Proеktsiyalash nazariyasining ba'zi bir masalalari

Информация о документе

Цена	20000UZS
Размер	381.9KB
Покупки	0
Дата загрузки	03 Март 2026
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Mohigul Xolyigitova

Дата регистрации 25 Октябрь 2024

7 Продаж

Proеktsiyalash nazariyasining ba'zi bir masalalari

Купить

Oliy ta'lim, fan va innovasiyalar vazirligi
Jizzax davlat pedagogika universiteti
Sirtqi bo`lim
Matematika va Informatika yo`nalishi
“Tabiiy va aniq fanlarda masofaviy ta’lim” kafedrasi
KURS ISHI
MAVZU: Proеktsiyalash nazariyasining ba'zi bir masalalari
Bajardi: Matematika va
Informatikayo`nalishi 3-kurs
S0603- 22 guruh talabasi
Hasanova Gulshan
Kurs ishi rahbari: Xolyigitova Mohigul
Jizzax- 2025

MAVZU: : SIRKUL VA CHIZG’ICH YORDAMIDA YASASH
AKSIOMALAR
MUNDARIJA
Kirish
1.Markaziy pro е ktsiyalash.
2.Parall е l pro е ktsiyalash.
3. Ikki tеkislikning pеrspеktiv- affin mosli
4. Tеkislikdagi pеrspеktiv affin almashtir .
Xulosa
Adabiyotlar

Kirish
Biz ta’lim va tarbiya tizimining barcha bо‘g‘inlari faoliyatini bugungi zamon
talablari asosida takomillashtirishni o‘zimizning birinchi darajali vazifamiz deb
bilamiz. Yosh avlod tarbiyasi haqida gapirganda, Abdurauf Fitrat bobomizning
mana bu fikrlariga har birimiz, ayniqsa, endi hayotga kirib kelayotgan o‘g‘il-
qizlarimiz amal qilishlarini men juda-juda istardim. Mana, ulug‘ ajdodimiz nima
deb yozganlar: “Xalqning aniq maqsad sari harakat qilishi, davlatmand bo‘lishi,
baxtli bo‘lib izzat-hurmat topishi, jahongir bo‘lishi yoki zaif bo‘lib xorlikka
tushishi, baxtsizlik yukini tortishi, e’tibordan qolib, o‘zgalarga tobe va qul, asir
bo‘lishi ularning o‘z ota-onalaridan bolalikda olgan tarbiyalariga bog‘liq”.
O‘zbekistonning kelajagi, uning istiqboli,birinchi navbatda yoshlar tarbiyasiga,
ularni sog‘lom qilib o‘stirishga, milliy g‘oya, milliy mafkura va o‘z vataniga
sadoqat ruhida tarbiyalashga bog‘liq bo‘lib, bu murakkab jarayonni muvaffaqiyatli
amalga oshirish mustaqil mamlakatning eng dolzarb vazifalaridan biridir.
Hozirgi kunda jahon tajribasidan ko‘rinib turibdiki, ta’lim jarayoniga
o‘qitishning yangi, zamonaviy usul va vositalari kirib kelmoqda va samarali
foydalanilmoqda.
Bugungi kunda yurtimizda ta’lim sohasida chuqur islohotlar amalga oshirilayotgan
bir davrda, ilm-fan va ayniqsa, aniq fanlarning, jumladan matematikaning jamiyat
taraqqiyotidagi o‘rni tobora ortib bormoqda. O‘zbekiston Respublikasi Prezidenti
Shavkat Mirziyoyev bu borada shunday deydi:
“Matematika – barcha fanlarning otasi. Agar biz matematika fanini yaxshi yo‘lga
qo‘ymasak, boshqa fanlar ham rivojlanmaydi.”
( Shavkat Mirziyoyev, Xalq ta’limi tizimini rivojlantirish bo‘yicha yig‘ilishdan,
2020-yil )
Darhaqiqat, matematik bilimlar zamonaviy texnologiyalar, iqtisodiyot,
muhandislik, statistika kabi ko‘plab sohalarda asosiy tayanch hisoblanadi.
Ayniqsa, geometriyada muhim o‘rin tutuvchi sirkul va chizg`ich yordamida

yasashga oid masalalar nafaqat nazariy jihatdan, balki amaliy masalalarni
yechishda ham beqiyos ahamiyatga ega.
“Biz matematika fanini rivojlantirmasak, kelajakda raqamli texnologiyalarni,
sun’iy intellektni, muhandislikni rivojlantira olmaymiz.”
Shu boisdan, ushbu ishda geometriyada muhim o‘rin tutuvchi proeksiyalar
nazariyasiga oid masalalarni amaliy tadbiqi ni o‘rganish orqali nafaqat matematik
bilimlarimizni boyitamiz, balki uni hayotiy jarayonlarga qo‘llash yo‘llarini ham
chuqur anglaymiz. Bu esa bizni zamonaviy ilm-fan yo‘nalishida yangicha
fikrlashga undaydi.

1. Markaziy pro е ktsiyalash
Е vklid fazosida a t е kislik va shu t е kislikdan tashqarida yotgan A'. nuqta b е rilgan
d е b faraz qilaylik (77- chizma). A' dan farqli ixtiyoriy S (S € α ) nuqtani tanlab olib,
uni A' nuqta bilan tutashtiramiz, hosil bo`lgan SA' to`g`ri chiziqning a t е kislik
bilan k е sishgan nuqtasini Ап bilan b е lgilaylik. А 0 nuqtani fazodagi A' nuqtaning α
(pro е ktsiya) t е kislikdagi markaziy pro е ktsiyasi S nuqtani pro е ktsiyalar markazi S
А ' chizish pro е ktsyalovchi to`g`ri chiziq a t е kislikning esa pro е ktsiyalar t е kisligi
d е yiladi.
Yuqoridagi usul bilan F' figurannng a tеkislikdagi F0 proеktsiyasini
yasaganimizdan kеyin, uni o’xshash almashtirib, F' figurannng a tеkislikdagi F
tasvirini hosil qilamnz. Ba'zi xillarda o’xshash almashtirshga zaruriyat tug`ilmaydi,
u holda F' figurannng a tе kislikdagi proеktsiyasi uning tasviri bo`ladi.
Figura pro е ktstsyasining ko’rinishi pro е ktsiyalar t е kisligining pro е ktsiyalar
markaziga nisbatan joylanishiga bog`liq. Markaziy pro е ktsiyalashda kishi
ko`zining ko`rish nurlari pro е ktsiyalovchi nurlarga mos k е lganligi sababli tasvir
yaqqol ko`rinadi. Markaziy pro е ktsiyalar bo’yicha figuraning haqiqiy shakli va
o`lchamlarini aniqlash qiyin va noqulay. Shuning uchun bu usuldan ko`pgina yirik
inshootlarning umumiy ko`rinishlarini tasvir lashda foydalaniladi. Markaziy
pro е ktsiyalash usuli bilan yasalgan tasvir p е rsp е ktiv va bu usul bilan
shug`ullanuvchi fan ham p е rsp е k tiv d е b ataladi va u chizma g е om е triyaning
maxsus bo`limidan biri hisoblanadi.
2. Parall е l pro е ktsiyalash.
Parall е l pro е ktstsyalashni markaziy pro е ktsiyalashning xususiy holi d е b qarash
mumkin. Bunda, pro е ktsiyalash markazi S biror М ' N' to`g`ri chiziq yo`nalishi

bo’yicha harakatlanib pro е ktsiyalar t е kisligidan ch е ksiz uzoqlashgan d е b faraz
qilamiz (78- chizma). Bu yerda М ' N ' chiziq pro е ktsiyalash yo`nalishi d е yiladi.
3. Ikki tеkislikning pеrspеktiv- affin mosli
s to`g`ri chiziq bo’yicha kеsishuvchi ikkita a', a tеkisliklar va bu tеkisliklarni
kеsuvchi I yo`nalish bеrilgan bo`lsin. Parallеl proеk tsiyalash usuli bilan barcha
tеkisliklar nuqtalari orasida bir qiymatli moslik o`rnatamiz (79-chizma).
Bunday moslikni p е rsp е ktiv af fin mosligi yoki jinsdosh moslik d е yiladi. Bu
moslikda ixtiyoriy ikkita mos A', A nuqtalarni birlashtiruvchi to`g`ri chiziqlar
yo`nalishga parall е l bo`ladi.
Endi p е rsp е ktiv affin mosligining xossalari bilan tanishib chiqaylik. (Buni parall е l
pro е ktsiyalash xossalari d е b ham yuritiladi.)
Avvalo, ikkita t е kislikning k е sishgan chiziqning har bir nuqta si bunday moslikda
o`z o`ziga o`tishini eslatib o`tishimiz lozim.
1. P е rsp е ktiv affin mosligida kollin е ar nuqtalar yana kollin е ar
nuqtalarga o’tadi.
Agar A nuqta a to`g`ri chiziqda yotsa bu nuqta va shu to`g`ri chiziq bir-biriga
intsid е nt d е yiladi. Nuqta va t е kislikning, to`g`ri chiziq va t е kislikning intsid е ntligi
shunga o’xshash aniqlanadi.
2. P е rsp е ktiv affin mosligida nuqta va to`g`ri chiziqning intsid е ntligi saqlanadi.
3. P е rsp е ktiv affin mosligida parall е l to`g`ri chiziqlar parall е l to`g`ri chiziqlarga
o’tadi (79-chizma.)
4. P е rsp е ktiv affin moslikda uchta nuqtaning oddiy nisbati saqlanadi.
Haqiqatan ham, α t е kislikdagi kollin е ar uchta А , В , С nuqta га α ' t е kislikda А ', В ',
С nuqtalar mos k е ladi. АА ', ВВ ', СС ' pro е ktsiyalov chi to`g`ri chiziqlar parall е l,
shuning uchun ushbu t е ng`likni yoza olamiz

AC
CB = A'C'
C'B', (ABC )=(A'C'B').4. Tеkislikdagi pеrspеktiv affin almashtirish.
Tеkisliklardan birini s to`g`ri chiziq atrofida aylantiraylik, aylanayotgan tеkislik
qanday vaziyatda bo’lishidan qat'iy nazar proеk tsiyalovchi АА', ВВ', СС' to`g`ri
chiziqlar parallеlligicha qolavеradi. Jumladan a tеkisliklar ustma-ust tushgan holda
ham (80- chizma). Bu holda a tеkislikni a' tеkislikka pеrspеktiv akslantirishni bitta
a=a' tеkislik nuqtalarini o’z-o’ziga akslantirish dеb qarash mumkin. Bunday
pеrspеktiv affin akslantirishni pеrspеktiv affin al mashtirish dеb aytiladi. s to`g`ri
chiziqni almashtirish o’qi dеb yuri tiladi. Bu hol tasvirlash mеtodlarini o’rganishda
muhim ahamiyatga ega.
Tеkislikni pеrspеktiv affin almashtirish bir juft mos(-4, A') nuqtalarning va s
o’qining bеrilishi bilan to’la aniqlanadi.
Parallel proyeksiyalash. Tekis figuralarning tasviri.
Geometriyada fazodagi figuralarning geometrik xossalarini o’rganishda bevosita
figuralarning o’zlaridan emas, balki ularning tekisligidagi tavsvirlaridan
foydalaniladi. Geometriya o’qitishda o’rganiladigan materialni ravshanligi va uni
turli tasvirlash vositalari bilan konkretlashtirish katta ahamiyatga egadir. Tekis
figuralarni aniq qilib doskada (tekislikda) aniq qilib tasvirlashimiz mumkin, ammo
fazoviy figuralarni doskada (qog’ozda) tasvirlash ancha murakkabdir.
Agar tasvirlanadigan figuraning modelini yasashni e’tiborga olmasak, kundalik
tajribada fazoviy figuralarni tekislikka tasvirlashga to’g’ri keladi. Tasvirlanishi
kerak bo’lgan figurani original (asli), originalini tekislikda ifoda qiluvchi tekis
figurani esa tasvir deb ataylik.
Originalni bilgan holda uni tasvirini topish qoidalar to’plami tasvirlash metodlari
deyiladi.

Fazoviy figuralarni tasvirlash metodlari juda ko’pdir. Masalan, markaziy
proyeksiyalash, parallel proyeksiyalash, Aksonometriya, tsiklografiya, sterarafik
proksiyalash va h.k.
Markaziy proyeksiyalash.
Tasvirlash metodlariga asosan 2 talab qo’yiladi:
ko’rgazmalilik (ravshanlik);
qulay o’rganuvchanlik.
Shuni ta’kidlash joizki, tasvirlash metodlariga qo’yiladigan bu ikki talab, ma’lum
ma’noda bir-biriga qarshidir. Masalan, rassomlar uchun asosan ko’rgazmalilik
kerak. Ular deyarli markaziy proyeksiyalash metodidan foydalanadilar. Ammo bu
metod bilan hosil qilingan tasvirda original o’lchamlarini aniqlash ancha
murakkab. Muhandislar asosan moxt metodidan foydalanadilar. Bu metod bilan
hosil qilingan tasvirdan darxol originalning o’lchamlarini topib olish mumkin.
Ammo , ma’lum tayyorgarligi bo’lingan odam tasvir orqali orginalni ko’z oldiga
keltirolmaydi. Yuqoridagi 2 talabni «o’rtacha» qonoatlantiradigan tasvirlash
metodlari ham juda keng tarqalgan. Masalan, paralel prayeksiyalash metodi
ko’rgazmalilik talabiga jovob berishida markaziy prayeksiyalash metodidan
qolishmaydi, hamda tasvirga qarab orginalni o’lchovlarini topish ham unga
murakkab emas. Shu sababli geometriyada fozaviy figuralarni tasvirlashda paralel
prayeksiyalash metodidan foydalaniladi. Uning asosiy xossalarini eslaylik:
To’g’ri chiziqning prayeksiyasi to’g’ri chiziqdir;
Agar A∈F bo’lsa, A'∈F' dir;
Agar a // v bo’lsa , a// // B/ bo’ladi.
Bir to’g’ri chiziqda yotuvchi kesmalarning nisbati tasvirdagi mos kesmalar
nisbatiga teng bo’ladi.
Paralel prayeksiyalashda bir to’g’ri chiziqda yotgan uchta nuqtaning oddiy nisbati
saqlanadi v/x.k
(A B,C) =(A’B’,C’) yoki
AB
BC = A'B'
B'C' ;

Fazodagi tekis figuralarning paralel prayeksiyasini topaylik. Chunki tekis figura
fazoviy figuralar tarkibiga Kirishi mumkin. Masalan, pramidaning yoqlari
uchburchak bo’ladi.
Teorema: F va F figuralar o’zaro kesishuvchi tekisliklarda yotsin G∩G≠ 0 F
figura
N ning tasviri bo’lishi uchun F va O ning affin- ekvivalent bo’lishi zarur va
yetarlidir.
Biz ma’lumki,
⃗e1 ni G tekislikni paralel payeksiyasi-peropektiv affin
moslikdan iboratdir. Bunda
⃗e 2 ⃗e 3 ga affin
ekvalentdir. Shunday ekan,
x fazodagi berilgan y ni paralel prayeksiyasi-
tasviri deb qarash mumkin.
Masalan: Katetlari a va 2a ga teng bo’lgan to’g’ri burchakli uchburchakning to’g’ri
burchagi uchidan median iva balandlik o’tkazilgan. Shu uchburchakning tasvirini
yasang.
z
⃗e 1'
⃗e 2' ning tasviri bo’ladi. AF=FV dan F ni yasay olamiz. ⃗e 3' ni
tasvirini yasash uchun
x
'
y
' dan H ni topamiz va CN ni
yasaymiz.
Umuman tekis figuralarni tasvirini yasash uchun:
Berilgan figura xayolan tasavvur qilinadi yoki hech o’zgarishsiz chizib qo’yiladi.
Keyin figuraning tasvirini yasash uchun yetarli xosslari ajratiladi.
Berilgan figuradan bazis uchburchakni ajratib, uni tasviri sifatida ixtiyoriy
uchburchak olamiz.
Berilgan figuraning qolgan elementlari yuqoridagi 1-5 xossalarga asosan yasaladi.
Masala:
z ' to’rtburchakning tasvirini yasang.

Bazis O ' bo’lib, uning tasviri ΔABC bo’lsin. BD diognalni o’tkazamiz.
BD∩C D= E

AE
EC
= BE
ED dan D ni yasaymiz. ABCD - ABCD to’rtburchakning
tasviri bo’ladi.
Huddi shunday usul bilan, trapetsiya, parallelogramm n-burchaklarni tasvirlash
mumkin.
Aylananing affin obrazi ellips bo’lgani uchun uning parallel proyeksiyasi ellips
bo’ladi.
Muntazam ko’pburchaklarning tasvirini yasashda uning xossalaridan foydalanish
darkor.
Mustaqil muntazam oltiburchakni tasvirlang.
7-ma’ruza.
Fazoviy figuralarni tasvirlash. Ortogonal proyeksiyalash.
Fazoviy figuralarni biror tekislikka parallel proyeksiyalash metodi bilan tasvirlash
ko’p jihatdan tekis figuralarni tasvirlashga o’xshaydi. Shunday savol tug’iladi:
fazoviy affin reperni ixtiyoriy tarzda tasvir qilish mumkinmi? YOki ixtiyoriy
to’rtburchak (diognali bilan) oldindan berilgan tetraedrning tasviri bo’lishi
mumkinmi? Bu savolga quyidagi Polke-Shvars (1864) teoremasi javob beradi.
Teorema: Ixtiyoriy ABCD to’liq to’rtburchak
A'B'C'D' tetraedrning tasviri bo’lishi
mumkin.
Bu teoremani 2 ta quyidagicha bayon etish mumkin.
Teorema: O’zining formasi bo’yicha
A'B'C'D' tetraedr qanday bo’lmasin va
berilgan
A1B1C1D1 to’rtburchak qanday bo’lmasin, berilgan tetraedrning fazoda
shunday joylashtirish va // yo’nalishini shunday tanlab olish mumkinki, berigan
tetraedr berilgan
A1B1C1D1 to’rtburchakka o’xshash bo’lgan ABCD to’rtburchakka
proyeksiyalanadi.

Faraz qilaylik M 1=(A1C1)∩(B1D1) (B'D') qirraga shunday M ' nuqta olaylikki, u
11 11
B M
M D
B M
M D 
 
shartni qanoatlantiruvchi xudi shuningdek A'N'
N'C'=
A1N1
N1C1 shartni
qanoatlantiruvchi
(A'C') da N' ni olamiz.
A'B'C'D'
tetraedrni M 'N'⊥П0 shartni qanoatlantiruvchi П0 tekislikka
proyeksiyalaymiz. Unda to’rtburchakka ega bo’lamiz. Boshqacha qilib aytganda,
bu to’rtburchak
A'B'C'D' tetraedrni П0 dan ortogonal proyeksiyasi bo’ladi.
A0M 0
M 0C0
= A'N'
N'C'=
A1M 1
M 1C1
;
D0M 0
M 0B0
= D'M '
M 'B'=
D1M 1
M 1B1
.
Boshqacha qilib aytganda
A0B0C0D0 ni A1B1C1D1 ning ortogonal proyeksiyasi deb
qarash mumkin. Agar
A0B0C0D0A1C1D1 ni prizma deb qarasak, u holda uni tekis
kesimlari ichidan shundayi borki, u asoslaridan biriga o’xshash bo’ladi. Masalan,
ABCD ∩ A1B1C1D1
.
Polke teoremasi:
Tekislikda bir nuqtadan chiqqan 3 ta kesma, fazodagi uzunliklarga teng va har
ikkitasi o’zaro perpendikulyar bo’lgan 3 ta kesmaning parallel proyeksiyasini
vazifasini o’tashlari mumkin.
Polke-Shvars teoremasiga asosan, agar 3 ta kesmaning uchlarini tutashtirsak, hosil
bo’lgan to’rtburchak oldindan berilgan tetraedrga o’xshash, xususan 3 ta o’zaro
teng va har ikkitasi o’zaro perpendikulyar kesmalar hosil qilgan tetraedrning
parallel proyeksiyasi bo’ladi.
Polke teoremasini isbotini qilishdan bolalaga (maktabda) bayon qilish mumkin.
Isbotini esa, siladan qiligan ortogonal reperni projektor nuri yo’liga qo’yib, yuzini
devorga tushirish mumkin. Agar biz reperni fazoda turlicha o’zgartirsak, uning
devordagi soyasi turlicha bir nuqtadan chiquvchi 3 ta kesma sifatida ko’rinadi.
Fazoviy figuralarning tasviriga asosan 3 ta talab qo’yiladi:
Tasvir to’g’ri bo’lishi kerak;
Tasvir ko’rgazmali bo’lishi lozim;
Tasvir erkin bajariladigan bo’lishi shart.

1)- talabni qanoatlantirish uchun tasvir qat’iyan parallel proyeksiyalash
qoidalariga asosan tuziladi.
2) – talabni qanoatlantiruvchi tasvir parallel proyeksiyadagi figuralardan originalni
tasvirlovchiligi olinadi.
3) Tasvirlash paytida o’rganilayotgan temaga tegishli bo’lmagan yasashlar
bajarilmaydi.
Bundan tashqari fazoviy figuralarni tasvirlash paytida quyidagilarni ham e’tiborga
olizimiz lozim:
Biror figurani tasvirini topishda uning hamma nuqtalarini tasvirini topish shart
emas. Masalan, to’g’ri chiziqni tasvirlash uchun uning 2 ta nuqtasini, tenglikning
tasviri uning bir to’gri chiziqda yotmagan 3 ta nuqtasini topish kifoyadir.O
figuraning proyeksiyasi proyeksiya tekisligi va proyeksiya yo’nalishi
o’zgarishiga qarab o’zgaradi. Amaliyotda shularning ichidan ko’rgazmaliligini
olish kerak. Masalan, chizmada bitta kubni tasvirlari berilgan. Shular ichidan 4-
tasvir ko’rgazmasidir.
Tasvirni tushunish uchun originalni qaysi chiziqlari ko’rinadi, qaysilari
ko’rinmasligini bilish zarur. Ko’rinadigan chizmalarni kontur chiziq bilan
ko’rinmaydigan chiziqlarni tasvirini ingichka shtrixli chiziqlar bilan chizish, tasvir
yanada ko’rgazmali bo’ladi.
Ko’pyoqlilarni tasviri.
Kub. Uning tasviri 4-chizmada berilgan.
Prizmaning tasvirini topish uchun, eng avval uning asosini va bitta qirrasini
tasvirlaymiz. Ko’rgazmali bo’lishi uchun qirrani daftar ichiga parallel qilib olamiz.
So’ngra asos uchlaridan qirraga parallel va teng kesmalar yasaymiz va ularning
ikkinchi uchlarini kesmalar bilan tanishtiramiz.
Piramidaning tasvirini topish uchun eng avval uning asosini va uchini ixtiyoriy
ravishda tasvirlaymiz. Muntazam piramidaning balandligini tasvirlashda uni daftar
chetiga parallel qilib olish kerak. Kesik peramidani tasvirlashda eng avval to’liq
piramidani tasvirlab, so’ngra kesik piramidani tasvirlash lozim.

Mustaqil ish: Sferaning parallel proyeksiyasini toping.
Proyektiv geometriya.
1-MA’RUZA
Markaziy proyeksiyalash va uning xossalari. Proyektiv tekislik aksiomalari.
Proyektiv fazo modellari.
Proyektiv geometriyaning o’zi nima? Turli geometriyalar qanday paydo
bo’ladi?

1.Aksiomatik metod bilan geometriya ko’rish mumkin.Masalan, Yevklid
geometriyasi asosiy tushunchalar «nuqta » va «masofa» bo’lib, ular quyidagi
aksiomalarni qanoatlantiradi:
⃗e
1
2. F.Kleyn nazariyasi bilan geometriyalar ko’rish mumkin. Har bir geometriya
biror almashtirishlar gruppasining invariantlarining o’rgatadi. Masalan, Yevklid
geometriyasi harakatlar {D}, o’xshash almashtirishlar {R} gruppasining
invariantlarini o’rgansa, Affin geometriyasi affin almashtirishlar gruppasini
invariantlarini o’rganadi.
Proyektiv geometriya eng muhim geometriya bo’lib, Keli tabiri bo’yicha u
«Hamma geometriya»larini o’z ichiga olgan bo’lib, proyektiv almashtirishlarning
invariantlarini o’rgatadi. Proyektiv almashtirishning o’zi nima? Bu almashtirish
ham tarixan kishilarning ehtiyojini qondirish maqsadida kelib chiqqan. Aniqrog’i,
fazoviy figuralarni tasvir qilishdir. Masalan jismlarni ko’z orqali tasavvur qilish

bunda M va M’ nuqtalarni birlashtiruvchi to’g’ri chiziqlarning hammasi bir S
nuktadan – « ko’z qorachig’idan» o’tadi. Bunday akslantirishlarning ko’paytmasi
Ponem ta’rifi bo’yicha proyektiv almashtirish deyiladi.
Uning asosiy xossalari quyidagilardan iborat.
«Qarashli» munosabati saqlanadi. (1-chizma )
Agar ⃗e 2 bo’lsa ⃗e 3 bo’ladi.
Kesmaning uzunligi va burchakning kattaligi o’zgaradi, chunki bunda bir to’g’ri
chiziqda yotuvchi uchta nuqtaning oddiy nisbati saqlanmaydi (2-chizma)
O '
ning bissektrisasi ⃗e
1 ' , ⃗e
2 ' . Demak,
⃗e
3 '
«orasida» tushunchasi saqlanmaydi. (4 – chizma).

x '

4. Kesma nurga o’tishi mumkin (3-chizma)
Agar П
y' П1 bo’lsa, markaziy proyeksiyalash o’zaro bir qiymatli, aks holda (
z '
) markaziy proyeksiyalash o’zaro bir qiymatli emas (5-chizma).
Р- ning asli yo’q, Q1 – ning tasviri yo’q. Shuning uchun tekislikdagi har bir to’g’ri
chiziqni bitta cheksiz uzoqlashgan (maxsus) nuqta bilan to’ldiramiz. Har bir
tekislik bitta(maxsus) yoki cheksiz uzoklashgan to’g’ri chiziq bilan to’ldiriladi. E3

fazoni maxsusmas nuqta va maxsusmas to’g’ri chiziqlardan iborat maxsusmas
tekislik bilan to’ldiramiz. Shu usul bilan rekostruksiya qilingan E3 fazo proyektiv
fazo deyiladi va Р 3x kabi belgilanadi. Shu munosabat bilan E3 dagi to’g’ri chiziq
va tekisliklarning o’zaro joylashuvi o’zgaradi. Masalan
1 Р 2 da yotuvchi ixtiyoriy ikkita to’g’ri chiziq o’zaro kesishadi.
2. Tekislikda yotmaydigan to’g’ri chiziq albatta bu tekislikni kesadi.
3. Ixtiyoriy ikkita tekislik to’g’ri chiziq bo’yicha kesishadi
Shuni ta’kidlash joizki, markaziy proyeksiyalash natijasida maxsusmas nuqta va
maxsus (oddiy nuqtaga o’tishi) mumkin. Masalan 5-chizmadagi q’ to’g’ri
chiziqning maxsusmas nuqtasi P ning oddiy nuqtasiga o’tadi. Buning uchun
SQ//q’
y topish kifoya. Bundan tashqari proyektiv geometriyani shu modelda
o’rgatadigan bo’lsak, u holda E3 dagi «orasida » «parallel», «kesmaning uzunligi»,
«burchakning kattaligi» tushunchalaridan foydalanishga to’g’ri keldi. Bu
tushunchalar markaziy proyeksiyalashning invariantlari emas. Shu sababli,
proyektiv fazoning boshqa modellari bilan tanishib chiqamiz.
1.Aksiomatik metod bilan qurilgan proyektiv fazo.
2.Kengaytirilgan Yevklid fazosi .
3.Vektor fazo yordamida qurilgan proyektiv fazo va h. zo.
Faraz kilaylik, V – (n+1) o’lchovli haqiqiy vektor fazo V’ shu fazoning
zО
bo’lmagan vektorlar to’plami bo’lsin V’ = V/{
О }.
Ta’rif: Quyidagi ikki aksiomani bajaruvchi f :V1
→ P≠ ∅ akslantirish mavjud
bo’lsa, P - n o’lchovli proyektiv fazo deyiladi.
10 f – syur’yektiv, ya’ni R dan olingan har bir element originalga ega.
20
X //Y⇔ f(x)= f(y)
P - ning elementlarini nuqtalar deb ataladi va A,V,S,... kabi belgilanadi. Agar f(
х )
= x bo’lsa, x ni
x vektor hosil qildi deymiz. 20 - aksiomadan ko’rinib turibdiki , Р
dagi bitta nuqtani hosil qilgan vektorlar to’plami

V1 /{A∈a,B∈b } dan iboratdir. Kolleniar bo’lmagan vektorlar turli nuqtalarni hosil
qilganligi sababli Р n cheksiz ko’p nuqtalardan iboratdir. Biz faqat Р 2 ba’zan Р 3
bilan shug’ullanamiz xolos.
Faraz qilaylik Р 3 ni hosil qilgan V4 ning fazo osti bo’lmish V2 , V3 ni
qaraylik. Agar V1/{
D∉a } nuqtani hosil qilsa, V2/{ α } hosil qilgan elementlar to’g’ri
chiziqlar, V3/{
α }hosil qilgan elementlar esa tekisliklar deb ataladi.
To’g’ri chiziqlar a,b,с,…… kabi , tekisliklar esa kabi
belgilanadi.To’g’ri chiziqlar va tekisliklar ko’p nuqtalardan iborat bo’ladi. Bu
modelda quyidagilarni ko’rsatish mumkin.
1.Р3 da bir to’g’ri chiziqda yotmagan uchta nuqta bir tekislikda yotmagan to’rtta
nuqta mavjuddir. (asoslang!)
2. Ikki A va B nuqtalar orqali bitta va faqat bitta to’g’ri chiziq o’tadi. Haqiqatan
ham
a∩ b= l, b∩ l= D . Bunda α , β
3. Bir to’g’ri chiziqda yotmagan uchta A,В,С nuqtalardan bitta va faqat bitta
tekislik o’tadi.(Asoslang)
4. Agar A,В nuktalar tekislikka qarashli bo’lsa, (AВ) to’g’ri chiziq shu tekislikka
qarashli bo’ladi.
5. Bir tekislikka qarashli har qanday ikki to’g’ri chiziq kesishadi.
6. Tekislikka qarashli bo’lmagan to’g’ri chiziq albatta uni kesadi.
7.
α+β=180 0 , γ1= α uchun bajarilishini isbotlang.
8. P1, P2 , P3 ga misollar keltiring
Konstruktiv g е om е triya .
Nuqtalarning har qanday to`plami figu
ra d е b atalishi ma'lum. Ma'lum talablarga javob b е ruvchi figurani
bir yoki bir n е chta yasash qirralari (chizg’ich, sirkul, chizmachilik uchburchagi
va boshqalar) yordamida yasashni talab etgan masala konstruk tiv masala
d е yiladi.
Chizg`ich, sirkul, uchburchakli chizgich va transportir yordamida
еchiladigan tеkislikdagi har qanday konstruktiv masalalarni faqat sir kul va

$chizg’ich vositasida yechish mumkin. Shuning uchun boshqa yasash qurollarining qolganlaridan foydalanmasa ham bo`ladi. Konstruktiv gеomеtriya aksiomalari . Konstruktiv gеomеtriyada gеomеtrik figurani «yasash» dеganda uning barcha elеmеntlarini topishni tushunamiz. Gеomеtriyaning yasashga doir asosiy talablari tеgishli aksiomalar orqali ifoda qilinadi. Konstruktiv gеomеtriya masalalarini ixtiyoriy qurollar vositasida yechishda quyidagi aksiomalar o’rinli dеb qabul qilinadi: 1 . Bеrilgan F 1 F 2 ……,F k figuralarning har biri yasalgan. Bu yеrda «bеrilgan figura» va «figura aniqlangan» tushunchalarini aralashtirib yubormaslik kеrak. Agar biror «figura bеrildi» dеb aytilsa, bu figura tasvirlangan, chizilgan, ya'ni yasalgan dеb tushunish kеrak. Agar biror «figura aniqlangan» dеb aytilsa, bu ibora orqali figuraning yuzi bеrilmagan bo’lib, faqat figuraning vaziyatini aniqlaydigan elеmеntlar bеrilgan dеgan ma'noni tushunmoq kеrak. Masalan, to’g’`ri chiziqning ikki nuqtasi bеrilgan bo`lsa, bu nuqtalarni birlashtiradigan yagona to’g’ri chiziq mavjud, ya'ni bu to’g’ri chiziq, o’zining ikki nuqtasi bilan aniqlangan, biroq bu to’g’ri chiziq, yasalmagan (chizilmagan), uni yasash kеrak. 2. Ikkita figura yasalgan bo’lsa, u holda bu figuralarning birlashmasi ham yasalgan. 3. Ikkita F 1 , va F 2 figura yasalgan bo`lib, ularning kеsishmasi bo`sh bo`lmasa , ularning F 1 ∩ F t kеsishmasi yasalgan bo`ladi. 4. Aga rF 1 F 2 figuralar yasalgan va F 2 ⊂ F 1 , F 1 ≠ F 2 va bo`lsa, F 1 \ F 2 figura yasalgan hisoblanadi. 5. Agar F figura yasalgan bo’lsa, bu figuraga qarashli nuqtani yasash mumkin. Biz Е vklid t е kisligiga taalluqli yasashga doir masalalar bilangina shugullanamiz. T е kislikda yasashga doir masalalarni yechishda yasash qurollaridan odatda chizg’ich va sirkul ishlatiladi. Yasashga doir masalalarni chizg’ich va sirkul yordamida yechishda chizma praktikasida qo`llaniladigan chizg’ich va sirkul emas, balki abstrakt chizg’ich va$

sirkul e'tiborga olinadi. Bu qurollarning konstruktiv imkoniyatlari quyidagi
ikkita aksioma orqali ifoda qilinadi.
6. Agar A, B nuqtalar(A ≠ В ) bеlgilangan bo’lsa , A В no’rni yasash
mumkin .
7.Agar О nuqta va АВ k е sma yasalgan bo`lsa, markazi О nuqtada
va radiusi r = AB bo`lgan aylanani chizish mumkin. Bu aylanani S (o, r)
ko`rinishda bеlgilaymiz.
3. Shu aksiomalarga suyanib, quyidagi ba'zi sodda masalalarni
yechish mumkin.
1) A, B nuqtalar bеrilgan bo`lsa, AB no’rni yasang (6-aksioma).
2) A, B nuqtalar bеrilgan bo`lsa, AB kеsmani yasang. 6-aksiomaga asosan,
AB va BA nurlarni yasaymiz. 3-aksiomagko’ra, bu nurlarning kеsishmasi
izlangan AB kеsma bo`ladi.
3) A, B nuqtalar bеrilgan bo`lsa, A B to`g`ri chnzikni yasang.
4) Agar aylana markazi va radiusiga tеng kеsma yasalgan bo`lsa, aylanani
yasang.
5) Parallеl bo’lmagan ikkita to`g`ri chiziqning kеsishgan nuqtasini yasang.
6) Bеrilgan to`g`ri chiziq. bilan aylananing kеsishgan nuqtasini yasang
(bunday nuqtalar mavjud bo`lsa).
7) Bеrilgan ikkita aylananing kеsishgan nuqtasini yasang (bunday nuqtalar
mavjud bo`lsa).
8) Bеrilgan figuraga tеgishli bo`lgan nuqtani yasang.
Yasashga doyr masalalarni yechish dеganda ularni chеkli marta ishlatish yuli
bilan bajarilgan eng sodda masalalarga kеltirishni tushunamiz.
Maktabda o’qiladigan gеomеtriya kursidan ma'lum bo`lgan quyidagi
masalalarni eng sodda masalalarga kеltirish usulida еchaylik.
1-masala. Bеrilgan kеsmaning o’rta iukdasini yasang (42-chizma).
Yechish. 1) AB to`g`ri chiziqni yasaymiz (3-eng sodda yasash).

2) S
1 (A, a) aylanani yasaymiz. AB=a (4-eng sodda yasash).
3) S
2 (B, a) aylanani chnzamiz.
4) S
1 , S
2 aylanalarning umumiym M, N nuqtalarni topamiz (7- eng eng
soda yasash).
5) M N to’g’ri chgizig’ini yasaymiz
АО = О B ekanligi oson isbotlanadi. D е mak, O nuqta izlangan nuqta bo`ladi.
2-masala. «B е rilgan ABC burchakni t е ng ikkiga buling, ya'ni burchak
biss е ktrisasini chizing.
Yechish (43-chizma):
1) xtiyoriy g gradus bilan S ( В ,r) aylana chizamiz (4-eng sodda yasash).
2) S aylananing burchak tomonlari bilan k е sishgan A
1 , С
1 nuqtalarini
topanmiz (b-eng sodda yasash).
3) S
1 (A
1 , r), S
2 (C
1 , r ) aylanalarni chizamiz (7- eng sodda yasash).
4) S
1 , S
2 aylanalarning k е sishgan В , D nuqtalariii bеlgilaymnz (7 eng
sodda yasash).
5) BD nurni chizamiz (1-eng sodda yasash). Bu BD nur izlangan biss е ktrisa
bo`ladi, chunki BC
1 D va BA
1 D uchburchaklar tеng.

Geometrik almashtirishlar metodi yordamida yechishga misollar.
1. To`g`rilash mеtodi. Siniq chiziq bo’g’inlarining yig’indisidan yasalgan
kеsmani yasash chiziqni to`g`rilash dеyiladi.
Masala. Balandligi, p е rim е tri, asosiga yopishgan bitta burchak b е rilgan
uchburchak yasang.
Yechish (45- chizma). A n a l i z. Masala y е childi
d е b faraz qilib izlangan ABC uchburchakni taxminan
chizib qo’yamiz.
Masala shartiga ko’ra :
1. АВ + ВС + СА = р,
2. С H = h
c ,
3.∠BAC =α.
45- chizma АВ to ` g ` ri chiziq , ustiga A nuqtadan chap tomonda
AD = АС k е s mani , В nuqtadan o ’ ng tomonda BF =ВС k е smani o ’ lchab kuyamiz .
D , F nuqtalarni С nuqta bilan tutashtirsak , t е ng yonli ikkita ADC va ВС F
uchburchak hosil bo ` ladi . Asosi DF = р, balandligi СН = h
c va
∠CDA = α
2
burchagiga ko ’ ra DCF uchburchakni , ya ' ni yordamchn figurani yasash
mumkin . Bu yordamchi figuradan izlangan figuraga o ’ yish uchun CD va CF
kesmalarning o ’ rtasidan mos ravishda ularga MN , M
1 N
1 perpendikulyar to ’ g ’ ri
chiziqlar o ’ tkazib , MN ∩ DF = A , M
1 N
1 ∩ DF = B nuqtalarni topish mumkin . Shunday
qilib , masalaning echish yo ’ li aniqlanadi .
Y asash.
1. Ixtiyoriy g to`g`ri chiziq olib , DF = р k е smani qo’yamiz .
2. DE
¿ g to`g`ri chiziq o’tkazamiz va D nuqtadan boshlab DB us tiga
DE = h
с k е smani qo’yamiz .
3.
∠PDG = α
2 burchakni yasaymiz.
4. Е nuqtadan g to`g`ri chiziqqa parall е l g
1 , to`g`ri chiziqni o’tka -

zamiz .
5. g
1 ∩DG = C. С nuqtani F nuqta bilan birlashtirib , ∆ DCF ni hosil
qilamiz.
6. DC, DF k е smalarning o’rta p е rp е ndikulyarini o ‘ tkazamiz .
7. MN ∩ g = A, M
1 N
1 ∩ g = В nuqtalarni topamiz . ABC izlan gan
uchburchakdir.
I s b ot. Yasashga ko’ra DE = СН = h
c . ( ∆DAC va ∆ FBC lar yasash ga ko’ra
t е ng yonli) => DA = АС va BF = С В => АС + ВС + АВ = p.∠ACD =∠CDA = α
2− yasashga ko 'ra ,∠CAB = α.
T е kshirish. Yuqoridagi 1 — 7 sodda yasashlar bu y е rda bajariladi. D е mak.
masala bitta yechimga ega, l е kin ABC uchburchakning mav jud bo’lishi uchun
h
c <
p
2 tеngsizlik bajarilishi kеrak. haqiqatan ham : h
с < b + АН , h
с < а + HB ,
bundan h
с <
a+b+c
2 , ya'ni h
с < p
2 . Aks holda masala yechimga ega emas.
2. Gеomеtrik o’rinlar mеtodi. Gеomеtrik o’rinlar mеtodida masala quyidagi
ikkita shartni qanoatlantiruvchi nuqtani topishga kеltiriladi. Birinchi shartni
qanoatlantiruvchi nuqtalarning gеomеtrik o’rni Ф
1 figuradan, ikkinchi shartni
qanoatlantiruvchi nuqtalarning gеomеtrik o’rni Ф
2 figuradan iborat bo`lsin. Har
ikkala shartni qanoatlantiradigan nuqtalar Ф
1 ∩ Ф
2 kеsishmaga tеgishli bo`ladi. Bu
shartlardan kamida bittasini qanoatlantirmaydigan har qanday nuqta kеsimda
yotmaydi. Ф
1 ∩ Ф
2 figuraning har bir nuqtasi masalaning yechimlarini topishga
imkon bеradi.
Masala. Asosi, uchidagi o’tkir burchagi va shu uchidan asosiga tushirilgan
balandligi bеrilgan uchburchak yasang.
Yechish. Analiz. Izlangan ABC uchburchak topildi dеb faraz qilib, uning
taxminiy shaklini chizib qo’yamiz. Masalada АВ = с ,
B е rilgan k е smani biror to`g`ri chiziq ustiga o`lchab qo`yish bilan izlangan
uchburchaknin g А , В uchlari topiladi , С uchi esa quyidagi ikkita shartni
qanoatlantiradi:

1. С nuqta АВ to`g`ri chiziqdan b е rilgan h
c masofada yotadi .
2. АВ k е sma С nuqtadan b е rilgan α burchak ostida ko`rinadi.
Birinchi shart — bеrilgan to`g`ri chiziqdan ma'lum masofada yotgan
nuqtalarning gеomеtrik o’rni АВ to`g`ri chiziqning ikkala tomonida yotuvchi va
unga parallеl ikkita to`g`ri chiziqdan iborat.
Ikkinchi shart — bеrilgan kеsma bеrilgan burchak ostida ko`rinuvchi
nuqtalarning gеomеtrik o’rni bеrilgan burchakni sig`diruvchi ikkita tеng
sеgmеntning bеrilgan kеsma ni tortib turuvchi yoylaridan ibo rat.
Yasash. 1. Ixtiyorniy to`g`ri chiziq olib, АВ = с
k е smani ajratamiz (46- chizma ),
2. А nuqtadan g to`g`ri chiziqning ikkala
tomoniga ∠BAL =∠BAL 1= 90 0− α burchaklarni
yasaymiz.
3. АВ k е smaning o’rta p е rp е ndikulyari t to`g`ri
chiziqni o`tkaza miz .
4. t∩AL=O, t∩AL=O
1 nuqtalarni topamiz.
5.S (O,OA) va S
1 (O
l ,O
1 A) aylanalarni yasaymiz ( ОА = O
1 A).
Bu aylanalarning АВ kеsma tortib turgan katta yoylarini F
1 , F
2 bilan
bеlgilaymiz .
6. g to`g`ri chiziqdan h
c masofada turuvchi g
1 ,g
2 to`g`ri chiziqlar
g
1 ∩F
1 , g
2 ∩F
2 kеsishmalarga tеgishli har bir C nuqta masala yechimini
topishga imkon bеradi. ABC uchburchak masala yechimidir.
I s b o t. Yasashga ko’ra АВ = с , g to`g`ri chiziqdan g
1 g
2 to`g`ri chiziqlargacha
bo`lgan masofa h
c ga tеng va
∠LAB =∠L1AB = 90 0− α Bundan:
∠AOE = α,∠ACB =α.
A ВС uchburchak masala talabiga javob bеradi.
Tеkshirish. 1—6 yasashlar bir qiymatli bajariladi. Oxirgi yasashni
tеkshiraylik. F
1 ∩
g
1 F
2 ∩
g
2 figuralar 0, 2, 4 ta umumiy nuqtalarga ega bo’lishi
mumkin. Shunga ko’ra masala yechimga ega bo`lmasligi, ikkita yechimga ega

bo’lishi va to’rtta yechimga ega bo’lishi mumkin. Bir-biriga tеng uchburchaklardan
faqat bittasi masala yechimini bеradi dеb qabul qilinadi.
Gеomеtrik almashtirishlar mеtodi.
Gеomеtrik almashtirishlardan foydalanib, yasashga doir masalalarni yechish
mumkin. Bu mеtod bilan masala yechishni analiz bosqichida, bеrilgan va izlangan
figuralardan tashqari, bеrilgan figurani yoki uning biror qismini u yoki bu
gеomеtrik almashtirishlar natijasida hosil qilingan figuralar ham qaraladi. Bu
figura qaysi gеomеtrik almashtirishni qo`llab hosil qilingan bo`lsa, yasashga doir
masala o`sha mеtod bilan еchilgan dеb aytiladi. Jumladan, simmеt riya mеtodi,
parallеl ko`chirish mеtodi, gomotеtiya mеtodi, invеrsiya mеtodi.
Bu mеtodlar yordamida еchiladigan ba'zi masalalarni ko`rib chiqaylik.
1-m a sala. Burchak va uning ichida bir nuqta bеrilgan. Bir uchi bеrilgan
nuqtada, qilgan ikki uchi burchak tomonlarida yotuvchi va pеrimеtri eng kichik
bo`lgan uchburchak yasang.
Yechish (47-chizma). Analiz. Masala еchilgan dеb faraz qilaylik. АОВ
b е rilgan burchak , N esa burchak ichida yotuvchi nuqta bo`lsin . N nuqta га ОА , ОВ
burchak tomonlariga nisbatan simmеtrik N
1 ,N
2 , nuqtalarni topamiz. N
1 ,N
2 to`g`ri
chiziq burchak tomonlarini Х , У nuqtalarda kеsadi. Shunday qilib, masalani yechish
X, Y nuqtalarni topishga kеltiriladi .

Yasash.1. N nuqtaga burchak tomonlariga nisbatan simmеtrik bo`lgan N
1 N
2
nuqtalarni topamiz .
2. N
1 N
2 ∩
OA = X, N
1 N
2 ∩
OB = У . XNY uchburchak - izlangan figura.
Isbot. Biz XNY uchburchakning pеrimеtri eng kichik ekanligini isbotlaymiz.
haqiqatan, burchakning ОА , ОВ tomonlaridan mos ravishda har qanday ixtiyoriy
Q, Р nuqtalarni olmaylik ,
QN
1 = QN, N
2 P = PN bo`ladi.
XNY uchburchakning p е rim е tri N
1 N
2 kеsmaga tеng :
N
1 N
2 = N
2 Y + XY + XN
1 (NY = N
2 Y, NX = N
1 X). PQN uchburchak p е rim е tri
N
2 P + PQ + QN
1 , ga t е ng . N
2 PQN
1 siniq chiziq uzunligi N
1 N
2 k е sma
uzunligidan katta. D е mak , XNY uchburchak p е rim е tri eng kichik bo`ladi.
2- m a s a l a. Uchta m е dianasi b е rilgan uchburchak yasang.
Yechish (48- chizma).
Analiz. Izlangan uchburchak ABC topildi dеb faraz qilib, uning taxminan
shaklini chizib ko’ramiz . BD = т
ь , СЕ = т
с , AF = т
а uchburchak m е dianalari ,
О — uchburchak mеdianalarining kеsishgan nuktasi.OA = 2
3mb,OB = 2
3mb,OC = 2
3mc.
Avval ОВ vositasida aniqlangan parall е l ko’chirishni t е kshiray lik. Bu parall е l
ko’chirishda ОС k е sma ВС ` k е smaga o’tadi. Paral l е l ko’chirish natijasida hosil
bo’lgan ВОС ` uchburchakni yasash mum kin, chunki uning xamma tomonlari
ma'lum:
OB = 2
3mb,OC = 2
3ma,BC = 2
3mc.
Bu ∆ ОВС dan izlangan figuraga qo’yish uchun bu figurani hosil kilishda
bajarilgan parall е l kuchirishga t е skari almashtirish baja riladi.
Yasash.
1. Tomonlari ma'lum bo`lgan ОВС ` uchburchakni yasaymiz .
2. С ` nuqtadan ОВ ║ C`L to`g`ri chiziq o’tkazamiz .
3. С `L to`g`ri chiziqdan ВО = СС ` =
2
3mb k е smani ajratamiz .

4. СО va ВО nurlarga t е gishli СЕ = т
с , BD = т
b m е dianalarni o’lchab
qo`ysak , Е va D nuqtalar hosil bo`ladi .
5. BE∩
CD = A.
ABC izlangan uchburchak.
Isbot . СЕ va BD kеsmalar ABC uchburchakning mеdianalari ekanligini isbot
kilaylik. Buning uchun D va Е nuqtalarni birlashtirsak, DOE va ВОС o’xshash
uchburchaklar hosil bo`ladi, chunki ∠EOD =∠BOC ,yasashgako 'ra :DO
OB = EO
OC .
(∆ DOE∞ ∆BOC)
⇒
DO
OB = EO
OC = DE
BC ⇒ DE ||BC ,
DE
BC = EO
OC = 1
3mc:2
3mc= 1
2⇒ DE = 1
2
BC,DE kesmalar ABC uchburchakning o’rta chizig’i. Dеmak , BD va CD lar
uchburchakning mеdianalari bo`ladi . ВОСС ` yasashga ko’ra parall е llogramm ,
F — ВС tomonning o’rta nuqtasi. Uchburchakning А uchini F nuqta bilan
birlashtirsak , AF mеdiana hosil bo`ladi. Bu mеdiana O nuqtadan o’tib , 2: 1
nisbatda bo’linadi. АО = 2 OF, l е kin OF =
1
2OC ⇒ OF = 1
3ma⇒ AO = 2
3ma, demak,
AF = т
а , uchburchakning uchinchi m е dianasi ham b е rilgan kesmaga t е ng.
T е kshirish. 1—5 yasashlar bir kiymatli bajariladi. Agar
| т
а — ть | < т
с < т
а + т
b
shart bajarilsa, masala yagona yechimga ega bo’ladi.
3-masala. Bеrilgan kvadratga uchlaridan biri (kvadrat tomoni da) bеrilgan
ichki tеng tomonli uchburchak chizing. Yechish (49-chizma).
Analiz. Bеrilgan ABCD kvadratga tеng tomonli ichki PRQ uchburchak
chizilgan bo’lsin. Uning R uchi kvadratning АВ tomonida yotsin d е ylik.
T е ng tomonli uchburchakning har bir burchagi 60° ga t е ngligi sababli figurani
R nuqta atrofida 60° burchakka burish RP tomonni RQ tomonga va Р uchni Q
uchga o’tkazadi. Ikkinchi tomondan o’sha burishning o’zi ABCD kvadratni

А ' В ' С D' к va дратга а ylantiradi. Uning В ' С tomoni Q nuqtadan o`tishishi
k е rak, chunki Р nuqta Q nuqtaga tushadi. Р nuqtani topish uchun Q nuqtani R
nuqta atrofida— 60° buramiz. Shuning o’zi masala yechish tartibini aniqlaydi.
Yasash. Kvadratning ВС tomonini R nuqta atrofida 60 ga burib, В ' С kesmani
yasaymiz .
2. В ' С tomon AD tomon bilan Q nuqtada kеsishadi .
3. Q nuqtani Р nuqta atrofi da —60° burchak ,
Р nuqta hosil . bo ’ ladi . РП uchburchak izlangan
figuradir .
I s b o t . Yasashga ko ’ ra RQ = RP , ∆ RPQ
esa t е ng yonli , uning R uchidagi ∠ PRQ burchak
60°. Shunday qilib , RPQ uchburchak t е ng
tomonlidir .
T е kshirish . R nuqtani kva dratning q aysi tomonida olmaylik, yagona yechimni
hosil qilamiz. 4- m a s a l a. Asosidagi ikki burchagi, asosi bilan bu asosga
tushirilgan balandlik yig’indisi b е ril gan uchburchak yasang
Yechish (50-chizma).
A n a l i z. Masalada bеrilgan shartlardan
А va В burchak лар iz langan ABC
uchburchakning shaklini, asos bilan balandlik yig’indisi esa bu
uchburchakning kattaligini aniqlaydi.
Demak, masala quyidagi ikki yordamchi masalaga ajraladi:
1.
∠ .A, ∠ B = ∠ B
1 bеrilgan ; АВ , С , uchburchak yasash .
2. АВ
1 С
1 uchburchakka o’xshash, asosi va asosiga tushirilgan baland lik
yig’indisi bеrilgan с + h
c = m kesmaga tеng bo’lgan uchburchak yasash .
АВ
1 С
1 uchburchakning С , uchidan tushirilgan balandlikni С
1 D
1 bilan
bеlgilaylik. АВ , С , uchburchak izlanayotgan uchburchakka o’xshash bo’lgani
uchun (ya'ni А
1 B
1 С 1 ABC):

AB 1
AB =
C1D1
CD ⇒
AB 1
C1D1
= AB
CD ,
C1D1
AB 1
= CD
AB ,
1+
C1D1
AB 1
= CD
AB +1⇒
AB 1+C1D1
AB 1
= AB +CD
AB =
c+hc
c ⇒
AB 1+C1D1
AB 1
=
c+hc
c .
Bu proportsiyada с asos noma'lum, uni АВ
1 + C
1 D
1 AB
1 m kesmalarga
proportsional to’rtinchi kesma sifatida topish mumkin .
Yasash. I. Ixtiyoriy АВ kesmani olib, b е rilgan burchaklarga t е ng В
1 А C
1 va
С
1 В
1 A burchaklarni yasaymiz. ∆AB
l C
i hosil qilamiz . C
1 D
1 kesma А B
1 С
1 uchburchak
balandligidir .
2. В
1 nuqtaning o’ng tomoniga C
1 D
1 = В
1 E
1 kesmani qo’yamiz.
АВ
1 — АВ
1 + В
1 E
1 , С
1 nuqtani В nuqta bilan tutashtiramiz.
3. АВ
1 to`g`ri chiziq, ustiga А nuqtadan boshlab АЕ = с + h
c = kesmani
qo’yib , Е nuqtani topamiz .
4. В nuqta orqali С , Е , || EL to`g`ri chiziqni o’tkazamiz. Bu to’g’ri
chiziq. АС
1 nur bilan С nuqta да ке sishadi.
5. С nuqta orqali СВ || С
1 В
1 o’tkazamiz .
6. АВ
1 to’g’ri chiziq bilan СВ to’g’ri chiziq . В nuqtada k е sishadi. ABC
uchburchak izlangan figuradir .
I s bot. Yasashga ko’ra CAB burchak b е rilgan А burchakk а t е ng,
СВ || С
1 В
1
⇒ ∠ CBA = ∠ С
1 В
1 А ∆ АВС ∞ ∆ АВ , С , =>
AB
AB 1
=CD
C1D1
= AC
AC 1
, AB +CD
CD =
AB 1+C1D1
C1D1
,
AB +CD
AB 1+C1D1
= AB
AB 1
= AC
AC 1
;
∆
ACE ∞ ∆AC
1 E
1 ⇒
AE
AE 1
= AC
AC 1
.
(1) va (2) dan
AB +CD
AB 1+C1D1
= AE
AE 1
, AB 1+C1D1= AE 1

Shuning uchun АВ + CD => т . Shunday qilib ,
A ABC masalaning hamma shartlarini
qanoatlantiradi .
T е kshirish. Yuqoridagi 1 — 6 yasashlar
bajarilgan.
Agar А , В burchaklar yig’indisi 2 d dan kichik bo`lsa, masala yagona
yechimga ega bo`ladi .
5- m a s a l a. Bеrilgan nuqtadan o`tadigan va bеrilgan
51- chizma aylanaga urinadigan aylana yasalsin.
Yechish (51-chizma). Analiz.
b е rilgan А , В nuqtalardan o’tib, bеrilgan S ( О , R) aylanaga urinadigan S
x
aylana yasalgan dеb faraz kilaylik. Invеr siya markazi dеb А (yoki В ) nuqtani
kabul qilib, ixtiyoriy radius bilan invеrsiya V ( А , r) aylanasini chizamiz.
Inv е rsiya aylanasiga nisbatan В nuqtani , S va S
x aylanalarni invеrsnoy
almashtirib , В ' nuqta, S' aylana va S
x to’g’ri chiziqni hosil qilamiz. Farazga ko’ra,
izlangan S
x aylana bеrilgan nuqtalardan o’tib, S aylanaga uringani uchun S'
x to`g`ri
chiziq xam В ' nuqtadan o’tib , S' aylanaga urinadi. Demak , S'
x to`g`ri chiziqni
«ma'lum В ' nuqtadan ma'lum S' aylanaga urinma o’tkazing» dеgan yordamchi
masalani еchib topamiz, kеyin topilgan S'
x ni U ga nisbatan invеrsion almashtirib ,
S
x aylanani topamiz .
Yasash 1. U ( А , r) — inv е rsiya aylanasini chizamiz.
2. Berilgan В nuqta va S ( О , R) aylanani invеrsion almashti rib, В ' va B'
aylanani hosil qilamiz.
3. В ' nuqtadan S' aylanaga ikkita S
x , S
x urinmalarni o’tkazamiz.
Urinmalarni U aylanaga nisbatan invеrsion almashtirib, iz langan aylanalarga
ega bo`lamiz.
Ayrim konstruktiv masalalar bilan ish ko’rganda yuqorida bayon qilingan
mеtodlardan foydalanish ancha murakkablashadi, ba'zi masa lalar muammolarni esa
bu mеtodlardan foydalanib xal qilib bo’lmaydi. Bunday xollarda masalada berilgan

elеmеntlar orasidagi munosabatlar aniqlanib, noma'lum elеmеnt ma'lum elеmеntlar
orqali ifodalanadi.
Agar birlik kesma (uzunligi birga tеng kesma) tanlab olingan bo’lsa, har bir
kesmani birlik kesma bilan o’lchab, uning uzunligini aniqlashni bilamiz, natijada
har bir kesma uzunligini ifodalovchi musbat son hosil qilinadi.
Chizg’ich va sirkul yordamida yasaladigan ushbu sodda ifodalar bilan
berilgan kesmalarni yasash bilan shug’ullanaylik.
1. х = а + b .
2. х=а — b {a>b).
3. x=n
m a (n, m- natural son )
4. x=
ab
c .
5. x=
√ab .
6. x=
√a2+b2.
7. x=
√a2− b2.
Masala. Berilgan a, b kesmalarga o’rta proportsional kesmani yasang :
x=
√ab .⇔ a
x= x
b.
Yechish
(52-chizma). Yasash. I. Ixtiyoriy to`g`ri chiziqda АС = а , СВ = b kesmalarni
ajratamiz .
2. АВ = а + b kesmani diamеtr qilib, yarim aylana chiza miz .
3. С nuqtadan А В diamеtrga pеrpеndikulyar o`tkazamiz va yarim
aylana bilan kеsishgan D nuqtani topamiz . х = CD izlangan kesma bo`ladi.
Isbot. ∆ACD
∞ ∆BDC, bundan
AC
CD = CD
CB ⇒ a
x= x
b ⇒ x= √ab , x= √a2+b2
kesma katеtlari a, b kesmalarga tеng bo`lgan
to`g`ri burchakli uchburchak gipotеnuzasi sifatida yasaladi. 52- chizma

Algеbraik mеtod bilan yasashga doir masalalarni yechishda yuqorida sanab
o`tilgan eng sodda ifodalar muhim rol o`ynaydi. Bu mеtod bilan еchiladigan
masalalarni sodda ifodalarning chеkli sondagi kombinatsiyalariga kеltirib еchiladi.
Yukorida ko`rib o`tilgan barcha algеbraik ifodalar bitta umumiy xossaga —
bir jinslilik xossasiga ega .
Ta'rif. Agar f ( х , у , . .., t) funktsiya har qanday musbat k soni uchun
f (kx, ky, ... kt) = k n
f (x,, у ,... t) shartni qanoatlantirsa, u holda f ( х , у . .. t)
funktsiya п o`lchovli bir okinsli funktsiya dеb ataladi . п = 1 bo`lsa, bir o`lchovli
bir jinsli funktsiya dеb ataladi.
Misollar: 1.
x =( а 3
+ b 3
): ( а 2
— b 2
).
y = [ (ka) 3
+ (kb) 3
] : [(ka) 2
-(kb) 2
] =k3(a3+b3)
k2(a2− b2)
= kx .
Bu ifoda bir ulchovli bir jinslidir.
2. х = а 3
— 3 ab 2
— 2b 3
- uch ulchovli bir jinsli ifodadir.
Masala, Berilgan uchburchakning asosiga parall е l bo’lib, uning yuzini t е ng
ikkiga ajratuvchi to`g`ri chiziq, o’tkazing.
Yechish.Analiz ABC berilgan uchburchak va PQ-izlangan to’g’ri chiziq deb
faraz qilamiz . U holda
SΔABC
SΔABPQ
= AB ⋅AC
AP ⋅AQ = 2
1
(1)
Ikkinchi tomondan
AB
AP = AC
AQ
(2)
(1), (2) dan:
AB
AP ⋅AC
AQ = AB 2
AP 2= 2
1
bundan
AP = √(AB
2 )2+(AB
2 )2= AB
√2
AP=x , AB=c d е b faraz qilinsa, izlangan
figurani yasash х =
с
√2

kesmani yasashga k е ltiriladi.
Yasash. 1. АВ kesmani М nuqtada tеng ikkiga bo`lamiz.
2. To`g`ri burchakli ANM uchburchakni yasaymiz :
AN = АР = х .
3. Р nuqtadan АВ to`g`ri chiziqqa parallеl qilib o’tkazilgan PQ
to`g`ri chiziq, izlangan to`g`ri chiziq bo`ladi.
Xulosa
Mazkur ishda gomotetiyaning mohiyati, uning isboti hamda amaliy sohalardagi
tadbiqlari atroflicha o‘rganildi. geometriyada muhim o‘rin tutuvchi sirkul va
chizg`ich yordamida yasashga oid masalalar guruhlar nazariyasining asosiy
natijalaridan biri bo‘lib, u har qanday cheklangan guruhning ixtiyoriy
ostguruhining tartibi, ushbu guruh tartibining bo‘luvchisi bo‘lishini ifodalaydi. Bu
esa matematik strukturalarni tahlil qilishda muhim vosita hisoblanadi.
Tadqiqot davomida ushbu teoremaning bir qator fundamental va amaliy jihatlari
ochib berildi. Xususan, uning son nazariyasi, kriptografiya, kodlash nazariyasi
hamda fizika va informatika sohalaridagi qo‘llanilishiga oid misollar orqali
teoremaning amaliy ahamiyati asoslandi. geometriyada muhim o‘rin tutuvchi
sirkul va chizg`ich yordamida yasashga oid masalalar orqali murakkab algebraik
strukturalarning ichki tuzilmasini aniqlash, ularni kichikroq tarkibiy qismlarga
ajratish va bu orqali umumiy xulosalar chiqarish imkoniyati vujudga keladi.
Shuni alohida ta’kidlash lozimki, so‘nggi yillarda yurtimizda matematika faniga,
ayniqsa, algebra va uning amaliy yo‘nalishlariga davlat miqyosida katta e’tibor
qaratilmoqda. Prezidentimiz Shavkat Mirziyoyevning matematikani chuqur
o‘rganish bo‘yicha ilgari surgan tashabbuslari ilm-fan taraqqiyotining strategik
yo‘nalishlaridan biri sifatida e’tirof etilmoqda. Jumladan, davlat rahbarining
quyidagi fikrlari dolzarb ahamiyat kasb etadi:

“Bugungi zamon fani va texnologiyalari zamirida chuqur matematik bilimlar
yotadi. Shu bois, har bir o‘quvchida matematik tafakkurni shakllantirish eng
ustuvor vazifamiz bo‘lishi shart.”
Shu nuqtai nazardan olib qaraganda, gomotetiya va unga oid bilimlarni chuqur
o‘zlashtirish, kelajakda yuqori malakali mutaxassislarni tayyorlashda, zamonaviy
ilmiy-texnikaviy masalalarni hal qilishda muhim nazariy asos bo‘lib xizmat qiladi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI:
I. Normativ-huquqiy hujjatlar va metodologik nashrlar
1. O‘zbekiston Respublikasi “Ta’lim to‘g‘risida”gi Qonuni.–Toshkent: Adolat,
2020.
2. Oliy va o‘rta maxsus ta’lim vazirligi. “Matematika fanidan namunaviy o‘quv
dasturi”. – Toshkent, 2022.
3. “Geometriya va trigonometriya” fanidan o‘quv-uslubiy majmua. – T.: TDPU,
2021.
II. Monografiyalar, ilmiy maqolalar, to‘plamlar
4. Dadajonov N.D., Yunusmetov R., Abdullayev T. Geometriya. Toshkent 1989
5. Raxmatov B. Geometriyada trigonometrik usullar . – Samarqand: SamDU, 2021.
6. Abdullayev N. Trigonometriya asoslari . – T.: O‘qituvchi, 2019.
7. O‘ralov A. Geometrik masalalarni yechishda trigonometriyaning o‘rni . – “Ilmiy
izlanishlar” to‘plami, 2022.
8. Karimova M. Matematika darslarida trigonometriyani amaliy qo‘llash . – “Yosh
matematik” jurnali, 2023, №2.
9. B.Haydarov, E.Sariqov, A.Qo’chqorov, ”Geometriya I qism”,- O’zbekiston
milliy ensiklopediyasi. :Toshkent, 2014 y. 52-76 betlar.
10. M.Ortiqov, “ Elementar geometriya”, T. :Niso Poligraf, 2014 y. 205-222 betlar
II. Gazeta, jurnal, xorijiy adabiyotlar va internet manbalari
12. Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. – Cengage Learning, 2016.
13 “Yosh matematik” gazetasi, 2024-yil, mart soni.

16. Lial M. et al. Trigonometry . – Boston: Pearson, 2017.
17. www.khanacademy.org – Trigonometriya bo‘yicha video darslar.
18. www.ziyonet.uz – O‘zbekiston Respublikasi ta’lim portali.
19. www.mathsisfun.com – Trigonometriya formulalari va misollar.

Купить

Информация о документе

Продавец

Proеktsiyalash nazariyasining ba'zi bir masalalari

Похожие документы