Monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari, tadbiqlari 26 - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	35000UZS
Размер	950.9KB
Покупки	0
Дата загрузки	13 Июнь 2026
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

201 Продаж

Monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari, tadbiqlari 26

Купить

Monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari, tadbiqlari

MUNDARIJA
KIRISH……………………………………………………………………… 3-6
I-BOB SONLI KETMA-KETLIKLAR HAQIDA ………………………. 7-17
1.1 § . Sonli ketma-ketliklar ……………………………………………………7
1.2 § . Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma-ketliklar……………………….7-10
1. 3§. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar va ularning xossalari………………….10-12
1.4 §. Ketma-ketlikning limit nuqtalari……………………………………….12-17
II-BOB . MONOTON KETMA-KETLIKLAR VA ULARNING LIMITLARI,
TADBIQLARI…………………………………………………………….18-28
2.1 § . Monoton ketma- ketliklar va uning limitlari…………………………..18-19
2 .2§. Monoton ketma-ketlikning kimiti haqida teoremalar…………………19-22
2.3 § . Monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremalarning tadbiqlari...22-28
XULOSA ……………………………………………………………………...28
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI……………………….30
2

Kirish
“Eng katta boylik – bu aql – zakovat va ilm,
eng katta meros – bu yaxshi tarbiya, eng
katta qashshoqlik – bu bilimsizlikdir !”
Sh.M.Mirziyoyev
Bugun biz tarixiy davrda xalqimiz o‘z oldiga ezgu maqsadlar qo‘yib, tinch
osoyishta hayot kechirayotgan, avvalombor o‘z kuchi va fuqarolik jamiyati qurish
yo‘lida ulkan natijalarni qo‘lga kiritayotgan avvalombor o‘z kuch va imkoniyatlari-ga
tayanib, demokratik davlat va fuqarolik jamiyati qurish yo‘lida ulkan natijalarni
qo‘lga kiritayotgan bir zamonda yashamoqdamiz.
Men Abdulla Avloniyning “tarbiya biz uchun yo hayot yo mamot yo halokat
yo saodat yo falokat masalasidir” degan fikrini ko‘p mushohada qilaman. Buyuk
ma’rifatparvarlarning bu so‘zlari asrimiz boshida millatimiz uchun qanchalik muhim
va dolzarb bo‘lgan bo‘lsa hozirgi kunda biz uchun ham shunchalik, balki undan ko‘ra
muhim va dolzarbdir.
Chunki ta’lim–tarbiya ong mahsuli, lekin ayni vaqtda ong darajasi va uning
rivojini ham belgilaydigan omildir. Binobarin ta’lim–tarbiya tizimini o‘zgartirmasdan
turib, biz ko‘zlagan oliy maqsad, ozod va obod jamiyatni barpo etib bo‘lmaydi.
Barchamizga ma’lumki kelajak avlod haqida qayg‘urish, sog‘lom barkamol
avlodni tarbiyalab yetishtirishga intilish bizning milliy xususiyatimizdir. Ta’limning
yangi modeli jamiyatda mustaqil fikrlovchi erkin shaxsning shakllanishiga olib
keladi. Va biz o‘zining qadr-qimmatini, anglaydigan, irodasi baquvvat, iymoni butun,
hayotda aniq maqsadga ega bo‘lgan insonlarni tarbiyalash imkoniyatiga ega
bo‘lamiz. Shuni unutmasligimiz kerakki, kelajagimiz poydevori bilim dargohlarida
yaratiladigan, boshqacha aytganda xalqimizning ertangi kuni qanday bo‘lishi
farzandlarimizning bugun qanday ta’lim-tarbiya olishiga bog‘liq.
Ta’limni tarbiyadan, tarbiyani esa ta’limdan ajratib bo‘lmaydi, bu sharqona
qarash, sharqona hayot falsafasi. Shu maqsadda yurtimizda kadrlar tayyorlash milliy
3

dasturining uzviy va mantiqiy davomi bo‘lmish 2004-2005 yillarda maktab ta’limini
rivojlantirish umummilliy davlat dasturi qabul qilindi. Ushbu dasturga muvofiq,
yurtimizda mavjud bo‘lgan o‘n mingga yaqin umumta’lim maktabining moddiy
texnik bazasini mustahkalash, mazmunini tubdan takomillashtirish, o‘qituvchilarning
mehnatini moddiy va ma’naviy rivojlantirish bo‘yicha katta ishlar qilinmoqda.
Bugungi kunda ham ta`lim-tarbiya sohasiga katta e`tibor qaratilmoqda. Xususan,
maktabgacha ta'lim tizimini yanada takomillashtirish, moddiy-texnika bazasini
mustahkamlash, maktabgacha ta'lim muassasalari tarmog‘ini kengaytirish, malakali
pedagog kadrlar bilan ta'minlash, bolalarni maktab ta'limiga tayyorlash darajasini
tubdan yaxshilash, ta'lim-tarbiya jarayoniga zamonaviy ta'lim dasturlari va
texnologiyalarini tatbiq etish, bolalarni har tomonlama intellektual, axloqiy, estetik va
jismoniy rivojlantirish uchun shart-sharoitlar yaratish maqsadida Prezidentimiz
Shavkat Mirziyoyev tomonidan “2017-2021-yillarda maktabgacha ta'lim tizimini
yanada takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida” qaror qabul qilindi.
Ushbu dastur (keyingi o‘rinlarda Dastur deb yuritiladi) ning asosiy maqsadli
vazifalari va yo‘nalishlari quyidagilarni o‘z ichiga oladi:
Ilg‘or xorijiy tajribani hisobga olgan holda bolalarni har tomonlama intellektual,
axloqiy, estetik va jismoniy rivojlantirish sharoitlarini yaratish; maktabgacha ta'lim
sifatini oshirish, maktabgacha ta'lim muassasalarida bolalarni maktabga sifatli
tayyorlashni tubdan yahshilash, ta'lim-tarbiya jarayoniga jahon amaliyotida keng
qo‘llaniladigan zamonaviy ta'lim dasturlari va texnologiyalarini joriy etish;
2200 ta maktabgacha ta'lim muassasasining moddiy-texnika bazasini
mustahkamlash, shu jumladan qishloq joylarda maktabgacha ta'lim muassasalarini
yangidan qurish, ularni zamonaviy talablarga javob beradigan inventar, jihoz, o‘quv-
metodik qo‘llanmalar va multimediali vositalar bilan ta'minlash.
Bundan tashqari, yurboshimiz akademik litseylarda o‘quv jarayoni sifati va
samaradorligini tubdan oshirish, akademik litseylarda umumta'lim maktablarining
eng qobiliyatli bitiruvchilarini jamlash, umumta'lim maktablar bitiruvchilarining
tanlangan kasblar va mutaxassisliklarni egallab olishga bo‘lgan ehtiyojini qondirish
uchun shart-sharoitlarni yanada kengaytirish maqsadida “O‘rta maxsus, kasb-hunar
4

ta'limi muassasalari faoliyatini yanada takomillashtirish chora-tadbirlari to‘g‘risida”
(O‘zbekiston Respublikasi qonun hujjatlari to‘plami, 2017-y, 11-son, 156-modda)
qaror qabul qildi. Ushbu dastur quyidagilarni o‘z ichiga oladi:
O‘zbekiston Respublikasi Iqtisodiyot vazirligi, Moliya vazirligi, Oliy va o‘rta
maxsus ta'lim vazirligi, Madaniyat vazirligi, Sog‘liqni saqlash vazirligi, O‘zbekiston
Respublikasi Oliy va o‘rta maxsus ta'lim vazirligining O‘rta maxsus, kasb-hunar
ta'limi markazining respublikada faoliyat ko‘rsatayotgan akademik litseylar sonini
optimallashtirishni, akademik litseylarda o‘quv jarayoni sifatini tubdan yaxshilash
chora-tadbirlari amalga oshirilishini nazarda tutuvchi, jumladan: moddiy-texnik va
o‘quv-pedagogik bazasi nisbatan past darajali ba’zi akademik litseylarni tugatish,
tugatilayotgan akademik litseylarning 1-bosqichlariga o‘quvchilarni qabul qilishni
o‘quv yilidan boshlab to‘xtatish; faoliyati ko‘rsatkichlari eng past bo‘lgan ba’zi
akademik litseylarni bosqichma-bosqich kasb-hunar kollejlariga aylantirish; o‘quv
jarayoni samaradorligini yanada oshirish va akademik litseylar bitiruvchilarining oliy
ta'lim muassasalariga o‘qishga kirishi ko‘rsatkichlarini oshirish chora-tadbirlari
dasturi haqidagi taklifi qabul qilish.
Oldin bayon qilinganlar bilan birgalikda quyidagilar akademik litseylarning
muhim vazifalari va faoliyati yo‘nalishlari etib belgilandi: umumta'lim
maktablarining eng iste'dodli o‘quvchilarini tanlash, ularning intellektual
qobiliyatlarini yanada rivojlantirish va o‘qishni oliy ta'lim muassasalarida davom
ettirishga maqsadli chuqur tayyorlash; o‘quvchilarning ijodiy salohiyati namoyon
bo‘lishi va faollashishiga ko‘maklashuvchi, individual iste'dodlarni va har bir
o‘quvchining qobiliyatlari hamda xususiyatlarini hisobga olgan holda bilimlarni
egallab olish jarayonida mustaqil faoliyat ko‘nikmalarini shakllantiruvchi va
rivojlantiruvchi ta'lim muhitini yaratish; ilg‘or mahalliy va xorijiy o‘ta'lim
muassasalarining tajribasini hisobga olgan holda ta'lim jarayonini tashkil etishning
zamonaviy shakllarini joriy etish va uning mazmunini doimiy ravishda yangilab
borish.
Mustaqillik yillarida O‘zbekiston Respublikasida uzluksiz ta'limning noyob
tizimi yaratildi, ilmiy-tadqiqot faoliyati, oliy malakali ilmiy va ilmiy-pedagog kadrlar
5

tayyorlash va attestatsiyadan o‘tkazish samaradorligini oshirishga, mamlakatning
ijtimoiy va iqtisodiy taraqqiyotida ilm-fanning rolini kuchaytirishga yo‘naltirilgan
salmoqli ishlar amalga oshirildi.
Kurs ishining maqsadi. Matematik analiz kursining “ Monoton ketma –ketliklar
va uning limiti, tadbiqlari mavzusini o‘rganish.
Kurs ishini ob’ekti. Barcha oliy o‘quv yurtlarida Fizika-matematika fakultetlarini
Matematika yo‘nalishlarida matematik analiz masalalrini o‘qitish jarayoni.
Kurs ishining predmeti. Monoton ketma-ketliklar va uning limitini qay darajada
kengligi va tadbiqlarini muhumligi.
Kurs ishini ng vazifalari.
- Mavzuga doir ma’lumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish;
- Matematik analizdan “ Monoton ketma –ketliklar va uning limiti, tadbiqlari ” mavzusini
chuqur o‘rganish;
- Monoton ketma –ketliklar va uning limiti, tadbiqlari haqida asosiy tushunchalar;
- Kurs ishini himoyaga tayyor qilish.
Kurs ishini tuzilishi. 2ta bob, 7ta reja, 30ta sahifa, xulosa va foydalanilgan
adabiyotlar ro‘yhatidan iborat.

6

I-BOB
KETMA- KETLIKLAR HAQIDA SONLI KETMA-KETLIKLAR
1.1§. Sonli ketma-ketliklar.
Agar sonlarning natural qatori dagi har bir songa ma’lum bir qonun
qoida bo‘yicha biror haqiqiy son mos keltirilsa, u holda nomerlangan haqiqiy
sonlar to‘plami (1) ga sonli ketma-ketlik yoki ketma-ketlik deyiladi.
sonlarni (1) ning elementlari yoki hadlari deyiladi.
Bizga ixtiyoriy va ketma-ketliklar berilgan bo‘lsin.
Bu ketma-ketliklar yig‘indisi va ayirmasi deb , ko‘paytmasi yoki bo‘linmasi
deb yoki ketma-ketlikka aytamiz.
Agar shunday haqiqiy M soni (m soni) topilsaki va bunda
shartlar bajarilsa u holda ketma-ketlik yuqoridan (quyidan) chegaralangan
deyiladi. Bunda M soni (m soni) ketma-ketlikning yuqori chegarasi (quyi
chegarasi) deyiladi.
Masalan: ketma-ketlik yuqoridan -1 bilan , 1,2,3,..., n,...
ketma-ketlik esa quyidan 1 bilan chegaralangan.
Agar ketma-ketlik ham yuqoridan ham quyidan chegaralangan bo‘lsa,
ya’ni tengsizlik bajarilsa ketma-ketlik chegaralangan deyiladi. Chegaralangan
ketma-ketlikni ko‘rinishida ya’ni ko‘rinishida yozish mumkin.
Agar har qanday musbat A soni uchun ketma-ketlikning
tengsizlikni qanoatlantiruvchi element topilsa, u holda ketma-ketlik
chegaralanmagan deyiladi.

7

1.2 §. Cheksiz katta va cheksiz kichik ketma –ketliklar.
1.2.1-ta’rif: Ixtiyoriy A soni uchun shunday N nomer ko‘rsatish mumkin
bo‘lsaki bo‘lganda ketma-ketlikning hamma elementlari
tengsizlikni qanoatlantirsin, u holda cheksiz katta ketma -ketlik deyiladi.
Ma’lumki har qanday cheksiz katta ketma-ketlik chegaralanmagan bo‘ladi.
Chunki ixtiyoriy A>0 son uchun shunday N nomer ko‘rsatish mumkinki, da
boshlab ning hamma elementlari tengsizlikni qanoatlantiradi va demak
ixtiyoriy A>0 son uchun tengsizlikni qanoatlantiradigan hech bo‘lmaganda
bitta element topish mumkin. Biroq chegaralanmagan ketma-ketlik cheksiz katta
bo‘lmasligi ham mumkin.
1.2.1-misol . Chegaralanmagan (1,2,1,3,…,1,n,…) ketma-ketlik cheksiz katta
bo‘la olmaydi, chunki A>1 da tengsizlik toq nomerli barcha elementlar
uchun bajarilmaydi.
1.2.2-ta’rif. Ixtiyoriy musbat son uchun shunday N nomer ko‘rsatish mumkin
bo‘lsaki dan boshlab ketma-ketlikning hamma elementlari
tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik deyiladi.
1.2.2-misol. ketma-ketlik cheksiz kichikligini isbotlang.
da Shuning uchun berilgan bo‘yicha N nomerni
shartdan topish mumkin. Masalan, deb olsa bo‘ladi. Cheksiz kichik ketma-ketlikning
asosiy xossalari.
1.2.1-teorema. Ikki cheksiz kichik ketma-ketlikning yig‘indisi yana cheksiz
kichik ketma-ketlik bo‘ladi.
Isbot. va cheksiz kichik ketma-ketliklar bo‘lsin. ketma-
ketlikning cheksiz kichik ekanini isbot qilamiz. -ixtiyoriy musbat son, esa
8n N
n N
n N

tengsizlik bajarilishi boshlangan, esa tengsizlik bajarilishi
boshlangan nomerlar bo‘lsin. (bunday va cheksiz kichik ketma-ketliklar
ta’rifidan topiladi). Ikki son yig‘indisining moduli ular modullari yig‘indisidan katta
bo‘lmaganligi uchun ya’ni nomerlarning kattasini N orqali
belgilab, ya’ni shu N nomerdan boshlab, tengsizlik o‘rinli
ekanini chiqaramiz. Bu esa ketma-ketlikning cheksiz kichik ekanligini
ko‘rsatadi. Teorema isbotlandi.
1.2.2-teorema. Ikki cheksiz kichik ketma-ketlikning ayirmasi yana cheksiz
kichik ketma-ketlik bo‘ladi.
1.2.3-teorema. Cheksiz kichik ketma-ketliklar chegaralangandir.
I sbot. Cheksiz kichik ketma-ketlik biror son bo‘lsin. So‘ngra
tengsizlik bajarilishi boshlangan nomer N bo‘lsin. Ushbu N ta
sonning eng kattasini A deb belgilaymiz. Buni quyidagicha yozish mumkin.
. Ma’lumki ixtiyoriy N nomer uchun tengsizlik bajariladi bu
esa ketma-ketlikning chegaralanganliginini ko‘rsatadi. Teorema isbotlandi.
1.2.4-teorema. Chegaralangan ketma-ketlikning cheksiz kichik ketma-ketlikka
ko‘paytmasi cheksiz kichik ketma-ketlikdan iborat.
Isbot. chegaralangan, -cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘lsin.
ketma-ketlik chegaralanganligi uchun shunday A>0 soni mavjudki, ixtiyoriy element
uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Ixtiyoriy musbat sonini olamiz.
ketma-ketlik cheksiz kichik bo‘lganidan musbat son uchun shunday N nomer
ko‘rsatish mumkinki, da tengsizlik bajariladi. Bu holda da
shuning uchun ketma-ketlik cheksiz kichikdir. Teorema
isbotlandi.
9

Natija. Ixtiyoriy chekli sondagi cheksiz kichik ketma-ketliklar ko‘paytmasi ham
cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘ladi.
Ikki cheksiz kichik ketma-ketlikning nisbati ixtiyoriy turdagi ketma-ketlik
bo‘lishi mumkin. Hatto ma’noga ega bo‘lmasligi mumkin.
1.2.3-misol . , bo‘lsa, ketma-ketlikning hamma elementi birga
teng bo‘ladi. Agar desak, u holda ketma-ketlik cheksiz katta va
aksincha, agar desak, ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik
bo‘ladi. Agar ning cheksiz ko‘p elementlari noldan iborat bo‘lsa, u holda
nisbat ma’noga ega emas.
1.2.5-teorema. Agar cheksiz kichik ketma-ketlikning hamma elementlari
biror c songa teng bo‘lsa, u holda c=0 bo‘ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, , deb olamiz. Bu songa mos keluvchi
N nomerdan boshlab, tengsizlik bajariladi. va , bo‘lgani uchun,
oxirgi tengsizlikni , deb qayta yozish mumkin, bundan . Bu qarama-
qarshilikdan, degan farazimiz o‘rinli emasligi kelib chiqadi. Demak ekan.
Teorema isbotlandi.
1.3 §. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar va ularning xossalari.
1.3.3-ta’rif. Agar, ketma-ketlik uchun shunday a soni mavjud bo‘lsaki ushbu
ketma-ketlik cheksiz kichik ketma-ketlik bo‘lsa, u holda ketlik
yaqinshuvchi deyiladi va a son ketma-ketlikning limiti deyiladi. Agar shunday a
soni mavjud bo‘lsaki, har qanday musbat uchun shunday N nomer ko‘rsatish
10

mumkin bo‘lib, dan boshlab bu ketma-ketlikning hamma elementlari
tengsizlikni qanoatlantirsa u holda ketma-ketlik yaqinlashuvchi
deyiladi.
Agar ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib, a soni uning limiti bo‘lsa bu
holda quyidagicha yoziladi yoki da bo‘ladi. Ushbu
ayirma cheksiz kichik ketma-ketlik ekanliginini bildiradi. Demak limiti a bo‘lgan har
qanday yaqinlashuvchi ketma-ketlikning ixtiyoriy
elementi ko‘rinishda bo‘lishi mumkin, bunda -cheksiz kichik ketma-
ketlik elementidir.
1.3.6-teorema. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik faqat bitta limitga ega.
Isbot. a va b yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limiti bo‘lsin. U holda
yaqinlashuvchi ketma-ketlikning elementlari uchun ifodadan
foydalanib, , ni yozamiz, , cheksiz kichik ketma-ketlikning
elementlari. Topilgan ifodalarni ayirib, ni hosil qilamiz cheksiz
kichik ketma-ketlikning hamma elementlari bitta o‘zgarmas qiymatga ega
bo‘lgani uchun yuqorida keltirilgan 1.1.5-teoremaga asosan ya’ni tenglik hosil
bo‘ladi. Teorema isbotlandi .
1.3.7-teorema. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik chegaralangandir.
1.3.8-teorema. Yaqinlashuvchi va ketma-ketliklarning yig‘indisi ham
yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo‘lib, uning limitlari va ketma-ketliklari
limitlari yig‘indisiga teng.
Isbot. a va b sonlar mos ravishda va ketma-ketliklarning limiti
bo‘lsin, u holda , bu yerda va cheksiz kichik ketma-
ketlikdir. Demak, shunday qilib ketma-
ketlik cheksiz kichik ketma-ketlikdir va shuning uchun ketma-ketlik
yaqinlashuvchi va uning limiti ga teng bo‘ladi.
11lim n n x a    n  nx a 

1.3.9-teorema. Yaqinlashuvchi va ketma-ketliklar ayirmasi
yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo‘lib uning limiti va ketma-ketliklar
limitlari ayirmasiga teng.
1.3.10-teorema. Yaqinlashuvchi va ketma-ketliklar ko‘paytmasi
yaqinlashuvchi ketma-ketlik bo‘lib, uning limiti va ketma-ketliklar
limitlari ko‘paytmasiga teng.
1.3.11-teorema . Agar cheksiz katta ketma-ketlik bo‘lsa, u holda biror n
nomerdan boshlab ketma-ketlik aniqlangan va u cheksiz kichik bo‘ladi.
1.3.12-teorema. Agar yaqinlashuvchi ketma-ketlikning elementlari biror
nomerdan boshlab, tengsizlikni qanoatlantirsa, u holda bu ketma-
ketlikning limiti a ham tengsizlikni qanoatlantiradi.
Isbot . ketma-ketlikning elementlari biror nomerdan boshlab tengsizlikni
qanoatlantirsin, tengsizlikni isbot qilish talab etiladi. Faraz qilaylik,
bo‘lsin a soni ketma-ketlikning limiti bo‘lgani uchun uchun shunday N
nomer ko‘rsatish mumkinki: bo‘lganda tengsizlik bajariladi. Bu
tengsizlik ushbu ikki tengsizlikka teng kuchli. Bu
tengsizliklarning o‘ng tomonida turgan tengsizlikdan foydalanib,
ga ega bo‘lamiz. Bu esa teorema shartiga zid ham shunga o‘xshash chiqariladi.
Teorema isbotlandi.
Natija. Agar yaqinlashuvchi va ketma-ketlikning elementlari biror nomerdan
boshlab tengsizlikni qanoatlantirsa u holda ularning limitlari ham xuddi
shunday tengsizlikni qanoatlantiradi. Ya’ni va bo‘lsa
munosabat o‘rinli bo‘ladi.
1.3.13-teorema. va umumiy a limitga ega bo‘lgan yaqinlashuvchi ketma-
ketlik bo‘lsin. Bundan tashqari, biror nomerdan boshlab ketma-ketlikning
12

elementlari tengsizlikni qanoatlantirsin. U holda ketma-ketlik
yaqinlashuvchi bo‘lib, a limitga ega bo‘ladi.
1.4 §. Ketma-ketlikning limit nuqtalari .
1.4.7-ta’rif. Agar cheksiz to‘g‘ri chiziqning x nuqtasining ixtiyoriy atrofida
ketma-ketlikning cheksiz ko‘p hadlari bor bo‘lsa, u holda, shu x nuqta
ketma-ketlikning limit nuqtasi deyiladi.
1.4.16-teorema. Agar x nuqta ketma-ketlikning limit nuqtasi bo‘lsa , u holda
bu ketma-ketlikdan shu x nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish
mumkin.
Isbot. x nuqta ketma-ketlikning limit nuqtasi bo‘lsin. x nuqtaning -
atrofidagi nuqtani qaraymiz bunda navbat bilan ga teng. Bu
atroflarning birinchisidan ketma-ketlikning , elementini olamiz, ikkinchi
atrofidan shunday olamizki bunda, . Uchinchi atrofdan shunday
elementni olamizki, bunda . Bu jarayonni cheksiz davom ettirish mumkin,
chunki x elementning ixtiyoriy atrofida ketma-ketlikning cheksiz ko‘p
elementlari bor. Natijada biz ketma-ketlikning x ga yaqinlashuvchi
qismiy ketma-ketligiga ega bo‘lamiz chunki, . Teorema
isbotlandi. Teskari tasdiq ham o‘rinli: agar ketma-ketlikdan x nuqtaga
yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo‘lsa, u holda x soni
ketma-ketlikning limit nuqtasi bo‘ladi. Haqiqatdan ham, x nuqtaning ixtiyoriy
atrofida ajratilgan qismiy ketma-ketlikning va ketma-ketlikning cheksiz ko‘p
elemetlari yotadi. Shunday qilib, ketma-ketlik limit nuqtasining 1-ta’rifiga teng
kuchli bo‘lgan 2-ta’rifni berish mumkin.
13

1.4.8-ta’rif. Agar ketma-ketlikdan nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma-
ketlik ajratish mumkin bo‘lsa, nuqta ning limit nuqtasi deyiladi.
1.4.17-teorema . Har bir yaqinlashuvchi ketma-ketlik faqat bitta limit nuqtaga ega
bo‘lib bu nuqta ketma-ketlikning limiti bilan usma-ust tushadi.
Isbot. Yaqinlashuvchi -ketlikning limiti uning limit nuqtasi bo‘ladi,
nuqtaning ixtiyoriy atrofida biror nomerdan boshlab ketma-ketlikning hamma
elementlari yotadi. Endi yaqinlashuvchi ketma-ketlikning boshqa limit nuqtasi
yo‘qligini ko‘rsatamiz. Haqiqatdan ham - yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limit
nuqtasi bo‘lsin. Teoremaga asosan ketma-ketlikdan ga yaqinlashuvchi
qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin, lekin yaqinlashuvchi ketma-ketlikning ixtiyoriy
qismiy ketma-ketligi a limitga ega va shuning uchun . Ikkita limit nuqtaga ega
bo‘lgan ketma-ketlikka misol keltiramiz. Ushbu ketma-ketlik faqat
ikkita 0 va 2 limit nuqtalarga ega ekanligini isbotlaymiz. Ma’lumki bu nuqtalar
ketma-ketlikning limit nuqtalaridir. Chunki bu ketma-ketlikning ushbu
qismiy ketma-ketligining limiti noldan iborat. 2, 2,....,2 qismiy ketma-ketligining
limiti esa 2 ( 2-ta’rif: agar ketma-ketlikdan x nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy
ketma-ketlik ajratish mumkin bo‘lsa, nuqta ning limit nuqtasi deyiladi) dan
iborat. Berilgan ketma-ketlikning boshqa nuqtalari yo‘q haqiqatdan ham x -son
o‘qining 0 va 2 nuqtalardan farqli ixtiyoriy nuqtasi bo‘lsin.Endi 0, 2 va nuqtalar
ustma-ust tushmaydigan atroflarini qaraymiz. 0 va 2 nuqtalrning atroflarida biror
nomerdan boshlab ketma-ketlikning hamma elementlari yotadi va shuning uchun
nuqtaning ko‘rsatilayotgan atrofida ketma-ketlikning faqat chekli sondagi
elementlari yotadi, ya’ni x limit nuqta bo‘la olmaydi.
1-eslatma. Biz to‘plamning aniq quyi chegarasi ketma-ketlikning
limit nuqtasi ekanini isbotladik. Endi dan katta birorta ham son ketma-
ketlikning limit nuqtasi bo‘la olmasligini ya’ni bu ketma-ketlikning eng katta limit
14x

nuqtasi ekanini isbotlaymiz. son dan katta ixtiyoriy son bo‘lsin. ni shunday
kichik qilib olamizki, son ham dan katta bo‘lsin. to‘plamdan shunday
nuqta topiladiki u dan chapdan yotadi. to‘plamning kiritilishidan ko‘ra
nuqtaning atrofida ketma-ketlik ko‘pi bilan chekli sonda elementlari yotadi.
Bu esa soni limit nuqtasi bo‘la olmasligini isbotlaydi.
1.4.9-ta’rif . ketma-ketlikning eng katta limit nuqtasi bo‘lsin bu ketma-
ketlikning yuqori limiti deyiladi va kabi belgilanadi. Quyi limiti
kabi belgilanadi. Yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish haqida teorema.
( Balsano–Veyershtrass teoremasi). Ixtiyoriy chegaralangan ketma-ketlikdan
yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
Isbot. Ketma-ketlik chegaralangan uchun u hech bo‘lmaganda bitta limit nuqta
ga ega bo‘ladi. Bu holda ketma-ketlikda nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma-
ketlik ajratish mumkin.
2-eslatma. Ixtiyoriy chegaralangan ketma-ketlikdan monoton qismiy ketma-
ketlik ajratish mumkin. Haqiqatdan ham, Bolsano –Veyershtrass teoremasiga asosan
har qanday chegaralangan ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik
ajratish mumkin.
3-eslatma. chegaralangan ketma-ketlik bo‘lib, uning elementlari esa [a,b]
kesmada yotsin deylik. Bunda ixtiyoriy yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlikning
limiti c ham shu [a,b] kesmada yotadi. Haqiqatdan ham, bo‘lgani uchun
tengsizlik bajariladi. Bu esa ning [ ] segmentda yotishini ko‘rsatadi.
Ayrim ixtiyoriy hollarda hatto chegaralanmagan ketma-ketlikdan ham yaqinlashuvchi
ketma-ketlik ajratish mumkin. Masalan ketma-ketlik
chegaralanmagan bunga qaramasdan juft nomerli elementlardan tuzilgan .
qismiy ketma-ketlik yaqinlashuvchidir. Lekin har bir chegaralanmagan ketma-
ketlikdan ham yaqinlashuvchi qismiy katma-ketlik ajratish mumkin bo‘lavermaydi.
15x
x


Masalan 1,2,3,4,..., n,... ketma-ketligi uzoqlashuvchidir. Shuning uchun ham hamma
chegaralanmagan ketma-ketliklardan yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratib olish
mumkin degan mulohoza umuman olganda to‘g‘ri emas.
1.4.18-teorema. Har bir chegaralanmagan ketma-ketlikdan cheksiz katta qismiy
ketma-ketlik ajratish mumkin. Isbot: chegaralanmagan ketma-ketlik bo‘lsin. U
holda bu ketma-ketlikning shartni qanoatlantiruvchi elementi,
shartni qanoatlantiruvchi elementi topiladi. Shu yo‘sinda cheksiz
davom ettirsak ni hosil qilamiz. Ma’lumki qismiy ketma-ketlik
cheksiz katta bo‘ladi. Balsano-Veyershtrass teoremasidan quyidagilar kelib chiqadi.
1.4.19-teorema. Mutlaqo ixtiyoriy ketma-ketlikdan yoki cheksiz katta yoki
cheksiz kichik qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
1.4.10-misol. ketma-ketlik chegaralanganligini isbotlang.
Isbot. uchun : .Bu ketma-ketlik quyidan chegaralangan.
bo‘lib, undan Bu esa ketma-ketlikning
yuqoridan chegaralanganligini bildiradi va bu ketma-ketlik chegaralangan.
1.4.11-misol . ketma-ketlikning limiti 1 ga teng bo‘lishini
isbotlang.
sifatida olinsa ( ga ko‘ra topilib ) uchun
bo‘ladi. Bu esa bo‘lishini bildiradi.
1.4.12-misol. ketma-ketlikning limiti 2 ga teng bo‘lishini
isbotlang.
16 01
0, . 1 1 , 1.
1 1 1n n n n n
x a x n n N
n n n             
  

sifatida olinsa ( ga ko‘ra topilib ) uchun
bo‘ladi. Bu esa bo‘lishini bildiradi.
1.4.13-misol. ketma-ketlikning limiti 1,5 ga teng bo‘lishini
isbotlang.
sifatida
olinsa ga ko‘ra topilib) uchun
bo‘ladi. Bu esa bo‘lishini bildiradi.
II BOB
MONOTON KETMA-KETLIKLAR VA UNING LIMITI TADBIQLARI
2.1 § .Monoton ketma ketliklar va uning limiti
Biror berilgan bo‘lsin.
2.1.1-ta’rif. Agar ketma-ketlikda son uchun tengsizlik o‘rinli
bo‘lsa, o‘suvchi ketma-ketlik deb ataladi.
Agar son uchun yengsizlik o‘rinli bo‘lsa, qat’iy o‘suvchi
ketma-ketlik deb ataladi.
Masalan, ketma-ketlik o‘suvchi, ketma-ketlik esa
qat’iy o‘suvchi ketma-ketlikdir.
Agar ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lsa, u quyidan chegaralangan bo‘ladi.
haqiqatan bu holda ketma-ketlikning istalgan hadi uchun tengsizlik
17 02 2 2
0, . 2 1 , 2 1.
1 1 1n n n n n
x a x n n N
n n n            
  
0
3 1 7 7 7 0, . 1, 5 1, 5 , 1, 5. 2 3 4 6 4 6 4n n
n n n x a x n n N n n n c                  

o‘rinli. Bu esa ketma-ketlikning quyidagi son bilan chegaralanganligini
bildiradi.
2.1.2-ta’rif. Agar ketma-ketlikda son uchun tengsizlik o‘rinli
bo‘lsa, kamayuvchi ketma-ketlik deb ataladi. Agar son uchun
yengsizlik o‘rinli bo‘lsa, qat’iy kamayuvchi ketma-ketlik deb ataladi. Masalan,
ketma-ketlik kamayuvchi.Ushbu
ketma-ketlik esa qat’iy kamayuvchi ketma-ketlikdir. Haqiqatan uchun
bo‘lib undan bo‘lishi kelib chiqadi.
Agar ketma-ketlik kamayuvchi bo‘lsa, u yuqoridan chegaralangan
bo‘ladi. Haqiqatan, bu holda ketma-ketlikning istalgan hadi uchun
tengsizlik o‘rinli. Bu esa ketma-ketlikning yuqoridan chegaralanganligini
bildiradi.
O‘suvchi va kamayuvchi ketma-ketliklar umumiy nom bilan monoton ketma-
ketliklar deyiladi. Monoton ketma-ketlikning chegaralanganligini aniqlash uchun,
agar u o‘suvchi ketma-ketlik bo‘lsa, uning yuqoridan, kamayuvchi ketma-ketlik
bo‘lsa, quyidan chegaralanganligini aniqlash yetarli bo‘ladi.
2.2 § . Monoton ketma-ketlikning limiti haqida teoremalar
2.2.3-teorema. Agar ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lib, yuqoridan
chegaralangan bo‘lsa, u chekli limitga ega; agar ketma-ketlik yuqorida
chegaralanmagan bo‘lsa, u holda ketma-ketlikning limiti bo‘ladi.
Isbot. Avvalo ketma-ketlik o‘suvchi va yuqoridan chegaralangan holni
qaraymiz. Ketma-ketlik o‘suvchi va yuqoridan chegaralanganligiuchun shunday
o‘zgarmas M son mavjudki, son uchun tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. bu
18

esa ketma-keylik barcha hadlaridan tuzilgan to‘plamning yuqoridan
chegaralanganligini ifodalaydi.
Aniq yuqori chegaraning ta’rifga ko‘ra, birinchidan, to‘plamning har bir
elementi uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, ikkinchidan olinganda ham
ketma-ketlik shunday hadi topiladiki, bu had uchun tengsizlik o‘rinli
bo‘ladi. Demak,
qaralayotgan ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lgani uchun tengsizlikni
qanoatlantiradigan barcha natural sonlar uchun tengsizlik o‘rinli. Shu sababli
bo‘lganda tengsizlik bajariladi. Shunday qilib
olinganda ham shunday son topiladiki, bo‘lganda tengsizlik
bajariladi. Bu esa son ketma-ketlikning limiti ekanini ko‘rsatadi:
Endi ketma-ketlik o‘suvchi bo‘lib yuqoridan chegaralangan bo‘lsin. Unda har
qanday katta musbat son olinganda ham ketma-ketlik shunday hadi
topiladiki, bu had bo‘ladi. Ammo barcha lar uchun tengsizlik
o‘rinli bo‘lgani sababli tengsizlik ham bajariladi. Bu esa bo‘lishini
bildiradi. Teorema isbotlandi.
2.2.4-teorema. Agar ketma-ketlik kamayuvchi bo‘lib, quyidan
chegaralangan bo‘lsa, u chekli limitga ega; agar ketma-ketlik quyidan
chegaralanmagan bo‘lsa, u holda ketma-ketlikning limiti bo‘ladi.Isbot etilgan
teoremalardan quyidagi natijalar kelib chiqadi.
1-natija . O‘suvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun, uning
yuqoridan chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.Haqiqatan, agar o‘suvchi ketma-
ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, yaqinlashuvchi ketma-ketliklarning chegaralangan
bo‘lishidan, uning yuqoridan chegaralanganligi kelib chiqadi. Agar o‘suvchi ketma-
19 
0, sup ( ) n n n
a x n N x a f x a x 
           
 

ketlik yuqoridan chegaralangan bo‘lsa, u isbot etilgan 2.1.3-teoremaga asosan
yaqinlashuvchi bo‘ladi.
2-natija. Kamayuvchi ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning
quyidan chegaralangan bo‘lishi zarur va yetarli.
Misollar. 1 Ushbu ketma-ketlikning limitini toping Avvalo, bu
ketma-ketlikning mavjudligini ko‘rsatamiz. Ravshanki,
bundan barcha lar uchun tengsizlikning o‘rinli ekani kelib chiqadi.
Bu esa berilgan ketma-ketlik kamayuvchi ekanini ko‘rsatadi. Ketma-ketlikning har
bir hadi musbat, Demak, u quyidan chegaralangan. Shunday qilib
ketma-ketlik kamayuvchi va quyidan chegaralangan. 2.1.4-teoremaga
ko‘ra bu ketma-ketlik chekli limitga ega. Biz uni bilan belgilaylik: Ravshanki, .
Ushbu . Bernulli formulasidan foydalanib topamiz:
bundan esa kelib
chiqadi. U holda
bo‘lib, natijada quyidagi tengsizlikka kelamiz. Bu tengsizlikda limitga
o‘tamiz: . Undan va ni hisobga olsak, ekani kelib
chiqadi. Demak,
2. Quyidagi
201 1 1 1 2
n
n n n
        1
1
( 1)! !
( 1) ( 1) 1 n
n
n n
n n n
n n n n x x n n n n

             
(1 ) 1 ( 1)
n n       
( 1) 2 n n
n n   
1 1
( 1) 2
( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
n n n n n n n n n n n n n n n n n n
x n n n n n n x x x x x x x n n n n  
                   
lim 0 n
n
n 
, , , .... , ...
ntaildiz
a a a a a a a a a a       

(a>0)ketma-ketlikning limitini toping.
Bu ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo‘lsin
(*)
Shuni ko‘rsatamiz. Ravshanki,
(*) munosabat n=k uchun o‘rinli bo‘lsin:
Deb uchun o‘rinli bo‘lishini ko‘rsatamiz:
.
Demak, matematik induksiya usuliga binoan, uchun
bo‘ladi. Ravshanki,
.
Endi nomer uchun tengsizlik bajarilgan deyilsa, bo‘ladi.
Haqiqatan ham,
.
Demak, uchun bo‘ladi. Bu esa berilgan ketma-ketlikning
o‘suvchi ekanligini bildiradi. Monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi 2.1.3-
teoremaga ko‘ra berilgan ketma-ketlik chekli limitga ega. Biz uni bilan belgilaylik:
so‘ngra tenglikda hadlab limitga o‘tish amalini bajarib
topamiz: yoki . Natijada ni toppish uchun
ushbu kvadrat tenglamaga kelamiz. Bu kvadrat tenglamaning
ildizlarini yozamiz:
ketma-ketlikning hadlari musbat bo‘lgani uchun son ketma-
211( 1, 2, ...) nx a n   
1 1 x a a   
1 kx a  
1 1 2 1 1 k kx a x a a a a a        
1 nx a  
1 2x a a a x    
1 1 k k k kx a x a x x       

ketlikning limiti bo‘ladi.
Demak,

Xususan, ushbu
ketma-ketlik yaqinlashuvchi va uning limiti ga teng.
2.3 § . Monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremalarning
tatbiqlari
Quyidagi ;
ketma-ketlik berilgan bo‘lsin. Bu ketma-ketlik limitning mavjudligini ko‘rsatamiz.
Berilgan (1) ketma-ketlik bilan birga ushbu
ketma-ketlikni ham qaraymiz. Bu ketma-ketlik kamayuvchi. Haqiqatan,
Bernulli tengsizligiga asosan
bo‘lishini hisobga olsak, natijada
22( ... )1 1 4 lim lim 2 a a a
n
a x       
3 3 3 ... 3,
3, 3 3 , 3 3 3
   
  
 
2
1 1 1
(1 1) , 1 , ..., 1 1.
2 n
n   
 
   
   
 
1 1 1
n
ny n
           
 
   
1
2
2
2
2
1 1
1
1
1
1
2 1 2 1
1
1
1 n
n
n
n
n
n n
y
n n
n
y n n n n n n
n 



  

 
 
 

 
   
 
 
   
 
 
 
 

 

 
     
2
1 1 1 1 1 2 1 2 2n n n n n n n 
             
  1 1
1 1 , ' 1
n n n n
y n ya niy y n N y n n  
          

tengsizlik kelib chiqdi. Bu ketma-ketlikning kamayuvchi ekanini anglatadi.
Ikkinchi tomondan ketma-ketlikning har bir hadi musbat
bo‘lgani uchun u quyidan chegaralangan. Shunday qilib ketma-
ketlik kamayuvchi va u quyidan chegaralangandir. 2.1.4- teoremaga ko‘ra bu
ketma-ketlik limitga ega.
Agar
tenglikdan tenglikning kelib chiqishini va ekanini e’tiborga
olsak, unda ga ega bo‘lamiz. Bu esa (1) ketma-ketlik limitning
mavjudligini ko‘rsatadi.
2.3.1-ta’rif. Berilgan ketma-ketlikning limiti soni deb
ataladi.
bunda lotincha exponenti-“ko‘rsatish, ko‘rsatgich, namoyish qilish “so‘zining
dastlabki harfini ifodalaydi.
Sonini taqribiy hisoblash maqsadida ifodani Nyuton binomi
formulasidan foydalanib quyidagicha yozib olamiz:
Agar

231 lim 1
n
e n
      
       
2 1
1 2 1 1 2 ... 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 ... 2 1 1 1 2 1 2 3 1 2 ... 1 2
n
n k n
n n n n n k n n
n n n k n n n 
                                     
1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 ... 1 1 ... 1 ... 1 1 ... 1 1 2 3 1 2 ... !
k n
n n k n n n n n n n
                                                                   1 1 1 1 1 2 1
2 1 1 1 ... 1
2! 3! k
S
n n n n 
       
      
       
       

deb olsak:

ketma-ketlik uchun Qolaversa ning yoyilmasidan,
tengsizlikka ko‘ra Shuning asosan soni
tengsizlikni qanoatlantirad. Bu sonni yanada aniqroq hisoblash uchun
quyidagi mulohazalarni yuritamiz. Yuqoridagi yig‘indini quyidagicha yozib
olamiz:
Bu tenglikning o‘ng tomonida turgan yig‘indining har bir hadida qatnashgan
ko‘rinishdagi ko‘paytuvchilarni undan katta bo‘lgan 1 bilan va

ko‘rinishidagi ko‘paytuvchilarni esa undan katta bo‘lgan bilan almashtirib,
yig‘indi uchun ushbu tengsizlikka kelamiz. Cheksiz
kamayuv boruvchi geometrik progressiya barcha hadlari yig‘indisi formulasidan
foydalanib(bunda birinchi had , maxraji ham bo‘ladi) topamiz:
241 , k n 
  2
1 1 2 1 1 2 1 1 1 ... 1 ... 1 1 ... 1 1 ! !
k n S k n n n n n n n
                                              
1 2
1 1
n
S S n
       2 1 1 2 1
1 1 ... 1
! k
S
k n n n 
     
   
     
     
     
1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... 1 1 ... 1 1 1 2 1 2 ...
k k k k k n
k n k k n n k k n n n n
                                                         
1 , , 1, ..., 1 i i k k n n
        
  
1 , 1, 2, 3, ... 1 2 ... n k k k j    

Shunday qilib,
va undan

tengsizliklarga ega bo‘lamiz, da bu tengsizliklarda limitga o‘tib topamiz:

Bu munosabat sonini taqribiy hisoblash imkonini beradi. Demak,

bo‘lib bu taqribiy formulalarning xatosi dan oshmaydi. Masalan k=10 da

bo‘lib, xatolik esa

bo‘ladi. sonining yanada aniqroq qiymati:
2.3.2-teorema. irratsional sondir.
Isbot. teskarisini faraz qilaylik: soni ratsional son bo‘lsin, ya’ni u
qisqarmaydigan

kasr ko‘rinishida yozilsin deylik.
Yuqorida isbot etilgan (2) tengsizliklarda k=q deb olaylik .
Natijada:

25 
2
1 1 ! . 1 ! 1 1 1
S k k k k k
           1 2
1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 0 1 2 1 1 1 1 1 ... 1 2! 3! ! !n
k S S n n n n k n n n k k
                                                       
1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1
0 1 2 1 1 1 1 1 ... 1
2! 3! ! !n
k
n n n n k n n n k k 
             
             
             
             
1 1 1 1 0 2 ... 2! 3! ! ! e k k k
          
1 1 1 2 ... 2! 3! ! e k     
1 1 1 2 ... 2, 718281 2! 3! 10! e     
1 0, 0000001 10!10 
, , 1p e p N q q   
1 1 1 1 0 1 ... 1! 2! ! ! e q q q
           

yoki
(3)
tengsizlikka ega bo‘lamiz. Ravshanki, son butun musbat,
shuningdek, son ham butun musbat. Shuni hisobga olsak, (3) tengsizlikning chap
tomonidagi ifoda butun musbat son bo‘lishini topamiz. Ammo bu son
tengsizlikka ko‘ra 1 dan katta bo‘ladi. ziddiyatlik hosil bo‘ldi. Demak soni
irratsionaldir.Teorema isbotlandi.
2.3.3-teorema. Ikkita va ketma-ketlik berilagan bo‘lsin. Agar
1) o‘suvchi, kamayuvchi ketma-ketlik,
2) lar uchun,
3) bo‘lsa va ketma-ketliklar yaqinlashuvchi va
tenglik o‘rinli bo‘ladi.
Isbot. ketma-ketlik o‘suvchi, ketma-ketlik esa kamayuvchi hamda
har bir uchun engsizlik o‘rinli bo‘lganidan, uchun
tengsizliklar bajariladi. Bu esa ketma-ketlik yuqoridan, ketma-ketlik
esa quyidan chegaralanganligini bildiradi. Monoton ketma-ketlikning
limiti haqidagi teoremalarga asosan va ketma-ketliklar yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Demak, va lar mavjud. Shuning uchun

bo‘lib, teoremaning uchinchi shartidan esa

bo‘lishi kelib chiqadi. Teorema isbot bo‘ldi.
Isbot bo‘lgan teoremadan muhim natija kelib chiqadi. Bu natijani keltirishdan
avval ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi tushunchasi bilan tanishamiz.
Ma’lumki, to‘plam segment deb atalar edi. Agar
261 1 1 ! ! 1 ... 1 1! 2! ! q eq q q
                
  lim lim lim n n n ny x y x   
lim lim 0,n n y x   lim lim
n ny x 

bo‘lsa, segment segmentning ichiga joylashgan
deyiladi.
Agar segmentlar ketma-ketligi quyidagi

munosabatda bo‘lsa, bu segmentlar ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-ketligi
deyiladi.
3-natija. Agar ichma-ich joylashgan

segmentlar ketma-ketligi uchun bo‘lsa, u holda va
ketma-ketliklar bitta limitga ega hamda bu limit barcha segmentlarga tegishli
bo‘lgan yagona nuqta bo‘ladi.
Isbot. … ichma-ich joylashgan segmentlar ketma-
ketligi bo‘lib bo‘lsin. Bunda ketma-ketlik o‘suvchi, esa
kamayuvchi ketma-ketliklardir va barcha lar uchun bo‘ladi. Demak
va ketma-ketliklar 2.3.3-teoreamaning barcha shartlarini qanoatlanitiradi, bu
teoremaga ko‘ra va ketma ketliklar yaqinlashuvchi va
bo‘ladi.
Endi, deb belgilab,c nuqta barcha
segmentlarga tegishli bo‘lgan yagona nuqta ekanini ko‘rsatamiz. ketma-ketlik
o‘suvchi va bo‘lganidan, shuningdek,
ketma-ketlik kamayuvchi va bo‘lganidan esa
bo‘lishi kelib chiqadi. Demak bo‘lib, c
nuqta barcha segmentlarga tegishli: Agar shu nuqtadan
farqli va segmentlarning barchasiga tegishli nuqta
ham mavjud deb qaraladigan bo‘lsa, unda
27n N 

bo‘lib, bu munosabat shartga zid bo‘ladi. Demak,
Keltirilgan natija ichma-ich segmentlar prinsipi deb yuritiladi.
4-eslatma. Yuqoridagi singari ichma –ich joylashgan intervallar ( yoki yarim
intervallar ) ketma-ketligi tushunchasini kiritishimiz mumkin. Ammo ularga
nisbatan 6- natija tasdiqi, umuman olganda, o‘rinli bo‘lmaydi. Masalan, ushbu
Ichma ich joylashgan intervallar ketma-ketligini qaraylik.
da bu intervallar uzunligi nolga intilsa ham barcha intervallar uchun umumiy
bo‘lgan yagona nuqta mavjud emas (bunday yagona umumiy nuqta 0 bo‘lishi
mumkin edi, ammo 0 nuqta bu intervallarga tegishli emas).

Xulosa
1. I-bobda sonli ketma-ketliklarning asosiy tushunchalari – chegaralangan,
cheksiz katta, cheksiz kichik va yaqinlashuvchi ketma-ketliklar tafsilotli o'rganildi.
280 nb a c c    
  1 1 1 0,1 , 0, , 1 , ..., 0 2 2 n
               

Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limiti yagona bo'lishi va u albatta chegaralangan
ekanini tasdiqlovchi teoremalar isbotlandi.
2. II-bobda monoton ketma-ketliklarning asosiy xossalari, chegaralanganlik va
yaqinlashuvchanlik shartlari nazariy jihatdan tahlil qilindi. Eng muhim natija: har
qanday chegaralangan monoton ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo'lib, uning limiti
mavjud.
3. Ichma-ich segmentlar prinsipi (3-natija) isbotlanib, u haqiqiy sonlar
to'liqligining muhim xossasini ifodalaydi. Bu natija keyinchalik bir qiymatli
funksiyalar, uzluksizlik va differensiallanish nazariyalarida keng qo'llaniladi.
Monoton ketma-ketliklar va ularning limitlari hamda amaliy tadbiqlari
atroflicha o‘rganildi.Tadqiqot davomida monoton ketma-ketliklarning asosiy
xossalari,chegaralanganligi va yaqinlashuvchanlik shartalari nazariy jihatdan tahlil
qilindi.Kurs ishi natijasida shunday xulosaga kelindi:har qanday chegaralangan
monoton ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lib uning limiti mavjud. Monoton ketma-
ketliklar nazariyasi oliy o'quv yurtlarining matematik analiz, algebra va diskret
matematika fanlarini o'rganishda keng qo'llaniladi. Shu bilan birga, iqtisodiyotda
o‘sish modellarini tahlil qilishda, informatikada algoritmlar murakkabligini
baholashda hamda muhandislik hisob-kitoblarida ham muhim tadbiqlarga ega
ekanligi aniqlandi. Demak, bu mavzuni chuqur o‘rganish bo'lajak mutaxassislarning
matematik tafakkurini rivojlantirish va amaliy masalalarni hal etish ko'nikmalarini
shakllantirishda beqiyos ahamiyat kasb etadi.Bu kurs ishining asosan sonli ketma-
ketliklar, cheksiz kichik va cheksiz kata ketma-ketliklar, chegaralangan ketma-
ketliklar, yaqinlashuvchi, uzoqlashuvchi ketma-ketliklar o‘rganilgan. Bu mavzular
asosan oliy o‘quv yurtlarining matematik analiz fanini o‘rganishda kerak bo‘ladi.
Matematik analiz kursi bo‘lajak mutaxasislarning matematik jihatdan
shakllanishida ma’lum metodologik ahamiyatga ega
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
1. Mirziyoyev Sh.M “Tanqidiy tahlil”
I. Asosiy adabiyotlar
29

1. Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill.
2. Apostol, T. M. (1974). Mathematical Analysis. Addison-Wesley.
3. Bartle, R. G., & Sherbert, D. R. (2011). Introduction to Real Analysis. Wiley.
4. Courant, R., & John, F. (1999). Introduction to Calculus and Analysis.
Springer.
5. Zorich, V. A. (2004). Mathematical Analysis I. Springer.
6. Fichtenholz, G. M. (2008). Differential and Integral Calculus. Fizmatlit.
7. Demidovich, B. P. (2010). Problems in Mathematical Analysis. Lan.
8. Piskunov, N. S. (1985). Differential and Integral Calculus. Mir Publishers.
9. Il’in, V. A., & Poznyak, E. G. (1982). Fundamentals of Mathematical Analysis.
Mir Publishers.
10. Frolov, N. A. (2005). Mathematical Analysis. Vysshaya Shkola.
11. Kolmogorov, A. N., & Fomin, S. V. (1975). Introductory Real Analysis. Dover
Publications.
12. Gaughan, E. D. (2009). Introduction to Analysis. AMS Chelsea Publishing.
13. Abbott, S. (2015). Understanding Analysis. Springer.
14. Tao, T. (2016). Analysis I. Hindustan Book Agency.
15. Trench, W. F. (2013). Introduction to Real Analysis. Trinity University.
16. Knapp, A. W. (2016). Basic Real Analysis. Birkhäuser.
17. Бугров, Я. С., & Никольский, С. М. (1988). Высшая математика.
Математический анализ. Наука.
18. Кудрявцев, Л. Д. (1981). Курс математического анализа. Высшая школа.
19. Фихтенгольц, Г. М. (1968). Курс дифференциального и интегрального
исчисления. Наука.
20. Тер-Крикоров, А. М., & Шабунин, М. И. (2001). Курс математического
анализа. Физматлит.
II. Maqolalar va o‘quv materiallari
21. OpenStax. (2016). Sequences. Calculus Volume 2.
https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/5-1-sequences
30

22. OpenStax. (2016). Infinite Series. Calculus Volume 2.
https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/5-2-infinite-series
23. MIT OpenCourseWare. (2025). Real Analysis: Lecture Notes.
https://ocw.mit.edu/courses/18-100b-real-analysis-spring-2025/pages/lecture-
notes/
24. MIT OpenCourseWare. (2025). Lecture 05: Monotone Convergence Theorem.
https://ocw.mit.edu/courses/18-100b-real-analysis-spring-2025/mit18_100b_s2
5_lec05.pdf
25. LibreTexts. (2025). Sequences.
https://math.libretexts.org/Bookshelves/Calculus/Calculus_%28OpenStax
%29/09%3A_Sequences_and_Series/9.01%3A_Sequences
26. Knapp, A. W. (2016). Basic Real Analysis.
https://www.math.stonybrook.edu/~aknapp/download/b2-realanal-inside.pdf
27. Rudin, W. (1976). Principles of Mathematical Analysis.
https://www.lehman.edu/faculty/rbettiol/lehman_teaching/2020mat320/
baby_Rudin.pdf
28. Euroasian Journals. (2024). Monotonic Sequences and Their Limits.
https://euroasianjournals.org/index.php/pc/article/download/485/421/921
31

Купить

Похожие документы
To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda akslantirishlar 26
Tekislikda kordinatalar metodi 26
Sonli qatorlar 26
Sonli qatorlar 2-variant
Sonlar ketma-ketligi va uning xossalari 26