Sonli qatorlar 2-variant - Algebra - Kurs ishlari

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	535.9KB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	13 Iyun 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

201 Sotish

Sonli qatorlar 2-variant

Sotib olish

Sonli qatorlar
1

MUNDARIJA
KIRISH ...................................................................................................................... 3
ASOSIY QISM .......................................................................................................... 6
1-§. Sonli qatorlar nazariyasining asosiy tushunchalari ........................................ 6
2-§. Musbat hadli sonli qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari ................. 17
3-§. Ishorasi o‘zgaruvchi qatorlar va amaliy misollar ......................................... 27
XULOSA ................................................................................................................. 40
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ................................................................. 42
2

KIRISH
“Yoshlarning matematik bilimlarini rivojlantirish – mamlakatning ilmiy va
texnologik kelajagini ta’minlash demakdir.”
SH.M.Mirziyoyev
Matematik analiz fani oliy matematikaning eng muhim bo‘limlaridan biri
bo‘lib, unda funksiya, limit, hosila, integral, ketma-ketlik va qatorlar kabi asosiy
tushunchalar chuqur o‘rganiladi. Ushbu tushunchalar ichida sonli qatorlar
nazariyasi alohida o‘rin egallaydi. Chunki sonli qatorlar matematikaning nazariy
asoslarini boyitish bilan birga, turli amaliy masalalarni yechishda ham keng
qo‘llaniladi. Sonli qatorlar yordamida murakkab ifodalarni sodda ko‘rinishda
tasvirlash, ayrim funksiyalarni yaqinlashtirib hisoblash, fizik jarayonlarni
matematik modellashtirish hamda iqtisodiy va texnik hisob-kitoblarni bajarish
mumkin.
Sonli qator tushunchasi ketma-ketlik tushunchasi bilan bevosita bog‘liqdir.
Ma’lumki, ketma-ketlik hadlari ma’lum tartibda joylashgan sonlardan iborat
bo‘ladi. Agar shu ketma-ketlik hadlari ketma-ket qo‘shib borilsa, sonli qator hosil
bo‘ladi. Bunday qatorlarning asosiy masalasi ularning yaqinlashishi yoki
uzoqlashishini aniqlashdan iborat. Qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, uning hadlari
yig‘indisi chekli songa intiladi, uzoqlashuvchi bo‘lsa, yig‘indi chekli qiymatga ega
bo‘lmaydi. Shu sababli sonli qatorlarni o‘rganishda qator hadlarining xususiyatlari,
qismiy yig‘indilar ketma-ketligi va yaqinlashish alomatlari muhim ahamiyat kasb
etadi.
Sonli qatorlar nazariyasining dolzarbligi shundaki, u matematik analizning
keyingi bo‘limlari uchun mustahkam nazariy asos bo‘lib xizmat qiladi. Xususan,
funksional qatorlar, darajali qatorlar, Furye qatorlari kabi mavzularni chuqur
tushunish uchun avvalo sonli qatorlar haqidagi bilimlar zarur bo‘ladi. Bundan
tashqari, taqribiy hisoblash usullarida ham sonli qatorlardan keng foydalaniladi.
Ko‘plab murakkab matematik funksiyalar amaliyotda qatorlar yordamida
ifodalanadi va hisoblanadi. Bu esa sonli qatorlar nazariyasini nafaqat nazariy, balki
amaliy jihatdan ham muhim mavzuga aylantiradi.
3

Mazkur kurs ishida sonli qatorlarning asosiy tushunchalari, ularning
yaqinlashish va uzoqlashish shartlari, musbat hadli qatorlar, ishorasi almashinuvchi
qatorlar hamda absolyut va shartli yaqinlashish masalalari yoritiladi. Shuningdek,
qatorlarning yaqinlashishini aniqlashda qo‘llaniladigan asosiy alomatlar, jumladan
taqqoslash alomati, Dalamber alomati, Koshi alomati, integral alomat va Leybnits
alomati haqida ma’lumot beriladi. Ushbu alomatlar yordamida turli sonli
qatorlarning holatini aniqlash, ularni tahlil qilish va amaliy misollar orqali
mustahkamlash imkoniyati yuzaga keladi.
Kurs ishining maqsadi. Sonli qatorlar nazariyasini matematik analiz
nuqtayi nazaridan chuqur o‘rganish, qatorlarning yaqinlashish va uzoqlashish
shartlarini tahlil qilish hamda yaqinlashish alomatlarini amaliy misollar orqali
qo‘llash ko‘nikmalarini shakllantirishdan iborat.
Kurs ishining vazifalari. Qo‘yilgan maqsadga erishish uchun quyidagi
vazifalar belgilandi:
– sonli qator tushunchasi, uning hadlari va qismiy yig‘indilar ketma-ketligi
haqidagi nazariy ma’lumotlarni o‘rganish;
– qatorlarning yaqinlashishi va uzoqlashishi shartlarini, yaqinlashishning
zaruriy shartini tahlil qilish;
– musbat hadli qatorlar uchun taqqoslash, Dalamber, Koshi va integral
alomatlarini o‘rganish hamda ularni misollarda qo‘llash;
– ishorasi almashinuvchi qatorlar, Leybnits alomati, absolyut va shartli
yaqinlashish tushunchalarini yoritish;
– o‘rganilgan nazariy bilimlarni amaliy misollar yechishda qo‘llash va
xulosalar chiqarish.
Kurs ishining obyekti. Matematik analiz fanidagi sonli qatorlar nazariyasi
hisoblanadi.
Kurs ishining predmeti. Sonli qatorlarning yaqinlashish va uzoqlashish
xossalari, yaqinlashish alomatlari hamda ularni amaliy masalalarda qo‘llash
usullari hisoblanadi.
4

Kurs ishining tuzilishi. Mazkur kurs ishi kirish, uchta bob, xulosa va
foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.
5

ASOSIY QISM
1- § . Sonli qatorlar nazariyasining asosiy tushunchalari
Matematik analizda sonli qator tushunchasi ketma-ketliklar nazariyasi bilan
chambarchas bog‘liq bo‘lgan muhim mavzulardan biridir. Avvalo, ketma-ketlik
deganda ma’lum tartib asosida joylashgan sonlar majmuasi tushuniladi. Agar
berilgan ketma-ketlik hadlari ketma-ket qo‘shib borilsa, u holda sonli qator hosil
bo‘ladi. Demak, sonli qator - bu ma’lum qonuniyat asosida berilgan sonlar ketma-
ketligi hadlarining yig‘indisidan iborat matematik ifodadir.
Agar a1,a2,a3,… ,an,… sonlar ketma-ketligi berilgan bo‘lsa, ularning
yig‘indisi quyidagi ko‘rinishda yoziladi:
Bu ifoda umumiy holda quyidagicha belgilanadi:
Bu yerda - qatorning umumiy hadi, - hadning tartib raqami,
belgisi esa yig‘indini anglatadi. Qator cheksiz ko‘p hadlardan tashkil topgani
sababli uning qiymatini oddiy chekli yig‘indi kabi darhol topib bo‘lmaydi. Shu
sababli sonli qatorlarni o‘rganishda asosiy e’tibor uning qismiy yig‘indilariga
qaratiladi.
Sonli qatorning dastlabki ta hadi yig‘indisi qatorning -qismiy yig‘indisi
deyiladi va odatda bilan belgilanadi:
Agar cheksizlikka intilganda qismiy yig‘indilar ketma-ketligi ma’lum
bir chekli songa intilsa, ya’ni
6

bo‘lsa, u holda berilgan sonli qator yaqinlashuvchi qator deyiladi. Bu holda soni
qatorning yig‘indisi deb ataladi. Agar qismiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli
limitga ega bo‘lmasa, qator uzoqlashuvchi qator deyiladi.
Sonli qatorning matematik mazmuni shundan iboratki, u cheksiz ko‘p
sonlarning yig‘indisini limit tushunchasi yordamida aniqlash imkonini beradi.
Oddiy arifmetikada faqat chekli sondagi sonlarni qo‘shish mumkin bo‘lsa,
matematik analizda sonli qatorlar orqali cheksiz yig‘indilar ham tekshiriladi. Biroq
har qanday cheksiz yig‘indi aniq qiymatga ega bo‘lavermaydi. Shu sababli
qatorning yaqinlashishi yoki uzoqlashishini aniqlash sonli qatorlar nazariyasining
asosiy masalasi hisoblanadi.
Masalan, quyidagi geometrik qatorni olaylik:
Bu qatorda har bir keyingi had oldingi haddan ikki baravar kichik. Uning
qismiy yig‘indilari , , , va hokazo ko‘rinishda bo‘ladi. Hadlar soni ortib
borgani sari qismiy yig‘indilar soniga yaqinlashadi. Demak, bu qator
yaqinlashuvchi qator bo‘lib, uning yig‘indisi ga teng bo‘ladi.
Aksincha, quyidagi qatorni qaraylik:
Bu qatorning qismiy yig‘indilari ko‘rinishda cheksiz ortib
boradi. Shu sababli u chekli limitga ega emas va uzoqlashuvchi qator hisoblanadi.
Bu misollar shuni ko‘rsatadiki, qator hadlarining ko‘pligi emas, balki ularning
qanday qonuniyat asosida kamayishi yoki o‘zgarishi qatorning yaqinlashishida
muhim rol o‘ynaydi.
Sonli qatorlarni o‘rganishda umumiy hadning nolga intilishi zaruriy shart
hisoblanadi. Ya’ni agar qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, albatta
7

bo‘lishi kerak. Biroq bu shart yetarli emas. Masalan, garmonik qator deb ataluvchi
qatorida umumiy had nolga intiladi, lekin qatorning o‘zi uzoqlashuvchi
hisoblanadi. Demak, umumiy hadning nolga intilishi qatorning yaqinlashishi uchun
zarur, ammo yetarli shart emas.
Sonli qatorlarning ahamiyati shundaki, ular ko‘plab matematik va amaliy
masalalarni yechishda qo‘llaniladi. Masalan, taqribiy hisoblashlarda, funksiyalarni
qatorlarga yoyishda, fizik jarayonlarni modellashtirishda, iqtisodiy tahlillarda va
muhandislik masalalarida sonli qatorlardan foydalaniladi. Ko‘plab murakkab
funksiyalarni aniq hisoblash qiyin bo‘lgan hollarda ularni qatorlar yordamida
yaqinlashtirib hisoblash mumkin bo‘ladi.
Shunday qilib, sonli qator tushunchasi matematik analizda cheksiz
yig‘indilarni o‘rganish vositasi sifatida qaraladi. Uning matematik mazmuni qismiy
yig‘indilar ketma-ketligi orqali qatorning yig‘indisini aniqlashdan iborat.
Qatorlarning yaqinlashishi va uzoqlashishini tekshirish esa keyingi mavzularda
o‘rganiladigan turli alomatlar va mezonlar yordamida amalga oshiriladi. Sonli
qatorlarni chuqur o‘rganish matematik tahlilning boshqa bo‘limlarini, xususan
funksional qatorlar, darajali qatorlar va Furye qatorlarini tushunish uchun
mustahkam nazariy asos yaratadi.
Sonli qatorlar nazariyasida eng asosiy masalalardan biri qatorning
yaqinlashishi yoki uzoqlashishini aniqlashdir. Chunki cheksiz ko‘p hadlarning
yig‘indisi har doim ham aniq bir songa teng bo‘lavermaydi. Oddiy chekli
yig‘indilarda nechta had berilgan bo‘lsa, ularning barchasi qo‘shiladi va natija
hosil qilinadi. Sonli qatorda esa hadlar soni cheksiz bo‘ladi. Shuning uchun bunday
yig‘indini bevosita qo‘shish orqali emas, balki qismiy yig‘indilar ketma-ketligi
orqali o‘rganish kerak bo‘ladi.
Agar quyidagi sonli qator berilgan bo‘lsa:
8

uning dastlabki ta hadi yig‘indisi qismiy yig‘indi deyiladi va bilan
belgilanadi:
Demak, sonli qatorning holatini aniqlash uchun
qismiy yig‘indilar ketma-ketligi tekshiriladi. Agar cheksizlikka intilganda bu
qismiy yig‘indilar ketma-ketligi aniq bir chekli songa yaqinlashsa, u holda qator
yaqinlashuvchi qator deyiladi. Bunda soni qatorning yig‘indisi deb ataladi:
Bu ta’rif shuni bildiradiki, qatorning hadlari cheksiz davom etsa ham,
ularning yig‘indisi ma’lum bir chekli qiymat atrofida barqarorlashadi. Masalan,
quyidagi qatorni qaraylik:
Bu qatorda har bir keyingi had oldingi haddan ikki baravar kichik. Uning
qismiy yig‘indilari quyidagicha bo‘ladi:
Ko‘rinib turibdiki, qismiy yig‘indilar soniga tobora yaqinlashib boradi.
Shuning uchun bu qator yaqinlashuvchi qator hisoblanadi va uning yig‘indisi ga
teng bo‘ladi:
9

Agar qatorning qismiy yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lmasa,
u holda qator uzoqlashuvchi qator deyiladi. Bunda qatorning yig‘indisi mavjud
bo‘lmaydi yoki cheksizlikka intiladi. Masalan:
qatorining qismiy yig‘indilari ko‘rinishda ortib boradi va hech
qanday chekli songa yaqinlashmaydi. Shu sababli bu qator uzoqlashuvchi qator
hisoblanadi. Xuddi shuningdek,
qatorining qismiy yig‘indilari 1 , 2 , 3 , 4 , …
bo‘lib, ular ham cheksiz ortib boradi.
Demak, bu qator ham uzoqlashuvchidir.
Qatorning yaqinlashishini aniqlashda umumiy hadning xatti-harakati muhim
ahamiyatga ega. Agar qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, uning umumiy hadi albatta
nolga intilishi kerak:
Bu shart qator yaqinlashishi uchun zaruriy shart deyiladi. Ya’ni agar
nolga intilmasa, qator albatta uzoqlashadi. Masalan:
qatorida umumiy had
bo‘lib, uning limiti quyidagicha:
Bu limit nolga teng emas. Shuning uchun berilgan qator uzoqlashuvchi
hisoblanadi.
10

Biroq umumiy hadning nolga intilishi qatorning yaqinlashishi uchun yetarli
emas. Masalan, garmonik qator:
ko‘rinishda bo‘lib, uning umumiy hadi
nolga intiladi:
Lekin bu qator yaqinlashuvchi emas, balki uzoqlashuvchi qatordir. Bundan
ko‘rinadiki, umumiy hadning nolga intilishi faqat dastlabki tekshiruv vazifasini
bajaradi. Qatorning haqiqatan ham yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanini
aniqlash uchun maxsus alomatlardan foydalanish zarur.
Yaqinlashuvchi qatorlar matematik jihatdan muhim ahamiyatga ega, chunki
ular yordamida cheksiz jarayonlar chekli qiymatlar orqali ifodalanadi. Masalan,
geometriya, fizika, informatika va iqtisodiyotda ko‘plab jarayonlar ma’lum
chegaraviy qiymatga intiladi. Bunday jarayonlarni sonli qatorlar yordamida
modellashtirish mumkin. Uzoqlashuvchi qatorlar esa ayrim holatlarda yig‘indining
mavjud emasligini yoki jarayonning chegaralanmaganligini ko‘rsatadi.
Qator yaqinlashishini tushunishda qismiy yig‘indilar ketma-ketligi markaziy
o‘rinda turadi. Chunki qatorning o‘zi cheksiz ko‘p hadlardan iborat bo‘lsa-da,
uning har bir qismiy yig‘indisi chekli yig‘indidir. Shu chekli yig‘indilar ketma-
ketligi qanday limitga ega bo‘lishi qatorning taqdirini belgilaydi. Agar ketma-
ketlik barqaror chekli songa yaqinlashsa, qator yaqinlashadi. Agar cheksiz
ortsa, cheksiz kamaysa yoki umuman limitga ega bo‘lmasa, qator uzoqlashadi.
Shunday qilib, sonli qatorning yaqinlashishi deganda uning qismiy yig‘indilari
ketma-ketligining chekli limitga ega bo‘lishi tushuniladi. Uzoqlashishi esa bu
limitning mavjud emasligi yoki chekli bo‘lmasligi bilan izohlanadi. Bu
11

tushunchalar sonli qatorlar nazariyasining asosini tashkil etadi va keyingi
mavzularda o‘rganiladigan taqqoslash, Dalamber, Koshi, integral hamda Leybnits
alomatlari aynan qatorlarning yaqinlashish yoki uzoqlashishini aniqlashga xizmat
qiladi.
Sonli qatorlarni o‘rganishda ularning ta’rifi va yaqinlashish tushunchalari
bilan bir qatorda asosiy xossalarini bilish ham muhim ahamiyatga ega. Chunki
qatorlarning yaqinlashishi yoki uzoqlashishini aniqlashda, ularni soddalashtirishda,
boshqa qatorlar bilan taqqoslashda va amaliy misollarni yechishda aynan shu
xossalarga tayaniladi. Sonli qatorlar cheksiz ko‘p hadlardan tashkil topgani sababli
ular bilan ishlash oddiy chekli yig‘indilarga qaraganda ancha ehtiyotkorlikni talab
qiladi. Har qanday amalni bajarishda qatorning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi
ekanini hisobga olish zarur.
Agar
qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, uning qismiy yig‘indilari ketma-ketligi chekli limitga
ega bo‘ladi. Ya’ni
bo‘lib,
tenglik bajariladi. Bu yerda soni qatorning yig‘indisi hisoblanadi. Qatorning
asosiy xossalari ham aynan qismiy yig‘indilar ketma-ketligi orqali izohlanadi.
Chunki sonli qatorning qiymati oddiy tarzda cheksiz hadlarni qo‘shish bilan emas,
balki qismiy yig‘indilar limitini topish orqali aniqlanadi.
Sonli qatorlarning muhim xossalaridan biri shuki, yaqinlashuvchi qatorning
umumiy hadi nolga intiladi. Ya’ni agar
12

qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
bo‘ladi. Bu xossa qator yaqinlashishining zaruriy sharti hisoblanadi. Agar umumiy
had nolga intilmasa, qator albatta uzoqlashuvchi bo‘ladi. Masalan,
qatorida umumiy had
bo‘lib, uning limiti
ga teng. Bu limit nol emas, shuning uchun berilgan qator uzoqlashadi. Biroq
umumiy hadning nolga intilishi qatorning yaqinlashishi uchun yetarli emas.
Garmonik qator
da umumiy had nolga intiladi, lekin qator uzoqlashadi. Shuning uchun bu xossa
faqat dastlabki tekshiruv sifatida ishlatiladi.
Yana bir muhim xossa shundan iboratki, qatorning chekli sondagi dastlabki
hadlarini olib tashlash yoki ularga yangi chekli sondagi hadlarni qo‘shish qatorning
yaqinlashish yoki uzoqlashish holatini o‘zgartirmaydi. Masalan, agar
qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Aksincha, agar qator uzoqlashuvchi bo‘lsa,
uning boshidan bir nechta hadni olib tashlash bilan u yaqinlashuvchi bo‘lib
qolmaydi. Bu xossa shuni bildiradiki, qatorning yaqinlashishi asosan uning cheksiz
13

davom etuvchi “oxirgi qismi”, ya’ni hadlarning uzoqdagi xatti-harakati bilan
belgilanadi. Dastlabki bir nechta had faqat qator yig‘indisining qiymatiga ta’sir
qiladi, lekin yaqinlashish yoki uzoqlashish holatini o‘zgartirmaydi.
Yaqinlashuvchi qatorlarni songa ko‘paytirish xossasi ham muhim
hisoblanadi. Agar
qator yaqinlashuvchi bo‘lib, uning yig‘indisi ga teng bo‘lsa, u holda istalgan
o‘zgarmas son uchun
qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va uning yig‘indisi cS ga teng bo‘ladi. Ya’ni
Bu xossa qatorlarni soddalashtirish va hisoblashda keng qo‘llaniladi.
Masalan,
qator yaqinlashuvchi bo‘lsa,
qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi va uning yig‘indisi oldingi qator yig‘indisidan
uch baravar katta bo‘ladi.
Sonli qatorlarda qo‘shish va ayirish xossasi ham mavjud. Agar
va
14

qatorlar yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
hamda
qatorlar ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bunda ularning yig‘indilari mos ravishda
berilgan qatorlar yig‘indilarining yig‘indisi yoki ayirmasiga teng bo‘ladi:
Bu xossa chiziqlilik xossasi deb ham yuritiladi. Ammo bu xossani faqat
yaqinlashuvchi qatorlar uchun qo‘llash to‘g‘ri bo‘ladi. Agar qatorlardan biri
uzoqlashuvchi bo‘lsa, ularning yig‘indisi yoki ayirmasi haqida umumiy xulosa
chiqarish har doim ham mumkin emas.
Sonli qatorlarning yana bir asosiy xossasi Koshi mezoni bilan bog‘liq. Bu
mezonga ko‘ra, qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning yetarlicha uzoqdagi
hadlari yig‘indisi istalgancha kichik bo‘lishi kerak. Ya’ni har qanday musbat son
uchun shunday natural son topilsinki, barcha va lar uchun
tengsizlik bajarilsa, qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu mezon qatorlarning
yaqinlashishini nazariy jihatdan asoslashda muhim o‘rin tutadi. Uning mazmuni
shundan iboratki, qatorning oxirgi qismlari yig‘indisi tobora kichrayib borishi
kerak. Agar uzoqdagi hadlar yig‘indisi kichraymasa, qator qismiy yig‘indilari
barqaror limitga ega bo‘la olmaydi.
15

Musbat hadli qatorlar uchun muhim xossalardan biri qismiy yig‘indilarning
monotonligi bilan bog‘liq. Agar qatorning barcha hadlari manfiy bo‘lmasa, ya’ni
bo‘lsa, u holda uning qismiy yig‘indilari kamaymaydigan ketma-ketlikni
hosil qiladi:
Bunday qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning qismiy yig‘indilari
yuqoridan chegaralangan bo‘lishi kerak. Agar qismiy yig‘indilar yuqoridan
chegaralangan bo‘lsa, qator yaqinlashadi. Agar ular cheksiz ortib borsa, qator
uzoqlashadi. Bu xossa musbat hadli qatorlarni tekshirishda juda ko‘p qo‘llaniladi.
Qatorlarning xossalarini o‘rganishda absolyut yaqinlashish tushunchasi ham
katta ahamiyatga ega. Agar
qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda
qator ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bunday qator absolyut yaqinlashuvchi qator
deyiladi. Absolyut yaqinlashuvchi qatorlar bilan ishlash qulay, chunki ularning
hadlari tartibini o‘zgartirish qator yig‘indisiga ta’sir qilmaydi. Bu xossa ayniqsa
ishorasi o‘zgaruvchi qatorlarni o‘rganishda muhim hisoblanadi.
Shuningdek, qator hadlarining tartibini almashtirish masalasi ham muhim
xossalardan biridir. Chekli yig‘indilarda hadlarning o‘rnini almashtirish yig‘indiga
ta’sir qilmaydi. Ammo cheksiz qatorlarda bu har doim ham to‘g‘ri emas. Agar
qator absolyut yaqinlashuvchi bo‘lsa, uning hadlarini istalgan tartibda joylashtirish
mumkin va yig‘indi o‘zgarmaydi. Lekin shartli yaqinlashuvchi qatorlarda
hadlarning tartibini o‘zgartirish natijasida qatorning yig‘indisi o‘zgarishi yoki hatto
qator uzoqlashuvchi bo‘lib qolishi mumkin. Bu holat cheksiz yig‘indilar bilan
ishlashda ehtiyotkorlik zarurligini ko‘rsatadi.
16

Umuman olganda, sonli qatorlarning asosiy xossalari ularning nazariy
mohiyatini chuqur tushunishga yordam beradi. Qatorning umumiy hadi, qismiy
yig‘indilari, yaqinlashish shartlari, chiziqlilik xossasi, Koshi mezoni, musbat hadli
qatorlarning chegaralanganlik xossasi va absolyut yaqinlashish tushunchasi sonli
qatorlar nazariyasining tayanch nuqtalarini tashkil etadi. Bu xossalar keyingi
boblarda o‘rganiladigan taqqoslash, Dalamber, Koshi, integral va Leybnits
alomatlarini tushunish uchun zarur nazariy asos yaratadi. Shu sababli sonli
qatorlarning asosiy xossalarini puxta bilish matematik analiz fanida qatorlar bilan
bog‘liq masalalarni to‘g‘ri yechish va tahlil qilish imkonini beradi.
2- § . Musbat hadli sonli qatorlar va ularning yaqinlashish alomatlari
Sonli qatorlar nazariyasida musbat hadli qatorlar eng ko‘p o‘rganiladigan
qatorlar turiga kiradi. Agar qatorning barcha hadlari musbat yoki nolga teng bo‘lsa,
ya’ni har bir natural son uchun shart bajarilsa, bunday qator musbat hadli
qator deyiladi. Umumiy holda musbat hadli qator quyidagicha yoziladi:
Bu yerda qatorning umumiy hadi bo‘lib, u manfiy bo‘lmagan sonlardan
iborat bo‘ladi. Musbat hadli qatorlarning asosiy ahamiyati shundaki, ular orqali
qatorlarning yaqinlashish va uzoqlashish xossalarini o‘rganish ancha qulay bo‘ladi.
Chunki bunday qatorlarda hadlar manfiy bo‘lmagani sababli qismiy yig‘indilar
kamaymaydi, balki doim ortib boradi yoki ayrim hollarda o‘zgarmay qoladi.
Agar musbat hadli qatorning dastlabki ta hadi yig‘indisi bilan
belgilansa, u holda:
Keyingi qismiy yig‘indi esa quyidagicha bo‘ladi:
Bundan
17

kelib chiqadi. Musbat hadli qatorda bo‘lgani uchun tengsizlik
bajariladi. Demak, musbat hadli qatorning qismiy yig‘indilari monoton o‘suvchi
yoki kamaymaydigan ketma-ketlik hosil qiladi. Bu xossa musbat hadli qatorlarning
eng muhim belgilaridan biridir.
Musbat hadli qator yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning qismiy yig‘indilari
yuqoridan chegaralangan bo‘lishi kerak. Ya’ni shunday son mavjud bo‘lib,
barcha lar uchun
tengsizlik bajarilsa, qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Agar qismiy yig‘indilar
yuqoridan chegaralanmagan bo‘lsa, ular cheksiz ortib boradi va qator
uzoqlashuvchi hisoblanadi. Shu sababli musbat hadli qatorlarni tekshirishda qismiy
yig‘indilar ketma-ketligining chegaralangan yoki chegaralanmaganligi asosiy
masala hisoblanadi.
Masalan, quyidagi qatorni qaraylik:
Bu qatorning barcha hadlari musbat. Uning qismiy yig‘indilari sonidan
oshmaydi va asta-sekin ga yaqinlashadi. Shuning uchun bu qator yaqinlashuvchi
hisoblanadi. Boshqa tomondan,
garmonik qator ham musbat hadli qatordir. Bu qatorda umumiy had nolga
intiladi, lekin qatorning qismiy yig‘indilari chegaralanmagan holda ortib boradi.
Shu sababli garmonik qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Musbat hadli qatorlarda umumiy hadning nolga intilishi zaruriy shart
hisoblanadi. Agar
18

qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda albatta
bo‘lishi kerak. Agar umumiy had nolga intilmasa, qator yaqinlashmaydi. Masalan,
qatorida umumiy hadning limiti ga teng:
Bu limit nol emas, shuning uchun qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Ammo
umumiy hadning nolga intilishi har doim ham qatorning yaqinlashishini
kafolatlamaydi. Garmonik qator bunga misol bo‘ladi.
Musbat hadli qatorlarni tekshirishda taqqoslash usullari katta ahamiyatga
ega. Agar bir qatorning hadlari ikkinchi ma’lum qator hadlaridan kichik yoki katta
bo‘lsa, ularning yaqinlashishi haqida xulosa chiqarish mumkin. Masalan, agar
bo‘lib, qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda qator ham
yaqinlashuvchi bo‘ladi. Aksincha, agar bo‘lib, qator
uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda qator ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Musbat hadli qatorlar orasida geometrik qator va umumlashgan garmonik
qatorlar juda ko‘p uchraydi. Geometrik qator
ko‘rinishda bo‘lib, agar bo‘lsa, u yaqinlashadi. Umumlashgan garmonik
qator esa
19

ko‘rinishida bo‘ladi. Bu qator bo‘lganda yaqinlashadi, bo‘lganda esa
uzoqlashadi. Ushbu qatorlar boshqa musbat hadli qatorlarni tekshirishda
taqqoslash uchun asosiy namunalar sifatida ishlatiladi.
Shunday qilib, musbat hadli qatorlar sonli qatorlar nazariyasida muhim o‘rin
tutadi. Ularning asosiy xususiyati qismiy yig‘indilarning kamaymaydigan ketma-
ketlik hosil qilishidir. Bunday qatorlarning yaqinlashishi qismiy yig‘indilarning
yuqoridan chegaralanganligiga bog‘liq. Musbat hadli qatorlarni o‘rganish keyingi
mavzularda ko‘rib chiqiladigan taqqoslash, Dalamber, Koshi va integral
alomatlarini tushunish uchun zarur nazariy asos bo‘lib xizmat qiladi.
Musbat hadli sonli qatorlarning yaqinlashishi yoki uzoqlashishini aniqlashda
turli alomatlardan foydalaniladi. Chunki har bir qatorning qismiy yig‘indilarini
bevosita hisoblash har doim ham qulay emas. Shu sababli qatorning umumiy hadi
orqali uning yaqinlashish holatini aniqlashga yordam beruvchi maxsus mezonlar
ishlab chiqilgan. Musbat hadli qatorlarda eng ko‘p qo‘llaniladigan alomatlar
taqqoslash alomati, Dalamber alomati va Koshi alomatidir.
Taqqoslash alomati musbat hadli qatorlarni tekshirishda eng sodda va qulay
usullardan biri hisoblanadi. Agar ikkita musbat hadli qator berilgan bo‘lsa:
hamda barcha yetarlicha katta lar uchun
tengsizlik bajarilsa, u holda qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, qator ham
yaqinlashuvchi bo‘ladi. Buning mazmuni shundan iboratki, agar katta qator chekli
yig‘indiga ega bo‘lsa, undan kichik hadlardan tuzilgan qator ham chekli yig‘indiga
ega bo‘ladi. Aksincha, agar
20

bo‘lib, qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda qator ham uzoqlashuvchi
bo‘ladi. Chunki hadlari kattaroq bo‘lgan qatorning qismiy yig‘indilari kichik
qatornikidan kam bo‘la olmaydi.
Masalan,
qatorini qaraylik. Bu yerda
bo‘ladi. Ma’lumki,
qator bo‘lgani uchun yaqinlashuvchi. Demak, taqqoslash alomatiga
ko‘ra,
qatori ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Taqqoslash alomatining limit ko‘rinishi ham amaliy masalalarda ko‘p
qo‘llaniladi. Agar , bo‘lib,
mavjud bo‘lsa va shart bajarilsa, u holda va qatorlar bir xil
tabiatga ega bo‘ladi. Ya’ni ikkalasi ham yaqinlashuvchi yoki ikkalasi ham
uzoqlashuvchi bo‘ladi. Bu usul ayniqsa umumiy hadi murakkabroq bo‘lgan
qatorlarni oddiyroq qatorlar bilan solishtirishda qulaydir.
21

Dalamber alomati, ya’ni nisbat alomati ham musbat hadli qatorlarni
tekshirishda muhim o‘rin tutadi. Bu alomat qatorning ketma-ket ikkita hadi
nisbatini o‘rganishga asoslanadi. Agar musbat hadli
qator uchun quyidagi limit mavjud bo‘lsa:
unda bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Agar bo‘lsa yoki limit
cheksizlikka intilsa, qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar bo‘lsa, Dalamber
alomati natija bermaydi, ya’ni qatorning yaqinlashishi yoki uzoqlashishi haqida
xulosa chiqarib bo‘lmaydi.
Dalamber alomati ko‘pincha faktorial, darajali ifodalar yoki ko‘paytmalar
qatnashgan qatorlarda juda qulay hisoblanadi. Masalan,
qatorini olaylik. Bu yerda
bo‘ladi. Nisbatni hisoblaymiz:
Endi limit olamiz:
Bu yerda , demak, Dalamber alomatiga ko‘ra berilgan qator
yaqinlashuvchi hisoblanadi.
22

Koshi alomati esa ildiz alomati deb ham yuritiladi. Bu alomat qator umumiy
hadining -darajali ildizini tekshirishga asoslanadi. Agar musbat hadli
qator uchun
limit mavjud bo‘lsa, unda bo‘lsa, qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Agar
bo‘lsa, qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Agar bo‘lsa, Koshi alomati ham aniq
natija bermaydi.
Koshi alomati ayniqsa umumiy hadida -daraja qatnashgan qatorlarni
tekshirishda qulaydir. Masalan,
qatorini qaraylik. Bu yerda
bo‘ladi. Koshi alomatiga ko‘ra:
Endi limitni hisoblaymiz:
Bu yerda , shuning uchun qator yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Taqqoslash, Dalamber va Koshi alomatlari bir-birini to‘ldiruvchi mezonlar
hisoblanadi. Taqqoslash alomati qatorni oldindan ma’lum bo‘lgan geometrik yoki
garmonik qatorlar bilan solishtirishga asoslanadi. Dalamber alomati ketma-ket
hadlar nisbatini tekshiradi. Koshi alomati esa umumiy hadning -darajali ildizi
23

orqali xulosa chiqaradi. Har bir alomatning qo‘llanish sohasi bor. Masalan,
faktorial qatnashgan qatorlarda ko‘pincha Dalamber alomati qulay bo‘lsa, -
darajali ifodalar qatnashgan qatorlarda Koshi alomati samaraliroq bo‘ladi. Shunday
qilib, musbat hadli qatorlarning yaqinlashishini aniqlashda taqqoslash, Dalamber
va Koshi alomatlari muhim nazariy va amaliy ahamiyatga ega. Bu alomatlar
yordamida qatorning qismiy yig‘indilarini bevosita hisoblamasdan turib, uning
yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanini aniqlash mumkin. Shu sababli ular
sonli qatorlar nazariyasining asosiy tekshirish vositalari sifatida qaraladi.
Musbat hadli sonli qatorlarni tekshirishda taqqoslash, Dalamber va Koshi
alomatlari bilan bir qatorda integral alomat ham muhim o‘rin tutadi. Integral
alomat qator umumiy hadi biror musbat, kamayuvchi va uzluksiz funksiya
qiymatlari orqali berilganda qo‘llaniladi. Bu alomat qator bilan xosmas integral
orasidagi bog‘liqlikka asoslanadi.
Agar funksiya oraliqda musbat, uzluksiz va kamayuvchi bo‘lib,
bo‘lsa, u holda
qatorning yaqinlashishi quyidagi xosmas integralning yaqinlashishiga bog‘liq
bo‘ladi:
Agar bu integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda berilgan qator ham
yaqinlashuvchi bo‘ladi. Agar integral uzoqlashuvchi bo‘lsa, qator ham
uzoqlashuvchi bo‘ladi. Demak, integral alomat qatorni integral yordamida
tekshirish imkonini beradi.
Masalan,
24

qatorini qaraylik. Bu yerda deb olinadi. Integral alomat bo‘yicha
integrali tekshiriladi. Ma’lumki, bu integral bo‘lganda yaqinlashadi,
bo‘lganda esa uzoqlashadi. Shuning uchun
qatori ham da yaqinlashuvchi, da esa uzoqlashuvchi bo‘ladi. Xususan,
qatori yaqinlashadi, lekin
garmonik qator uzoqlashadi.
Integral alomatning afzalligi shundaki, u ko‘pincha hadlari kasr ko‘rinishida
bo‘lgan va kamayuvchi funksiyalar orqali ifodalangan qatorlarda qulay
qo‘llaniladi. Ayniqsa -qatorlar, logarifmik qatorlar va ratsional ifodali qatorlarni
tekshirishda bu mezon samarali hisoblanadi. Biroq integral alomatni qo‘llash
uchun funksiya musbat, uzluksiz va kamayuvchi bo‘lishi talab qilinadi.
Qatorlarni tekshirishda zaruriy shart ham muhim mezonlardan biri
hisoblanadi. Agar
qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, albatta
25

bo‘lishi kerak. Agar bu limit nolga teng bo‘lmasa yoki umuman mavjud bo‘lmasa,
qator uzoqlashuvchi bo‘ladi. Masalan,
qatorida
bo‘ladi. Limit nol emas, demak qator uzoqlashuvchi. Lekin bo‘lishi qator
yaqinlashishini to‘liq kafolatlamaydi, chunki garmonik qatorning umumiy hadi
nolga intilsa ham, qator uzoqlashadi.
Yana bir muhim mezon - Koshi mezonidir. Bu mezonga ko‘ra, qator
yaqinlashuvchi bo‘lishi uchun uning yetarlicha uzoqdagi hadlari yig‘indisi
istalgancha kichik bo‘lishi kerak. Ya’ni har qanday uchun shunday son
topilsinki, va bo‘lganda
tengsizlik bajarilsin. Bu mezon qator yaqinlashishini nazariy jihatdan asoslaydi,
lekin amaliy hisoblashlarda ko‘pincha boshqa alomatlarga qaraganda kamroq
ishlatiladi.
Shuningdek, limit taqqoslash alomati ham qatorlarni tekshirishda keng
qo‘llaniladi. Agar , bo‘lib,
mavjud va bo‘lsa, u holda va qatorlar bir xil xususiyatga
ega bo‘ladi. Ya’ni biri yaqinlashsa, ikkinchisi ham yaqinlashadi; biri uzoqlashsa,
ikkinchisi ham uzoqlashadi. Bu alomat murakkab qatorlarni sodda va ma’lum
qatorlar bilan taqqoslashda juda qulaydir.
26

Masalan,
qatorini tekshirishda uni
qatori bilan solishtirish mumkin. Chunki katta lar uchun
bo‘ladi. qatori yaqinlashuvchi bo‘lgani sababli berilgan qator ham
yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Umuman olganda, integral alomat va boshqa yaqinlashish mezonlari sonli
qatorlarni chuqur tahlil qilishga yordam beradi. Integral alomat qator bilan xosmas
integral orasidagi bog‘lanishni ko‘rsatsa, zaruriy shart qatorning dastlabki
tekshiruvini beradi. Koshi mezoni qator yaqinlashishining umumiy nazariy asosini
ifodalaydi, limit taqqoslash alomati esa murakkab qatorlarni oddiy qatorlar bilan
solishtirish imkonini yaratadi. Shu sababli bu mezonlar musbat hadli qatorlar
nazariyasida asosiy tekshirish vositalari sifatida qo‘llaniladi.
3- § . Ishorasi o‘zgaruvchi qatorlar va amaliy misollar
Sonli qatorlar orasida hadlarining ishorasi navbatma-navbat almashinib
boradigan qatorlar alohida ahamiyatga ega. Bunday qatorlarda bir had musbat,
keyingi had manfiy yoki aksincha tartibda keladi. Umumiy holda ishorasi
almashinuvchi qator quyidagicha yoziladi:
yoki
27

Bu yerda bo‘lib, yoki ko‘paytuvchi hadlarning
ishorasini almashib turishini bildiradi. Masalan,
qatori ishorasi almashinuvchi qator hisoblanadi. Chunki uning hadlari musbat va
manfiy ishoralar bilan ketma-ket keladi.
Ishorasi almashinuvchi qatorlarning musbat hadli qatorlardan farqi shundaki,
ularda qismiy yig‘indilar doim ortib boruvchi bo‘lmaydi. Musbat hadli qatorlarda
qismiy yig‘indilar kamaymaydigan ketma-ketlik hosil qilsa, ishorasi almashinuvchi
qatorlarda qismiy yig‘indilar biror qiymat atrofida goh yuqoridan, goh pastdan
yaqinlashib borishi mumkin. Shu sababli bunday qatorlarni tekshirishda maxsus
alomatlardan foydalaniladi.
Ishorasi almashinuvchi qatorlar uchun eng muhim mezonlardan biri
Leybnits alomatidir. Bu alomatga ko‘ra, agar
qatorida bo‘lib, hadlar ketma-ketligi kamayuvchi bo‘lsa, ya’ni
va umumiy had nolga intilsa,
u holda berilgan ishorasi almashinuvchi qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Demak,
Leybnits alomati ikki asosiy shartga tayanadi: musbat qismlar kamayib borishi va
ularning limiti nolga teng bo‘lishi kerak.
Masalan,
qatorini olaylik. Bu qatorning musbat qismi
28

ko‘rinishda. Bu ketma-ketlik kamayuvchi, chunki
va
Demak, Leybnits alomatiga ko‘ra, bu qator yaqinlashuvchi hisoblanadi. Bu
qator garmonik qatorga o‘xshash bo‘lsa-da, ishoralar almashgani sababli
yaqinlashadi. Bunday holat ishorasi almashinuvchi qatorlarning muhim
xususiyatlaridan biridir.
Yana bir misol sifatida quyidagi qatorni qaraylik:
Bu qatorni umumiy holda
ko‘rinishida yozish mumkin. Bu yerda
bo‘lib, u kamayuvchi ketma-ketlikdir va
Shuning uchun Leybnits alomatiga ko‘ra berilgan qator yaqinlashadi.
Leybnits alomati faqat qatorning yaqinlashishini ko‘rsatadi, lekin uning
absolyut yaqinlashishini har doim ham kafolatlamaydi. Masalan,
29

qatori Leybnits alomati bo‘yicha yaqinlashadi. Ammo uning hadlarining
modullaridan tuzilgan
qatori garmonik qator bo‘lib, uzoqlashadi. Shuning uchun bu qator shartli
yaqinlashuvchi qator deyiladi. Demak, ishorasi almashinuvchi qator
yaqinlashuvchi bo‘lishi mumkin, lekin uning modul bo‘yicha tuzilgan qatori
yaqinlashmasligi ham mumkin.
Leybnits alomatining yana bir foydali tomoni shundaki, u qator yig‘indisini
taqribiy hisoblashdagi xatolikni baholash imkonini beradi. Agar qator Leybnits
alomati bo‘yicha yaqinlashsa, uning yig‘indisini dastlabki ta hadi orqali
hisoblaganda xatolik keyingi had modulidan katta bo‘lmaydi. Ya’ni agar
qatorning haqiqiy yig‘indisi, esa -qismiy yig‘indi bo‘lsa, u holda
Bu xossa amaliy hisoblashlarda juda qulaydir. Chunki qator yig‘indisini
to‘liq hisoblash mumkin bo‘lmagan hollarda dastlabki bir nechta hadlar yordamida
yetarli aniqlikdagi natija olinadi.
Masalan,
qatorining yig‘indisini dastlabki 10 ta had orqali hisoblasak, xatolik 11 had
modulidan katta bo‘lmaydi
Bu esa ishorasi almashinuvchi qatorlar yordamida taqribiy hisoblashlarni
nazorat qilish imkonini beradi.
Shunday qilib, ishorasi almashinuvchi qatorlar sonli qatorlar nazariyasida
muhim sinf hisoblanadi. Ularning asosiy belgisi hadlar ishorasining navbatma-
navbat almashib borishidir. Bunday qatorlarning yaqinlashishini tekshirishda
30

Leybnits alomati keng qo‘llaniladi. Agar musbat hadlar kamayuvchi bo‘lib, nolga
intilsa, ishorasi almashinuvchi qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu alomat nafaqat
nazariy jihatdan, balki amaliy hisoblashlarda xatolikni baholash nuqtayi nazaridan
ham katta ahamiyatga ega.
Sonli qatorlar nazariyasida qatorlarning yaqinlashishini yanada chuqurroq
tahlil qilish uchun absolyut yaqinlashish va shartli yaqinlashish tushunchalari
kiritiladi. Bu tushunchalar ayniqsa ishorasi o‘zgaruvchi qatorlarni o‘rganishda
muhim ahamiyatga ega. Chunki ba’zi qatorlarda hadlarning ishorasi almashinib
kelgani sababli qator yaqinlashadi, lekin shu hadlarning modullaridan tuzilgan
qator yaqinlashmasligi mumkin.
Agar quyidagi sonli qator berilgan bo‘lsa:
uning hadlarining modullaridan tuzilgan qator quyidagicha yoziladi:
Agar qator yaqinlashuvchi bo‘lsa, u holda qator absolyut
yaqinlashuvchi qator deyiladi. Absolyut yaqinlashish qator yaqinlashishining
kuchliroq turi hisoblanadi. Ya’ni agar qator absolyut yaqinlashuvchi bo‘lsa, u
oddiy ma’noda ham yaqinlashuvchi bo‘ladi.
Masalan, quyidagi qatorni qaraylik:
Bu qator ishorasi almashinuvchi qatordir. Endi uning modullaridan tuzilgan
qatorni olamiz:
31

Ma’lumki, qatori bo‘lgani uchun yaqinlashuvchi. Demak,
qatori absolyut yaqinlashuvchi qator hisoblanadi.
Agar qator yaqinlashuvchi bo‘lib, lekin uning modullaridan tuzilgan
qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, bunday qator shartli yaqinlashuvchi qator
deyiladi. Shartli yaqinlashuvchi qatorlarda yaqinlashish asosan hadlar ishorasining
almashinishi hisobiga yuzaga keladi.
Masalan, quyidagi qatorni olaylik:
Bu qator umumiy holda quyidagicha yoziladi:
Leybnits alomatiga ko‘ra, kamayuvchi va nolga intiluvchi bo‘lgani
uchun bu qator yaqinlashadi. Endi uning modullaridan tuzilgan qatorni qaraymiz:
Bu esa garmonik qator bo‘lib, uzoqlashuvchi hisoblanadi. Demak,
qatori shartli yaqinlashuvchi qator hisoblanadi.
Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar orasidagi farq juda muhimdir.
Absolyut yaqinlashuvchi qatorlarda hadlarning ishorasi qanday bo‘lishidan qat’i
nazar, qator barqaror yaqinlashadi. Bunday qatorlarning hadlari tartibini
32

o‘zgartirish ham qator yig‘indisiga ta’sir qilmaydi. Shartli yaqinlashuvchi
qatorlarda esa vaziyat boshqacharoq bo‘ladi. Ularning yaqinlashishi musbat va
manfiy hadlarning o‘zaro “muvozanati” hisobiga sodir bo‘ladi. Shu sababli
hadlarning tartibini o‘zgartirish qator yig‘indisiga ta’sir qilishi mumkin.
Absolyut yaqinlashuvchi qatorlar matematik analizda qulayroq hisoblanadi.
Chunki ular bilan turli algebraik amallarni bajarish, hadlarni guruhlash va tartibini
almashtirish nisbatan xavfsizdir. Shartli yaqinlashuvchi qatorlarda esa har bir amal
ehtiyotkorlik bilan bajarilishi kerak. Chunki bunday qatorlarda hadlarning tartibi
o‘zgarsa, qatorning yig‘indisi ham o‘zgarishi yoki qator uzoqlashuvchi bo‘lib
qolishi mumkin.
Absolyut yaqinlashishni tekshirish uchun odatda musbat hadli qatorlar
uchun qo‘llaniladigan alomatlardan foydalaniladi. Ya’ni avval qator
tuziladi va uning yaqinlashishi taqqoslash, Dalamber, Koshi yoki integral alomatlar
yordamida tekshiriladi. Agar yaqinlashsa, berilgan qator absolyut
yaqinlashuvchi bo‘ladi. Agar uzoqlashsa, bu holda berilgan qatorning o‘zi
alohida tekshiriladi. Agar u yaqinlashsa, shartli yaqinlashuvchi bo‘ladi; agar
yaqinlashmasa, uzoqlashuvchi hisoblanadi.
Masalan,
qatorini absolyut yaqinlashishga tekshirish uchun quyidagi qator qaraladi:
Bu qatorni qatori bilan taqqoslash mumkin. Chunki katta lar uchun
ifodasi ga yaqin bo‘ladi. qatori bo‘lgani uchun
33

yaqinlashuvchi. Shuning uchun berilgan qator absolyut yaqinlashuvchi
hisoblanadi.
Shunday qilib, absolyut va shartli yaqinlashish tushunchalari sonli
qatorlarning tabiatini chuqurroq tushunishga yordam beradi. Absolyut
yaqinlashuvchi qatorlarda modullar qatori ham yaqinlashadi va bu qatorning
mustahkam yaqinlashishini bildiradi. Shartli yaqinlashuvchi qatorlarda esa
qatorning o‘zi yaqinlashadi, lekin modullaridan tuzilgan qator uzoqlashadi. Bu
tushunchalar ayniqsa ishorasi o‘zgaruvchi qatorlarni tahlil qilishda, ularning
yig‘indisini baholashda va qatorlar ustida amallar bajarishda muhim nazariy asos
bo‘lib xizmat qiladi.
Sonli qatorlar nazariyasini chuqur o‘zlashtirishda amaliy misollar yechish
muhim ahamiyatga ega. Chunki qatorning yaqinlashishi yoki uzoqlashishini faqat
ta’rif orqali aniqlash har doim ham qulay emas. Amaliy masalalarda qatorning
umumiy hadi tahlil qilinadi, unga mos keluvchi alomat tanlanadi va shu asosda
qatorning xossasi aniqlanadi. Ayniqsa musbat hadli qatorlar, ishorasi
almashinuvchi qatorlar, absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlarni farqlash
uchun turli misollarni ko‘rib chiqish zarur.
Avvalo quyidagi qatorni qaraymiz:
Bu qator musbat hadli qator hisoblanadi. Uning umumiy hadi
ko‘rinishda. Bu qatorni taqqoslash alomati yordamida tekshirish mumkin. Chunki
bo‘lgani uchun
tengsizlik bajariladi. Ma’lumki,
34

qatori bo‘lgani uchun yaqinlashuvchi. Demak, taqqoslash alomatiga
ko‘ra
qatori ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu natija shuni ko‘rsatadiki, agar musbat hadli
qatorning hadlari ma’lum yaqinlashuvchi qator hadlaridan kichik bo‘lsa, u ham
yaqinlashadi.
Endi quyidagi qatorni tekshiramiz:
Bu qatorda umumiy had
ga teng. Qator yaqinlashishi uchun zaruriy shart bo‘yicha umumiy had nolga
intilishi kerak. Limitni hisoblaymiz:
Bu limit nolga teng emas. Demak, qator yaqinlashishining zaruriy sharti
bajarilmaydi. Shuning uchun
qatori uzoqlashuvchi hisoblanadi. Bu misol umumiy hadning nolga intilishi qatorni
tekshirishda eng birinchi e’tibor beriladigan shart ekanini ko‘rsatadi.
Keyingi misol sifatida faktorial qatnashgan qatorni qaraymiz:
35

Bu qatorni Dalamber alomati yordamida tekshirish qulay. Umumiy had
bo‘lsa,
bo‘ladi. Endi nisbatni hisoblaymiz:
Limit olamiz:
Bu yerda limit bo‘lgani uchun Dalamber alomatiga ko‘ra qator
yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu natija faktorialli qatorlarda hadlar juda tez kamayishini
va qator yig‘indisi chekli qiymatga ega bo‘lishini bildiradi.
Yana bir misol:
Bu qatorni Koshi alomati bilan tekshirish qulay, chunki umumiy had -
darajali ifoda ko‘rinishida berilgan. Bu yerda
Koshi alomati bo‘yicha:
Limitni topamiz:
36

Bu qiymat dan kichik, ya’ni . Demak, Koshi alomatiga ko‘ra qator
yaqinlashuvchi hisoblanadi. Bundan ko‘rinadiki, darajali ko‘rinishdagi qatorlarda
Koshi alomati juda qulay natija beradi.
Endi ishorasi almashinuvchi qatorni ko‘rib chiqamiz:
Bu qator quyidagi ko‘rinishda yoziladi:
Bu yerda
bo‘lib, u kamayuvchi ketma-ketlikdir. Haqiqatan,
va
Shuning uchun Leybnits alomatiga ko‘ra berilgan qator yaqinlashuvchi
bo‘ladi. Endi uning modullaridan tuzilgan qatorni qaraymiz:
Bu garmonik qator bo‘lib, uzoqlashuvchi. Demak,
qatori shartli yaqinlashuvchi qator hisoblanadi. Bu misol ishoralar almashinuvi
qatorning yaqinlashishiga ta’sir qilishi mumkinligini ko‘rsatadi.
37

Quyidagi qator esa absolyut yaqinlashishga misol bo‘ladi:
Avvalo modullar qatorini qaraymiz:
Bu qator bo‘lgani uchun yaqinlashuvchi. Demak, berilgan qator
absolyut yaqinlashuvchi hisoblanadi. Absolyut yaqinlashuvchi qatorlar shartli
yaqinlashuvchi qatorlarga qaraganda barqarorroq bo‘ladi, chunki ularning
modullaridan tuzilgan qatori ham yaqinlashadi.
Integral alomatga doir misol sifatida quyidagi qatorni olaylik:
Bu qator uchun
deb olamiz. Integral alomat bo‘yicha quyidagi xosmas integral tekshiriladi:
Bu integralni hisoblashda deb olinsa, bo‘ladi. Shunda
Bu integral uzoqlashuvchi, chunki cheksizlikka intiladi. Demak,
integral alomatga ko‘ra
qatori uzoqlashuvchi bo‘ladi.
38

Misollar tahlili shuni ko‘rsatadiki, har bir qatorni tekshirishda uning umumiy
hadi ko‘rinishiga qarab mos alomat tanlanadi. Agar qator musbat hadli bo‘lib,
oddiy kasr ko‘rinishida bo‘lsa, ko‘pincha taqqoslash yoki integral alomatdan
foydalaniladi. Agar umumiy hadda faktorial qatnashsa, Dalamber alomati qulay
bo‘ladi. Agar umumiy had -darajali ifoda shaklida bo‘lsa, Koshi alomati yaxshi
natija beradi. Ishorasi almashinuvchi qatorlarda esa Leybnits alomati qo‘llaniladi.
Umuman olganda, sonli qatorlarga doir misollarni yechish nafaqat nazariy
bilimlarni mustahkamlaydi, balki qatorlarning tabiatini chuqur tushunishga yordam
beradi. Yaqinlashuvchi qatorlarda qismiy yig‘indilar chekli limitga intiladi,
uzoqlashuvchi qatorlarda esa bunday limit mavjud bo‘lmaydi. Absolyut
yaqinlashuvchi qatorlar modullar bo‘yicha ham yaqinlashadi, shartli
yaqinlashuvchi qatorlarda esa yaqinlashish ishoralar almashinuvi hisobiga yuzaga
keladi. Shu sababli har bir qatorni tekshirishda uning umumiy hadi, ishorasi,
kamayish tezligi va boshqa ma’lum qatorlar bilan bog‘liqligi alohida tahlil qilinadi.
39

XULOSA
Sonli qatorlar matematik analiz fanining muhim bo‘limlaridan biri bo‘lib, u
cheksiz ko‘p sonli hadlarning yig‘indisini o‘rganishga xizmat qiladi. Kurs ishida
sonli qator tushunchasi, uning matematik mazmuni, yaqinlashish va uzoqlashish
shartlari, musbat hadli qatorlar, ishorasi almashinuvchi qatorlar hamda absolyut va
shartli yaqinlashish masalalari yoritildi. Sonli qatorlarni o‘rganish jarayonida
qatorning umumiy hadi, qismiy yig‘indilari va ularning limitga intilishi asosiy
tushunchalar sifatida qaraldi.
Kurs ishida ko‘rsatildiki, sonli qatorning yaqinlashishi uning qismiy
yig‘indilar ketma-ketligi chekli limitga ega bo‘lishi bilan belgilanadi. Agar qismiy
yig‘indilar ma’lum bir chekli songa yaqinlashsa, qator yaqinlashuvchi, aks holda
uzoqlashuvchi hisoblanadi. Shuningdek, qator yaqinlashishi uchun umumiy
hadning nolga intilishi zaruriy shart ekanligi ta’kidlandi. Biroq bu shart har doim
ham yetarli emasligi garmonik qator misolida ko‘rsatildi.
Musbat hadli qatorlar mavzusi orqali qatorlarning qismiy yig‘indilari
kamaymaydigan ketma-ketlik hosil qilishi va bunday qatorlar yaqinlashishi uchun
ularning yuqoridan chegaralangan bo‘lishi zarurligi aniqlandi. Musbat hadli
qatorlarni tekshirishda taqqoslash alomati, Dalamber alomati, Koshi alomati va
integral alomat muhim vosita sifatida qo‘llanilishi ko‘rsatildi. Bu alomatlar
yordamida qatorning qismiy yig‘indilarini bevosita hisoblamasdan, umumiy
hadning xususiyatlari asosida yaqinlashish yoki uzoqlashish haqida xulosa
chiqarish mumkin.
Ishorasi almashinuvchi qatorlarni o‘rganish natijasida bunday qatorlarda
hadlar musbat va manfiy ishoralar bilan navbatma-navbat kelishi aniqlandi.
Ularning yaqinlashishini tekshirishda Leybnits alomati katta ahamiyatga ega. Agar
ishorasi almashinuvchi qatorning musbat hadlari kamayuvchi bo‘lib, nolga intilsa,
bunday qator yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu alomat amaliy hisoblashlarda ham foydali
bo‘lib, qator yig‘indisini taqribiy hisoblashdagi xatolikni baholash imkonini beradi.
Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar mavzusi sonli qatorlarning
yanada chuqurroq tahlil qilinishini ta’minlaydi. Agar qator hadlarining
40

modullaridan tuzilgan qator yaqinlashsa, berilgan qator absolyut yaqinlashuvchi
hisoblanadi. Agar qatorning o‘zi yaqinlashib, modullaridan tuzilgan qator
uzoqlashsa, u shartli yaqinlashuvchi qator deyiladi. Bu tushunchalar ishorasi
o‘zgaruvchi qatorlar bilan ishlashda, ularning yig‘indisini baholashda va qatorlar
ustida amallar bajarishda muhim nazariy asos bo‘lib xizmat qiladi.
Kurs ishining amaliy qismida sonli qatorlarga doir turli misollar tahlil
qilindi. Misollar orqali har bir qatorni tekshirishda uning umumiy hadi, ishorasi,
kamayish tezligi va ma’lum qatorlar bilan bog‘liqligi e’tiborga olinishi kerakligi
ko‘rsatildi. Faktorial qatnashgan qatorlar uchun Dalamber alomati, darajali ifodalar
uchun Koshi alomati, kasr ko‘rinishidagi musbat hadli qatorlar uchun taqqoslash
va integral alomatlar qulay qo‘llanilishi aniqlandi.
Umuman olganda, sonli qatorlar nazariyasi matematik analizning asosiy
yo‘nalishlaridan biri sifatida katta nazariy va amaliy ahamiyatga ega. Bu mavzuni
o‘rganish orqali cheksiz yig‘indilarni tushunish, ularning yaqinlashish holatini
aniqlash, taqribiy hisoblashlarni bajarish va murakkab matematik ifodalarni tahlil
qilish ko‘nikmalari shakllanadi. Sonli qatorlar keyingi bosqichlarda funksional
qatorlar, darajali qatorlar, Furye qatorlari va differensial tenglamalar kabi
mavzularni chuqur o‘rganish uchun mustahkam nazariy asos yaratadi.
41

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
1. Azlarov T. A., Mansurov H. Matematik analiz. 1-qism. - Toshkent: O‘qituvchi,
1994. - 432 b.
2. Azlarov T. A., Mansurov H. Matematik analiz. 2-qism. - Toshkent: O‘qituvchi,
1995. - 360 b.
3. Jo‘rayev T. J., Sadullayev A., Xudoyberganov G. Matematik analiz kursi. 1-
qism. - Toshkent: O‘zbekiston, 1995. - 336 b.
4. Jo‘rayev T. J., Sadullayev A., Xudoyberganov G. Matematik analiz kursi. 2-
qism. - Toshkent: O‘zbekiston, 1996. - 352 b.
5. Fayziyev A. A. Matematik analizdan ma’ruzalar. - Toshkent: Universitet, 2000.
- 280 b.
6. Rasulov H. R. Matematik analiz asoslari. - Toshkent: Fan, 2004. - 312 b.
7. Abduhamidov A. U., Nasimov H. A. Matematik analizdan misol va masalalar. -
Toshkent: O‘qituvchi, 2006. - 288 b.
8. Berdiyorov B. T. Matematik analizdan amaliy mashg‘ulotlar. - Toshkent:
TDPU, 2010. - 220 b.
9. Soatov Y. U. Oliy matematika. 1-jild. - Toshkent: O‘qituvchi, 1992. - 496 b.
10. Soatov Y. U. Oliy matematika. 2-jild. - Toshkent: O‘qituvchi, 1994. - 416 b.
11. Piskunov N. S. Differensial va integral hisob. 1-qism. - Toshkent: O‘qituvchi,
1983. - 456 b.
12. Piskunov N. S. Differensial va integral hisob. 2-qism. - Toshkent: O‘qituvchi,
1984. - 432 b.
13. Fichtenholz G. M. Matematik analiz asoslari. 1-jild. - Toshkent: O‘qituvchi,
1970. - 440 b.
14. Kudryavsev L. D. Matematik analiz kursi. 1-jild. - Moskva: Nauka, 1981. - 688
b.
15. Demidovich B. P. Matematik analizdan masalalar to‘plami. - Toshkent:
O‘qituvchi, 1987. - 520 b.
42

Sotib olish