R^m fazo va unda ketma-ketlik
![har qanday {
x( n)}
( x ( n)
≠ a , n = 1,2 , … ; x ( n)
→ a ) ketma-ketlik uchun mos
{f(x(n))}
ketma-ketlikning limiti olingan {
x( n)}
ketma-ketlikka bog‘liq
bo‘lmasligidadir.
Ko‘p o‘zgaruvchili uzluksiz funksiyalarning xossalari.
Endilikda biz limitga ega bo‘lgan funksiyalarning xossalarini ko‘rib o‘tamiz.
Biror
M ⊂ Rm to‘plamda f(x) funksiya berilgan bo‘lib, a ( a ∈ R m
)
nuqta shu
M
to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
1) Agar
limx→af(x)=t mavjud bo‘lib, t>p(t<q) bo‘lsa, a nuqtaning
yetarli kichik atrofidagi x ∈ M ( x ≠ a )
nuqtalarda
f(x)>p(f(x)<q) bo‘ladi.
Xususan, t ≠ 0
bo‘lsa, u holda
a nuqtaning yetarlicha kichik atrofida f ( x ) ≠ 0
bo‘ladi.
2) Agar
limx→af(x)=t mavjud bo‘lsa, a nuqtani yetarlicha kichik U δ(a)
atrofida ( x ∈ M
( x ≠ a )
nuqtalarda ) f(x) funksiya chegaralangan bo‘ladi.
Endi
M ⊂ Rm da ikkita f
1 ( x )
va f
2 ( x )
funksiyalar berilgan bo‘lsin.
3) Agar
limx→af1(x)= t1 lim
x → a f
2 ( x ) = t
2
bo‘lib, a nuqtaning U δ(a) atrofi-
dagi barcha x
nuqtalarda
(x∈M ∩U δ(a)) , f
1 ( x ) ≤ f
2 ( x )
bo‘lsa, u holda t
1 ≤ t
2
bo‘ladi.
4) Agar a
nuqtaning
U δ(a) atrofidagi x∈M ∩U δ(a) nuqtalarda
f1(x)≤ f(x)≤ f2(x)
bo‘lib, x→ a da f1(x) va f2(x) funksiyalar limitga ega
hamda
limx→af1(x)= limx→af2(x)=t bo‘lsa, u holda f(x) funksiya ham limitga ega
va
limx→af(x)=t bo‘ladi.
5) Agar
x→ a da f1(x) va f
2 ( x )
funksiyalar limitga ega bo‘lsa, f1(x)± f2(x)
funksiyalar limitga ega bo‘ladi va lim [ ¿ x → a f
1
( x ) ± f
2 ( x ) ] = lim
x → a f
1 ( x ) ± lim
x → a f
2 ( x )
.
6) Agar
x→ a da f1(x) va f
2 ( x )
funksiyalar limitga ega bo‘lsa, f
1 ( x ) ∙ f
2 ( x )
15](https://docx.uz/documents/7d7a835a-5aba-438e-849e-35f938a05d13/page_15.png?v=1)
![funksiya ham limitga ega bo‘ladi va lim [¿x→ af1(x)∙f2(x)]=limx→af1(x)∙limx→af2(x) .
7) Agar
x→ a da f1(x) va f2(x) funksiyalar limitga ega bo‘lib,
lim
x → a f
2
( x ) ≠ 0
bo‘lsa, f1(x)/f2(x) funksiya ham limitga ega bo‘ladi va
lim [ ¿ x → a f
1
( x ) / f
2 ( x ) ] = lim
x → a f
1
( x )
lim
x → a f
2
( x ) .
2-eslatma. Bir o‘zgaruvchili funksiyalardagidek x → a
da f
1 ( x )
va f
2 ( x )
funksiyalar yig‘indisi, ko‘paytmasi va nisbatidan iborat bo‘lgan funksiyalarning
limitga ega bo‘lishidan bu funksiyalarning har birining limitga ega bo‘lishi
kelib chiqavermaydi.
3-eslatma. Agar
x→ a da f1(x) va f2(x) funksiyalarning har birini limiti nol
(yoki cheksiz) bo‘lsa, 1)
f1(x)/f2(x) ifoda, 2) f
1 ( x ) → 0 , f
2 ( x ) → ∞
bo‘lganda
ifoda
f1(x)∙f2(x) va nihoyat 3) f1(x) va f2(x) turli ishorali cheksiz limitga ega
bo‘lganda
f1(x)+ f2(x) yig‘indi mos ravishda 0
0 , ( ∞
∞ ) , 0 ∙ ∞
ko‘rinishdagi
aniqmasliklarni ifodalaydi.
Endi ko‘p o‘zgaruvchili funksiya limitining mavjudligi haqida umumiy
teorema keltiramiz.
R m
fazoda
M to‘plam berilgan bo‘lib, a ( a ∈ R m
)
uning limit nuqtasi bo‘lsin.
Bu to‘plamda f
( x )
funksiya berilgan.
16-ta’rif. Agar ∀ ε > 0
son uchun shunday
δ>0 topilsaki, ushbu
0<ρ(x0,a)<δ,0<ρ(x,a)<δ
tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy x va
x 0
( x ∈ M , x 0
∈ M ) nuqtalarda
¿ f
( x 0 )
− f ( x ) ∨ ¿ ε tengsizlik o‘rinli bo‘lsa,
f
( x )
funksiya uchun a nuqtada Koshi sharti bajariladi deyiladi.
M ⊂ Rm to‘plamda f ( x ) = f ( x
1 , x
2 , … , x
m ) funksiya berilgan bo‘lib, a ∈ M
(a=(a1,a2,… ,am))
nuqta esa M to‘plamning limit nuqtasi bo‘lsin.
16](https://docx.uz/documents/7d7a835a-5aba-438e-849e-35f938a05d13/page_16.png?v=1)
![kesmasini tenglamasi ushbu x
1 = a '
1 + q ∙( t '
1 − a '
1 ) ,
x
2 = a '
2 + q ∙ ( t '
2 − a '
2 ) , … ,
xm=a'm+q∙(t'm− a'm)
(0≤q≤1) ko‘rinishda yoziladi.
Agar o‘zgaruvchi x =
( x
1 , x
2 , … , x
m ) ∈ M
nuqtani siniq chiziqning shu
kesmasi bo‘yichagina o‘zgaradi deb olinadigan bo‘lsa, u holda
f(x)= f(x1,x2,… ,xm)
ko‘p o‘zgaruvchili funksiya quyidagicha
F
( q ) = f ( a ' ¿ ¿ 1 + q ∙ ( t '
1 − a '
1 ) , a '
2 + q ∙ ( t '
2 − a '
2 ) , … , a '
m + q ∙ ( t '
m − a '
m ) ) ¿
bitta q
o‘zgaruvchining murakkab funksiyasi bo‘ladi. Murakkab funksiyaning
uzluksizligi haqidagi teoremaga ko‘ra
F(q) funksiya [0,1] segmentda uzluksizdir.
Ikkinchi tomondan q = 0
va
q=1 da bu funksiya turli ishorali qiymatlarga ega:
F(0)= f(a'1,a'2,… ,a'm)<0 , F(1)= f(t'1,t'2,… ,t'm)>0
Shunday qilib,
F(q) funksiya [0,1] segmentda uzluksiz va shu segmentning chetki
nuqtalarida har xil ishorali qiymatlarga ega. (0,1) intervalda shunday
q0 nuqta
topiladiki, F
( q
0 ) = 0
bo‘ladi. Demak,
F(q0)= f(a'¿¿1+q0(t'1−a'1),a'2+q0(t'2− a'2),… ,a'm+q0(t'm− a'm))¿
=0
Agar
c1= a'1+q0∙(t'1−a'1) , c2= a'2+q0∙(t'2−a'2) , … ,
cm=a'm+q0∙(t'm− a'm)
deb olsak, ravshanki, c = ( c
1 , c
2 , … , c
m ) ∈ M
va
f(c)= f(c1,c2,… ,cm)=0
bo‘ladi.
Boltsano-Koshining ikkinchi teoremasi. f
( x ) = f ( x
1 , x
2 , … , x
m ) funksiya
bog‘lamli
M ⊂ Rm to‘plamda uzluksiz bo‘lib, M to‘plamning ikkita
a =
( a
1 , a
2 , … , a
m ) va t = ( t
1 , t
2 , … , t
m ) nuqtasida f(a)= A , f(t)= B , ( A ≠ B )
qiymatlarga ega bo‘lsin. A
va
B orasida har qanday C
son olinsa ham M
to‘plamda
shunday
c=(c1,c2,… ,cm) nuqta topiladiki, f(c)= f(c1,c2,… ,cm)=C
bo‘ladi.
Veyershtrassning birinchi teoremasi. f
( x )
funksiya chegaralangan yopiq
20](https://docx.uz/documents/7d7a835a-5aba-438e-849e-35f938a05d13/page_20.png?v=1)
![M ⊂ Rm to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, funksiya shu M
to‘plamda chegaralangan
bo‘ladi.
Veyershtrassning ikkinchi teoremasi. Agar
f(x) funksiya chegaralangan
yopiq
M ⊂ R m
to‘plamda uzluksiz bo‘lsa, u shu to‘plamda o‘zining aniq yuqori
hamda aniq quyi chegaralariga erishadi.
Isbot.
f(x) funksiya [a,b] da chegaralangan. Modomiki, { f ( x ) : x ∈ [ a , b ] }
to‘plam chegaralangan ekan, unda bu to‘plamning aniq yuqori hamda aniq quyi
chegaralari mavjud. Biz ularni
¿x∈[a,b]{f(x)}= D , inf
x ∈ [ a , b ] { f ( x )} = d
orqali
belgilaylik. Endi [ a , b ]
segmentda f
( x )
funksiya D va d qiymatlarni qabul
qiladigan nuqtalar mavjudligini ko‘rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya’ni f
( x )
funksiya
[a,b] segmentda o‘zining aniq yuqori chegarasi D ga erishmasin. U holda
∀ x ∈
[ a , b ]
uchun f ( x ) < D
tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Quyidagi φ(x)= 1
D− f(x)
funksiyani qaraylik. Ravshanki, bu funksiyani
[a,b] segmentda aniqlangan va
uzluksiz.Veyershtrassning birinchi teoremasiga ko‘ra φ
( x )
funksiya [a,b] da
chegaralangan. Demak,
∀ x∈[a,b] lar uchun ushbu
φ
( x ) = 1
D − f ( x ) ≤ α ( α = const , α > 0 )
tengsizlik o‘rinli. Bundan f(x)≤D− 1
α bo‘lishi
kelib chiqadi. Bu esa D =
{ f
( x ) }
ekaniga zid. Demak, f ( x )
funksiya [ a , b ]
segmentda o‘zini aniq yuqori chegarasiga erishadi, ya’ni
[a,b] da shunday
x
1 mavjudki, f
( x
1 ) = ¿
x ∈ [ a , b ] { f ( x )}
bo‘ladi. Xuddi shunga o‘xshash f ( x )
funksiya [ a , b ]
segmentda o‘zining aniq quyi chegarasiga erishishi ko‘rsatiladi.
Teorema isbot bo‘ldi.
21](https://docx.uz/documents/7d7a835a-5aba-438e-849e-35f938a05d13/page_21.png?v=1)
-
Похожие документы
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq
- Faxriy yorliq