Qavariq ko’pyoqlar - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	1.1MB
Xaridlar	2
Yuklab olingan sana	21 Aprel 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Telzor Uchun

Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025

9 Sotish

Qavariq ko’pyoqlar

Sotib olish

URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-
MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA
YO’NALISH 243-GURUH TALABASI
XUDARGANOVA DILORANING ANALITIK
GEOMETRIYA FANIDAN

KURS ISHI
MAVZU: QAVARIQ KO’PYOQLAR
TOPSHIRDI:
QABUL QILDI:

QAVARIQ KO’PYOQLARMUND A RI J A:
K I RI
S H
I BO B . KO’
P Y OQLAR
1. 1 . Ikki y o q li, uch y
o q l i va k o ’ p yoqli bu r c h a k l a r h aq i d a tu s huncha
1. 2 .
P r i zma, p ar a ll e l ip e pe d , p i r amid a
1. 3 . K e
s ik piramida, mun t azam pi r a mid a
1. 4 .
M un t az a m ko’ p y oq l a r
1. 5 Ko’ p y oqlarga do i
r masa l a l a r v a u l a r ning y ec h imla r i
FOY D ALANILGAN ADAB
I YOT L AR RO ’ YX A T I

KI R IS H
“ M a m lakat i m izni m oderni z a t si y a qilish va za m onaviy ja m i y at qu r ish
y o ’ l id a g i
m urakkab va k e ng ko ’ la m l i vazif ala r ni hal e tishga qod i r bo ’ lgan y angi av l od
k a dr l a r n i t a yy orla s h bundan b u y o n faoli y ati m izning e ng m uhim y o ’ nali s hi b o ’li b
qol a di.
S h u m a qs a d d a boshl an gan i s h lari m i zni qat ’ i y at b i lan davom e t t i r ib, t a ’ l im
soh a sid a gi m il l iy d a s tu r la r i m iz i jro s ini t o ’ l a y akuniga y et k azi s h, lo ’ nda q i lib
a y tganda y oshla r i m izni bizning tabi a ti m izga be go n a b o ’ l g an g ’ arazli o qi m lardan
asr a b, za m onaviy bil i m va t a j r i b a ga, o ’ z m u s t a qil fikriga e ga, m a ’ nan y ulsak ko m il
insonlar e tib v o y aga y etkaz i sh, u larning j a m i y ati m izda m ustahkam v a m unos i b
o ’ rin e g a ll a s higa ba r cha i m k on i y at l a r n i s a farb a r e t i s hi m i z da rk or ” .
S h u m a qs a d d a kadrlar t a yy or l ash m illiy d as t uri n i a m alga o s hi r i s h ja r a y onida
m akt a b t a ’ li m i , a y niqsa u m u m t a ’ l i m m aktabl a r i ni n g m oddi y - t exnik baz a si n i
m ustahka m lshga e ’ t i bo r ni ku c ha y ti r ish e n g m uhim va jiddiy mas a la g a a y la n di.
1 9 9 7 - y i l ning 2 9 -avgust i da O ’ zbeki s ton R e s pu b lik a si O l i y Majlis i ni n g l X
sessi y asida ”Ta ’ lim to ’ g ’ r i sida ” gi q o n u n va “ Kadr l ar ta y y or l a sh m il l iy d a s t u r i”
q a bul q i l i nd i . U l a rda ta ’ l i m - t arbi y a va k a d r lar t a yy or l ash tu z i m i ni isl o h q ili sh ga o id
y o ’l- y o ’ riqlar k o ’ rs a t i b b e r i lgan.
Kadrlar t a yy or l ash m i lliy da s turi n i n g uzviy v a m antiqiy d a vo m i bo ’l m i s h
2004-2009 y illa r da Makt a b t a ’ li m in i r i vojla n ti r ish u m u m m il l iy davlat d a s turi q a b ul
qili n di .
Ushbu d a stu r ga m uvofiq, y urti m izda m a v jud bo’lg a n o’n m ingga y aqin
u m u m t a ’ l i m m akta b ini n g m oddiy- t exnik baz a si n i m ustahka m lash, ta ’l im
jara y onining m a z m unini tubd a n t a k o m illashti r ish o ’ q i tu v ch il a r n i n g m ehn a t i ni
m odd i y va m a ’ n aviy ra g ’ bat l a nti r ish b o ’ y i cha ka tta i shlar qilin m oqda. Ho z i r gi
v a qtda ta ’ li m -tarbi y a s oh a sida a m al g a oshi r ilg a n, ko ’ la m i v a m ohi y at i ga ko ’ ra
ulk a n i s hlari m iz biz ko’z l ag a n ezgu n i y at i m i zga e ri shish, hech ki m dan k am
b o ’l m a y digan, g o ’ z a l, tinc h -tot u v ha y o t ba rp o e ti s h , biz y osh l a rning, b utun
xalqi m izning m a ’ na v iy y u ks a li s h i y o ’ l i da m ustahkam z a m i n y aratdi d e s a k, hech

q a nday xato b o ’ l m a y di.
Kurs ishida i kk i y oqli, uch y o ql i v a ko ’ p y oqli bur c h a k l ar haqida a s o siy
tu s hun c ha l ar, priz m a, pa r a l l e le pi p e d, pira m ida, kesik p i ra m ida, m untazam
p i r a m ida, m unta zam k o’p y o qlar ular n ing a s o s iy fo r m ulalari va ko ’p y o q l a r ga d o i r
m asal a lar y echil g an shuning bilan birga qavariq ko’pyoqlar uchun Elyer teoremasi
va isboti keltirilgan.

I-bo b. Ko’pyoq l ar va u l arn i o’q iti sh m e t od i kas i .
1.1
Ikk i yoq li , uch yoq li va ko’p yoq l i burchak l ar haq i da t us huncha
O’quvchila r ning m a nt i q i y fk i r l a sh i ni r ivojl a n ti r i sh d a p l ani m etri y a k u r sini n g
i m koni y ati k a tta. Plan i m etri y a k u r si n i, un d a gi xossal a r n i y ax s hi bilish
stereo m etri y ani os o n o ’ zla s hti ri shga katta y ord am bera d i.
S t ereo m etr i y a – g e o m etr i y an i ng b ir bo ’ l i m i b o ’ lib, un d a f a z o da g i f igur a lar
o ’ rganil a di. Ster e o m e t ri y ada, pl a nit r i y ada g i s i n g a r i geo m etrik figural a rning
xo s salari t e gish l i t e o r e m alarni i s botlash y o ’ li bil a n a niqlan a d i. B unda a k sio m alar
bil a n i fo dala nu vc h i a sos i y geo m etrik fi g u r ala r ni n g x oss a la r i a so s bo ’ lib x i z m at
qil a di. Fa z o da a so s iy figur a lar n u qta, t o ’ g ’ ri c h i z iq va t e ki slik d ir.
I kk ita y ar i m teki s likdan v a ular n i c he g ar a l a b
t u rg a n u m u m iy to ’ g’ri c h i z i q da n t a sh kil
topgan fi gu r a i kki y oqli b ur c h a k d e y i la d i
Y ar i m tekisliklar ikki y oq li b ur c h ak ni n g
y oqla r i, u lar n i c h e ga r alov ch i to ’ g ’ ri
chiz i q e sa ik ki y oqli b u r c h a k ni n g
q i r ra s i d e y i l a d i.
I kk i y o q li bur c h a kning q i r ra si ga p er p ind i kul y ar te k isl i k un i ng y oqla r i n i ik kita
y ar i m to’g ’ ri ch i z i q l a r b o ’ y i cha ke s ib uta d i . Bu y ar i m to ’ g’ri chiziqlar t a sh k il e tgan
b u r c h ak i kk i y oq li burch ak ning c h i ziqli bu rchagi de y iladi.
I kk i y o q li bur c h a kning o’lc ho vi u c hun unga m o s c h iz iq li burch ak ning o ’ l c hovi
q a bul q ilin a di. I kki y o qli b urch a kning h a m m a ch i zi ql i bur c h a k la r i pa r a ll e l
k o ’ c h i r ish na t ija s i d a ust m a -u s t t us h a d i, de m ak u l a r t en g.
S hun i n g u c hu n i kki y oqli bur c h ak ni n g o’l c ho v i c h i z i q li b urch ak ning t a nlab
olin i sh i ga bo g ’ l i q e m a s .
UCH YO Q LI VA K O ’ PYOQLI BURC H AKLA R .
B i r nuq t ad a n c hiq u v c hi va bitta t e k is lik d a y ot m agan u c h t a a ,b,c n u r ni qar a b
chiqa m i z. U ch t a y as s i b urch a klardan ta sh kil top g an f igura
u c h y o q li bur c h a k de y iladi

S
b u rcha k ning y oql a ri, u la r n ing
t o m o n lari e sa u c h y oq li
b u rch a k ni n g q irr a la r i de y il adi .
Yassi b urch ak lar n ing u m u m i y uchi u c h
a c y o qli b u r c h a kning uc h i de y i l ad i. U ch
y o qli
b b u rc h akning y o q la r i d an ta sh kil t op g an
i kk i y o ql i b u r c h a k lar u c h y oqli b u rc h a k -
n i ng i kki y oq l i burc h a k la r i de y il ad i.
Ko’p y oqli b u r c hak t u s h uncha s i xuddi shu n ga o ’ xshash t a ’ riflan a di.
Mas a l a : Ikki y o q li burch a k ning y o qla r ida y otgan A va B n uqt a lard a n
b u rc h a k n in g q irr as i g a p e r p i n d i k u l y arlar t u sh i r i l g a n. A g ar ga
va i kki y o q li b ur c h a k  g a t e n g bo ’ sa, k e s m a nin g
u z un l i g ini toping.
Y ech i sh: to ’g ’ ri c h iziqla r ni o ’ tk a za m i z.
t o ’ rtburc h ak - p a ra l l el o g r a m m d e m ak, to ’ g ’ ri c h iz i q
u c hbur c hak t ek isl ig iga pe r pi n d ik ul y ar, chunki u shu te k is l ikd a g i ikkita
t o ’g ’ ri c hi zi qqa pe r pend i kul y ar. D e m a k , unga p ar a l l e l BC to ’ g’ri chiz i q ham s h u
te k islikka pe r pend i kul y ar. Sh u nday qilib, ABC uch b ur c h a k C uch i d a g i b ur c h a gi
t o ’g ’ ri bo ’ lgan t o ’g ’ ri bu r ch ak li u c hbur c h a kdir. Ko s i n u slar b o ’y ic h a:
P i fagor t e ore m asiga k o ’ ra:

Masal a : (abc) u c h y o q li bur c h a k n ing c qi r ra si dagi i k ki y o q l i bu r c h a g i to ’ g ’ ri, b
q i r ra si da g i i k k i y oqli b u r c ha g i   ga te n g , (bc) y assi bur ch ak e sa   g at
e n g
Q o lgan i kkita y as s i bur c h a ni toping.
YECHIS H : a qirr a ning ix t i y or i y A nuqtasid a n
b qirraga A B p erpe nd ikul y ar t ushira m iz.
U ch perp e n di k ul y ar h aqid ag i teore m aga ko ’ ra
CB k e s m a b qi rraga o ’ t k az il g a n pe r p en d i kul y ar.
To’g ’ ri b u rch ak li O A B, OCB, A OC va ABC
u c hbur c h a klar d an hosil q ila m iz:
eslat m a:  bu r ch a kl ar o r a sida h os i l qili n ga n

m unos a ba t lar i kki burch a k ni bil g an ho l da qo l gan i kkita s ini t o p ishga i m kon b e r a di.

1.2. PRIZMA, PARALLE L IPEP E D,PIRAMIDA Ko’pyoq
S t ereo m etri y ada jis m lar d eb a t a lu vchi f azod a gi f i g ur a lar o’rganil a d i . Geo m etrik
j i s m n i fa z on i ng tabi i y ji s m bi l a n ba n d qili n g a n v a t e k i sl i k bi l a n c h e ga r al a n g a n
qis m i s i f a tida y aqqol ta s a vv u r qil i sh ker a k.
S i r t i c h e kli m iqdordagi y assi tekisli klarda n iborat j i sm ko ’ p yoq d e y i l a d i. a g ar
k o ’p y oq n ing o’zi u n i n g sirt i d a gi har bir ko ’ pbur c hak tekisl i gini n g bir to m onida
y o ts a, bunday ko ’ py o q qa v ar i q ko ’ pyoq de y iladi. Qa v ar i q ko ’ p y o q ning si r ti b il a n
bunday tekisl ik ni n g u m u m i y qi s m i y o q q e y i l a d i. Qava r i q ko ’ p y o q ning y o qla r i y assi
q a variq ko’p b urch akl ar d a n iborat. K o ’ p y o q y oqla r in i ng to m onlari uning q i r ra l ari,
u c hla r i e sa k o ’ p y oq n ing u c hl a ri de y il a di.
Bu t a ’ ri f ni k ub m isolida ko’rib c h i q a m iz. Kub qav a r i q y o qdir. U ni n g si r ti oltita
kvadra t d a n ta sh kil t o pgan. ,…. . Bu k vad r a t lar k u b ni n g y oq l a r i dir.
Bu k v a d ra t la r n ing to m onl a r i k u b n i n g qirra lari bo ’ l a di.
K v a d r a t la r ni n g uc h la r i kubn i ng u ch la r i bo ’ l a d i . Kubda 6 ta y oq, 1 2
ta q irra va 8 ta u c h bo r.
K o ’ p y o ql i n i n g bi r y og’da y o t m a g an ikki u c hini birl a shti r uvc h i to ’ g ’ ri c h i zi q
k o ’p y oqlin in g d i a g o n a l i de y i l a d i.
H a mm a u ch o’lc h ovi t e n g bo’lg a n to ’ g ’ ri b u rcha k l i par a ll ele pip e d k u b d e b
at a la d i . De m ak, k u bni n g ha mm a y oql a r i kv a dra t d a n ibor a t.
Kub s ir t in i ng y u z in i topi s h uc h un u ning bir y og’idagi k v a d r a y ni n g y u zini
topib, hosil bo’lg a n s o n n i 6 g a ko ’ p a y t i ri s h ki f o y a. Masala n : qirrasi a g a t e ng k ub
si r ti n i n g y uzi
g a t e n g c hu n ki bir y og ’ i ning y uzi ga t e n g .
PRIZMA
Turli y arim t ekisl i k l a rda y otuvc h i v a parallel k o’c h i r ish bila n u s t m a - us t
tushuv c hi ik kita y assi ko ’ pbur c h a kdan ha m d a bu ko’pbur c h a klar n ing m os
nu q ta l ar in i t utashti ru vchi ha m m a ke s m alardan i borat ko ’ p y oq pri z m a de y il a di.
K o ’ p bu r c h a klar p r i z m aning a so s la r i de y iladi, m os u ch la r ni t u t a shti ru v c hi
kes m alar e s a p r iz m an i ng y o n qirralari d e y i l a d i. Par a l l el k o ’ c h irish h ar a k a t bo ’ lga n i

u c hun priz m aning a soslari t e ng b o’l ad i. Para l lel ko ’ c hi r is h da t ek i s lik p ar a l l e l
te k islikka ( y oki o’z ig a) o’tgani uchun p r i z m ada a s oslar par a llel te ki slikla r da y otadi.
Parallel k o ’ chiri s hda n u qta l ar par a ll e l ( y oki u st m a -u s t t u shuv c hi) to ’ g ’ ri
chiz iq lar bo ’ y lab a y ni bir x il m as o f a ga s il ji g a ni uchun pri z m ada y o n qirrala r i
par a l l el va o’za r o teng.
Pr i z m a ni ng s irti a so sl a r i d a n v a y on s i r ti dan ibo r at. Y on s i r t i
par a l l e lo gra m m l ardan ibor a t. B u parallel o gra m m ning h a r b irida ikki t o m o n i
aso s l a r i n ing m os t o m onlari hisibla nad i , q olgan i k k i to m oni e sa qo’shni y on
q i r ra l ar d i r.
Pr i z m a a so sla r ining t e ki s l i klari o r a sid a gi m a so f a p r i z m a ni n g b a l a n dl ig i
de y il a di. P r iz m a ni ng bitta y og’iga t e gishli bo ’ l m agan ik k i uchi n i tuta sh ti ru v ch i
kes m a pr i z m aning diogonali de y i la d i.
A g ar p r iz m an in g a s o s i n burc h a kl i b o ’ lsa, u n bu r cha k li priz m a de y i l a d i.TO ’G ’RI
PR IZMA
Yon qi r r a lari as osiga pe r p e n d i ku l y ar b o ’l gan
pr i z m a t o ’ g ’ri pri z m a de y iladi. Aks ho l d a og ’ m a
pr i z m a d e y i l a d i . T o ’ g ’ ri p r iz m a n ing y on y oqlari
t o ’g ’ ri t o ’r t bu r c h a k dir. A g ar t o ’g ’ ri pr i z m aning
as o sla r i m untazam k o ’pburcha kl ar b o ’ l s a, bu nday
pr i z m a m u nt a zam priz m a d e y i l ad i .
Pr i z m an i ng y on si r ti y uzi d e b , y on y oqla r i y uzlarining
y ig ’ indi s iga a y t i l a d i . Pr i z m a ni ng to ’ la s i r ti y on si r ti bil an
asoslari y uz l ari n i n g y ig ’ in d i siga t e n g.
TEOREMA: T o ’ g ’ ri p r iz m a ni n g y on sirti as osin in g pere m etri bi l a n
ba l a nd l i gi n i n g y a ’ ni y on q i r r a s i uz u n li gining k o ’p a y t m asiga t e n g.
ISBOT: To ’ g’ri p r iz m an i ng y on y oqla r i –to ’ g’ri to ’ rtbur c h a kl a r, bu to ’ g ’ ri
to’r t burcha k la r n ing asosla r i p r iz m an i ng asos l ar i da y otgan k o ’pbur c h a k ning

t o m o n lari b o ’ l a d i , bal a nd l i k la r i e sa y on qirr a la r in i ng uz u nl i giga t en g. B unday
priz m a ni n g y on sir t i:
ga
T e n g d e g a n n a t i ja c hiq a di, b u y erda a sos qirral ari ning
u z un l i k la r i, p - p riz m a as o sining p e re m etri
l - y on q i rr a la r i ni n g uzu n l i g i . Te o re m a i s b o t l a n di .PERALLELE PIPED
Pr i z m a ni ng a s o s i p a ra l l e l o gram bo ’ lsa, bunday
pr i z m a parall e le pi p e d d e y i l a d i .
Paral l e l e p i pe d ni n g h a m m a y oql ari
peralle lo gra m m lar di r . Par a ll e l e pip edni ng u m u m i y
uch l a rga ega bo ’ l m agan y oql a r i q ar a m a-qarshi y o t g a n
y oqlar de y iladi.
TEOREMA: Perall e l e pip e dn i ng q a ra m a - q ar s hi
y otgan y oqla r i par a ll e l va t en g .
ISBOT: Parall e le p ip e dning qa r a m a -qa rshi y otgan i k k ita y og ’ i ni , m asalan;

v a
y oql a r i ni ko ’ z d an k e c h i r a m i z. H a mm a y o ql ari
par a l l e lo gram bo’lg a ni uc hu n A
1 A
2 to ’g ’ ri ch iz i q A
4 A
3 to ’ g ’ ri c hiz iq qa para l lel,
A
1 A
1 1
t o ’ g’ri c hiz iq e s a A
4 A
4 1
t o ’ g’ri chiziqqa par a ll e l. B und a n, qara l a y otgan
y oqla r ning t e ki s l i kla r i pa r a l l e l deg an x ul o saga ke l a m iz.
Paral l e l e p i p e d ning y o q lari par a l l e log ra mm l ar b o ’ l g a n i
uchun k e s m alar p ar a ll e l v a
te n g . B und a n A
1 A
2 A
2 1
A
1 1
y oq n i A
1 A
4 ( k e s m alar), q i rra
b o ’ y l ab p arall e l ko ’ chi r sak, u A
3 A
4 A
4 1
A
3 1
y oq b i l a n
ust m a- us t tusha d i d e b xu l o s a c h i qara m i z. D e m a k ,

bu y oq l ar t e ng . Para l l e l e p i p e dn i ng is t al g an boshqa
ikkita y og’ning par a ll el va t en gl i gi s hunday isbotl a n a di
( t eore m a isbotl a ndi).
Yon qirralari a s os t e k i s l ig i g a perpe n di k ul y ar b o ’lg a n pe r el l el e p ipe d ni to ’ g ’ ri
par a l l el ep iped dey m i z.
Asosla r i to ’ g ’ ri to ’ rtbur c h a kdan i bor a t bo’lg a n to ’ g ’ ri pa r all e l e p i p e d ni t o ’ g’ r i
b u r c h a k li par a ll e l e pip e d d e y il a di. T o ’ g ’ ri bur c h a kli paralle l e p ip e dning bir u c h id a n
chiqq a n q irrala r i u ning o ’ l c hovla r i de y il adi .
To’g ’ ri b u r c h a k li pa r a l l e l e pip e d n ing s irt y u zi y on si r tining y uzi bilan i kk i
aso s i y uzla r in i ng y i g ’ indisiga teng. Y on si r tini n g y u zi e s a p ere m etri bil a n
ba l a nd l i gi n i n g ko ’ p a y t m as ig a t en g.TO’G’RI
B U RCHAK LI PER A LLELEPIPED SIMME TR IYA SI.
To ’ g’ri bu rch a k li par a llel e pi p edda, har q a n d ay
par a l l el ep ipe d d a gi s ingari
s i m m etri y a m arkaz i - un i ng di ag ona l la r i
kesis h g a n nuqt a da bor.
U nd a y ana s i m met r i y a m arkazid a n y oql a riga
par a ll e l r a vi s h da o ’ t u vchi uchta s i m m etr i y a
te k i sl igi b o r. R a s m d a shunday tek i sli k l a r d a n
. b i r i ko ’ rsa ti lgan. U par a l l e l lo p ipe d ning to ’ rt t a
par a ll e l qir r al a r i ni n g o’rta l arid an o ’t a d i.
Q irra l a rn i ng u c h l a r i sim m etrik n uqtalar b o ’ la d i.
A g ar par al le lep ip e dda ha m m a chiziqli o ’ l c hovla r i
har xil bo’lsa, u holda unda a y tib o ’ti l ganl a rd a n boshqa si m m etr i y a te ki sligi y o’q.
A g ar par al le lep ip e dda i k kita c h i z i q li o’lc ho vi te n g b o ’l sa, unda y ana ikk i ta
sim m etri y a tekisligi b o ’ la d i. Bu dia g onal k es i m l ar t e k is liklar d ir.

A g ar par al le lep ip e dda ha m m a chiziqli o’l c ho v la r i t e ng bo ’ lsa, y a ’ ni u kub
b o ’lsa, u ho l da un i n g i s t al gan d i a g onal ke si m tekis li gi si m m etriya t e kisl i gi b o ’ l a di.
S h u n d ay ekan kubda 9 ta s i m m e t ri y a tekisli g i bor.PIRAMIDA
P i r a m i d a d e b shunday ko ’p y oqqa a y tiladiki, u y as s i ko ’ p b u r c h a k - p i ra m i d a
asosidan, a s o s tekis l i g ida y ot m agan n uqt a -pira m ida uchid a n v a uc h ni a s o sin i ng
nu q ta l ari bil a n t u ta s h tiru vchi ha m m a k e s m ala r d a n iborat.
A g ar ko’p y oqli b u rc h a k ni u c hid a n o ’ t m a y digan t e ki s l i k
bil a n k e si l sa, kes u vchi t e kisl i k va ko’p y o qli burc h ak y oqla r i
bil a n c h e k l a ngan jis m p i ra m id a de y i l a d i .
Kesuvchi t e k is l i kning k o ’p y o q l i b ur c h ak y o ql a r i ora s i -
d a gi bo ’ l a gi pira m idaning a so si de y iladi. Uchid a n shu a s os
te k islig i ga tu shi r i l g a n pe r p e n di k ul y ar p i ra m idaning b a la n d -
ligi de y i l a d i .
P i r a m i d ani n g sirti aso s id a n va y on y oqla r i d a n ibor a t. H ar
b i r y on y o q uc hb ur c h a k, uning u c hlar i d a n b i r i p ira m idani n g
u c hi bo ’ l a di. Q a r s h is i d a gi to m oni e sa pir a m ida asosini n g t o -
m on i b o ’ l a d i .
P i r a m i d a ning a s osi n burch ak d a n iborat b o ’ lsa, u n bur c ha k li pira m ida de y i l a d i.

1.3. K ESIK PIR A M IDA, MUNTAZAM PIR A M ID A
P i r a m i d a ni n g a so s i bil a n a s os i ga pa r a ll el teki slik bila n k es ishdan h o sil bo ’ l g a n
kesim ora s id a gi q i s m i kes i k p i r a m ida de y ilad i .
S -k es ik pira m i d a.
TEOREMA: p i r a m i dan i ng as osi g a p a ra ll e l va uni k es ib o ’ ta di g a n
A 1 B 1 t eki slik shu p i r a m i daga o ’ xsh a s h p i ra m id a a j r a ta d i.
I S BOT: Faraz q ila y l i k, S-pira m id a ning u c hi, A-a s osining uc h i,
А В A
1
-kesuv c hi te ki sli kn ing SA y on q i rra bil a n kesis h ish nu qtasi.
с P i ra m id a n i n g S u c hi ga ni sbat a n
G o m ot e ti y a k o e f f i s e n t i b ilan go m otetik al m as h tira m i z.
Bu nd ay go m oteti y ada asos te ki sli g i A
1
nuq t a orqa l i o’tuvc h i
par a l l el tekisli k ka o ’t adi, y a ’ ni ke s uvchi t e kisl i kka o ’ t a di. D e m a k b u t u n pira m i d a
bu t e kisl i k ke s i b a j r a t g an q i s m i g a o’t a d i. G o m ot e t ik o ’ xshashl i k al m ashtiri s hi
b o ’l g a ni u c h u n pira m idaning k esib a j ra t i lg an qi s m i b er i l g a n pir a m i daga o ’ xsha s h
p i r a m ida b o ’ l a d i (t eo re m a i s botlandi).
T e o r e m a g a ko;r a , a so sini n g t ek isli g iga pa r a l lel b o ’ lga n v a p i r a m id a n i n g y on
q i r ra l ar in i kesib o ’ tu v chi t e ki s l i k pira m i d a d an un g a o ’ xsha s h pir a m ida a j rata d i.
A jratilg a n bo’l a kn i ng ikkinchi y ar m i h a m k o ’p y oq b o ’ li b , ke s ik p i ra m ida d e b
at a la d i .
Kesik p ira m i d ani n g para l l e l t ek isli k la r da y otgan y oqlari p i r a m id a n ing a s o slari
de y il a di, q olgan y oqlari e sa y on y oqla r i d e y i l ad i . K e si k pira m i dani n g a so sl a ri
o ’ xshash ko ’p bur c h a klardan, y on y o ql a ri esa t ra p e t si y ala r d a n i b o r at.
M unt a z am pira m i d a d a n t a shkil topg a n k e sik pira m i da m un t a z am kesik
p i r a m ida de y i l a d i .
M unt a z am kesik pira m idani n g y on y oqla r i o ’ zaro t e ng v at e ng y on l i
tr a pe ts i y alard a n ibor a t d ir. Bu tr a p e tsi y alar ba l a nd ligi k e s i k p ir a m ida n ing
apofe m asi de y il ad i.

T EOREMA: Munta z am ke si k p ir a m ida n ing y on s i r ti a s osla r i p e ri m etr l a r i ni n g
y ig’indisi n ing y a r m i bil a n a p ofe m a s ini n g k o ’pa y t m asi g a teng.
A g ar kes i k p i r a m idaning a - p a s t ki asosi n i n g to m oni, b - us t ki a so s ini n g
t o m oni, l - a p o f e m a b o ’lsa, u n ing bir y o n y og ’ n i ng y uz i :
H a mm a y on y o q lar i n i n g y i g ’ indi s i esa

ga teng, n - y on t o m onl ar i ni n g s oni, d eb be l g ilasak,
( P- o stki, p - ust k i a s o s pe r i m etr l a r i )
MUNTAZAM
PIRAMIDA
P i ra m id a n i n g asosi m un t azam ko ’ pbur c h a k v a b al an dli g in in g
asosi k o ’pb u rcha k ni n g m a r k a zi b il a n u st m a - us t tushsa, bunday pira m ida
m unta z am p i r a m ida d e y il a di. M unta z am pi ra m idaning bal a nd l i g i y otgan to ’ g ’ ri
chiz i q u n i n g o ’ qi de y i l a d i.
Ra v shan k i, m un tazam p i ra m id a ni n g y on qirrala r i t e n g , d e m ak, u n i n g
y on y oqla r i teng y o nli u c hbur c h aklar e kan.
Muntazam p i r a m ida y o n y og ’ in i n g u c h i d an o’t k az ilg an, b a l a n dligi
a p of e m a de y il a di. P ira m ida y on y oql a r i y uzal a r i ni n g y i g ’ i n d i si un i ng y o n s i r t i
d e y i l a d i.
TEOREMA: M u ntazam pira m idaning y on s irti as osi p e r i m etr i ning
y a r m i bil a n a p ofe m asini n g k o ’pa y t m asiga te n g.
ISBOT: Ag ar pira m ida a s o sin i ng to m o ni a, to m o m lar s o n i esa n ta
bo ’ lsa p i r a m i da ning y o n sirt i :
b o ’la d i, bun d a

l -apofe m a, p -p ir a m i da asosini n g p e ri m et r i (t e ore m a i s b o t l a n d i ).
Mas a l a : M un t azam ke s ik
pira m idani n g y on s i r ti uni n g a s osla r i
p e ri m etr l ari y i g ’i n -
d i sining y ar m i b il an a p ofe m as i n i ng
k o ’pa y t m as i ga t e ng l igi n i is bo t la n g.
YECHIS H : Kes i k p i r a m i d a ning
y on y oqlari y uqo r i a s osi a, p a s t k i a so s i b v a
ba l a nd l i gi ( a p ofe m a s i) l bo ’ lgan t r ape ts i y ada n
i bo r a t. Shuni n g u c hu n b itta y oqning y uzi
ga t eng. H a m m a y oqla r ni n g
y uz i , y a ’ n i y on s i r ti g a t e n g.
b un da n – p i ra m id a a sosid a gi u c hlar soni, va - pi r a m id a
a s o sla r in i ng per i m etrlar i .
Qavar
i q ko’pyoq lil ar haq i da Ey l er t eorem as i:
H ar q a n d ay qa v a r iq ko’p y oqlin i ng y o ql a r i soni bi lan u ch la r i son i ning
y ig’indisi q irr a l a ri s on i d a n 2 ta ortiq.
f - y oql ar so n i , l -uchlar so n i , k-qirr a lar soni des a k, ekanini i s bot qil is h
kerak. K o ’ p y oq l i ni n g t a shqa r i sid a n u k o ’ p y o qli n i n g y o q l a r tek i s l ig i ga v a d i a gonal
kesi m lari t ek isl ig ida y ot m a y digan b i ro r nuqta si dan un in g har b i r u c h i ga va
q i rral a r i ni n g h a r b i r n uqt a siga n u r lar (t o ’ g ’ ri c h iziqlar ) o ’ tkaza y lik. U ha m m a
n u r l ar S nu qtad a n o ’ t m a y di g a n bir P t eki s ligi bil a n kesil g a n da u t e kisl i kd ag i c h et
nuqtalar n i bi r la s h ti r sa k , q a va r iq k o ’p bu r c h ak ho s il bo’l a di.
Bu k o ’ pbur c h a kni ko ’ p y oqlining m arkaziy pr o eksi y asi deb a t a l a di. B u n
t o m o n li qav a r i q k o ’p b urc h a kn ing t o m o nla r i ko’p y oql i ning n qirr a la r i n ing
pr o eksi y ala r idir.

Uchla r i esa k o ’ p y o q lin i ng n u c hi ning pro e ksi y asidan ibor a tdir
. Ko ’ p y o ql ini n g qol g an k - n qirr a la r i, l - n uchla r i B ko’pbur c h a k ning i c hki
te k islig i ga p r oeksi y alang a n.
H o zir ko ’ p y oqlin in g s hu P te ki sli k d a g i , y a ’ ni B k o ’p bur c h a kda g i ha m m a
te k is b ur c h a kl a rn i ng y i g ’ i n disini k e l t i r i b c hiqa r s a k: B ko’pb u r ch a k i c h i d a
k o ’p y oqli n i n g l - n u c h l a r i ni n g pro e k s i y al a ri bor.
U ni ng har b i r i 4 d ga t e n g va h a mm a ic h ki uc h la r i bur c ha k l a r i n i n g y ig ’ indi s i
g a t e n g . B ko ’p burcha kn ing o’z i ni n g i ch ki b u r ch a k l a r i y igindisi
e k a nl i gi m a’lu m . L ek i n u n ing har b i r b u r c ha g i i k ki q av at, c h unki
u b u r c h ak ko ’p y oqlining, ko ’ p y oqli bur c h a klar i ni n g p r o e ksi y alar i d a n
i bora t dir. S h u n i n g u c hu n ko’pbur c h a kning u c h la r i ga tushi r ilg a n ko ’ p y oqli
u chla r in i ng b u r c h a k la r i p r o ek si y ala r ining y ig ’ indi s i ga t e ng.
N atij a da k o ’p y oqli n i n g ha m ma t e kis b urch a klar in i ng pro e k s i y alari y ig ’i nd i si:
M a ’lu m ki, k o ’p y oq l ining t ek is b u r c h aklari
y ig ’i ndisi:
Chunki ko ’ p y oq l in in g tekis b urch a kla r i soni uning qirrala r in i ng sonid a n 2 m arta
k o ’p. Agar ko ’ p y oqlining y oqla r i
va u h ar bir ko’pb u rch ak ning ichki bur c h a k l a r i ni n g y i g ’ i n disi: 2 dn1
 4 d ,
v a h oka z o, ula r ni qo’shs a k,
u holda , chunki ko ’ pburch a k i c hki burchakla r ining
y i g ’ indi s i proeksi y ala n ganda h a m o ’ z h o li c ha qo l adi.
, shu b ilan te o r e m a is bot qili n d i .
E sl at m a: S nu qt a k o ’p y oqli n i n g b i ro n t ek isli g i g a t o ’g ’ ri kel m a y di,
k o ’p y oqli n i n g h ar bir y og ’ i P te k is l i k ka p roe ks i y ala n ganda, u ko ’p burch ak ni n g
( y oq)ning sh a kli o’ z ga r sa h am i chki bu r ch a klari y ig’ind is i o ’ z g ar m a y d i .

1.4. M U NTA Z AM KO ’P YOQL I LAR
H a m m a y oqla r i te n g m u n t azam ko’pburc h a k d a n t as hkil topg a n ko ’ p y o q lilar
m u nt azam k o ’p y oqlilar d e y i l a d i . Muntazam ko ’p y oqlini n g h a m m a qi rrala r i va
ha m m a ko ’p y oqli bur c h a k l a ri ha m da t e kis bur c h a klari o’a r o t e ng b o ’ l ad i.
A g ar q a v a r i q ko ’ p y oqli n ing to m o nla r i soni bir x i l bo’lg a n m u nt azam
k o ’p b u rcha k d a n i b o r at b o’lsa va shu b ilan bi r ga ko’p y oqning h a r bi r u ch i d a
b i r xil m iqdorda g i qirralar u c hr a shsa b u nday qava r iq ko ’p y oq m untazam
ko ’ p y oq de y iladi.
M unt a z am qavar i q k o ’ p y oqni n g besh tu r i bo r :
M
unta z am te t r aedr, ku b , oktaed r , dodeka e d r , ikosaed r . Munt a zam t etra e drn i ng
y oqlari m u nt azam uc h burch a kla r d a n ibor at : h ar b i r
u c hida u c h t a d a n qi r ra bi r l a sha d i . Tetr a e dr h a m m a qi rra l a r i t e n g bo ’ lg a n
u c hbur c h a kli p ira m idadan ibo r at.
Kubning h amma y o ql a ri k v a dr a t d an ibo r a t ; har bi r uchida u ch ta q ir r a
b i r l a sha d i. Ko ’ p q ir r ala r i t en g bo ’ lgan to ’ g ’ ri b urc h a k li pa r allel e p ipe d dir.
O kt aed r ning y o qla r i m un tazam uchburch ak lar bo ’ lib, tetra e d r d a n fa r qi
shunda k i, u n ing h ar b i r u c hida t o ’ r t ta d an q i rra birl as h a di.
D ode k aed r ni n g y oqla r i m untazam besh b ur c h a kl a r d an iborat. U ni n g h ar b ir
u c hida uc h t a d a n q ir r a birl a sha d i.
I ko sa e d r ni n g y O ql a ri m u ntazam u chb u rch a kl a rd a n iborat b o ’l i b , tetra e dr va
okta e d r d a n fa r qi s h unda k i, uni n g h ar b i r u c h ida besht a d a n q i rra bi r l a sha d i.
MAS A LA: Mun t azam t etra e d r ning ikki y oq li b ur c h a klar i ni toping.
YECHILISHI: T etr a ed rn ing S u c hid a n s h u n u q t ada uchra sh uvc h i
y oqla r ning bal a nd l ikla r i ni v a t e tra e d r ni n g bala nd ligi n i
o ’ tka z a m iz. A g ar t e t ra e drn i ng qirrasi n i a bi l an belgi l as a k, b a l a n dl i k l a ri
ga t e ng b o ’l ad i. b alandli k la rn ing tenglig i d a n
kes m ala r ning t e ngligi ke l ib c h i q a d i. Bu k e s m alar te t ra e dr asos i d a gi
u c hbur c h a kn i ng to m onlari p e rp e n dikul y ar ( uch p e rp e nd i kul y ar
h a qid ag i te o re m a). B und an O n uqta t e tra e dr a sosiga i ch ki c hiz i l g an a y lananing
m ar k a z i

b o ’l a d i, d e g a n xulosa c hiq ad i. De m a k , k es m alara 3
6
ga
te n g . A nuqta y o t gan qirrad ag i ikki y oq li b u rchakni
  bilan b el gila y m iz.
U ho lda
T etra e d r ning b oshqa qirr a la r ida g i ikki y oqli b urcha k la r i n ing h am s hunday
ka t t a li k da e ka n i r av sh a n.
MUNTAZAM
K O’P YO Q LILA R NING MODE LLARINI TUZISH
VA
YASA SH
Kubning m od e l i ni t uzish uchun k a r ton qo g ’ o z d a n h ar qa n d ay o ’l c ho v da 6
dona te n g kv a dr a t ta y y orlab c h e t la r i n i bi rl a sh t ir s ak, k ub h osil bo ’ la d i.
Tetraedr m o d e lini y asa s h u c hun t e n g to m onli uc hb ur ch aklardan b ir x i l d a 4
donas in i t ay y orlay m iz. Ula r d a n uc h t a si ni ng u c hla r i ni bi r q il i b, t o m o n l ar i n i
bi r -b iri b ilan t ut a shtir i b to’r t inc h isi n i qopqoq qilib, ularning y o ql a ri
b i r l a sh t iri l sa, tet r aedr hosil bo ’ l a di. T e t r aed r ni tuta s h b i r q o g’ozga i s hlasa h am
b o ’l a d i. T e tra e d r ni chiz m a d a ko ’ rsati s h uc h un k ubni n g bir uc h idan y oqlar i ga
di ag onal y urgiz i b, u ning uchla r ini bi r l a s h t i rs a k ki f o y a.
O kt a e drn i ng ( m un tazam s a k kiz yoqlining) m od e l in i y asa s h u c hun bir x il
sakkiz dona t e ng to m onli u c h bur c h a kni ka r to n d a n k es i b, ula r dan to ’ r t ta sin i
u c hla ri ni bi r l a shtirib, to m on l a r i ni ham birlashti r ish k e rak. Qolg a n to ’ rtta sin i
ham xu ddi shu x i l da ishlab, s o’ngra i kko v ini b i r -biri g a as o slar i d a gi q irr a la r ini
t o ’ g ’ rilab bir l as hti r i sh k er a k. Okta e d r ni c h i z m a d a ko ’ r s a t i sh u c hun k ubni n g
q o ’shni y oql a rin in g m arkazlar i ni h a m m a sini b i r -bi r la r i bi l a n b i r l a sh t ir s ak k i f o y a.
DODE K AED RNING MOD E LI. B i r xil m untazam beshburc h a k d a n 12
ta s ini ta y y o r l ab, ularni n g q irrala r i ni bi r la s hti ri b qav a riq k o ’ p y oqli t a y y or l a s a,
dodeka e dr k e l i b chi q a di. Aa r d a bu d o d e ka e d r ning har bir qo’s h ni y o qla r i ni n g
m ar k azl a r i ni to ’ g ’ ri c h iz iq lar b i l a n birl a sgtirs a k, h ar bi r y og ’ i t e n g t o m onli
u c hbur c h a kdan ibo r at 2 0 y oq li i k osaedr k e l i b c h i q a d i. H a m m a u chid a n t e n g

m asofada tu r g a n m un t a z am ko ’ p y oqlining n uqta s i u n i n g m arka z i bo ’ l a di. U n i
toppish u c hun a vva l o kubd a n t e t r aedr, u ndan o k ta e dr, okta e d r d a n e s a
dodeka e dr, u nd a n i k o sa e dr y asa s h m u m kin ek a nl i gini e ’ tibo r g a
o l a m i z. S h u n i n g uchun usha avv a l gi k ubning di ag o n a l la r i kesi s hgan nuq t a
k u b ni n g m ar k azi b o;la d i va u nuqta h a m m as ig a h am m ar k az b o ’ la d i.
O l ti t o m onli t e n g m unt a zam ko’pbur c h a kl a rdan m unta z an k o ’ p y o q li
y asab bo ’ l m a y di, chunki uni n g h ar b ir u c hi dagi b u r c h a gi g a te n g
b o ’lib, u nda uch yo q l i bur c h a k ham y a sab bo’l m a y di. De m ak, o l t i va u n dan
ort i q to m onla r idan m untazam ko ’ p y oq li y asash m u m kin e m as.

1.6. KO’
P Y OQLARG A DO I R MA S A LALAR VA ULARNI NG
YECH
I MLAR I
Y ON SIRTI :
To’
l a s i r ti: FOR M ULALAR PRIZMA, T O ’G’RI PRIZMA
Ha
j m i:
OG’MA
PRIZMA
Yon
s i r ti:
P 
- perpend i ku l yar kes i m n i ng per i me t r i
To’
l a s i r ti:
Ha
j m i:
S 
- perpend i ku l yar kes i m yuz i
PERALLELE PIPED.
TO’G’RI BU R CHAK LI PA R ALLE LEPIPED
Asos
i t o’g’r i burc hak va yon q i rra l ar i as osga perpend i ku l yar.
Yon
s i r ti:
Asos
i n i ng yuz i:

To’l a s i r ti:
Ha
j m i:
5
t a s i m m e t r iya t ek i s li g i ga ega.
TO ’G ’RI
PA R A LLELEPIPED
Asos
i para ll e l ogram ham da yon q i rra as osga perpen d i ku l yar.

 -para ll e l ogr amm d i ag ona ll ar i oras i dag i bu rchak.
Ha
j m i:
K UB

Asos
i n i ng yuz i:
Yon
s i r ti n i ng yu z i:
To’
l a s i r ti:
Ha
j m i:
IXTIYORIY
PI R AMIDA
To’
l a s i r ti:
MUNTAZAM
PIRAMIDA
Mun
t az am uc hburchak li p i ram i da.
S-p
i ram i da apofe m as i
asos
i n i ng yuz i:
t
o’ la s i r ti:

 -yon q i rra va asos t ek i s li g i oras i dag i burchak.

 -asos dag i i kk i yoq li (yon yoq va as os t ek i s li g i oras i dag i ) burchak.

MASALALAR1 . K u b y o n y og ’ ining yuzi 16 ga te n g. K u bni n g haj m ini to p in g .
2 . K u bni n g ba r c h a qir r ala r i y i g ’ i n disi 9 6 . Uning haj m i ni toping.
3 . T o ’g ’ ri burch a kli par a l l el ep iped a s os i ni n g t o m onla r i 7sm va 2 4s m .
Para l l e l e pip edn ing bal a nd ligi 8s m . Diagonal kesi m ining y uzi n i toping.
4 . To’rtbur c hak l i m untazam pr i z m a aso s i n ing y u zi 1 44s m 2
, ba l a n dligi 1 4s m .
S h u p riz m a di agonal i ni t op i n g .
5 . Uchbur c h a kli to ’ g ’ ri priz m a asosi n ing to m onla r i 15, 20 va 2 5 ga y on
q i r ra s i a so sining ki c hik bal an dlig iga t en g. priz m aning h aj m ini t o pi n g.
6 . T o ’g ’ ri p r i z m a n ing balandligi 5 0 g a, as o s ining to m onla r i 13, 37 va 4 0
ga t en g. p r iz m a ni ng t o’la s i rt i n i top i ng.
7 . Pr i z m aning as osi to m on i 2
5 b o ’l g an m untazam ol ti b urchakdan, y o n
y oqla r i kva d ra t la r d a n i borat. P r iz m a ni ng k a t ta dia go na l i ni toping.
8 . O g ’ m a p r i z m aning y on qirr a si 20 ga te n g v a a sos t e k i s l ig i bilan 3 0 0
li
b u r c h ak h o s il qila d i. Priz m a ni n g b a l a n dl i gini toping.
9 . Uchbur c h a kli to ’ g ’ ri p r i z m a as o sining t o m onla r i 3, 4 v a 5 ga t e n g .
Pr i z m a ni ng h a j m i 18 ga t e n g bo’l ad i, u ning b a l an dligi q a n c haga teng
b o ’ l a di ?
10 . Uchbur c h a kli m unta zam p r i z m aning bal andli g i 8 ga, a s os i ni n g y u zi 9
3
ga t en g. priz m a y o n t o m on i di a g o n a l ini topi n g.
11 . Uchbur c h a kli pir a m ida asos i ning to m onla r i 6, 8 v a 1 0 ga t e n g .
P i ra m idaning y on q i r ra l ari as os t e kis li gi bilan b i r x il bur c h a k hos i l
qil a di. Agar pira m idaning bal andl igi 4 ga te n g bo’lsa, y on q irr a si
q a nc h a g a t e ng b o ’ la d i?

1 1
YECHISH
1.

2.
Ku bn i ng barcha q i rra l ar i y i g’ ind i s i 96. Kub n i ng q i rra l ar i so n i
esa
12 t a, shun i ng uc hun 96 n i 12 ga bo ’ li b q i rras i n i ng
uz un
li g i n i t op i b o l am i z : 96 : 12=8 ya’n i a= 8. Un i ng ha j m i esa
.
j av ob : 512 .
3.
Ber il gan : d i ago na l kes i m i n i ng yuz i t o’g’ r i t o’r t bu rcha kdan
a=7 h=8
i bora t . P i fa gor t eor em as i dan as os i n i ng d i agona-
b= 24
d=? l i n i t op i b o l am i z. bu ndan
d= 25
d
i ago na l kes i m yuz i S= dh S= 258=200 j avo b : 200
4.
Ber il gan : Y ech i sh :
as os
i n i ng d i ago na li P i fagor t eor em as i dan H=14
d=? en d
i pr izm an i ng d i ag ona li n i qu y i dag i cha t op am i z :
bun dan,
d= 22 j av ob : 22.
5.
Yech i sh : pr i zm an i ng asos i t o’g’r i burchak li uchburchak bo’ l ad i ,
ch unk
i ya’n i P i fagor t eore m as i ba j ar il yap t i .
Gepo
t enuzas i ga t us h i r i l gan h ba l and li k uchburch akn i ng eng
k
i ch i k ba l and li g i bo ’ lad i . To’g’r i burchak li uc hburchak uchun
S=
2

ab, S=
2

ch fo rm u l a l ar i o’r i n li ekan i dan

teng li kn i , undan esa ekan i n i
t
opam i z. Masa l an i ng s har ti ga ko ’ra pr i zm an i ng H
ba
l and li g i as os i n i ng k i ch i k ba l an d l i g i ga, ya’n i h= 12
ga
t en g. bo ’ lgan i uch un

n i ho s il q il am i z.
Ja vob
: 1800.
6.
Pr i zm an i ng t o’ l a s i r ti n i t op i sh uchun, un i ng asos i n i ng yuz i b il an
yon
s i r ti t op i b o l am i z.
Asos
i n i ng yuz i esa Geron for m u l as i dan

j
avob : 4 980 .

FOYDA LANILGAN ADA B IYOTLAR R O’YXATI
1.
Kar i m ov I. A . Yuksak m a’ nav i ya t - yeng i l m as kuch-T. :
“Ma’nav
i ya t ” - 2008
2.
Kar i m ov I. A. V a t an i m i z va xa l q i m i zga sa do qa t b il an x i zm a t
q
ili sh-o li y saoda t d i r- T. : “O’zbek i s t on”-2 007
3.
Kar i m ov I. A. O’zbek i s t o m us t sq illi kk a er i sh i sh os t onas i da-T. :
”O’q
it uvch i ”-20 03
4.
S. A li xon ov ”Ma t em a ti ka o’q iti sh m e t od i kas i ”. Toshken t -2 011
5.
A. Xod j abo yev. I. H usan ov “Kasb i y t a’ l i m m e t ado l og i yas i ” T. :-
“Fan
va t exn i ka”-2007
6. w.w.w.goo g
l e.uz.
. 7. w.w.w.z
i yone t .uz.

Qavariq ko’pyoqlar

Sotib olish