Информация о документе

Цена 40000UZS
Размер 4.4MB
Покупки 0
Дата загрузки 31 Октябрь 2026
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

DocX Seller

Дата регистрации 31 Октябрь 2026

0 Продаж

Sirkul va chizg’ich yordamida yasashlarda algebraik metodlar. Matematika tarixidagi uch qiziqarli masala

Купить
1 O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTA MAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI MIRZO ULUG’BEK NOMIDAGI O’ZBEKISTON MILLIY UNIVERSITETI Matematika fakulteti matematika yo’nalishi ANALITIK GEOMETRIYA FANIDAN “Sirkul va chizg’ich yordamida yasashlarda algebraik metodlar. Matematika tarixidagi uch qiziqarli masala.” MAVZUSIDA YOZGAN KURS ISHI Qabul qildi:_____________________ 3 REJA: KIRISH…………………………………………………………………………..…….4 I BOB. SIRKUL VA CHIZG’ICH YORDAMIDA YASASHLARDA ALGEBRAIK METODLAR.. ………………………………………………………..6 1.1. Yasashga doir masalalarni yechishda qo‘llaniladigan qurollar va ularning aksiomalari ……………………………………………………………………………..6 1.2. Yasashga doir geometrik masalalarni yechishdagi asosiy bosqichlar……………..8 II BOB. MATEMATIKA TARIXIDAGI UCH QIZIQARLI MASALA.…..……18 2.1. Kubni ikkilantirish masalasi …………………………………..…….. …….……19 2.2. Burchakni uchga bo‘lish masalasi ……………..……………………..……...….20 2.3 Doirani kvadratlash masalasi…………………………………………………….21 XULOSA ……………………………………………………………………………..22 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI……………………..……….23 4 KIRISH Birinchi navbatda kurs ishimga kirar ekanmiz, geometriya nima va geometrik masalalarning turlari haqida to’xtalib ketmoqchiman. Geometriyaga oid dastlabki tushunchalar bundan 4-5 ming yil muqaddam qadimgi Misrda paydo bo’lgan. O’sha kezlarda Nil daryosining suvi har yili toshib, ekin maydonlarini yuvib turgan. Shuning uchun, ekinzorlarni qayta taqsimlash va soliq miqdorini aniqlash uchun bu maydonlarda belgilash va o’lchash ishlarini bajarishga to’g’ri kelgan. Qadimgi yunon olimlari yer O’lchash usullarini misrliklardan o’rganib, uni geometriya deb ataganlar. “Geometriya” yunoncha so’z bo’lib, “geo”-yer, “metrio”-o’lchash degan ma’noni anglatuvchi qismlardan tuzilgan. Mil. avv. VII-VI asrlarda Qadimgi Xorazmda ham Misrdagi kabi Amudaryoning quyi qismida yer o’lchash ishlari bajarilgan. Geometriyaga oid dastlabki tushunchalar Qadimgi Bobilda ham bo4lgan. Xususan, tarixchilar Pifagor teoremasi Bobilda topilgan deb hisoblashadi. Qadimgi yunon olimi Evklid o’sha paytgacha ma’lum bo4lgan barcha geometrik tushuncha va xossalarni tartibga keltirib, “Negizlar” deb nomlangan kitobida bayon etdi. Bu kitob ikki ming yil mobaynida maktablar uchun eng muhim darslik vazifasini o’tadi va fan taraqqiyotida ulkan hamiyatga ega bo’ldi. Geometriyani o’qitish hozir ham ana shu kitobdagi g’oyalarga tayanadi. O’tmishda yashab o’tgan olimlarning ko’pchiligi geometriya bilan shug’ullanganlar. Buyuk vatandoshlarimiz Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy, Ahmad Farg’oniy, Abu Rayhon Beruniy, Abu Ali ibn Sino, Ulug’bek ham Evklid “Negizlar”ini puxta o’rganib, bu fan rivojiga o’z hissasini qo’shganlar. Sharq mamlakatlarida geometriya injenerlik bilan qo’shib handasa deb atalgan va unga katta ahamiyat berilgan. Hozir “injener” so’zi muhandis deyilishi ham shundan. Endi geometrik masalalarning turlariga to’xtaladigan bo’lsak, geometrik masalalar asosan berilishi va nimani topishga qaratilganligiga qarab 3 turga bo‘linadi: Birinchisi – hisoblashga doir masalalar. Bunday masalalar turmushda ko‘p uchraydigan, geometrik figuralarga taaluqli bo‘lgan, u figuraning biror elementini topishga yoki uning yuzasini, hajmini topishga doir masala kiradi. Ikkinchisi – isbotlashga doir masalalar: Bunday masalalarga o‘rganilgan geometrik figuralar, ularning xossalari, alomatlari yoki ular orasidagi munosabatlariga ko‘ra nazariy jihatdan asoslashga doir masalalar kiradi. 5 Uchinchisi – geometrik figuralar yoki ularning elementlarini geometrik yasash qurollari yordamida yasashga doir masalalar. Bunday masalalarni yechishda o‘rganilgan geometrik nazariyalarni ketma-ket qo‘llab yasashga doir geometrik masalalar hal qilinadi. Yasashga doir geometrik masalalarni «konstruktiv masalalar» deyiladi va geometriyaning bu qismini o‘rganiladigan bo‘limini «konstruktiv geometriya» deb ataladi. Konstruktiv geometriyaning asosiy yasash quroli chizg‘ich va sirkuldir. Biz siz bilan aynan chizg’ich va sirkul yordamida masalarni yechish yo’llarini ko’rib chiqamiz. Kurs ishining maqsadi: M n o`z kurs ishimda е geometriya fanida chizg’ich va surkul yordamida qanaqa ishlar amalga oshirish mumkinligini va bularni geometrik masalalarda tatbig’ini o`rganishni o`z oldimga maqasad qilib qo`yaman. Shu jumladan, Matematika tarixidagi qiziqarli 3 masala va ularga yechim chizg’ich va sirkul yordamida topillganini ko’rib chiqamiz. Kurs ishining vazifasi: Sirkul va chizg’ich yordamida yasashga doir masalalarni ishlashga oid shu kungacha o’rgangan bilimimni rivojlantirish. Kurs ishi tuzilishi: kirish, ikki bob, xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro`yxatidan iborat bo`lib, jami ____ sahifani tashkil etadi. 6 I BOB. SIRKUL VA CHIZG’ICH YORDAMIDA YASASHLARDA ALGEBRAIK METODLAR 1.1. Yasashga doir masalalarni yechishda qo‘llaniladigan qurollar va ularning aksiomalari Geometrik figuralarni sirkul va chizg‘ich yordamida yasash Yasashga oid masalalarni faqat oddiy chizg’ich va sirkul vositasida yechish mantiqiy mushohada qilish qobiliyatini o’stiradi. Shuning uchun Qadimgi Yunonistonda bu mavzudagi masalalarni yechish san’at darajasiga ko’tarilgan. Shu paytgacha turli xil asboblar yordamida har xil geometrik shakllarni yasab keldik. Masalan, chizg’ich yordamida to’g’ri chiziq, nur, kesma, uchburchak va boshqa shakllarni chizdik. Chizg’ich va transporter yordamida turli xil burchaklar qurdik, parallel va perpendikulyar to’g’ri chiziqlar yasadik. Sirkul yordamida esa aylana va yoylar chizdik. Ma’lum bo’lishicha, ko’plab geometrik shakllarni faqat masshtabli bo’linmalarga ega bo’lmagan, bir tomoni tekis chizg’ich hamda sirkul vositasida yasash mumkin ekan. Shu sababdan geometriyada mana shu ikki asbob yordamida yasashga doir masalalar alohida ajratib o’rganiladi. Sirkul va chizg’ich yordamida yasashga doir masalalarni o’rganishimizdan oldin ular nima ekanligiga to’xtalib o’tsak. Sirkul (lot. cirkulus — doyra, aylana) — aylana va yoylar chizish, kesmalarning uzunligini o lchash va o lchamlarni ko chirish uchun mo ljallangan ʻ ʻ ʻ ʻ chizmachilik asbobi; parger. Uning quyidagi turlari mavjud: 1.Rejalash (yoki bo lish) sirkuli – ʻ chiziqli o lchamlarni o lchab, boshqa joyga (qog ozga) tushirish uchun mo ljallanadi. ʻ ʻ ʻ ʻ 2.Chizmachilik (yoki doiraviy) sirkuli – diametri 300 mm gacha bo lgan aylanalarni chizishda ʻ ishlatiladi (diametri 2—80 mm li aylanalarni chizish uchun mo ljallangan sirkuli kronsirkul, ʻ diametri 300 mm dan katta aylanalarni chizishda ishlatiladigan sirkul shtangensirkul deb ataladi). 3.Proporsional sirkul – o’lchab ko chiriladigan o lchamlarning masshtabini ʻ ʻ o zgartirishga imkon beradi. U deyarli barcha soxalarda ishlatiladi. Geometriya bo’limiga ʻ kirishimizdan oldin chizg’ich haqidagi tushunchalarimiz mavjuud bo’lgan. Bu asbobni biz kichik sinfligimiz vaqtida geometrik shakllar bo’lmish uchburchak, to’rtburchakllarni chizishda, kesmaning uzunligini o’lchashda 7 foydalanganmiz. Endi esa, siz bilan bu asboblarning geometriyadagi vazifalarini ko’rib chiqamiz. Bu qurollarni ishlatishda asosan quyidagi, ularning imkoniyatlarini e'tiborga olib tuzilgan aksiomalari mavjud: 1. Berilgan ikki nuqta orqali to‘g‘ri chiziq o‘tkazish mumkin. (Chizg‘ich aksiomasi). 2. Berilgan markazi va radiusiga ko’ra U ( , r) aylanani yasash mumkin. о (Sirkul aksiomasi). 3. Ikki to‘g‘ri chiziqning kesishgan nuqtasini topish mumkin, agar ular kesishadigan bo‘lsa. (Chizg‘ich aksiomasi). 4. Ikki aylananing kesishgan nuqtalarini topish mumkin, agar ular umumiy nuqtaga ega bo‘lsa. (Sirkul aksiomasi). 5. Berilgan to‘g‘ri chiziq va aylanalarning kesishgan nuqtalarini topish mumkin, agar ular kesishsa. (Chizg‘ich va sirkul aksiomasi). Yasashga doir masalalarni yechishda bu aksiomalar chekli marta qo‘llaniladi. Geometriyaning figuralarni yasashga doir qismi ancha murakkab va keng soha bo‘lib, bu ustida chet el geometrlaridan Italiya geometri Maskeroni 1797 yilda, nemis olimi Yakob Shteyner 1833 yilda, Adler 1890 yillarda o‘zlarining axborotlarida har bir yasash qurolining ahamiyati haqida mukammal fikr yuritib, ularni har biri va ularni o‘rnini bosuvchi boshqa asboblarni ta'riflaganlar va tabaqalarga ajratganlar. Fransuz matematigi Adamar elementar geometriya kursida shunday deb yozadi: «Geometrik yasashlar degan so‘zdan chizg‘ich va sirkul yordami bilan bajariladigan yasashlarni tushuniladi». Bu olimlar geometrik yasash qurollari safiga ikki tomonli chizg‘ich, to‘g‘ri yoki o‘tkir burchak, go‘niya kabi asboblarning mohiyati ustida ham fikr yuritadilar. O‘rta Osiyolik olimlardan Umar Xayyom (1048-1030), Nasriddin Tusiy (1201- 1274), Bag‘dod matematigi Abul Hasan Sobit ibn Karra (836-901), Abul-Vafo Muhammed al- Buzdakoni (940-988), Sidjizi (951 -1024), al Kuxi (X asr), Muhammad ibn al-Husayn (XII asr) chizmachilikning takomillashtirishi va chizmachilik asboblari haqida, yasashga doir tarixiy masalalarning yechimi haqida risolalar yaratganlar. 8 1.2. Yasashga doir geometrik masalalarni yechishdagi asosiy bosqichlar. Yasashga doir geometrik masalalarning berilishiga qarab, uning yechimi mavjudmi, yoki yo‘qmi, degan savol tug‘iladi. Bu savolga javobni ayrim masalalarda, ayniqsa, shu masalani yechishda qo‘llaniladigan usul yoki ketma-ketlik aniq va sodda bo‘lsa, oldindan aytish mumkin. Masalan: a tomoni va uning qarshisidagi A burchagi bo‘yicha uchburchak yasash talab qilinsin. Bunday masalaning sharti yetarli emas, lekin bu berilgan shartlarni qanoatlantiruvchi yechim cheksiz ko‘p ekanligini aytish mumkin. Shuning uchun bu masalaning yechimi aniq emas deyiladi. Yoki masalan: 3 ta burchagiga ko‘ra uchburchak yasash? Har bir yechim bu masalaning yechimi bo‘la oladi. Demak bu masalaning ham berilishi aniq emas. Bunday masalalarda albatta hech bo‘lmasa, 1 ta chiziqli element berilishi kerak, bu shart uchburchakni to‘la aniqlaydi. Bu masalalardan ko‘rinadiki, yasashga doir masalalarni yechishda o‘ziga xos xususiyat mavjud ekan. Bu xususiyat bunday masalalarni yechishdagi asosiy bosqichlardir. Asosiy bosqichlar: 1. Analiz bosqichi. 2. Yasash bosqichi. 3. Isbotlash bosqichi. 4. Tekshirish bosqichi. Analiz bosqichi – bu bosqichda «masala yechildi», deb faraz qilib, so‘ralgan figuraning taxminiy chizmasi chiziladi va undagi masalaning shartida berilgan elementlar aniqlanadi, so‘ngra ular orqali so‘ralgan figuraning asosiy elementlari orasidagi bog‘lanish aniqlanadi. Keyin berilgan elementlarga ko‘ra, so‘ralgan figurani yasash plani tuziladi. Bu bosqich ijodiy bosqich deb ataladi, chunki tuzilgan plan asosida so‘ralgan figurani bemalol yasash mumkin. Yasash bosqichi – bu bosqich ijro etish bosqichi deb atalib, analiz bosqichida tuzilgan plan asosida so‘ralgan figura yasaladi (sirkul va chizg‘ich yordamida). 9 Isbotlash bosqichi – bu bosqichda yasalgan figura masalaning shartlarini qanoatlantirishi asoslanadi. Tekshirish bosqichi – bu bosqichda quyidagi savollarga javob berish kerak bo‘ladi: 1. Masala doim yechimga egami yoki yechimga ega bo‘lmagan hol ham bormi? 2. Agar masala yechimga ega bo‘lsa, qachon nechta yechimga ega ekanligi aniqlanadi. Bu bosqichlar masalaning to‘la hal qilinishini taminlaydi. Berilgan masalaning sodda va murakkabligiga qarab ayrim bosqichlarni og‘zaki ham bajarish yoki bajarmaslik mumkin bo‘ladi. Lekin 4ta bosqichga to‘la e'tibor berish kerak bo‘ladi. Yasashga doir masalalarni yechishda ko‘p qo‘llaniladigan bir qancha elementar masalalar mavjud. Masalan: 1. Kesmaga teng kesma yasash. 2. Burchakka teng burchak yasash. 3. 3 tomoniga ko‘ra uchburchak yasash. 4. Ikki tomoni va ular orasida burchagiga ko‘ra uchburchak yasash. 5. Bir tomon va unga yopishgan ikki burchagiga ko‘ra uchburchak yasash. 6. Burchak bissektrisasini yasash. 7. Kesmani teng ikkita bo‘lish. 8. Berilgan nuqtadan berilgan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar tushirish va xokazo. Yasashga doir masalalarni yechishda bunday elementar masalalar chekli marta takrorlab qo‘llanilishi mumkin. Sirkul va chizg’ichdan foydalanishning maxsus qoidalari bor. Ular vositasida faqat quyidagi ishlarni bajarishga ruxsat etiladi: Oddiy chizg’ich yordamida faqat: 1) Ixtiyoriy to’g’ri chiziq chizish; 2) Tayin nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq chizish; 3) Ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziqni chizish. Sirkul yordamida faqat: 1) Ixtiyoriy aylana chizish; 2) Markazi berilgan nuqtada bo’lgan ixtiyoriy radiusli aylana chizish; 10 3) Tayin radiusli, markazi esa ixtiyoriy nuqtada bo’lgan aylana chizish; 4) Markazi berilgan nuqtada, radiusi berilgan kesmadan iborat aylana chizish; 5) Berilgan kesmaga teng kesmani, nurga uning boshidan boshlab qo’yish. Boshqa har qanday yasashni mana shu tariqa bajarishga harakat qilinadi. Hatto chizg’ichda millimetrli bo’linmalar bo’lsa-da, kesmalarning uzunliklarini o’lchash va ma’lum uzunlikdagi kesmani biror to’g’ri chiziqqa qo’yishga ruxsat berilmaydi (chunki oddiy chizg’ichda bo’linmalar yo’q). Shuningdek, chizg’ichning ikki qirrasidan foydalanib, parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazishga ham ruxsat berilmaydi (chunki oddiy chizg’ichning bir tomoni tekis, xolos). Yasashga doir masalalarda nafaqat biror geometrik shaklni yasash yo’lini, usulini topish talab qilinadi, balki hosil bo’lgan geometrik shakl haqiqatan berilgan shartlarni qanoatlantirishini asoslash, ya’ni yasash to’g’riligi va to’liq bajarilganini isbotlash ham lozim bo’ladi. Endi esa siz bilan yuqorida keltirib o’tgan har bir elementar masalani birma-bir ko’rib chiqamiz. 1.Kesmaga teng kesma yasash Bizga AB kesma va OE nur berilgan bo’lsin. Biz OE nurda AB kesmaga teng 1 1 yasashimiz kerak. Yasash: 1-?????? ?????? qadam: Sirkulning ikki uchini AB kesmaning ikki uchiga qo’yib AB uzunligiga teng kesma hosil qilib olamiz. 2-qadam: Sirkul yordamida AB kesmaga teng 1 1 kesmani OE nurga qo’yamiz. ?????? ?????? 11 2. Kesmani teng ikkiga bo’lish Yasash: AB kesma berilgan bo’lsin. 1-qadam: Radiusi berilgan AB kesmaga teng bo’lgan, markazlari esa A va B nuqtalarda bo’lgan ikkita aylana chiziladi. 2- qadam: Aylanalar kesishgan C va 1 nuqtalari tutashtiriladi. 1 to’g’ri chiziq va AB kesmaning ?????? ???????????? kesishish nuqtasi berilgan kesmaning o’rtasi bo’ladi. 12 3. Burchakka teng burchak yasash A burchak berilgan. O nurga A burchakka teng burchak yasashimiz kerak. Yasash: 1-qadam: Markazi A nuqtada bo'lgan ixtiyoriy aylana chizamiz. Bu aylana berilgan A burchak tomonlarini B va C nuqtalarda kesib o’tsin. 2-qadam: Radiusi chizilgan aylana radiusiga teng va markazi O nuqtada bo’lgan aylana chizamiz. Bu aylananing O nur bilan kesishish nuqtasini 1 bilan belgilaymiz. 3-qadam: Markazi 1 nuqtada, radiusi esa ?????? ?????? BCga teng bo’lgan aylana chizamiz. Uning avvalgi aylana bilan kesishgan nuqtalaridan birini 1 ?????? bilan belgilaymiz. 13 4-qadam: 1nurni o’tkazamiz. Hosil bo’lgan 1 1burchak O nurga qo’yilgan va berilgan A ???????????? ?????? ???????????? burchakka teng bo’ladi. Asoslash: 2- va 4-rasmda tasvirlangan ∆ABC va ∆ 1 1 ?????? ???????????? uchburchaklarda yasashga ko’ra: AB= 1, AC= 1 va BC = 1 1. Demak, uchburchaklar ???????????? ???????????? ?????? ?????? tengligining TTT alomatiga ko’ra ∆ABC = ∆ 1 1. Xususan, 1 1 = 4. Uch tomoniga ?????? ???????????? ∠?????? ???????????? ∠?????? ko‘ra uchburchak yasash Uzunliklari mos ravishda a, b va c ga teng kesmalar berilgan bo’lib, c ulardan eng kattasi bo’lsin. Tomonlari mos ravishda AB = c, BC = a va AC = b bo’lgan ABC uchburchak yasash uchun quyidagicha yo’l tutiladi. Yasash: 1-qadam: Ixtiyoriy to’g’ri chiziq chiziladi. To’g’ri chiziqda uzunligi c ga teng bo’lgan AB kesma sirkul yordamida ajratiladi. 14 2-qadam: AC = b bo’lishi kerak. Shuning uchun, markazi A nuqtada radiusi b ga teng aylana chiziladi. 3-qadam: BC = a bo’lishi kerak. Shuning uchun, markazi B nuqtada radiusi a ga teng aylana chiziladi. 4-qadam: Aylanalar kesishish nuqtasi bo’lgan C nuqta A va B nuqtalar bilan tutashtiriladi. Hosil bo’lgan ABC uchburchakning tomonlari a, b va c ga teng bo’ladi. 15 5. Burchak bissektrisasini yasash A burchak berilgan bo’lsin. Bu burchakni bissektrisasini yasash jarayoni. Yasash: 1-qadam: Markazi A nuqtada bo’lgan ixtiyoriy radiusli aylana chiziladi va uning burchak tomonlari bilan kesishish nuqtalari B va C belgilanadi. 2-qadam: Radiusni o’zgartirmasdan, markazlari B va C nuqtalarda bo’lgan ikkita aylana chiziladi (2-rasm). Bu ikki aylana kesishuvidan hosil bo’lgan D nuqta belgilanadi. 3-qadam: A va D nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chiziq o’tkaziladi. AD to’g’ri chiziq berilgan burchak bissektrisasi bo’ladi. 16 Asoslash: ABD va ACD uchburchaklarda: 1) yasashga ko’ra AB = AC; Uchburchaklar tengligining TTT alomatiga 2) yasashga ko’ra BD = CD; ko’ra, ∆ABD = ∆ACD. Xususan, 3) AD - umumiy tomon. BAD = CAD. 6. Berilgan nuqtadan berilgan to‘g‘ri ∠ ∠ chiziqqa perpendikulyar tushirish Berilgan a to’g’ri chiziqqa uning O nuqtasidan o’tuvchi perpendikulyar to’g’ri chiziqni yasash masalasini ko’rib chiqaylik. Yasash: 1-qadam: O nuqtani markaz qilib ixtiyoriy aylana chizamiz. U berilgan to’g’ri chiziqni A va B nuqtalarda kesib o’tsin. 2-qadam: A va B nuqtalarni markaz qilib, radiusi ABga teng aylanalar chizamiz. Bu aylanalarning kesishish nuqtalaridan birini C deb belgilaymiz. 17 3-qadam: C va O nuqtalardan o’tuvchi OC to’g’ri chiziqni yasaymiz. OC to’g’ri chiziq berilgan a to’g’ri chiziqqa uning O nuqtasidan o’tuvchi perpendikulyar bo’ladi. Asoslash: AOC va BOC uchburchaklarni qaraymiz. Yasashga ko’ra: 1. AO = BO; 2. AC = BC; 3. CO esa umumiy tomon. Demak, uchburchaklar tengligining TTT alomatiga ko’ra, ∆AOC = ∆BOC. U holda, AOC = BOC. ∠ ∠ Lekin qo’shni burchaklar teng bo’lsa, ular 90° ga tengdir. Demak, haqiqatdan ham OC a. ⊥ 18 II BOB. MATEMATIKA TARIXIDAGI UCH QIZIQARLI MASALA Irrasional sonlarni kashf etilishi matematikaning nazariy asoslarini yaratish uchun asosiy sabablardan biri bo‘ladi. Hali mustahkam asosga ega bo‘lmagan grek matematikasi irrasionallik tufayli sonlar nazariyasi va geometriyada katta qiyinchiliklarga duch keldi. Chunki buning natijasida metrik geometriya va o‘xshashlik kabi nazariyalarni tushuntirish qiyin bo‘lib qoldi. Kashf qilingan faktni mohiyatini ilmiy asosda tushunish va uni tarkib topgan tasavvurlar bilan muvofiqlashtirish matematikani bundan buyongi rivojlanishi uchun katta turtki bo‘ldi. Rasional sonlar bilan bir qatorda irrasional sonlar uchun hamyaroqli bo‘lgan matematik nazariyani yaratishga bo‘lgan urinish natijasida geometrik algebra nomi bilan yangi yo‘nalish yaratildi. Ammo geometrik algebraning kamchiligi shundan iborat bo‘lib qoldiki, chizg’ich va sirkul yordamida yechish mumkin bo‘lmagan masalalar ham yetarlicha ekan. Bunday masalalar turkumiga: 1.Kubni ikkilantirish. 2.Burchakni teng uchga bo‘lish (burchak triseksiyasi). 3.Doirani kvadratlash (doira kvadraturasi). 19 2.1. Kubni ikkilantirish masalasi Kubni ikkilantirish, ya'ni hajmi berilgan kub hajmidan ikki marta katta bo‘lgan kubni yasash. Berilgan kub qirrasi a ga teng bo‘lsin, u holda yangi kub qirrasini x desak, masala 3 = 2 3 tenglamani yechishga, yoki kesmani yasashga keladi. Quyida?????? ?????? Xioslik Gippokrat (e.o. V asr o‘rtasi) tomonidan tavsiya etilgan usul bilan tanishaylik. U masalani umumiyroq qilib qo‘yadi, ya'ni parallelopipeddan kub hosil qilish. Buni u ikkita o‘rta proporsionalni topish masalasiga olib keladi. Bizga V=a,b,c parallelepiped berilgan bo‘lsin. Uni asosi kvadrat bo‘lgan yangi parallelopipedga = 2 ga keltirilgan bo‘lsin. Endi buni 3 = 2 ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? ?????? kubga o‘tkazamiz. Izlangan kubning qirrasi Gippokratga ko‘ra a:x=x:y=y:b proporsiyadan aniqlangan. Buning uchun 2 = , = 2 = ko‘rinishdagi geometrik o‘rinlar ?????? ???????????? ???????????? ???????????? ???????????? ?????? ???????????? tekshirilgan va ular (a va b lar) shu geometrik o‘rinlarning kesishish nuqtasining koordinatalarini o‘rta proporsianalini topish ko‘rinishida hal qilgan. Bu esa konus kesimlari ko‘rinishida hal bo‘ladigan masaladir. Boshqa ko‘rinishda Eratosfen kubni taqriban ikkilantiradigan qurilma (mezolabiy) yasagan. Muammoning bundan keyingi taqdiri haqida 1637-yilda Dekart bu masalani yechish mumkinligiga shubha bildiradi. 1837-yilda Vanhel bu masalani uzil-kesil hal qiladi, ya'ni kubik irrasional sonlar rasional sonlar to‘plamiga ham va uni kvadrat irrasionallik bilan kengaytirilgan to‘plamiga ham tegishli emasligini isbotlaydi. Demak, masalani chizg’ich va sirkul yordamida hal qilib bo‘lmas ekan. 20 2.2. Burchakni uchga bo‘lish masalasi Antik davrning ikkinchi mashxur masalasi bu ixtiyoriy burchakni geometrik algebra usullari bilan teng uchga bo‘lishdir ya’ni burchak triseksiyasi. Burchak triseksiyasi (lot. tri uch va sectio — qirqish) — biror burchakni 3 teng qismga bo lish ʻ haqidagi masala; qadimda mashhur 3 masalaning biri. Bu masala ham oldingisi kabi uchinchi darajali tenglamani yechishga keltiriladi, ya'ni = 4 3 −3 yoki trigonometrik ko‘rinishda ?????? ?????? ?????? = 4cos3( /3) −3 ( /3) O rta asr arab manbalarida Burchak triseksiyasi algebra va ???????????????????????? ?????? ?????????????????? ?????? ʻ trigonometriya masalalari bilan bog lanadi. 9—10-asrlarda burchak triseksiyasi 3 + + = 0 ʻ ?????? ???????????? ?????? kub tenglamani yechishga keltiriladi. 15-asrda samarqandlik olim Jamshid ibn Mas ud al- ʼ Koshiy juda aniq trigonometrik jadvallar tuzish va ma lum sin3° asosida sinG ni hisoblash ʼ uchun kub tenglamani taqribiy hisoblash usulini qo llaydi. Eslatilgan masalalarning birontasini ʻ ham sirkul va chizg ich yordamida yechib bo lmaydi. ʻ ʻ 21 2.3. Doirani kvadratlash masalasi DOIRA KVADRATURASI — berilgan doiraga tengdosh kvadrat yasash masalasi. Qadimda mashhur 3 masala (ya ni burchak triseksiyasi, kubni ʼ ikkilantirish va Doira kvadraturasi) ning biri. Doiraning yuzi 2, kvadrat yuzi 2. U holda 2 ???????????? ?????? ???????????? = 2 , bo‘lib, ning arifmetik tabiati ochilmaguncha bu muammo ham yechim kutib turdi. ?????? π Faqat XVIII asrga kelib I. Lombert va A. Lejandrlar rasional son emasligini isbotladilar. 1882- π yilda Lindemon ni transendent son ekanligini, ya'ni u hech qanday butun koeffisentli π algebraik tenglamaning ildizi bo‘la olmasligini isbotladi. Albatta antik matematiklar bularni bilmaganlar. Ular muammoni hal qilish davomida ko‘plab yangi faktlarni va metodlarni kashf qildilarki, shubhasiz bular matematikani rivojlantirish uchun katta hissa qo‘shdi. Ba'zi xususiy hollar uchun muammoni hal qilishga erishdilar. Mil avv. 5-asrda yunon olimlari sirkul va chizg ich yordamida berilgan doiraga tengdosh kvadrat yasash masalasi bilan shug ullanishgan. ʻ ʻ Masalan, Gipokrat oynachalari. GIPPOKRAT OYCHALARI (o roqchalari) — to g ri burchakli ʻ ʻ ʻ uchburchak katetlari va gipotenuzasini diametr sifatida qabul qilib chizilgan uchta yarim aylana bilan chegaralangan figuralar. Shu singari o roqsimon shakllarni Gippokrat tekshirgan. ʻ Ammo ularning urinishlari behuda ketgan. 1882-yilda nemis matematigi Lindeman doira kvadraturasi masalasini sirkul va chizg ich yordamida hal qilib bo lmasligini qatiy isbotladi. ʻ ʻ Doira kvadraturasi masalasini, masalan, kvadratrisa yordamida yechish, taqribiy va mexanik usullar (xususan, Leonardo da Vinchi silindri) yordamida yechish mumkin. Doira kvadraturasini taqribiy hal qilishni, xususan shunga bog liq p ni taqribiy hisoblashni qadimgi ʻ o rta osiyolik matematiklar ham juda yaxshi bilishgan. Masalan, Muhammad al-Xorazmiy, ʻ Jamshid al-Koshi va boshqalar p sonini katta aniklik bilan hisoblaganlar. 22 XULOSA Mustaqillikka erishganimizdan so`ng, O`zbekistonda ta`lim sohasida keng imkoniyatlar ochildi, vatanimizning halqaro sahnadagi muvaffaqiyati, obru e'tibori va o`rni milliy o`zligimizni anglashda, matematika fani yetakchi mavqe kasb etib, har bir fuqoroning mamlakat taqdiri uchun mas'ullik hissini yanada oshirishga xizmat qiladi. Yuqorida bayon etilgan fikrlardan xulosa shuki, yoshlarga boshlang`ich sinflardan boshlab o’qitiladigan matematika faninig geometriya bo’limi ham amaliy, ham ilmiy–nazariy jihatdan yaxshi o`qitilishi shart. O`tmish tarixdan aniq ma`lumki, qadimda buyuk muhandislar chizmalarning ilmiy asoslarini qo`llash natijasida, katta yutuqlarga erishganlar. Bu yutuqlar negizida albatta geometriya yotibdi. Bularni yosh avlodga o`qitishimiz, o’rgatishimiz lozim. Men o`zimning kurs ishimda geometrik masalalar bo’lmish yasashga oid masalalarni ishlashda sirkul va chizg’ichning o’rni haqida, Qadimda mashhur 3 masala haqidagi umumiy tushunchalarni bayon etdim. Bu kurs ishimni yoritish davomida to’plagan ma’lumotlarga ega bo’ldim va ularni o’z kurs ishim davomida yanada ochiqroq turda berishga harakat qildim. Bu kurs ishim davomida men nafaqat o’z mavzuyimni balki uni o’rganish kerak bo’ladigan boshqa mavzularni ham o’rgandim va oldindan bilganlarimni yana bir bora esga oldim hamda ularni ham keltirib o’tdim. Kurs ishimda mavzular ketma-ketligi va ularda berilgan misollar mavzuni to’laqonli o’rganishda yordam beradi. Hamda quyidagi keltirilgan adabiyotlar orqali ham ularni yanada to’liqtirishinggizga bo’ladi. Shaxsan mening o’zim ham kurs ishim orqali ancha ma’lumotlarga ega bo’ldim desam yanglishmagan bo’laman. 23 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI 1.Sh.Murodov, N.Tashimov. “Grafik tasvirlash asoslari”, “Navro’z”, Toshkent-2013. 2.Sh.Murodov, L.Xakimov, A.Xolmirzayev. “Chizma geometriya”, “Iqtisod moliya”, Toshkent-2008. 3. A.A’zamov va boshqalar. “Geometriya-7”, “Yangiyo’l Poligraf Servis”, Toshkent-2017. 4.N.D.Dodajonov, M.Sh.Jo‘raeva. Geometriya. 1-qism. «O‘qituvchi», Toshkent-1996 (o‘quv qo‘llanma) 5. N.D.Dodajonov, Yunusmetov R, Abdullaev A. . Geometriya. 2-qism, «O‘qituvchi», Toshken-1996 (o‘quv qo‘llanma) 6.R.Yunusmetov va boshqalar. Geometriya-1 (ma'ruzalar matni), TDPU-2005. 7.T.Shodiev. “Analitik geometriyadan qo’llanma”, “O’qituvhi”, Toshkent-1973. 8. https://uz.wikipedia.org 9. https://fayllar.org

MUNDARIJA

KIRISH

I BOB. SIRKUL VA CHIZG’ICH YORDAMIDA YASASHLARDA ALGEBRAIK METODLAR

1.1. Yasashga doir masalalarni yechishda qo‘llaniladigan qurollar va ularning aksiomalari

1.2. Yasashga doir geometrik masalalarni yechishdagi asosiy bosqichlar

II BOB. MATEMATIKA TARIXIDAGI UCH QIZIQARLI MASALA

2.1. Kubni ikkilantirish masalasi

2.2. Burchakni uchga bo‘lish masalasi

2.3 Doirani kvadratlash masalasi

XULOSA

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO’YXATI

Купить