O`zgarishi chegaralangan funksiyalar va unga misollar
![KIRISH
Mavzuning dolzarbligi.
Ma`lumki muhim va ko`pgina tadbiqlarga ega bo`lgan funksialar orasida
o`zgarishi chegaraangan funksiyalar sinfi ktta ahamiyatga ega.O`zgarishi
chegaralangan funksiyalar nazarysifunksianal analizning chuqur va keng
o`rganilgan bo`imi bo`lib,uning amaliliy masalalrni hal qilishdgi roli kattadir. Shu
sababli ularni urganish ham nazariy,ham amaliy ahamyatga egadir.
BMIning maqsadi va vazifasi.
O`zgarishi chegaralangan funksiyalar va unga misollar mavzusidagi ushbu ish
uzluksiz funksiyar monoton funksiyaar va uning hosilasi xossalarini urganishga
bag`ishlangan.Ular haqidagi teorimalarni isbotlash va ularni misollar echishga
tatbiqlarini urganishdan iborat.
BMI ning ilmiyligi va ahamyati.
Mavzuga oid barcha adabiyotlar to`plandi.SHu adabiyotardan foydalanib
monoton funksiyalar monoton funksiyalar xossalafi kabi tushunchalar chuqur
urganiladi va o`rganilganlar asosida BMI yoziladi.
BMI o`zgarishi chegaralangan funksiyalarning tuzilishi va asosiy xossalarni
o`rganishga bag`ishlangan.Shu sababli ushbu mavzu juda amaliy ahamyatga
adir.Ushbu BMI ikkita bob va to`rtta paragrifdan iborat.
§1 da monoton funksiyalar va ularning asasiy xossalari urganiladi.
Ta`rif.01[a,b] segmentda aniqlangan f(x) funksiya berilgan bo`lsin.Agarda har
qanday uchun bo`lganda tengsizlik o`rinli
bo`lsa,f(x) funksiya monoton kamaymaydigan funksiya deyiladi.
Teorima0.1 segmentd monoton kamaymaydigan har qanday f(x) funksiya
shu segmentd o`lchovli,chegaralangan hamda jamlanuvchi funksiyadir.
§2 da monoton funksiyaninig hosilsi haqidagi Lebeg, Riss, Fubini teorimalari
isbot qilinadi.
§3 da esa o`zgarishi chegaralangan funksiyalarning strukturasi(tuzilishi)
haqidagi teorimalar isbot qilinadi.](https://docx.uz/documents/068f46f7-542c-4a2d-a02f-28a7bd1c5d59/page_2.png?v=1)
![§4 da esa o`zgarishi chegaralangan funksiyalarning asosiy xossalari o`rgniladi.
I bob Monoton fuksiyalar
Ta`rif 1| [a, b] segmentda aniqlangan f (x) funksiya berilgan bo`lsin. Agarda
har qanday x
1 ,
x
2 , € [a, b] uchun bo`lganda
tensizlik o`rinli bo`lsa, f (x) funksiya monoton kamayadigan kamayadigan funksiya
deyiladi.
Monoton o`smaydigan funksiyaning ta`rifi ham shu singari beriladi. Barcha
haqiqiy sonlar to`plamida berilgan har qanday funksiya uchun
va
limitlar mavjud bo`lsa, bu limitlar mos ravishda f(x) funksiya x
0 nuqtadagi o`ng
va chap limitlar deyiladi hamda, mos ravishda va orqali
belgilanadi. Agar bo`lsa, f(x) funksiya x
0 nuqtada uzluksiz
deyiladi. Mabodo, va lar ham mavjud bo`lib, bir-biriga teng
bo`lmasa, u holda f(x) f(x) funksiya x
0 nuqtada birinchi tur uzulishga ega deyiladi
va ayirmaning qiymati f(x) funksiyaning shu x
0 nuqtadagi
sakrashi deyiladi. Monoton kamaymaydigan funksiyaning ba`zi bir xossalarini
quyida keltiramiz.
Teorema 1.1 [a, b] segmentda monoton kamaymaydigan har qanday f(x)
funksiya shu segmentda o`lchovli chegaralangan hamda jamlanuvchi funksiyadir.
Isbot: Haqiqatan, f(x) funksiyaning [a, b] segmentda monotonligidan har
qanday x € [a, b] uchun
Tengsizlik o`rinli. Bundan f(x) funksiyaning [a, b] segmentda
chegaralanganligi kelib chiqadi. Endi uning o`lchovli ekanini ko`rsatamiz. Shu
maqsadda ixtiyoriy haqiqiy son uchun ushbu](https://docx.uz/documents/068f46f7-542c-4a2d-a02f-28a7bd1c5d59/page_3.png?v=1)
![Tenglamani qaraymiz. f(x) funksiyaning monotonligidan
tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar mavjud bo`lsa, to`plam yoki
segmentni yarim segment ko`rinishidagi to`plam ekani kelib chiqadi. Bu esa
to`plamning o`lchovli ekanligini ko`rsatadi. Bunda f(x) funksiyaning o`lchovli
ekanligi kelib chiqadi.
Teorema 1.2 Monoton fuksiyaning uzilishi nuqtalari faqat 1-turdagi
bo`lishi mumkin.
Isbot: Haqiqatan, x
0 € [a, b] ixtiyoriy nuqta bo`lib
ketma-ketlik nuqtaga chapdan yaqinlashsin, ya`ni
45.1 teoremaga asosan ketma-ketlik quyidan va yuqoridan
mos ravishda va sonlar bilan chegaralangandir. Matematik analizdagi
monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremaga asosan bunday ketma-ketlik
limitga ega. f(x) funksiyaning monotonligiga asosan bu limit nuqta yagonadir. Shu
bilan birga ning mavjudligi isbotlandi. ning mavjudligi shunga
o`xshash isbotlanadi.
Teorema 1.3 Monoton fuksiyaning uzilish nuqtalari to`plami ko`pi bilan
sanoqlidir.
Isbot: Haqiqatan, [a, b] segmentda monoton bo`lgan f(x) funksiyaning
chekli sondagi sakrashlarining yig`indisi ayirmadan katta bo`la
olmaydi. Bundan quyidagi muhim natija kelib chiqadi: han bir n natural son uchun
qiymati dan katta bo`lgan sakrashlar soni cheklidir . Bulardan,
n bo`yicha qoshib chiqib, sakrash natijalardan iborat to`plam chekli yoki sanoqli
degan xulosani olamiz.
2 ta`rif : agar [a, b] segmentda aniqlangan f ( x ) monoton funksiya uchun
nuqtada ning nuqtada tenglik
bajarilsa, nuqtada chapdan uzluksiz, agarda tenglik
bajarilsa, nuqtada o`ngdan uzluksiz funksiya deyiladi.
Kelajakda ishlatiladigan monoton funksiyalarga misollar keltiramiz.](https://docx.uz/documents/068f46f7-542c-4a2d-a02f-28a7bd1c5d59/page_4.png?v=1)
![y -monoton o`suvchi funksiya. funksiya ham monoton o`suvchi
Darhaqiqat bo`lsin. U holda
= - - + = -[ - ]
,
chunki; *
So`ngi teoremaning mohiyati shundaki, buning yordami bilan o`zgarishi
chegaralangan funksiyalarning ba`zi xossalarini monoton o`suvchi funksiyalarning
xossasidan keltirib chiqarish mumkin va aksincha. Masalan o`zgarishi
chegaralangan funksiya biror nuqtada o`ngdan uzluksiz bo`lsa, u holda
va funksiyalar ham shu nuqtada o`ngdan uzluksiz bo`ladi. Masalan, bu
jumlani F(x) funksiya uchun isbot bo`ladi.
funksiyaning x
0 nuqtada o`ngdan uzluksizligidan foydalanib, ixtiyoriy
berilgan uchun shunday sonni topamizki, agar va
bo`lsa
tengsizlikni yozishimiz mumkin.
Endi segmentni n ta qismga bo`lamizki, ular uchun
quyidagi tengsizlik o`rinli bo`lsin:
,
nuqtani olishda tengsizlikka rioya qilishimiz kerak. U holda (6) ga
muvofiq:
yoki (3.2)- teoremaga asosan
Bundan esa funksiyaning nuqtada o`ngdan uzluksizligi
bevosita kelib chiqadi.](https://docx.uz/documents/068f46f7-542c-4a2d-a02f-28a7bd1c5d59/page_26.png?v=1)
![4.2-teorema. segmentda aniqlangan har qanday o`zgarishi
chegaralangan funksiya yagona usul bilan uzluksiz funksiya va.
sakrash funksiyalarining yig`indisi sifatida ifoda etiladi.
Bu teoremaning isboti 45.4- teoremaning isbotidan farq qilmaganligi
sababli, uning isbotiga to`xtalmaymiz.
Endi uzluksiz, lekin ozgarishi chegaralanmagan funksiyaga misol
keltiramiz.
bo`lsin. Bu funksiya x=0 nuqtaning atrofida soni cheksiz maksimum va
minimum nuqtalarga ega. Quyidagi jadvalni tuzamiz:
Bundan ko`rinadiki:
ya`ni funksiyaning [0, 1] segmentdagi o`zgarishi
4.3-teorema. Agar segmentda aniqlangan va o`zgarishi
chegaralanmagan funksiya biror ( ) nuqtada uzluksiz
bo`lsa u holda bu nuqtada funksiya ham uzluksiz bo`ladi.
Isbot. bo`lsin; funksiyaning nuqtada o`ngdan
uzluksizligini ko`rsatamiz. Buning uchun [ , b] segmentni shunday
n ta qismga bo`lamizki, ixtiyoriy son uchun quyidagi munosabat o`rinli
bo`lsin:
Chap tamondagi yig`indi bo`lish nuqtalari ko`payganda o`sishigina mumkin;
shuning uchun nuqtani quyidagi tengsizlik o`rinli bo`ladigan qilib tanlab
olamiz:](https://docx.uz/documents/068f46f7-542c-4a2d-a02f-28a7bd1c5d59/page_28.png?v=1)
![Bu ketma-ketlikka ham Bolsano-Veyershtrass teoremasini tadbiq qilib,
nuqtada yaqinlashuvchi
Ketma-ketlikni hosil qilamiz. Bu jarayonni cheksiz davom ettirib, quyidagi
yaqinlashuvchi soni sanoqli ketma-ketliklarni tuzishimiz mumkin.
(4.2)
..
Bu ketma-ketliklarning har biri oldingisidan qism ketma-ketligidir. (4.1) ketma-
ketliklarning diognalida joylashgan elimentlaridan
(4.3)
k etma-ketlik tuzilsa, bu ketma-ketlik sanoqli to`plamning har bir nuqtasida
yaqinlashuvchi bo`lib, biz izlagan ketma-ketlik bo`ladi. (10) ketma-ketlik
to`plamning har bir nuqtasida yaqinlashadi, chunki, agar bo`lsa, u holda
ketma-ketlikning tuzilishiga ko`ra da ga yaqinlashadi.
4.5-teorema . segmentda aniqlangan o`suvchi funksiyalardan iborat
cheksiz to`plam berilgan bo`lib, bu funksiyalar to`plami biror o`zgarmas M
son bilan chegaralangan, ya`ni
bo`lsa, u holda to`plamdan [a, b] segmentning har bir nuqtasida biror o`suvchi
funksiyaga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ajratib olish mumkin.
Isbot. 4.4-teoremadagi sanoqli to`plam sifatida [a, b] segmentdagi hamma
ratsional nuqtalardan va a nuqtadan ( agar a irratsional bo`lsa) iborat to`plamni
olib, berilgan to`plamga shu teoremani tatbiq qilamiz. U holda to`plamdan
to`plamning har bir nuqtasida chekli limitga ega bo`lgan ketma
ketlikni ajratib alishimiz mumkin, ya`ni
](https://docx.uz/documents/068f46f7-542c-4a2d-a02f-28a7bd1c5d59/page_30.png?v=1)
![(11)
Endi to`plamninghar bir nuqtasida qiymati (4.4) limitning qiymati o`ng
tamonga teng funksiyani ko`ramiz, ya`ni .
funksiya to`plamda aniqlangan bo`lib o`suvchi funksiya bo`ladi, chunki
sistemadan ajratib olingan funksiyalar ketma-ketligining har bir elimenti
o`suvchi funksiya (teoremaning shartiga ko`ra) bo`lgani uchun da
Demak, agar va nuqtalar to`plamga tegishli bo`lib, bo`lsa, u
holda
Endi funksyani (a, b] yarim oraliqning hamma irratsional nuqtalarida
quyidagicha aniqlaymiz:
,
Bu yerda va mod ravishda to`plamning ratsional va irratsional nuqtalari.
Ravshanki, funksiya tuzilishiga ko`ra [a, b] segmentda o`suvchi funksiyadir.
Demak, 45.3-teoremaga asosan funksiyaning uzilish nuqtalaridan iborat
to`plam ko`pi bilan sanoqli bo`ladi.
Agar nuqta ning uzluksizlik nuqtasi bo`lsa, u holda
(4.4)
Darhaqiqat, ixtiyoriy uchun to`plamdan shunday va nuqtalar
mavjudki, ular uchun va
m unosabatlar o`rinli.
45-BETGA JOY](https://docx.uz/documents/068f46f7-542c-4a2d-a02f-28a7bd1c5d59/page_31.png?v=1)
![(11) ga muvofiq, va nuqtalar uchun shunday natural son son mavjudki,
bo`lganda
Tengsizlik o`rinli bo`ladi, ya`ni
- -
ning tuzilishiga muvofiq, bu munosabatlarga asoslanib, bo`lganda
quyidagi tengsizliklarni yozishga haqlimiz:
bulardan va uchun
tengsizlikning o`rinli ekanligidan da
tengsizliklar o`rinli bo`ladi va bundan ( ixtiyoriy bo`lganligi uchun) (12)
munosabat kelib chiqadi. 45.3 teoremaga asosan funksiyaning uzilish
nuqtalari to`plami ko`pi bilan sanoqli bo`lganligi uchun
(13)
tenglik [a, b] segmentning ko ` pi bilan sanoqli qismidagina bajarilmasligi
mumkin. Shuni nazarda tutib , 4.4 teoremani ketma-ketlikka
tadbiq qilamiz ; to`plam sifatida ning (13) munosabat bajarilmagan
nuqtalarini olamiz. Buning natijasida ketma-ketlikdan [a,b] segmentning har
bir nuqtasida yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish
mumkin. Endi sifatida
funksiya olinsa, u o`suvchi bo`lib, biz izlagan funksiya bo`ladi.
4.5- teorema. ( Xelli ) [a,b] segmentda aniqlangan funksiyalardan iborat
cheksiz to`plam berilgan bo`lib, bu funksiyalar to`plami va ularning](https://docx.uz/documents/068f46f7-542c-4a2d-a02f-28a7bd1c5d59/page_32.png?v=1)
![[a,b] segmentda to`la o`zgarishi biror o`zgarmas son bilan chegaralangan,
ya`ni bo`lsa, u holda to`plamdan
[a,b] segmentning har bir nuqtasida biror o`zgarishi chegaralangan
funksiyaga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ajratib olish mumkin.
Isbot to`plamning ixtiyoriy elementi uchun quyidagi munosabatlarni
yozishimiz mumkin:
.
sistemaga 4.5- teoremani tatbiq qilib, undan biror funksiyaga
yaqinlashuvchi funksiyalar ketma-ketligini ajratib olamiz, ya`ni
har bir funksiya funksiyani mos keltirib
funksiyalar ketma-ketligiga ham 4.5- teoremani tatbiq qilamiz. Natijada [a,b]
segmentda biror funksiyaga yaqinlashuvchi funksiyalar ketma-
ketligi hosil bo`ladi, ya`ni
natijada funksiyalar ketma-ketligi to`plamdan ajratib olingan
bo`lib, funksiyaga [a, b] segmentda yaqinlashadi.
XULOSA.
1. Monoton funksiyalarning asosiy xossalari o`rganildi.
2. Monoton xossasiga oid F. Riss, Lebeg, Fubani teoremalari isbotlandi.](https://docx.uz/documents/068f46f7-542c-4a2d-a02f-28a7bd1c5d59/page_33.png?v=1)
-
Похожие документы
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq