                1 1 1 n ny n                   1 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 1 n n n n n n n y n n n y n n n n n n n                                                  2 1 1 1 1 1 2 1 2 2n n n n n n n                  1 1 1 1 , ' 1 n n n n y n ya niy y n N y n n              tengsizlik kelib chiqdi. Bu ketma-ketlikning kamayuvchi ekanini anglatadi. Ikkinchi tomondan ketma-ketlikning har bir hadi musbat bo‘lgani uchun u quyidan chegaralangan. Shunday qilib ketma- ketlik kamayuvchi va u quyidan chegaralangandir. 2.1.4- teoremaga ko‘ra bu ketma-ketlik limitga ega. Agar tenglikdan tenglikning kelib chiqishini va ekanini e’tiborga olsak, unda ga ega bo‘lamiz. Bu esa (1) ketma-ketlik limitning mavjudligini ko‘rsatadi. 2.3.1-ta’rif. Berilgan ketma-ketlikning limiti soni deb ataladi. bunda lotincha exponenti-“ko‘rsatish, ko‘rsatgich, namoyish qilish “so‘zining dastlabki harfini ifodalaydi. Sonini taqribiy hisoblash maqsadida ifodani Nyuton binomi formulasidan foydalanib quyidagicha yozib olamiz: Agar 231 lim 1 n e n                2 1 1 2 1 1 2 ... 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 ... 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 ... 1 2 n n k n n n n n n k n n n n n k n n n                                        1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 ... 1 1 ... 1 ... 1 1 ... 1 1 2 3 1 2 ... ! k n n n k n n n n n n n                                                                    1 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 ... 1 2! 3! k S n n n n                                 deb olsak: ketma-ketlik uchun Qolaversa ning yoyilmasidan, tengsizlikka ko‘ra Shuning asosan soni tengsizlikni qanoatlantirad. Bu sonni yanada aniqroq hisoblash uchun quyidagi mulohazalarni yuritamiz. Yuqoridagi yig‘indini quyidagicha yozib olamiz: Bu tenglikning o‘ng tomonida turgan yig‘indining har bir hadida qatnashgan ko‘rinishdagi ko‘paytuvchilarni undan katta bo‘lgan 1 bilan va ko‘rinishidagi ko‘paytuvchilarni esa undan katta bo‘lgan bilan almashtirib, yig‘indi uchun ushbu tengsizlikka kelamiz. Cheksiz kamayuv boruvchi geometrik progressiya barcha hadlari yig‘indisi formulasidan foydalanib(bunda birinchi had , maxraji ham bo‘ladi) topamiz: 241 , k n    2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 ... 1 ... 1 1 ... 1 1 ! ! k n S k n n n n n n n                                                1 2 1 1 n S S n        2 1 1 2 1 1 1 ... 1 ! k S k n n n                              1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1 1 1 2 1 2 ... k k k k k n k n k k n n k k n n n n                                                           1 , , 1, ..., 1 i i k k n n             1 , 1, 2, 3, ... 1 2 ... n k k k j     Shunday qilib, va undan tengsizliklarga ega bo‘lamiz, da bu tengsizliklarda limitga o‘tib topamiz: Bu munosabat sonini taqribiy hisoblash imkonini beradi. Demak, bo‘lib bu taqribiy formulalarning xatosi dan oshmaydi. Masalan k=10 da bo‘lib, xatolik esa bo‘ladi. sonining yanada aniqroq qiymati: 2.3.2-teorema. irratsional sondir. Isbot. teskarisini faraz qilaylik: soni ratsional son bo‘lsin, ya’ni u qisqarmaydigan kasr ko‘rinishida yozilsin deylik. Yuqorida isbot etilgan (2) tengsizliklarda k=q deb olaylik . Natijada: 25  2 1 1 ! . 1 ! 1 1 1 S k k k k k            1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 ... 1 2! 3! ! !n k S S n n n n k n n n k k                                                         1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 ... 1 2! 3! ! !n k n n n n k n n n k k                                                          1 1 1 1 0 2 ... 2! 3! ! ! e k k k            1 1 1 2 ... 2! 3! ! e k      1 1 1 2 ... 2, 718281 2! 3! 10! e      1 0, 0000001 10!10  , , 1p e p N q q    1 1 1 1 0 1 ... 1! 2! ! ! e q q q             yoki (3) tengsizlikka ega bo‘lamiz. Ravshanki, son butun musbat, shuningdek, son ham butun musbat. Shuni hisobga olsak, (3) tengsizlikning chap tomonidagi ifoda butun musbat son bo‘lishini topamiz. Ammo bu son tengsizlikka ko‘ra 1 dan katta bo‘ladi. ziddiyatlik hosil bo‘ldi. Demak soni irratsionaldir.Teorema isbotlandi. 2.3.3-teorema. Ikkita va ketma-ketlik berilagan bo‘lsin. Agar 1) o‘suvchi, kamayuvchi ketma-ketlik, 2) lar uchun, 3) bo‘lsa va ketma-ketliklar yaqinlashuvchi va tenglik o‘rinli bo‘ladi. Isbot. ketma-ketlik o‘suvchi, ketma-ketlik esa kamayuvchi hamda har bir uchun engsizlik o‘rinli bo‘lganidan, uchun tengsizliklar bajariladi. Bu esa ketma-ketlik yuqoridan, ketma-ketlik esa quyidan chegaralanganligini bildiradi. Monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremalarga asosan va ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo‘ladi. Demak, va lar mavjud. Shuning uchun bo‘lib, teoremaning uchinchi shartidan esa bo‘lishi kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi. Isbot bo‘lgan teoremadan muhim natija kelib chiqadi. Bu natijani keltirishdan avval ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi tushunchasi bilan tanishamiz. Ma’lumki, to‘plam segment deb atalar edi. Agar 261 1 1 ! ! 1 ... 1 1! 2! ! q eq q q                    lim lim lim n n n ny x y x    lim lim 0,n n y x   lim lim n ny x  bo‘lsa, segment segmentning ichiga joylashgan deyiladi. Agar segmentlar ketma-ketligi quyidagi munosabatda bo‘lsa, bu segmentlar ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi deyiladi. 3-natija. Agar ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi uchun bo‘lsa, u holda va ketma-ketliklar bitta limitga ega hamda bu limit barcha segmentlarga tegishli bo‘lgan yagona nuqta bo‘ladi. Isbot. … ichma-ich joylashgan segmentlar ketma- ketligi bo‘lib bo‘lsin. Bunda ketma-ketlik o‘suvchi, esa kamayuvchi ketma-ketliklardir va barcha lar uchun bo‘ladi. Demak va ketma-ketliklar 2.3.3-teoreamaning barcha shartlarini qanoatlanitiradi, bu teoremaga ko‘ra va ketma ketliklar yaqinlashuvchi va bo‘ladi. Endi, deb belgilab,c nuqta barcha segmentlarga tegishli bo‘lgan yagona nuqta ekanini ko‘rsatamiz. ketma-ketlik o‘suvchi va bo‘lganidan, shuningdek, ketma-ketlik kamayuvchi va bo‘lganidan esa bo‘lishi kelib chiqadi. Demak bo‘lib, c nuqta barcha segmentlarga tegishli: Agar shu nuqtadan farqli va segmentlarning barchasiga tegishli nuqta ham mavjud deb qaraladigan bo‘lsa, unda 27n N  bo‘lib, bu munosabat shartga zid bo‘ladi. Demak, Keltirilgan natija ichma-ich segmentlar prinsipi deb yuritiladi. 4-eslatma. Yuqoridagi singari ichma –ich joylashgan intervallar ( yoki yarim intervallar ) ketma-ketligi tushunchasini kiritishimiz mumkin. Ammo ularga nisbatan 6- natija tasdiqi, umuman olganda, o‘rinli bo‘lmaydi. Masalan, ushbu Ichma ich joylashgan intervallar ketma-ketligini qaraylik. da bu intervallar uzunligi nolga intilsa ham barcha intervallar uchun umumiy bo‘lgan yagona nuqta mavjud emas (bunday yagona umumiy nuqta 0 bo‘lishi mumkin edi, ammo 0 nuqta bu intervallarga tegishli emas). Xulosa 1. I-bobda sonli ketma-ketliklarning asosiy tushunchalari – chegaralangan, cheksiz katta, cheksiz kichik va yaqinlashuvchi ketma-ketliklar tafsilotli o'rganildi. 280 nb a c c       1 1 1 0,1 , 0, , 1 , ..., 0 2 2 n                 Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limiti yagona bo'lishi va u albatta chegaralangan ekanini tasdiqlovchi teoremalar isbotlandi. 2. II-bobda monoton ketma-ketliklarning asosiy xossalari, chegaralanganlik va yaqinlashuvchanlik shartlari nazariy jihatdan tahlil qilindi. Eng muhim natija: har qanday chegaralangan monoton ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo'lib, uning limiti mavjud. 3. Ichma-ich segmentlar prinsipi (3-natija) isbotlanib, u haqiqiy sonlar to'liqligining muhim xossasini ifodalaydi. Bu natija keyinchalik bir qiymatli funksiyalar, uzluksizlik va differensiallanish nazariyalarida keng qo'llaniladi. Monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari hamda amaliy tadbiqlari atroflicha o‘rganildi.Tadqiqot davomida monoton ketma-ketliklarning asosiy xossalari,chegaralanganligi va yaqinlashuvchanlik shartalari nazariy jihatdan tahlil qilindi.Kurs ishi natijasida shunday xulosaga kelindi:har qanday chegaralangan monoton ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib uning limiti mavjud. Monoton ketma- ketliklar nazariyasi oliy o'quv yurtlarining matematik analiz, algebra va diskret matematika fanlarini o'rganishda keng qo'llaniladi. Shu bilan birga, iqtisodiyotda o‘sish modellarini tahlil qilishda, informatikada algoritmlar murakkabligini baholashda hamda muhandislik hisob-kitoblarida ham muhim tadbiqlarga ega ekanligi aniqlandi. Demak, bu mavzuni chuqur o‘rganish bo'lajak mutaxassislarning matematik tafakkurini rivojlantirish va amaliy masalalarni hal etish ko'nikmalarini shakllantirishda beqiyos ahamiyat kasb etadi.Bu kurs ishining asosan sonli ketma- ketliklar, cheksiz kichik va cheksiz kata ketma-ketliklar, chegaralangan ketma- ketliklar, yaqinlashuvchi, uzoqlashuvchi ketma-ketliklar o‘rganilgan. Bu mavzular asosan oliy o‘quv yurtlarining matematik analiz fanini o‘rganishda kerak bo‘ladi. Matematik analiz kursi bo‘lajak mutaxasislarning matematik jihatdan shakllanishida ma’lum metodologik ahamiyatga ega FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI 1. Mirziyoyev Sh.M “Tanqidiy tahlil” I. Asosiy adabiyotlar 29 1. Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill. 2. Apostol, T. M. (1974). Mathematical Analysis. Addison-Wesley. 3. Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2011). Introduction to Real Analysis. Wiley. 4. Courant, R., & John, F. (1999). Introduction to Calculus and Analysis. Springer. 5. Zorich, V. A. (2004). Mathematical Analysis I. Springer. 6. Fichtenholz, G. M. (2008). Differential and Integral Calculus. Fizmatlit. 7. Demidovich, B. P. (2010). Problems in Mathematical Analysis. Lan. 8. Piskunov, N. S. (1985). Differential and Integral Calculus. Mir Publishers. 9. Il’in, V. A., & Poznyak, E. G. (1982). Fundamentals of Mathematical Analysis. Mir Publishers. 10. Frolov, N. A. (2005). Mathematical Analysis. Vysshaya Shkola. 11. Kolmogorov, A. N., & Fomin, S. V. (1975). Introductory Real Analysis. Dover Publications. 12. Gaughan, E. D. (2009). Introduction to Analysis. AMS Chelsea Publishing. 13. Abbott, S. (2015). Understanding Analysis. Springer. 14. Tao, T. (2016). Analysis I. Hindustan Book Agency. 15. Trench, W. F. (2013). Introduction to Real Analysis. Trinity University. 16. Knapp, A. W. (2016). Basic Real Analysis. Birkhäuser. 17. Бугров, Я. С., & Никольский, С. М. (1988). Высшая математика. Математический анализ. Наука. 18. Кудрявцев, Л. Д. (1981). Курс математического анализа. Высшая школа. 19. Фихтенгольц, Г. М. (1968). Курс дифференциального и интегрального исчисления. Наука. 20. Тер-Крикоров, А. М., & Шабунин, М. И. (2001). Курс математического анализа. Физматлит. II. Maqolalar va o‘quv materiallari 21. OpenStax. (2016). Sequences. Calculus Volume 2. https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/5-1-sequences 30 22. OpenStax. (2016). Infinite Series. Calculus Volume 2. https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/5-2-infinite-series 23. MIT OpenCourseWare. (2025). Real Analysis: Lecture Notes. https://ocw.mit.edu/courses/18-100b-real-analysis-spring-2025/pages/lecture- notes/ 24. MIT OpenCourseWare. (2025). Lecture 05: Monotone Convergence Theorem. https://ocw.mit.edu/courses/18-100b-real-analysis-spring-2025/mit18_100b_s2 5_lec05.pdf 25. LibreTexts. (2025). Sequences. https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Calculus_%28OpenStax %29/09%3A_Sequences_and_Series/9.01%3A_Sequences 26. Knapp, A. W. (2016). Basic Real Analysis. https://www.math.stonybrook.edu/~aknapp/download/b2-realanal-inside.pdf 27. Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. https://www.lehman.edu/faculty/rbettiol/lehman_teaching/2020mat320/ baby_Rudin.pdf 28. Euroasian Journals. (2024). Monotonic Sequences and Their Limits. https://euroasianjournals.org/index.php/pc/article/download/485/421/921 31
Купить