Odiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni taqribiy yechish

Информация о документе

Цена	2000UZS
Размер	1,000.2KB
Покупки	0
Дата загрузки	07 Ноябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Рефераты
Предмет	Алгебра

Odiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni taqribiy yechish

Купить

$Faraz qilaylik, quyidagi n- tartibli oddiy differensial tenglamayn= f(x,y,y',.....yn−1) (1) berilgan bo’lsin.Uning y= y(x) yechimimi [a,b] oraliqda toppish talab qilinsin.Bu oraliqda k ta xi(i=1,2,3 ,...,k) nuqtalar olamiz: a≤ x 1≤ x 2≤ x 3≤...≤ x k≤b Yechim y(x) va uning (n-1)-tartibgacha hosilalarini xt (i 1,2,...,k) nuqtalardagi qiymatlaridan qandaydir qoidaga binoan tuzilgan quyidagicha tenglamalar berilgan bo‘lsin: Y i(y(x1),y'(x1),...,yn−1(x1),...,y(xk),y'(xk),...,yn−1(xk))=0 (2) j=1,2,…,n, va quyidagicha masalani qo'yamiz: | a,b\ oraliqda (1) tenglamaning (2) shartlami qanoatlantiradigan yechimi topilsin. Bu k nuqtali masala deyiladi. Agar k = 1, xt = a bo‘lganda, Koshi masalasi kelib chiqadi. Agar k = 2, x{ = a, x2 = b bo‘lsa, bunday masala chegaraviy masala deyiladi. Va nihoyat qaralyatgan k ta nuqtalardan m tasi (2 <.m<k) turli bo‘lsa, u holda (1), (2) m nuqtali (yoki ko ‘p nuqtali) masala deyiladi. Chegaraviy yoki ko‘p nuqtali (1), (2) masalaning yechimi mavjudligi hamda yechimning yagonaligi isbotlangan, deb faraz qilamiz. Agar differensial tenglama va chegaraviy shartlar chiziqli bo‘Lsa, (1), (2) masala chiziqli chegaraviy (k = 2) yoki ko‘p nuqtali chiziqli (k > 2) masala deyiladi. Differensial tenglama hamda chegaraviy shartlaming kamida bittasi nochiziqli bo‘lsa, (1), (2) masala nochiziqli chegaraviy (k = 2) yoki ko‘p nuqtali nochiziqli (k >2) masala deyiladi. Chiziqli chegaraviy yoki ko‘p nuqtah masalada differensial teng- lama va chegaraviy shartlar biijinsli bo‘lsa, u holda (1), (2) birjinsli chegaraviy yoki ko‘p$

nuqtali masala deyiladi. (1) yoki (2) ning birontasi birjinsli bo‘lmasa, (1), (2)
masala birjinsli bo‘lmagan masala deyiladi.
Bir jinsli masala trivial (y(x)=0) yechimga ega. Lekin uning trivial bo‘lmagan
yechimlarini topish ham ko‘p hollarda katta ahamiyatga ega. Buning uchun (l)ga
yoki (2)ga biron parametr kiritib, shu parametrga bog‘liq bo‘lgan notrivial yechim
topiladi.
Parametrning bu qiymatlari masalaning xos sonlaridir. Ularga mos keladigan
yechimlar masalaning xos funksiyalari deyiladi.
2-§. Ikkinchi tartibli chiziqli chegaraviy masalani Koshi masalasiga keltirish
Faraz qilaylik, [ a,b] oraliqda
y"(x) + p(x)y'(x)+ q(x)y(x)= f(x) (1)
differensial tenglama berilgan bo‘lib, uningα 0y(a)+α 1y'(a)= A
, |α 0|+|α 1|≠0
β 0y(b)+β 1y'(b)=B
, |β 0|+|β 1|≠0 (2)
chegaraviy shartlami qanoatlantiradigan yechimini topish masalasini ko‘ramiz.
Yechimni
y(x) = cu(x)+z(x) (3)
ko‘rinishda qidiramiz, bu yerda c - konstanta, u(x) esa (1) ga mos keluvchi
u"(x) + p(x)u'(x) + q(x)u(x) = 0 (4)
bir jinsli tenglamaning noldan farqli yechimi, z(x)
z"(x) + p(x)z' (x)+ q(x)z(x)= f(x) (5)
0ixtiyoriy c da (1) ni qanoatlantirishiga ishonch hosil qilish qiyin emas. Ixtiyoriy c
uchun (2) ning birinchisi o‘rinli bo‘lishini talab etamiz, u holda
cα 0u(a)+α 0z(a)+cα 1u'(a)+α 1z'(a)= A
bo‘lib, undan
c[α 0u(a)+α 1u'(a)]+α 0z(a)+α 1z'(a)=A
(6)
hosil bo‘ladi. Bu tenglik ixtiyoriy c larda o‘rinli bo'lishi uchun quyidagi tengliklar
bajarilishi kerak:

α 0u(a)+α 1u'(a)=0,
α 0z(a)+α 1z'(a)= A (7)
Agar ixtiyoriy
c≠0 uchun
u(a)=α 1c,
u'(a)=−cα 0 (8) deb olsak, unda (7) ning birinchisi o‘rinli bo‘ladi,
uning ikkinchisining o‘rinli bo‘lishligini ta'minlash uchun
α 0≠0 bo‘lganda
z'(a)=0

z(a)= A
α 0 (9)
va
α 1≠0 bo‘lganda
z(a)=0

z'(a)= A
α 1 (10)
Shunday qilib, u(x) (4) biijinsli tenglamaning (8) shartlarni qanoatlantiradigan
Koshi masalasining yechimi bo‘lib, z(x) esa (9) yoki (10) shartlami
qanoatlantiradigan (5) tenglama uchun Koshi masalasining yechimidir.
Shu bilan birga y(x) = cu(x)+z(x) funksiya (2) chegaraviy shartni ixtiyoriy c uchun
x = a nuqtada qanoatlantiradi. Ikkinchi chegaraviy shartni y(x) = cu(x)+z(x)
funksiya qanoat- lantirsin desak, undan c ning qiymati kelib chiqadi, ya’n
bosilboiadi. Bu yerda
β 0u(b)+β 1u(b)≠0 shart bajariladi, deb faraz qilinadi.
Shunday qilib (1), (2) chegaraviy masala (4), (8) va (5), (9) (yoki
(10)) Koshi masalasini yechishga keltirildi.
Shuni ta'kidlash lozimki, agar
β 0u(b)+β 1u'(b)≠0 boisa, (1), (2) chegaraviy masala
yagona yechimga ega boiadi, aks holda bu masala yo umuman yechimga ega emas,
yoki cheksiz ko‘p yechimga ega bo’ladi.
3-§. Chekli-ayirmali metod bilan ikkinchi tartibli chegaraviy masalani
yechish
Faraz qilaylik,[ a,b] da quyidagi
L(y)≡ y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)= f(x)
(1)
α 0y(a)+α 1y'(a)= A
, |α 0|+|α 1|≠0 , (2)

β 0y(b)+β 1y'(b)=B, |β|0+|β|1≠¿¿ 0 (3)
chegaraviy masala berilgan boiib, u yagona yechimga ega bo’lsin.[ a,b] oraliqni
h = (b-a)/N qadam bilan teng N bo’lakka bo’lib,
{x i}
n
i=0
to’r hosil qilamiz:
a= x 0<x 1<x 2<...<x N=b
(4)
Endi (1) ni
x1,x2,...,xN−1 nuqtalarda, ya’ni {x i}
n
i=0 to‘rning ichki nuqtalarida, (2)
va (3) ni mos ravishda x0, xN nuqtalarda qaraymiz.
Bu yerda
y'(xi),y''(xi) lami y(x) funksiya qiymatlari orqali approksimatsiya
qilamiz. Buning uchun
xi nuqta atrofida y(x) to‘rtinchi tartibli hosilaga ega, deb
hisoblaymiz va quyidagi yoyilmalami hosil qilamiz:
Bulaming chap tomoni mos ravishda o ‘ng hosila, chap hosila va markaziy
hosila deb ataladi
ko‘rinishga ega bo‘lgan (5) ning to‘ming ichki nuqtalaridagi approksimatsiyasi
hosil bo‘ladi.
Shuningdek, (2), (3) chegaraviy shartlaming (8), (9) formulalami ishlatib
approksimatsiyasini topamiz:
Bu tenglamalar sistemasining matritsasi uch diagonalli. Bunday sistemalami
yechish uchun odatda haydash usuli qo‘llanadi. (16) ning yechimini quyidagi
Shunday qilib, (16) tenglamalar sistemasini haydash usuli bilan yechish algoritmini
hosil qildik:
Bu algoritm bo‘yicha y, lar chegaraning chap nuqtasidan boshlab ketma-ket
topiladi, shuning uchun (18) formulalar chapdan haydash formulalari deyiladi.
Xuddi shuningdek, o‘ngdan haydash formu- lalarini chiqarish mumkin
Agar a(. koeffitsiyentlar moduli bo‘yicha birdan kichik bo‘lsa, u holda (18)
haydovchi formulalar turg ‘un deyiladi

Ba’zi bir tatbiqiy masalalami yechishda to‘r usulini emas, balki yechimni, taqribiy
boTsada, analitik ko‘rinishda topish talab etiladi. Bunday hollarda yechimning
aniqligi darajasi yuqori bo‘lishligi talab qilinmaydi, ammo aniq yechim o'rniga
shunday funksiyani qurish talab etiladiki, u chegaraviy shartlami qanoatlantirishi
kerak hamda differensial tenglamaga bogTiq boTgan qandaydir munosabatlaming
bajarilishini talab etadi. Yuqoridagi talablarga javob bemvchi fiinksiya taqribiy
ravishda differensial tenglamani ham qanoatlantiradi. Bu munosabatlami hosil
qilishda qo‘yiladigan talablarga qarab turli metodlar hosil bo’ladi.
4.1. Kollokatsiya metodi
Faraz qilaylik, quyidagiL(y)≡ y''(x)+p(x)y'(x)+q(x)y(x)= f(x)
(1)
la(y)≡ α 0y(a)+α 1y'(a)= A
, |α 0|+|α 1|≠0 , (2)
chegaraviy masala berilgan bo’lsin.
Teorema. Agar (7) chegaraviy masala faqat nol yechimga ega bo‘lsa, u holda (6)
chiziqli algebraik tenglamalar sistemasining matritsasi maxsusmas bo‘lib, (6)
yagona yechimga ega.
Bu chiziqli algebraik tengiamalar sistemasini yechib noma’lum parametrlami
aniqlaymiz va (4), (5) chegaraviy masalaning taqribiy yechimini
k nuqtali masala, chegaraviy ma- sala, ayirmali metod, haydash usuh, turg‘unlik,
taqribiy analitik metodlar.
Yuqorida chiqarilgan birinchi, ikkinchi, uchinchi va to‘rtinchi tartibli metodlami
birinchi tartibh differensial tenglamalar sistemasi uchun Koshi masalasini taqribiy
yechishda qo‘llash mumkin. Masalan, quyidagi Koshi masalasi berilgan bo‘lsin
Shuning uchun ham ketma-ket yaqinlashish metodi boshqa metodlarni qo‘l-
layotganda yordamchi metod sifatida qo'llaniladi.
Bu metodning amaliy qiymati yuqori emas. Uning kam- chiligi, har bir keyingi
yaqinlashishni topishda integrallash amalini bajarish kerak bo‘ladi.
Misol 1.
y" - 2xy' -2 y = -4x ;
y(0)− y'(0)= 0
y(
1
2)=1,7840
Aniq yechim:
y(x)= x+ex2

Yechish. h = 0,1 bo‘lsin. Bu yerda p(x) = -2x, q(x) = 2, f(x) = -4x, α 0=1, , α 1=−1
,A=0,
β 1=0 ,B=1.7840
Tenglamani
xi i = 1,2,3,4 nuqtalarda, ya’ni to‘rning ichki nuqtalarida, chegaraviy
shartlaming esa chegaraviy nuqtalarda approksimatsiyasini yozamiz va quyidagi
y0=x1y1+μ 1

b 3=
B ¿−h2f 3
C 3− B 3a 4
=0.55369
b 2=
B 2b 3−h2f 2
C 2−B 2a 3
=0.40422
b 1=
B 1b 2−h2f 1
C 1−B 1a 2
=0.31600(l)ning birinchi ifodasidan va
y1=a1y0+b1 dan y 0=1.10199 ekanligi kelib
chiqadi. Endi
y1,y2,y3,y4 lami va (1) ning oxirgisi ifodasidan y5 ni aniqlaymiz.
Ulami keltiramiz:
y 1=1.18617 , y 2=1.27548 , y 3=1.33283 , , y 4=1.54196 y 5=1.7840
Misol 2 .
y''(x)+2xy'(x)−2y(x)=2
y'(0)=−2
y(1)+y'(1)=0
chegaraviy masalani n= 2 da kollokatsiya metodi bilan yeching.
Yechish
ϕ 0(x) ni ϕ 0(x)=b+cx ko‘rinishda izlaymiz:
ϕ '
0(x)=c, ϕ '
0(0)=−2⇒ c=−2.
ϕ '
0(1)+ϕ '
0(1)= 0⇒ b+c+c= 0⇒ b= 4
Demak,
ϕ 0(x)=4−2x. ϕ k(x)(k=1,2,3 ,...,) funksiyalar
ϕ '
k(0)=0
ϕ k(1)+ϕ '
k(1)=0
shartlarni qanoatlantirishi kerak.

ϕ k(x)=b k+xk+1 desak, bk koeffitsiyentni ikkinchi tenglamadan topamiz :
1+b k+(k+1)=0⇒ b k=−(k+2),
ϕ k(x)= xk+1−(k+2).

ADABIYOTLAR
1. Isroilov M.I. Hisoblash metodlari. 1-qism. — T.: «0‘qituvchi», 1988.
2. Isroilov M.I. Hisoblash 8metodlari. 2-qism. -T.: «0‘qituvchi», 2008 .
3.Ismatullayev G.P hisoblash usullari <<Tafakkur Bo’stoni>>,2014

Odiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni taqribiy yechish

Купить

Информация о документе

Продавец

Odiy differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalalarni taqribiy yechish

Похожие документы