To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda akslantirishlar 26

Dokument ma'lumotlari

Narxi	35000UZS
Hajmi	2.1MB
Xaridlar	0
Yuklab olingan sana	13 Iyun 2026
Kengaytma	docx
Bo'lim	Kurs ishlari
Fan	Algebra

Sotuvchi

G'ayrat Ziyayev

Ro'yxatga olish sanasi 14 Fevral 2025

201 Sotish

To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda akslantirishlar 26

Sotib olish

To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda
akslantirishlar
MUNDARIJA
KIRISh ......................................................................................................... . .......... 3
I BOB. TO‘PLAMLAR NAZARIYASI ASOSLARI VA ULAR USTIDA
ALGEBRAIK AMALLAR
1.1. To‘plamlar va ularning elementlari. To‘plamlarning berilish usullari ... ........ ... 6
1.2. To‘plamlarning kesishmasi, birlashmasi va ayirmasi. Universal to‘plamgacha
to‘ldiruvchi to‘plam ...... ..........................................................................................12
1.3. To‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi va uning geometrik talqini ...... ..............18
1.4. To‘plamlarni o‘zaro kesishmaydigan to‘plam ostilariga (sinflarga) ajratish
tushunchasi ...... .......................................................................................................21
II BOB. TO‘PLAMLARDA ANIQLANGAN AKSLANTIRIShLAR,
MUNOSABATLAR VA KOMBINATORIKA ELEMENTLARI
2.1. Moslik va munosabatlar. Ikki to‘plam elementlari orasidagi moslik va uning
turlari ...... ................................................................................................................25
2.2. To‘plamdagi munosabatlar va ularning xossalari (ekvivalentlik va tartib
munosabatlari) ...... ..................................................................................................32
2.3. Chekli to‘plamlarda takrorlanadigan va takrorlanmaydigan o‘rinlashtirishlar
hamda o‘rin almashtirishlar ...... ..............................................................................40
2.4. Takrorlanmaydigan guruhlashlar. Chekli to‘plamlarning to‘plam ostilari sonini
aniqlash ...... .............................................................................................................43
XULOSA ...............................................................................................................47
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI ................... .....................49

KIRISH
Mavzuning dolzarbligi. Barkamol avlod jamiyat taraqqiyotining asosi. Shu
bois mamlakatimizda ham jismonan, ham ma’nan barkamol avlodga ta’lim-tarbiya
berish davlat siyosati darajasiga ko‘tarilgan.
Prezidentimiz Sh.Mirziyoyev 19-sentyabr kuni BMT Bosh
assambleyasining 72-sessiyasida so‘zlagan nutqida : “Jamiyatimizda siyosiy
faollik ortib bormoqda, barcha sohalarda chuqur islohotlar amalga oshirilmoqda.
Ulardan ko‘zlangan maqsad – “Inson manfaatlari hamma narsadan ustun” degan
oddiy va aniq - ravshan tamoyilni amalga oshirish ustuvor ahamiyatga ega bo‘lgan
demokratik davlat va adolatli jamiyat barpo etishdan iborat.
“2017-2021 yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning
beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasi”da xalqimiz hayot
darajasini yuksaltirishning aniq mexanizmlari belgilab berilganligi to‘g‘risida
fikrlarini bildirib, ushbu strategiyaning nafaqat xalqimiz, balki dunyo
jamoatchiligi e’tiborini o‘ziga jalb etgan muhim hujjatga aylanganligini alohida
ta’kidlab, o‘tamiz.
“Harakatlar strategiyasida ta’lim sifatini oshirish, yoshlarga oid davlat
siyosatini takomillashtirish masalalari alohida o‘rin egallaydi. Harakatlar
strategiyasi xonalari faoliyatidan ko‘zlangan asosiy maqsad - O‘zbekiston
Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar
strategiyasida yoshlarning ijtimoiy faolligini oshirish, ularni 2017-2021 yillarga
mo‘ljallangan Harakatlar strategiyasiga yanada kengroq jalb qilishdir.
Yoshlarning bilim va iqtidorini chuqurlashtirish, ularning kelgusida
malakali kadrlar bo‘lib, O‘zbekistonni yanada rivojlantirishdagi ishtirokini
ta’minlash maqsadida ta’lim jarayoniga zamonaviy yondashuvlar joriy
etilmoqda, shunga javoban tadqiqot ishimizni samarali va amaliyotga joriy
etishda natijaviylikka etiborni qaratamiz.
Ta’lim yosh avlodni mustaqil hayotga tayyorlashning asosiy
komponentlaridan biridir. Mustaqillik yillarida jamiyatning yosh avlod ta’lim-
2

tarbiyasiga qo‘yayotgan talablari, ilm-fan taraqqiyoti natijasida umumta’lim
maktablaridagi ta’lim mazmunida keskin o‘zgarishlar sodir bo‘ldi.
Fan taraqqiyoti ta’limning texnologik bazasi, jamiyat a’zolarining yashash
sharoitida keskin o‘zgarishlarga olib keldi. Jumladan, ilm-fan yangiliklari,
zamonaviy texnologiyalar jamiyatning ma’naviy qiyofasini o‘zgartirib yubordi.
Ilm-fan yutuqlari va ularning insonlar hayotidagi o‘rni rivojlangan
mamlakatlar maktab ta’limi mazmuni va strukturasiga ta’sir o‘tkazmay qolmaydi.
Mamlakatimizda ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlar natijasida o‘quv
soatlari keskin qisqartirildi, o‘quv materiallari mazmuni modernizatsiya qilindi.
Ma’lumki, har bir davlat va jamiyatning taraqqiyoti, kelajak istiqboli, uning
dunyo hamjamiyatidagi o‘rni, fan-texnika yoki ixtirolar muvaffaqiyati bilan
amalga oshayotganligi ehtimoldan holi emas. Zero, muhtaram birinchi
prezidentimiz I.A.Karimov aytganlaridek, “Bugungi kun mustaqil davlatimiz
taqdiri, uning ravnaqi, hozirgi davri va kelajagi, jamiyatimiz fanlarida
erishilayotgan yutuqlar orqali amalga oshayotganligi shubhasizdir” 1
.
XXI asr O‘zbekistonda madaniyat, iqtisodiyot, fan va texnika, ijtimoiy-
siyosiy innovasiyalar asri sifatida boshlandi va ana shunday sharoitda barkamol
shaxs, yuqori malakali mutaxassislarni tayyorlash nafaqat pedagogik, balki
ijtimoiy zaruratga aylandi. So‘nggi yillarda ta’lim tizimiga boshqa sohalardan bir
qator yangi tushunchalar kirib keldi. Bugungi kunda ta’limning iqtisodiyligi va
takomillashganligi o‘rgatuvchi va o‘rganuvchi aloqalari, texnika va texnologiyalar,
ta’limni interfaol metodlar asosida tashkil qilish, hamda ta’lim samaradorligini
oshirishga katta e’tibor berilmoqda. Ta’lim tizimida, ta’lim jarayonida interfaol
metodlardan foydalanish – ta’lim samaradorligini oshiradigan innovatsion usuldir.
YOshlarni yangicha ishlashga va tafakkur yuritishga o‘rgatish davr talabi ekanligi
yurtboshimiz tomonidan asoslab berildi.
Ta’lim texnologiyasi insoniylik tamoyillariga tayanadi. Falsafa, pedagogika
va psixologiyada bu yo‘nalishning o‘ziga xosligi talabaning individualligiga
1
Karimov I.A. O’zbekiston mustaqillikka erishish ostonasida. –T., 2011. B-80.
3

alohida e’tibor berish orqali namoyon bo‘ladi. Shunday ekan bo‘lajak pedagog
mutaxassislarni tarbiyalashda pedagogika fanining mazmun-mohiyatini
tushuntirishda hamda pedagogika fanining so‘nggi yutuqlaridan foydalanib fan
mavzularining bayonida interfaol metodlar asosida darslarni tashkil etish muhim
ahamiyat kasb etadi.
Tadqiqotning maqsadi: To‘plamlar nazariyasining asosiy tushunchalari,
ular ustidagi amallar (birlashma, kesishma, ayirma, to‘ldiruvchi) va akslantirishlar
(in’eksiya, syur’eksiya, bi’eksiya) xossalarini nazariy jihatdan tahlil qilish hamda
ularning tatbiqiy ahamiyatini yoritib berishdan iborat.
Tadqiqotning vazifalari:
To‘plam tushunchasining shakllanishi va uning matematikadagi o‘rnini
asoslash.
To‘plamlar ustida bajariladigan asosiy amallar va ularning Ven
diagrammalari yordamida geometrik talqinini tushuntirish.
Akslantirishlar (funksiyalar) nazariyasi, ularning turlari va xossalarini
matematik misollar yordamida tahlil qilish.
To‘plamlar nazariyasining zamonaviy matematika va informatika fanlaridagi
amaliy ahamiyatini ko‘rsatib berish.
Tadqiqotning obyekti: To‘plamlar nazariyasi va uning asosiy elementlari.
Tadqiqotning predmeti: To‘plamlar ustidagi amallar, akslantirishlar va
ularning o‘zaro funksional bog‘liqligi.
Ishning nazariy va amaliy ahamiyati: Kurs ishida keltirilgan nazariy
ma’lumotlar va qoidalardan oliy ta’lim talabalari uchun matematika fanini
o‘qitishda, shuningdek, diskret matematika va mantiqiy dasturlash asoslarini
o‘rganishda qo‘llanma sifatida foydalanish mumkin.
4

I BOB. TO‘PLAMLAR NAZARIYASI ASOSLARI VA ULAR USTIDA
ALGEBRAIK AMALLAR
1.1. To‘plamlar va ularning elementlari. To‘plamlarning berilish usullari
To‘plam tushunchasi. To‘plam tushunchasi matematikaning asosiy
tushunchalaridan biri bo‘lib, u ta’riflanmaydi va u haqida misollar
yordamida tasav vur hosil qilinadi. To‘plam deganda predmetlar yoki ob’yekt -
larni biror xossasiga ko‘ra birgalikda qarash tushuniladi.
Masalan, barcha natural sonlar to‘plami, bir talabalar uyida yashovchi
talabalar to‘plami, to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plami, mak tabdagi o‘quvchilar
to‘plami va h.k.
Hayotda to‘plamlar alohida nomlanadi: auditoriyadagi talaba lar
to‘plami – guruh, harflar to‘plami – alfavit, qushlar to‘p lami –gala, qo‘ylar
to‘plami – poda va h. k.
1.1.1-ta’rif. To‘plamni tashkil etuvchi ob’yektlar – bu to‘plamning elemen -
tlari deb ataladi.
Masalan, yuqoridagi misollardagi natural sonlar, o‘quvchilar, talabalar,
nuqtalar mos to‘plamlarining elementlari hisoblanadi.
To‘plamlar odatda, lotin alfavitining bosh harflari bilan, ular ning elementlari
esa alfavitning kichik harflari bilan belgila nadi. to‘plam
elementlaridan tuzilganligi ko‘rinishda yoziladi.
To‘plam bir qancha elementlardan iborat bo‘lishi mumkin, quyidagi yoz uv :
, elementning to‘plamga tegishliligini bildiradi.
Agar bo‘lsa, u holda « element to‘plamga tegishli», «
element to‘plamning elementi», « element to‘plamda mav jud» yoki «
element to‘plamga kiradi» deb o‘qiladi. yoki yozuv esa
elementni to‘plamga tegishli emasligini bildiradi .
Masalan, – juft natural sonlar to‘plami bo‘lsin, u holda , ,
va bo‘ladi.
5

1.1.2-ta’rif. To‘plamning elementlari soniga to‘plam quvvati deyiladi va
kabi belgilanadi.
Masalan, to‘plamning quvvati
to‘plamning quvvati to‘plamning
quvvati to‘plamning quvvati ga teng.
1.1.3-ta’rif. Quvvatlari teng bo‘lgan to‘plamlar teng quvvatli to‘plamlar
deyiladi. Masalan, to‘plamlar teng quvvatli.
To‘plamlarning berilish usullari. Agar har bir elementning ma’lum
bir to‘plamga tegishli yoki tegishli emasligi bir qiymatli aniqlangan bo‘lsa,
to‘plam berildi deyiladi.
Sonli to‘plamlar uchun xarakteristik xossani formula bilan berish
qulay. Bu holda, odatda, katta qavslar ichiga to‘plam elementi belgisi,
vertikal chiziq va undan keyin to‘plam elementiga tegishli xossa yoziladi.
Masalan: « sonidan kichik bo‘lgan natural sonlar» to‘plami bo‘lsin.
Bu to‘plam xarakteristik xossasi orqali ko‘rinishda
ifodalanadi. Shunga o‘xshash: sonidan katta
bo‘lmagan natural sonlar» to‘plami.
bo‘lsa, tenglamaning haqiqiy ildizlari
to‘plami bo‘ladi.
bo‘lsa, dan 6 gacha bo‘ l gan butun sonlar
to‘plami hisoblanadi. Ba'zi bir sonli to‘plamlar uchun maxsus bеlgilar kiritilgan:
-natural sonlar to‘plami, –butun sonlar to‘plami, –butun nomanfiy sonlar
to‘plami, –ratsional sonlar to‘plami, –haqiqiy sonlar to‘plami.
To‘plam turlari. To‘plamlar ularni tashkil etuvchi elementlari soniga ko‘ra
3 turda bo‘ladi:
6

1.1.4-ta’rif. Birorta ham elementi bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam
deyiladi va ko‘rinishda belgilanadi. Bo‘sh to‘plamning quvvati ga
teng.
Masalan, tenglamaning haqiqiy ildizlari to‘plami, oydagi
daraxtlar to‘plami, dengiz tubidagi quruq toshlar to‘plami bo‘sh
to‘plamlardir.
1.1.5-ta’rif. To‘plam chekli sondagi elementlardan tashkil topsa, chekli
to‘plam deyiladi. Masalan, lotin alifbosi harflari to‘plami, kamalak ranglari
to‘plami, raqamlar to‘plami chekli to‘plamlardir.
to‘plamlar ch е kli bo‘lib, ular m о s
ravishda bitta, ikkita va uchta el е m е ntlardan tuzilgan.
1.1.6-ta’rif. To‘plam elementlari soni cheksiz bo‘lsa, bunday to‘plam
cheksiz to‘plam deyiladi.
Masalan, va barcha
ratsional sonlar to‘plami, tekislikdagi nuqtalar to‘plami kabi to‘plamlar
ch е ksiz to‘plamdir.
Teng to‘plamlar. To‘plam osti. Universal to‘plam.
1.1.7-ta’rif. Bir xil elementlardan tashkil topgan to‘plamlar teng
to‘plamlar deyiladi. Masalan, tenglamaning yechimlari to‘plami va
tenglamaning yechimlari to‘plami teng to‘plamlardir. Teng to‘plamlar
aynan bir xil elementlardan tuziladi va faqat elementlar tartibi bilangina
farqlanishi mumkin.
1.1.8-ta’rif. to‘plamning har bir elementi to‘plamga tegishli bo‘lsa,
to‘plamni to‘plamning to‘plam osti, (qismi, qism to‘plami) deyiladi, buni
quyidagicha belgilanadi: B⊂ A yoki A  B . Masalan,
to‘plam uchun B= {a},
to‘plamlarning har qaysisi
to‘plam ostidir. Shuning bilan birga bo‘sh to‘plam istalgan to‘plamning va har bir
to‘plam o‘zining to‘plam osti (qism to‘plami) bo‘ladi.
7

Quyidagi xossadan ko‘pincha to‘plamlar tengligini isbotlashda
foydalaniladi. A gar va b i r v a q t d a o ‘ rinli bo‘lsa,
bo‘ladi. Ya ‘ ni to‘plamning istalgan elementi to‘plamga tegishli ekani
va B to‘plamning istalgan elementi to‘plamga tegishli ekani isbotlangan
bo‘lsa, bu to‘plamlar tengligi haqida xulosa chiqariladi.
1.1.9-ta’rif. to‘plamning barcha elementlari to‘plamda mavjud bo‘lib,
shu bilan birga da ga tegishli bo‘lmagan elementlar ham mavjud bo‘lsa,
to‘plam to‘plamning xos qism to‘plami deyiladi va kabi belgilanadi.
1.1.10-ta’rif. to‘plamning o‘zi va to‘plam shu to‘plamning xosmas
qism to‘plami deyiladi.
1.1.11-ta’rif. Agar to‘plamlar to‘plamning qism to‘plami
bo‘lsa, to‘plam to‘plamlar uchun universal to‘plam deyiladi.
Universal to‘plam, odatda, yoki harflari bilan belgilanadi. Universal
to‘plamning barcha qism to‘plamlari orasida ikkita xosmas qism to‘plam mavjud
bo‘lib, ulardan biri ning o‘zi, ikkinchisi esa bo‘sh to‘plam, qolganlari esa xos
qism to‘plamlar bo‘ladi.
Geometriyadan misol keltirsak, – uch o‘lchovli fazo bo‘lsa,
fazodagi tekislik, tekislikdagi chiziq bo‘lsa, quyidagi munosabat o‘rinli
bo‘ladi: yoki . Bu yerda ning boshqa qism
to‘plamlari ham mavjudligini hisobga olish kerak.
barcha natural sonlar to‘plami;
‒ barcha butun sonlar to‘plami; ‒
‒ barcha ratsional sonlar to‘plami; barcha haqiqiy sonlar to‘plami bo‘lib,
‒
shartlar bajariladi va qolgan sonli to‘plamlar uchun
universal to‘plam vazifasini bajaradi.
kabi yozish ham
mumkin.
to‘plamning to‘plam ostilarini koordinatalar o‘qida tasvirlash qulay. Agar
va bo‘lsa, quyidagi bеlgilashlarni kiritish mumkin.
8

Sonli oraliq Bеlgilan
ishi Tasvirlani
shi Nomlanishi
Intеrval
Kеsma
Yarim
int е rval yoki
yarim k е sma
Yarim
int е rval yoki
yarim k е sma
Ochi q nur
Nur yoki
yarim to‘g‘ri
chiziq

Ochi q nur
Nur
Eyler-Venn diagrammalari. To‘plamlar orasidagi munosa-batlarni
yaqqolroq qilish uchun, Eyler-Venn diagrammalaridan foydalaniladi. Bunda
to‘plamlar doira, oval yoki biror yopiq soha ko‘rinishida, universal to‘plam esa
to‘g‘ri to‘rtburchak shaklida tasvirlanadi. Masalan: to‘plam to‘plamning xos
to‘plam osti ekanligi quyidagi ko‘rinishda tasvirlanadi.
9

Umumiy qismga ega bo‘lgan to‘plamlar kesishadi deyiladi va
, ya’ni va to‘plamlar kesishmasi bo‘sh emas, deb yoziladi.
Masalan, ga karrali natural sonlar va ga karrali natural sonlar
to‘plamlari umumiy elementga ega, ya’ni kesishadi yoki kesishmasi bo‘sh
emas. Bu to‘plamlar kesishmasi barcha ga karrali natural sonlardan
iborat bo‘ladi.
Ikki to‘plamning o‘zaro munosabatida to‘rt hol bo‘lishi mumkin (2-
rasm):
1) to‘plamlar kesishmaydi (2-rasm, I);
2) to‘plamlar kesishadi (2-rasm, II);
3) to‘plamlarning biri ikkinchisining qism to‘plami bo‘ladi (2-rasm,
III).
4) to‘plamlar ustma-ust tushadi, ya’ni teng (2-rasm, IV).
2-rasm
10 1-rasm

1.2. To‘plamlarning kesishmasi, birlashmasi va ayirmasi. Universal
to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plam
To‘plamlarning kesishmasi
1.2.1-Ta’rif. elementlar va to‘plamlarning har biriga
tegishli bo‘lsa, ular bu to‘plamlarning umumiy elementlari deyiladi. Masalan:
, to‘plamlar uchun – umumiy elementlar.
1.2.2-Ta’rif. va to‘plamlarning barcha umumiy elementlaridangina
tuzilgan to‘plam va to‘plamlarning kesishmasi (ko‘paytmasi) deyiladi va
quyidagicha belgilanadi , bu yerda belgi to‘plamlarning kesishmasini
bildiradi.
To‘plamlar kesishmasi belgilar yordamida
ko‘rinishda yoziladi. Masalan: 1) va
bo‘lsa, bo‘ladi.
2) va bo‘lsa, bo‘ladi.
3)
to‘plamlarning kesishmasi: ga teng.
Birorta ham umumiy elementga ega bo‘lmagan to‘plamlarning kesishmasi
- bo‘sh to‘plamga teng. Masalan, va
to‘plamlarning kesishmasi bo‘sh to‘plam: A∩B ≠ Ø
To‘plamlarning kesishmasi geometrik nuqtai nazardan figuralarning
kesishmasiga mos keladi. Quyida har bir hol uchun to‘plamlar kesishmasi
shtrixlab ko‘rsatilgan (3-rasm):
3-rasm
11

4-rasm
4-rasm da kesma va kesmalar kesishmasini ifodalaydi. 4-
rasm 2-qismida va kesmalar kesishmaydi, demak kesishma bo‘sh
to‘plam.
To‘plamlar k e sishmasi uchun quyidagi xossalar o‘rinli:
1°. bo‘lsa, bo‘ladi. Bu xossa to‘plamlar kesishmasi
ta’rifidan kelib chiqadi.
2°. (kommutativlik xossasi).
3°. (assotsiativlik xossasi).
Assotsiativlik xossasi kesishmani qavslarsiz yozishga imkon
beradi va istalgan sondagi to‘plamlar kesishmasini topishda qulaylik
tug‘diradi. Bu xossani Eyler-Venn diagrammalarida quyidagicha
tasvirlaymiz (5-rasm):
5-a) rasmda tenglikning chap qismi; 1.5-b) rasmda tenglikning o‘ng
qismi tasvirlangan, ikki marta shtrixlangan sohalar ikkala rasmda ham bir
xil bo‘lgani uchun to‘plamlar teng
degan xulosaga kelamiz.
5-rasm
4 ° . .
5 ° . .
Yuqoridagi xossalar to‘plamlar soni ikkitadan ortiq bo‘lgan hol uchun ham
to‘g‘ri.
12

To‘plamlar birlashmasi (yig‘indisi)
1.2.3-Ta’rif. Berilgan va to‘plamlarning birlashmasi (yig‘indisi) deb
shu va to‘plamlarning hech bo‘lmaganda biriga tegishli bo‘lgan
elementlardan tuzilgan to‘plamga aytamiz. Birlashma ko‘rinishda
belgilanadi.
To‘plamlar birlashmasi belgilar yordamida
ko‘rinishda yoziladi. To‘plamlar birlashmasida
to‘plamlardan har ikkalasining umumiy elementlari bir marta olinadi.
Masalan : to‘plamlarning birlashmasi:
ga, va to‘plamlar
uchun ga t e ng.
To‘plamlarning birlashmasi geometrik nuqtai nazardan figura lar ning barcha
nuqtalaridan tashkil topgan to‘plamni bildiradi. Eyler-Venn diagrammalarida
va to‘plamlarning birlashmasi quyi dagicha tasvirlanadi.
6-rasm
To‘plamlar birlashmasining xossalari:
1°.
2°. (kommutativlik xossasi).
3°. (assotsiativlik xossasi).
4°. .
5°. .
6°. (kesishmaning birlashmaga
nisbatan distributivlik xossasi).
13

Isbot. bo‘lsin, bundan va ekani kelib
chiqadi. Bundan va yoki va , bu esa
ekanligini bildiradi va shunday ekanligini isbot qiladi:
. Aksincha, agar x ∈ (A∩B) ∪ (A∩C), u holda
yoki . Bu holda , lekin xuddi shunday ,
ekanligini bildiradi,
isbotlaydi. Bundan kelib chiqadiki .
Kesishmaning birlashmaga nisbatan distributivlik xossasining to‘g‘riligini
Eyler-Venn diagrammasida ham ko‘rsatish mumkin

7-a) rasm 7-b) rasm
7-a rasmda tenglikning chap qismi birlashma vertical va
gorizontal shtrixlangan.
7-b rasm da va kesishma gorizontal shtrix langan.
esa vertikal shtrixlangan. Rasmlar dagi ikki marta
shtrixlangan sohalar bir xil bo‘lganligidan
tenglikning to‘g‘riligi ko‘rinadi.
7°. (birlashmaning kesishmaga
nisbatan distributivlik xossasi).
Bu xossa ham yuqoridagi kabi isbotlanadi.
To‘plamlar ayirmasi.
14B
A
C
B A
C

1.2.4-Ta’rif. va to‘plamlarning ayirmasi deb shunday to‘plamga ayti -
ladiki, u to‘plamning ga tegishli bo‘lmagan barcha element lari dan tuziladi va
quyidagicha belgilanadi:
Demak, v а to‘pl а ml а rning а yirm а si to‘pl а mning to‘p l а mg а
kirm а g а n b а rch а el е m е ntl а rd а n t а shkil t о pg а n to‘pl а m ekan, uni bunday yozamiz:
Misollar.
To‘plamlarning ayirmasi Eyler-Venn diagrammalarida quyidagi 8
chizmada ko‘rsatilgan shtrixlangan sohani bildiradi.
8-rasm
Universal to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plam va uning xossalari
1.2.5-Ta’rif. to‘plam va uning qism to‘ plami berilgan bo‘lsin. dagi
ga tegishli bo‘lma gan b a rch a elementlardan tuzilgan to‘plam to‘plamni
to‘plam gacha to‘ldiruvchisi deb ataladi va yoki ko‘rinishda belgilanadi.
Bunda, B va B′
A ning birlashmasi A to‘plamga teng bo‘ladi ( 9-rasm ) .
9-rasm
15

Masalan. bo‘lsa,
bo‘ladi.
Agar to‘plam biror boshqa to‘plamning qismi deb qaralmasa, u holda
to‘plamning to‘ldiruvchisi bo‘sh to‘plam bo‘lib, ning to‘ldiruvchisi esa
bo‘ladi, ya’ni: va .
To‘plamlar ayirmasining xossalari:
1°.
2°. .
3°.
4°.
5°.
6 ° .
7°. .
6- va 7-xossalar De-Morgan qonunlari deyiladi.
4- va 5-xossalarning o‘rinli ekanligiga Eyler-Venn diagramma-larida
tasvirlash orqali ishonch hosil qilish mumkin.
7-xossani quyidagicha isbotlaymiz. bo‘lsin. Bundan
ekani kelib chiqadi. Kesishma ta’rifiga ko‘ra yoki
degan xulosaga kelamiz, bundan esa yoki ekani kelib chiqadi.
bo‘lsa, birlashma ta’rifiga ko‘ra bo‘ladi.
Ikkinchi tomondan bo‘lsin. U holda birlashma ta’rifiga ko‘ra
ekani kelib chiqadi, ekanidan
ekanidan degan xulosaga kelamiz, bo‘lsa,
bo‘ladi, bu esa ekanligini ko‘rsatadi. Demak,
to‘plamlar bir xil elementlardan tashkil topgan va
shuning uchun ham teng ekan.
16

6-xossa ham xuddi shunday isbotlanadi.
I s b o t . bo‘lsin. U holda g a k i r m a y d i , y a ’ n i
d a h a m , d a h a m e m a s , d e m a k : . B u
e k a n l i g i n i i s b o t l a y d i . B o s h q a t o m o n d a n o l g a n d a ,
a g a r b o ‘ l s a , b u n d a g a t e g i s h l i e m a s v a g a h a m
t e g i s h l i e m a s , s h u n d a y e k a n g a k i r m a y d i . L e k i n b u
l i g i n i k o ‘ r s a t a d i , b u e k a n l i g i n i
i s b o t l a y d i . B u n d a n k o ‘ r i n i b t u r i b d i k i , e k a n .
1.2.6-Ta’rif. va to‘plamlarning simmetrik ayirmasi d е b shunday
to‘plamga aytiladiki, u yoki
ayirmalarga tegishli bo‘lgan hamma
el е m е ntlaridangina tuziladi va quyidagicha b е lgilanadi: .
To‘plamlarning simmetrik ayirmasi 1.10-rasmda ko‘rsatilgan shtri х langan
sohani bildiradi.
1. 10 -rasm
1.3. To‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi va uning geometrik talqini
1.3.1-Ta’rif. va to‘plamlarning dekart ko‘paytmasi deb, 1-elementi
to‘plamdan, 2-elementi to‘plamdan olingan ko‘rinishdagi
barcha tartiblangan juftliklar to‘plamiga aytiladi. Dekart ko‘paytma
ko‘rinishda belgilanadi: Masalan.
17 BA

bo‘ladi.
Agar biz Dekart ko‘paytma elementi dagi ni biror nuqtaning
absissasi, ni esa ordinatasi desak, u holda bu dekart ko‘paytma tekislikdagi
nuqtalar to‘plamini ifodalaydi.
Sonli to‘plamlar dekart ko‘ payt masini koordinata tekisligida tasvirlash
qulay. Masalan, bo‘lsin, u holda
11 -rasm
bo‘ladi ( 11 -rasm).
Koordinata tekisligida shunday koordinatali nuqtalarni tasvirlaymizki,
bunda to‘plam o‘qida va to‘plam o‘qida olinadi.

12 -rasm
Dekart ko‘paytmaning xossalari:
1° .
2°.
3°.
18

Ikkitadan ortiq to‘plamlarning dekart ko‘paytmasini ham qarash
mumkin. Umumiy holda to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Ularning dekart
ko‘paytmasi
dan
iborat bo‘ladi. tartiblangan lik deyiladi. (Masalan, uchlik,
to‘rtlik va h.k.). Bunday tartiblangan lik o‘rinli kortej deb ham ataladi.
Yana o‘rinli kortejlar faqat bitta to‘plam elementlaridan tuzilgan bo‘lishi
ham mumkin, bu holda u to‘plamni o‘z-o‘ziga marta dekart ko‘paytmasi
elementidan iborat bo‘ladi.
Yuqorida aytilganlardan xulosa qilsak, Dekart koordinata tekisligini haqiqiy
sonlar to‘plami ni o‘ziga-o‘zining dekart ko‘paytmasi , koordinata
fazosini deb qarash mumkinligi kelib chiqadi. Masalan,
1. .
2.
Mashqlar
1 . musbat tub son va bo‘lsin. qism
to‘plamini
o r q a l i a n i q l a n g . n i n n i n g
f u n k s i y a s i s i f a t i d a h i s o b l a n g .
2 . musbat tub son va yuqoridagi masala kabi bo‘lsin.
qism to‘plamini
hammasi farqli} orqali
aniqlang.
n i n i n g f u n k s i y a s i s i f a t i d a h i s o b l a n g .
3. va to‘plamlar va bo‘lsin.
bo‘lishini isbotlang.
4. to‘plamlar, bo‘lsin.
bo‘lishi har doim ham to‘g‘ri
bo‘ladimi?
19

5. T va T′ 4.1.2-bo‘limidagi 7-mashqda aniqlangan to‘plamlar bo‘lsin.
Quyidagi izohlarning qaysi biri to‘g‘ri:
1.4. To‘plamlarni o‘zaro kesishmaydigan to‘plam ostilariga (sinflarga)
ajratish tushunchasi
To‘plamlarni sinflarga ajratish.
1.4.1-Ta’rif. to‘plam quyidagi shart bajarilsa, ...
sinflarga ajratilgan deyiladi.
1) ... qism to‘plamlar jufti-jufti bilan o‘zaro kesishmasa,
ya’ni bu yerda
2)
qism to‘plamlarning birlashmasi to‘plam bilan mos
tushsa.
To‘plamlarni sinflarga ajratish masalasi klassifikatsiya deyiladi. Klas -
sifikatsiya – bu to‘plam ichida ob’yektlarning o‘xshashligi va ular ning boshqa
sinflardagi ob’yektlardan farq qilishi asosida sinflar bo‘yicha ob’yektlarni ajratish
amalidir.
Agar yuqoridagi shartlardan hech bo‘lmaganda bittasi bajaril masa,
klassifikatsiya noto‘g‘ri hisoblanadi.
Masalan, uchburchaklarning to‘plamini uchta sinfga ajratish mumkin:
o‘tkir burchakli, to‘g‘ri burchakli, o‘tmas burchakli uchbur chaklar. Haqiqatan ham,
ajratilgan to‘plam ostilari jufti-jufti bilan kesish maydi. Boshqacha aytganda,
birinchidan, o‘tkir burchakli uchburchaklar ichida o‘tmas va to‘g‘ri burchakli
uchburchaklar yo‘q, to‘g‘ri burchakli uchburchaklar ichida o‘tkir va o‘tmas
burchakli uchburchaklar yo‘q, shuningdek o‘tmas burchakli uchburchaklar ichida
o‘tkir va to‘g‘ri burchakli uchburchaklar yo‘q.
Ikkinchidan, o‘tkir, to‘g‘ri va o‘tmas burchakli uchburchaklar birlashmasi
uchburchaklar to‘plami to‘plam bilan mos tushadi.
20

To‘plamlarni sinflarga ajratishda sinflar soni chekli yoki cheksiz bo‘lishi
mumkin.
Natural sonlar to‘plamini bir necha usul bilan sinflarga ajratish mumkin.
1. Toq va juft sonlar sinfi;
2. Tub va murakkab sonlar sinfi;
3. Bir xonali, ikki xonali, uch xonali,…, xonali sonlar sinfi:
Bunda 1- va 2- holda sinflar soni chekli; 3- holda sinflar soni chek siz.
Shuning bilan birga berilgan to‘plamning har qanday qism to‘p lam lari
sistemasi ham to‘plamni sinflarga ajratishni ifoda lamasligini qayd qilish kerak.
Agar uchburchaklar to‘plamida teng yonli, teng tomonli, turli tomonli
uchburchaklar to‘plam ostilarini olsak, u holda u to‘p lamni sinflarga ajrata
olmaydi, chunki birinchi shart bajaril maydi, teng yon li va teng tomonli
uchburchaklar to‘plam ostilari kesishadi, ya’ ni hamma teng tomonli uchburchaklar
teng yonli uchbu rchaklardir.
To‘plamlarni bitta, ikkita va uchta xossaga ko‘ra sinflarga ajratish.
To‘plamlarni qism to‘plamlarga ajratish uchun, qism to‘plam elementlarining
xarakteristik xossalarini ko‘rsatish kerak. To‘plamlarni bitta, ikkita, uchta
xossasiga ko‘ra sinflarga ajratishni qaraymiz. Aytaylik, to‘plam va biror α xossa
berilgan bo‘lsin. to‘plam elementlari xossaga ega bo‘lishi ham, bo‘lmasligi
ham mumkin. Bu holda to‘plam o‘zaro kesishmaydigan ikkita va to‘plam
ostilarga ajraladi.
B to‘plam to‘plamning xossasiga ega bo‘lgan elementlari to‘plami,
to‘plam to‘plamning xossasiga ega bo‘lmagan elementlari to‘plami
va
Agar to‘plamning hamma elementlari xossaga ega bo‘lsa, u holda
bo‘ladi, agar A to‘plamning hamma elementlari α xossaga ega bo‘lmasa
bo‘ladi.
Agar va to‘plamlar bo‘sh bo‘lmasa, u holda to‘plamni Eyler-Venn
diagrammasi yordamida quyidagicha tasvirlash mumkin.
21

A
(13-rasm)
Masalan. – auditoriyadagi talabalar to‘plami, – sinovlarni
topshirganlik xossasi bo‘lsa, – sinovlarni topshirgan, esa sinov lar ni
topshirmagan talabalar to‘plami bo‘ladi.
Endi to‘plamni ikkita xossaga ko‘ra sinflarga ajratishni qaraymiz.
to‘plam va xossalar berilgan bo‘lsin. to‘plam elementlari
xossalarga ega bo‘lishi, bo‘lmasligi ham mumkin.
a) xossaga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan elementlar to‘plami
–
1-sinf;
b) xossaga ega bo‘lmagan va xossaga ega bo‘lgan elementlar to‘plami
–
2-sinf;
v) va xossalarga ega bo‘lgan elementlar to‘plami – 3 sinf;
g) va xossalarga ega bo‘lmagan elementlar to‘plami – 4 sinf.
Bu sinflardan ayrimlari bo‘sh to‘plam ham bo‘lishi mumkin. Bu 4 ta sinf
Eyler-Venn diagrammasi yordamida quyidagicha tasvirlanadi.
(14-rasm)
Masalan, – sinf o‘quvchilari to‘plami, – «a’lo o‘qish», –
«intizomli bo‘lish» xossalari bo‘lsin. U holda A – sinfdagi a’lochi;
22
- xossaga ega
-xossaga ega
emas
-xossaga
ega

emas
A
4
4B
1 C
3 2
2

B – sinfdagi intizomli o‘quvchilar to‘plami bo‘ladi. Bunda – sinfdagi
a’lochi, lekin intizomsiz o‘quvchilar; – intizomli, lekin a’lochi
bo‘lmagan o‘quvchilar; – ham a’lochi, ham intizomli o‘quvchilar;
– a’lochi bo‘lmagan va intizomsiz o‘quvchilar to‘plami bo‘ladi.
To‘plamni 3 ta xossaga ko‘ra sinflarga ajratishni qaraymiz.
to‘plam va xossalar berilgan bo‘lsin. to‘plam element lari
xossalarga ega bo‘lishi ham bo‘lmasligi ham mumkin. Bu uchta xossa
to‘plamni sakkizta sinfga ajratishi mumkin.
a) xossaga ega bo‘lgan va xossalarga ega bo‘lmagan ele ment lar
to‘plami – 1 sinf;
b) xossalarga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan ele ment lar
to‘p lami – 2 sinf;
v) xossaga ega bo‘lgan va xossalarga ega bo‘lmagan ele ment lar to‘p -
lami – 3 sinf;
g) xossalarga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan to‘p lami – 4
sinf;
d) xossaga ega bo‘lgan va xossalarga ega bo‘lmagan ele ment lar to‘p -
lami – 5 sinf;
e) xossalarga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan to‘p lam – 6
sinf;
j) va xossalarga ega bo‘lgan to‘plam – 7 sinf;
z) va xossalarga ega bo‘lmagan to‘plam – 8 sinf.
Sinflardan ayrimlari bo‘sh to‘plam ham bo‘lishi mumkin. Bu 8 ta sinf 15-
rasmda tasvirlangan
23A

1 2
3
4
56
87

II BOB. TO‘PLAMLARDA ANIQLANGAN AKSLANTIRIShLAR,
MUNOSABATLAR VA KOMBINATORIKA ELEMENTLARI
2.1. Moslik va munosabatlar. Ikki to‘plam elementlari orasidagi moslik va
uning turlari
Moslik so‘zi kundalik hayotda ko‘p ishlatiladi. «Ob-havoga mos
kiyim», «Bolaning yoshiga mos o‘yinchoq», «Dasturga mos darslik»,
«Mahsulotning naviga mos baho» va hokazo. Keltirilgan misollardan
ko‘rinadiki, moslik ko‘pincha ikki turli ob’yektlar to‘plamlari orasida
o‘rnatiladi. Masalan, «Bolaning yoshiga mos o‘yinchoq» deganda, bola
rivojlanishining turli davrlari bilan barcha bolalar uchun chiqarilgan
o‘yinchoqlar to‘plami orasidagi moslik ko‘zda tutiladi. Yoki talabalar bilan
ularning imtihonda olishi mumkin bo‘lgan ballari to‘plami orasida moslik
berilgan bo‘lsa, imtihondan so‘ng har bir talaba o‘z bilim darajasiga mos
ballga ega bo‘ladi.
Matematikada ikki to‘plam orasidagi moslik «binar moslik» deb
ataladi. «Binar» so‘zi lotincha bis – «ikki marta» so‘zidan olingan. Binar
moslik elementlari berilgan to‘plamlarning bir-biriga mos kelgan
elementlari juftligidan iborat bo‘ladi. Juftlik o‘z navbatida ikki to‘plam
orasidagi dekart ko‘paytma elementi ekanini ham hisobga olsak, moslikka
quyidagicha ta’rif berish mumkin.
2.1.1-ta’rif . dekart ko‘paytmaning istalgan qism to‘plami
to‘plamlar orasidagi binar moslik deyiladi.
Moslik lotin alifbosining kabi harflari bilan belgilanadi va
quyidagicha yoziladi: yoki
Bizga ma’lum bo‘lgan funksiyalarning hammasi moslik tushunchasiga misol
bo‘la oladi.
to‘plam moslikning birinchi to‘plami deyiladi. to‘plamning moslikda
ishtirok etuvchi elementlari to‘plami moslikning aniqlanish sohasi deyiladi.
25

to‘plam moslikning ikkinchi to‘plami deyiladi. to‘plamning moslikda
qatnashgan elementlari to‘plami moslikning qiymatlar to‘plami deyiladi.
to‘plam moslikning grafigi deyiladi. grafik biror
moslikdagi barcha juftliklar to‘plami, bu yerda Ikki
to‘plam orasidagi moslikni nuqtalar va yo‘nalishli kesmalar (strelkalar) yordamida
tasvirlovchi rasmlar moslikning grafi deyiladi.
Chekli to‘plamlar orasidagi moslik graflar yordamida ko‘rgazmali
tasvirlanadi.
Misollar: 1. to‘plamlar orasidagi «kat ta»
mosligining grafigini yasaymiz. Buning uchun berilgan to‘p lamlar elementlarini
nuqtalar bilan belgilaymiz va to‘plam ele ment larini tasvirlovchi nuqtalardan
16-rasm
to‘plam elementlarini tasvir lovchi nuqtalarga strelkalar o‘tkazamiz.
1. Natijada biz X va Y to‘plamlar elementlari orasidagi «katta» mosligiga
ega bo‘lamiz
2.
grafini chizaylik:
17-rasm
Bunda aniqlanish sohasi , qiymatlar to‘plami
Sonli va to‘plamlar elementlari orasidagi moslik koordinata
tekisligidagi grafik yordamida tasvirlanadi.
26

Buning uchun moslikda bo‘lgan barcha sonlar jufti koordinata tekisligida
nuqtalar bilan tasvirlanadi. Buning natijasida hosil bo‘l gan figura moslikning
grafigi bo‘ladi. Yuqoridagi misolni gra fi gini chizamiz.
18-rasm
Moslikni bunday tasvirlash ularni berilgan moslikda cheksiz ko‘p sonlar jufti
bo‘lganda ko‘rgazmali tasvirlash imkonini beradi.
Masalan. va
to‘plamlar orasidagi «katta» mosligini
qaraylik va grafigini yasaylik: Moslikni [AB) va [CD) nurlar ifodalaydi.
19-rasm
Bir qancha misollar keltirsak:
 o r q a l i b e r i l g a n ;
 o r q a l i b e r i l g a n ;
 musbat tub son to‘plami bo‘lsin va
orqaliq: aniqlansin;
 o r q a l i b e r i l g a n ;
 o r q a l i b e r i l g a n ;
 o r q a l i b e r i l g a n ;
 quyidagi orqali berilgan;
=
{ 1 agar n farqli bosh sonlarning juft soni natijasi bo ‘ lsa
− 1 agar n farqli bosh sonlarning toq soni natijasi bo ‘ lsa
0 agar n farqli bosh sonnig natijasi bo ‘ lmasa }
27

Shu sababli, misol uchun . Shuningdek, , ikkita farqli bosh
sonning natijasi kabidir. Shunga o‘xshash,
 o r q a l i b e r i l g a n ;
 quyidagi orqali asvirlangan
Agar moslik bo‘lsa, biz ni ning sohasi, ni esa ning
teskari sohasi deb ataymiz. ning ranggi esa qism
to‘plamdir.

Moslik turlari.
2.1.2-ta’rif. Agar ikkita va to‘plamlar orasidagi mosliklarning
grafigi dekart ko‘paytmasi bilan ustma-ust tushsa, bu moslik to‘la moslik
deyiladi.
2.1.3-ta’rif. Agar moslik grafigi bo‘sh bo‘lsa moslik bo‘sh
moslik deyiladi.
Ixtiyoriy ikkita va to‘plamlar orasida bo‘sh va to‘la mosliklar mavjud
bo‘lishi mumkin.
va dekart ko‘paytma to‘plam ostilari ustida turli xil amallarni bajarish
mumkin.
Masalan, va to‘plamlar orasida berilgan moslik lar
birlashmasi deb, ularning grafiklari birlashmasidan iborat mos likka aytiladiki,
moslik faqat va faqat mavjud bo‘l sa bo‘ladi.
N i h o y a t , moslik o‘rin almashtirish deyiladi, agar u biyeksiya
bo‘lsa. Bundan ko‘rinib turibdiki, agar bo‘lsa, da biyeksiyalar
mavjud.
28

2.1.4-ta’rif. Agar moslikning aniqlanish sohasi birinchi to‘plam bilan
ustma-ust tushsa, moslik hamma yerda aniqlangan deyiladi.
20-rasm
2.1.5-ta’rif. Agar -moslikning qiymatlar to‘plami ikkinchi to‘plam bilan
ustma-ust tushsa, moslik syur’ektiv deyiladi.
21-rasm
2.1.6-ta’rif. Agar moslikda birinchi to‘plamning har bir elementiga
ikkinchi to‘plamning bittadan ortiq bo‘lmagan elementi mos kelsa, moslik
funksional deyiladi.
22-rasm
2.1.7-ta’rif. Agar moslikda ikkinchi to‘plamning har bir elementiga
birinchi to‘plamning 1 tadan ortiq bo‘lmagan elementi mos qo‘yilgan bo‘lsa,
moslik in’ektiv deyiladi.
23-rasm
29а
b
s
d
tzyx
а
b
s
d
tzyx
e
f

2.1.8-ta’rif. Syur’ektiv va in’ektiv moslik bir so‘z bilan biektiv deyila di.
24-rasm
2.1.9-ta’rif. Hamma yerda aniqlangan funksional moslik akslantirish
deyiladi.
25-rasm
2.1.10-ta’rif. to‘plamlar orasidagi f moslik biektiv akslantirish
bo‘l sa, to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rna tilgan deyiladi.
26-rasm
Moslik turlariga misollar keltiramiz.
Misol. Aytaylik, - kiyim iladigan garderobdagi paltolar to‘p lami, esa
shu garderobdagi ilgaklar to‘plami bo‘lsin.
Agar har bir palto ilgakga ilinib turgan bo‘lsa (polda yotmasdan) u holda
to‘plam to‘plamga akslantirish bo‘ladi.
Agar bu akslantirishda har bir ilgakka bittadan ortiq palto ilinmagan bo‘lsa
(bo‘sh ilgaklar ham bo‘lishi mumkin), bu akslantirish in’ektiv bo‘ladi.
Agar hamma ilgaklar band bo‘lsa (bunda ayrim ilgaklarda bittadan ortiq
paltolar ilingan ham bo‘lishi mumkin), bu akslantirish syur’ektiv bo‘ladi.
Agar har bir ilgakda bittadan palto ilingan bo‘lsa (o‘zaro bir qiymatli), bu
akslantirish biektiv bo‘ladi.
30

2.1.11-ta’rif. to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik
o‘rnatilgan bo‘lsa, bu to‘plamlar teng quvvatli deyiladi va qisqacha
ko‘rinishda yoziladi.
Masalan. Agar bo‘lsa, u holda
bo‘ladi, chunki, to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik
o‘rnatish mumkin.
2.1.12-ta’rif. Barcha natural sonlar to‘plami ga teng quvvatli to‘plamlar
sanoqli to‘plam deyiladi.
27-rasm
Masalan.
bo‘lsa, moslik to‘plamlar orasidagi o‘zaro bir qiymatli moslik
bo‘ladi.
Chekli va cheksiz to‘plamlar elementlari soni to‘plam quvvati deb
atalgan edi va kabi belgilangan. O‘zaro bir qiymatli
moslik o‘rnatish yordamida chekli va cheksiz to‘plamlar quvvatini
taqqoslash mumkin.
Agar istalgan cheksiz to‘plamning har bir elementiga biror qoida
yordamida bittadan natural sonni mos keltira olsak, bu to‘plam elementlari
natural sonlar yordamida nomerlab chiqilgan bo‘ladi va bunday to‘plam
sanoqli to‘plam hisoblanadi. Natural sonlar to‘plamining istalgan cheksiz
qism to‘plami sanoqlidir.
Masalan, barcha juft sonlarni quyidagicha nomerlab chiqamiz:
31

Xatto barcha butun sonlar to‘plami ham sanoqli ekanini ko‘rsatish
mumkin.
(III) ni hosil qilish orqali funksiyasini aniq -
lang. ni asos qilish orqali
dagi
ekvivalentlik munosabatini aniqlang. E’tibor beringki, bu deyish
bilan bir xil. Shunday ekan, ekvivalentlik sinflari f moslikning aslidan boshqa
narsa emas. Yuqoridagi ko‘rsatilgan shartlar ko‘rinishida ifodalansa,
biz ekvivalentlik sinflarini tasavvur qila olamiz, bu ekvivalentlik sinflari
Dekart tekisligidagi turlicha og‘gan to‘g‘ri chiziqlar to‘plamidan iborat.
Yakuniy ta’rif quyidagicha bo‘ladi. to‘plam bo‘lsin va dagi
ekvivalentlik munosabati bo‘lsin. faktor top`lam dagi ekvivalentlik
sinflari bo‘ladi. Belgilanishi:
.
Biz bu bo‘limni nihoyatda muhim faktor to‘plam bilan xulosalaymiz.
bo‘lsin, esa “ ” bo‘lsin. odatda mos keluvchi faktor to‘plam uchun
yoziladi. Ya’ni,
2.2. To‘plamdagi munosabatlar va ularning xossalari (ekvivalentlik va tartib
munosabatlari)
To‘plam elementlari orasidagi munosabat. Biz to‘plamlarni
o‘rganganda ularni taqqoslab, ular kesishadi yoki teng, yoki biri ikkinchisining
qismi deb to‘plamlar orasidagi muno sabatlarni qaradik. Natural sonlar to‘plamini
qaraganda sonlar orasidagi turli-tuman bog‘lanishlarni ko‘ramiz. Masalan, 7 soni 6
sonidan katta, 12 soni 9 sonidan 3ta ko‘p, 3 soni 2 sonidan keyin ke la di va hokazo.
32

Xuddi shunga o‘xshash, geometriyada figuralarning tengligi va o‘xshashligi,
to‘g‘ri chiziqlarning parallelligi va perpendi ku lyarligi kabi munosabatlar qaraladi.
Bulardan ko‘rinadiki, matematikada asosan, ikki ob’yekt orasidagi
munosabat qaraladi, bunga binar munosabatlar deyiladi. Yuqorida ko‘rib o‘tilgan
munosabatlar orasida umumiylik bormi, yo‘qmi degan masalani qarasak, u yoki bu
munosabatlarni qarashda biz berilgan to‘plamlar sonlaridan tashkil topgan
tartiblangan juftliklar bilan amallar bajarishni ko‘ramiz.
Masalan: to‘plamda 1 ta ko‘p munosabatini qarasak, «5 soni 4
sonidan 1 ta ko‘p», «6 soni 5 sonidan 1 ta ko‘p». Shu to‘p lam da katta munosabatni
qarasak Shunga o‘x shash kichik munosabatini qarasak
«4 soni 5 sonidan 1 ta kam», «5 soni 6 sonidan 1 ta kam».
Keltirilgan misoldagi «1 ta ko‘p» munosabat uchun
to‘plam, «katta» munosabati uchun to‘plam, «kichik»
munosabati uchun to‘plamlarga ega bo‘lamiz. Bu to‘plamlar
esa elementlari to‘plam elementlaridan hosil qilingan sonlar
juftliklari to‘plami bilan aniqlanadi. Boshqacha aytganda, bu to‘plamlar
to‘plam Dekart ko‘payt masi ning elementlaridan tashkil topgan qism
to‘plamlardir, ya’ni
Bundan ko‘rinadiki, ko‘rib o‘tilgan munosabtlar Dekart ko‘paytmaning
qism to‘plami bilan aniqlanar ekan.
2.2.1-ta’rif. to‘plamning istalgan qism to‘plamiga binar mu no -
sabat deyiladi. Binar munosabatlar lotin alfavitining bosh harf lari
bilan belgilanadi.
Boshqacha aytganda, to‘plam elementlari orasidagi muno sabat deb
juftlikka aytiladi , bu yerda .
Agar to‘plamda berilgan munosabatda elementga
element mos kelsa, « element element bilan munosabatda» deyiladi va
deb yoziladi, bu yerda .
33

Xususiy holda teng to‘plamlar orasidagi moslik to‘plam ele -
mentlari orasidagi binar munosabat deyiladi. odamlar to‘plami bo‘l sa,
unda «do‘st bo‘lmoq», «bitta shaharda yashamoq», «qarin dosh bo‘lmoq»
kabi munosabatlar bo‘ladi. Sonlar orasida «teng», «kat ta», «kichik»,
«karrali», «katta emas», «bo‘luvchisi» va h. k. mu no sabatlar, geometrik
shakllar to‘plamida «tengdoshlik», «paral lellik», «perpendikularlik» va
boshqa munosabatlar haqida gapirish mumkin.
Matematikada binar munosabatlar kabi
belgilar orqali berilgan.
butun sonlar to‘plamida munosabatni qaraylik.
Ma’lumki, butun sonlarini natural soniga bo‘lishda bir xil
qoldiq hosil bo‘lsa, sonlari modul bo‘yicha taqqoslanadigan (teng
qoldiqli) sonlar deyiladi va ko‘rinishda belgilanadi. soniga
modul bo‘yicha taqqoslanishini ifodalovchi bog‘lanish
taqqoslama deb o‘qiladi.
Masalan: bo‘lgani uchun .
Yoki, agar bo‘ladi.
Shu narsa ma’lumki, taqqoslama ayirma m ga
qoldiqsiz bo‘lingandagina o‘rinli bo‘ladi.
E’tibor beringki, bo‘lsa, 7 modul bo‘yicha taqqoslanadigan butun
sonlarninig umumiy ko‘rinishi shaklda bo‘ladi, bu yerda
To‘plamdagi munosabatning grafi va grafigi. Munosabatlarni graflar yordamida
ko‘rgazmali tasvirlash mum kin. Masalan: to‘plam elementlari
uchun «kar rali» mu no sabatini ko‘ramiz va uning grafini chizamiz (1.28-rasm). 18
soni 3 ga karrali, 18 soni 6 ga karrali, 18 soni 9 ga karrali va ho ka zo. X
34

to‘plamdagi ixtiyoriy son o‘z-o‘ziga karrali bo‘lgani uchun oxiri ustma-ust
tushadigan strelkalar mavjud. Bunday strelkalar halqalar deyiladi.
28-rasm
Munosabat grafi chekli to‘plamlar uchun quyidagicha chiziladi:
to‘plam elementlari nuqtalar bilan belgilanadi, mos elementlar strelkalar
bilan tutashtiriladi. Masalan, to‘plam elementlari
orasida munosabat berilgan. U quyidagi juftliklar to‘plami orqali
ifoda qilinadi:
Uning grafi 1.28-rasmdagi ko‘rinishda bo‘ladi.
Yoki to‘plamda »
29-rasm
munosabati berilgan bo‘lsin. Munosabat grafida birinchisi
ikkinchisiga karrali sonlar juftligidan iborat bo‘ladi.
munosabat grafida juftlikni ko‘rsatuvchi strelkaning boshi ham, oxiri
ham bitta nuqtada bo‘ladi, bunday strelkani «halqa» deb ataymiz.
Munosabat grafi 29-rasmdagi kabi chiziladi.
Munosabat xossalari.
35

2.2.2-ta’rif. Agar to‘plamning har bir elementi o‘z-o‘zi bilan
munosabatda bo‘lsa (ya’ni, bajarilsa), u holda munosabat to‘plamda
refleksiv deyiladi.
Masalan, munosabatlar refleksivdir.
Refleksiv munosabat grafida har bir element atrofida halqa bo‘ladi
(2.5-banddagi 2 -misol).
2.2.3-ta’rif. Agar to ‘plamning birorta ham elementi uchun
bajarilmasa, u holda munosabat to ‘plamda antirefleksiv deyi ladi.
Masalan, munosabatlar antirefleksivdir.
Antirefleksiv munosabat grafida birorta ham halqa bo‘lmaydi (2.5-
banddagi 1 -misol).
2.2.4-ta’rif. Agar to‘plamda munosabat berilgan bo‘lib,
bir vaqtda bajarilsa, simmetrik munosabat deyiladi.
Masalan, munosabatlari simmetrikdir. Sim -
metrik munosabat grafida har bir strelkaga parallel qaytuvchi strel ka
bo‘ladi.
2.2.5-ta’rif. Agar to‘plamda berilgan munosabatda xRy va yRx
shart lardan faqat bittasi o‘rinli bo‘lsa, munosabat asimmetrik mu no -
sabatdeyiladi.
Masalan, munosabatlari asimmetrikdir.
Asimmetrik munosabat grafida birorta ham halqa va qaytuvchi
strelkalar bo‘lmaydi.
2.2.6-ta’rif. Agar to‘plamda munosabat uchun shart lar
faqat bo‘lgan holda bajarilsa, u holda antisi m met rik munosabat
deyiladi.
Masalan, , « soni sonining bo‘luvchisi» ka bi
munosabatlar antisimmetrik munosabat bo‘ladi. Antisimmetrik muno sabat
grafida halqalar bo‘ladi, lekin qaytuvchi strelkalar bo‘l maydi.
36

2.2.7-ta’rif. Agar to‘plamda berilgan munosabat uchun
ekanligi kelib chiqsa, u holda munosabat tran -
zitiv deyiladi (30-rasm).
30-rasm
Masalan, kabi munosabatlar tran zi -
tivdir. Tranzitiv munosabat grafida ga boruvchi strelkalar
bo‘lsa, albatta ga boruvchi strelka ham bo‘lishi ke rak.
Munosabatlarning xossalarini ajratib ko‘rsatish uchun matematikada
yuqorida aytib o‘tilgan munosabatlarni kesmalar to‘plamida graflar yordamida
tasvirlaymiz. kesmalar berilgan bo‘lsin (33- a, b, v, g rasmlar).
31-rasm
Bu munosabat:
1) Refleksiv, chunki ixtiyoriy kasr o‘z-o‘ziga teng;
2) Simmetrik, chunki kasrning kasrga tengligidan kasrni kasrga
tengligi ham kelib chiqadi;
3) Tranzitiv, chunki kasrning y kasrga va kasrning kasrga
tengligidan kasrning kasrga tengligi kelib chiqadi.
37

i. Agar to‘plamda ekvivalentlik munosabati berilgan bo‘lsa, u holda
bu munosabat to‘plamni juft-jufti bilan kesishmaydigan qism to‘plamlariga
ajratadi. Yuqoridagi misolimizda qism to‘plamlar
ii. .
Bu qism to‘plamlar juft-jufti bilan kesishmaydi va qism to‘plam lari ning
birlashmasi birlamchi misolda berilgan to‘plam bilan ustma-ust tushadi.
4-misol. butun sonlar to‘plamida muno sa bat ni
qaraylik. Bu munosabat bo‘lganda to‘plamni ekvivalent 7 ta sinfga
ajratadi:

(I). – haqiqiy sonlar to‘plamidagi " " munosabati bo‘lsin. Bundan kelib
chiqadiki, .
(II). m natural sonini olamiz va eslatib o‘tamizki, agar , va
bo‘lsa, demak ga karrali. butun sonlar to‘plamidagi munosabat
quyidagicha aniqlangan bo‘lsin:
E`tibor beringki, biz bu munosabat bilan 1.4.3.- bo‘limda tanishgan edik.
(III). to‘plamning barcha 2-elementli toplam
ostilaridan iborat bo‘lsin. munosabatni ko‘rinishda
belgilaymiz. Bu misolda ni hisoblah mumkinmi (quyidagi 3-mashqqa qarang)?
38

(IV). Haqiqiy sonlar o‘qi munosabatni kabi
aniqlaymiz. soniga mos elementni toping.
-haqiqiy to‘plamdagi munosabat bo‘lsin. Quyidagi 3 ta xossa bajarilsa,
ni ekvivalentlik munosabati deyiladi:
refleksiv: ixtiyoriy uchun;
simmetrik: ;
tranzitiv:
Yuqorida keltirilgan 4 ta misoldan (II) va (IV) dagi munosabatlar
ekvivalentlik munosabati bo‘ladi. (I) misolda berilgan munosabat refleksiv ham,
simmetrik ham emas: ( х < х har qanday haqiqiy son uchun yolg‘on, 1<2, lekin 2≤ 1).
Shunga qaramay, bu munosabat tranzitivligini oson isbotlash mumkin. Qolgan
hollarni misollarda qaraymiz.
S biror to‘plam va R S dagi ekvivalentlik munosabati bo‘lsin. Ixtiyoriy
uchun to‘plamni ko‘rinishda aniqlaymiz va
bu to‘plamni S dagi ni o‘z ichiga oluvchi ekvivalentlik sinflari deb ataymiz.
Eslatma. Agar bo‘lsa, so‘ng , chunki ekvivalent, S ning
aynan bir xil elementlaridir.
Tartib munosabati. Endi tartib munosabatini qaraymiz.
«Tartib» so‘zi kundalik hayotimizda doimo uchraydi. Masalan, jismoniy
tarbiya darslarida talabalarning bo‘y-bo‘yiga qarab joy lashishi tartibi, o‘zbek
alfavitida harflarning kelish tartibi va hoka zo.
2.2.8-ta’rif. Agar to‘plamdagi munosabat tranzitiv bo‘lsa va
simmetrik bo‘lmasa, u holda bu munosabat tartib munosabati deyi ladi. to‘plam
esa tartib munosabati bilan tartiblangan deb ataladi.
Masalan, to‘plamni «kichik» munosabati yorda mi da
tartiblash mumkin. Boshlang‘ich ta’limning birinchi sinfi da o‘quvchilar «katta» va
«kichik» munosabatlari bilan keyin chalik esa kesmalar uchun «uzun» va «qisqa»
39

munosabatlari bilan tanisha dilar. Bu munosabatlar yordamida sonlar va kesmalar
to‘plamida tar tib o‘rnatiladi.
Tartib munosabati qat’iy va noqat’iy tartib munosabatiga bo‘li nadi va bu
bo‘linish munosabatning asimmetrik yoki antisimmetrik bo‘lishi bilan bog‘liq.
«Katta» va «kichik» munosabatlari qat’iy tartib munosabati bo‘lsa, «katta emas»
va «karrali» munosabatlari noqat’iy tartib munosabati hisoblanadi.
Teorema . to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati,
ekvivalentlik sinflari bo‘lsin. U holda yoki , bu yerda sRs′, yoki
, qachonki .
Isbot. Faraz qilaylik, bo‘lsin, aytish mumkinki, shunday t
element topiladiki, bo‘ladi. Shuning uchun o‘rinli
ekanligidan, simmetriklik asosida o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.
Tranzitivlikdan foydalanib ko‘ramizki, ning ekvivalentligini yoki S
dagi aynan bitta element ekanini bildiradi. Bundan ekanligi kelib chiqadi.
Yagona boshqa imkoniyat dan iborat bo‘lib, bu holda ekanligi
o‘z-o‘zidan ma`lum bo‘ladi.Yuqorida amalga oshirilgan isbot natijasida shuni
ko‘ramizki, to‘plamdagi munosabatning ekvivalentligi to‘plamni kesishmay -
digan ekvivalentlik sinflariga ajratar ekan.
2.3. Chekli to‘plamlarda takrorlanadigan va takrorlanmaydigan
o‘rinlashtirishlar hamda o‘rin almashtirishlar
Takrorlanadigan o‘rinlashtirishlar.
Masala. elementli to‘plam elementlaridan tuzilgan
uzunlikdagi kortejlar sonini toping.
Yechish. o‘rinli kortej dekart
ko‘paytmaning elementi bo‘lib, tartiblangan k-likni (ka-lik deb o‘qiladi)
40

bildiradi. Masalani yechish uchun dekart ko‘paytma
elementlari sonini topish kerak. Bu son bo‘lgani uchun
ga teng.
Demak, m elementli X to‘plam elementlaridan tuzilgan k o‘rinli
kortejlar soni ga teng ekan. Kombinatorikada bunday kortejlarni m
elementdan k tadan takrorlanadigan o‘rinlashtirishlar deyiladi. Ularning soni
A
mk
bilan belgilanadi. (A – fransuzcha arrangement so‘zining bosh
harfidan olingan bo‘lib, «o‘rnashtirish, joylashtirish ma’nosini bildiradi.)
= .
Masala . 6 raqamli barcha telefon nomerlari sonini toping .
Yechish . Telefon nomerlari 0 dan 9 gacha bo ‘ lgan 10 ta raqamdan
tuzilgani uchun 10 elementdan tuzilgan barcha tartiblangan 6 o ‘ rinli
kortejlar sonini topamiz :
Javob: . 6 raqamli telefon nomerlari soni 10 6
ga
teng.
Takrorlanmaydigan o‘rin almashtirishlar. Agar chekli X
to‘plam
elementlari biror usul bilan nomerlab chiqilgan bo‘lsa, X to‘plam
tartiblangan deyiladi.
to‘plam berilgan bo‘lsin. Bu to‘plamni turli usullar
bilan tartiblash mumkin.
Masalan, sinf o‘quvchilarini yoshiga, bo‘yiga, ogirligiga qarab yoki
o‘quvchilar familiyalari bosh harflarini alifbo bo‘yicha tartiblash mumkin.
elementli X to‘plamni necha xil usul bilan tartiblash mumkin degan
savolga javob beraylik.
Tartiblash – bu elementlarni nomerlash demakdir. 1-nomerni ta
elementning istalgan biriga berish mumkin. Shuning uchun
41

1-elementni usul bilan, 2-elementni 1-element
tanlanib bo‘l gan dan so‘ng usul bilan tanlash
mumkin va hokazo, oxirgi elementni tanlash uchun
faqat bitta usul qoladi, xolos. Tartiblash lar ning
umumiy soni
ga teng.
– dastlabki ta natural son ko‘paytmasi (m faktorial deb o‘qiladi).
Masalan, bilan belgilanadi va takrorlanmaydigan
o‘rin almashtirishlar soni deb ataladi.
O‘rin almashtirishlarni o‘rinlashtirishlarning xususiy xoli deb qarash
mumkin bo‘lgan holi.
P belgisi fransuz tilidagi “permutation”, ya’ni “o‘rin almashtirish” so‘zining
1- harfidan olingan
Masala. 8 ta ladyani shaxmat doskasida bir-birini urmaydigan qilib necha
usul bilan joylashtirish mumkin?
Yechish. Ladyalar soni 8 ta.
O‘rin almashtirishlarning ba’zi qiymatlari:
ta’rif bo‘yicha!
Takrorlanmaydigan o‘rin lash tirishlar. Umumiyroq masa lani ko‘rib
chiqaylik: m elementli X to‘plamdan nechta tartiblangan k elementli
to‘plamlar tuzish mumkin?
Bu masalaning oldingi masaladan farqi shundaki, tanlash k - elementda
tugatiladi. Ularning umumiy soni
ko‘paytmaga teng. U bilan belgilanadi va elementdan
k tadan takrorlanmaydigan o‘rinlashtirishlar soni deb ataladi:
42

Bu yerda .
Masalan, sinfdagi 20 o‘quvchidan tozalik va davomat uchun javob
beruvchi 2 o‘quvchini necha xil usul bilan tanlash mumkin?
(usul bilan).
2.4. Takrorlanmaydigan guruhlashlar. Chekli to‘plamlarning to‘plam
ostilari sonini aniqlash
Takrorlanmaydigan guruhlashlar. «m elementli X to‘plamning
nechta k elementli qism to‘plamlari bor?» – degan masalani hal qilaylik.
Masalan, 4 elementli to‘plamning nechta 3 elementli
qism to‘plami borligini ko‘raylik. Ular
. Demak, 4 ta shunday qism
to‘plam bor ekan. Bunday qism to‘plamlar takrorlanmaydigan guruhlashlar
deb ataladi. Bu qism to‘plamlarni tartiblaganda 6 barobar ko‘proq 3 o‘rinli
kortejlarga ega bo‘lamiz.
Masalan, ni tartiblasak:
tartiblangan uchliklarga ega
bo‘lamiz, tartiblanishlar soni marta ko‘p. Bu bog‘lanishdan
foydalanib, guruhlashlar sonini topish formulasini keltirib chiqarish
mumkin.
m elementli to‘plamning k elementli qism to‘plamlari soni bilan
belgilanadi va m elementdan k tadan takrorlanmaydigan guruhlashlar soni
deyiladi. (C – fransuzcha combinaison – «birik ma» so‘zidan olingan.)
Takrorlanmaydigan guruhlashlar soni uchun
formulaga ega bo‘lamiz.
Masala. Sinfdagi 20 o‘quvchidan ko‘rikda ishtirok etish uchun uch
o‘quvchini necha xil usul bilan tanlash mumkin?
43

Yechish. Ko‘rik ishtirokchilarining tartibi ahamiyatga ega bo‘l magani
uchun 20 elementli to‘plamning 3 elementli qism to‘p lam lari soni
nechtaligini topamiz:
Javob: 3 o‘quvchini
1140 usul bilan tanlash mumkin ekan.
N ta elementdan r tadan olingan ob’yektlar kombinatsiyasi soni shu vaqtda
N ta elementan r tadan elementni o‘rnini almashtirmasdan hosil qilingan to‘plam
ostilari soniga teng. Biz buni ushbu ko‘ri nish da yozamiz .
Biz bu holatda
tanlashlar tartibini qaramay miz. Misol uchun sonlar to‘plamini
qaraymiz. Ikki ele ment li almashtirishlarsiz tanlashlar soni ga teng. Bu aniq
. 4ta elementdan 2 tadan
kombinatsiyasi va uning soni oltiga teng. E’tibor
bering ta elementli A to‘plam r o‘lchamli t a to‘plam
ostiga ega.
Shunday qilib biz ga ega bo‘lamiz.
ko‘rinishdagi sonlarning xossalari.
1.
2.
3.
1-xossani isbot qilish uchun formuladan foydalanamiz:.

44

Xossaga ko‘ra, va h. k.
2-xossaning isboti.
2°-va 3°-xossalardan foydalanib, ko‘rinishdagi sonlarning
qiymatini ketma-ket hisoblash mumkin.
Paskal uchburchagi va Nyuton binomi .
3°-xossaga ko‘ra . Bundan 2° ga ko‘ra
ko‘rinishdagi sonlarni Paskal uchburchagi ko‘rinishida joylashtirish
mumkin. Har bir son o‘zining tepasidagi ikkita son yig‘indisidan iborat.
.
45

Har bir qatordagi sonlar ko‘phadning yoyilmasidagi binomial
koeffitsiyentlarga teng. Ularning yig‘indisi elementli to‘plamning
barcha qism to‘plamlari sonini beradi.
Chekli to‘plam qism to‘plamlari soni . 2 el е m е ntli to‘plamning
hammasi bo‘lib nechta qism to‘plami b о r degan savolga javob beraylik. Ular 1 ta
bo‘sh, 2 ta 1 el е m е ntli va 1 ta 2 el е m е ntli, ya’ni X to‘plamning o‘zidan ib о rat
bo‘lgan qism to‘plamlardir. Jami: . D е mak, 2 el е m е ntli to‘plamning
hammasi bo‘lib 4 ta qism to‘plami b о r ekan
Quvvati n ga teng bo‘lgan A to‘plamning to‘plam ostilari soni 0 elementli, 1
elementli, 2 elementli, 3 elementli, …, n elementli toplam ostilari sonining
yig‘indisidan iborat bo‘ladi.
Masalan to‘plam quvvati . To‘plam
ostilari soni 0 elementli, 1 elementli, 2 elementli, 3 elementli, 4 elementli, 5
elementli, 6 elementli, 7 elementli, 8 elementli toplam ostilari sonining
yig‘indisidan iborat
A to‘plamning barcha qism to‘plamlarini 0 va 1 lardan iborat ketma-ketlik
bilan ifodalash mumkin. Agar element qism to‘plamga tegishli bo‘lsa, 1 bilan,
tegishli bo‘lmasa, 0 bilan almashtiramiz. Masalan qism to‘plamini
kabi shifrlash mumkin. Barcha shunday kortejlar soni

ga teng.
Demak, elementli to‘oplamning barcha qism to‘plamlari soni
ga
teng ekan.
Umumiy holda chekli elementli to‘plamning barcha qism
to‘plamlari sonini topish masalasini qo‘yaylik. Uni hal qilish uchun istalgan
tarzda to‘plamni tartiblaymiz. So‘ng har bir qism to‘plamni m o‘rinli
kortej sifatida shifrlaymiz: qism to‘plamga kirgan element o‘rniga 1,
kirmagan element o‘rniga 0 yozamiz. Shunda qism to‘plamlar soni 2 ta
elementdan tuzilgan barcha m o‘rinli kortejlar soniga teng bo‘ladi: .
46

Bundan, 4 elementli to‘plam to‘plam ostilari soni ga, 3 elementli
to‘plamning to‘plamostilari soni ga tengligi kelib chiqadi. Shu bilan
birga bu son Paskal uchburchagining 4-qatoridagi sonlar yig‘indisiga ham
teng, ya’ni .
Umumiy holda: .
47

$XULOSA “To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda akslantirishlar” mavzusida olib borilgan tadqiqotlar va il мий -nazariy tahlillar asosida quyidagi muhim xulosalarga kelindi: 1. To‘plam tushunchasining fundamental tabiati: To‘plamlar nazariyasi zamonaviy matematika, informatika va mantiq fanlarining asosi hisoblanadi. Tadqiqot davomida to‘plam tushunchasi muayyan umumiy belgi yoki xossaga ko‘ra birlashtirilgan obyektlar majmuasi sifatida o‘rganildi. To‘plamlarning berilish usullari (elementlarini sanab ko‘rsatish va xarakteristik xossa yordamida berish) chekli va cheksiz to‘plamlar uchun turlicha samaradorlikka ega ekanligi asoslandi. 2. Algebraik amallarning mantiqiy tuzilishi: To‘plamlar ustida bajariladigan asosiy amallar – birlashma (A ∪ B), kesishma (A ∩ B), ayirma (A \ B) va universal to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plam (A') tushunchalarining matematik tabiati Venn diagrammalari va mantiqiy operatorlar yordamida chuqur tahlil qilindi. Bu amallar ustida bajariladigan qonuniyatlar (kommutativlik, assotsiativlik, distributivlik va De Morgan qonunlari) matematik mulohazalarni soddalashtirishning eng universal mexanizmi ekanligi ko‘rsatildi. 3. Dekart ko'paytma va uning geometrik talqini: Ikki va undan ortiq to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi (A × B) elementlar tartiblangan juftliklaridan iborat yangi to‘plamni hosil qilishi isbotlandi. Bu tushunchaning geometrik talqini elementar matematikadagi koordinatalar sistemasidan tortib, funksiya grafiklari va ko‘p o‘lchovli fazolarni modellashtirishgacha bo‘lgan jarayonlarning poydevori bo‘lib xizmat qiladi. 4. Klassifikatsiya va sinflarga ajratish mexanizmi: To‘plamni o‘zaro kesishmaydigan to‘plam ostilariga ajratish (to‘plamning bo‘linishi) tushunchasi ob’yektlarni tizimlashtirish va klassifikatsiya qilishda (masalan, sonlar to‘plamini juft va toq sonlarga ajratish) eng muhim pedagogik va ilmiy vositadir. 5. Akslantirishlar va munosabatlar nazariyasi: Ikki to‘plam orasidagi mosliklar va akslantirish turlari (in’eksiya, syur’eksiya va bi’eksiya) tahlil qilindi. 48$

Akslantirish tushunchasi funksiya tushunchasining umumlashtirilgan ko‘rinishi
bo‘lib, u to‘plamlar quvvatini (ekvivalentligini) aniqlashda asosiy mezon
hisoblanadi. To‘plamda aniqlangan ekvivalentlik munosabati (refleksivlik,
simmetriklik, tranzitivlik) to‘plamni ekvivalentlik sinflariga ajratsa, tartib
munosabati elementlarni tizimlashtirish imkonini beradi.
6. Kombinatorika va chekli to‘plamlar o‘rtasidagi bog‘liqlik: Kurs ishining
yakuniy qismida chekli to‘plamlar elementlari ustida kombinatorika elementlari
(o‘rinlashtirish, o‘rin almashtirish va guruhlash) amaliy qo‘llanildi.
Takrorlanadigan va takrorlanmaydigan holatlar uchun matematik formulalar
tizimlashtirildi. Shuningdek, quvvati n ga teng bo‘lgan ixtiyoriy chekli
to‘plamning barcha to‘plam ostilari soni (bular ichida bo‘sh to‘plam va
to‘plamning o‘zi ham bor) har doim 2ⁿ ga teng bo‘lishi kombinatorik qonuniyatlar
orqali qayta isbotlandi.
Umuman olganda, to‘plamlar va akslantirishlar nazariyasini mukammal
o‘zlashtirish bo‘lajak pedagoglar uchun maktab matematika kursidagi
"Funksiyalar", "Tenglamalar va tengsizliklar sistemasi", "Ehtimollar nazariyasi"
kabi murakkab bo‘limlarni o‘quvchilarga tizimli va mantiqiy izchillikda
tushuntirib berishda yuksak kasbiy-metodik ahamiyat kasb etadi.
49

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
I. О‘zbekiston Respublikasi Prezidenti asarlari:
1. Mirziyoyev Sh.M. Buyuk kelajagimizni mard va oliyjanob xalqimiz bilan
birga quramiz T.: O’zbekiston 2017 yil
2. Karimov I.A. O`zbekiston XXI asrga intilmoqda. T., O`zbekiston, 2000
yil
3. Mirziyoyev Sh.M. Tanqidiy tahlil qatiy tartib-intizom va shaxsiy
javobgarlik-har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo`lishi kerak T.:
O’zbekiston 2017 yil
II. Ilmiy-uslubiy adabiyotlar:
1. Safarova R O ` zbekiston Respublikasida umumiy o ` rta ta ` lim strategiyasi
muommolari va ta ` lim mazmunining yangi modellari , ularni tadbiq etish yo ` llari .
T.: . Fan. 2005yil
2. Farberman B.L. Oliy ta`limda o`qitishning zamonaviy usullari T.: 2002-
yil
3. Jumayev M.E. Boshlang`ich sinflarda matematika o`qitish metodikasi. T.:
2005yil
4. Roziqov O. Didaktika T.: Fan. 1997yil
5. Abduqodirov A.A., Astanova F.A., Abduqodirov F.A. Nazariya, amaliyot
va tajriba T.: Tafakkur qanoti 2012 yil
6. Jumayev E.E. Boshlang’ich matematika nazariyasi va metodikasi T.:
Turon - Iqbol 2012 yil
7. Ahmedov M., Abdurahmonova N., Jumayev M. Matematika 1-sinf
Turon–iqbol T., 2016 yil
8. Abdurahmonova N. O`rinboyeva L. Matematika 2-sinf II-nashr Yangiyo`l
Poligraf servis T., 2016 yil
9. Burxonov S., Xudoyorov O`., Norqulova Q. Matematika 3-sinf Sharq
nashriyot Matbaa Aksiyadorlik kompaniyasi T., 2016 yil
50

10. Bikbayeva N.U., Yangiboyeva E. Matematika 4-sinf O`qituvchi, 2015 yil
11. Mardanova F. I. Matematikadan test topshiriqlari 3-sinf. O`qituvchi, T.:
2016 yil
12. Bozorova.M.Q, Norpo‘latova. X.A, Olimov.Q.T Ta’limni faollfshtiruvchi
metodlar. O‘quv qo‘llanma. Termiz, 2011yil
13. Burxonov S., Xudoyorov O`., Norqulova Q. Matematika 3-sinf Sharq
nashriyot Matbaa Aksiyadorlik kompaniyasi T., 2014 yil.
14. Bikbayeva N. U. Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitish metodikasi
T.: O’qituvchi, 1996 yil
15. Jumayev M. E., Tadjieva Z. G’. Boshlang’ich sinflarda matematika
o’qitish metodikasi T.: 2005 yil
16. Jumayev M.E., Tadjiyeva Z.G’. Boshlang’ich sinflarda
matematikadan fakultativ darslarni tashkil etish metodikasi T.: TDPU
2005 yil
17. Jumayev M.E. Bolalarda matematik tushunchalarni rivojlantirish
nazariyasi va metodikasi (KHK uchun) T.: Ilm-Ziyo 2005 yil
18. Toshmurodov B. Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitishni
takomillashtirish T.: O’qituvchi, 2000 yil
19. Jumayev M. E. Matematika o’qitish metodikasidan praktikum T.:
O’qituvchi 2004 yil
20. Yo’ldoshev J. G’. Usmonov S. A. Pedagogik texnologiya asoslari T.:
O’qituvchi, 2004 yil
21. Jo’rayev R. Zunnunov A. Ta’lim jarayonida o’quv fanlarini
integratsiyalash T.: Sharq, 2005 yil
19. Suvonqulov A. K. Hamzayev H. X. Boshlang’ich sinflarda matematika
o’qitish metodikasidan amaliy mashg’ulotlar Jizzax, 2006 yil
22. Suvonqulov A. K. Hamzayev H. X. Boshlang’ich sinflarda matematika
darslarida didaktik o’yinlar Jizzax, 2007 yil
23. Ibragimov X. I. va boshqalar Pedagogik- psixologiya T.: O’zbekiston
51

faylasuflar milliy jamiyati nashriyoti, 2009 yil
24. Yo’ldoshev J. Yo’ldosheva F. Yo’ldosheva G. Interfaol ta’lim sifat
kafolati T.: 2008 yil
III Internet materiallari:
25 . http://www.ziyonet.uz/
52

Sotib olish

O'xshash dokumentlar
Tekislikda kordinatalar metodi 26
Sonli qatorlar 26
Sonli qatorlar 2-variant
Sonlar ketma-ketligi va uning xossalari 26
Sonlar ketma-ketligi va uning xossalari 2-variant

Dokument ma'lumotlari

Sotuvchi

To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda akslantirishlar 26

O'xshash dokumentlar