Parametrga bog’liq integrallar - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	9000UZS
Размер	164.0KB
Покупки	0
Дата загрузки	09 Октябрь 2022
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Parametrga bog’liq integrallar

Купить

Parametrga bog’liq integrallar Reja: 1.PARAMETRGA BOG’LIQ INTEGRALLARNING BOSHLANG’ICH TUSHUNCHALARI. 2.PARAMETRGA BOG’LIQ INTEGRALLARNING FUNKSIONAL XOSSALARI. 3.PARAMETRGA BOG’LIQ INTEGRALLARNING UMUMIY XOLI. 4. XULOSA.

ANNOTATSIYA Bizga f(x1,x2,...xm) funksiya biror M (M ⊂ Rm) to’lamda berilgan bo’lsin . Bu funksiyaning bitta xk k=(1,2, ...,m) o’xgaruvchisidan boshqa barcha o’zgaruvchilarini o’zgarmas deb hisoblasak,u holda f(x1,x2,.....xm) funksiya bitta xk o’zgaruvchiga bog’liq bo’gan funksiyaga aylanadi. Uning shu o’zgaruvchi bo’yicha integrali , ravshanki x1,x2,...,xk−1,xk+1,...,xm larga bog’liq bo’ladi. Bunday integrallar parametrga bog’liq integrallar tushunchasiga olib keladi. Soddalik uchun ikki o’zgaruvchili f (x,y) funksiyaning bitta o’zgaruvchi bo’yicha integralini o’rganamiz. F(x,y) funksiya R2 fazodagi biror M = {(x,y)∈ R2:a≤ x≤ b,y∈ E⊂ R} to’plamda berilgan bo’lsin. Y o’zgaruvchining E(E⊂ R) to’plamdan olingan har bir tayinlangan qiymatida F(x,y) funksiya x o’zgaruvchisi bo’yicha [a,b] oral

1. PARAMETRGA BOG’LIQ INTEGRALNING BOSHLANG’ICH TUSHUNCHASI. Bizga f(x1,x2,...xm) funksiya biror M (M ⊂ Rm) to’lamda berilgan bo’lsin . Bu funksiyaning bitta xk k=(1,2, ...,m) o’xgaruvchisidan boshqa barcha o’zgaruvchilarini o’zgarmas deb hisoblasak,u holda f(x1,x2,.....xm) funksiya bitta xk o’zgaruvchiga bog’liq bo’gan funksiyaga aylanadi. Uning shu o’zgaruvchi bo’yicha integrali , ravshanki x1,x2,...,xk−1,xk+1,...,xm larga bog’liq bo’ladi. Bunday integrallar parametrga bog’liq integrallar tushunchasiga olib keladi. Soddalik uchun ikki o’zgaruvchili f (x,y) funksiyaning bitta o’zgaruvchi bo’yicha integralini o’rganamiz. F(x,y) funksiya R2 fazodagi biror M = {(x,y)∈ R2:a≤ x≤ b,y∈ E⊂ R} to’plamda berilgan bo’lsin. Y o’zgaruvchining E(E⊂ R) to’plamdan olingan har bir tayinlangan qiymatida F(

Parametrga bog’liq integrallarda, f(x,y) funksiyaning funksional xossalariga (limiti, uzluksizligi, diferensiallanuvchiligi, integrallanuvchiligi va hakazo) ko’ra Ф (y) funksiyaning tegishli funksional xossalari o’rganiladi. Bunday xossalarni o’rganishda f(x,y) funksiyaning y o’zgaruvchisi bo’yicha limiti va unga intilishi xarakteri muhim rol o’ynaydi. Limit funksiya. Tekis yaqinlashish. Limit funksiyaning uzluksizligi. F(x,y) funksiya M = {(x,y)∈ R2:a≤ x≤ b,y∈ E⊂ R} to’plamda berilgan , y0 esa E(E⊂ R) to’plamning limit nuqtasi bo’lsin. X o’zgaruvchining [a,b] oraliqdan olingan har bir tayin qiymatida f(x,y) faqat y ninggina funksiyasiga aylanadi. Agar y→ y0 da bu funksiyaning limiti mavjud bo’lsa, ravshanki, y limit x o’zgaruvchining [a,b] oraliqdan olingan qiymatiga bog’liq bo’ladi: limy

f(x,y)= xsin yfunksiyani D= {(x,y)∈R2:0≤ x≤ 1,y∈R} to’plamda qaraylik. y→ π 2 dagi limit funksiya x ekanligini ko’rsatamiz. Agar ∀ ε>0 ga ko’ra, δ=ε deb olinsa, unda | y− y0 |=| y− π 2 | −δ tengsizlikni qanoatlantiruvchi ∀ y∈R va ∀ x∈[0,1 ] uchun | f(x,y)−ϕ(x) | = | xsin y−x | = | x || sin y−1 | = | x || sin y−sin π 2 | = =| x || 2sin y− π 2 2 cos y+π 2 2 | ¿ | y− π 2 | < ε bo’ladi. Demak, y → π 2 da f(x,y)= xsin y funksiyaning limit funksiyasi ϕ(x)=lim y→π2 f(x,y)=lim y→π2 xsin y=x bo’ladi. 3-Ta’rif: M to’plamda berilgan f(x,y) funksiyaning y→ y0 dagi limit funksiyasi ϕ(x) bo’lsin. ∀ ε>0 olinganda ham shunday δ= δ(ε)>0 topilsaki, | y− y0 | ¿δ tengsizlikni qanoatlantiruvchi ∀ y∈E va ∀ x∈[a,b] uchun | f(x,y)−ϕ(x) | ¿ε bo’lsa, f(x,y) funksiya o’z limit funksiyasi ϕ(x) ga [a,b] da tekis yaqin

4-Ta’rif: M to’plamda berilgan f(x,y) funksiyaning y→ y0 dagi limit funksiyasi ϕ(x) bo’lsin. ∀ δ>0 olinganda ham shunday ε0>0 , x0∈¿¿ [a,b] va | y1− y0 | ¿δ tengsizlikni qanoatlantiruvchi y1∈E topilsaki, ushbu | f(x0,y1)−ϕ(x0) | ¿ε0 tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda f(x,y) funksiya ϕ(x) ga notekis yaqinlashadi deyiladi.

2 Parametrga bog’liq integrallarf(x,y) funksiya M = ¿ ¿ ¿ to’plamda berilgan bo’lib, o’zgaruvchining E to’plamdan olingan har bir tayin qiymatida f(x,y)−x o’zgaruvchining funksiyasi sifatida [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. Ya’ni y ni o’zgarmas deb hisoblanganda ∫ a b f(x,y)dx integral mavjud bo’lsin. Ravshanki bu integralning qiymati olingan y ga (parametrga) bog’liq bo’ladi: Ф(y)=∫ a b f(x,y)dx (1) Misol: Ushbu f(x,y)= xsin y funksiyaning x o’zgaruvchisi bo’yicha [a,b] dagi integrali (bu yerda y=0) ∫ a b f(x,y)dx =∫ a b sin xydx = 1 y∫ a b sin xyd (xy )=cos ay −cos by y bo’lib, E= R/{0} to’plamda berilgan Ф(y)= 1 y(cos ay −cos by ) funksiyadan iboratdir. Ushbu paragrafda parametrga bog’liq (1) integralning ( Ф(y)− funksiyaning ) funksional xossalarini o’rganamiz. 1. Integral belg

f(x,y) funksiya y→ y0 da ϕ(x) limit funksiyaga ega bo’lsa va unga tekis yaqinlashsa, u holda lim y→y0 ∫ a b f(x,y)dx =∫ a b ϕ(x)dx (2) bo’ladi. Isbot: Shartga ko’ra f(x,y) funksiya y→ y0 da ) (x  limit funksiyaga ega va unga tekis yaqinlashadi. Demak ∀ ε>0 olinganda ham, shunday δ= δ(ε)>0 topiladiki, | y− y0 | ¿δ ni qanoatlantiruvchi ∀ y∈E va ∀ x∈[a,b] uchun | f(x,y)−ϕ(x) | ¿ ε b− a bo’ladi. Ikkinchi tomondan f(x,y) funksiyaning uzluksizligi to’g’risidagi teoremaga asosan ϕ(x) funksiya [a,b] oraliqda uzluksiz bo’ladi. Demak bu funksiyaning integrali ∫ a b ϕ(x)dx mavjud. Natijada | ∫ a b f(x,y)dx −∫ a b ϕ(x)dx | ¿ ∫ a b | f(x,y)−ϕ(x) | dx < ε b− a∫ a b dx = ε bo’lib, undan lim y→y0 ∫ a b f(x,y)dx =∫ a b ϕ(x)dx ekanligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. (4) munosabatni quyidagicha lim y→

f(x,y)xsin yfunksiyaning y→ 0 da ϕ(x)=0 limit funksiyaga tekis yaqinlashishini ko’rgan edik: limy→0 xsin y=0 Berilgan funksiya y o’zgaruvchining har bir tayin qiymatida x o’zgaruvchining [0,1] oraliqdagi uzluksiz funksiyasi ekanligi ravshan. Demak (1) teoremaga ko’ra lim y→0 ∫ 0 1 f(x,y)dx =lim y→0 ∫ 0 1 xsin ydx =∫ 0 1 [lim xsin y]dx =0 bo’ladi. 2. Integralning parametr bo’yicha uzluksizligi. 2-Teorema: Agar f (x,y) funksiya M ={(x,y)∈R2:x∈[a,b],y∈[c,d]} to’plamda uzluksiz bo’lsa, u holda Ф(y)=∫ a b f(x,y)dx funksiya [c,d] oraliqda uzluksiz bo’ladi. Isbot: Ihtiyoriy y0∈[c,d] nuqtani olaylik. Shartga ko’ra f(x,y) funksiya M to’plamda (to’g’ri to’rtburchakda) uzluksiz. Kantor teoremasiga ko’ra bu funksiya M to’plamda tekis uzluksiz bo’ladi. Unda ∀ ε>0 olinganda ham, shunday δ= δ(ε)>0 topila

bo’ladi. Demak, Ф(Y) funksiya y0 nuqtada uzluksiz. Teorema isbot bo’ldi. 3. Intefralni parametr bo’yicha differensiallash. 3-Teorema: f(x,y) funksiya M ={(x,y)∈R2:x∈[a,b],y∈[c,d]} to’plamda berilgan va y o’zgaruvchining [c,d] oraliqdan olingan har bir tayin qiymatida x o’zgaruvchining funksiyasi sifatida [a,b] oraliqda uzluksiz bo’lsin. Agar f(x,y) funksiya M to’plamda fy '(x,y) hususiy hosilaga ega bo’lib, y uzluksiz bo’lsa, u holda Ф(Y) funksiya ham [c,d] oraliqda Ф'(y) hosilaga ega va ushbu Ф'(y)=∫ a b fy'(x,y)dx (3) munosabat o’rinlidir. Isbot: Shartga ko’ra f(x,y) funksiya x o’zgaruvchisi bo’yicha [a,b] oraliqda uzluksiz. Binobarin Ф(y)=∫ a b f(x,y)dx integral mavjud. Endi ∀ y0∈[c,d] nuqtani olib, unga shunday Δy orttirma beraylikki, y0+Δy ∈[c,d] bo’lsin. Ф(Y) funksiy

Natijada Ф (y0+Δy )−Ф (y0) Δy =∫ a b fy'(x,y0+οΔy )dx =∫ a b fy'(x,y0)dx +∫ a b [fy'(x,y0+οΔy )− fy'(x,y0)]dx bo’lib, undan esa | Ф (y0+Δy )−Ф(y0) Δy −∫ a b fy'(x,y0)dx | ¿∫ a b | fy '(x,y0+οΔy )− fy '(x,y0) | dx ≤∫ a b ω(fy'Δy )dx = =ω(fy 'Δy )(b−a) (4) bo’lishini topamiz, bunda ω(fy 'Δy )−fy '(x,y) funksiyaning uzluksizlik moduli. Modomiki fy '(x,y) funksiya M to’plamda uzluksiz ekan, unda Kantor teoremasiga ko’ra bu funksiya shu to’plamda tekis uzluksiz bo’ladi. U holda yuqorida keltirilgan teoremaga asosan limΔy→0ω(fy',Δy )=0 bo’ladi. (4) munosabotdan lim Δy→o Ф(y0+Δy ) Δy =∫ a b fy'(x,y0)dx bo’lishi kelib chiqadi.Demak, Ф'(y0)=∫ a b fy'(x,y0)dx y0 nuqta [c,d] oraliqda ixtiyoriy. Teorema isbot bo’ldi. (3) munosabatni quyid

4. Integralni parametr bo’yicha integrallash.f(x,y) funksiya M ={(x,y)∈R2:x∈[a,b],y∈[c,d]} to’plamda berilgan va shu to’plamda uzluksiz bo’lsin.U holda 2-teoremaga ko’ra Ф(y)=∫ a b f(x,y)dx funksiya [c,d] oraliqda uzluksiz bo’ladi.Bu funksiya [c,d] oraliq bo’yicha integrali mavjud. Demak, f(x,y) funksiya M to’plamda uzluksiz bo’lsa, uholda parametrga bog’liq integralni parametr bo’yicha [c,d] oraliqda integrallash mumkin: ∫ a b Ф(y)dy =∫ c d [∫ a b f(x,y)dx ]dy Bu tenglikning o’ng tomoni f(x,y) funksiyani avval x o’zgaruvchi bo’yicha [a,b] oraliqda integrallab ,so’ng natijani [c,d] oraliqda integrallanadi Ba’zan f(x,y) funksiya M to’plamda uzluksiz bo’lgan halda bu fuksiyiyani avval y o’zgaruvchi bo’yicha [c,d] oraliqda integrallab,so’ng hosil x o’zgaruvchining funksiyasini [a,b] oraliqda

ϕ(t)=∫ c t [∫ a b f(x,y)dx ]dy ,ψ(t)=∫ a b [∫ c t f(x,y)dy ]dxintegralni qaraylik. ϕ(t),ψ(t) hosilalarini hisoblaymiz. Ф(y)=∫ a b f(x,y)dx funksiyani [c,d] oraliqda uzluksiz bo’lganligi sababli quyidagicha bo’ladi: ϕ'(t)=(∫ c t Ф(y)dy )t'=f(x,t) (5) bo’ladi. f(x,y) funksiya M to’plamda uzluksizligidan (∫ c t f(x,y)dy )t'=f(x,t) bo’ladi.Demak, ∫ c t f(x,y)dy funksiyaning M = ¿ ¿ to’plamdagi t bo’yicha xususiy hosilasi f(x,t) ga teng va demak ,uzluksiz.U holda 5-teoremaga muofiq ψ'(t)=(∫ a b [∫ c t f(x,y)dy ]dx )t'=∫ a b [∫ c t f(x,y)dy ]t'dx =∫ a b f(x,t)dx (6) bo’ladi. (5) va (6) munosabatdan ϕ'(t)=ψ'(t)=∫ a b f(x,t)dx bo’lishi kelib chiqadi.Demak, ϕ(t)=ψ(t)+c ( c-cont ) Biroq t=c bo’lganda ϕ(c)=ψ(c)= 0 bo’lib, Undan c=0 bo’lishini topamiz Demak, ϕ(t)=ψ(t) b

f(x,y) funksiya M ={(x,y)∈R2:x∈[a,b],y∈[c,d]} to’plamda berilgan. y o’zgaruvchining [c,d] oraliqda olingan har bir tayin qimatida f(x,y) funksiya x o’zgaruvchining funksiyasi sifatida [a,b] oraliqda integrallanuvchi bo’lsin. x=α(y),x= β(y) funksiyaning har biri [c,d] da berilgan va ∀ y∈[c,d] uchun a≤α(y)≤ β(y)≤b (7) bo’lsin. Ravshanki, ushbu ∫ α(y) β(y) f(x,y)dx integral mavjud, y o’zgaruvchiga bog’liqdir: F(y)= ∫ α(y) β(y) f(x,y)dx (8) haqiqqtdan ham (7) da α(y)=a,β(y)=b,(y∈[c,d]) bo’lganda (8) integral (1) ko’rinishdagi integralga aylanadi. F(y)= ∫ α(y) β(y) f(x,y)dx integralning xossalarini o’rganamiz. 5-Teorema. f(x,y) funksiya M ={(x,y)∈R2:x∈[a,b],y∈[c,d]} to’plamda uzluksiz , α(y)va β(y) funksiyalarning har biri [c,d] da uzluksiz va ular (7) shartni qanoatlantirsin. U holda F(y)= ∫ α

F(y0+Δy )− F(y0)= ∫ α(y0+Δy) β(y0+Δy) f(x,y0+Δy )dx − ∫ α(y0) β(y0) f(x,y0)dy = ∫ α(y0) β(y0) [f(x,y0+Δy )−f(x,y0)]dx + ∫ β(y0) β(y0+Δy) f(x,y0+Δy )dx − ∫ α(y0) α(y0+Δy) f(x,y0+Δy )dx (8) bo’ladi. Bu tenglikning o’ng tomonini qo’shiluvchilarini baholaymiz. f(x,y) funksiya M to’plamda uzluksiz , demak, Kantor teoremasiga asosan, tekis uzluksiz bo’ladi. U holda Δy → 0 da f(x,y0+Δy ) funksiya o’z limit funksiya f(x,y0) ga tekis yaqinlashadi .1-teoremaga ko’ra lim Δy→0 ∫ α(y0) β(y0) [f(x,y0+Δy )dx −f(x,y0)]dx = ∫ α(y0) β(y0) lim Δy→0 [f(x,y0+Δy )dx −f(x,y0)]dx = 0 (9) bo’ladi. (8) munosabatdagi ∫ β(y0) β(y0+Δy) f(x,y0+Δy )dx , ∫ α(y0) α(y0+Δy) f(x,y0+Δy )dx integrallar uchun quyidagi bahoga egamiz: | ∫ β(y0) β(y0+Δy) f(x,y0+Δy )dx |≤ M|β(y0+Δy )−β(y0) |, | ∫ α(y0) α(y0+Δy) f(x,y0+Δy )dx |≤M|α(

Yuqoridagi (9), (10), (11) munosabatlarni e’tiborga olib, (8) tenglikdaΔy → 0 da limitga o’tsak, unda limΔy→0 [F(y0+Δy )−F(y0)]=0 bo’lishi kelib chiqadi. Demak, F(y) funksiya ∀ y0∈[c,d] da uzluksiz. Teorema isbot bo’ldi. 6-Teorema. f(x,y) funksiya M ={(x,y)∈R2:x∈[a,b],y∈[c,d]} to’plamda uzluksiz, fy '(x,y) hususiy hosilaga ega va u uzluksiz, α(y),β(y) funksiyalar esa α'(y),β'(y) hosilalarga ega hamda ular (7) shartni qanoatlantirsin. U holda funksiya [c,d] oraliqda F'(y) hosilaga ega va F'(y)= ∫ α(y) β(y) fy'(x,y)dx +β'(y)⋅f(β(y),y)−α'(y)⋅f(α(y),y) bo’ladi. Isbot. ∀ y0∈[c,d] nuqtani olib unga shunday Δy orttirma beraylikki y0+Δy ∈[c,d] bo’lsin. (8) munosabatdan foydalanib quyidagini topamiz. F(y0+Δy )− F(y0) Δy = ∫ α(y0) β(y0)f(x,y0+Δy )− f(x,y0) Δy dx + 1 Δ

lim Δy→0 ∫ α(y0) β(y0)f(x,y0+Δy )−f(x,y0) Δy dx = ∫ α(y0) β(y0) fy'(x,y0)dx (13) integrallarga o’rta qiymat haqidagi teoramani qo’llab , ushbu ∫ β(y0) β(y0+Δy) f(x,y0+Δy )dx =f(x',y0+Δy )[β(y0+Δy )− β(y0)], ∫ α(y0) α(y0+Δy) f(x,y0+Δy )dx =f(x'',y0+Δy )[α(y0+Δy )−α(y0)], tengliklarni hosil qilamiz, bunda x' nuqta β(y0),β(y0+Δy ) nuqtalar orasida x'' esa α(y0),α(y0+Δy ) nuqtalar orasida joylashgan. f(x,y) funksiyaning M to’plamda uzluksizligini, α(y) va β(y) funksiyalarning esa [c,d] oraliqda hosilaga ega bo’lishini e’tiborga olsak, u holda lim Δy→0 ⋅ 1 Δy ⋅ ∫ β(y0) β(y0+Δy) f(x,y0+Δy )dx = lim Δ→0 [f(x',y0+Δy )× β(y0+Δy −β(y0)) Δy ]= lim Δy→0 f(x',y0+Δy )⋅lim Δy→0 β(y0+Δy )− β(y0) Δy =f(β(y0),y0)⋅β'(y0), lim Δy→0 ⋅ 1 Δy ⋅ ∫ α(y0) α(y0+Δy) f(x,y0+Δy )d

F'(y)= ∫ α(y0) β(y0) fy'(x,y)dx +f(β(y),y)⋅β'(y)−f(α(y),y)⋅α'(y). bo’lishi ravshandir. Bu esa teoremani isbotlaydi.

4. XULOSA . Xulosa qilib shuni aytish mumkinki, biz ko’p o’zgaruvchili funksiyalar va ularni diferensial hisobini batafsil o’rganganmiz. Endi bunday funksiyalarning integral hisobi bilan shug’ullanamiz. SHuni aytish kerakki, ko’p o’zgaruvchili funksiyalarga nisbatan integral tushunchasi turlicha bo’ladi. Mazkur mavzu ko’p o’zgaruvchili funksiyaning bitta o’zgaruvchisi bo’yicha integrali bilan tanishdik va uni o’rgandik. Parametrga bog’liq integrallarda , f(x,y) funksiyaning limiti, uzluksizligi, differensiallanuvchiligi , integrallanuvchiligi, va boshqa funksional xossalariga ko’ra Ф(y) funksiyaning tegishli funksional xossalari o’rganildi .Bunday xossalarni o’rganishda limiti va unga intilishi xarakteri muhim rol o’ynaydi. Parametrga bog’liq integrallarni parametr bo’yicha integralidan fo

bo’ladi.Ammo∫ 0 1 xydx = 1 y+1 bo’lganligidan A=∫ 0 1 1 y+1dy =ln b+1 a+1 bo’ladi.Demak ∫ 0 1 xb− xa1 ln x dx = ln b+1 a+1

Foydalanilgan adabiyotlar. 1. Matematik analiz. 2-qism. T.Azlarov, H.Mansurov. “O’zbekiston” nashriyoti.1993-yil. 2. Matematik analiz kursidan misol va masalalar to’plami. 2-qism. A.Sadullayev, X.Mansurov ,G. Xudayberganov, A.Borisov,R.G’ulomov. Toshkent. “O’zbekiston” nashriyoti 1995-yil.

Купить