Документ

Всего документов: 5844
Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена	30000UZS
Размер	90.4KB
Покупки	0
Дата загрузки	11 Июнь 2025
Расширение	docx
Категория	Алгебра

Oshkormas funksiyalar va ularning hosilalari

Kurs ishining dolzarbligi shundaki, zamonaviy ilm-fan, texnologiya va amaliy
sohalarda uchraydigan har qanday murakkab matematik yoki fizik model, sirt yoki
fazoviy obyekt, jarayon yoki modda, oshkormas funksiyalar va ularning hosilalari
yordamida chuqur va aniq tahlil qilinadi. Bu esa, nafaqat matematik analizda, balki
texnika, mexanika, iqtisodiyot, informatika, biologiya va boshqa ko‘plab sohalarda
mustahkam nazariy va amaliy tayanch yaratadi.
Kirish qismida kurs ishining mazmuni, asosiy maqsad va dolzarbligi, ilmiy va
amaliy muammolarning keng ko‘lamli tahlili, oshkormas funksiyalarning nazariy
asoslari, zamonaviy tahlildagi o‘rni va kelgusidagi amaliy ahamiyati yoritildi.
Ushbu asosda tayyorlangan ish matematik analizning muhim yo‘nalishlaridan
birini chuqur o‘zlashtirishga, talaba uchun zamonaviy bilim va amaliy
ko‘nikmalarni shakllantirishga xizmat qiladi.
Matematik analiz va differensial hisobda funksiyalar tushunchasi asosiy va
markaziy o‘rin tutadi. Odatda, ko‘plab matematik va amaliy muammolar
yechimida funksiyalar explicit (aniq, ochiq) shaklda, ya’ni y = f ( x )
ko‘rinishida
ifodalanadi. Bu holatda y o‘zgaruvchi x ga bog‘liq bo‘lib, har bir x uchun y
qiymatini aniq hisoblash mumkin. Lekin zamonaviy matematikada, fizika,
iqtisodiyot, muhandislik va texnika sohalarida yuzaga keladigan ko‘plab real
masalalar va jarayonlar explicit emas, balki oshkormas (implicit) funksiyalar orqali
ifodalanadi.
Oshkormas funksiya (implicit function) — bu, x
va
y o‘zgaruvchilar orasidagi
bog‘lanish to‘g‘ridan-to‘g‘ri y = f ( x )
yoki x = g ( y )
shaklida emas, balki
F(x,y)=0
ko‘rinishidagi umumiy tenglama orqali berilgan munosabatdir. Bunday tenglama
yechimi ko‘pincha
y ni faqat x orqali aniq ifodalash mumkin bo‘lmagan holatlarda
yuzaga keladi. Masalan, aylana tenglamasi
x2+y2=r2 , elips, giperbola va boshqa
egri chiziqlar, kimyoviy, fizik va iqtisodiy jarayonlarni ifodalovchi ko‘plab
tenglamalar aynan oshkormas shaklda uchraydi.
Oshkormas funksiyalar matematikada XIX asrning ikkinchi yarmidan
boshlab, ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar nazariyasi, differensial tenglamalar va

ishlarida, har qanday murakkab jarayon va qonuniyatlarni oshkormas tenglamalar
asosida to‘g‘ri talqin qilish, analiz va modellashtirish imkonini beradi.
Mazkur kurs ishining dolzarbligi shundaki, oshkormas funksiyalar va ularning
hosilalarini topish nazariyasi nafaqat matematik tadqiqotlar, balki iqtisodiyot,
texnika, dasturlash, biometrik modellashtirish va boshqa ko‘plab zamonaviy
sohalarda muhim amaliy ahamiyat kasb etadi. Kurs ishida ushbu mavzuning
nazariy asoslari, tipik misollari, hosila olish usullari va zamonaviy amaliyotdagi
ahamiyati tizimli va chuqur tahlil qilinadi.

II BOB. OSHKORMAS FUNKSIYALARNING HOSILASINI TOPISH
USULLARI
2.1. Oshkormas funksiya hosilasini topishning asosiy qoidasi
Oshkormas funksiyalarning hosilasini topish differensial hisobda eng muhim
va ko‘p qo‘llaniladigan masalalardan biridir. Agar funksiyalar y = f ( x )
explicit
shaklda bo‘lsa, hosila oddiy differensiallash qoidalari bilan hisoblanadi. Biroq, x
va y bog‘liqlik F ( x , y ) = 0
shaklida — oshkormas holda — berilgan bo‘lsa, hosila
olish uchun oshkormas differensiallash yoki implicit differentiation usuli
qo‘llaniladi.
Oshkormas differensiallash qoidasi
Oshkormas differensiallashning asosiy mohiyati shundaki,
F(x,y)=0
tenglamaning ikkala tomonini x
ga nisbatan differensiallaymiz. Bunda,
y — x
ga
bog‘liq funksiya sifatida qaraladi ( y = y ( x )
), shuning uchun
y ning har bir hosilasi
y'
yoki dy
dx ko‘rinishida yoziladi.
Umumiy formula: Agar
F(x,y)=0 bo‘lsa, x ga nisbatan differensiallanganda:
dF
dx = F
x ( x , y ) + F
y ( x , y ) ⋅ dy
dx = 0
Bu yerda F
x — F
ning x
bo‘yicha qisman hosilasi, F
y —
y bo‘yicha qisman
hosilasi. Natijada:
dy
dx = − F
x ( x , y )
F
y ( x , y )
Klassik va amaliy misollar
1-misol.
⁡Aylana ⁡tenglamasi: x2+y2=r2
d
dx ( x 2
+ y 2
) = d
dx ( r 2
) ⟹ 2 x + 2 y dy
dx = 0
2 y dy
dx = − 2 x ⟹ dy
dx = − x
y
Bu hosila aylana ustidagi har qanday nuqtada tangens chiziqning burchak
koeffitsientini ifodalaydi.
2-misol.
⁡Elips ⁡uchun: x 2
a 2 + y 2
b 2 = 1

x2
a2+ y2
b2=1(elips )x 2
a 2 − y 2
b 2 = 1 ( giperbola )
Bu tenglamalar ham implicit ko‘rinishda. Har bir
x uchun y ni x orqali ajratib olish
faqat ayrim oraliqlarda yoki bir nechta yechim bilan bo‘lishi mumkin. Ularning
grafigi fazoda yopiq yoki ochiq egri chiziqlardir (elips, giperbola).
3. Ko‘p darajali yoki transcendent tenglamalar
x3+y3−3axy =0
Bu tenglama klassik kardioida yoki limacon turidagi chiziqlarni tasvirlashda
ishlatiladi.
y ni x orqali ifodalash bu holda ancha murakkab va ko‘p hollarda faqat
sonli (numerik) usulda yechiladi.
4. Fizik va texnik misollar
Elektr muvozanat tenglamasi:
y 2
+ 2 xy + x 2
= k
Bunday tenglamalar elektr maydon, harorat taqsimoti, termodinamikada
uchraydi.
Kimyoviy reaksiyalarda:
k
1 x 2
+ k
2 y 2
= k
3 xy + k
4
Bu erda x
va y
har xil moddalarning konsentratsiyasi bo‘lishi mumkin.
5. Oshkormas tenglamaning grafigini qurish
Oshkormas tenglama grafiklarini qurish uchun odatda ikki usuldan
foydalaniladi:
• y
ni x
orqali ajratib, explicit ko‘rinishda qurish (agar mumkin bo‘lsa);
• sonli (numerik) nuqtalar to‘plami hosil qilib, chizish (bu usulda
x ning
har bir qiymatiga mos
y ni tenglamani yechib topish orqali grafik chiziladi).
Aylana grafigi, elips, giperbola — bularning barchasi implicit tenglamaning
klassik grafik misollaridir. Ko‘p hollarda bunday grafiklar simmetrik, yopiq, va
ba’zan,
x ning bir qiymati uchun bir nechta y qiymatini beradi (yoki aksincha).
6. Grafik xossalarining muhim jihatlari

zamonaviy matematik analiz rivojida fundamental ahamiyat kasb eta boshladi.
Oshkormas funksiyalar yordamida har qanday murakkab grafiklarni tahlil qilish,
geometrik va fizik jarayonlarni chuqur modellashtirish imkoniyati paydo bo‘ldi.
Masalan, zamonaviy analitik geometriya va matematik fizika bo‘limlarida
oshkormas tenglamalar asosiy modellashtirish vositasi bo‘lib xizmat qiladi.
Oshkormas funksiyalarning nazariy tahlili, ayniqsa, ularning hosilalarini
topish masalasi matematik analizda alohida o‘rin tutadi. Chunki ko‘p hollarda y ni
x
orqali aniq ifodalab bo‘lmaydi, lekin oshkormas funksiya tenglamasidan zanjir
qoidasi va hosila olish metodlari yordamida
dy /dx (yoki df /dx ) ni topish mumkin
bo‘ladi. Bu, ayniqsa, differensial tenglamalar, fizik qonuniyatlar va texnik
hisoblarda muhim ahamiyatga ega.
Oshkormas funksiyalar va ularning xossalarini o‘rganish matematikaning
ko‘plab sohalarida, xususan, differensial hisob, geometriya, fizikadagi
qonuniyatlarni tahlil qilish, iqtisodiy modellashtirish, muhandislik va texnik
hisoblarda juda katta ahamiyatga ega. Masalan, aylana tenglamasi, elips, giperbola,
hamda ko‘plab fizik qonunlar aynan oshkormas tenglamalar orqali ifodalanadi.
Shu sababli, oshkormas funksiyalarning matematik mohiyati, ularning grafik
talqini, bog‘liqlik turlari va ayniqsa, ularning hosilalarini topish usullari zamonaviy
matematik tahlil va amaliy hisob-kitoblarning ajralmas qismi hisoblanadi.
Mazkur kurs ishida, bir tomondan, oshkormas funksiyalarning nazariy
asoslari, ularni explicit funksiya bilan farqlari, tipik misollar va grafik talqinlar
ko‘rib chiqiladi. Boshqa tomondan, oshkormas funksiyalarning hosilalarini
topishning asosiy qoidalari, zanjir qoidasi, ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar uchun
umumlashtirish va amaliy misollar orqali tahlil qilish muhim o‘rin tutadi. Yana,
fizika va geometriyada, texnika va iqtisodiy modellashtirishda oshkormas
funksiyalar qanday ahamiyatga ega ekani, yuqori tartibli hosilalar va tipik amaliy
xatoliklar ham atroflicha tahlil qilinadi.
Kurs ishi davomida olingan nazariy va amaliy bilimlar, real masalalarni
zamonaviy matematik metodlar yordamida samarali va chuqur tahlil qilish
ko‘nikmasini shakllantiradi. Bu, kelgusida kasbiy faoliyatda yoki ilmiy-tadqiqot

Ko‘p o‘zgaruvchili va parametrik oshkormas funksiyalar:
x 2
+ y 2
+ z 2
= R 2x2+y2=r2,r=acos ⁡t,t∈[0,2 π]
Parametrik ifodada r yoki boshqa
o‘zgaruvchilar orqali bog‘lanish.
Oshkormas bog‘liqlikda nuqtalar va yechimlar soni
Implicit tenglama uchun har bir
x qiymatiga bir nechta y qiymati mos kelishi
mumkin (aylana, elips, giperbola va boshqalar).
Masol uchun:
x2+y2=1⇒ y= ±√1− x2
Agar x = 0.5
bo‘lsa, y = ±
√ 1 − 0.25 = ± √ 0.75
, ya’ni ikkita nuqta mavjud.
Ba’zi hollarda, butunlay haqiqiy yechim mavjud emas (masalan,
x2+y2=−1
uchun haqiqiy x , y
mavjud emas).
Oshkormas funksiyalarning amaliy va zamonaviy ahamiyati
Fizika: Harorat, bosim, kuch, elektromagnit maydonlarni tavsiflashda:
E2+B2=const
.
Geometriya: Egri chiziqlar va sirtlarni tasvirlashda, masalan,
x2+y2+z2=1
(shar).
Iqtisodiyot: Resurs taqsimoti, ishlab chiqarish funksiyalari, iste’molchi
xatti-harakatlari:
U x α
y β
= k .
Biologiya, ekologiya: Populyatsiya model, o‘sish yoki pasayish
trayektoriyasi:
N ¿ .
Grafik va yechimlar xususiyati
Ko‘plab oshkormas tenglamalar grafigi yopiq egri (aylana, elips, limason,
astroid), ba’zan ochiq (giperbola, parabola).
Ko‘p hollarda, nuqta, to‘g‘ri chiziq, doira, spiral, lekin ba’zida murakkab va
noaniq chiziqlar ham bo‘lishi mumkin.

F ( x , y , z , t ) = 0 , t − vaqtyokiboshqaparametr
Sirt dinamikasini tahlil qilishda, barcha qisman hosilalar ∂/∂t orqali topiladi.
7.
⁡Elektromagnit ⁡sirtlar ⁡(fizik ⁡misol)
E 2
+ B 2
= const
E
yoki
B ni parametr bo‘yicha differensiallash mumkin.
8.
⁡Sirtlar ⁡orasida ⁡normal ⁡yoki ⁡tangent ⁡vektor ⁡hosilalari
F ( x , y , z ) = 0
Normal vektor: ∇ F = ( F
x , F
y , F
z )
, tangent sirt esa ∇ F
ga perpendikulyar.
9.
⁡Parametrik ⁡sirt ⁡(geometriya ⁡va ⁡kompyuter ⁡grafika)
x = r cos ⁡ θ , y = r sin ⁡ θ , z = h ( r , θ )
Hosilalar ∂ z
∂ r , ∂ z
∂ θ yordamida topiladi.
10.
⁡Iqtisodiy ⁡model ⁡(resurs ⁡taqsimoti)
U ( x , y , z ) = k
z
ni x
bo‘yicha hosila:
U x+U z∂z
∂x=0⟹ ∂z
∂x= −U x
U z
Ko‘p o‘zgaruvchili oshkormas hosilalarni topish algoritmi
1. Funksiya
F(x1,x2,... ,xn,y)=0 tarzida yoziladi.
2. O‘zgartirilayotgan har bir o‘zgaruvchi bo‘yicha qisman hosila olinadi.
3.
y yoki bog‘liq o‘zgaruvchining hosilasini ajratib olinadi.
4. Amaliy masalada — sirt, normal, tangent yoki fizik/kasbiy talqin
ko‘rinishida natija ishlatiladi.
Ko‘p o‘zgaruvchili oshkormas funksiyalarning hosilalari ilmiy, amaliy va
zamonaviy tahlilning eng kuchli va umumiy vositalaridan biri. Ular fazoviy,
texnologik, iqtisodiy va biologik modellarni chuqur tahlil qilishga, ekstremal
shartlarni topish, optimallashtirish va real dunyo jarayonlarini o‘rganishda beqiyos
imkoniyat yaratadi.
2.4. Amaliy masalalar va matematik tahlil
Oshkormas funksiyalarning hosilasini topish faqat nazariyada emas, balki
amaliy masalalarda, real muhandislik va iqtisodiy modellarda ham keng

O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM,
FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI
Farg‘ona davlat universiteti
Fizika-Matematika fakulteti
“Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi
“Matematik analiz” fanidan
KURS ISHI
Mavzu: Oshkormas funksiyalar va ularning hosilalari
Bajardi: guruhi talabasi

Ilmiy rahbar: Matematik analiz va
differensial tenglamalar kafedrasi
o‘qituvchisi:
Farg‘ona-2025
MUNDARIJA

simmetrik, yopiq yoki o‘zgaruvchilarning murakkab o‘zaro bog‘liqligini aks
ettiradi.
Oshkormas va explicit funksiyalar o‘rtasidagi tafovutning zamonaviy
ahamiyati:
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar, matematik modellashtirish, kompyuter
grafikasi, optimal boshqaruv, iqtisodiy va muhandislik modellarining asosiy qismi
aynan implicit ko‘rinishda yoziladi.
Zamonaviy algebraik va sonli (numerik) usullar yordamida implicit funksiya
yechimlari hisoblash va vizualizatsiya qilish imkoniyati ancha kengaydi.
Yadro fizikasi, avtomatika va boshqaruv, mexanika, ekologik va biologik
modellashtirishda oshkormas munosabatlar ko‘plab jarayonlarning asl mohiyatini
aniq ifodalashga imkon beradi.
Oshkormas funksiyalarning matematik mazmuni va explicit funksiya bilan
farqlari — nafaqat nazariy tahlil, balki har qanday zamonaviy ilmiy, texnik va
amaliy sohada model, tahlil va prognoz uchun zarur bilim asosidir. Aynan shuning
uchun, oshkormas funksiyalar, ularning analitik va grafik xossalari, hamda ularni
explicit shaklga keltirish imkoniyatlari zamonaviy matematikaning eng muhim
yo‘nalishlaridan biri hisoblanadi.
1.2. Oshkormas funksiyalarga oddiy misollar va ularning grafik talqini
Oshkormas funksiyalar (implicit funksiyalar) matematikada va uning amaliy
tarmoqlarida juda keng uchraydi. Ularning asosiy xususiyati shundaki, x va y
o‘zgaruvchilar o‘zaro to‘g‘ridan-to‘g‘ri emas, balki biror umumiy tenglama orqali
bog‘langan bo‘ladi. Quyida oshkormas funksiyalarga klassik va amaliy misollar
keltiriladi, hamda ularning grafik xususiyatlari izohlanadi.
1. Aylana tenglamasi
x2+y2=r2
Bu eng sodda va mashhur oshkormas funksiya misolidir. Bu tenglama
x va y
ni o‘zaro bog‘lab, tekislikda radiusi r
bo‘lgan barcha nuqtalar to‘plamini — aylana
chizig‘ini hosil qiladi. Bu yerda
y ni x orqali ajratib yozish mumkin (
y = ± √ r 2
− x 2
),

Umumiy formula: Agar F(x,y)=0 , u holda
d
dx F ( x , y ) = F
x ( x , y ) + F
y ( x , y ) dy
dx = 0
Shundan,
dy
dx = − Fx(x,y)
Fy(x,y)
Bu qoidani ko‘p o‘zgaruvchili, yuqori darajali va murakkab funksiyalarda
ham qo‘llash mumkin.
Amaliy va nazariy misollar
Misol 1. Aylana tenglamasi
x2+y2=r2
2 x + 2 y dy
dx = 0 ⟹ dy
dx = − x
y
2- m isol. Elips uchun
x 2
a 2 + y 2
b 2 = 1
2 x
a 2 + 2 y
b 2 dy
dx = 0 ⟹ dy
dx = − b 2
x
a 2
y
3- m isol. Giperbola uchun
x 2
− y 2
= 1
2x−2ydy
dx =0⟹ dy
dx = x
y
4- m isol. Parabola uchun
y 2
= 4 ax
2ydy
dx = 4a⟹ dy
dx = 2a
y
5- m isol . Ko‘paytma ifodali oshkormas funksiya
xy = 1
y + x dy
dx = 0 ⟹ dy
dx = − y
x
Explicitda y = 1
x , shuning uchun
y'= −1
x2 , bu natija yuqoridagi formulani
explicit shaklga qo‘llasak ham chiqadi.
6- m isol. Murakkab kvadratli ifoda
x 2
+ xy + y 2
= 7

• Implicit grafigi ko‘p hollarda x yoki y bo‘yicha funksiyalilik talabini
buzadi (ya’ni, bir x
uchun bir nechta y
qiymat mavjud bo‘lishi mumkin).
• Ko‘plab real fizik va texnik jarayonlar (harorat, bosim, kuch,
konsentratsiya va boshqalar) aynan implicit tenglama bilan ifodalanadi va grafigi
ham implicit bo‘ladi.
• Grafikni aniq qurishda matematik analiz va algebraik manipulyatsiyalar
bilan birga zamonaviy kompyuter grafik usullari ham keng qo‘llaniladi.
Oshkormas funksiyalarning amaliy misollari va ularning grafik xususiyatlari
nafaqat matematik tahlil, balki fizik, texnik va boshqa amaliy sohalar uchun ham
muhim ahamiyatga ega. Ularning vizual va tahliliy o‘rganilishi ko‘plab jarayon va
obyektlarni to‘g‘ri tushunishga yordam beradi va zamonaviy modellashtirishda
asosiy rol o‘ynaydi.
1.3. Oshkormas funksiyalarning matematik bog‘liqligi va turlari
Oshkormas funksiyalar matematikaning eng muhim va real amaliyotda keng
qo‘llaniladigan obyektlaridan biridir. Ular ikki yoki undan ortiq o‘zgaruvchi
orasidagi murakkab, ba’zan bevosita ko‘rinmaydigan matematik bog‘lanishni
ifodalaydi. Bunday funksiyalar orqali har xil turdagi egri chiziqlar, sirtlar, fizik,
iqtisodiy va texnik jarayonlar tavsiflanadi.
Oshkormas bog‘liqlikning matematik mohiyati va umumiy ko‘rinishi
Umuman, oshkormas funksiya
F(x,y)=0 tenglama ko‘rinishida ifodalanadi.
Bunda
y ni x orqali aniq ifodalash ko‘pincha yoki butunlay mumkin emas. Ko‘p
hollarda bu tenglama bir nechta y
qiymatini beradi yoki umuman haqiqiy yechim
yo‘q.
1- m isol.
⁡Aylana ⁡tenglamasi:
x 2
+ y 2
= r 2
Bu yerda
y ni x
orqali faqat y= ±√r2− x2 shaklida ifodalash mumkin va ¿ x ∨ ≤ r
shart bajariladi. Bu bog‘liqlik har bir x
uchun ikki
y qiymat borligini ko‘rsatadi
(aylananing yuqori va pastki yarmi).
2- m isol.
⁡Elips ⁡va ⁡giperbola:

qo‘llaniladi. Quyida eng muhim, ko‘p uchraydigan va yuqori baholangan amaliy
misollar to‘plami, har biri silliq izoh bilan keltiriladi.
1. Aylananing har bir nuqtasida tangens yo‘nalishix2+y2=r2⟹ dy
dx = − x
y
Izoh: Bu formula aylananing har bir nuqtasidagi tangens burchagini beradi.
2. Elips sirtida harakat yo‘nalishi
x 2
a 2 + y 2
b 2 = 1 ⟹ dy
dx = − b 2
x
a 2
y
3. Giperbola ustida tangent
x 2
− y 2
= 1 ⟹ dy
dx = x
y
4. Ko‘paytma orqali implicit hosila
xy = 1 ⟹ y + x dy
dx = 0 ⟹ dy
dx = − y
x
5. Logarifmik ko‘rinishdagi implicit hosila
x2+ln ⁡y=0⟹ 2x+1
y
dy
dx =0⟹ dy
dx =−2xy
6. Sinusli va ko‘paytmali tenglama
x 2
+ sin ⁡ y = 1 ⟹ 2 x + cos ⁡ y dy
dx = 0 ⟹ dy
dx = − 2 x
cos ⁡ y
7. Ko‘p bosqichli kombinatsiyalashgan masala
sin ⁡(y2+x)= x3
cos ⁡ ( y 2
+ x ) ⋅ ( 2 y dy
dx + 1 ) = 3 x 2
2 y cos ⁡ ( y 2
+ x ) dy
dx = 3 x 2
− cos ⁡ ( y 2
+ x )
dy
dx = 3x2−cos ⁡(y2+x)
2ycos ⁡(y2+x)
8. Parametrik sirt uchun
x=rcos ⁡θ,y=rsin ⁡θ
dy
dx = dy /dθ
dx /dθ = rcos ⁡θ
−rsin ⁡θ=− cot ⁡θ
9. Kimyoviy muvozanat modeli
k1x2+k2y2= k3xy +k4

x 2
a 2 + y 2
b 2 = 1 x 2
a 2 − y 2
b 2 = 1
Elips va giperbola tenglamalarida y ni ajratib olish, faqat x ning ayrim
sohalarida mumkin. Masalan, elips uchun
y= ±b
√
1− x2
a2 , bu yerda ¿x∨ ≤a .
3-misol .
⁡Ko‘p ⁡o‘zgaruvchili ⁡bog‘liqlik:
x2+y2+z2= R2
Bu fazoda sfera (shar) sirtini ifodalaydi. Bu yerda
z ni x va y orqali ifodalash
uchun
z=±√R2− x2− y2 bo‘ladi, lekin bu faqat x2+y2≤R2 sohada haqiqiy qiymatga
ega.
4-m isol.
⁡Trigonometrik ⁡va ⁡eksponensial ⁡bog‘lanishlar:
xsin ⁡y+ycos ⁡x=1
Bu tenglamada
y ni x orqali explicit ifodalab bo‘lmaydi. Uning yechimlari
sonli usulda topiladi, grafik esa murakkab egri chiziq bo‘ladi.
5-misol.
⁡Kimyoviy ⁡va ⁡fizik ⁡jarayonlar:
k1x2+k2y2= k3xy +k4
Kimyoviy reaksiya tezligi, issiqlik almashinuvi, elektr maydon kuchlari va
boshqa ko‘plab fizik muammolar implicit munosabat bilan ifodalanadi.
Oshkormas funksiyalarning asosiy turlari va tasnifi
Algebraik oshkormas funksiyalar:
Yuqori yoki past darajali polinomlar, masalan:
x 4
+ y 4
= r 4
Bu tenglama grafigi "to‘rtburchak" shaklida yopiq egri chiziq beradi.
Transsendent oshkormas funksiyalar:
Trigonometrik, logarifmik, eksponensial yoki ularning aralashmasi:
ex+y+x2y2= kx2+ln ⁡y=0
Bunday tenglamalarda y ni explicit ifoda qilish asosan
imkonsiz.
Chiziqli va nochiziqli oshkormas funksiyalar:
Chiziqli: ax + by + c = 0
, nochiziqli:
x2+y2=1 , x3− 2xy +y2=5 .

I BOB. OSHKORMAS FUNKSIYALAR NAZARIYASI
1.1. Oshkormas funksiyaning matematik mazmuni
Matematik analiz va umumiy matematika kursida funksiyalar asosiy
tushunchalardan biridir. Odatda, funksiyalar aniq yoki oshkormas shakllarda
uchraydi. Ularning mazmuni va matematik tafovutlari zamonaviy tahlil uchun juda
muhim.
Aniq funksiya deb, bir o‘zgaruvchi orqali boshqa o‘zgaruvchini aniq
ifodalovchi funksiya tushuniladi, ya’ni y = f ( x )
ko‘rinishida. Bunda x
mustaqil
argument va y funksiya qiymati bo‘lib, har bir x uchun y ni to‘g‘ridan-to‘g‘ri
hisoblash mumkin. Misol uchun, y = 2 x + 5
, y = sin ⁡ x
,
y= ex kabi oddiy funksiyalar
explicit funksiyalarga kiradi.
Oshkormas funksiya esa, x
va y
orasidagi bog‘lanish bevosita y = f ( x )
ko‘rinishida emas, balki F ( x , y ) = 0
ko‘rinishidagi umumiy tenglama bilan
ifodalanadi. Bu yerda
F(x,y) — x
va y
ning biror funksiyasi bo‘lib, bu tenglama
to‘g‘ridan-to‘g‘ri
y ni x orqali ajratib ifodalash imkonini bermaydi yoki uni topish
juda murakkab bo‘lishi mumkin.
Oshkormas funksiyalarga aylana , elips , giperbola , va ko‘plab fizik yoki
iqtisodiy qonuniyatlar misol bo‘la oladi. Masalan:
Aylana tenglamasi:
x2+y2=r2 .
Elips: x 2
a 2 + y 2
b 2 = 1
.
Giperbola:
x 2
− y 2
= 1 .
Ushbu tenglamalarda y
ni x
orqali alohida ajratish har doim ham oddiy emas
yoki butun
x sohasida mumkin emas.
Aniq va oshkormas funksiyalarning matematik farqlari:
Aniq funksiya uchun har bir
x qiymatiga aniq bitta y qiymat mos keladi (
y = f ( x )
).
Oshkormas funksiya uchun esa,
F(x,y)=0 munosabatdan y
ni topish uchun
odatda qo‘shimcha algebraik yoki tahliliy ish bajariladi;
y ning qiymatlari bir
nechta yoki butunlay noma’lum bo‘lishi mumkin.

4. Sirtlar va parametrik ifoda:
Ellipsoid: x2
a2+ y2
b2+z2
c2=1 .
Bu sirt har bir nuqtasi uchun vektor
⃗ r
va parametrli ko‘rinishda ham ifodalanadi.
5. Obyektga normal va tangent vektorlar:
Sirt F ( x , y , z ) = 0
uchun normal:
⃗n=∇ F=(Fx,Fy,Fz) .
Tangent vektor — harakat yoki egri chiziq bo‘ylab
⃗r'(t) bo‘yicha.
3.2. Geometrik shakllar va yuzalarni vektorlar orqali ifodalash
Uch o‘lchamli fazoda vektor yordamida har xil geometrik shakl va sirtlarni
tasvirlash, ularning o‘zaro joylashuvi, harakat yo‘nalishi va fazodagi xossalarini
aniqlash matematikaning, fizikaning va zamonaviy texnologiyalarning asosiy
yo‘nalishlaridan biridir. Zamonaviy tahlilda sirt va chiziqlarning vektorli,
parametrik hamda oshkormas (implicit) ko‘rinishlari muhim ahamiyatga ega.
Nazariy asos
Fazoda har qanday nuqta
⃗ r = ( x , y , z )
yoki ⃗
r = x ⃗ i + y ⃗ j + z ⃗ k tarzida yoziladi.
Geometrik obyektlar (sirtlar, chiziqlar, egri va boshqalar) quyidagi usullarda
ifodalanadi:
• Parametrik usul: Har bir koordinata biror parametr(lar) orqali
aniqlanadi.
• Oshkormas (implicit) usul: Obyekt F ( x , y , z ) = 0
tenglama orqali
beriladi.
• Vektorli usul: Obyekt
⃗ r ( t )
yoki ⃗ r ( u , v )
kabi vektor-funksiyalar
yordamida yoziladi.
Amaliy va nazariy misollar
1.
⁡To‘g‘ri ⁡chiziq
⃗r(t)=⃗r0+t⃗a
Bu yerda
⃗ r
0 — boshlang‘ich nuqta, ⃗a — yo‘nalish vektori.

Animatsiya: Traektoriyani vektor orqali belgilash, sirtlar normalini hisoblash,
yorug‘lik va kamera yo‘nalishlarini aniqlash.
Mashinasozlik va konstruktorlik: Qirqimlar, kuch tahlili, mexanik
simulyatsiya.
Ko‘p sohalarda amaliy misollar
Elektr maydon yo‘nalishi: ⃗ E = 1
4 π ε
0 q
r 2 ⃗ n
Magnit maydon:
⃗ B = μ
0 I
2 πr ⃗ n
Robototexnika: Manipulyator qismlarining harakatini vektorlar bilan
boshqarish.
Vektorlar algebrasi elementlari zamonaviy fan, texnika, grafik dizayn va
hayotning barcha sohalarida ob’ektlarning joylashuvi, harakati, o‘zaro ta’siri va
bashoratini tahlil qilish uchun eng asosiy matematik vosita hisoblanadi.

lekin bu faqat ¿x∨ ≤r oraliqda mumkin va har bir x uchun ikki xil y qiymat
mavjud.
2. Elips va giperbola tenglamalari
x2
a2+ y2
b2=1(elips )
x 2
a 2 − y 2
b 2 = 1 ( giperbola )
Bu tenglamalar ham implicit ko‘rinishda. Har bir x
uchun
y ni x
orqali ajratib
olish faqat ayrim oraliqlarda yoki bir nechta yechim bilan bo‘lishi mumkin.
Ularning grafigi fazoda yopiq yoki ochiq egri chiziqlardir (elips, giperbola).
3. Ko‘p darajali yoki transcendent tenglamalar
x3+y3−3axy =0
Bu tenglama klassik kardioida yoki limacon turidagi chiziqlarni tasvirlashda
ishlatiladi.
y ni x
orqali ifodalash bu holda ancha murakkab va ko‘p hollarda faqat
sonli (numerik) usulda yechiladi.
4. Fizik va texnik misollar
Elektr muvozanat tenglamasi:
y2+2xy +x2= k
Bunday tenglamalar elektr maydon, harorat taqsimoti, termodinamikada
uchraydi.
Kimyoviy reaksiyalarda:
k1x2+k2y2= k3xy +k4
Bu erda
x va y har xil moddalarning konsentratsiyasi bo‘lishi mumkin.
5. Oshkormas tenglamaning grafigini qurish
Oshkormas tenglama grafiklarini qurish uchun odatda ikki usuldan
foydalaniladi:
•
y ni x orqali ajratib, explicit ko‘rinishda qurish (agar mumkin bo‘lsa);
sonli (numerik) nuqtalar to‘plami hosil qilib, chizish (bu usulda x
ning har bir
qiymatiga mos
y ni tenglamani yechib topish orqali grafik chiziladi).

Explicit funksiyada har bir x uchun y ni hisoblash oddiy, oshkormasda esa, bu
faqat ayrim x
oraliqlarida yoki maxsus yechim usullari bilan bajariladi.
Matematikada har bir explicit funksiya ham, aslida, ma’lum bir oshkormas
tenglamaning yechimi sifatida qaralishi mumkin. Masalan,
y= x3+2 funksiyasi
y− x3−2=0
oshkormas tenglamaning yagona yechimidir. Biroq, oshkormas
tenglamalarda
F(x,y)=0 ni y = f ( x )
ko‘rinishiga keltirish, ko‘pincha yoki faqat
ayrim oraliqlarda mumkin bo‘ladi, yoki butunlay mumkin bo‘lmasligi ham
ehtimol. Masalan,
x2+y2=1 tenglamasi har bir x
uchun ikkita y qiymatni beradi:
y = ±
√ 1 − x 2
(faqat ¿x∨ ≤1 oraliqda). x oraliqdan tashqarida, y haqiqiy qiymat
olmaydi.
Implicit funksiya teoremasi matematik analizda muhim o‘ringa ega. Bu
teorema shartli ravishda quyidagicha ta’riflanadi: Agar
F(x,y) funksiyasi x0 , y0
nuqtada uzluksiz, differensiallanuvchi bo‘lsa va F ( x
0 , y
0 ) = 0
hamda F
y ( x
0 , y
0 ) ≠ 0
bo‘lsa (ya’ni,
F ni y bo‘yicha qisman hosilasi nolga teng bo‘lmasa), u holda x0
yaqinida
y ni x
orqali ifodalovchi yagona funksiya y = f ( x )
mavjud bo‘ladi va
F ( x , f ( x ) ) = 0
tenglamani qanoatlantiradi. Bu natija oshkormas tenglamalardan
explicit funksiya olish imkonini, lekin faqat lokal (yaqinlik) nuqtalarda,
kafolatlaydi.
Amaliy misollar:
Geometriyada: Aylana, elips, giperbola, parabolaning klassik tenglamalari
explicit va implicit ko‘rinishda yoziladi. Masalan,
x 2
+ y 2
= r 2
(aylana) — implicit,
y= √r2− x2
— explicit, faqat x∈[− r,r] oraliqda.
Fizikada: Gazlarning holat tenglamasi, elektr zanjirlarida kuchlanish va tok
o‘zgarishlari, termodinamika jarayonlarining ko‘plab qonunlari aynan implicit
ko‘rinishda yoziladi. Masalan, ideal gaz tenglamasi:
pV = nRT ; bu V ni p
orqali har
doim aniq ajratish mumkin emas, ayniqsa murakkab holatlarda.
Oshkormas funksiya grafigi odatda oddiy explicit grafikdan ko‘ra murakkabroq
bo‘ladi. Bunda
x ni o‘zgartirganda y ning bir nechta qiymati bo‘lishi yoki umuman
haqiqiy yechim mavjud emasligi ham mumkin. Bunday grafiklar ko‘p hollarda

KIRISH
Matematik analizning zamonaviy tarmoqlaridan biri — oshkormas (implicit)
funksiyalar nazariyasi va ular bilan bog‘liq muammolarni o‘rganishdir. Bu
yo‘nalish matematikada aniq funksiyalardan ko‘ra kengroq va ko‘proq real
jarayonlarni aks ettiradi. Chunki ko‘plab ilmiy va texnik muammolarni bevosita
aniq (explicit) formulada ifodalash imkoni bo‘lmaydi, ular faqatgina oshkormas
bog‘lanishlar orqali tavsiflanadi. Ana shunday vaziyatlarda matematik analizning
oshkormas funksiyalar nazariyasi va hosila olish usullari asosiy vosita bo‘lib
xizmat qiladi.
Oshkormas funksiyalarning nazariy va amaliy ahamiyati shundaki, ular orqali
ko‘p bosqichli va murakkab tizimlarning o‘zaro ta’siri, fazoviy, vaqtinchalik yoki
boshqa bog‘lanishlari umumiy tenglamalar asosida aniqlanadi. Bunday yondashuv
fizik jarayonlar, harakatlar, geometrik shakllar, texnik qurilmalar, iqtisodiy va
biologik modellar uchun universal yechim hisoblanadi. Ayniqsa, real hayotda
uchraydigan ko‘plab ob’ekt va jarayonlarni, jumladan, aylana va sferalar, ellipsoid
va paraboloidlar, sirtlar va fazoviy obyektlarni faqat oshkormas tenglama orqali
to‘liq tasvirlash mumkin bo‘ladi.
Oshkormas funksiyalar nazariyasi matematik tahlil, analitik geometriya,
differensial tenglamalar, optimal boshqaruv va zamonaviy matematik
modellashtirishning poydevorini tashkil etadi. Bu nazariya yordamida
differensiallash, zanjir qoidasi, ko‘p o‘zgaruvchili va fazoviy funksiyalar tahlili,
hosilalarni topish va amaliy natijalar olish imkoniyati tug‘iladi. Fan va texnikaning
rivojlanishi, zamonaviy ilmiy-texnik muammolar, injiniring, avtomatlashtirish va
boshqaruv, ekologik va iqtisodiy tizimlarning matematik tahlili — barchasida
oshkormas funksiyalar alohida o‘rin egallaydi.
Oshkormas funksiyalar, ular yordamida ifodalanadigan bog‘lanishlar, grafigi,
sirt va chiziqlarning fazodagi joylashuvi, ularning normal va tangentlari, lokal va
global ekstremumlari, cheklovli optimallashtirish masalalari, zamonaviy algebraik
va sonli (numerik) usullarda yechim topish — bularning barchasi ushbu
nazariyaning zamonaviy ahamiyatini yanada oshiradi.

Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati:
1. Demidovich B.P. — Matematik analizdan mashqlar to‘plami. — Toshkent:
O‘qituvchi, 1995.
2. Kudryavtsev L.D. — Matematik analiz kursi, 1–2-qism. — Moskva: Nauka,
1985.
3. Polking J., Boggess A. — Differential Equations with Boundary Value
Problems. — Prentice Hall, 2005.
4. Stewart J. — Calculus: Early Transcendentals. — Cengage, 2016.
5. Anton H., Bivens I., Davis S. — Calculus, 11th Edition. — Wiley, 2016.
6. Serge Lang — Calculus of Several Variables. — Springer, 1987.
7. Smith R.T., Minton R.B. — Calculus: Early Transcendental Functions. —
McGraw-Hill, 2018.
8. Spivak M. — Calculus. — Publish or Perish, 2008.
9. Kholmatov M.A. — Oliy matematika, 1–2-kitob. — Toshkent: O‘zbekiston,
2019.
10. Tikhomirov V.M. — Matematik analiz asoslari. — Moskva: Fizmatlit, 2010.
11. Thomas G.B. — Thomas’ Calculus, 14th Edition. — Pearson, 2017.
12. Sharygin I.F. — Analitik geometriya va vektorlar algebrasi. — Toshkent:
O‘qituvchi, 2000.
13. Frolov A.A. — Vektorlar va koordinatalar geometriyasi. — Moskva: Nauka,
1990.
14. Strang G. — Linear Algebra and Its Applications. — Brooks Cole, 2016.
15. Courant R., John F. — Introduction to Calculus and Analysis, Vol. I-II. —
Springer, 1998.

2 x + y + x dy
dx + 2 y dy
dx = 0
x dy
dx + 2 y dy
dx = − ( 2 x + y )
dy
dx ( x + 2 y ) = − ( 2 x + y ) ⟹ dy
dx = − 2 x + y
x + 2 y
7- m isol. Transsendent oshkormas funksiya
sin ⁡ ( x + y ) = x 2
cos ⁡ ( x + y )( 1 + dy
dx ) = 2 x
cos ⁡ ( x + y ) dy
dx = 2 x − cos ⁡ ( x + y )
dy
dx = 2x−cos ⁡(x+y)
cos ⁡(x+y)
8- m isol. Eksponensial funksiya bilan
ex+y= x− y
e x + y
( 1 + dy
dx ) = 1 − dy
dx
e x + y dy
dx + dy
dx = 1 − e x + y
dy
dx ( e x + y
+ 1 ) = 1 − e x + y
dy
dx = 1 − e x + y
e x + y
+ 1
9- m isol . Ko‘p o‘zgaruvchili oshkormas funksiya
x 2
+ y 2
+ z 2
= R 2
, z = z ( x , y )
z
ni x
ga nisbatan differensiallab:
2 x + 2 z ∂ z
∂ x = 0
∂ z
∂ x = − x
z
10- m isol . Amaliy muhandislik masalasi
Termodinamik tizimda bosim va harorat bog‘lanishi:
PV = nRT
Agar V
va T
oshkormas bog‘liq bo‘lsa (
V=V(T) ), hosila:
P dV
dT + V dP
dT = nR

ds
dt = 1
2√ x 2
+ y 2 ⋅ ( 2 x dx
dt + 2 y dy
dt )
dx /dt =2t
,
dy / dt = 3 t 2
Zanjir qoidasi yordamida oshkormas hosila olish algoritmi
1. Har bir
y yoki ichki funksiya x ga bog‘liq deb qaraladi.
2. Har bir atama differensiallanganda
y' yoki du / dx
kiritiladi.
3. Tenglama bo‘yicha barcha
y' lar bitta tomonga yig‘iladi, hosila ajratib
olinadi.
Zanjir qoidasi nafaqat explicit, balki oshkormas va parametrik bog‘lanishli
murakkab funksiyalarda, real fizik, iqtisodiy, geometriya va texnika masalalarida
ham eng asosiy, universal differensiallash vositasi sanaladi.
2.3. Ko‘p o‘zgaruvchili oshkormas funksiyalar va ularning hosilalari
Ko‘p o‘zgaruvchili oshkormas funksiyalar matematik analiz, fizika, texnika,
iqtisodiyot va zamonaviy ilm-fan sohalarining deyarli barcha bo‘limlarida
uchraydi. Ular ko‘plab real jarayon, fazoviy obyekt, sirt va geometrik yoki fizik
modelni tavsiflashda ishlatiladi.
Ko‘p o‘zgaruvchili oshkormas funksiya quyidagicha yoziladi:
F(x1,x2,... ,xn,y)=0
yoki uch o‘zgaruvchili sirt:
F ( x , y , z ) = 0
Nazariy asos (qoidalar va umumiy formula)
Agar F ( x , y , z ) = 0
, z = z ( x , y )
deb faraz qilinsa, ∂ z
∂ x va ∂ z
∂ y quyidagi
qoidalarga ko‘ra olinadi:
F
x + F
y ∂ y
∂ x + F
z ∂ z
∂ x = 0
Agar
y mustaqil, z
— bog‘liq bo‘lsa:
∂z
∂x= − Fx
Fz
Umumiy holda, F ( x
1 , ... , x
n , y ) = 0
uchun:

2k1x+2k2ydy
dx = k3y+k3xdy
dxdy
dx ( 2 k
2 y − k
3 x ) = k
3 y − 2 k
1 x
dy
dx = k3y−2k1x
2k2y− k3x
10. Gaz qonuni (fizik model) uchun
PV = nRT
Agar
V va T
bog‘liq ( V = V ( T )
):
P dV
dT + V dP
dT = nR
11. Iqtisodiy resurs taqsimoti
U xαyβ= k
αU x α − 1
y β
+ βU x α
y β − 1 dy
dx = 0
dy
dx = − α x α − 1
y
β x α
12. Biologik populyatsiya modeli
N 2+P2= M
N
— asosiy populyatsiya, P — yirtqich populyatsiya:
2N dN
dt +2P dP
dt =0⟹ dN
dt = − P
N
dP
dt
13. Elektr maydon (fizika) modeli
E2+B2=C
2E dE
dt +2B dB
dt =0⟹ dE
dt =− B
E
dB
dt
14. Sfera sirtida normal vektor yo‘nalishi
x 2
+ y 2
+ z 2
= R 2
Normal vektor:
⃗ n = ( 2 x , 2 y , 2 z )
15. Maxsus trigonometrik-eksponensial masala
ex+y+x2y2= k
ex+y(1+dy
dx )+2xy2+2x2ydy
dx = 0
dy
dx (ex+y+2x2y)=−ex+y−2xy2

Xulosa
Kurs ishida matematik analizning muhim bo‘lagi sifatida oshkormas
funksiyalar va ularning hosilalarini topish usullari keng va chuqur yoritildi.
Birinchi bo‘limda oshkormas funksiyalarning matematik mazmuni, explicit
funksiyalardan asosiy farqlari va matematik bog‘liqligi, shuningdek, ko‘p
uchraydigan asosiy turlari tahlil qilindi. Ikkinchi bo‘limda oshkormas funksiyalar
hosilasini topishning nazariy asoslari, differensiallashning asosiy qoidalari, zanjir
qoidasi, ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar va real amaliy masalalarda hosilalarni
hisoblash yo‘llari ko‘plab misollar bilan ko‘rsatildi. Uchinchi bo‘limda esa fazoda
vektorlar yordamida obyektlarni tasvirlash, geometrik shakllar va sirtlarni vektorli
va oshkormas tenglamalar orqali ifodalash, shuningdek, vektorlar algebrasi
elementlarining matematikada, fizikada va geometrik analizda qanday ishlatilishi
amaliy misollar bilan ochib berildi. Umuman, kurs ishida olingan bilim va tahlillar
ko‘rsatadiki, oshkormas funksiyalar va vektorli ifodalar nafaqat nazariy, balki
amaliy matematik tahlil, sirtlar va chiziqlar tahlili, fazoviy va ko‘p o‘zgaruvchili
muammolarni yechishda zamonaviy matematikaning asosiy va universal
vositalaridan biridir. Bu bilimlar nafaqat akademik, balki real muhandislik, texnik
va ilmiy masalalarni hal etishda mustahkam poydevor yaratadi.

III BOB. AMALIY QO‘LLANILISH VA MURAKKAB MISOLLAR
3.1. Fazoda vektorlar yordamida obyektlarni tasvirlash
Fazoda vektorlar va oshkormas funksiyalarning kombinatsiyasi zamonaviy
matematik analiz, geometriya, fizika, texnika va kompyuter grafikasi uchun muhim
ahamiyatga ega. Uch o‘lchamli (3D) fazoda obyektlarni, ularning sirtlarini va
harakatini tasvirlash va tahlil qilish uchun aynan vektorlar, parametrik va
oshkormas funksiyalar birga ishlatiladi.
Nazariy asos
Fazoda har qanday nuqta A ( x , y , z )
koordinatalar bilan ifodalanadi va unga
mos vektor ⃗
r = x ⃗ i + y ⃗ j + z ⃗ k ko‘rinishida yoziladi. Obyekt (chiziq, sirt, hajm) fazoda:
Parametrik:
⃗ r ( t ) = x ( t ) ⃗ i + y ( t ) ⃗ j + z ( t ) ⃗ k
Oshkormas (implicit): F ( x , y , z ) = 0
shakllarda tasvirlanadi.
Masalan:
To‘g‘ri chiziq:
⃗r= ⃗r0+t⃗a
Tekislik: Ax + By + Cz + D = 0
Sfera:
x 2
+ y 2
+ z 2
= R 2
Silindr:
x2+y2= R2
Amaliy misollar
1. Sfera sirtining vektori:
x 2
+ y 2
+ z 2
= R 2
Bu sirt ustidagi har bir nuqta vektori
⃗
r = x ⃗ i + y ⃗ j + z ⃗ k sirtga normal yo‘nalishda
perpendikulyar bo‘ladi, va normal vektor
⃗ n = ( 2 x , 2 y , 2 z )
.
2. Tekislik va vektor tenglamasi:
Tekislik
Ax +By +Cz +D= 0 orqali har qanday nuqta ⃗r= x⃗i+y⃗j+z⃗k ifodalanadi,
va
⃗ n = ( A , B , C )
— normal vektor.
3. Fazodagi harakat trayektoriyasi:
⃗
r ( t ) = x ( t ) ⃗ i + y ( t ) ⃗ j + z ( t ) ⃗ k — harakatlanuvchi zarraning yo‘li, bu yerda
x ( t ) , y ( t ) , z ( t )
— vaqtga bog‘liq.
Masalan, x = t cos ⁡ t
, y = t sin ⁡ t
,
z=t2 — spiral chiziq.

KIRISH
I BOB. OSHKORMAS FUNKSIYALAR NAZARIYASI
1.1. Oshkormas funksiyaning matematik mazmuni
1.2. Oshkormas funksiyalarga oddiy misollar va ularning grafik talqini
1.3. Oshkormas funksiyalarning matematik bog‘liqligi va turlari
II BOB. OSHKORMAS FUNKSIYALARNING HOSILASINI TOPISH
USULLARI
2.1. Oshkormas funksiya hosilasini topishning asosiy qoidasi
2.2. Zanjir qoidasi va unga oid misollar
2.3. Ko‘p o‘zgaruvchili oshkormas funksiyalar va ularning hosilalari
2.4. Amaliy masalalar va matematik tahlil
III BOB. AMALIY QO‘LLANILISH VA MURAKKAB MISOLLAR
3.1. Fizika, geometriya va texnikadagi oshkormas funksiyalar
3.2. Yuqori tartibli hosilalar va murakkab oshkormaslik
3.3. Tipik xatoliklar, muammolar va ularning yechim usullari
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI

x 2
+ sin ⁡ ( y ) = 1
2 x + cos ⁡ ( y ) dy
dx = 0 ⟹ dy
dx = − 2 x
cos ⁡ ( y )
4.⁡Logarifmik ⁡kompozitsiya
y = ln ⁡ ( x 2
+ 3 x + 1 )
dy
dx = 1
x2+3x+1
⋅(2x+3)
5.
⁡Implicitda ⁡trigonometrik ⁡zanjir
sin ⁡ ( y ) + y 3
= x
cos ⁡(y)dy
dx +3y2dy
dx =1⟹ dy
dx = 1
cos ⁡(y)+3y2
6.
⁡Ko‘p ⁡o‘zgaruvchili ⁡zanjir ⁡qoidasi
Agar
z= f(x,y) va x = g ( t )
, y = h ( t )
bo‘lsa:
dz
dt = ∂ f
∂ x dx
dt + ∂ f
∂ y dy
dt
Misol:
z = x 2
y , x = sin ⁡ t , y = e t
dz
dt = 2 xy cos ⁡ t + x 2
e t
7.
⁡Parametrik ⁡tenglama ⁡uchun ⁡zanjir
x = cos ⁡ t , y = sin ⁡ t
dy
dx = dy / dt
dx / dt = cos ⁡ t
− sin ⁡ t = − cot ⁡ t
8.
⁡Kompozitsion ⁡eksponensial-funktsiya
y = e x 3
+ 5 x
dy
dx = e x 3
+ 5 x
( 3 x 2
+ 5 )
9.
⁡Iqtisodiy ⁡amaliy ⁡misol
Agar
Q= P2+ln ⁡I , P = 3 x + 1
, I=ex , Q
— ishlab chiqarish hajmi.
dQ
dx = 2 P dP
dx + 1
I dI
dx
dP
dx = 3
,
dI
dx =ex , P=3x+1 , I=ex .
10.
⁡Fizik ⁡amaliy ⁡misol
Harakat trayektoriyasi:
s=√x2+y2 ,
x = t 2
, y=t3

Parametrik:{
x = r cos ⁡ t
y = r sin ⁡ t
z = r
7.
⁡Paraboloid
Oshkormas:
z = x 2
+ y 2
Parametrik:
{
x = r cos ⁡ t
y = r sin ⁡ t
z = r 2
8.
⁡Giperboloid
Oshkormas:
x 2
+ y 2
− z 2
= 1
Parametrik ifoda ham yoziladi.
9.
⁡Spiralsimon ⁡chiziq ⁡(fazoda):
⃗
r ( t ) = ( a cos ⁡ t , a sin ⁡ t , bt )
Bu chiziq mexanika va biologik strukturalarda uchraydi.
10.
⁡Sirtlarning ⁡kesishuvi
Ikkita sirt:
F1(x,y,z)=0,F2(x,y,z)= 0
Kesish chizig‘i fazoda implicit va parametrik usullarda tahlil qilinadi.
Vektorli va implicit usulning afzalligi
• Har qanday shakl va yuzani matematik modellashtirish, harakat
yo‘nalishi, sirt normalini, tangentini va boshqalarni aniqlash uchun vektorli va
oshkormas ifoda zarur.
• Kompyuter grafikasi, animatsiya, texnik va ilmiy loyihalashda
obyektlarni to‘g‘ri tasvirlash uchun asosiy matematik poydevor.
• Fanda — har bir shakl va obyektni optimallashtirish, joylashtirish va
bashorat qilishda universal vosita.
Vektor va oshkormas funksiyalar yordamida uch o‘lchamli fazodagi shakl va
sirtlarni to‘liq, aniq va universal tarzda ifodalash, ularning xossalarini tahlil qilish

2 x
a 2 + 2 y
b 2 dy
dx = 0 ⟹ dy
dx = − b 2
x
a 2
y
3-misol. xy2+y= x oshkormas funksiya uchun:
d
dx ( x y 2
+ y ) = d
dx ( x )
y 2
+ x ⋅ 2 y dy
dx + dy
dx = 1
2xy dy
dx +dy
dx =1− y2
dy
dx ( 2 xy + 1 ) = 1 − y 2
dy
dx = 1− y2
2xy +1
4-misol.
ex+y= x− y uchun:
d
dx (ex+y)= d
dx (x− y)
e x + y
( 1 + dy
dx ) = 1 − dy
dx
e x + y dy
dx + e x + y
+ dy
dx = 1
Barcha dy
dx larni bir tomonga yig‘amiz va hosilani ajratib olamiz.
Oshkormas funksiyalarning hosilasini topish — matematik analiz va amaliy
hisoblashlarda keng qo‘llaniladigan kuchli usul. Asosiy tamoyil —
y ni x ga
bog‘liq funksiya deb qarab, barcha y
lar differensiallanganda dy
dx ko‘rinishida
ifodalanadi va tenglama differensialdan so‘ng dy
dx ajratib olinadi. Bu usul orqali
ko‘plab fizik, texnik, iqtisodiy va geometrik masalalarni samarali yechish mumkin.
Oshkormas funksiyalar uchun hosila topish, ya’ni implicit differentiation —
matematik analiz, geometriya, texnika va fizikaning eng muhim bo‘limlaridan biri
hisoblanadi. Explicit y = f ( x )
ko‘rinishdan farqli ravishda, oshkormas tenglamalar
bilan ishlaganda har bir y
— x
ning funksiya sifatida faraz qilinadi va har bir
y
ifodasi differensiallanganda unga
y' yoki dy
dx ko‘rinishida qaraladi.
Nazariy asos va umumiy qoidalar

Amaliy izoh va xulosalar
Har bir oshkormas tenglama uchun hosila olishda y
( y ( x )
) — o ‘ zgaruvchi deb
qaraladi va har bir y atamasi differensiallanganda y' yoki dy
dx ko ‘ rinishida yoziladi .
Implicit differentiation orqali geometrik, texnik, iqtisodiy va boshqa ko‘plab
sohalardagi murakkab bog‘lanishlar uchun tangens burchaklari, ekstrema,
normallar, ko‘pburchaklar va sirtlar analiz qilinadi.
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyalar uchun oshkormas differensiallash zarralar
(partials) orqali, fizik va fazoviy masalalarda (elektromagnit sirt , bosim konturi, biologik
populyatsiyalar) samarali tahlil imkonini beradi.
2.2. Zanjir qoidasi va unga oid misollar (keng, amaliy)
Zanjir qoidasi nazariyasi
Agar
y — x ga bog‘liq funksiya ( y= y(x) ), u — y ga ( u = u ( y )
), va z = u ( y ( x ) )
, u
holda
dz
dx = dz
dy ⋅ dy
dx
Yoki, umumiy holda z = f ( g ( x ) )
bo‘lsa,
dz
dx = f '
( g ( x ) ) ⋅ g '
( x )
Agar F ( x , y ) = 0
va y = y ( x )
bo‘lsa, har safar y
yoki u
ni differensiallanganda, unga
dy
dx yoki du
dx ko‘paytmasi qo‘shiladi.
Amaliy va nazariy misollar
1.
⁡Oddiy ⁡kompozitsion ⁡funksiya
y=sin ⁡(x2)
dy
dx = cos ⁡ ( x 2
) ⋅ 2 x = 2 x cos ⁡ ( x 2
)
2.
⁡Ko‘p ⁡bosqichli ⁡kompozitsiya
y=exp ⁡(sin ⁡(3x))
dy
dx = exp ⁡ ( sin ⁡ ( 3 x ) ) ⋅ cos ⁡ ( 3 x ) ⋅ 3
3.
⁡Oshkormas ⁡funksiya ⁡uchun ⁡zanjir ⁡qoidasi

∂ y
∂ x
k = − F
x
k
F
y
Amaliy va nazariy misollar
1.⁡Sfera ⁡sirtida ⁡qisman ⁡hosila
x 2
+ y 2
+ z 2
= R 2
z
ni x
bo‘yicha:
2x+2z∂z
∂x=0⟹ ∂z
∂x= − x
z
z
ni y bo‘yicha:
∂ z
∂ y = − y
z
2.
⁡Elipsoid ⁡sirtida ⁡qisman ⁡hosilalar
x2
a2+ y2
b2+z2
c2=1
z
ni x bo‘yicha:
2 x
a 2 + 2 z
c 2 ∂ z
∂ x = 0 ⟹ ∂ z
∂ x = − c 2
x
a 2
z
3.
⁡Giperboloid ⁡uchun
x 2
+ y 2
− z 2
= 1
z
ni x
bo‘yicha:
2 x − 2 z ∂ z
∂ x = 0 ⟹ ∂ z
∂ x = x
z
4.
⁡Amaliy ⁡fizik ⁡masala ⁡(gaz ⁡qonuni)
PV =nRT
Agar V = V ( P , T )
:
V + P ∂ V
∂ P = 0 ⟹ ∂ V
∂ P = − V
P
P ∂ V
∂ T + ∂ P
∂ T V = nR
5.
⁡Ekstremum ⁡shartida ⁡oshkormas ⁡bog‘liqlik
f(x,y,λ)= F(x,y)− λG (x,y)=0
λ
ni x bo‘yicha:
F
x − λ G
x − G ( x , y ) ∂ λ
∂ x = 0
6.
⁡Ko‘p ⁡parametrli ⁡parametrik ⁡sirt

va real hayotda model sifatida ishlatish mumkin. Bu usul zamonaviy
matematikaning, fizik, texnik va informatikaning eng asosiy vositalaridan biridir.
3.3. Vektorlar algebrasi elementlarining fizikada va grafikada
qo‘llanilishi
Vektorlar algebrasi elementlari — vektorlarni qo‘shish, ayirish, skalyar va
vektor ko‘paytma, aralash ko‘paytma — zamonaviy fizika va injiniringda muhim
o‘rinni egallaydi. Vektorlar orqali kuch, tezlik, harakat yo‘nalishi, sirt normalari,
elektr va magnit maydon, hamda ko‘plab grafik va mexanik muammolar hal
qilinadi.
Fizikadagi asosiy vektor ifodalari va amaliy misollar
Kuchlar yig‘indisi:
Har xil yo‘nalishda ta’sir qiluvchi kuchlar:⃗Fresult = ⃗F1+⃗F2+⋯+⃗Fn
Misol: Ustunga bir nechta kuchlarning ta’siri va ularning
tenglamasi.
Tezlik va tezlanish:
Zarraning harakat trayektoriyasi
⃗ r ( t )
bo‘lsa, tezlik va tezlanish:
⃗
v = d ⃗ r
dt , ⃗ a = d ⃗ v
dt
Skalyar ko‘paytma (skalyar mahsulot):
Ikki vektor orasidagi burchak va ish:
⃗
A ⋅ ⃗ B = ¿ ⃗ A ∨ ¿ ⃗ B ∨ cos ⁡ θ
Misol: Kuch va yo‘l ko‘paytmasi — ish ( W = ⃗F ⋅⃗s ).
Vektor ko‘paytma (vektor mahsulot):
Moment va magnit kuch:
⃗A×⃗B=¿⃗A∨¿⃗B∨sin ⁡θ⃗n
Misol: ⃗ M = ⃗ r × ⃗ F
— moment.
Normal va tangent vektorlar:
Sirt F ( x , y , z ) = 0
uchun normal:
∇ F
Tangent:
⃗ r '
( t )
Grafikada va vizualizatsiyada qo‘llanishi
3D modellash va chizmachilik: Vektorlar obyektlarni harakatlantirish, burish,
masshtablash, yoritish va sirtlarni bo‘yash uchun ishlatiladi.

2.⁡Tekislik
Oshkormas: Ax + By + Cz + D = 0

Vektorli:
⃗r(s,t)= ⃗r0+s⃗a1+t⃗a2
Bu yerda
⃗ a
1 va ⃗ a
2 — tekislikda yotuvchi ikki vektor.
3.
⁡Sfera
Oshkormas:
x 2
+ y 2
+ z 2
= R 2
Parametrik:
{
x= Rsin ⁡θcos ⁡ϕ
y= Rsin ⁡θsin ⁡ϕ
z= Rcos ⁡θ
θ∈[0,π]
, ϕ∈[0,2 π] .
4.
⁡Ellipsoid
Oshkormas:
x 2
a 2 + y 2
b 2 + z 2
c 2 = 1
Parametrik:
{
x= asin ⁡θcos ⁡ϕ
y=bsin ⁡θsin ⁡ϕ
z=ccos ⁡θ
5.
⁡Silindr
Oshkormas:
x2+y2= R2
Parametrik:
{
x = R cos ⁡ t
y = R sin ⁡ t
z = h
t ∈ [ 0,2 π ]
,
h — balandlik.
6.
⁡Konus
Oshkormas:
z 2
= x 2
+ y 2

Aylana grafigi, elips, giperbola — bularning barchasi implicit tenglamaning
klassik grafik misollaridir. Ko‘p hollarda bunday grafiklar simmetrik, yopiq, va
ba’zan, x ning bir qiymati uchun bir nechta y qiymatini beradi (yoki aksincha).
6. Grafik xossalarining muhim jihatlari
Implicit grafigi ko‘p hollarda
x yoki y bo‘yicha funksiyalilik talabini buzadi
(ya’ni, bir x
uchun bir nechta y
qiymat mavjud bo‘lishi mumkin).
Ko‘plab real fizik va texnik jarayonlar (harorat, bosim, kuch, konsentratsiya
va boshqalar) aynan implicit tenglama bilan ifodalanadi va grafigi ham implicit
bo‘ladi.
• Grafikni aniq qurishda matematik analiz va algebraik manipulyatsiyalar
bilan birga zamonaviy kompyuter grafik usullari ham keng qo‘llaniladi.
Oshkormas funksiyalarning amaliy misollari va ularning grafik xususiyatlari
nafaqat matematik tahlil, balki fizik, texnik va boshqa amaliy sohalar uchun ham
muhim ahamiyatga ega. Ularning vizual va tahliliy o‘rganilishi ko‘plab jarayon va
obyektlarni to‘g‘ri tushunishga yordam beradi va zamonaviy modellashtirishda
asosiy rol o‘ynaydi.
Oshkormas funksiyalarga oddiy misollar va ularning grafik talqini
Oshkormas funksiyalar (implicit funksiyalar) matematikada va uning amaliy
tarmoqlarida juda keng uchraydi. Ularning asosiy xususiyati shundaki,
x va y
o‘zgaruvchilar o‘zaro to‘g‘ridan-to‘g‘ri emas, balki biror umumiy tenglama orqali
bog‘langan bo‘ladi. Quyida oshkormas funksiyalarga klassik va amaliy misollar
keltiriladi, hamda ularning grafik xususiyatlari izohlanadi.
1. Aylana tenglamasi
x2+y2=r2
Bu eng sodda va mashhur oshkormas funksiya misolidir. Bu tenglama
x va y ni
o‘zaro bog‘lab, tekislikda radiusi r
bo‘lgan barcha nuqtalar to‘plamini — aylana
chizig‘ini hosil qiladi. Bu yerda
y ni x orqali ajratib yozish mumkin (
y = ± √ r 2
− x 2
),
lekin bu faqat
¿x∨ ≤r oraliqda mumkin va har bir x uchun ikki xil y qiymat
mavjud.
2. Elips va giperbola tenglamalari

dy
dx = −ex+y+2xy2
ex+y+2x2yXulosa:
Oshkormas funksiyalar va ularning hosilalarini amaliy masalalarda, fizik,
iqtisodiy, biologik va texnik tahlil uchun qo‘llash — zamonaviy fan va
texnologiyaning eng kuchli tahlil va bashorat vositalaridan biri bo‘lib, real dunyo
muammolarini samarali yechish imkonini beradi.

Oshkormas funksiyalar va ularning hosilalari

Купить