Qavariq ko’pyoqlar - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	1.1MB
Xaridlar	2
Yuklab olingan sana	21 Aprel 2025
Kengaytma	doc
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

Telzor Uchun

Ro'yxatga olish sanasi 21 Aprel 2025

24 Sotish

Qavariq ko’pyoqlar

Sotib olish

URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI FIZIKA-
MATEMATIKA FAKULTETI MATEMATIKA
YO’NALISH 243-GURUH TALABASI
XUDARGANOVA DILORANING ANALITIK
GEOMETRIYA FANIDAN

KURS ISHI
MAVZU: QAVARIQ KO’PYOQLAR
TOPSHIRDI:
QABUL QILDI:

QAVARIQ KO’PYOQLARMUND A RI J A:
K I RI
S H
I BO B . KO’
P Y OQLAR
1. 1 . Ikki y o q li, uch y
o q l i va k o ’ p yoqli bu r c h a k l a r h aq i d a tu s huncha
1. 2 .
P r i zma, p ar a ll e l ip e pe d , p i r amid a
1. 3 . K e
s ik piramida, mun t azam pi r a mid a
1. 4 .
M un t az a m ko’ p y oq l a r
1. 5 Ko’ p y oqlarga do i
r masa l a l a r v a u l a r ning y ec h imla r i
FOY D ALANILGAN ADAB
I YOT L AR RO ’ YX A T I

KI R IS H
“ M a m lakat i m izni m oderni z a t si y a qilish va za m onaviy ja m i y at qu r ish
y o ’ l id a g i
m urakkab va k e ng ko ’ la m l i vazif ala r ni hal e tishga qod i r bo ’ lgan y angi av l od
k a dr l a r n i t a yy orla s h bundan b u y o n faoli y ati m izning e ng m uhim y o ’ nali s hi b o ’li b
qol a di.
S h u m a qs a d d a boshl an gan i s h lari m i zni qat ’ i y at b i lan davom e t t i r ib, t a ’ l im
soh a sid a gi m il l iy d a s tu r la r i m iz i jro s ini t o ’ l a y akuniga y et k azi s h, lo ’ nda q i lib
a y tganda y oshla r i m izni bizning tabi a ti m izga be go n a b o ’ l g an g ’ arazli o qi m lardan
asr a b, za m onaviy bil i m va t a j r i b a ga, o ’ z m u s t a qil fikriga e ga, m a ’ nan y ulsak ko m il
insonlar e tib v o y aga y etkaz i sh, u larning j a m i y ati m izda m ustahkam v a m unos i b
o ’ rin e g a ll a s higa ba r cha i m k on i y at l a r n i s a farb a r e t i s hi m i z da rk or ” .
S h u m a qs a d d a kadrlar t a yy or l ash m illiy d as t uri n i a m alga o s hi r i s h ja r a y onida
m akt a b t a ’ li m i , a y niqsa u m u m t a ’ l i m m aktabl a r i ni n g m oddi y - t exnik baz a si n i
m ustahka m lshga e ’ t i bo r ni ku c ha y ti r ish e n g m uhim va jiddiy mas a la g a a y la n di.
1 9 9 7 - y i l ning 2 9 -avgust i da O ’ zbeki s ton R e s pu b lik a si O l i y Majlis i ni n g l X
sessi y asida ”Ta ’ lim to ’ g ’ r i sida ” gi q o n u n va “ Kadr l ar ta y y or l a sh m il l iy d a s t u r i”
q a bul q i l i nd i . U l a rda ta ’ l i m - t arbi y a va k a d r lar t a yy or l ash tu z i m i ni isl o h q ili sh ga o id
y o ’l- y o ’ riqlar k o ’ rs a t i b b e r i lgan.
Kadrlar t a yy or l ash m i lliy da s turi n i n g uzviy v a m antiqiy d a vo m i bo ’l m i s h
2004-2009 y illa r da Makt a b t a ’ li m in i r i vojla n ti r ish u m u m m il l iy davlat d a s turi q a b ul
qili n di .
Ushbu d a stu r ga m uvofiq, y urti m izda m a v jud bo’lg a n o’n m ingga y aqin
u m u m t a ’ l i m m akta b ini n g m oddiy- t exnik baz a si n i m ustahka m lash, ta ’l im
jara y onining m a z m unini tubd a n t a k o m illashti r ish o ’ q i tu v ch il a r n i n g m ehn a t i ni
m odd i y va m a ’ n aviy ra g ’ bat l a nti r ish b o ’ y i cha ka tta i shlar qilin m oqda. Ho z i r gi
v a qtda ta ’ li m -tarbi y a s oh a sida a m al g a oshi r ilg a n, ko ’ la m i v a m ohi y at i ga ko ’ ra
ulk a n i s hlari m iz biz ko’z l ag a n ezgu n i y at i m i zga e ri shish, hech ki m dan k am
b o ’l m a y digan, g o ’ z a l, tinc h -tot u v ha y o t ba rp o e ti s h , biz y osh l a rning, b utun
xalqi m izning m a ’ na v iy y u ks a li s h i y o ’ l i da m ustahkam z a m i n y aratdi d e s a k, hech

q a nday xato b o ’ l m a y di.
Kurs ishida i kk i y oqli, uch y o ql i v a ko ’ p y oqli bur c h a k l ar haqida a s o siy
tu s hun c ha l ar, priz m a, pa r a l l e le pi p e d, pira m ida, kesik p i ra m ida, m untazam
p i r a m ida, m unta zam k o’p y o qlar ular n ing a s o s iy fo r m ulalari va ko ’p y o q l a r ga d o i r
m asal a lar y echil g an shuning bilan birga qavariq ko’pyoqlar uchun Elyer teoremasi
va isboti keltirilgan.

I-bo b. Ko’pyoq l ar va u l arn i o’q iti sh m e t od i kas i .
1.1
Ikk i yoq li , uch yoq li va ko’p yoq l i burchak l ar haq i da t us huncha
O’quvchila r ning m a nt i q i y fk i r l a sh i ni r ivojl a n ti r i sh d a p l ani m etri y a k u r sini n g
i m koni y ati k a tta. Plan i m etri y a k u r si n i, un d a gi xossal a r n i y ax s hi bilish
stereo m etri y ani os o n o ’ zla s hti ri shga katta y ord am bera d i.
S t ereo m etr i y a – g e o m etr i y an i ng b ir bo ’ l i m i b o ’ lib, un d a f a z o da g i f igur a lar
o ’ rganil a di. Ster e o m e t ri y ada, pl a nit r i y ada g i s i n g a r i geo m etrik figural a rning
xo s salari t e gish l i t e o r e m alarni i s botlash y o ’ li bil a n a niqlan a d i. B unda a k sio m alar
bil a n i fo dala nu vc h i a sos i y geo m etrik fi g u r ala r ni n g x oss a la r i a so s bo ’ lib x i z m at
qil a di. Fa z o da a so s iy figur a lar n u qta, t o ’ g ’ ri c h i z iq va t e ki slik d ir.
I kk ita y ar i m teki s likdan v a ular n i c he g ar a l a b
t u rg a n u m u m iy to ’ g’ri c h i z i q da n t a sh kil
topgan fi gu r a i kki y oqli b ur c h a k d e y i la d i
Y ar i m tekisliklar ikki y oq li b ur c h ak ni n g
y oqla r i, u lar n i c h e ga r alov ch i to ’ g ’ ri
chiz i q e sa ik ki y oqli b u r c h a k ni n g
q i r ra s i d e y i l a d i.
I kk i y o q li bur c h a kning q i r ra si ga p er p ind i kul y ar te k isl i k un i ng y oqla r i n i ik kita
y ar i m to’g ’ ri ch i z i q l a r b o ’ y i cha ke s ib uta d i . Bu y ar i m to ’ g’ri chiziqlar t a sh k il e tgan
b u r c h ak i kk i y oq li burch ak ning c h i ziqli bu rchagi de y iladi.
I kk i y o q li bur c h a kning o’lc ho vi u c hun unga m o s c h iz iq li burch ak ning o ’ l c hovi
q a bul q ilin a di. I kki y o qli b urch a kning h a m m a ch i zi ql i bur c h a k la r i pa r a ll e l
k o ’ c h i r ish na t ija s i d a ust m a -u s t t us h a d i, de m ak u l a r t en g.
S hun i n g u c hu n i kki y oqli bur c h ak ni n g o’l c ho v i c h i z i q li b urch ak ning t a nlab
olin i sh i ga bo g ’ l i q e m a s .
UCH YO Q LI VA K O ’ PYOQLI BURC H AKLA R .
B i r nuq t ad a n c hiq u v c hi va bitta t e k is lik d a y ot m agan u c h t a a ,b,c n u r ni qar a b
chiqa m i z. U ch t a y as s i b urch a klardan ta sh kil top g an f igura
u c h y o q li bur c h a k de y iladi

S
b u rcha k ning y oql a ri, u la r n ing
t o m o n lari e sa u c h y oq li
b u rch a k ni n g q irr a la r i de y il adi .
Yassi b urch ak lar n ing u m u m i y uchi u c h
a c y o qli b u r c h a kning uc h i de y i l ad i. U ch
y o qli
b b u rc h akning y o q la r i d an ta sh kil t op g an
i kk i y o ql i b u r c h a k lar u c h y oqli b u rc h a k -
n i ng i kki y oq l i burc h a k la r i de y il ad i.
Ko’p y oqli b u r c hak t u s h uncha s i xuddi shu n ga o ’ xshash t a ’ riflan a di.
Mas a l a : Ikki y o q li burch a k ning y o qla r ida y otgan A va B n uqt a lard a n
b u rc h a k n in g q irr as i g a p e r p i n d i k u l y arlar t u sh i r i l g a n. A g ar ga
va i kki y o q li b ur c h a k  g a t e n g bo ’ sa, k e s m a nin g
u z un l i g ini toping.
Y ech i sh: to ’g ’ ri c h iziqla r ni o ’ tk a za m i z.
t o ’ rtburc h ak - p a ra l l el o g r a m m d e m ak, to ’ g ’ ri c h iz i q
u c hbur c hak t ek isl ig iga pe r pi n d ik ul y ar, chunki u shu te k is l ikd a g i ikkita
t o ’g ’ ri c hi zi qqa pe r pend i kul y ar. D e m a k , unga p ar a l l e l BC to ’ g’ri chiz i q ham s h u
te k islikka pe r pend i kul y ar. Sh u nday qilib, ABC uch b ur c h a k C uch i d a g i b ur c h a gi
t o ’g ’ ri bo ’ lgan t o ’g ’ ri bu r ch ak li u c hbur c h a kdir. Ko s i n u slar b o ’y ic h a:
P i fagor t e ore m asiga k o ’ ra:

Masal a : (abc) u c h y o q li bur c h a k n ing c qi r ra si dagi i k ki y o q l i bu r c h a g i to ’ g ’ ri, b
q i r ra si da g i i k k i y oqli b u r c ha g i   ga te n g , (bc) y assi bur ch ak e sa   g at
e n g
Q o lgan i kkita y as s i bur c h a ni toping.
YECHIS H : a qirr a ning ix t i y or i y A nuqtasid a n
b qirraga A B p erpe nd ikul y ar t ushira m iz.
U ch perp e n di k ul y ar h aqid ag i teore m aga ko ’ ra
CB k e s m a b qi rraga o ’ t k az il g a n pe r p en d i kul y ar.
To’g ’ ri b u rch ak li O A B, OCB, A OC va ABC
u c hbur c h a klar d an hosil q ila m iz:
eslat m a:  bu r ch a kl ar o r a sida h os i l qili n ga n

m unos a ba t lar i kki burch a k ni bil g an ho l da qo l gan i kkita s ini t o p ishga i m kon b e r a di.

1.2. PRIZMA, PARALLE L IPEP E D,PIRAMIDA Ko’pyoq
S t ereo m etri y ada jis m lar d eb a t a lu vchi f azod a gi f i g ur a lar o’rganil a d i . Geo m etrik
j i s m n i fa z on i ng tabi i y ji s m bi l a n ba n d qili n g a n v a t e k i sl i k bi l a n c h e ga r al a n g a n
qis m i s i f a tida y aqqol ta s a vv u r qil i sh ker a k.
S i r t i c h e kli m iqdordagi y assi tekisli klarda n iborat j i sm ko ’ p yoq d e y i l a d i. a g ar
k o ’p y oq n ing o’zi u n i n g sirt i d a gi har bir ko ’ pbur c hak tekisl i gini n g bir to m onida
y o ts a, bunday ko ’ py o q qa v ar i q ko ’ pyoq de y iladi. Qa v ar i q ko ’ p y o q ning si r ti b il a n
bunday tekisl ik ni n g u m u m i y qi s m i y o q q e y i l a d i. Qava r i q ko ’ p y o q ning y o qla r i y assi
q a variq ko’p b urch akl ar d a n iborat. K o ’ p y o q y oqla r in i ng to m onlari uning q i r ra l ari,
u c hla r i e sa k o ’ p y oq n ing u c hl a ri de y il a di.
Bu t a ’ ri f ni k ub m isolida ko’rib c h i q a m iz. Kub qav a r i q y o qdir. U ni n g si r ti oltita
kvadra t d a n ta sh kil t o pgan. ,…. . Bu k vad r a t lar k u b ni n g y oq l a r i dir.
Bu k v a d ra t la r n ing to m onl a r i k u b n i n g qirra lari bo ’ l a di.
K v a d r a t la r ni n g uc h la r i kubn i ng u ch la r i bo ’ l a d i . Kubda 6 ta y oq, 1 2
ta q irra va 8 ta u c h bo r.
K o ’ p y o ql i n i n g bi r y og’da y o t m a g an ikki u c hini birl a shti r uvc h i to ’ g ’ ri c h i zi q
k o ’p y oqlin in g d i a g o n a l i de y i l a d i.
H a mm a u ch o’lc h ovi t e n g bo’lg a n to ’ g ’ ri b u rcha k l i par a ll ele pip e d k u b d e b
at a la d i . De m ak, k u bni n g ha mm a y oql a r i kv a dra t d a n ibor a t.
Kub s ir t in i ng y u z in i topi s h uc h un u ning bir y og’idagi k v a d r a y ni n g y u zini
topib, hosil bo’lg a n s o n n i 6 g a ko ’ p a y t i ri s h ki f o y a. Masala n : qirrasi a g a t e ng k ub
si r ti n i n g y uzi
g a t e n g c hu n ki bir y og ’ i ning y uzi ga t e n g .
PRIZMA
Turli y arim t ekisl i k l a rda y otuvc h i v a parallel k o’c h i r ish bila n u s t m a - us t
tushuv c hi ik kita y assi ko ’ pbur c h a kdan ha m d a bu ko’pbur c h a klar n ing m os
nu q ta l ar in i t utashti ru vchi ha m m a ke s m alardan i borat ko ’ p y oq pri z m a de y il a di.
K o ’ p bu r c h a klar p r i z m aning a so s la r i de y iladi, m os u ch la r ni t u t a shti ru v c hi
kes m alar e s a p r iz m an i ng y o n qirralari d e y i l a d i. Par a l l el k o ’ c h irish h ar a k a t bo ’ lga n i

u c hun priz m aning a soslari t e ng b o’l ad i. Para l lel ko ’ c hi r is h da t ek i s lik p ar a l l e l
te k islikka ( y oki o’z ig a) o’tgani uchun p r i z m ada a s oslar par a llel te ki slikla r da y otadi.
Parallel k o ’ chiri s hda n u qta l ar par a ll e l ( y oki u st m a -u s t t u shuv c hi) to ’ g ’ ri
chiz iq lar bo ’ y lab a y ni bir x il m as o f a ga s il ji g a ni uchun pri z m ada y o n qirrala r i
par a l l el va o’za r o teng.
Pr i z m a ni ng s irti a so sl a r i d a n v a y on s i r ti dan ibo r at. Y on s i r t i
par a l l e lo gra m m l ardan ibor a t. B u parallel o gra m m ning h a r b irida ikki t o m o n i
aso s l a r i n ing m os t o m onlari hisibla nad i , q olgan i k k i to m oni e sa qo’shni y on
q i r ra l ar d i r.
Pr i z m a a so sla r ining t e ki s l i klari o r a sid a gi m a so f a p r i z m a ni n g b a l a n dl ig i
de y il a di. P r iz m a ni ng bitta y og’iga t e gishli bo ’ l m agan ik k i uchi n i tuta sh ti ru v ch i
kes m a pr i z m aning diogonali de y i la d i.
A g ar p r iz m an in g a s o s i n burc h a kl i b o ’ lsa, u n bu r cha k li priz m a de y i l a d i.TO ’G ’RI
PR IZMA
Yon qi r r a lari as osiga pe r p e n d i ku l y ar b o ’l gan
pr i z m a t o ’ g ’ri pri z m a de y iladi. Aks ho l d a og ’ m a
pr i z m a d e y i l a d i . T o ’ g ’ ri p r iz m a n ing y on y oqlari
t o ’g ’ ri t o ’r t bu r c h a k dir. A g ar t o ’g ’ ri pr i z m aning
as o sla r i m untazam k o ’pburcha kl ar b o ’ l s a, bu nday
pr i z m a m u nt a zam priz m a d e y i l ad i .
Pr i z m an i ng y on si r ti y uzi d e b , y on y oqla r i y uzlarining
y ig ’ indi s iga a y t i l a d i . Pr i z m a ni ng to ’ la s i r ti y on si r ti bil an
asoslari y uz l ari n i n g y ig ’ in d i siga t e n g.
TEOREMA: T o ’ g ’ ri p r iz m a ni n g y on sirti as osin in g pere m etri bi l a n
ba l a nd l i gi n i n g y a ’ ni y on q i r r a s i uz u n li gining k o ’p a y t m asiga t e n g.
ISBOT: To ’ g’ri p r iz m an i ng y on y oqla r i –to ’ g’ri to ’ rtbur c h a kl a r, bu to ’ g ’ ri
to’r t burcha k la r n ing asosla r i p r iz m an i ng asos l ar i da y otgan k o ’pbur c h a k ning

t o m o n lari b o ’ l a d i , bal a nd l i k la r i e sa y on qirr a la r in i ng uz u nl i giga t en g. B unday
priz m a ni n g y on sir t i:
ga
T e n g d e g a n n a t i ja c hiq a di, b u y erda a sos qirral ari ning
u z un l i k la r i, p - p riz m a as o sining p e re m etri
l - y on q i rr a la r i ni n g uzu n l i g i . Te o re m a i s b o t l a n di .PERALLELE PIPED
Pr i z m a ni ng a s o s i p a ra l l e l o gram bo ’ lsa, bunday
pr i z m a parall e le pi p e d d e y i l a d i .
Paral l e l e p i pe d ni n g h a m m a y oql ari
peralle lo gra m m lar di r . Par a ll e l e pip edni ng u m u m i y
uch l a rga ega bo ’ l m agan y oql a r i q ar a m a-qarshi y o t g a n
y oqlar de y iladi.
TEOREMA: Perall e l e pip e dn i ng q a ra m a - q ar s hi
y otgan y oqla r i par a ll e l va t en g .
ISBOT: Parall e le p ip e dning qa r a m a -qa rshi y otgan i k k ita y og ’ i ni , m asalan;

v a
y oql a r i ni ko ’ z d an k e c h i r a m i z. H a mm a y o ql ari
par a l l e lo gram bo’lg a ni uc hu n A
1 A
2 to ’g ’ ri ch iz i q A
4 A
3 to ’ g ’ ri c hiz iq qa para l lel,
A
1 A
1 1
t o ’ g’ri c hiz iq e s a A
4 A
4 1
t o ’ g’ri chiziqqa par a ll e l. B und a n, qara l a y otgan
y oqla r ning t e ki s l i kla r i pa r a l l e l deg an x ul o saga ke l a m iz.
Paral l e l e p i p e d ning y o q lari par a l l e log ra mm l ar b o ’ l g a n i
uchun k e s m alar p ar a ll e l v a
te n g . B und a n A
1 A
2 A
2 1
A
1 1
y oq n i A
1 A
4 ( k e s m alar), q i rra
b o ’ y l ab p arall e l ko ’ chi r sak, u A
3 A
4 A
4 1
A
3 1
y oq b i l a n
ust m a- us t tusha d i d e b xu l o s a c h i qara m i z. D e m a k ,

bu y oq l ar t e ng . Para l l e l e p i p e dn i ng is t al g an boshqa
ikkita y og’ning par a ll el va t en gl i gi s hunday isbotl a n a di
( t eore m a isbotl a ndi).
Yon qirralari a s os t e k i s l ig i g a perpe n di k ul y ar b o ’lg a n pe r el l el e p ipe d ni to ’ g ’ ri
par a l l el ep iped dey m i z.
Asosla r i to ’ g ’ ri to ’ rtbur c h a kdan i bor a t bo’lg a n to ’ g ’ ri pa r all e l e p i p e d ni t o ’ g’ r i
b u r c h a k li par a ll e l e pip e d d e y il a di. T o ’ g ’ ri bur c h a kli paralle l e p ip e dning bir u c h id a n
chiqq a n q irrala r i u ning o ’ l c hovla r i de y il adi .
To’g ’ ri b u r c h a k li pa r a l l e l e pip e d n ing s irt y u zi y on si r tining y uzi bilan i kk i
aso s i y uzla r in i ng y i g ’ indisiga teng. Y on si r tini n g y u zi e s a p ere m etri bil a n
ba l a nd l i gi n i n g ko ’ p a y t m as ig a t en g.TO’G’RI
B U RCHAK LI PER A LLELEPIPED SIMME TR IYA SI.
To ’ g’ri bu rch a k li par a llel e pi p edda, har q a n d ay
par a l l el ep ipe d d a gi s ingari
s i m m etri y a m arkaz i - un i ng di ag ona l la r i
kesis h g a n nuqt a da bor.
U nd a y ana s i m met r i y a m arkazid a n y oql a riga
par a ll e l r a vi s h da o ’ t u vchi uchta s i m m etr i y a
te k i sl igi b o r. R a s m d a shunday tek i sli k l a r d a n
. b i r i ko ’ rsa ti lgan. U par a l l e l lo p ipe d ning to ’ rt t a
par a ll e l qir r al a r i ni n g o’rta l arid an o ’t a d i.
Q irra l a rn i ng u c h l a r i sim m etrik n uqtalar b o ’ la d i.
A g ar par al le lep ip e dda ha m m a chiziqli o ’ l c hovla r i
har xil bo’lsa, u holda unda a y tib o ’ti l ganl a rd a n boshqa si m m etr i y a te ki sligi y o’q.
A g ar par al le lep ip e dda i k kita c h i z i q li o’lc ho vi te n g b o ’l sa, unda y ana ikk i ta
sim m etri y a tekisligi b o ’ la d i. Bu dia g onal k es i m l ar t e k is liklar d ir.

A g ar par al le lep ip e dda ha m m a chiziqli o’l c ho v la r i t e ng bo ’ lsa, y a ’ ni u kub
b o ’lsa, u ho l da un i n g i s t al gan d i a g onal ke si m tekis li gi si m m etriya t e kisl i gi b o ’ l a di.
S h u n d ay ekan kubda 9 ta s i m m e t ri y a tekisli g i bor.PIRAMIDA
P i r a m i d a d e b shunday ko ’p y oqqa a y tiladiki, u y as s i ko ’ p b u r c h a k - p i ra m i d a
asosidan, a s o s tekis l i g ida y ot m agan n uqt a -pira m ida uchid a n v a uc h ni a s o sin i ng
nu q ta l ari bil a n t u ta s h tiru vchi ha m m a k e s m ala r d a n iborat.
A g ar ko’p y oqli b u rc h a k ni u c hid a n o ’ t m a y digan t e ki s l i k
bil a n k e si l sa, kes u vchi t e kisl i k va ko’p y o qli burc h ak y oqla r i
bil a n c h e k l a ngan jis m p i ra m id a de y i l a d i .
Kesuvchi t e k is l i kning k o ’p y o q l i b ur c h ak y o ql a r i ora s i -
d a gi bo ’ l a gi pira m idaning a so si de y iladi. Uchid a n shu a s os
te k islig i ga tu shi r i l g a n pe r p e n di k ul y ar p i ra m idaning b a la n d -
ligi de y i l a d i .
P i r a m i d ani n g sirti aso s id a n va y on y oqla r i d a n ibor a t. H ar
b i r y on y o q uc hb ur c h a k, uning u c hlar i d a n b i r i p ira m idani n g
u c hi bo ’ l a di. Q a r s h is i d a gi to m oni e sa pir a m ida asosini n g t o -
m on i b o ’ l a d i .
P i r a m i d a ning a s osi n burch ak d a n iborat b o ’ lsa, u n bur c ha k li pira m ida de y i l a d i.

1.3. K ESIK PIR A M IDA, MUNTAZAM PIR A M ID A
P i r a m i d a ni n g a so s i bil a n a s os i ga pa r a ll el teki slik bila n k es ishdan h o sil bo ’ l g a n
kesim ora s id a gi q i s m i kes i k p i r a m ida de y ilad i .
S -k es ik pira m i d a.
TEOREMA: p i r a m i dan i ng as osi g a p a ra ll e l va uni k es ib o ’ ta di g a n
A 1 B 1 t eki slik shu p i r a m i daga o ’ xsh a s h p i ra m id a a j r a ta d i.
I S BOT: Faraz q ila y l i k, S-pira m id a ning u c hi, A-a s osining uc h i,
А В A
1
-kesuv c hi te ki sli kn ing SA y on q i rra bil a n kesis h ish nu qtasi.
с P i ra m id a n i n g S u c hi ga ni sbat a n
G o m ot e ti y a k o e f f i s e n t i b ilan go m otetik al m as h tira m i z.
Bu nd ay go m oteti y ada asos te ki sli g i A
1
nuq t a orqa l i o’tuvc h i
par a l l el tekisli k ka o ’t adi, y a ’ ni ke s uvchi t e kisl i kka o ’ t a di. D e m a k b u t u n pira m i d a
bu t e kisl i k ke s i b a j r a t g an q i s m i g a o’t a d i. G o m ot e t ik o ’ xshashl i k al m ashtiri s hi
b o ’l g a ni u c h u n pira m idaning k esib a j ra t i lg an qi s m i b er i l g a n pir a m i daga o ’ xsha s h
p i r a m ida b o ’ l a d i (t eo re m a i s botlandi).
T e o r e m a g a ko;r a , a so sini n g t ek isli g iga pa r a l lel b o ’ lga n v a p i r a m id a n i n g y on
q i r ra l ar in i kesib o ’ tu v chi t e ki s l i k pira m i d a d an un g a o ’ xsha s h pir a m ida a j rata d i.
A jratilg a n bo’l a kn i ng ikkinchi y ar m i h a m k o ’p y oq b o ’ li b , ke s ik p i ra m ida d e b
at a la d i .
Kesik p ira m i d ani n g para l l e l t ek isli k la r da y otgan y oqlari p i r a m id a n ing a s o slari
de y il a di, q olgan y oqlari e sa y on y oqla r i d e y i l ad i . K e si k pira m i dani n g a so sl a ri
o ’ xshash ko ’p bur c h a klardan, y on y o ql a ri esa t ra p e t si y ala r d a n i b o r at.
M unt a z am pira m i d a d a n t a shkil topg a n k e sik pira m i da m un t a z am kesik
p i r a m ida de y i l a d i .
M unt a z am kesik pira m idani n g y on y oqla r i o ’ zaro t e ng v at e ng y on l i
tr a pe ts i y alard a n ibor a t d ir. Bu tr a p e tsi y alar ba l a nd ligi k e s i k p ir a m ida n ing
apofe m asi de y il ad i.

T EOREMA: Munta z am ke si k p ir a m ida n ing y on s i r ti a s osla r i p e ri m etr l a r i ni n g
y ig’indisi n ing y a r m i bil a n a p ofe m a s ini n g k o ’pa y t m asi g a teng.
A g ar kes i k p i r a m idaning a - p a s t ki asosi n i n g to m oni, b - us t ki a so s ini n g
t o m oni, l - a p o f e m a b o ’lsa, u n ing bir y o n y og ’ n i ng y uz i :
H a mm a y on y o q lar i n i n g y i g ’ indi s i esa

ga teng, n - y on t o m onl ar i ni n g s oni, d eb be l g ilasak,
( P- o stki, p - ust k i a s o s pe r i m etr l a r i )
MUNTAZAM
PIRAMIDA
P i ra m id a n i n g asosi m un t azam ko ’ pbur c h a k v a b al an dli g in in g
asosi k o ’pb u rcha k ni n g m a r k a zi b il a n u st m a - us t tushsa, bunday pira m ida
m unta z am p i r a m ida d e y il a di. M unta z am pi ra m idaning bal a nd l i g i y otgan to ’ g ’ ri
chiz i q u n i n g o ’ qi de y i l a d i.
Ra v shan k i, m un tazam p i ra m id a ni n g y on qirrala r i t e n g , d e m ak, u n i n g
y on y oqla r i teng y o nli u c hbur c h aklar e kan.
Muntazam p i r a m ida y o n y og ’ in i n g u c h i d an o’t k az ilg an, b a l a n dligi
a p of e m a de y il a di. P ira m ida y on y oql a r i y uzal a r i ni n g y i g ’ i n d i si un i ng y o n s i r t i
d e y i l a d i.
TEOREMA: M u ntazam pira m idaning y on s irti as osi p e r i m etr i ning
y a r m i bil a n a p ofe m asini n g k o ’pa y t m asiga te n g.
ISBOT: Ag ar pira m ida a s o sin i ng to m o ni a, to m o m lar s o n i esa n ta
bo ’ lsa p i r a m i da ning y o n sirt i :
b o ’la d i, bun d a

l -apofe m a, p -p ir a m i da asosini n g p e ri m et r i (t e ore m a i s b o t l a n d i ).
Mas a l a : M un t azam ke s ik
pira m idani n g y on s i r ti uni n g a s osla r i
p e ri m etr l ari y i g ’i n -
d i sining y ar m i b il an a p ofe m as i n i ng
k o ’pa y t m as i ga t e ng l igi n i is bo t la n g.
YECHIS H : Kes i k p i r a m i d a ning
y on y oqlari y uqo r i a s osi a, p a s t k i a so s i b v a
ba l a nd l i gi ( a p ofe m a s i) l bo ’ lgan t r ape ts i y ada n
i bo r a t. Shuni n g u c hu n b itta y oqning y uzi
ga t eng. H a m m a y oqla r ni n g
y uz i , y a ’ n i y on s i r ti g a t e n g.
b un da n – p i ra m id a a sosid a gi u c hlar soni, va - pi r a m id a
a s o sla r in i ng per i m etrlar i .
Qavar
i q ko’pyoq lil ar haq i da Ey l er t eorem as i:
H ar q a n d ay qa v a r iq ko’p y oqlin i ng y o ql a r i soni bi lan u ch la r i son i ning
y ig’indisi q irr a l a ri s on i d a n 2 ta ortiq.
f - y oql ar so n i , l -uchlar so n i , k-qirr a lar soni des a k, ekanini i s bot qil is h
kerak. K o ’ p y oq l i ni n g t a shqa r i sid a n u k o ’ p y o qli n i n g y o q l a r tek i s l ig i ga v a d i a gonal
kesi m lari t ek isl ig ida y ot m a y digan b i ro r nuqta si dan un in g har b i r u c h i ga va
q i rral a r i ni n g h a r b i r n uqt a siga n u r lar (t o ’ g ’ ri c h iziqlar ) o ’ tkaza y lik. U ha m m a
n u r l ar S nu qtad a n o ’ t m a y di g a n bir P t eki s ligi bil a n kesil g a n da u t e kisl i kd ag i c h et
nuqtalar n i bi r la s h ti r sa k , q a va r iq k o ’p bu r c h ak ho s il bo’l a di.
Bu k o ’ pbur c h a kni ko ’ p y oqlining m arkaziy pr o eksi y asi deb a t a l a di. B u n
t o m o n li qav a r i q k o ’p b urc h a kn ing t o m o nla r i ko’p y oql i ning n qirr a la r i n ing
pr o eksi y ala r idir.

Uchla r i esa k o ’ p y o q lin i ng n u c hi ning pro e ksi y asidan ibor a tdir
. Ko ’ p y o ql ini n g qol g an k - n qirr a la r i, l - n uchla r i B ko’pbur c h a k ning i c hki
te k islig i ga p r oeksi y alang a n.
H o zir ko ’ p y oqlin in g s hu P te ki sli k d a g i , y a ’ ni B k o ’p bur c h a kda g i ha m m a
te k is b ur c h a kl a rn i ng y i g ’ i n disini k e l t i r i b c hiqa r s a k: B ko’pb u r ch a k i c h i d a
k o ’p y oqli n i n g l - n u c h l a r i ni n g pro e k s i y al a ri bor.
U ni ng har b i r i 4 d ga t e n g va h a mm a ic h ki uc h la r i bur c ha k l a r i n i n g y ig ’ indi s i
g a t e n g . B ko ’p burcha kn ing o’z i ni n g i ch ki b u r ch a k l a r i y igindisi
e k a nl i gi m a’lu m . L ek i n u n ing har b i r b u r c ha g i i k ki q av at, c h unki
u b u r c h ak ko ’p y oqlining, ko ’ p y oqli bur c h a klar i ni n g p r o e ksi y alar i d a n
i bora t dir. S h u n i n g u c hu n ko’pbur c h a kning u c h la r i ga tushi r ilg a n ko ’ p y oqli
u chla r in i ng b u r c h a k la r i p r o ek si y ala r ining y ig ’ indi s i ga t e ng.
N atij a da k o ’p y oqli n i n g ha m ma t e kis b urch a klar in i ng pro e k s i y alari y ig ’i nd i si:
M a ’lu m ki, k o ’p y oq l ining t ek is b u r c h aklari
y ig ’i ndisi:
Chunki ko ’ p y oq l in in g tekis b urch a kla r i soni uning qirrala r in i ng sonid a n 2 m arta
k o ’p. Agar ko ’ p y oqlining y oqla r i
va u h ar bir ko’pb u rch ak ning ichki bur c h a k l a r i ni n g y i g ’ i n disi: 2 dn1
 4 d ,
v a h oka z o, ula r ni qo’shs a k,
u holda , chunki ko ’ pburch a k i c hki burchakla r ining
y i g ’ indi s i proeksi y ala n ganda h a m o ’ z h o li c ha qo l adi.
, shu b ilan te o r e m a is bot qili n d i .
E sl at m a: S nu qt a k o ’p y oqli n i n g b i ro n t ek isli g i g a t o ’g ’ ri kel m a y di,
k o ’p y oqli n i n g h ar bir y og ’ i P te k is l i k ka p roe ks i y ala n ganda, u ko ’p burch ak ni n g
( y oq)ning sh a kli o’ z ga r sa h am i chki bu r ch a klari y ig’ind is i o ’ z g ar m a y d i .

1.4. M U NTA Z AM KO ’P YOQL I LAR
H a m m a y oqla r i te n g m u n t azam ko’pburc h a k d a n t as hkil topg a n ko ’ p y o q lilar
m u nt azam k o ’p y oqlilar d e y i l a d i . Muntazam ko ’p y oqlini n g h a m m a qi rrala r i va
ha m m a ko ’p y oqli bur c h a k l a ri ha m da t e kis bur c h a klari o’a r o t e ng b o ’ l ad i.
A g ar q a v a r i q ko ’ p y oqli n ing to m o nla r i soni bir x i l bo’lg a n m u nt azam
k o ’p b u rcha k d a n i b o r at b o’lsa va shu b ilan bi r ga ko’p y oqning h a r bi r u ch i d a
b i r xil m iqdorda g i qirralar u c hr a shsa b u nday qava r iq ko ’p y oq m untazam
ko ’ p y oq de y iladi.
M unt a z am qavar i q k o ’ p y oqni n g besh tu r i bo r :
M
unta z am te t r aedr, ku b , oktaed r , dodeka e d r , ikosaed r . Munt a zam t etra e drn i ng
y oqlari m u nt azam uc h burch a kla r d a n ibor at : h ar b i r
u c hida u c h t a d a n qi r ra bi r l a sha d i . Tetr a e dr h a m m a qi rra l a r i t e n g bo ’ lg a n
u c hbur c h a kli p ira m idadan ibo r at.
Kubning h amma y o ql a ri k v a dr a t d an ibo r a t ; har bi r uchida u ch ta q ir r a
b i r l a sha d i. Ko ’ p q ir r ala r i t en g bo ’ lgan to ’ g ’ ri b urc h a k li pa r allel e p ipe d dir.
O kt aed r ning y o qla r i m un tazam uchburch ak lar bo ’ lib, tetra e d r d a n fa r qi
shunda k i, u n ing h ar b i r u c hida t o ’ r t ta d an q i rra birl as h a di.
D ode k aed r ni n g y oqla r i m untazam besh b ur c h a kl a r d an iborat. U ni n g h ar b ir
u c hida uc h t a d a n q ir r a birl a sha d i.
I ko sa e d r ni n g y O ql a ri m u ntazam u chb u rch a kl a rd a n iborat b o ’l i b , tetra e dr va
okta e d r d a n fa r qi s h unda k i, uni n g h ar b i r u c h ida besht a d a n q i rra bi r l a sha d i.
MAS A LA: Mun t azam t etra e d r ning ikki y oq li b ur c h a klar i ni toping.
YECHILISHI: T etr a ed rn ing S u c hid a n s h u n u q t ada uchra sh uvc h i
y oqla r ning bal a nd l ikla r i ni v a t e tra e d r ni n g bala nd ligi n i
o ’ tka z a m iz. A g ar t e t ra e drn i ng qirrasi n i a bi l an belgi l as a k, b a l a n dl i k l a ri
ga t e ng b o ’l ad i. b alandli k la rn ing tenglig i d a n
kes m ala r ning t e ngligi ke l ib c h i q a d i. Bu k e s m alar te t ra e dr asos i d a gi
u c hbur c h a kn i ng to m onlari p e rp e n dikul y ar ( uch p e rp e nd i kul y ar
h a qid ag i te o re m a). B und an O n uqta t e tra e dr a sosiga i ch ki c hiz i l g an a y lananing
m ar k a z i

b o ’l a d i, d e g a n xulosa c hiq ad i. De m a k , k es m alara 3
6
ga
te n g . A nuqta y o t gan qirrad ag i ikki y oq li b u rchakni
  bilan b el gila y m iz.
U ho lda
T etra e d r ning b oshqa qirr a la r ida g i ikki y oqli b urcha k la r i n ing h am s hunday
ka t t a li k da e ka n i r av sh a n.
MUNTAZAM
K O’P YO Q LILA R NING MODE LLARINI TUZISH
VA
YASA SH
Kubning m od e l i ni t uzish uchun k a r ton qo g ’ o z d a n h ar qa n d ay o ’l c ho v da 6
dona te n g kv a dr a t ta y y orlab c h e t la r i n i bi rl a sh t ir s ak, k ub h osil bo ’ la d i.
Tetraedr m o d e lini y asa s h u c hun t e n g to m onli uc hb ur ch aklardan b ir x i l d a 4
donas in i t ay y orlay m iz. Ula r d a n uc h t a si ni ng u c hla r i ni bi r q il i b, t o m o n l ar i n i
bi r -b iri b ilan t ut a shtir i b to’r t inc h isi n i qopqoq qilib, ularning y o ql a ri
b i r l a sh t iri l sa, tet r aedr hosil bo ’ l a di. T e t r aed r ni tuta s h b i r q o g’ozga i s hlasa h am
b o ’l a d i. T e tra e d r ni chiz m a d a ko ’ rsati s h uc h un k ubni n g bir uc h idan y oqlar i ga
di ag onal y urgiz i b, u ning uchla r ini bi r l a s h t i rs a k ki f o y a.
O kt a e drn i ng ( m un tazam s a k kiz yoqlining) m od e l in i y asa s h u c hun bir x il
sakkiz dona t e ng to m onli u c h bur c h a kni ka r to n d a n k es i b, ula r dan to ’ r t ta sin i
u c hla ri ni bi r l a shtirib, to m on l a r i ni ham birlashti r ish k e rak. Qolg a n to ’ rtta sin i
ham xu ddi shu x i l da ishlab, s o’ngra i kko v ini b i r -biri g a as o slar i d a gi q irr a la r ini
t o ’ g ’ rilab bir l as hti r i sh k er a k. Okta e d r ni c h i z m a d a ko ’ r s a t i sh u c hun k ubni n g
q o ’shni y oql a rin in g m arkazlar i ni h a m m a sini b i r -bi r la r i bi l a n b i r l a sh t ir s ak k i f o y a.
DODE K AED RNING MOD E LI. B i r xil m untazam beshburc h a k d a n 12
ta s ini ta y y o r l ab, ularni n g q irrala r i ni bi r la s hti ri b qav a riq k o ’ p y oqli t a y y or l a s a,
dodeka e dr k e l i b chi q a di. Aa r d a bu d o d e ka e d r ning har bir qo’s h ni y o qla r i ni n g
m ar k azl a r i ni to ’ g ’ ri c h iz iq lar b i l a n birl a sgtirs a k, h ar bi r y og ’ i t e n g t o m onli
u c hbur c h a kdan ibo r at 2 0 y oq li i k osaedr k e l i b c h i q a d i. H a m m a u chid a n t e n g

m asofada tu r g a n m un t a z am ko ’ p y oqlining n uqta s i u n i n g m arka z i bo ’ l a di. U n i
toppish u c hun a vva l o kubd a n t e t r aedr, u ndan o k ta e dr, okta e d r d a n e s a
dodeka e dr, u nd a n i k o sa e dr y asa s h m u m kin ek a nl i gini e ’ tibo r g a
o l a m i z. S h u n i n g uchun usha avv a l gi k ubning di ag o n a l la r i kesi s hgan nuq t a
k u b ni n g m ar k azi b o;la d i va u nuqta h a m m as ig a h am m ar k az b o ’ la d i.
O l ti t o m onli t e n g m unt a zam ko’pbur c h a kl a rdan m unta z an k o ’ p y o q li
y asab bo ’ l m a y di, chunki uni n g h ar b ir u c hi dagi b u r c h a gi g a te n g
b o ’lib, u nda uch yo q l i bur c h a k ham y a sab bo’l m a y di. De m ak, o l t i va u n dan
ort i q to m onla r idan m untazam ko ’ p y oq li y asash m u m kin e m as.

1.6. KO’
P Y OQLARG A DO I R MA S A LALAR VA ULARNI NG
YECH
I MLAR I
Y ON SIRTI :
To’
l a s i r ti: FOR M ULALAR PRIZMA, T O ’G’RI PRIZMA
Ha
j m i:
OG’MA
PRIZMA
Yon
s i r ti:
P 
- perpend i ku l yar kes i m n i ng per i me t r i
To’
l a s i r ti:
Ha
j m i:
S 
- perpend i ku l yar kes i m yuz i
PERALLELE PIPED.
TO’G’RI BU R CHAK LI PA R ALLE LEPIPED
Asos
i t o’g’r i burc hak va yon q i rra l ar i as osga perpend i ku l yar.
Yon
s i r ti:
Asos
i n i ng yuz i:

To’l a s i r ti:
Ha
j m i:
5
t a s i m m e t r iya t ek i s li g i ga ega.
TO ’G ’RI
PA R A LLELEPIPED
Asos
i para ll e l ogram ham da yon q i rra as osga perpen d i ku l yar.

 -para ll e l ogr amm d i ag ona ll ar i oras i dag i bu rchak.
Ha
j m i:
K UB

Asos
i n i ng yuz i:
Yon
s i r ti n i ng yu z i:
To’
l a s i r ti:
Ha
j m i:
IXTIYORIY
PI R AMIDA
To’
l a s i r ti:
MUNTAZAM
PIRAMIDA
Mun
t az am uc hburchak li p i ram i da.
S-p
i ram i da apofe m as i
asos
i n i ng yuz i:
t
o’ la s i r ti:

 -yon q i rra va asos t ek i s li g i oras i dag i burchak.

 -asos dag i i kk i yoq li (yon yoq va as os t ek i s li g i oras i dag i ) burchak.

MASALALAR1 . K u b y o n y og ’ ining yuzi 16 ga te n g. K u bni n g haj m ini to p in g .
2 . K u bni n g ba r c h a qir r ala r i y i g ’ i n disi 9 6 . Uning haj m i ni toping.
3 . T o ’g ’ ri burch a kli par a l l el ep iped a s os i ni n g t o m onla r i 7sm va 2 4s m .
Para l l e l e pip edn ing bal a nd ligi 8s m . Diagonal kesi m ining y uzi n i toping.
4 . To’rtbur c hak l i m untazam pr i z m a aso s i n ing y u zi 1 44s m 2
, ba l a n dligi 1 4s m .
S h u p riz m a di agonal i ni t op i n g .
5 . Uchbur c h a kli to ’ g ’ ri priz m a asosi n ing to m onla r i 15, 20 va 2 5 ga y on
q i r ra s i a so sining ki c hik bal an dlig iga t en g. priz m aning h aj m ini t o pi n g.
6 . T o ’g ’ ri p r i z m a n ing balandligi 5 0 g a, as o s ining to m onla r i 13, 37 va 4 0
ga t en g. p r iz m a ni ng t o’la s i rt i n i top i ng.
7 . Pr i z m aning as osi to m on i 2
5 b o ’l g an m untazam ol ti b urchakdan, y o n
y oqla r i kva d ra t la r d a n i borat. P r iz m a ni ng k a t ta dia go na l i ni toping.
8 . O g ’ m a p r i z m aning y on qirr a si 20 ga te n g v a a sos t e k i s l ig i bilan 3 0 0
li
b u r c h ak h o s il qila d i. Priz m a ni n g b a l a n dl i gini toping.
9 . Uchbur c h a kli to ’ g ’ ri p r i z m a as o sining t o m onla r i 3, 4 v a 5 ga t e n g .
Pr i z m a ni ng h a j m i 18 ga t e n g bo’l ad i, u ning b a l an dligi q a n c haga teng
b o ’ l a di ?
10 . Uchbur c h a kli m unta zam p r i z m aning bal andli g i 8 ga, a s os i ni n g y u zi 9
3
ga t en g. priz m a y o n t o m on i di a g o n a l ini topi n g.
11 . Uchbur c h a kli pir a m ida asos i ning to m onla r i 6, 8 v a 1 0 ga t e n g .
P i ra m idaning y on q i r ra l ari as os t e kis li gi bilan b i r x il bur c h a k hos i l
qil a di. Agar pira m idaning bal andl igi 4 ga te n g bo’lsa, y on q irr a si
q a nc h a g a t e ng b o ’ la d i?

1 1
YECHISH
1.

2.
Ku bn i ng barcha q i rra l ar i y i g’ ind i s i 96. Kub n i ng q i rra l ar i so n i
esa
12 t a, shun i ng uc hun 96 n i 12 ga bo ’ li b q i rras i n i ng
uz un
li g i n i t op i b o l am i z : 96 : 12=8 ya’n i a= 8. Un i ng ha j m i esa
.
j av ob : 512 .
3.
Ber il gan : d i ago na l kes i m i n i ng yuz i t o’g’ r i t o’r t bu rcha kdan
a=7 h=8
i bora t . P i fa gor t eor em as i dan as os i n i ng d i agona-
b= 24
d=? l i n i t op i b o l am i z. bu ndan
d= 25
d
i ago na l kes i m yuz i S= dh S= 258=200 j avo b : 200
4.
Ber il gan : Y ech i sh :
as os
i n i ng d i ago na li P i fagor t eor em as i dan H=14
d=? en d
i pr izm an i ng d i ag ona li n i qu y i dag i cha t op am i z :
bun dan,
d= 22 j av ob : 22.
5.
Yech i sh : pr i zm an i ng asos i t o’g’r i burchak li uchburchak bo’ l ad i ,
ch unk
i ya’n i P i fagor t eore m as i ba j ar il yap t i .
Gepo
t enuzas i ga t us h i r i l gan h ba l and li k uchburch akn i ng eng
k
i ch i k ba l and li g i bo ’ lad i . To’g’r i burchak li uc hburchak uchun
S=
2

ab, S=
2

ch fo rm u l a l ar i o’r i n li ekan i dan

teng li kn i , undan esa ekan i n i
t
opam i z. Masa l an i ng s har ti ga ko ’ra pr i zm an i ng H
ba
l and li g i as os i n i ng k i ch i k ba l an d l i g i ga, ya’n i h= 12
ga
t en g. bo ’ lgan i uch un

n i ho s il q il am i z.
Ja vob
: 1800.
6.
Pr i zm an i ng t o’ l a s i r ti n i t op i sh uchun, un i ng asos i n i ng yuz i b il an
yon
s i r ti t op i b o l am i z.
Asos
i n i ng yuz i esa Geron for m u l as i dan

j
avob : 4 980 .

FOYDA LANILGAN ADA B IYOTLAR R O’YXATI
1.
Kar i m ov I. A . Yuksak m a’ nav i ya t - yeng i l m as kuch-T. :
“Ma’nav
i ya t ” - 2008
2.
Kar i m ov I. A. V a t an i m i z va xa l q i m i zga sa do qa t b il an x i zm a t
q
ili sh-o li y saoda t d i r- T. : “O’zbek i s t on”-2 007
3.
Kar i m ov I. A. O’zbek i s t o m us t sq illi kk a er i sh i sh os t onas i da-T. :
”O’q
it uvch i ”-20 03
4.
S. A li xon ov ”Ma t em a ti ka o’q iti sh m e t od i kas i ”. Toshken t -2 011
5.
A. Xod j abo yev. I. H usan ov “Kasb i y t a’ l i m m e t ado l og i yas i ” T. :-
“Fan
va t exn i ka”-2007
6. w.w.w.goo g
l e.uz.
. 7. w.w.w.z
i yone t .uz.

Qavariq ko’pyoqlar

Sotib olish