Информация о документе

Цена 19900UZS
Размер 120.6KB
Покупки 0
Дата загрузки 08 Декабрь 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

Bahrom

Дата регистрации 05 Декабрь 2024

383 Продаж

O’zgarmas koeffisientli chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalarni o’zgarmaslarni vareantsiyalash usulida yechish.

Купить
O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI TERMIZ DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA- MATEMATIKA FAKULTETI“MATEMATIKA” KAFEDRASI «Oddiy differensial tenglamalar» fanidan KURS ISHI Mavzu : O’zgarmas koeffisientli chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalarni o’zgarmaslarni vareantsiyalash usulida yechish. Bajardi : fizika- matematika fakulteti, _Mat-119_205_-guruh talabasi Jaminov Ramazon. Tekshirdi : “____” _______20 ____y Komissiya a’zolari: (imzo) (fish) (imzo) (fish) (imzo) (fish) Ball________ Termiz 202 5Kurs ishi himoya qilingan sana : Mavzu:O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan diffrensial tenglamalar . Eyler tenglamasi. REJA: I Kirish. II Asosiy qism. 1- bob. n-tartibli o’zgarmas koeffitsientli diffrensial tenglamalar. 1.1.n-tartibli chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffitsientli tenglamalar. 1.2.n-tartibli chiziqli bir jinsli bo’lmagan o’zgarmas koeffitsientli tenglamalar. 2- bob. O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan tenglamalar.Eyler tenglamasi. 2.1. O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan tenglamar. 2.2. Eyler tenglamasi. III Xulasa. IV Foydalanilgan adabiyotlar. Kirish Mavzuning dolzarbligi. O zbekiston Respublikasi mustaqil huquqiy demokratikʻ davlat, erkin fuqarolik jamiyat qurish yo lida ulkan ishlar olib borilib, inson ʻ mohiyatining yangidan ochishga, uni o zligini anglashga, imkoniyatlarni ro yobga ʻ ʻ chiqarishga va ma’naviy intellektual, aqliy – amaliy rivojlanishga yangi shart- sharoitlar yaratib berishdi . Ta’limning fan va ishlab chiqarish bilan integrasiyasi mexanizmlarini rivojlantirish, uni amaliyotga joriy etish, o qishni, mustaqil bilim ʻ olishni individuallashtirish hamda masofaviy ta’lim tizimi texnologiyasini, uning vositalarini ishlab chiqish, o zlashtirish, yangi pedagogik va axborot ʻ texnologiyalari asosida o quvchi va talabalarni o qitishni jadallashtirish ana ʻ ʻ shunday dolzarb vazifalar sirasiga kiradi. Ushbu vazifalarni bajarish mavjud pedagogik jarayonlarni takomillashtirishni, uni hozirgi zamon o quvchi va ʻ talablariga mos rivojlantirishni, xususan oliy pedagogik ta’lim paradigmasini zamonaviy pedagogik va axborot texnologiyalarini o zlashtirishga, pedagogika ʻ oliy ta’lim muassasalarida kasbiy tayyorgarligi yuqori bo lgan pedagog kadrlarni ʻ tayyorlashga yo naltirishni taqozo etadi. Ta’limni isloh qilish, yangi mazmundagi ʻ va zamon talabiga javob beradigan o quv adabiyotlar, qo llanmalarni yaratish va ʻ ʻ ilg or pedagogik texnologiyalarni joriy etishni taqozo etadi. Ta’lim tizimidagi ʻ kamchiliklar, shu jumladan, matematika fanida ham o qitish uslubiyotini chetlab ʻ o tmaydi. Har bitta fanga alohida e’tibor berish, har bir mavzuni o`qitishda ʻ ma’suliyatli bo`lish o`qituvchining eng oliy maqsadi hisoblanadi. Bizga ma’lumki matematika fani juda qiziqarli va shu bilan birga murakkab fan bo`lib ham hisoblanadi. Ma’lumki Differensial tenglamada nima uchun kerak, nima maqsadlarda foydalaniladi, uning yechimlari qanday topiladi, kabi masalalar qaraladi. Ushbu fikrlar tanlangan mavzuning qanchalik darajada dolzarb ekanligini ko rsatadi. ʻ Kurs ishining obyekti. Oliy ta’lim muassasalarida differensial tenglamani o qitish jarayoni. ʻ Kurs ishining predmeti . O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan diffrensial tenglamalar. Eyler tenglamasini yechish ga doir nazariy va amaliy bilimlarni o rgatish usullari va vositalari.ʻ Kurs ishining maqsadi. O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan diffrensial tenglamalar. Eyler tenglamasini yechish mavzusi yuzasidan masalalar yechish metodikasini ishlab chiqish. Kurs ishining vazifalari. Oliy ta’lim muassasalarida uchun DTS, taqvim rejasi, mavzuga oid mavjud adabiyotlar, internet ma’lumotlarini to plash va tahlil qilish; ʻ “ O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan diffrensial tenglamalar. Eyler tenglamasini yechish ” mavzusida masalalar ishlashning muammolarini, fanda tutgan o rni va ahamiyatini o rganib chiqish; ʻ ʻ Oliy ta’lim muassasalarida O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan diffrensial tenglamalar. Eyler tenglamasini yechish mavzusining asosiy tushunchalarini tahlil qilish, innovatsion texnologiyalardan foydalangan holda mavzuni o qitish ʻ metodikasini ishlab chiqish. Kurs ishining tuzilishi. Kurs ishi kirish, 2 ta bob, 4 ta paragrapf, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro yxati hamda ilovadan iborat. ʻ 1- bob. n-tartibli chiziqli o’zgarmas koeffitsientli diffrensiyal tenglamalar. 1.1.n-tartibli chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffitsientli tenglamalar . Ta’rif . a 0 y (n) +a 1 y (n-1) +..+ a n-1 y ’ +a n y=f(x) (4.2) ko’rinishdagi tenglama n-tartibli chiziqli , o’zgarmas koeffitsientli differensial tenglama deyiladi, bunda a 0 , . a 1 ,..,a n-1 ,a n – o’zgarmas miqdorlar, a 0¿ 0. Agar f(x) ¿ 0 bo’lsa, bir jinsli bo’lmagan tenglama, f(x) ¿ 0 bo’lsa, bir jinsli tenglama deyiladi. 1-teorema y 1 va y 2 2- tartibli bir jinsli chiziqli y ” + a 1 y ’ +a 2 y=0 (4.3) tenglamaning xususiy yechimlari bo’lsa, u xolda y=y 1 +y 2 ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi. 2- teorema Agar y (4.3) tenglamaning yechimi bulsa , u xolda cy ham shu tenglamaning yechimi bo’ladi. Ta’rif Agar х∈ [a,b] da (4.3) tenglamaning 2 ta yechimining nisbati o’zgarmas miqdorga teng , ya’ni у1 у2 ≠сопst bo’lsa y 1 va y 2 y echimlar х∈ [ a , b ] da chiziqli erkli y echimlar deyiladi, aks xolda chiziqli bog’lik y echimlar deyiladi . Ta’rif W(y 1 , y 2 )=|у1у2¿|¿ ¿ ¿¿ = y 1 y' 2 - y' 1 y 2 - ko’rinishdagi determinant Vronskiy determinanti deyiladi. 3- teorema Agar y 1 va y 2 yechimlar х∈ [a,b] da chiziqli bog’liq bo’lsa,u xolda bu kesmada Vronskiy determinanti nolga teng. 4- teorema Agar (4.3) tenglama yechimlaridan tuzilgan W(y 1 , y 2 ) - Vronskiy determinanti tenglama koeffitsientlari uzluksiz bo’lgan [a,b] kesmadagi biror x=x 0 qiymatida nolga teng bo’lmasa ,u xolda W(y 1 ,y 2 ) bu kesmada nolga aylanmaydi. Isbot y 1 va y 2 (4.3) tenglamaning yechimlari bo’lsin. U xolda y 1 ” + a 1 y 1 ’ +a 2 y 1 =0 , y 2 ” + a 1 y 2 ’ +a 2 y 2 =0 . Birinchi tenglikni y 2 ga, ikkinchi tenglikni y 1 ga kupaytirib, ayiramiz: (y 1 y 2 ’’ - y 2 y 1 ’’ )+ a 1 (y 1 y 2 ’ - y 2 y 1 ’ )=0 (4.4) W(y 1 , y 2 )= y 1 y 2 ’ - y 1 y ‘ 2 dan W x (y 1 , y 2 )= y 1 y 2 ’’ - y 1 ’’ y 2 xosil bo’ladi. Demak, (4.4) tenglama W x + a 1 W=0 ko’rinishni oladi. Bu tenglamaning W| x=x 0 =W 0 shartni qanoatlantiruvchi yechimini topamiz: dW dx =−a1W , dW W =−a1dx , ln W =−∫ x0 x a1dx +ln C , W =Ce −∫x0 xa1(x)dx (4.6). (4.6) formula Livuill formulasi deyiladi. W| x=x 0 =W 0 boshlang’ich shartdan C= W 0 ni topamiz. Demak, W =W 0e −∫x0 x a1(x)dx (4.7) W 0 ¿ 0, bu xolda (4.7) dan x ning xech bir qiymatida W ¿ 0 kelib chiqadi. 5- teorema. Agar (4.3) tenglamaning y 1 va y 2 yechimlari chiziqli erkli bo’lsa , bu yechimlardan tuzilgan W(y 1 ,y 2 ) - Vronskiy determinanti xech bir nuktada nolga aylanmaydi. (4.3) tenglamani integrallashga kirishamiz. Yuqoridagi 1-teoremaga ko’ra bu tenglama umumiy yechimi uning 2ta chiziqli erkli xususiy yechimlari yig’indisidan iborat. Xususiy yechimni y=ekx ,k-const ko’rinishda izlaymiz: y'= ke kx ,y''= k 2ekx . Xosilalarni (4.3) ga qo’yib ( k 2 +a 1 k+a 2 )e kx =0 yoki k 2 +a 1 k+a 2 =0 tenglamani xosil qilamiz. Bu tenglama (4.3) tenglamaning xarakteristik tenglamasi deyiladi. k1=−a1 2 +√ a12 4 − a2, k2=− a1 2 −√ a12 4 −a2 berilgan (4.8) xarakteristik tenglamaning ildizlari bo’lsin. 1. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k 1 va k 2 haqiqiy va xar xil sonlar bo’lsin. Bu xolda y 1 =e k 1 x va y 2 =e k 2 x funksiyalar xususiy yechimlar bo’ladi. y1 y2 = ek1x ek2x= e(k1−k2)x¿const bo’lgani uchun ular chiziqli bog’liq emas. Demak, umumiy yechim y =c 1 e k 1 x + c 2 e k 2 x . ko’rinishda bo’ladi. Misol. y ’’ +y ’ -2y = 0 tenglamaning umumiy yechimi topilsin. Yechish. Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasini yozamiz: k 2 + k-2=0 Uni yechib, k 1 =1 va k 2 =-2 topib, quyidagi umumiy yechimni hosil qilamiz: y =c 1 e x + c 2 e -2x . 2. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k 1 va k 2 haqiqiy va teng sonlar bo’lsin: k 1 =k 2 . Bu xolda k 1 =k 2 =− а1 2 . Bitta hususiy yechim ma’lum y 1 = e k 1 x = e −а12х Ikkinchi xususiy yechimni y 2 =u(x)e k 1 x shaklda izlaymiz: y 2 ’ =(u ’ (x) + k 1 u(x))e k 1 x , y 2 ’’ =(u ’’ (x) +2k 1 u ’ (x) + k 2 1 u(x))e k 1 x . Bularni (4.3) ga qo’yib va soddalashtirib (u ’’ (x) +(2k 1 +a 1 ) u’(x) + (k 2 1 +k 1 a 1 +a 2 ) u(x))e k 1 x =0 xosil qilamiz. k 1 = − а1 2 bo’lganda 2k 1 +a 1 =0 va k 1 - xarakteristik tenglama karrali ildizi bo’lganidan u ’’ (x) e k 1 x = 0 yoki u ’’ (x) = 0. Uni integrallab u(x)=Ax+ B ni xosil qilamiz. Xususiy xolda, A=1 va B=0 deb olish mumkin: u(x)=x. Demak, ikkinchi xususiy yechim y 2 =xe k 1 x ko’rinishda buladi. Demak, bu xolda umumiy yechim y =( c 1 + c 2 x)e k 1 x ko’rinishida bo’ladi. 3. Xarakteristik tenglamaning ildizlari k 1 va k 2 kompleks sonlar bo’lsin: k1= α+iβ , k2= α+iβ , α=− a1 2 ,β= √ a12 4 − a2 . Xususiy yechimlarni y 1 =e (α+iβ ) x va y 2 =e (α−iβ ) x shaklida yozish mumkin. Quyidagi natijadan foydalanamiz: agar xaqiqiy koeffitsentli bir jinsli chiziqli tenglamaning hususiy yechimi kompleks funksiyalardan iborat bo’lsa, u xolda uning haqiqiy va mavxum qismlari xam shu tenglamaning yechimi bo’ladi. Demak, xususiy yechim e (α+iβ ) x = e α x cos( β x)+ie α x sin( β x) bo’lgani uchun e α x cos( β x) , e α x sin( β x) lar (4.3) tenglamaning yechimlari buladi. Umumiy yechim esa y= e α x (c 1 cos( β x)+c 2 sin( β x)) ko’rinishda bo’ladi. Misol. y ’’ -4y ’ +7y = 0 tenglamaning umumiy yechimi topilsin. Yechish. Bu tenglamaning xarakteristik tenglamasini yozamiz: k 2 - 4k+7=0. Uni yechib, k 1 =2+i √3 va k 2 =2-i √3 topib , umumiy yechimni xosil kilamiz: y= e 2x (c 1 cos(√3 x)+c 2 sin( √3 x)). 1.2.n-tartibli chiziqli bir jinsli bo’lmagan o’zgarmas koeffitsientli tenglamalar . Chiziqli bir jinsli bo’lmagan tenglamalarning xususiy yechimlari q(x) funksiya ixtiyoriy uzluksiz bo’lganda o’zgarmasni variatsiyalash usuli bilan topiladi. Q(x) funksiya ba’zan maxsus ko’rinishga ega bo’lganda, xususiy yechimni izlash osonroq yo’l bilan olib borilishi mumkin. Biz ba’zan quyidagi xollarni ko’rib chiqamiz. 1) q(x)= A0xs+A1xs−1+… +As bo’lsin. Bu holda ushbu y ( n ) + a 1 y ( n − 1 ) + … a n y = A 0 x s + A 1 x s − 1 + … + A s (1) tenglamaning xususiy yechimini izlash lozim bo’ladi (bu yerda a i va A i lar o’zgarmas sonlar). Agar a n ≠ 0 bo’lsa tenglamani xususiy yechimi, y = B0xs+B1xs−1+… +Bs (2) ko’rinishda izlanadi (bu yerda Bi lar noma’lum o’zgarmas sonlar). (2) ni (1) ga qo’yib so’ngra x ning bir xil darajalari oldidagi koeffisentlarini tenglashtirib, Bi larni oppish uchun hamma vaqt yechimga ega bo’lgan { AnB0= A0 AnB1+san−1B0= A1 AnB2+(s−1)an−1B1+s(s−1)an−2B0= A2 … … … … … … … … … … … … … … … … .. anBs+… = As Tenglamalar sistemasini hosil qilamiz. Bulardagi ketma-ket B0,B1,… ,Bs lar topiladi. Endi an=0,an−1=an−2=… =an−a+1=0,an−a≠0 bo’lsin. U holda (1) tenglama a 0 y ( n ) + … + a n − a y ( a ) = A 0 x s + A 1 x s − 1 + … + A s (3) Ko’rinishga ega bo’ladi. Bu tenglamada y(a)= z deyilsa ,hosil bo’ladigan tenglama z= y(a)= B0xs+B1xs−1+… +Bs Ko’rinishdagi xususiy yechimga ega bo’ladi. Bundan (3) tenglamaning xususiy yechimini y = x a( D x s + … + D s ) , D i = const Ko’rinishda izlash lozimligi kelib chiqadi. Misollar. 1. y''+y= x2+x tenglamani integrallang. Yechish: Bu tenglamaning xususiy yechimini y= B0x2+B1x+B2 ko’rinishda izlash mumkin . B 0 , B 1 , B 2 lar uchun mos tenglamalarni yechib B 0 = 1 , B 1 = 1 , B 2 = 2 larni va xususiy yechimi y= x2+x− 2 dan iborat ekanini topamiz. Endi berilgan tenglamaning ummumiy yechimini yozish mumkin, u quyidagicha bo’ladi: y = C 1 cos x + C 2 sin x + x 2 + x − 2 . 2) y''+y'= x−2 tenglamaning xususiy yechimini toping. Yechish: Xususiy yechimni y= x(B0x+B1) ko’rinishda izlaymiz.Tegishli tenglamalardan B0 va B1 ni topamiz: B 0 = 1 2 , B 1 = − 3. Demak xususiy yechim y = x ( 1 2 x − 3 ) bo’ladi. Mos bir jinsli tenglamalarning umumiy yechimi: y = C 1 + C 2 e − x , chunki xarakteristik tenglamalarning ildizlari k1= 0,k2=−1. Ummumiy yechim quyidagicha bo’ladi: y = C 1 + C 2 e − x + x ( 1 2 x − 3 ) , b). g(x)= epx(A0xs+A1xs−1+… +As). Bu holda ushbu y ( n ) + a 1 y ( n − 1 ) + … a n y = e px ( A 0 x s + A 1 x s − 1 + … + A s ) . (4) Tenglamaning xususiy yechimini toppish bilan shug’ullanamiz. Buning uchun y= e px z almashtirish qilamiz. Xosil bo’ladigan (z ga nisbatan) tenglama (1) ko’rinishda bo’ladi. Shuning uchun agar p son xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmasa, (4) tenglamaning xususiy yechimi y= epx¿ ko’rinishda izlanadi. Agar p son mos harakteristik tenglamaning α karrali ildizi bo’lsa, u holda (4) tenglamaning xususiy yechimi y = x α e px ( B 0 x s + B 1 x s − 1 + … + B s ) ko’rinishda izlanadi. Yuqoridagilardan quyidagi qoyda kelib chiqadi: 3) agar p son mos xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lsa, (4) tenglamaning xusuisiy yechimi. y= epx¿ ko’rinishda izlanadi. 4) agar p son mos harakteristik tenglamaning α karrali ildizi bo’lsa, u holda (4) tenglamaning xususiy yechimi y = x α e px ¿ ) ko’rinishda izlanadi. Eslatma. Yuqoridagi mulohazalar p son kompleks bo’lganda ham o’z kuchini saqlaydi.Agar berilgan tenglamaning o’ng tomoni epx¿ ko’rinishga ega bo’lsa (bu yerda Ps(x),Qs(x) lar tartibi s dan katta bo’lmagan ko’phaddir). Bu funksiyani Eyler formulasi yordamida e ( p + qi ) x R s ( x ) + e ( p − qi ) x T s ( x ) ko’rinishga keltirish mumkin (bu yerda R s ( x ) va Ts(x) lar s-tartibli ko’pxadlar). Bu xolda xususiy yechim avvalgi mulohazalar yordamida izlanadi. Xususiy yechimni izlashning yagona qoyidasi quyidagichadir: a) agar p±iq xarakteristik tenglamaning ildizlari bo’lmasa, xususiy yechim y= epx¿ ko’rinishda izlanadi (bu yerda P s ( x ) va Qs(x) lar koeffisientlari noma’lum bo’lgan s-tartibli ko’phadlar). Shuni eslatib o’tish kerakki, P s ( x ) , yoki Q s ( x ) lardan birining tartibi s dan kichik bo’lsa ham, Ps(x) va Q s ( x ) ko’pxadlar s-tartibli qilib izlanadi. a) agar p±iq xarakteristik tenglamaning α karrali ildizi bo’lsa, xususiy yechim y = x α e px ¿ ko’rinishda izlanadi. 2- bob. O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan tenglamalar.Eyler tenglamasi. 2.1. Ozgarmas koeffitsientliga keltiriladigan tenglamalar. O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan chiziqli diffrensial tenglamalarning barcha sinflari ma’lum emas. Albatta , tenglamani o’zgarmas koeffitsientliga keltirish uchun shunday almashtirish bajarish kerakki, natijada chiziqlilik buzilmay qolsin. Bunday almashtirishlar, bilamizki , yo nomalum funksiyani y = u( x ) z deb yoki erkli o’zgaruvchini x= χ ( t) ¿ ) deb almashtirishdan iborat bo’lishi mumkin. Biz quyida tenglama o’zgarmas koeffitsientliga kelishi uchun zaruriy shart bilan tanishamiz. Bu shartni chiqarish uchun τ = ψ ( t) almashtirish bajaramiz. Soda hisoblashlar quyidagicha bo’lishini ko’rsatadi: dy dx = dy dτ ψ ' ( x ) , d2y dx2= d2y dτ2¿ … … … … … … … … … … … … dny dxn= dny dτn¿ Topilgan ifodalarni ushbu l(p)y= g(x),L(p)y= y(n)+a1(x)y(n−1)… ..an−1(x)y'+an(x)y Tenglamaga qo’ysak , ψ ' ( x ) ≠ 0 , x = ψ − 1 ( τ ) bo’lganda d n y d τ n + Q 1 ( x ) d n − 1 y d τ n − 1 + ¿ ….. Q n − 1 ( x ) dy dτ + a n ( x ) ¿ ¿ Tenglamaga ega bo’lamiz. Unda Q1(x),… ,Qn−1(x),an(x),g(x) Funksiayalarning argumenti x o’rniga , x = ψ − 1 ( τ) ifoda qo’yilishi kerak. Agar berilgan l(p)y= g(x), tenglama τ = ψ ( t) almashtirish bilan o’zgarmas koeffitsientliga kelishi mumkin bo’lsa , u holda quyidagi Q1(x)= const ,Q2(x)= const ,… .,Qn−1(x)= const , Q n ( x ) = a n ( x ) ¿ ¿ Munosabatlar o’rinli bo’ladi. Oxirgi munosabatdan τ=ψ(t)= A∫ n√an(x)dx (6.57) Formula kelib chiqadi. 6.5-teorema. Erkli o’zgaruvchi x ni ¿ ψ( t) , ψ ' ( x ) ≠ 0 almashtirish natijasida L(p)y=g(x) tenglama o’zgarmas koeffitsientliga kelishi uchun (6.57) formulaning o’rinli bo’lishi zarur. Haqiqqatdan , (6.57) formula o’rinli bo’lganda Qn(x)= A−n=const Bo’ladi. Ammo Q1(x),… . , Qn−1(x) funksiyalar o’zgarmas bo’lishi shart emas. Ba’zi chiziqli o’zgaruvchi koeffitsientli tenglamalar uchun bu (6.57) formula bilan almashtirish barcha Q1(x),… . , Qn−1(x),Qn(x) Koeffitsientlarning o’zgarmas bo’lishining ham zaruriy , ham yetarli sharti bo’ladi. Bunday tenglamalarga Eylerning bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan tenglamalari , Chebishev tenglamasi va boshqalar misol bo’la oladi. Avval quyidagi (1- x 2 ¿ d 2 y d x 2 − x dy dx + n 2 y = 0 Chebishev tenglamasini ko’raylik. Agar x≠±1 bo’lsa uni yana bunday d2y dx2− x 1− x2 dy dx + n2 1− x2y=0 Yozish mumkin . bunda a1(x) = − x 1 − x 2 , a 2 ( x ) = n 2 1 − x 2 . Endi (6.57) formulaga ko’ra τ = ψ ( t) = A ∫ n √ n 2 1 − x 2 dx = An ∫ dx √ 1 − x 2 = ¿ Anarcsinx + C . Soddalik uchun A=1 C=0 deylik . bu holda τ = ψ ( t) =narcsinx. Ikkinchi tartibli chiziqli bir jinsli tenglama d 2 y d x 2 + Q 1 ( x ) dy dτ + Q 2 ( x ) y = 0 Tenglam koeffitsientlari quyidagi Q 1 ( x ) = ψ ' ' ( x ) + a 1 ( x ) ψ ' ( x ) ψ ' ( x ) ¿ 2 ¿ , Q 2 ( x ) = a 2 ( x ) ψ ' ( x ) ¿ 2 ¿ (6.58) Formula bilam yoziladi. Buni bevosita hisoblab chiqish mumkin Ko’rilayotgan holda ψ'(x)= n √1− x2,ψ''(x)= nx (1− x2) 32Shuning uchun Q 1 ( x ) = nx ( 1 − x 2 ) 3 2 + ( − x 1 − x 2 ) n √ 1 − x 2 n 2 1 − x 2 = 0 Q 2 ( x ) = n 2 1 − x 2 ∙ 1 − x 2 n 2 = 1 Demak τ = narcsin x almashtirish natijasida Chebishev tenglamasi d 2 y d τ 2 + y = 0 Ko’rinishiga keladi . Bu tenglamaning fundamental sistemasi y1(τ)= cosτ ,y2(τ)= sinτ Bo’lib , τ = arcsinx bo’ladi. Amalda ko’proq A=-1, C=0 deb olinadi. Bunda ψ ( x ) = narccosx kelib chiqadi. Shuning uchun fundamental sistemani y1(x)=cosn arccosx ,y2(x)= sinn arccos x Deb yozish mumkin . Chebishev tenglamasining umumiy yechimi y ( x ) = C 1 cos n arccosx + C 2 sinn arccosx Kabi yoziladi. Ma’lumki , cosarccosx=x va cosn φ funksiya n butun bo’lganda cos φ Ning n-tartibli ko’phadi ko’rinishida yoziladi. Shuning uchun cosnarccosx funksiya n butum bo’lsa x ga nisbatan n-tartibli ko’phad bo’lad. Bu ko’phad chebishev ko’phadi deyiladi va Tn(x)= cosnarccosx Tarzda belgilanadi. Eyler tenglamasiga o’tishdan avval takidlab o’tamizki nomalum funksiyani y = u ( x ) z almashtirish natijasida o’zgarmas koeffitsientliga keladigan tenglamalar uchun (6.57) turdagi zaruriy shart mavjud emas . shuning uchun 6.5-teorema natija bermaganda faqat tanlash yo’li bilan turli almashtirishlar bajarib berilgan tenglamani tekshirib ko’riladi. Quyidagi x 2 d 2 y d x 2 + x dy dx +( x 2 − y 2 ) y = 0 , x > 0 Tenglama Bassel tenglamasi deb yuritiladi. Agar n= 1 2 bo’lsa y= z √x almashtirish bu tenglamani z ' ' + z = 0 Ko’rinishga olib keladi. Uning fundamental sistemasi z1= cosx ,.z2=¿sinx bo’lib , eski nomalum funksiyaga qaytganda y 1 = cosx √ x y 2 = sinx √ x bo’ladi. Demak n= 1 2 bo’lganda Bassel tenglamasi o’zgarmas koeffitsientliga keladi av umumiy yechimi y=C1cosx √x +C2sinx √x Ko’rinishida yoziladi 2.2 Eyler tenglamasi. Eyler tenglamasi koeffisientlari o’zaruvchan bo’lgan chiziqli differensial tenglama bo’lib, uni koeffisientlari o’zgarmas bo’lgan tenglamaga keltirish mumkin. Ushbu tenglama Eyler tenglamasi deyiladi: x ( n ) y ( n ) + p 1 x n − 1 y ( n − 1 ) + p 2 x n − 2 y ( n − 2 ) + … + p n − 1 x y ' + p n y = q ( x ) (1) bu yerda p1,p2,… ,pn−¿ o’zgarmas sonlar. Shunday qilib Eyler tenglamasining koeffisientlari darajali funksiyalardir, shu bilan birga koeffisientning darajasi y bilan birga turgan hosila tartibiga teng. Eyler tenglamasi erkli o’zgaruvchini x = e t , ya’ni t=ln x deylik (x ¿0 deb faraz qilinadi; x < 0 uchun t = ln | x| deb hisoblash kerak). T ni oraliq argument deb hisoblab va dx dt = 1 x ekanligini nazarda tutib, y ning x bo’yicha xosilasini topamiz: dy dx = dy dt ∙ 1 x . (2) Murakkab funksiya differensiyallash qoyidasiga ko’ra, x bo’yicha yana differensiyallasak, d 2 y dx 2 = d 2 y dt 2 ¿ (3) bu yerdan x 2 d 2 y dx 2 = d 2 y dt 2 − dy dt (4) Yana x bo’yicha differensiyallab, quyidagini hosil qilamiz: d 3 y dx 3 = d 3 y dt 3 ( 1 x ¿ ¿ ¿ 3 + d 2 y dt 2 ( − 2 x 3 ) − d 2 y dt 2 1 x 1 x 2 − dy dt − 1 x 3 ) va binobarin, x 3 d 3 y dx 3 = d 3 y dt 3 − 3 d 2 y dt 2 + 2 dy dt (5) (2), (4) va (5) tengliklar quyi hosilalar uchun x(n)y(n) ko’paytma y bilan t bo’yicha o’zgarmas koeffisientli hosilalari orqali ifodalanishni ko’rsatadi. To’liq matematika induksion metodidan foydalanib, bu son istalgan musbat n lar uchun o’rinli ekanligini isbot qilish mumkin, bu yerdan istalgan tartibli Eyler tenglamasini o’zgarmas koeffisientli tenglamaga keltirish mumkinligi kelib chiqadi. Yuqorida aytilganlar Eylerning x ( n ) y ( n ) + p 1 x n − 1 y ( n − 1 ) + p 2 x n − 2 y ( n − 2 ) + … + p n − 1 x y ' + p n y = 0 (6) bir jinsli tenglamasini erkli o’zgaruvchini almashtirmasdan, bevosita integrallashga imkon beradi. Xaqiqatan ham, koeffisientlari o’zgarmas bo’lgan o’zgartirilgan tenglamada karrali ildizlar yo’qligida xususiy yechim e rt ko’rinishga ya’ni Eylerni dastlabki tenglamasida y= xr ko’rinishga ega. Shuning uchun argumentni o’zgartirib o’zgarmasdan darhol Eyler tenglamasining xususiy yechimlarini y= xr ko’rinishda izlash mumkin: dk(xt) dx k = r(r−1)… (r− k+1)xr−k(k≤r) Bo’lgani uchun barcha k≤r larda: xkdk(xt) dx k =r(r−1)… (r−k+1)xr. Bu ifodalarni (6) tenglamaga qo’yib va xr ga qisqartirib, r ni toppish uchun n- darajali algebraic tenglamani hosil qilamiz: r ( r − 1 ) … ( r − n + 1 ) + p 1 r ( r − 1 ) … ( r − n + 2 ) + … + p n − 2 r ( r − 1 ) + p n − 1 r + p n =0 (7) (7) tenglamani Eyler tenglamasi uchun harakteristik tenglama deb atash tabiiydir. U o’zgartirilgan, koeffisientlari o’zgarmas bo’lgan tenglama uchun ham harakteristik tenglama bo’ladi. Agar (7) tenglama n ta turli r1,r2,… ,rn ildizlarga ega bo’lsa, n ta xususiy yechim topiladi. Eyler tenglamasining ummumiy yechimi y = C 1 x r 1 + C 2 x r 2 + … + C n x r n funksiya bilan α karrali r1 ildizga x r 1 , x r 1 ln x , x r 1 ¿ ko’rinishdagi α ta xususiy yechim mos keladi, kompleks qo’shimcha α ± bi ildizlar juftiga xαcos ¿¿ va xαsin ¿¿ yechimlar jufti mos keladi. XULOSA Xulosam shuki, bu kurs ishimni yozish mobaynida men juda ko’p ma’lumotlarga ega bo’ldim,bilgan bilimlarimni takrorlab mustahkamlab oldim.Bundan tashqari O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan diffrensial tenglamalar. Eyler tenglamasini yechishni afzallik tomonlarini bilib oldim. O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan diffrensial tenglamalar. Eyler tenglamasini yechishning tadbiqlari usullari formulalri to’g’risida chuqur bilim va ko’nikmalarga ega bo’ldim . Oliy ta’lim muassasalarida oddiy differensial tenglama kursini o’qitish jarayonida . O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan diffrensial tenglamalar. Eyler tenglamasini yechish mavzusini o’rganishda talabalar faolligini oshirish shakllantirishda dastlab nazariy tushunchalar ta’riflar ustida ishlash, umumlashtirish va konkretlashtirishga o’rgatish o'zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan diffrensial tenglamalar. Eyler tenglamasini yechish tadqiq etish hamda hamda ularning qo’llanilishiga doir misol masalalarni yecha olishga o’rgatish muhim o’rinni egallaydi. Talabalar faolligini oshirish uchun O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan diffrensial tenglamalar. Eyler tenglamasini yechish mavzusiga doir mashq va topshiriqlar bajarish bosqichlari asosida o’rgatish, ular yordamida tahlil qilish, tadqiqot o’tkazish ularning mantiqiy matematik faoliyat tadbiqlarini talabalarning amaliy faoliyatda zaruriyligi va qo’llash usullariga o’rgatishda talabalarning bilim saviyalarining oshishiga va fikrlashlarini oshishiga ijobiy ta’sir ko’rsatadi. O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan diffrensial tenglamalar. Eyler tenglamasini yechish mavzusiga oid konkret mashqlar va masalalar yechish jarayonida nazariy mantiqiy savollardan foydalanish na faqat talabalarning mantiqiy tafakkur ko’nikmalarini rivojlantirishga, balki nazariy qoida va formulalarning tadbiqlarining o’zlashtirilishini ta’minlaydi va ularni bosqichma-bosqich tafakkur usullari mohiyatini tushunishlariga hizmat qiladi. Talabalar faolligini oshirishda o’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan diffrensial tenglamalar. Eyler tenglamasini yechish mavzusining xossalari va ularning masalalar yechishga qo’llash usullari haqidagi bilimlar va ko’nikmalarni shakllantirishda yangi pedagogik texnologiyalarni qo’llash loyihalash usuli, axborot- kommunikativ vositalardan foydalanish, turli interfaol dars usullarini qo’llashi, bunda talabalarning turli imkoniyatlardan foydalana olishi, tayyorlovchi savol va topshiriqlardan o’rinli foydalana olishini talab etadi. Talabalarning dars jarayonida o’ zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan diffrensial tenglamalar. Eyler tenglamasini yechish mavzusini o’rganishda talabalarni ko’nikmalarini shakllantirishda turlicha savol va topshiriqlar, loyihalar differensial tenglama kursini o’qitishda talabalarda na faqat puxta bilimlar egallashlariga balki talabalar faolligini oshirish asosida ularning fikrlash ko’nikmalari, isbotlash usullari, Eyler tenglamasi to’g’risidagi bilimlarni mustahkamlashga, mantiqiy asoslash va tadqiq etishni talab etadigan tavsiyalardan foydalanishlari muhim ta’sir ko’rsatadi. Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati 1. Shavkat Mirziyoyev. Buyuk kelajagimizni mard va oliyjanob xalqimiz bilan birga quramiz. 2. Shavkat Mirziyoyev. Erkin va farovon hayot barpo etamiz. 3. Shavkat Mirziyoyev. Qonun ustuvorligi va inson manfaatlarini ta’minlash. 4. Salohiddinov M.S., Nasriddinov G ’.N. Oddiy differensial tenglamalar. T: 1994. 5. J o ’raev T. va boshqalar. Oliy matematika asoslari. 2-q. Т .: «O ’zbekiston». 1999. 6. Берман Г.Н., Сборник задач по курсу математического анализа. М.: Наука 1985. 7.Hikmatov A.G., Toshmetov O ’.Т., Karasheva К., Matematik analizdan mashq va Imasalalar to ’plami. Т.: 1987. 8. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: НИЦ “ Регулярная и хаотическая динамика” . 2000. 9. А.К.Боярчук, Г.Г1.Головач. Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Справочное пособие по высшей математике. Т. 5. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 10. Кузнецов JI . A . «Сборник заданий по высшей математике». М.: Высшая школа, 1994. 11. Jo ’ rayev T . Va boshqalar. Oliy matematika asoslari. 2-q. T.: “ O’zbekiston” 1999. 12. Hikmatov A.G., Toshmetov O’.T., Karasheva K., Matematik analizdan mashq va masalalar to’plami. T.: 1987. 13. www. ziyouz.com. 14. www.president.uz . Mundarija I Kirish ……………………………………………………..……………………. II Asosiy qism… …………………………………………………………………. 1- bob. n-tartibli o’zgarmas koeffitsientli diffrensial tenglamalar… ………… 1.1.n-tartibli chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffitsientli tenglamalar…………….. 1.2.n-tartibli chiziqli bir jinsli bo’lmagan o’zgarmas koeffitsientli tenglamalar… 2- bob. O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan tenglamalar.Eyler tenglamasi… …………………………………………………………………….. 2.1. O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan tenglamar………………………... 2.2. Eyler tenglamasi…………………………………………………………….. III Xulasa… …………………………………………………………………….. IV Foydalanilgan adabiyotlar… ……………………………………………….

O’zgarmas koeffisientli chiziqli bir jinsli bo’lmagan differensial tenglamalarni o’zgarmaslarni vareantsiyalash usulida yechish.

Mavzu:O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan diffrensial tenglamalar. Eyler tenglamasi.

                                      REJA:

I Kirish.

II Asosiy qism.

1- bob. n-tartibli o’zgarmas koeffitsientli diffrensial tenglamalar.

1.1.n-tartibli chiziqli bir jinsli o’zgarmas koeffitsientli tenglamalar.

1.2.n-tartibli chiziqli bir jinsli bo’lmagan o’zgarmas koeffitsientli tenglamalar.

2- bob. O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan tenglamalar.Eyler tenglamasi.

2.1. O’zgarmas koeffitsientliga keltiriladigan tenglamar.

2.2. Eyler tenglamasi.

III Xulasa.

IV Foydalanilgan adabiyotlar.

 

Купить