Plastiklik shartlarida holat tenglamalari
![1. Mizes-Genka plastiklik shartida holat tenglamasi
Muvozanat tenglamasi (2.2.1) va Mizes-Genka (2.2.5) plastiklik shartlari
kuchlanishlarning uchta σx,σy,τxy komponentasini o‘zida ifodalaydi. Ushbu
sistema plastiklik muvozanati holati uchun (2.2.4,a) va (2.2.5,b) kuchlanish
komponentalarini ko‘chish tezliklaridan bog‘liq bo‘lmagan hollarda ham yechish
mumkin.
Ushbu qaralayotgan masala tekis kuchlanganlik holatida sirt kuchlanishlari
uchun statik aniq hisoblanadi.
Agar
τi= τT=
σT
√3 tenglik bajarilganda bosh kuchlanishlar (2.1.6) formulalar
bilan aniqlanadi deb qabul qilsak, Mizes-Genka plastiklik sharti (2.2.5,b)
ko‘rinishda bajariladi, deb qabul qilishimiz mumkin bo‘ladi. Ushbu
τi=
σT
√3 shart
bajarilganda (2.1.7) ifodalarni hisobga olib (4.2.1) differensial tenglamalarni ba’zi
almashtirishlardan keyin quyidagicha yozish mumkin:
(√3sin ω− cos ω⋅cos 2α)∂ω
∂x
− cos ω sin 2α∂ω
∂y
+2sin ω(sin 2α∂α
∂x
− cos 2α ∂α
∂ y)= 0;
( 4.1.1)
cos ω⋅sin 2α∂ω
∂x
− (√3sin ω +cos ω⋅cos 2α)∂ω
∂y
− +2sin ω (cos 2α∂α
∂x
+sin 2α∂α
∂y)= 0.
Shunday qilib, qaralayotgan sistema tekis kuchlanganlik holati uchun ikkita
noma’lum funksiya
ω (x,y) va α(x,y) dan bog‘liq ikkita differensial tenglamalar
sistemasiga kelmoqda. Ushbu tenglamalar sistemasi yechimi shu yechimlarning
qanday turga mosligini (giperbola, parabola, ellips) xarakterlaydi.
Ushbu sistemalar tipini aniqlash uchun bir nechta chiziqlarni
L[x(S), y(S)]
bog‘liq bo‘lgan funksiyalar
α(S) va ω (S) larni qarab chiqamiz. Integral sirti
orqali o‘tgan L ni quyidagicha yozamiz:
∂α
∂x
dx + ∂α
∂ y
dy = dα ; ∂ω
∂x
dx +∂ω
∂ y
dy = dω
. (4.1.2)
Egri chiziqli urinma integrali sirtidagi L xususiy hollarda quyidagicha bo‘ladi;
∂α
∂x
; ∂α
∂y
; ∂ω
∂x
; ∂ω
∂y
.
Hosil qilingan (4.1.1) va (4.1.2) tenglamalarni L orqali chiziqli algebraik
tenglamalar ko‘rinishida yozish mumkin.](https://docx.uz/documents/b6ec6f65-b03e-498a-b9fc-5618854f97f7/page_2.png?v=1)
![Quyidagi holatni qarab chiqamiz, σ1σ2<0 ya’ni, bosh kuchlanish turli xil
ishoraga ega. Ushbu holatga AB va DE tartibi mos keladi DE tartib uchun
σ1>0; σ2<0; σ1−σ2=σT.
Bundan ξ1= λ¿; ξ2=− λ¿ ya’ni ξ1=−ξ2. Siqilmaslik
shartidan
ξ0=0. 4.2.2-rasm.
Tenglamalar sistemasi kuchlanishlar uchun
∂σx
∂x +
∂τxy
∂y = 0;
∂τyx
∂x +
∂σy
∂ y = 0; σ1− σ2= (σx− σy)2+4τxy
2= σT
2,
Deformatsiya tezliklari uchun,
∂σx
∂x −
∂vy
∂ y
∂vx
∂ y+
∂vy
∂x
=
σy− σx
2τyx
;
∂vx
∂x +
∂σy
∂y = 0,
(4.2.3)
Xuddi shunday AB rejim uchun ham shu ketma-ketlikda natijalar chiqariladi.
Quyidagi holatni qarab chiqamiz,
σ1⋅σ2>0 ya’ni, bosh kuchlanishlar
ishoralari bir xil. Ushbu holatga oltiburchakning BC, CD, EF, FA, rejimlari mos
keladi. (oltiburchakning vertical va gorizontal chiziqlari). CD rejim uchun
σ1>0; σ2>0; σ1=σT.
Bundan ξ1=λ¿, ξ2=0. Siqilmaslik shartidan ξ3=− ξ1. BC
rejim uchun
σ2=σT; ξ1=0; ξ2= λ¿; ξ3=ξ2. Tresk-Sen-Venan plastiklik sharti
(2.24) ni qulayroq ko‘rinishda yozamiz
σ1− σ2= 2σY−σT|σ1+σ2|
agar σ1≥ σ2 (4.2.4)
CD rejim uchun
σ1= σT. Plastiklik shartidan quyidagi shartni qanoatlantiramiz:
σ1= σ2=2σTX
, u holda
σ1+σ2= 2σT(1− X )P (4.2.5)
bu yerda
X= X(x:y)− noma’lum funksiya. Ushbu (4.2.5) shartni hisobga olib tekis
kuchlanganlik holati uchun tenzor komponentalari kuchlanishlarini quyidagicha
yozamiz [6, 7].
σx=σT[P(1− X)+X cos 2α];
σy=σT[P(1− X)− X cos 2α];
τxy=σTXsin 2α.
(4.2.6)
Bu yerda
α(x,y)− bosh kuchlanish bilan x o‘qi orasidagi burchak bo‘lib
quyidagicha aniqlanishi kerak:
P= sign σ1= sign σ2 .
Differensial tenglama muvozanati sharti (2.2.1) da (4.2.6) ni hisobga olsak,](https://docx.uz/documents/b6ec6f65-b03e-498a-b9fc-5618854f97f7/page_6.png?v=1)
![sin 2α∂α
∂x−(P+cos 2α)∂α
∂y=0;
sin 2α∂ln X
∂x −(P+cos 2α)∂ln X
∂y +2P∂x
∂y= 0.(4.2.7)
α(x;y)
va X(x,y) noma’lumlardan bog‘liq ikkita differensial tenglamalar
sistemasiga ega bo‘ldik. Hosil qilingan (4.2.7) tenglamalar sistemasi haqiqiy
xarakteristikali bir oilaga mansub bo‘lsin.
∂y
∂x=−P+cos 2α
sin 2α ;
∂α
∂x=0. (4.2.8)
Bundan ko‘rinadiki qaralayotgan tenglamalar sistemasi parabolik ko‘rinishga ega.
(4.2.8) tenglamalar sistemasini integrallab quyidagilarni hosil qilamiz [77]:
α=C1= const ;
y= x⋅tg [α+(P+1)π
4 ]+C2.
(4.2.9)
(4.2.9) ga ko‘ra to‘g‘ri chiziq x o‘qiga nisbatan
α+(P+1)π
4 ga og‘ishgan, bu
esa og‘ish chegarasini bildiradi va bosh kuchlanish traektoriyasini ifodalaydi.
(4.2.8) tenglamalar sistemasidagi birinchi tenglamadan [6] ga ko‘ra
quyidagini hosil qilamiz
y= xtg [α+(P+1)π
4]+Φ (α). (4.2.10)
Φ(α)
-funksiya chegaraviy shartlardan aniqlanadi. (4.2.7) tenglamalar sistemasi
ikkinchi tenglamasida. (4.2.9) ni hisobga olsak xarakteristik chiziq atrofida
quyidagi shart bajariladi
dln X=−2P∂α
∂x⋅ dx
sin 2α.
(4.2.11)
(4.2.10) da
∂α
∂x hisobga olib, (4.2.7) ning ikkinchi tenglamasini integrallab,
quyidagi umumiy yechimni hosil qilamiz:
X= Ψ (α)
2x+(1− Pcos 2α)Φ'(α)
,
(4.2.12)
bu yerda
Ψ (α) - o‘zgaruvchi funksiya bo‘lib berilgan chegaraviy shartlardan
aniqlanadi. Tekis taqsimlangan kuchlanishlar integralini
α= сonst ; X=const o‘q
ichiga oladi.
Ψ (α)
shartlardan aniqlanib α(x;y) va X(x,y) qiyshiq chiziq C atrofida x,y
tekislikka nisbatan berilgan bo‘ladi. Qiyshiq chiziq C xarakteri (Koshi masalasi)](https://docx.uz/documents/b6ec6f65-b03e-498a-b9fc-5618854f97f7/page_7.png?v=1)
Plastiklik shartlarida holat tenglamalari
-
Похожие документы
- Ayirmali sxemalar, ularni qurish va differensial masalani approksimasiyalash. Dirixle masalasi. Chekli — ayirmali tenglamalar sistemasini iterasiya usuli bilan yechish (Libman o‘rtalash jarayoni)
- Bernulli tenglamasi. puazeyl va darsi-veysbax formulalari. gidravlik zarba
- Boshlang‘ich sinflarda matematikadan uy ishlari va o‘quvchilar bilimini reyting baholash va baho normalalri
- Bir o‘lchamli nostatsionar issiqlik o‘tkazuvchanlik tenglamasini chekli ayirmalar usuli bilan yechish
- Boshlang‘ich sinflarda matematika o‘qitish metodlari va ularning kilassifikatsiyasi