n o’lchovli affin va Evklid fazolari

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI 
OLIY  TA’LIM, FAN  VA INNOVATSIYALAR
VAZIRLIGI
__UNIVERSITETI
Ro’yxatga olindi №__________                          Ro’yxatga olindi №__________
“_____” ____________20   y.                             “_____” ____________20   y.
“___________________________ “ KAFEDRASI
“_____________________________ “ FANIDAN
KURS ISHI 
Mavzu:________________ 
Bajardi:_________________________________
Tekshirdi:_______________________________
______________ - 20___
MUNDARIJA Kirish
I bob.  Chiziqli fazoning ta’rifi va fazoning o’lchamlari soni (o’lchamligi).
1.1.  Chiziqli fazoning ta’rifi.
1.2.  Fazoning o’lchamlari soni (o’lchamligi).
1.3.  n  o’lchamli fazoda bazis va koordinatalar.
1.4. Bazis o’zgarganda koordinatalarning almashinishi.
II bob.   n o’lchovli affin va Evklid fazolari  
2.1.  n-o’lchovli Affin fazo va Affin koordinatalar sistemasi.
2.2.  Evklid fazolari ta’rifi.
2.3.Evklid fazolarida yopiq ortonormal sistema. Parseval tengligi
Xulosa
Adabiyot
  Kirish “   Yoshlarimizning   mustaqil   fikrlaydigan,   yuksak   intellektual   va   ma’naviy
salohiyatiga   ega   bo’lib,   dunyo   miqyosida   o’z   tengdoshlariga   hech   qaysi   sohada
bo’sh kelmaydigan insonlar bo’lib kamol topishi, baxtli bo’lishi uchun davlatimiz
va jamiyatimizning bor kuch va imkoniyatini safarbar etamiz”
SH.M.Mirziyoyev. 
Bu   gaplardan   ko’rinib   turibdiki,   bizga   berilayotgan   bu   e’tibor   va   ishonchdan
unumli foydalanish har birimizning davlatimiz va jamiyatimiz oldidagi burchimiz
hisoblanadi.   Jumladan,   yoshlarga   berilayotgan   e’tiborni   ta’lim   sohasiga,   ta’lim
sohasidagi   o’zgarishlarga   va   albatta   ta’limdagi   innovatsiyalarga   berilayotgan
e’tibor zamirida ko’rishimiz mumkin.
Prezidentimizning   bunday   nutqlaridan   ruhlanib   O’zbekistonning   yoshlari   o’z
oldilariga   ulkan   maqsadlarni   qo’ymoqda   desak   adashmagan   bo’lamiz.   Bu   bilan
bizni   ruhlantirayotgan   Prezidentimizga   bemalol   shuni   aytolamizki:   “O’zbekiston
yoshlari har narsaga qodir. Albatta ishonchingizni oqlaymiz.” 
Albatta Prezidentimizning bunday e’tibori faqat gaplarda qolib ketmayotganini,
amalda   bo’layotganini   yosh-u   qari   birday   bilib   turibdi.   Masalan,   “2017-2021
yillarda   O’zbekiston   Respublikasini   rivojlantirishning   beshta   ustuvor   yo’nalishlar
bo’yicha   Harakatlar   strategiyasi”,   “5   muhim   tashabbus”   va   bir   qancha   qaror-u
farmonlarda bu o’z aksini topmoqda.
Shuningdek ,   shuni   o’z   navbatida   ta’kidlash   joizki,   yurtboshimiz   tomonidan
berilgan   qarorlarda   Oliy   ta’lim   muassasalariga   kirish   imtihonlarining   onlayn
tarzida   olib   borilayotganligi   barcha   yoshlarning   bilimi,   o’z   kuchini   oshirib
borishga   undamoqda,   Oliy   ta’lim   muassasalarining   ko’plab   ochilishi   esa   talaba
bo’lish   niyatidagi   yoshlarning   azaliy   orzulari   ro’yobiga   yordam   bo’lmoqda.
Harbiylarimiz   farzandlarining   imtihonlarsiz   Oliy   ta’lim   muassasalariga   kirishlari
e’tiborning har tomonlama ekanligini aks ettiradi.  Ma’lumki,  davlatimiz   rahbari   ijtimoiy,   ma’naviy-ma’rifiy  sohalardagi   ishlarni
yangi   tizim   asosida   yo’lga   qo’yish   bo’yicha  5   ta   muhim   tashabbusni   ilgari   surdi.
Bunda :
Birinchi tashabbus yoshlarning musiqa, rassomlik, adabiyot, teatr va san’atning
boshqa   turlariga   qiziqishni   oshirishga,   iste`dodini   yuzaga   chiqarishga   xizmat
qiladi.   Ikkinchi   tashabbus,   yoshlarni   jismoniy   chiniqtirish,   sport   sohasida
qobiliyatini   namoyon   etishlari   uchun   zarur   sharoitlar   yaratishga   qaratirilgan.
Uchinchi   tashabbus ,   aholi   va   yoshlar   o’rtasida   kompyuter   texnologiyalari   va
internetdan   samarali   foydalanishni   tashkil   etishga   yo’naltirilgan.   To’rtinchi
tashabbus,   yoshlar   ma`naviyatini   yuksaltirish,   ular   o’rtasida   kitobxonlikni   keng
targ’ib etish borasida tizimli ishlarni tashkil qilish uchun.  Beshinchi tashabbus esa
xotin-qizlarni ish bilan ta`minlash masalalarini nazarda tutadi. 
Shu   borada   yana   bir   ahamiyatga   molik   jihatni   ya`ni   yoshlarning   tarbiyasini
o’zgarishga   sabab   ota-onalaridan   uzoqda   ta`lim   olayotganligidir   deb   ta`kidlagan
yurtboshimiz tomonidan kasb-hunar kollejlari o’rnida 11 yillik o`rta maxsus ta`lim
maktab   tizimi   joriy   etildi.   Yoshlarning   kasb-hunarni   egallashi   uchun   ularning
bo’sh   vaqtlarida   maktablarda   to’garaklar   kuchaytirildi.   Kasb-hunar   kollejlari
o’rnida   o’quv   markazlari   ochildi.   Shuningdek,   bu   binolarni   rekonstruksiyaga
berilib, oliygohlar ochildi.
Boshqa davlatlar bilan hamkorlikda oliygohlar ochilmoqda. Bu oliygohlardagi
talabalarga   o’z   tahsilini   o’sha   davlatga   borib   tugallashi   mumkinligi   yana   bir
quvonarli   holatdir.   Talabalar   o’qish   mobaynida   bu   davlatlarda   ishlash   imkoniga
ham ega bo’lib, ularning ko’nikma, malaka va bilimlarini ham o’rganmoqda. 
Maktab   o’quvchilarining   bilim   saviyasi   yaxshi   bo’lishi   uchun   avvalo,
o’qituvchilarning bilimi yaxshi bo’lishi kerakligi inobatga olinib, ularning malaka
oshirish vaqtlarida imtihonlar olinmoqda. 
Kurs   ishining   dolzarbligi .O‘quvchilar   intellektual   tafakkurini   shakllantirish
asosida   o‘quvchilar   qobiliyat   va   qiziqishlarini   rivojlantirish   ularning   Galiley   va uning   teoremasi   haqidagi   bilimlarini   yanada   chuqurlashtirish.   Respublikamiz
prezidenti   Shavkat   Mirziyoyev   “O‘zbekistonni   yanada   rivojlantirish   bo‘yicha
Harkatlar   strategiyasi   to‘g‘risida”   gi   farmoni   va   oliy   talim   tizimini   yanada
rivojlantirish bo‘yicha qabul qilingan PQ 29-09 qaror mazmunida barkamol shaxs
va   malakali   mutaxasisni   tarbiyalab   voyaga   yetkazish   jarayoning   mohiyatini
to‘laqonli  ochib berilgan. Malakali  kadrlar  tayyorlash jarayoning har  bir  bosqichi
o‘zida ta’lim jarayonini samarali  tashkil  etish , uni  yuqori  bosqichlarga ko‘tarish,
shu   bilan   birga   jahon   talimi   darajasiga   yetkazish   borasida   muayyan   vazifalarni
amalga   oshirish   lozim.   Mazkur   vazifalarning   muvaffaqiyatli   hal   etilishida   ta’lim
jarayonining samaradorligini oshirish muhim ahmiyat kasb etadi.
Kurs ishining maqsadi :   n o’lchovli affin va Evklid fazolarini   o’rganish va tahlil
qilish.   n-o’lchovli   Affin   fazo   va   Affin   koordinatalar   sistemasi.   Evklid   fazolari
ta’rifi.
Kurs   ishining   obyekti :   Oliy   va   o‘rta   talim   muassasalarida   geometriya     fanini
o‘qitish jarayoni.
Kurs   ishining   predmeti :   n   o’lchovli   affin   va   Evklid   fazolari   n-o’lchovli   Affin
fazo va Affin koordinatalar sistemasi .  Evklid fazolari ta’rifi.
Kurs ishining vazifalari : 
1.Mavzuga doir ma’lumotlarini yig‘ish va rejani shakllantirish 
2.  n o’lchovli affin va Evklid fazolarini  o’rganish va tahlil qilish
3.   Evklid fazolarida yopiq ortonormal sistema. Parseval tengligini o’rganish 
  I bob.  Chiziqli fazoning ta’rifi va fazoning o’lchamlari soni (o’lchamligi).
1.1.  Chiziqli fazoning ta’rifi.
            Ko’p   hollarda   shunday   obektlar   bilan   ish   ko’rishga   to’g’ri   keladiki,   bunda
ularni qo’shish va biror songa ko’paytirish amallarini bajarish lozim bo’lib qoladi.
Bir necha misol keltiramiz.
Geometriyada bunday ob’ektlar uch o’lchamli fazodagi vektorlar, ya’ni yo’nalishli
kesmalardir. Agar yo’nalishli ikki kesmani parallel ko’chirish yo’li bilan ustma-ust
tushirish mumkin bo’lsa, ular ayni bir vektorni aniqlaydi deb hisoblanadi. SHuning
uchun   bu   kesmalarning   hammasini   bir   nuqtadan   boshlab   chiqarish   qulay.   Bu
nuqtani biz koordinatalar boshi deb ataymiz. Ma’lumki, vektorlarni qo’shish amali
quyidagichadir:   x   va   u   vektorlarning   yig’indisi   deb,   tomonlari   x   va   u   bo’lgan
parallelogrammning diogonali hisoblanadi. Vektorni songa ko’paytirish amali ham
ma’lum usul bilan kiritiladi.
2.   Algebrada   biz   n   ta     sondan   iborat   nn eeex		 


 ...
2211
  ko’rinishdagi
sistemalar  (masalan:  matritsaning yo’llari, chiziqli forma koeffitsientlari, to’plami
va h.k.)  bilan ish ko’rishga to’g’ri keladi. Bunday sistemalarni  qo’shish va songa
qo’paytirish   amallari   odatda   quyidagicha   kiritiladi:  	
)	,...,	,	(	2	1	n	x				   va	
)	,...,	,	(	2	1	n	y				
  sistemalar   yig’indisi   deb,  	)	,...,	,	(	2	2	1	1	n	n	y	x											
sistemaga aytiladi.  	
)	,...,	,	(	2	1	n	x				   sistema bilan  	   sonning ko’paytmasi deb,  		
)	,...,	,	(	2	1	n	x				
 sistemaga aytiladi. 
3.   Analizda   funksiyalarni   qo’shish   va   ularni   songa   ko’paytirish   amallari
to’g’risida  ta’rif    beriladi. Aniqlik uchun bundan  so’ng  	
]	,	[	b	a   segmentda  berilgan
hamma uzluksiz funktsiyalar to’plamini tekshiramiz. 
Keltirilgan   misollarda   qo’shish   va   songa   ko’paytirishdan   iborat   xuddi   bir
xil   amallar   mutlaqo   har   xil   ob’ektlar   ustida   bajariladi.   Bunday   misollarning
hammasini   bir   nuqtai   nazar   bilan   o’rganish   uchun,   biz   chiziqli,   ya’ni   affin   fazo
tushunchasini kiritamiz.  Ta’rif-1.   Agar   quyidagi   shartlar   bajarilsa,   x,u,z,...   elementlarning   V
tuplami chiziqli (affin) fazo deyiladi:
a) xar ikki  x  va  u  elementlarga  x  va  u  elementlar yig’indisi deb ataladigan  z
element   mos   qilib   qo’yilgan;   x   va   u   elementlarning   yig’indisi   x+u     bilan
belgilanadi;
b)   biror   maydonning   har   bir   x   elementi   va   har   bir     son   bilan   x   element
ko’paytmasi deb atalgan 	
 x  element  mos qilib qo’yilgan.  
 Bu amallar quyidagi talablarni (aksiomalarni) qanoatlantirishi kerak.
1.  1 0
    x+u=u+x             (kommutativlik),
    2 0
  (x+u)+z=x+(u+z)       (assotsiativlik),
       3 0
  Xar qanday x uchun shunday 0 element mavjudki, x+0=x bo’ladi. 0
element nol element deyiladi.
        4 0
  Xar   qanday   x   uchun   –x   bilan   belgilanadigan   shunday   element
mavjudki,
 x+(-x)=0 bo’ladi.
        2 .   1 0
 	
,	1	x	x	
     2 0 	
).	(	)	(	x	x				
 3.  1 0
 	
,	)	(	x	x	x							
     2 0
 	
.	)	(	x	x	y	x						
Biz   qo’shish   hamda   songa   ko’paytirish   amallarini   qanday   ta’riflanishi   haqida
gapirmaganimiz   bejiz     emas.   Biz   bu   amallarni   faqat   yuqorida   ta’riflangan
aksiomalarga   buysunishlarini   talab   qilamiz   holos.   SHuning   uchun   har   qachon
yuqorida   qayd   qilingan   shartlarni   qanoatlantiruvchi   amallar   bilan   ish   ko’rar
ekanmiz, biz ularni qo’shish va songa ko’paytirish amallari deb, elementlari ustida bu   amallar   bajarilgan   to’plamni   esa   chiziqli   fazo   deb   xisoblashga   haqlimiz.
Yuqorida keltirilgan 1-3 misollar bu aksiomalarga bo’ysunadi. 
Yana bir misol ko’rib chiqaylik;
4. Darajasi natural   n   sondan oshmaydigan va odatdagicha qo’shish va biror
songa ko’paytirish amallari bajariladigan hamma ko’pxadlar to’plami chiziqli fazo
hosil qiladi. 
Yolg’iz  n- darajali ko’pxadlar to’plami chiziqli fazo tashkil qilmaydi, chunki
n- darajali   ikki   ko’pxad   yig’indisi   n   dan   pastroq   bo’lib   chiqishi   ham   mumkin;
masalan,t	t	t	t	t
nn	2	)	(	)	(					
.
5.   V   fazoning   elementlari   n- tartibli   matritsalardan   iborat.  	
ika   va   ikb
matritsalar   yig’indisi   deb    	
ik	ik	b	a	   matritsaga,  	ika   matritsa   bilan  	   sonning
ko’paytmasi   deb   ika	

  matritsaga   aytiladi.   SHuning   bilan   birga,   nol ь   element
faqat nollardan iborat matritsa bo’ladi. Bu yerda chiziqli fazoning hamma shartlari
bajarilishini tekshirib ko’rish mumkin.
CHiziqli   fazo   elementlarini   biz   vektorlar   deb   ataymiz.       Bu   so’zning
ko’pincha tor ma’noda (1-misoldagi kabi) ishlatishi bizni chalg’itmasligi kerak. Bu
chiziq   bilan   bog’lik   bo’lgan   geometrik   tasavvurlar   bir   qancha   natijalarni
oydinlashtirishga, ba’zi hollarda esa bu natijalarni oldindan ko’ra bilishga yordam
beradi. 
Agar   chiziqli   fazo   ta’rifida   qatnashayotgan  	
,...	,	 sonlar   xaqiqiy   bo’lsa,   u
holda fazo  xaqiqiy chiziqli fazo  deyiladi. 
Biz  	
,...	,	   larni   ixtiyoriy   F   maydon   elementlari   deb   umumiyroq   faraz
etishimiz mumkin. Bu holda   V   fazo   F   maydondagi  chiziqli  fazo   deyiladi .   Quyida
bayon   etiladigan   tushuncha   va   teoremalarning   ko’pchiligi,   jumladan,   bu   paragraf mazmunining hammasi ixtiyoriy maydondagi chiziqli fazalar uchun ham bevosita
to’g’ri bo’ladi. 
1.2.Fazoning o’lchamlari soni (o’lchamligi).
  Bundan   keyin   vektorlarning   chiziqli   bog’liqligi   va   chiziqli   erkliligi   degan
tushunchalar  muhim ahamiyatga ega bo’ladi.
Ta’rif-2.   V –chiziqli fozo bo’lsin. Agar kamida bittasi noldan farq qiladigan				,...,	,	,
 sonlar mavjud bo’lib,
0...  vzyx	
			
(1)
tenglik o’rinli bo’lsa, bu holda  x,y,z,...,v  vektorlar chiziqli bog’liq vektorlar 
deyiladi. 
Chiziqli bog’liq bo’lmagan vektorlar chiziqli erkli vektorlar deyiladi. 
Boshqacha qilib aytganda, 
0...  vzyx	
			
tenglik  	
0	...									   bo’lgan holdagina o’rinli bo’lsa,   x , y , z ,…, v   vektorlar
chiziqli erkli vektorlar deyiladi. 
x , y , z ,…, v   vektorlar   chiziqli   bog’liq,   ya’ni   ular   (1)   munosabat   bilan
bog’langan bo’lsin va undagi koeffitsientlardan kamida bittasi, masalan, 	
  noldan
farqli deb faraz qilaylik. Bu holda 
vzyx	
			  ...
bo’ladi. Buni endi 	
  ga bo’lib va 	
	

		

		


 ,...,,
deb faraz qilib, vzyx		  ...
(2)
tenglikni hosil qilamiz.
Agar   x   vektor   y,z,...,v   vektorlar   orqali   (2)   ko’rinishdagi   tenglik   bilan   ifoda
etilsa,   u   holda   biz   x   vektor   y,z,...,v   vektorlarning   chiziqli   kombinatsiyasi   deb
ataymiz.
SHunday   qilib,   agar   x,y,z,...,v     vektorlar   chiziqli   bog’liq   bo’lsa,   u   holda
ulardan   kamida   bittasi   qolganlarining   chiziqli   kombinatsiyasidan   iborat   bo’ladi.
Teskarisini,   ya’ni   bittasi   qolganlarining  chiziqli   kombinatsiyasidan   iborat  bo’lgan
vektorlar   chiziqli   bog’lik   vektorlar   bo’lishining   ham   to’g’riligini   ko’rsatish
mumkin. 
Endi   fazoning   o’lchamlar   soni   (o’lchamligi)   tushunchasini   kiritishga
o’tamiz. 
To’g’ri   chiziqdagi   vektorlar   to’plamida   har   qanday   ikkita     vektor
proportsional,   ya’ni   chiziqli   bog’liqdir.   Tekislikda   ikkita   chiziqli   erkli   vektorni
topish mumkin, ammo undagi har qanday uchta vektor chiziqli bog’liqdir. 
Agar   V   –   uch   o’lchamli   fazodagi   vektorlar   to’plami   bo’lsa,   u   holda   V   da
uchta   chiziqli   erkli   vektorni   topish   mumkin,   ammo   bundagi   har   qanday   to’rtta
vektor chiziqli bog’liq bo’ladi. 
Biz   ko’ramizki,   to’g’ri   chiziq,   tekislik   va   uch   o’lchamli   fazodagi   chiziqli
erkli   vektorlarning   maksimal   soni     geometriyadagi   to’g’ri   chiziq,   tekislik   hamda
fazoning o’lchami soniga to’g’ri keladi. SHuning uchun quyidagi umumiy ta’rifni
qabul qilishimiz tabiiy. 
Ta’rif-3.   Agar   V   chiziqli   fazoda   n   ta   chiziqli   erkli   vektor   mavjud   bo’lib,
bundan ortiq chiziqli erkli vektorlar bo’lmasa, V fazo n o’lchamli fazo deyiladi va
Vdim
 deb belgilanadi.  Agar   V  fazoda cheksiz ko’p chiziqli erkli vektorlar topish mumkin bo’lsa, u
holda  V  fazo  cheksiz o’lchamli  fazo deyiladi. 
CHeksiz o’lchamli fazolar matematikaning maxsus bo’limlarida tekshiriladi.
Biz bu kursda faqat chekli o’lchamli fazolar bilan shug’ullanamiz. 
1.3.  n  o’lchamli fazoda bazis va koordinatalar.
Ta’rif-4.  n o’lchamli  V  fazoning n ta chiziqli erkli ne	e	e	,...,	,	2	1  vektorlari 
to’plami  V   ning bazisi deb ataladi. 
Masalan,   1-misolda   ko’rilgan   V   (uch   o’lchamli)   fazoda   bir   tekislikda
yotmagan har qanday uchta vektor bazis hosil qiladi. 
n o’lchamli fazo ta’rifiga muvofiq, unda n ta chiziqli erkli vektor, ya’ni bazis
mavjuddir.
Teorema-1.   n   o’lchamli   V   chiziqli   fazoning     xar   bir   x   vektorini   bazis
vektorlarining chiziqli kombinatsiyasi orqali yagona tarzda ifodalash mumkin. 
Isbot.    	
ne	e	e	,...,	,	2	1   vektorlari   V   fazoda   bazis   tashkil   qilsin.   Bularga   V   ning
ixtiyoriy   bir   vektorini   qo’shamiz.   Endi   x ,  	
ne	e	e	,...,	,	2	1   vektorlar   n+1   ta   bo’ldi.
SHuning   uchun,   n   o’lchamli   fazo   ta’rifga   muvofiq   ular   chiziqli   bog’lik   bo’lishi
kerak, ya’ni	
0	...	2	2	11	0						n	ne	e	e	x				
(3)
bundagi  	
i   larning   ba’zilari   nolga   teng   emas.     0	
  sonning   noldan   farqli   ekani
ma’lum,   chunki   aks   holda   (3)   formuladan    	
ne	e	e	,...,	,	2	1   vektorlarning   chiziqli
bog’lik bo’lishi kelib chiqqan bo’lar edi. 
(3) dan  x  vektorni topamiz: nne	e	e	x
02
0 2
1
01	...	
	

	

				
.
Biz   har   bir  	
1R	x   vektor  	ne	e	e	,...,	,	2	1   vektorlarning   chiziqli   kombinatsiyasi
ekanini isbot qildik. 
Endi hosil qilingan ifodaning birgina ekanini (yagonaligini) isbot qilamiz.   x
vektor bazis vektorlar orqali ikki xil ifodalangan deb, ya’ni:	
n	ne	e	e	x								...	2	2	11
va 	
n	ne	e	e	x											...	2	2	11
deb faraz kilaylik. Bularning birinchisidan ikkinchisini ayirib, 	
n	n	n	e	e	x	)	(	...	)	(	)	(	0	2	2	2	1	1																
tenglikni   hosil   qilamiz.  	
ne	e	e	,...,	,	2	1   vektorlar   chiziqli   erkli   bo’lgani   uchun,   bu
tenglik	
0	...	2	2	1	1								n	n						
bo’lgandagina, ya’ni	
n	n													,...,	,	2	2	1	1
bo’lgandagina o’rinlidir.  x  ni bazis vektorlar orqali ifoda etish birgina ekanligi 
isbot etildi. 
Teorema isbotlandi.
Ta’rif-5.  Agar 
ne	e	e	,...,	,	2	1  lar  n   o’lchamli fazoda bazis bo’lib, 	
n	ne	e	e	x								...	2	2	11
(4) bo’lsa, u holda n			,...,	,	2	1  sonlar  x  vektorning 	ne	e	e	,...,	,	2	1  bazisdagi koordinatalari 
deb ataladi. 
1-teoremaga muvofiq, ma’lum 
ne	e	e	,...,	,	2	1 bazisda har bir vektor bir qiymatli 
aniqlanadigan koordinatalarga ega.
Agar  x  vektor 	
ne	e	e	,...,	,	2	1  bazisda  	n			,...,	,	2	1  koordinatalarga, u vektor esa	
n			,...,	,	2	1
 koordinatalarga ega bo’lsa, ya’ni agar	
n	ne	e	e	x								...	2	2	11	
n	ne	e	e	y								...	2	2	11
bo’lsa, u holda 	
n	n	n	e	e	e	y	x	)	(	...	)	(	)	(	2	2	2	1	1	1														
,
ya’ni  x+u  vektor 	
n	n										...,	,	2	2	1	1  koordinatalarga ega bo’ladi. SHunga 
o’xshash,  x	

 vektorlar 	n				,...,	,	2	1  koordinatalarga egadir. 
SHunday   qilib,   x   va   u   vektorlarni   ko’shishda   ularning   koordinatalari
qo’shiladi .   x   vektorni  	
   songa   ko’paytirishda   uning   koordinatalari   shu   songa
ko’paytiriladi. 
Faqat nol ь  vektorning hamma koordinatalari nolga tengligi ravshandir. 
Misollar.
1.   Uch   o’lchamli   fazodagi   vektorning   koordinatalariga   bizning   bergan
ta’rifimiz   analitik   geometriyada   mavjud   bo’lgan   biror   (umuman   aytganda,   to’g’ri
burchakli   bo’lmagan)   kordinatalar   sistemasida   vektor   koordinatalari   uchun
berilgan ta’rif bilan bir xildir.
2.   V   fazoni–har  bir   x   vektori   n   ta (	
n			,...,	,	2	1 ) sondan  tuzilgan sistemadan
iborat bo’lgan fazo deb faraz qilaylik. )1	,...,0,0,0(	
....	
)1	,...,1,1,0(	
)1	,...,1,1,1(	
2
1



ne
e
ebazisni tanlaymiz. 
Bu bazisda  x =(	
n			,...,	,	2	1 ) vektorning 	n			,...,	,	2	1  koordinatalarini topamiz.
Ta’rifga muvofiq,	
n	ne	e	e	x				...	2	2	11			
,
(	
n			,...,	,	2	1 )=					)1	,...,0,0(	...	)1	,...,1,0(	)1	,...,1,1(	2	1	n		
=	
)	...	,...,	,	(	2	1	2	1	1	n									 .
SHunday   qilib,  	
n			,...,	,	2	1   sonlar   quyidagi   tenglamalar   sistemasidan
topiladi:
nn	
				
			
	   
...... ,,
21 221 11
bundan:
1122 11
... ,,
 
nnn	
			
			
	
bo’ladi.   Endi   V   da   shunday   bazisni   olamizki,   bunda   x =(	
n			,...,	,	2	1 )   vektorning
koordinatalari bilan bu vektorni aniqlaydigan 	
n			,...,	,	2	1  sonlar orasida bog’lanish
eng sodda bo’lsin.  Bazis  )1	,...,0,0,0(	
....	
)0	,...,0,1,0(	
)0	,...,0,0,1(	
2
1



ne
e
ebulsin deb faraz qilaylik. U holda 
x =(	
n			,...,	,	2	1 )=					)1	,...,0,0(	...	)0	,...,1,0(	)0	,...,0,1(	2	1	n			n	ne	e	e							...	2	2	11 ,
bo’ladi.   SHunday   qilib,   har   bir   vektorni   n   ta   (	
n			,...,	,	2	1 )   son   sistemasi   bilan
aniqlanadigan  V  fazoda bu sonlarni 	
)1	,...,0,0,0(	....	),0	,...,0,1,0(	),0	,...,0,0,1(	2	1				ne	e	e
bazisdagi  x =(	
n			,...,	,	2	1 ) vektorning koordinatalari deb talqin etish mumkin. 
3.   V –vektorlari   darajasi   n-1   dan  katta  bo’lmagan  ko’phadlardan  iborat  fazo
bo’lsin.   Bu   fazoda   1
21	
....	,	,1 			n
n	t	e	t	e	e
  vektorlar   to’plami   eng   sodda   bazis
bo’ladi.   Bu   bazisda   12
11
0	
...	)( 				
nnn	a	ta	t	a	t	P
  ko’phad   koordinatalari   uning	
1	1	0	,...,	,	na	a	a
 koefitsientlaridan iborat bo’lishini ko’rish qiyin emas.
Endi boshqa bazisni tanlab olamiz:
.)(,...,)(,,1 12
321 



 n
n ateateatee
har bir  )( tP
 ko’phadning koordinatalari quyidagicha bo’ladi:
)!1( )(
,...),(),( )1(
 
n aP
aPaP n
 1. 4. Bazis o’zgarganda koordinatalarning almashinishi.	
ne	e	e	,	...,	,	2	1
  va  	ne	e	e				,	...,	,	2	1   lar   n   o’lchamli   fazoning   ikki   bazisi   deb   faraz
qilaylik. Hamda, 	
ie  vektorlar birinchi bazis vektorlari orqali 


  
................. ,... ,...
2211 222 211 22 122 11111
nn nnnn nn nn
eaeaeae eaeaeae eaeaeae
(6)
formulalar   bilan   ifodalangan   bo’lsin,   ya’ni   birinchi   bazisdan   ikkinchi   bazisga
o’tish   matritsasining   detirminanti   noldan   farqli   bo’lgan  ika	A	   matritsa   bilan
berilsin.	
i
 orqali  x  vektorning birinchi bazisdagi koordinatalarini, 	i  bilan esa uning
ikkinchi   bazisdagi   koordinatalarini   belgilaylik.  	
i   koordinatalar  	i lar   orqali
qanday ifoda qilinishini topamiz. 
Bazis koordinitalari ta’rifiga asosan:	
n	ne	e	e	x								...	2	2	11
=	n	ne	e	e								...	2	2	11
Bu tengliklardagi  	
ie   vektorlar o’rniga ularning  	ie   vektorlar orqali ifodasini
qo’ysak, 	
n	ne	e	e	x								...	2	2	11
=						)	...	(	1	2	2 1	1	11	1	n	ne	a	e	a	e	a		
)	...	(	...	)	...	(	2	2	1	1	2	2	2 2	1	1 2	2	n	n n	n	n	n	n	n	e	a	e	a	e	a	e	a	e	a	e	a													
ayniyat xosil buladi. 	
ie  vektorlar chiziqli erkli bo’lgani uchun, ularning tenglikning
o’ng va chap tomonidagi koefitsientalari bir xildir. Demak, 






 


 



................. ,... ,...
2211 222 211 22 122 11111
nn nnnn nn nn
aaa aaa aaa	
				
				
			
(7) tengliklar   urinli,   ya’ni   x   vektorning   birinchi   bazisdagi    i   koordinatalari   uning
ikkinchi   bazisdagi   koordinatalari   orqali   A   matritsaning   transpozitsiyalangan  	
A
matritsasi yordami bilan ifodalanadi. 
Bu   natijani   boshqacha   shaklda   ham   tasvir   etish   mumkin.   (7)   tenglamalarni	
n						,	...,	,	2	1
 larga nisbatan yechamiz. U holda:



  
................. ,... ,...
2211 222 212 12 121 21111
nn nnnn nn nn
bbb bbb bbb	
				
				
			
hosil   bo’ladi,   bunda  	
ik b
  lar  	A   matritsaga   teskari   bo’lgan   matritsa   elementlarini
bildiradi.  SHunday  qilib,  biz  ko’ramizki,  vektorning  koordinatalari  	
A   matritsaga
teskari   bo’lgan   ikbB 
  matritsa   yordami   bilan   almashtirildadi.   Bundagi  	
A
matritsa   bazis   almashtirilishini   ko’rsatuvchi   A   matritsani   transpozitsiyalab   hosil
qilingan matritsadir.
II bob.   n o’lchovli affin va Evklid fazolari
2.1.  n-o’lchovli Affin fazo va Affin koordinatalar sistemasi.	
Vn
  vektor   fazo   va   elementlari   nuqtalar   deb   ataladi.   ℧ =	{ A , B , …	}
  to'plam   berilgan
bo'lsin.   ℧
  to'plam   bilan     V
n   to'plam   orasidagi   shunday   moslik   o'rnatamizki,   ℧
ma'um   tartibda   olingan   ikki   M,N   nuqta   uchun  	
Vn   dagi   aniq   bitta  	⃗a   vektor   mos
kelsin, buni  	
⃗a=⃗MN deb belgilaymiz. Lekin shuni ta'kidlash zarurki,   V
n   dagi har bir
vektorga  	
℧   da   nuqtalarning   tartiblangan   turli   juftliklari   mos   kelishi   mumkin.
Masalan,  
⃗ a =	⃗ MN =	⃗ PQ =	⃗ KL
,   bunda   M,   N,   P,   Q,   K,   L   laarning   barchasi   ℧
  ga
tegishlidir.	
⃗a=⃗MN
  yozuvini   quyidagicha   ifodalaymiz:  	⃗ a
  vektorni   M   nuqtadan   qo'yish
bilan N nuqta hosil qilinadi.   Yuqorida   keltirilgan  ℧   bilan  	Vn   orasidagi   moslikning   ikki   aksiomani
qanoatlantirish talab etiladi.	
VI	1
.  	∀   M	∈℧   va  	∀	⃗a∈Vn   uchu yagona shunday N	∈℧   mavjudki, uning uchun	
⃗a=⃗MN
.	
VI	2
. 	∀ A, B, C	∈℧  uchun 	⃗AB	+⃗BC	=⃗AC	.  
Bu   ikki   aksioma   ba'zan   vektorni   nuqtadan   boshlab   qo'yish   aksiomalari   deb
yuritiladi.
Ta'rif.     Elementlari   yuqoridagi   I
1 − 4 , II
1 − 4 , II I
1 − 2 , IV
1 − 2   aksiomalarini
qanoatlantiruvchi   bo'sh   bo'lmagan   to'plam   n   o'lchovli   haqiqiy   affin   fazo   deb
ataladi.   Uni   A
n   orqali   belgilaymiz.   Agar   V
n   vektor   fazo   kompleks   vektor   fazo
bo'lsa, u holda  	
An  ham kompleks affin fazo deb ataladi.
Demak,   n   o'lchovli   affin   fazoni   simvolik   ravishda   quyidagi   ko'rinishda
yozish mumkin:  
An=Vn∪  	℧ .	
Vn
 vektor fazo 	An  ning eltuvchisi deyiladi.
Xususiy   holda,   n=2   bo'lsa,  	
A2   ikki   o'lchovli   affin   fazo   bo'lib,   V
2 ning
elementlarini odatdagi geometrik fazolar deb olsak, affin tekislik hosil bo'ladi.
Misol tariqasida quyidagi teoremalarni isbotlaylik,
1-teorema.      	
℧   ning   ustma-ust   tushgan   ikki   nuqtasiga    	Vn ning   nol   vektori   mos
keladi, ya’ni 	
⃗ AA =	⃗ 0
.
Isbot. 	
∀	A∈℧  bo’sin. A, A nuqtalarga  	Vn dan biror 	⃗a  mos kelsin:   	∀	b∈Vn  ni olsak,	
VI	1
ga   asosan,   shunday   B   nuqta   mavjudki,  	⃗AB	=	⃗b,   endi  	VI	2   ni   tadbiq   qilsak	
⃗
a +	⃗ b +	⃗ AA +	⃗ AB =	⃗ b . Bundan    	I3 ga asoasan 	⃗ a =	⃗ 0. ∆
2-teorema.   	
⃗AB	=	⃗a⟹	⃗BA	=−⃗a .
Isbot. 	
⃗
BA =	⃗ b  desak,  VI
2  ga asosan 	⃗
a +	⃗ b =	⃗ AB +	⃗ BA =	⃗ AA =	⃗ 0. , bundan	⃗ b = −	⃗ a . 3-teorema.   ⃗OA	1=k⃗OA	,  ⃗OB	1=	k⃗OB	,  ⟹  	⃗A1B1=	k⃗AB .
Isbot.    VI
2  ga asosan 	
⃗AO	+⃗OB	=⃗AB	,⃗A1O+⃗O	B1=⃗A1B1
Lekin    	
⃗A1O=−⃗OA	1    
⟹	⃗ A 1
O +	⃗ OB 1
= −	⃗ OA 1
+	⃗ OB 1
  =-k	⃗ AO + k	⃗ OB = k ¿
-	
⃗OA	+⃗OB	¿=k(⃗AO	+⃗OB	)=k⃗AB	,
 bundan va yuqoridagi tenglikdan 	⃗
A 1
B 1
= ¿ k	⃗
AB .  ∆
  Endi affin koordinatalar sistemasi tushunchasini kiritaylik, 	
An da ixtiyoriy bir
O   nuqtani   olaylik,   V
n ning   biror   (	
⃗ e
1 ,	⃗ e
2 , … ,	⃗ e
n ¿
  bazisining   barcha   vektorlari   O
nuqtadan   qo’yilgan   bo’lsin,   natijada   O   nuqta   va  	
⃗e1,⃗e2,…	,⃗en   basis   vektorlaridan
tashkil   topgan     ( O ,	
⃗ e
1 ,	⃗ e
2 , … ,	⃗ e
n ¿
  to’plam   hosil   bo’ladi.   Bu   to’plam   affin
koordinatalar   sistemasi   deb   atalib,   uni    	
B=(O	,⃗e1,⃗e2,…	,⃗en)bilanbelgilaymiz	.   O   nuqta
koordinatalar boshi, 	
⃗e1,⃗e2,…	,⃗en koordinata vektorlari deb ataladi.
Affin   koordinatalar   sistemasi   deyish   o’rniga   bundan   buyon   qisqacha   affin
reper   deymiz.   Demak,   affin   reper   ikki   turdagi   obyektdan   –nuqta   va   vektorlardan
tashkil   topgan   sistemadir.  
An   ning   ixtiyoriy   M   nuqtasini   olsak   va   affin   reper	
B=(O	,⃗e1,⃗e2,…	,⃗en)
ma’lum   bo’lsa,  	⃗OM   vector   hosil   qilinib,   bu   vektor   M   nuqtaning
radius-vektori deb ataladi.
U holda 	
⃗ OM ∈ V
n bo’lgani uchun uning 	(⃗e1,⃗e2,…	,⃗en)  bazisdagi vektorlarini 	
x1,x2,x3,…	,xn
 desak,	
⃗
OM = x
1	⃗ e
1 + x
2	⃗ e
2 + … + x
n	⃗ e
n    (1)
Ta’rif.   M   nuqta   radius-vektorlarining   koordinatalari   shu   nuqtaning   affin
koordinatalari deb ataladi: u  M ¿ ¿
) ko’rinishida belgilanadi, demak (1)  ⟺
  M ¿ ¿
).
Xususiy   holda    	
⃗ O M
1 =	⃗e1 ,  	⃗ O M
2 =	⃗e2 ,..    	⃗ O M
n =	⃗en   bo’lsa,   avvalgi   mavzularga
asosan 	
M	1(1,0,0	…	0),M	2(0,1,0	…	0),…	M	n(0,0,0	…	1).
. 	
An  dagi 	B  affin reperga nisbatan 	M	¿¿ ),  	N	¿¿ ) Nuqtalar   berilgan   bo’lsin.  ⃗MN	=⃗MO	+⃗ON   yoki  	⃗MN	=⃗ON	−⃗OM   ga   asosan   bazis
vektorlar orqali ifodalaylik:	
⃗MN	=	y1⃗e1+y2⃗e2+…	+yn⃗en−(x1⃗e1+x2⃗e2+…	+xn⃗en)=(y1−	x1)⃗e1+(y2−	x2)⃗e2+…	+(yn−	xn)⃗en
Bundan  	
⃗ MN	( y
1 − x
1 , y
2 − x
2 , … , y
n − x
n	)
Ta’rif.   A
n ning   uchlari   M,   N   nuqtalarda   bo’lib,  	
⃗MP	=	t⃗PN   tenglikni
qanoatlantiruvchi barcha nuqtalar to’pplami MN kesma deyiladi. 
MN   kesma   berilgan   bo’lib,  	
⃗MP =	λ⃗PN   (bunda   λ ∈ R , λ ≠ 1 ¿
bo’lsa,   P   nuqta
berilgan kesmani 	
λ nisbatda bo’ladi.	
An
  dagi  	B   reperda   uchlari  	M	1(x¿¿1,x2,x3,…	,xn)¿ ,  	N	¿¿ )   nuqtalardagi   MN
kesmani  λ
nisbatda bo’luvchi P nuqtaning koordinatalarini 	
z1,z2,z3,…	,zn  desak,	
z1=	x1+λy1	
1+λ	,
 z2=	x2+λy2	
1+λ , …., 
z
n = x
n + λ y
n
1 + λ
Agar 	
λ=1bo'lsa  kesmaning o’rtasidagi nuqta paydo bo’ladi.
Endi   nuqtaning   affin   koordinatalarini   almashtirish   formulalarini
topaylik.   A
n   da   B =	
( O ,	⃗ e
1 ,	⃗ e
2 , … ,	⃗ e
n	)   va  	B1=(O1,⃗⃗e11,⃗⃗e21,…	,⃗⃗en1)   affin  reperlari   berilgan
bo’lsin.  ∀ M ∈ A
n  ning shu bazislardagi kordinatalari mos ravishda 	
x1,x2,x3,…	,xn  va	
x11,x21,…	,xn1
  bo’lsin   hamda  	B1 reper   elementlari  	B   reperga   nisbatan   quyidagicha
aniqlangan bo’lsin:
O 1
( c
10 , c
20 , … , c
n 0 ) ,     	
⃗
e
1 1
( c
11 , c
21 , … , c
n 1 ) ,      …….,   	⃗
e
n 1
( c
n 1 , c
n 2 , … , c
nn ) ,      	
⃗
OM =	⃗ O O 1
+	⃗ O 1
M ni koordinatalarda yozaylik:
x
1	
⃗ e
1 + x
2	⃗ e
2 + … + x
n	⃗ e
n = ¿ c
10 1	⃗ e
1 + c
20	⃗ e
2 + … + c
n 0	⃗ e
n + x
11	⃗
e
11
+ x
21	⃗
e
21
+ … + x
n1	⃗
e
n1	
⃗
e
11
, 	⃗e21, …	⃗
e
n1
 larni 	⃗e1,⃗e2,…	.⃗en  orqali ifodalaymiz.	
x1=	c11x11+c21x21+…	+cn1xn1+c10
x
2 = c
12 x
11
+ c
22 x
21
+ … + c
n 2 x
n1
+ c
20 …………………………xn=c1nx11+c2nx21+…	+cnnxn1+cn0
Bu   izlangan   formulalar   bo’lib,   ixtiyoriy   nuqtaning    
B,  	B1   reperlarga   nisbatan
koordinatalari orasidagi bog’lanishni aniqlaydi.
Affin fazoda   M
0 , M
1 , … . , M
m   nuqtalar sistemasi berilgan bo’lsin. 
Ta’rif.   Agar  	
⃗ M
0 M
1 ,  	⃗ M
0 M
2 , … .	⃗ M
0 M
n     vektorlar   sistemasi   chiziqli   erkli   bo’lsa,
berilgan   nuqtalar   sistemasi   chiziqli   erkli   deyiladi,   aks   holda   berilgan   nuqtalar
sistemasi chiziqli bog’liq deyiladi.	
An
  n o’lchovli affin fazo, uning eltuvchisi   V
n   vektor fazo hamda   A
n   qism fazosi  	Ak
bo’lib, uning eltuvchisi 	
Vk∁Vn  bo’lsin. 	An  ning tayin P nuqtasni olaylik.
Ta’rif.   A
n   fazodagi 	
⃗PN	∈Vk  shartni qanoatlantiruvchi barcha N nuqtalar to’plami k
o’lchovli tekislik deb ataladi va 	
П	k  deb belgilanadi. 
Bu ta’rifadan ko’rinadiki, 	
Vk∁  	П	k  bo’lib, P	∈  	П	k dir. Chunki N=P bo’lsa, 	⃗ PN =	⃗ PP =	⃗ 0
bo’lib,   V
k qism   fazo   bo’lgani   uchun  	
⃗ 0 ∈
  П
k   dir.   P   nuqta     П
k   ning   boshlang’ich
nuqtasi, 	
Vk  esa eltuvchisi deyiladi.
Ta’rif.  
An   dagi   ikki   tekislik   kamida   bitta   umumiy   nuqtaga   ega   bo’lsa,   ular
kesishuvchi kekisliklar deb ataladi.
Demak,   ikki   tekislik   kesishsa,   kesimda   nuqta-nol   o’lchovli   tekislik,   to’g’ri
chiziq-bir   o’chovli   tekislik,   ikki   o’lhovli   tekislik   va   hokazo   lar   hosil   bo’lishi
mumkin.
Ta’rif.   Ikki   tekislikning   eltuvchi   vektor   fazolaridan   biri   ikkinchisining   qismi
bo’lsa, bu tekisliklar o’zaro parallel deb ataladi. 
Ta’rif .  Agar  	
An  П	k,П	s  tekisliklar kesishmasa handa o’zaro parallel bo’lmasa, ular
ayqash tekisliklar deb ataladi. Teorema.   Agar  An  П	k,П	s   tekisliklar   o’zaro   parallel   bo’lib,   umumiy   nuqtaga   ega
bo’lsa, ulardan biri ikkinchisiga tegishlidir.
2.2.Evklid fazolari ta’rifi
Chiziqli fazolarda norma kiritishning sinalgan usullaridan biri, unda skalyar
ko‘paytma kiritishdir.
1-ta’rif.   Bizga     haqiqiy chiziqli fazo berilgan bo‘lsin. Agar     dekart
ko‘paytmada   aniqlangan     funksional   quyidagi   to‘rtta   shartni   qanoatlantirsa,
unga skalyar ko‘paytma deyiladi:
1)   
2) 
3)  ; 
4)  ,
2-ta’rif.   Skalyar ko‘paytma kiritilgan chiziqli fazo Evklid fazosi deyiladi va
 elementlarning skalyar ko‘paytmasi   orqali belgilanadi.
Evklid fazosida   elementning normasi
 (1)
formula   orqali   aniqlanadi.   Bu   funksional   norma   aksiomalarini   qanoatlantiradi.
Skalyar   ko‘paytmaning   1-4   shartlaridan   normaning   1-2   shartlari   bevosita   kelib
chiqadi.   Uchburchak   aksiomasining   bajarilishi   Koshi-Bunyakovskiy   tengsizligi
deb ataluvchi quyidagi 
 (2)
tengsizlikdan kelib chiqadi. Endi   (2)   tengsizlikni,   ya’ni   Koshi-Bunyakovskiy   tengsizligini   isbotlaymiz.
 ning barcha qiymatlarida nomanfiy bo‘lgan kvadrat uchhadni qaraymiz:
.
Bu kvadrat uchhadning diskriminanti musbat emas, ya’ni
Bundan 
,   ya’ni    .
Endi (1) norma uchun uchburchak aksiomasining bajarilishini ko‘rsatamiz:
Bundan   tengsizlik kelib chiqadi.
Shuni ta’kidlaymizki, Evklid fazosida yig‘indi, songa ko‘paytirish va skalyar
ko‘paytma   amallari   uzluksizdir,   ya’ni   agar       (norma   bo‘yicha
yaqinlashish ma’nosida),   (sonli ketma-ketlik sifatida) bo‘lsa, u holda
.
Bu tasdiqlarning isboti quyidagicha:  Ortogonal  sistema va o rtogonal bazis ning   mavjudligi
Evklid   fazolarida   nafaqat   vektorning   normasini   (ya’ni   uzunligini),   balki
vektorlar   orasidagi   burchak   tushunchasini   ham   kiritish   mumkin.   Noldan   farqli  
va   vektorlar orasidagi   burchakning kosinusi
 (3)
formula   bilan   aniqlanadi.   Koshi-Bunyakovskiy   tengsizligiga   ko‘ra   (3)   ning   o‘ng
tomoni   moduli   bo‘yicha   birdan   oshmaydi   va   demak   (3)   formula   haqiqatan   ham,
nolmas    va   vektorlar orasidagi   burchakni bir qiymatli aniqlaydi.
Agar   bo‘lsa, u holda    va   vektorlar ortogonal deyiladi.
3-ta’rif.   Agar ixtiyoriy   da    bo‘lsa, u holda nolmas 
vektorlar   sistemasiga   ortogonal   sistema   deyiladi.   Agar   bu   holda   har   bir
elementning   normasi   birga   teng   bo‘lsa,     ortogonal   normalangan   sistema,
qisqacha ortonormal sistema deyiladi.
Agar     vektorlar ortogonal sistemani tashkil qilsa, u holda     chiziqli
bog‘lanmagan bo‘ladi.  Haqiqatan ham,
bo‘lsin.   Bu   tenglikning   ikkala   qismini     ga   skalyar   ko‘paytirib,   quyidagiga   ega
bo‘lamiz
 bo‘lgani uchun, barcha   larda   bo‘ladi. 4-ta’rif.   Agar     sistemani   o‘zida  saqlovchi  minimal   yopiq qism  fazo  
fazoning o‘ziga teng bo‘lsa, u holda   sistema to‘la deyiladi.
5-ta’rif.   Agar     ortonormal  sistema to‘la bo‘lsa, u holda bu sistema  
fazodagi ortonormal (ortogonal normalangan) bazis deyiladi.
Ravshanki, agar   - ortogonal sistema bo‘lsa, u holda
ortonormal sistema bo‘ladi.
Misollar. 1.     -   o‘lchamli Evklid fazosi. Bu
fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi
.
Bu   fazoda     vektorlar   sistemasi   ortonormal   bazisni
tashkil qiladi.
2.  Kvadrati bilan jamlanuvchi ketma-ketliklar fazosi, ya’ni   ni qaraymiz.
Bu fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi
.
3.    fazoda skalyar ko‘paytma quyidagicha kiritiladi
                     (4)
Bu fazoda ortogonal (normalanmagan) bazisga funksiyalardan tashkil topgan trigonometrik sistema misol bo‘ladi.
4.     fazoda   ham     va     elementlarning   skalyar   ko‘paytmasi   (4)
tenglik bilan aniqlanadi.
6-ta’rif.   Agar     Evklid   fazosining   hamma   yerida   zich   bo‘lgan   sanoqli
to‘plam mavjud bo‘lsa,   separabel Evklid fazosi deyiladi .
Yuqorida keltirilgan  ,  ,    va   fazolar separabel Evklid
fazolariga   misol   bo‘ladi.   Har   qanday   separabel   Evklid   fazosidagi   ixtiyoriy
ortonormal sistema ko‘pi bilan sanoqlidir. 
  Ortogonallashtirish  jarayoni
1-teorema.   (Ortogonallashtirish jarayoni). Bizga   Evklid fazosida chiziqli
bog‘lanmagan
    (5)
elementlar   sistemasi     berilgan   bo‘lsin.   U   holda     Evklid   fazosida   quyidagi
shartlarni  qanoatlantiruvchi
  (6)
sistema mavjud: 
1)  (6) ortonormal sistema. 
2)   Har bir     element     elementlarning chiziqli kombinatsiyasidan
iborat, ya’ni 3)  har bir    element
ko‘rinishda tasvirlanadi. 
4)  (6) sistemaning har bir elementi  1-3  shartlar bilan bir qiymatli aniqlanadi .
Isbot.    element   ko‘rinishda izlanadi va   
shartdan aniqlanadi. Bu yerdan
.
Ko‘rinib   turibdiki,     bir   qiymatli   aniqlanadi.   Faraz   qilaylik,   1-3   shartlarni
qanoatlantiruvchi    elementlar qurilgan bo‘lsin. Ushbu 
elementni kiritamiz. Ko‘rinib turibdiki, agar     bo‘lsa,  
bo‘ladi.     tenglik  (5)  sistemaning   chiziqli  erkli  ekanligiga  zid,  shuning
uchun   . Endi
deymiz.     vektorning   qurilishiga   ko‘ra   u     vektorlarning   chiziqli
kombinatsiyasi va demak,    ham ularning chiziqli kombinatsiyasi, ya’ni
,     bu yerda    Bundan tashqari  ,     va 
,
ya’ni   teorema shartlarini qanoatlantiradi. ∆
(5)   sistemadan   1-3   shartlarni   qanoatlantiruvchi   (6)   sistemaga   o‘tish
ortogonallashtirish   jarayoni   deyiladi.   Ko‘rinib   turibdiki,   (5)   va   (6)   sistemalardan
hosil bo‘lgan qism fazolar ustma-ust tushadi. Bundan kelib chiqadiki, bu sistemalar
bir vaqtda to‘la yoki to‘la emas.
1-natija.   Har   qanday   separabel   Evklid   fazosida   sanoqli   ortonormal   bazis
mavjud.
Isbot.    -   Evklid fazosining hamma yerida zich sanoqli to‘plam bo‘lsin.
Undan   chiziqli    bog‘langan elementlarni chiqarib tashlab,  qolgan     sistemaga
ortogonallashtirish jarayonini qo‘llab, ortonormal bazisni hosil qilamiz. 
 Bessel tengsizligi.
Bizga     -   o‘lchamli     Evklid   fazosi   va   uning     ortonormal
bazisi  berilgan bo‘lsin. U holda ixtiyoriy    elementni
     (1)
yoyilma ko‘rinishda yozish mumkin, bu yerda  .
Bu   yoyilmani   cheksiz   o‘lchamli   Evklid   fazolari   uchun   qanday   umumlashtirish
mumkinligini ko‘rib chiqamiz. Bizga   Evklid fazosining
  (2)
ortonormal sistemasi va   ixtiyoriy elementi berilgan bo‘lsin.   elementga             (3)
sonlar ketma-ketligini mos qo‘yamiz va   sonlarni    elementning koordinatalari
yoki   sistemadagi Fure koeffitsiyentlari deb ataymiz.
                   (4)
formal   qatorni   esa     elementning     ortonormal   sistema   bo‘yicha   Fure   qatori
deb ataymiz.
Quyidagicha   savol   tug‘iladi.   (4)   qator   yaqinlashuvchimi?   Ya’ni   qatorning
qismiy yig‘indilari ketma-ketligi 
biror elementga yaqinlashadimi? Agar    ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo‘lsa, u
holda (4) qatorning yig‘indisi   ga teng bo‘ladimi?
Bu  savollarga  javob berish  uchun  quyidagi  masalani  qaraymiz.  Berilgan  
natural son uchun    koeffitsiyentlarni shunday tanlash kerakki,
 va
 (5)
yig‘indi   orasidagi     masofa   minimal   bo‘lsin.   Bu   masofa   kvadratini
hisoblaymiz. (2) ortonormal sistema bo‘lgani uchun Bu ifoda
                           (6)
bo‘lgan holda minimumga erishadi. Bu holda
                           (7)
Biz isbotladikki, (5) ko‘rinishdagi yig‘indilar ichida    elementdan Fure qatorining
qismiy yig‘indisi eng kam chetlanar ekan.
Bu tasdiqning geometrik ma’nosi shundan iboratki,
vektor     vektorlarning   barcha   chiziqli   kombinatsiyalariga   ortogonal,
ya’ni     element     vektorlardan   hosil   bo‘lgan   qism   fazoga
ortogonal bo‘lishi uchun (6) shartning bajarilishi zarur va yetarlidir.  bo‘lgani uchun (7) tenglikka ko‘ra 
.
Bu tengsizlik ixtiyoriy   uchun o‘rinli, shunday ekan, 
qator yaqinlashuvchi va 
.                             (8)
So‘nggi (8) tengsizlik  Bessel tengsizligi  deyiladi.
 2.3.Evklid fazolarida yopiq ortonormal sistema. Parseval tengligi
 7 -ta’rif . Agar ixtiyoriy   uchun
,                        (9)
tenglik o‘rinli  bo‘lsa,     ortonormal  sistema yopiq sistema deyiladi. (9)  tenglik
Parseval tengligi deyiladi .
(7)   tenglikdan   kelib   chiqadiki,     ortonormal   sistemaning   yopiq   bo‘lishi
uchun, har bir    da 
Fure qatorining qismiy yig‘indilar ketma-ketligi   elementga yaqinlashishi kerak. 1-teorema .   Separabel Evklid fazosida har qanday to‘la ortonormal sistema
yopiq va aksincha.
Isbot.     dan   olingan   ixtiyoriy     to‘la   ortonormal   sistemani   qaraymiz.
Istalgan     uchun     Fure   koeffitsiyentlarini
olamiz.     sistema   to‘la   bo‘lgani   uchun   ixtiyoriy     songa   ko‘ra   shunday
 chekli yig‘indi mavjud bo‘lib,
tengsizlik bajariladi. U holda      bo‘lganda 
.
Olingan bu munosabatlardan 
Parseval tengligi kelib chiqadi, ya’ni   sistema yopiq ekan. 
Endi     -     dan   olingan   ixtiyoriy   yopiq   ortonormal   sistema   bo‘lsin.
 vektor qanday bo‘lmasin, uning Fure qatori   ning qismiy yig‘indilar
ketma-ketligi     elementga yaqinlashadi, chunki
.
Shuning uchun   - sistemaning barcha chekli kombinatsiyalari to‘plami   ning
hamma yerida zich bo‘ladi. Ya’ni   to‘la ortonormal sistema bo‘ladi.  Misol.   1.     separabel   Evklid   fazosida  
sistema ortonormal bo‘ladimi? Agar   ortonormal sistema bo‘lsa, u to‘lami?
Yechish.   Ma’lumki,     trigonometrik  sistema  ortogonaldir.  Endi
 tenglikni tekshiramiz. 
.
Demak,     ortonormal   sistema   ekan.   Endi   uni   to‘lalikka   tekshiramiz.   14.2-
teoremaga   ko‘ra     sistema   to‘la   bo‘lishi   uchun   uning   yopiq   bo‘lishi   zarur   va
yetarlidir.     uchun   Parseval   tengligi   bajarilishini   tekshiramiz.
 ning Fure koeffitsiyentlarini hisoblaymiz. Ma’lumki, toq funksiyaning 
kesma bo‘yicha olingan integrali nolga teng. Shuning uchun istalgan   da 
.
Bundan 
tengsizlik   kelib   chiqadi.   Parseval   tengligi   bajarilmayapti,   shuning   uchun  
sistema yopiq emas, demak, u to‘la bo‘lmagan ortonormal sistema ekan.  Xulosa
                Ko’p  hollarda shunday  obektlar   bilan  ish  ko’rishga  to’g’ri  keladiki,  bunda
ularni qo’shish va biror songa ko’paytirish amallarini bajarish lozim bo’lib qoladi.
Bir necha misol keltiramiz.
                Geometriyada   bunday   ob’ektlar   uch   o’lchamli   fazodagi   vektorlar,   ya’ni
yo’nalishli   kesmalardir.   Agar   yo’nalishli   ikki   kesmani   parallel   ko’chirish   yo’li
bilan   ustma-ust   tushirish   mumkin   bo’lsa,   ular   ayni   bir   vektorni   aniqlaydi   deb
hisoblanadi.   SHuning   uchun   bu   kesmalarning   hammasini   bir   nuqtadan   boshlab
chiqarish   qulay.   Bu   nuqtani   biz   koordinatalar   boshi   deb   ataymiz.   Ma’lumki,
vektorlarni   qo’shish   amali   quyidagichadir:   x   va   u   vektorlarning   yig’indisi   deb,
tomonlari   x   va   u   bo’lgan   parallelogrammning   diogonali   hisoblanadi.   Vektorni
songa ko’paytirish amali ham ma’lum usul bilan kiritiladi.
                 Vektor aksiomatikasida vektor  tushunchasi  asosiy (zarur)  tushunchalardan
biridir.   Shuningdek,   biz   son   tushunchasini   asosiy   tushuncha   sifatida   ko'rib
chiqamiz   va   haqiqiy   son   nazariyasi   ma'lum   ekanligidan   kelib
chiqamiz.   Vektorlarni   qo'shish   va   vektorni   haqiqiy   sonlarga   ko'paytirish
amallarining   xossalari   aksioma   sifatida   qabul   qilinadi.   Keyin   vektor   fazoning
aksiomatik ta'rifini berishimiz mumkin. Foydalanilgan adabiyotlar
1. R.Xorunov «Chizma geometriya kursi» Toshkent, O’qituvchi – 1997 
2. Sh.Murodov, L.Xakimov va boshqalar «Chizma geometriya» Toshkent, 
Iqtisodmoliya - 2006 
3. Ruziev E.I. va boshqalar “Muxandislik grafikasini o’qitish metodikasi”– Fan va 
texnika -2010 
4. Sh.Murodov va boshqalar, Chizma geometriya – 2006, Iqtisodmoliya 
5. G.Ya.Sodiqova, M.T.Nurullaeva “Chizma geometriya va muxandislik kompyuter 
grafikasi” fanidan ma’ruzalar matni, TKTI, 2009.  Xorijiy adabiyotlar 
6. Basant Agrawal, C.M.Agrawal “Engineering drawing” Tata McGraw-Hill 
Education Private Limited.  New DELHI-2008. 
7. Colin H Simmons, Dennis E Maguire “Manual of Engineering Drawing” Colin H. 
Simmons and Denis E. Maguire, Great Britain-2004. 
8. K. Morling “Geometric and Engineering Drawing” Elsevier Ltd.  Great Britain-
2010. 
9. George Young “Descriptive geometry”. Forgotten Books. Great Britain2013
10. www.exponenta.ru – Matematik tizimlar haqidagi sayt.
11. http://www.matlab.ru/ . – MatLab dasturi haqidagi sayt.
12.   www.Intuit.ru . Интернет-Университет информационных технологий.
Москва.

n o’lchovli affin va Evklid fazolari

Kirish

I bob. Chiziqli fazoning ta’rifi va fazoning o’lchamlari soni (o’lchamligi).

1.1. Chiziqli fazoning ta’rifi.

1.2. Fazoning o’lchamlari soni (o’lchamligi).

1.3. n o’lchamli fazoda bazis va koordinatalar.

1.4. Bazis o’zgarganda koordinatalarning almashinishi.

II bob. n o’lchovli affin va Evklid fazolari 

2.1. n-o’lchovli Affin fazo va Affin koordinatalar sistemasi.

2.2. Evklid fazolari ta’rifi.

2.3.Evklid fazolarida yopiq ortonormal sistema. Parseval tengligi

Xulosa

Adabiyot