O`zgarishi chegaralangan funksiyalar va unga misollar - Алгебра - Дипломные работы

Информация о документе

Цена	50000UZS
Размер	3.3MB
Покупки	0
Дата загрузки	28 Март 2026
Расширение	doc
Раздел	Дипломные работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Rajabov Yorbek

Дата регистрации 19 Март 2026

0 Продаж

O`zgarishi chegaralangan funksiyalar va unga misollar

Купить

O`zgarishi chegaralangan funksiyalar va unga
misollar
Mundarija
Kirish., ..…………………………………………………………………………

I Bob. Monoton uzluksiz funksiyalar .
………………………………………
1§ Monoton funksiyalar .
………………………………………………………
2 § Monoton funksiyaning hosilasi
……………………………………………
II Bob. O`zgarishi chegaralangan funksiyalar va monoton funksiyalar
orasidgi bog`lanish
……………………………………………………………
3 § O`zgarishi chegaralangan funksiyalarning strukturasi
…………………
4 § O`zgarishi chegaralangan funksiyaarning asosiy xossalari ...
……………
Xulosa
Foydalanilgan adbiyotlar

KIRISH
Mavzuning dolzarbligi.
Ma`lumki muhim va ko`pgina tadbiqlarga ega bo`lgan funksialar orasida
o`zgarishi chegaraangan funksiyalar sinfi ktta ahamiyatga ega.O`zgarishi
chegaralangan funksiyalar nazarysifunksianal analizning chuqur va keng
o`rganilgan bo`imi bo`lib,uning amaliliy masalalrni hal qilishdgi roli kattadir. Shu
sababli ularni urganish ham nazariy,ham amaliy ahamyatga egadir.
BMIning maqsadi va vazifasi.
O`zgarishi chegaralangan funksiyalar va unga misollar mavzusidagi ushbu ish“ ”
uzluksiz funksiyar monoton funksiyaar va uning hosilasi xossalarini urganishga
bag`ishlangan.Ular haqidagi teorimalarni isbotlash va ularni misollar echishga
tatbiqlarini urganishdan iborat.
BMI ning ilmiyligi va ahamyati.
Mavzuga oid barcha adabiyotlar to`plandi.SHu adabiyotardan foydalanib
monoton funksiyalar monoton funksiyalar xossalafi kabi tushunchalar chuqur
urganiladi va o`rganilganlar asosida BMI yoziladi.
BMI o`zgarishi chegaralangan funksiyalarning tuzilishi va asosiy xossalarni
o`rganishga bag`ishlangan.Shu sababli ushbu mavzu juda amaliy ahamyatga
adir.Ushbu BMI ikkita bob va to`rtta paragrifdan iborat.
§1 da monoton funksiyalar va ularning asasiy xossalari urganiladi.
Ta`rif.01[a,b] segmentda aniqlangan f(x) funksiya berilgan bo`lsin.Agarda har
qanday uchun bo`lganda tengsizlik o`rinli
bo`lsa,f(x) funksiya monoton kamaymaydigan funksiya deyiladi.
Teorima0.1 segmentd monoton kamaymaydigan har qanday f(x) funksiya
shu segmentd o`lchovli,chegaralangan hamda jamlanuvchi funksiyadir.
§2 da monoton funksiyaninig hosilsi haqidagi Lebeg, Riss, Fubini teorimalari
isbot qilinadi.
§3 da esa o`zgarishi chegaralangan funksiyalarning strukturasi(tuzilishi)
haqidagi teorimalar isbot qilinadi.

§4 da esa o`zgarishi chegaralangan funksiyalarning asosiy xossalari o`rgniladi.
I bob Monoton fuksiyalar
Ta`rif 1| [a, b] segmentda aniqlangan f (x) funksiya berilgan bo`lsin. Agarda
har qanday x
1 ,
x
2 , € [a, b] uchun bo`lganda
tensizlik o`rinli bo`lsa, f (x) funksiya monoton kamayadigan kamayadigan funksiya
deyiladi.
Monoton o`smaydigan funksiyaning ta`rifi ham shu singari beriladi. Barcha
haqiqiy sonlar to`plamida berilgan har qanday funksiya uchun
va
limitlar mavjud bo`lsa, bu limitlar mos ravishda f(x) funksiya x
0 nuqtadagi o`ng
va chap limitlar deyiladi hamda, mos ravishda va orqali
belgilanadi. Agar bo`lsa, f(x) funksiya x
0 nuqtada uzluksiz
deyiladi. Mabodo, va lar ham mavjud bo`lib, bir-biriga teng
bo`lmasa, u holda f(x) f(x) funksiya x
0 nuqtada birinchi tur uzulishga ega deyiladi
va ayirmaning qiymati f(x) funksiyaning shu x
0 nuqtadagi
sakrashi deyiladi. Monoton kamaymaydigan funksiyaning ba`zi bir xossalarini
quyida keltiramiz.
Teorema 1.1 [a, b] segmentda monoton kamaymaydigan har qanday f(x)
funksiya shu segmentda o`lchovli chegaralangan hamda jamlanuvchi funksiyadir.
Isbot: Haqiqatan, f(x) funksiyaning [a, b] segmentda monotonligidan har
qanday x € [a, b] uchun
Tengsizlik o`rinli. Bundan f(x) funksiyaning [a, b] segmentda
chegaralanganligi kelib chiqadi. Endi uning o`lchovli ekanini ko`rsatamiz. Shu
maqsadda ixtiyoriy haqiqiy son uchun ushbu

Tenglamani qaraymiz. f(x) funksiyaning monotonligidan
tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar mavjud bo`lsa, to`plam yoki
segmentni yarim segment ko`rinishidagi to`plam ekani kelib chiqadi. Bu esa
to`plamning o`lchovli ekanligini ko`rsatadi. Bunda f(x) funksiyaning o`lchovli
ekanligi kelib chiqadi.
Teorema 1.2 Monoton fuksiyaning uzilishi nuqtalari faqat 1-turdagi
bo`lishi mumkin.
Isbot: Haqiqatan, x
0 € [a, b] ixtiyoriy nuqta bo`lib
ketma-ketlik nuqtaga chapdan yaqinlashsin, ya`ni
45.1 teoremaga asosan ketma-ketlik quyidan va yuqoridan
mos ravishda va sonlar bilan chegaralangandir. Matematik analizdagi
monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremaga asosan bunday ketma-ketlik
limitga ega. f(x) funksiyaning monotonligiga asosan bu limit nuqta yagonadir. Shu
bilan birga ning mavjudligi isbotlandi. ning mavjudligi shunga
o`xshash isbotlanadi.
Teorema 1.3 Monoton fuksiyaning uzilish nuqtalari to`plami ko`pi bilan
sanoqlidir.
Isbot: Haqiqatan, [a, b] segmentda monoton bo`lgan f(x) funksiyaning
chekli sondagi sakrashlarining yig`indisi ayirmadan katta bo`la
olmaydi. Bundan quyidagi muhim natija kelib chiqadi: han bir n natural son uchun
qiymati dan katta bo`lgan sakrashlar soni cheklidir . Bulardan,
n bo`yicha qoshib chiqib, sakrash natijalardan iborat to`plam chekli yoki sanoqli
degan xulosani olamiz.
2 ta`rif : – agar [a, b] segmentda aniqlangan f ( x ) monoton funksiya uchun
nuqtada ning nuqtada tenglik
bajarilsa, nuqtada chapdan uzluksiz, agarda tenglik
bajarilsa, nuqtada o`ngdan uzluksiz funksiya deyiladi.
Kelajakda ishlatiladigan monoton funksiyalarga misollar keltiramiz.

1. Aytaylik, segmentdan olingan soni chekli yoki sanoqli
nuqtalarga musbat sonlar mos qo`yilgan
bo`lib bo`lsin. segmentda
(1.1)
Tenglik bilan aniqlangan funksiya sakrash unksiyasi deyiladi. Bu
funksiya nuqtada chapdan uzluksiz monoton funksiyadir. Haqiqatan, n
natural sonni shunday katta tanlashimiz mumkinki, bo`lganda
tengsizlik ham o`rinli bo`ladi. Bundan funksiyaning ta`riflanishiga asosan:

Tenglik kelib chiqadi. Bundan da ni olamiz. Agar
(1) tenglik bilan aniqlangan funksiya o`rniga ushbu
(1.2)
Tenglik bilan aniqlangan funksiyani olsak, bu funksiya uzilish
nuqtalari lardan va bu nuqtalarga mos kelgan sakrashlari
sonlardan iborat bo`lgan o`ngdan uzluksiz monoton funksiya
bo`ladi.
Haqiqatan, agar nuqta nuqlarning birortasi masalan, bilan
mos tushsa, u holda
,
Tengliklardan funksiyaning ta`riflanishiga asosan
Tenglikka ega bo`lamiz. Agar x nuqta nuqtalarning birortasi bilan
ustma-ust tushmasa, u holda sonni shundaytanlash mumkinki,
tengsizlik bilan birga tengsizlik ham o`rinli bo`ladi. Bundan va
funksiyaning ta`riflanishidan

Tenglik kelib chiqib, funksiya uzluksiz bo`ladi. Endi
funksiyaning o`ngdan uzluksizligi
Tenglikdan kelib chiqadi.
2. segmentdagi Kontor mukammal to`plamini qaraymiz va
funksiyani quyidagicha aniqlaymiz:
Agar
Bo`lsa,
Ikkinchi qadamda tushirib qoldirilgan intervalda va
intervalda va umuman k -qadamda tushirib qoldiriladigan chapdan
birinchi intervalda , ikkinchi intervalda va hakozo. Oxirgi intervalda
kabi aniqlaymiz. Bu jarayonni cheksizgacha davom ettiramiz.
Natijada funksiya segmentdagi Kontor mukammal to`plamidan
boshqa barcha nuqtalarida aniqlangan bo`ladi (14-shakl).
Endi to`plamda funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: agar
bo`lsa,

Bundan tashqari, nuqtada deb olsak, funksiyani butun
oralig`ida aniqlagan bo`lamiz. Bu usul bilan aniqlangan funksiya
monoton kamaymaydigan uzluksiz funksiyadir. Haqiqatan, funksiyaning
monotonligi uning ta`riflanishidan ravshan. funksiyaning uzluksizligini
isbotlaymiz. Agar bu funksiya nuqtada uzulishga ega bo`lsa, u holda
Yoki

Segmentlardan birortasi funksiyaning qiymatlarini o`z ichiga
olmaydi. Lekin funksiyaning ta`riflanishiga, asosan, uning qiymatlari
intervaldagi barcha ikkilik ratsional sonlardan iborat bo`lib, unda zich joylashgan.
Bu qarama-qarshilik funksiyaning uzluksizligini isbotlaydi. funksiya
kontor funksiyasi deyiladi.
Teorema 1.4 Chapdan uzluksiz monoton funksiya va chapdan uzluksiz
bo`lgan sakrash funksiyasining yig`indisi sifatida yozish mumkin.
Isbot. Aytaylik, chapdan uzluksiz monoton funksiya bo`lsin. Bu
funksiyaning uzilish nuqtalarini orqali va bu nuqtalarga mos
kelgan funksiyaning sakrashlarini orqali belgilaymiz,
orqali quyidagi funksiyani brlgilaymiz:

tenglik bilan aniqlangan funksiya ekanligini
ko`rsatsak, teorema isbotlangan bo`ladi. Dastlab funksiyaning
kamaymaydigan funksiya ekanligini ko`rsatamiz. Buning uchun deb olib,

Ayirmani qarasak, u holda bu tenglikning o`ng tomonida funksiyaning
oraliqdagi to`la orttirmasi bilan, uning shu oraliqdagi sakrashlari
yig`indisining farqi turganligini ko`ramiz funksiya monoton bo`lganligi
uchun bu ayirmaning manfiy emasligi ravshan. Demak, kamaymaydigan
funksiya ekan. Endi ning uzluksizligini ko`rsatamiz. Buning uchun
nuqtani ixtiyoriy tanlab, quyidagi tengsizliklarni yozishimiz mumkin:
,
Bundan
Tenglikni olamiz. Bu yerda soni funksiyaning nuqtadagi
sakrashi. Bu tenglikdan, va funksiyalarrning chapdan uzluksizligidan,
hamda nuqtaning ixtiyoriyligidan funksiyaning uzluksizligi kelib
chiqadi.
2-§ Monoton funksiyaning hosilasi
Ma`lumki, funksiyaning hosilasi
Mavjud bo`lishi yoki bo`lmasligi mumkin. Lekin quyidagi to`rt ifodaning har biri
aniq bir ma`noga ega bo`lib yoki chekli qiymatga yoki ga yoki ga teng:
,

sonlar f ning x nuqtadagi hosila sonlari
deyiladi.
Agar bo`lsa, u holda funksiya o`ng (mos
ravishda chap) hosilaga ega deyiladi va bu hosilalar (mos ravishda )
bilan belgilanadi.
Tabiiyki, funksiyaning hosilasi mavjud bo`lishi uchun yuqoridagi to`rtta
hosila sonlarning bir-biriga teng bo`lishi zarur va kifoyadir.
Misollar: 1) funksiya nuqtada turli o`ng va chap
hosilalarga ega.
Haqiqatan
2)
Funksiya uchun nuqtada:
, , ,
Haqiqatan
,
Chunki funksiyaning eng kichik qiymati -1 ga teng.

Xuddi shuningdek,
;
3.
Bu yerda ,
nuqtada:
, , ,
Haqiqatan
,
Chunki funksiyaning eng kichik qiymati 0 ga teng.
Xuddi shuningdek,
;
Bu misollar, haqiqatan ham hosila sonlarning turli bo`lishi mumkinligini
ko`rsatadi.
Teorema 2.1 (Lebeq) segmentda aniqlangan ixtiyoriy monoton
funksiya bu segmentning deyarli har bir nuqtasida chekli hosilaga ega.
Isbot: Avval teoremani segmentda uzluksiz moton funksiyalar
uchun isbot etib, so`ngra shu segmentda uzluksiz moton funksiyalar uchun
o`rinliligini ko`rsatamiz.
Bundan teoremaning ixtiyoriy segment uchun isbotli
chiziqli almashtirish orqali kelib chiqadi.

Uzluksiz funksiyalarga oid quyidagi limmani isbot qilamiz: 46-1 lemma–
(F.Riss). segmentda aniqlangan uzluksiz funksiya berilgan bo`lsin. E
to`plam segmentning shunday ichki x nuqtalaridan iborat bo`lsinki, bu
nuqtalarning har biridan o`ngda
(2.1)
Munosabatni qanoatlantiradigan nuqta mavjud bo`lsin. U holda E ochiq
to`plam bo`lib, uzuvchi oaraliqlarning har birida tengsizlik
bajariladi.
Lemonning isboti. E ochiq to`plam, chunki va bo`lsin, u
holda ning uzluksizligiga muvofiq ning biron atrofidan olingan x ning
hamma qiymatlari uchun ham , tengsizliklar o`rinlicha qoladi.
Agar, masalan, kamayishi funksiya bo`lsa, u holda E bo`sh to`lam bo`ladi.
Endi oraliq E to`plamni tuzuvchi oraliqdan olingan ixtiyoriy x
nuqta uchun tengsizlikning o`rinliligi ko`rsatilsa, u holda x ni ga
intiltirib, (1) tengsizlikni hosil qilamiz.
Darhaqiqat, nuqta x va nuqtalar orasida bo`lib (ya`ni ),
tengsizlikni qanoatlantiradigan va ga eng yaqin nuqta bo`lsin.
U holda tenglikning o`rinliligini ko`rastamiz. Agar bunday bo`lmasa,
E ning ta`rifiga ko`ra shunday nuqta mavjudki, uning uchun
(3)
Tengsizlik o`rinli; ikkinchi tomondan,
(4)
So`ngra (2), (3) va (4) tengsizlik ziddiyat hosil qiladi. Demak va
yuqoridagi mulohazalaga ko`ra ya`ni lemma hisoblanadi.
46.3 izoh (1) shartlarni qanoatlantiruvchi
– x nuqtani, qisqalik uchun,
o`ngga ko`tarilish nuqtasi deyiladi.
Chapga ko`tarish nuqtasi ta`rifi ham shunga o`xshash beriladi: agar x nuqta
uchun

Shartlarni qanoatlantiruvchi nuqta topilsa, x chapga ko`tarilish nuqtani
deyiladi. Yuqoridagiga o`xshash, chapga ko`tarilish nuqtalari to`plami ochiqligi
hamda bu to`plamni tuzuvchi oraliqlarida munosabatlarning
o`rinliligi ko`rsatiladi.
Endi monoton funksiyani segmentda uzluksiz deb
teoremaning isbotiga o`tamiz. Masalan, kamaymaydigan bo`lsin.
Ushbu a) b)
Tengsizliklarning deyarli o`rinliligini faraz qilgan holda teoremani
isbotlaymiz.
Darhaqiqat, kamaymaydigan funksiya bo`lgani sababli
Funksiya ham kamaymaydigan funksiyadir hamda:
Va
Demak, va yuqoridagi mulohazaga ko`ra , ya`ni lemma
isbotlandi.
46.3 izoh (1) shartlarni qanoatlantiruvchi – x nuqtani, qisqalik uchun
o`ngga ko`tarilish nuqtasi deyiladi. Chapga ko`tarilish nuqtasi ta`rifi ham shunga
o`xshash beriladi: agar x nuqta uchun
,
Shartlarni qanoatlantiruvchi nuqta topilsa, x chapga ko`tarilish nuqtasi
deyiladi. Yuqoridagiga o`xshash, chapga ko`tarilish nuqtalari to`plami ochiqligi
hamda bu to`plamni tuzuvchi oraliqda
Munosabatlarning o`rinliligi ko`rsatiladi.

Endi monoton funksiyani segmentda uzluksiz deb, teoremaning
isbotiga o`tamiz. Masalan kamaymaydigan bo`lsin. Ushbu
a) ,
b)
tengsizliklarning deyarli o`rinliligini faraz qilgan holda teoremani
isbotlaymiz.
Darhaqiqat, kamaymaydigan funksiya bo`lgani sababli
Funksiya ham kamaymaydigan funksiyadir hamda
va
.
Endi, b) tengsizlikni funksiyaga tatbiq qilinsa, quyidagi
tengsizlikning deyarli bajarilishi kelib chuiqadi:
,
Ya`ni
.
, , va sonlarning ta`riflanishidan ushbu
va
Tengsizliklar bevosita kelib chiqadi.
Bulardan hamda a) va b) tengsizliklardan
Tengsizliklarning deyarli bajarilishi kelib chiqadi, bulardan esa chekli
hosilaning deyarli mavjudligi aniq ko`rinib turibdi.
Teoremani to`la isbotlash uchun a) va b) tengsizliklarni isbotlash qoldi.

a) va b) tengsizliklarni isbotlash qoldi.
a) tengsizlikni isbot etmoq uchun

va
To`plamlarni kiritamiz; ekani ravshan. Agar bo`lsa, u
holda shunday nuqta mavjudki, uning uchun
.
Bundan, agar deb olsak, u holda: . Demak,
to`plam funksiya uchun yuqoridagi lemmada aniqlangan oraliqlarda
joylashgan. Shu bilan birga, o`sha lemmaga asosan,

yoki
Tengsizliklar bajariladi. Bundan:
Bu tengsizliklardan ko`rinadiki, c yetarli katta bo`lganda
oraliqlarning uzunliklari yig`indisi istagancha kichik qilinishi mumkin. Demak,
to`plamning o`lchobi nolga teng, ya`ni a) munosabat deyarli o`rinli.
b) tengsizlik ham yuqoridagi mulohazalarni ketma-ket tadbiq qilish bilan
isbot etiladi. Bu tensizlikka teskari bo`lgan

Tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar to`plami ushbu
Tengsizliklarni qanoatlantiruvchi nuqtalar to`plami larning yig`indisiga
teng; bunda c va C sonlar, munosabatni qanoatlantirgan holda, barcha
ratsional qiymatlarni qabul qiladi, ya`ni
(2.5)
Bu yerda Q ratsional sonlar to`plami. Ammo – to`plam
sanoqli bo`lgani uchun (2.5) yig`indi hadlarining soni sanoqli. Demak, agar
lar har birining o`lchovi nol ekanligi ko`rsatilsa, to`plamning o`lchovi ham
nolligi kelib chiqadi.
Shunday qilib, teoremani isbotlash uchun to`plamning o`lchovi nol
ekanligini ko`rsatish kifoya.
bo`lsin. U holda bolganligi uchun x dan chapda yotuvchi
hamda
(2.6)
Tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqta mavjud. bo`lgani uchun
(2.6) tengsizlikdan
Tengsizlikni hosil qilamiz. Shunday qilib, x nuqta
funksiyaning chapga ko`tarilish nuqtasi. Bu funksiyaga Riss lemmasini va uning
tatbiq qilib, chapga ko`tarilish nuqtalaridan iborat bo`lgan ochiq to`plamning
tuzuvchi oraliqlari uchun

Tengsizlikni, bundan esa
(2.7)
Tengsizlikni, hosil qilamiz.
Yuqorida olingan x nuqta topilgan oraliqlarning birida yetadi. Bu
nuqtada
Bo`lgani uchun oraliqda
(2.8)
Tengsizliklarni qanoatlantiruvchi nuqtani toppish mumkin. Keyingi
yasashlarimizni oraliqlarningichida bajaramiz.
(2.8) tengsizliklar x nuqtaning funksiya uchun o`ngga ko`tarilish
nuqtasi ekanligini ko`rsatadi. Bu funksiyaning oraliqdagi barcha o`ngga
ko`tarilish nuqtalari to`plami ochiq bo`ladi. Bu to`plam ( j =1,2 )…
tuzuvchi oraliqlarning yig`indisiga teng, shu bilan birga bu oraliqlar chegarasida
Yoki
Buni j indeks bo`yicha yig`ib
Munosbatlarga, k bo`yich yig`ib esa

(9)
Munosabatlarga ega bo`lamiz.
Ko`rinadiki, oraliqlar sistemasi oraliqlar sistemasi kabi,
to`plamni qoplaydi, ammo oraliqlarning uzunliklari yig`indisi
lar uzunliklarining yig`indisidan kichik.
to`plamning har bir x nuqtasi uchun oraliqlarning ichida
yuqoridagi yasashlarni qaytarish mumkin. Natijada yangi uchinchi xil
sistemani va to`rtinchi xil sistemani hosil
qilamiz va bular uchun:
.
Bu ifodani k va j bo`yicha yig`ib va (a) dan foydalanib
Tengsizlikni yoza olamiz.
Bu ifoda ko`rsatadiki, to`rtinchi qadamda olingan oraliqlarning
( to`plamni qoplagan holda) uzunliklari yig`indisi ilgarigi qadamda olingan
oraliqlarning uzunliklari yig`indisidan kichik. Agar yuqoridagi yasashlarni davom
ettirsak, u holda p raqamdagi oraliqlar sistemasi ham – to`plamni qoplaydi.
Va bu sistemadagi oraliqlarning uzunliklari yig`indisi dan katta
bo`lmaydi va demak, p yetarli katta bo`lganda, uni ixtiyoriy sondan kichik qilinishi
mumkin. Bundan to`plamning o`lchovi nolga tengligi kelib chiqdi.
Shu bilan teorema uzluksiz monoton funksiyalar uchun isbot qilinadi. Endi
teoremani uzlukli monoton funksiyalar uchun isbotlaymiz.

Eslatamizki, ixtiyoriy monoton funksiya faqat birinchi turdagi uzilishlarga
ega bo`lishi mumkin. Shunig uchun har qanday nuqtada funksiyaning o`ng
va chap limitlari mavjud:
,
Darhaqiqat, biror tomondan bir uchta turli limit qiymatlarining mavjud
bo`lishi funksiyaning monotonligiga zid: oraliq uzunligi ya`ni
ayirma funksiyaning x nuqtadagi sakrashi bo`ladi.
funksiya monoton bo`lgani uchun turli uzilish oraliqlari kesishmaydi. (ko`pi bilan
umumiy uchga ega bo`lishi mumkin); agar har bir orliqdan bittadan ratsional sonni
tanlab olsak, bunday oraliqlarning soni ko`pi bilan sanoqli bo`lishini ko`ramiz.
Demak, monoton funksiyaning uzulish nuqtalari ko`pi bilan sanoqli ekan.
Uzluksiz monoton funksiyaning hosilasi mavjudligini tekshirish uchun Riss
limmasini umumlashtiramiz. funksiya uzluksiz bo`lmasa ham ko`pi bilan
birinchi turdagi uzulishga ega bo`lgan funksiya bo`lsin. Agar x nuqta uchun
tengsizlikni qanoatlantiradigan mavju bo`lsa, x
nuqta o`ngga ko`tarilish nuqtasi deyiladi. Yuqorida ko`tarilgan Riss lemmasidagi
mulohazalarni takrorlab, barcha o`ngga ko`tarilish nuqtalaridan iborat bo`lgan
to`plamning ochiqligini va bu to`plamni tuzuvchi oraliqlarda
tengsizlikning o`rinliligini hosil qilamiz. Bu esa teoremaning
isbotini o`zgarishsiz o`tkazish uchun kifoya. Shu bilan teorema to`la isbotlanadi.
Teorema 1.4 (Tubini) segmentda
(10)
Qator berilgan bo`lib, uning hadlari kamaymaydigan (o`sib bormaydigan)
funksiyalar bo`lsin. U holda bu qatorni deyarli bir nuqtada hadlab differensiallash
mumkin, ya`ni

Isbot. Teoremaning umumiyligini chegaralamasdan va hamma
funksiyalarni kamaymaydigan deb faraz qilish mumkin. va lar deyarli
har bir nuqtada mavjud, demak, da o`lchovi ga teng bo`lgan shunday
to`plam mavjudki, buning har bir nuqtasida ham , ham
lar mavjud. va ixtiyoriy uchun ushbu
munosabatni yozamiz.
Chap tomondagi ifodaning hadlari manfiy bo`lmagani sababli bundan
ixtiyoriy natural N uchun
Bundan da limitlarga o`tib,
Tengsizlikni va N ni ga intiltirib, larni manfiy emasligini hisobga
olinsa,
Tengsizlik kelib chiqadi.
Endi oxirgi (11) munosabatda deyarli har bir nuqtada tenglik o`rinliligini
ko`rsatamiz. (10) munosabat o`rinli bo`lgani uchun shunday k topiladiki, (10)
qatorning xususiy yig`indisi uchun:
Ushbu:
Ayirma kamaymaydigan funksiya ekanligidan barcha x uchun:

Qatorning segmentning har bir nuqtasida yaqinlashuvchiligi (hatto
tekis yaqinlashuvchiligi) kelib chiqadi. U holda (11) munosabatni isbotlaganimiz
kabi, ushbu
qatorning deyarli har bir nuqtada yaqinlashuvchanligi keltirib chiqaramiz.
Bu qatorning umumiy hadi deyarli har bir nuqtada nolga
intiladi, demak, deyarli har bir nuqtada . Ikkinchi tomondan, agar (11)
munosabatda < ishorasi turganda edi, hech qanday xususiy yig`indilar ga
intila olmas edi. Shunday qilib, (11) da deyarli har bir nuqtada tenglik bo`lishi
kerak. Bizga esa shuni isbotlash kerak edi.
Misol. Endi hosilasi deyarli har bir nuqtada nol bo`lgan hamda hech qanday
oraliqda o`zgarmas songa teng bo`lmagan monoton uzluksiz funksiyaga misol
keltiramiz. intervaldan birror t sonni tanlab, segmentni
ko`rinishdagi ta teng bo`laklarga bo`lib,
induksiya usuli yordami bilan segmentda aniqlangan, uzluksiz quyidagi
funksiyalar ketma-ketligini tuzamiz: da bo`lib ixtiyoriy n da
funksiya segmentda aniqlangan, uzluksiz hamda har bir
ko`rinishdagi bo`lakchada chiziqli bo`lsin. da
funksiyani quyidagicha aniqlaymiz: va nuqtalarda
;
oraliqlarning o`rtasida , ya`ni nuqtada:
Bu yerda t yuqorida tanlab olingan son – va
oraliqlarida esa ni chiiqli deb hisoblaymiz
Ravshanki, bunday aniqlangan funksiyalar o`suvchi funksiyalardir
va

Buning uchin ketma-ketlik biror kamaymaydigan funksiyaga
yaqinlashadi. Bu funksiyaning uzluksiz, jiddiy o`sib boruvchi va deyarli har
bir nuqtada hosilasi nolga teng ekanligini isbot qilamiz. Buning uchun
segmentdan biron x nuqtani olamiz va har biri bu nuqtani o`z ichiga olgan va bir-
birining ichiga joylashgan oraliqlar ketma-ketligini turamiz bu yerda
Agar biror
bo`lakchani olsak, u holda nuqta (xuddi shuningdek, nuqta) yoki biror
oraliqning o`rta nuqtasi bo`ladi
yoki nuqta bilan ustma-ust tushadi.
Masalan, agar nuqta nuqta bilan ustma-ust tushsa, u holda
nuqta oraliqning o`rta nuqtasi bo`lib, funksiyaning aniqlanishiga
asosan, ushbu
,
Tenglikka ega bo`lamiz.
Bulardan
Tenglikni olamiz.
Aksincha, agar nuqta biror oraliqning o`rta nuqtasi bo`lsa, u
holda nuqta bilan ustma-ust tushib, yana funksiyaning aniqlanishiga
asosan
Tengliklarga ega bo`lamiz. Bulardan
Tengliki olamiz.

Demak, umumiy holda ushbu
Tenglikni yozishimiz mumkin. Bundan va
Tengliklardan
Tenglikni, bundan esa
Tenglikni hosil qilamiz. bo`lgani uchun bo`lgandan
Munosabat va da
Munosabat kelib chiqadi. Demak, uzluksiz, jiddiy o`suvchi funksiya va
uning hosilasi (mavjud bo`lgan nuqtalarda) quyidagi

II-BOB
O`ZGARISHI CHEGARALANGAN FUNKSIYALAR VA MONOTON
FUNKSIYALAR ORASIDAGI BOG`LANISH
3-& O`ZGARISHI CHEGARALANGAN FUNKSIYALARNING STRUKTURASI.
Muhim va ko`pgina tadbiqlarga ega bo`lgan funksiyalar orasida o`zgarishi
chegaralangan funksiyalar sinfi katta ahamiyatga ega.
Ta`rif . segmentd aniqlangan funksiya berilgan bo`lsin. Agar
segmentni
…
nuqtalar bilan ixtiyoriy n qismga bo`lganimizda nuqtalarni tanlab
olishga bo`liq bo`lmagan ushbu
(3,1)
tengsizlikni qanoatlantiradigan o`zgarmas K son mavjud bo`lsa u holda
funksiya segmentda o`zgarishi chegaralangan deyiladi.
Har qanday o`zgarishi chegaralangan funksiya chegaralangan funksiyadir.
Haqiqatan, o`zgarishi chegaralangan bo`lgani sababli har qanday
uchu n

Bundan va

tengsizlikdan funksiyaning chegaralanganligi kelib chiqadi.
Odatda (3.1) chap tamonidagi yig`indining aniq yuqori chegarasini
segmentni qismlarga turlicha bo`lishlar to`plamiga nisbatan ( ) bilan
belgilanadi va bu sonni funksiyaning segmentdagi to`la o`zgarishi
deyiladi.
Misollar: 1) segmentda aniqlangan va monoton o`suvchi
funksiya chegaralangan o`zgarishga ega, chunki uning uchun (3.1) ko`rinishdagi
har qanday ga teng.

Shunga o`xshash, segmentda aniqlangan va monoton kamayuvchi
funksiya ham chegaralangan o`zgarishga ega.
2) Agar biror musbat va o`zgarmas A son hamda ixtiyoriy
nuqtalar uchun tenglik bajarilsa, funksiya
segmentda Lipishts shartini qanoatlantiruvchi deyiladi. segmentda
chegaralangan va Lipishts shartini qanoatlantiruvchi funksiyaning o`zgarishi
chegaralangan bo`ladi. Darhaqiqat, Lipishts shartiga muvofiq;

bundan: , ya`ni ning o`zgarishi chegaralangan. Endi o`zgarishi
chegaralangan funksiyalarning tuzilishi va xossalarini o`rganishga o`tamiz.
3 . 1-teorema . segmentda o`zgarishi chegaralangan ikki va
funksiyaning yig`indisi, ayirmasi va ko`paytmasi ham o`zgarishi
chegaralangan funksiyalar bo`ladi.
Isbot. Darhaqiqat, segmentni ixtiyoriy n qismga bo`lib

tengsizlikni yozishimiz mumkin; bu yerda . Bundan
,
ya`ni funksiyaning o`zgarishi chegaralanganligi bevosita kelib chiqadi.
Ayirma uchun ham teorema shunga o`xshash isbotlanadi.
Endi va funksiyalarning ko`paytmasini olamiz:
=
, bo`lsin va funksiyalar o`zgarishi
chegaralangan bo`lgani sababli chegaralangandir. Shuning uchun p va q sonli
chekli. Bu holda
.
Bundan
+p

(3.2) ya`ni funksiyaning o`zgarishi chegaralangan.
3.2-teorema. Agar bo`lsa, u holda

Isbot. Agar c nuqta bo`lish nuqtalaridan biriga teng, masalan bo`lsa u
holda
(3.3)
t englik o`rinli bo`ladi segmentni ixtiyoriy mayday qismlarga bo`lish
hisobiga bu tenglikning o`ng tamondagi yig`indisi + songa
istagancha yaqin qilish mumkin. Shuning uchun
+ (3.4)
munosabatlarni yozishimiz mumkin.
Ikkinchi tamondan, ixtiyoriy qismlarga bo`lingan segmentni olib,
qo`shimcha c bo`lish nuqtasini kiritilsa, (1) tengsizlikning chap tamoni ortishigina
mumkin. Shuning uchun c bo`lish nuqtasimi yoki bo`lish nuqtasini emasmi,
baribir, (3) ga muvofiq quyidagi tengsizlik o`rinli:
+
Bu tengliksiz chap tamonining yuqori chegarasi olinsa
+ (3.5)
tengsizlik kelib chiqadi.
(3.4) va (3.5) munosabatlarda (3.2) tenglik kelib chiqadi.
3- teorema. segmentda o`zgarishi chegaralangan har qanday
funksiya ikki monoton o`suvchi funksiyaning ayirmasi sifatida yoziladi.
Isbot. = , = -
Funksiyalarning kiritib, ularning har birining monoton o`suvchiligi ko`rsatisa,
teorema isbot etilgan bo`ladi.
3.2 teoremaga muvofiq, agar – bo`lsa
- =

y -monoton o`suvchi funksiya. funksiya ham monoton o`suvchi
Darhaqiqat bo`lsin. U holda
= - - + = -[ - ]
,
chunki; *
So`ngi teoremaning mohiyati shundaki, buning yordami bilan o`zgarishi
chegaralangan funksiyalarning ba`zi xossalarini monoton o`suvchi funksiyalarning
xossasidan keltirib chiqarish mumkin va aksincha. Masalan o`zgarishi
chegaralangan funksiya biror nuqtada o`ngdan uzluksiz bo`lsa, u holda
va funksiyalar ham shu nuqtada o`ngdan uzluksiz bo`ladi. Masalan, bu
jumlani F(x) funksiya uchun isbot bo`ladi.
funksiyaning x
0 nuqtada o`ngdan uzluksizligidan foydalanib, ixtiyoriy
berilgan uchun shunday sonni topamizki, agar va
bo`lsa
tengsizlikni yozishimiz mumkin.
Endi segmentni n ta qismga bo`lamizki, ular uchun
quyidagi tengsizlik o`rinli bo`lsin:
,
nuqtani olishda tengsizlikka rioya qilishimiz kerak. U holda (6) ga
muvofiq:

yoki (3.2)- teoremaga asosan

Bundan esa funksiyaning nuqtada o`ngdan uzluksizligi
bevosita kelib chiqadi.

4-& O`ZGARISHI CHEGARALANGAN FUNKSIYANING ASOSIY
XOSSALARI
4.1- natija . Agar o`zgarishi chegaralangan funksiya
segmentda uzluksiz bo`lsa, u holda va funksiyalar ham shu
segmentda uzluksiz bo`ladi.
4.2-natija. Biror funksiyaning segmentda o`zgarishi chegaralangan
bo`lishi uchun uning ikki monoton o`suvchi funksiyaning ayirmasi sifatida
yozish mumkinligi zarur va kifoyadir.
4.3-natija. (Lebeg). O`zgarishi chegaralangan har qanday funksiya
deyarli har bir nuqtada chekli hosilaga ega.
Bu natijalar 46.1, 47.3- teoremalardan bevosita kelib chiqadi.
Biz 3-& da chapdan va o`ngdan uzluksiz bo`lgan sakrash funksiyalarini
kiritgan edik. Endi bu paragrafda sakrash funksiyasini quyidagicha
umumlashtiramiz: faraz qilaylik, nuqtalar segmentdan
olingan soni chekli bo`lsin. Har bir , k=1,2 nuqtaga ikkita … va
sonlarni mos qo`yamiz va ular uchun ushbu

munosabatning bajarilishini talab etamiz: undan tashqari, bo`lganda
va bo`lganda esa bo`lsin. Quyidagi tenglik bilan
aniqlanadi,
funksiya sakrash funksiyasi deyiladi. Bu funksiya uchun
ekanini bevosita tekshirib ko`rish mumkin. funksiyaning uzilish
nuqtalari nuqtalardan iborat bo`lib, har bir k natural son uchun
va sonlardan birortasi noldan farqli bo`lsa, uning
nuqtadagi sakrashi quyidagiga teng:

4.1- teoremaga o`xshash teorema bu yerda ham o`rinlidir.

4.2-teorema. segmentda aniqlangan har qanday o`zgarishi
chegaralangan funksiya yagona usul bilan uzluksiz funksiya va.
sakrash funksiyalarining yig`indisi sifatida ifoda etiladi.
Bu teoremaning isboti 45.4- teoremaning isbotidan farq qilmaganligi
sababli, uning isbotiga to`xtalmaymiz.
Endi uzluksiz, lekin ozgarishi chegaralanmagan funksiyaga misol
keltiramiz.

bo`lsin. Bu funksiya x=0 nuqtaning atrofida soni cheksiz maksimum va
minimum nuqtalarga ega. Quyidagi jadvalni tuzamiz:

Bundan ko`rinadiki:

ya`ni funksiyaning [0, 1] segmentdagi o`zgarishi
4.3-teorema. Agar segmentda aniqlangan va o`zgarishi
chegaralanmagan funksiya biror ( ) nuqtada uzluksiz
bo`lsa u holda bu nuqtada funksiya ham uzluksiz bo`ladi.
Isbot. bo`lsin; funksiyaning nuqtada o`ngdan
uzluksizligini ko`rsatamiz. Buning uchun [ , b] segmentni shunday

n ta qismga bo`lamizki, ixtiyoriy son uchun quyidagi munosabat o`rinli
bo`lsin:

Chap tamondagi yig`indi bo`lish nuqtalari ko`payganda o`sishigina mumkin;
shuning uchun nuqtani quyidagi tengsizlik o`rinli bo`ladigan qilib tanlab
olamiz:

U holda (7) dan:

Bundan:
ya`ni

ixtiyoriy bo`lgani uchun: , tenglik ham
huddi shunga o`xshash isbot etiladi, ya`ni funksiya (agar bo`lsa)
nuqtada chapdan uzluksiz. Xususiy ( ) holda ni
nuqtada chapdangina ( nuqtada o`ngdangina) uzluksizligini ko`rsatish
kifoya.
4.4-teorema . segmentda aniqlangan o`suvchi funksiaylardan
iborat cheksiz to`plam berilgan bo`lib, bu funksiyalar to`plami biror
o`zgarmas M son bilan chegaralangan, ya`ni
4.1
bo`lsa, u holda ixtiyoriy sanoqli to`plam uchun to`plamdan
shunday funksiyalar ketma-ketlikni ajratib olish mumkinki, bu
ketma-ketlik to`plamning har bir nuqtasida yaqinlashuvchi bo`ladi.
Isbot. to`plam sanoqli bo`lganligi uchun uning elimentlarini
ketma-ketlik shaklda yozib

to`plamni tuzamiz, bu yerda ning o`zi to`plamda o`zgaradi.
shartga ko`ra to`plam chegaralangan bo`ladi. Demak, Bolsano-Veyershtrass
teoremasiga muvofiq bu to`plamdan yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ajratib olish
mumkin:

Endi quyidagi chegaralangan ketma-ketlikni tuzamiz.

Bu ketma-ketlikka ham Bolsano-Veyershtrass teoremasini tadbiq qilib,
nuqtada yaqinlashuvchi

Ketma-ketlikni hosil qilamiz. Bu jarayonni cheksiz davom ettirib, quyidagi
yaqinlashuvchi soni sanoqli ketma-ketliklarni tuzishimiz mumkin.

(4.2)
..…………………………………

Bu ketma-ketliklarning har biri oldingisidan qism ketma-ketligidir. (4.1) ketma-
ketliklarning diognalida joylashgan elimentlaridan
(4.3)
k etma-ketlik tuzilsa, bu ketma-ketlik sanoqli to`plamning har bir nuqtasida
yaqinlashuvchi bo`lib, biz izlagan ketma-ketlik bo`ladi. (10) ketma-ketlik
to`plamning har bir nuqtasida yaqinlashadi, chunki, agar bo`lsa, u holda
ketma-ketlikning tuzilishiga ko`ra da ga yaqinlashadi.
4.5-teorema . segmentda aniqlangan o`suvchi funksiyalardan iborat
cheksiz to`plam berilgan bo`lib, bu funksiyalar to`plami biror o`zgarmas M
son bilan chegaralangan, ya`ni

bo`lsa, u holda to`plamdan [a, b] segmentning har bir nuqtasida biror o`suvchi
funksiyaga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ajratib olish mumkin.
Isbot. 4.4-teoremadagi sanoqli to`plam sifatida [a, b] segmentdagi hamma
ratsional nuqtalardan va a nuqtadan ( agar a irratsional bo`lsa) iborat to`plamni
olib, berilgan to`plamga shu teoremani tatbiq qilamiz. U holda to`plamdan
to`plamning har bir nuqtasida chekli limitga ega bo`lgan ketma
ketlikni ajratib alishimiz mumkin, ya`ni
–

(11)
Endi to`plamninghar bir nuqtasida qiymati (4.4) limitning qiymati o`ng
tamonga teng funksiyani ko`ramiz, ya`ni .
funksiya to`plamda aniqlangan bo`lib o`suvchi funksiya bo`ladi, chunki
sistemadan ajratib olingan funksiyalar ketma-ketligining har bir elimenti
o`suvchi funksiya (teoremaning shartiga ko`ra) bo`lgani uchun da

Demak, agar va nuqtalar to`plamga tegishli bo`lib, bo`lsa, u
holda

Endi funksyani (a, b] yarim oraliqning hamma irratsional nuqtalarida
quyidagicha aniqlaymiz:
,
Bu yerda va mod ravishda to`plamning ratsional va irratsional nuqtalari.
Ravshanki, funksiya tuzilishiga ko`ra [a, b] segmentda o`suvchi funksiyadir.
Demak, 45.3-teoremaga asosan funksiyaning uzilish nuqtalaridan iborat
to`plam ko`pi bilan sanoqli bo`ladi.
Agar nuqta ning uzluksizlik nuqtasi bo`lsa, u holda
(4.4)
Darhaqiqat, ixtiyoriy uchun to`plamdan shunday va nuqtalar
mavjudki, ular uchun va
m unosabatlar o`rinli.
45-BETGA JOY

(11) ga muvofiq, va nuqtalar uchun shunday natural son son mavjudki,
bo`lganda

Tengsizlik o`rinli bo`ladi, ya`ni
- -
ning tuzilishiga muvofiq, bu munosabatlarga asoslanib, bo`lganda
quyidagi tengsizliklarni yozishga haqlimiz:

bulardan va uchun

tengsizlikning o`rinli ekanligidan da

tengsizliklar o`rinli bo`ladi va bundan ( ixtiyoriy bo`lganligi uchun) (12)
munosabat kelib chiqadi. 45.3 teoremaga asosan funksiyaning uzilish
nuqtalari to`plami ko`pi bilan sanoqli bo`lganligi uchun
(13)
tenglik [a, b] segmentning ko ` pi bilan sanoqli qismidagina bajarilmasligi
mumkin. Shuni nazarda tutib , 4.4 teoremani – ketma-ketlikka
tadbiq qilamiz ; to`plam sifatida ning (13) munosabat bajarilmagan
nuqtalarini olamiz. Buning natijasida ketma-ketlikdan [a,b] segmentning har
bir nuqtasida yaqinlashuvchi qism ketma-ketlik ajratib olish
mumkin. Endi sifatida

funksiya olinsa, u o`suvchi bo`lib, biz izlagan funksiya bo`ladi.
4.5- teorema. ( Xelli ) [a,b] segmentda aniqlangan funksiyalardan iborat
cheksiz to`plam berilgan bo`lib, bu funksiyalar to`plami va ularning

[a,b] segmentda to`la o`zgarishi biror o`zgarmas son bilan chegaralangan,
ya`ni bo`lsa, u holda to`plamdan
[a,b] segmentning har bir nuqtasida biror o`zgarishi chegaralangan
funksiyaga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni ajratib olish mumkin.
Isbot to`plamning ixtiyoriy elementi uchun quyidagi munosabatlarni
yozishimiz mumkin:
.
sistemaga 4.5- teoremani tatbiq qilib, undan biror funksiyaga
yaqinlashuvchi funksiyalar ketma-ketligini ajratib olamiz, ya`ni

har bir funksiya funksiyani mos keltirib
funksiyalar ketma-ketligiga ham 4.5- teoremani tatbiq qilamiz. Natijada [a,b]
segmentda biror funksiyaga yaqinlashuvchi funksiyalar ketma-
ketligi hosil bo`ladi, ya`ni

natijada funksiyalar ketma-ketligi to`plamdan ajratib olingan
bo`lib, funksiyaga [a, b] segmentda yaqinlashadi.

XULOSA.
1. Monoton funksiyalarning asosiy xossalari o`rganildi.
2. Monoton xossasiga oid F. Riss, Lebeg, Fubani teoremalari isbotlandi.

3. O`zgarishi chegaralangan funksiyalarning asosiy xossalari haqidagi
teoremalar isbot qilindi.
4. O`zgarishi chegaralangan funksiyalar va monoton o`suvchi funksiyalar
orasidagi bog`lanishlar haqidagi teoremalar isbot qilindi.
5. Uzluksiz, lekin o`zgarishi chegaralanmagan funksiyalarga misollar
keltirildi.

Foydalanilgan adabiyotlar
1.T.A.Sarimsoqov-,,Funksional analiz kursi`` Toshkent.1980 y
2.I.V.Kontorovich, G.P.Akilov-,,Funksional analiz`` M 1977 y
3.A.N.Kolmogrov, S.V.Fomin-,,Elementi teorii funksiy I funksionalnogo analiz``
M.1968y
4.T.A.Sarimsoqov-,,Haqiqiy o`zgariluvchili funksiyala nazaryasi``Toshkent1968y
5.V.Q.Qobilov-,,Funksional analiz va hisoblash matematikasi`` T.1976y
6. Люстерник исоболев - Элементи функсионалнага анализаээ 1962 г
7Azralov,X,Mansurov-,,Matematik analiz`` T 1,2-tom
8.G.Fixtingols ,,Matematik analiz asoslari``M1977y
9.E.Eshdavlatov Ziyo NET uz. ,,Referat``2010y
10.SH.Xushvaqtov-,,Matematik analiz`` T.2008y
11.E.Eshdavlatov,A.Imomov,,Matematik analizdan o`quv uslubiy
majmua,Qarshi2011y

Купить