Sonli qatorlar - Алгебра - Курсовые работы

Информация о документе

Цена	40000UZS
Размер	150.5KB
Покупки	0
Дата загрузки	31 Октябрь 2026
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

DocX Seller

Дата регистрации 31 Октябрь 2026

0 Продаж

Sonli qatorlar

Купить

O
’
Z
B
E
K
I
S
T
O
N

R
E
S
P
U
B
L
I
K
A
S
I

R E J A
1.Asosiy tushunchalar
2.Yaqinlashuvchi qatorlar. Koshi teoremasi
3. Musbat qatorlar
Xulosa
Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati
2

Asosiy tushunchalar
Biz mazkur bobda, sonli qatorlarni, ularning yaqinlashishi, uzoqlashishi,
yaqinlashish alomatlari hamda yaqinlashuvchi qatorlarning xossalarini
o’rganamiz.
Ushbu a 1 , a 2 , a 3 , , a n , 
haqiqiy sonlar ketma — ketligi berilgan bo’lsin.
1 — ta’rif. Quyidagi
a 1a 2a 3a n
( 2 )
ifoda qator ( sonli qator ) deb ataladi. Uni kabi belgilanadi:
a 1a 2a 3a n
.
( )1 ketma–ketlikning
a 1 , a 2 , a 3 ,, a n , elementlari qatorninghadlarideyiladi,
a
esa qatorning umumiy ( n – chi ) hadi deyiladi. n qatorning hadlaridan
quyidagi
A 1  a 1 ,
A 2  a 1  a 2 ,
A 3  a 1  a 2  a 3 ,
.......... .......... .......... ...
A n  a 1  a 2   a n ,
.......... .......... .......... .........
yig’indilarni tuzamiz . Ular qatorning qismiy yig’indilari deyiladi.
Demak, qator berilgan holda har doim bu qatorning qismiy
yig’indilaridan iborat ushbu :
A 1 , A 2 , A 3 ,, A n ,
sonlar ketma –ketligini hosil qilish mumkin.
2 — ta’rif. Agar
da qatorning qismiy
yig’indilaridan iborat
ketma–ketlik chekli limitga ega, ya’ni
limn An  A ( A  R
3

bo’lsa , (2) qator yaqinlashuvchi deyiladi.
Bu limitning qiymati A son (2)
quyidagicha yoziladi:

qatorning yig’indisi deyiladi vaA  a 1  a 2    an   


n 1
3 — ta’rif. Agar n  da (2) qatorning qismiy yig’indilaridan iborat
A n ketma–ketlikning limiti cheksiz bo’lsa yoki bu limit mavjud bo’lmasa, u
holda (2) qator uzoqlashuvchi deyiladi. Masalan:
1)Ushbu
1 1  1    1 
12  23 ( n  1) n
qator yaqinlashuvchi, chunki
A   1    1 


1  1 

 1  1 
    1 1 
 2  1
n12
 23 ( n  1) n  2   2 3   n  n  n
lim
A n 2
.
2)Quyidagi
1  2    n 
qator uzoqlashuvchi, chunki
A  2  3    n  nn 
n 2
bo’lib,
lim A n n
.
3)Quyidagi
1111 
qator ham uzoqlashuvchi , chunki
A n     1  0,agar juft
son bo'lsa,
bo’lib, A n ketma–ketlik limitga ega emas .
1 — misol. Geometrik progressiya
aaq ,, aq n1 , hadlaridan tuzilgan
aaq aq 2
aq n1
4

qatorni yaqinlashuvchilikka tekshirilsin. Odatda bu qator geometrik qator
deyiladi.
Ravshanki, A  a  aq  aq 2    aq n 1  a  aq n . q  )1
A
g
a q 
1 n   1  q
lim
n  A n  a
q b
o’
ls
1 
bo’ladi . Demak, bu holda geometrik qator yaqinlashuvchi va uning yig’in–
disi a
songa teng .
1 
q
Agar
q  1 bo’lsa , bo’lib, qator
uzoqlashuvchi bo’ladi.
Agar
q  1 bo’lsa, da An na   bo’l
ib
q  1
bo’lganda esa ketma–ketlik limitga ega
emas. Demak, bu holda
ham qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
Shund
ay q 
1 bo’lganda
yaqinlashu q 
1
bo’lganda esa uzoqlashuvchi bo’ladi.
2 — misol. Quyidagi
1  1  1    1  
2 3 n
qatorni uzoqlashuvchi bo’lishi ko’rsatilsin. Bu qator garmonik qator deb
ataladi.
qatorning birinchi 2 ta
( k  N ) hadidan tuzilgan
  
2
A  1  1  1  1 1    1
2 k 2 3 4 k 1  1 2 k
qismiy yig’indisini olib, unu quyidagicha yozib olamiz.
A  
1 
 
1
 1 
 
1
 1
 1 
1 
 
1 
1 
 
1 

 
2 k
2  
3 4  
5 6 7 8  
9 1
0 1
6 
 
1 
1 

 1 
.

2 k  1

1 2 k  1

2 2 k

Endi ushbu
5

1 
1
 1
 1
 1
,
1
3 4 4 4 2

41 
1
 1
 1
 1
 1 
1
5 6 7 8 8 8 8 8
1 
 
1
 1 1
 
16  16  8 
1
9 16 16
1 
1 
 
1 
1 
1 
 
1 
2 k
2 k  1

1 2 k  1

2 2 k
2 k
2 k
2 k
tengsizliklarni etiborga olsak, unda
Ak 2 
1 
k 
1
2
tengsizlikning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Ravshanki,
A 2
ketm
o’su
vchi
limn A 2 k   . Shunday qilib, garmonik qator
uzoqlashuvchi.
3 — misol. Ushbu
1  1  1  1    ( )1 n 1  1  
4 )
2 3 4 n
qatorni
yaqinlashuvchiligi,
ln ga tengligi ko’rsatilsin.
Bu qatorning qismiy yig’indisini yozamiz:
A  1  1  1  1    ( )1 n 1  1
n 2 3 4 n
Ma’lumki,
ln( 1  ) x  x 2  x 3  x 4    ( )1 n  x n  r ( x)
2 3 4 n n
b
u
0 
x
 1 uchun
r n (
x )
 n 1
1
tengsizlik o’rinli . Yuqoridagi formulada
x  1 deb topamiz:
ln 2  An r n )1
(
,
natijada ushbu
A  ln 2  r )1(  1
n n n 
6

tengsizlikka kelamiz. Undan
kelib
chiqadi. ( 4 )limn A n  ln 2
ln ga qator yaqinlashuvchi va uning
yig’indisi
teng.
Aytaylik
n  1 a
n
 a 1  a 2  a 3    a n 
qator berilgan bo’lsin. Bu qatorning dastlabki m ta hadini tashlash natija-sida
hosil bo’lgan ushbu
 qat
or
a m  1  a
m 
2   
n   a
 m  1 n (
5
)
a qatorning ( m — chi hadidan keyingi ) qoldig’i deyiladi. n
2. Yaqinlashuvchi qatorlar. Koshi teoremasi
1 0 . Yaqinlashuvchi qatorning xossalari . Biror
n1
a n  a 1  a 2    a n  
qator berilgan bo’lsin. Agar qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u ma’lum xos-
salarga ega bo’ladi.
1 — xossa.
Agar ( 2 )
qator
yaqinlashuvchi ( 5 )
qoldig’i ham yaqinlashuvchi bo’ladi va aksincha.
( 2 ) qator berilgan bo’lsin. Biror m natural sonni tayinlab, ( 5 )
qatorning
qismiy A bilan belgilaylik: k
A k  a m 1  a m  2    a m  k
.
Ravshanki ,
b
u
n
A m
A k A
m
 k  A
m
A
n
 A
m
 A n m (n  m
) ( 6 )
 a 1 a 2    a m
bo’ladi.
( 2 ) qator yaqinlashuvchi bo’lsin. Ta’rifga ko’ra
7

limk A m  k  A . ( A — chekli son)
b
o
k  
da ( 11 6. ) tenglikdan limitga o’tib topamiz:
limk A k  A  A m
.
Bu
esa ( 5 ) qatorning yaqinlashuvchi ekanini bildiradi.
Endi
( 5
) qator yaqinlashuvchi bo’lsin. U holda ta’rifga ko’ra
limk Ak  A
( A — chekli son)
b
o ( 6 ) tenglikda
n  
da limitga o’tsak, u holda
qatorning yaqinlashuvchi ekanini bildiradi.
Shunday qilib, qatorning dastlabki chekli sondagi hadlarini tashlab
yuborish yoki qatorning boshiga chekli sondagi yangi hadlarni qo’shish
uning yaqinlashuvchiligi xususiyatiga ta’sir qilmaydi.
m  1 —
nati ( 2 ) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, uning qoldig’i
r m  a m 1  a m  2    a m  k  

da nolga intiladi.

Haqiqat ( 2 )
qator yaqinlashuvchi bo’lib, uning yig’indisi
bo’lsin, u holda
A  A m  r m , r m  A  A
bo’lib,
limm rm  A  A  0
bo’ladi.
2 — xossa. Agar
( 2 ) qator
yaqinlashuvchi
bo’lsa, u holda
n  1
ca n  c a 1  ca
2    ca
n   (. 7 )
0  n
ga
qator ham yaqinlashuvchi va uning yig’indisi cA ga teng bo’ladi
( c
bog’liq bo’lmagan o’zgarmas son).
8

( 7 ) qatorning qismiy yig’indisini
A bilan belgilasak, u holda nA n
1
 сa
1
 ca 2    ca n  c ( a 1  a 2    a n )  сA
n
bo’lib, undan
bo’lishi kelib
chiqadi. Bu
limn
1 An  cA (. 7 ) qatorning yaqinlashuvchi bo’lishini va
uning yig’indisi cA ga teng ekanini bildiradi.
Bu xossa yaqinlashuvchi qatorlarda ushbu
c ( a 1  a 2    a n  )  сa 1  ca 2    ca n 
munosabatning o’rinli bo’lishini ifodalaydi.
3 — xossa. Agar
n1
a n  a 1  a 2    a n  
,

van  1 b n 
b 1 
b 2 
 
b n 

qatorlar yaqinlashuvchi bo’lib, ularning yig’indisi mos ravishda
teng bo’lsa, u holda

 ( a nb n )( a 1b 1 )( a 2b 2 )( a nb n )
( 8 )
n1
qator ham yaqinlashuvchi va uning yig’indisi
AB ga teng bo’ladi.
 
 a va  n b qatorlar yaqinlashuvchi bo’lsin. Demak , bu qator-ning
n  1 n  1
qismiy yig’indilari ( va B lar ) uchun n
limn AnA
, limn BnB
teng-liklar
o’rinli bo’ladi . ( 8 ) qatorning qismiy yig’indilarini C bilan belgi-lab n
topamiz:
C n (a
1
 b
1
) (a 2 b
2
)  (a n b
n
) (a
1
 a 2  a n)(
b
 b
2
  b
n
) A
n
 B
n
Bundan
limn Cn  A  B
.
Keyingi tenglikdan xossaning isboti kelib chiqadi.
9

 2 —
natij
a.
Agar

n  1  a va 
n  1
n b qatorlar yaqinlashuvchi bo’lsa , u holda


n  1 ( ca
n 
lb
n )
qator ham yaqinlashuvchi va
n  1 ( ca
n 
lb
n ) 
c 

n  1 a
n 
l 

n  1
tenglik o’rinli bo’ladi ( bunda c , sonlar).

l ga bog’liq bo’lmagan o’zgarmas
4 — xossa. Agar ( 2 ) qator yaqinlashuvchi bo’lsa, bu qatorning umumiy
hadi
an, n da nolga intiladi.
( 2 ) qator yaqinlashuvchi bo’lsin, ya’ni
lim n AnA
( — chekli son).
Agar
a n  A n  A n 1
bo’lishini e’tiborga olsak, u holda limitlar xossalariga ko’ra
limn a n  limn ( A n  A n 1 )  A  A 
bo’lishini topamiz.
E slatma.
Qatorning
n   da nolga
intilishdan
yaqinlashuvchi bo’lishi har doim kelib chiqavermaydi.
Garmonik qator
 1
a 
1
bo’lib,
u
n 
n n
n 
da nolga
intiladi, ammo
Yuqorida keltirilgan 4 — xossa qator yaqinlashishning zaruriy sharti ni
ifodalaydi.
2 0 . Koshi teoremasi. Aytaylik ,
n1
a n  a 1  a 2    a n 
qator berilgan bo’lib,
A n  a 1  a 2    a
uning qismiy yig’indisi bo’lsin.
10


teor a qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi uchun n

 0
oling
anda
n0 N topilib, n  n 0 va m  ,2,
1
3 lar
uchu
A n m  A n  a n 1  a n  2    a n  m  
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Bu teorema muhim nazariy ahamiyatga ega bo’lib, undan amaliy
masalalarni hal etishda foydalanish qiyin bo’ladi.
3. Musbat qatorlar
1 0 . Musbat
qatorlarning ( 2 )
qator berilgan bo’lsin:
Ag
ar
an  0 ( n 2,
1
3,)
n1
a n  a 1  a 2    a n   ( 2 )
bo’lsa, u holda ( 2 )
qator musbat hadli
qator yoki,
qisqacha, musbat qator deb ataladi.
 2 — teorema. Ushbu

n  1

a musbatqator yaqinlashuvchi bo’lishi uchun n
uning qismiy yig’indilari ketma — ketligi yuqoridan chegaralangan bo’lishi
zarur va yetarli.

Za
ru
rli
gi. a qator
yaqinlashulimn An  A (
— chekli
ketma — ketlik yaqinlashuvchi binobarin chegaralan-gan,
jumladan u yuqoridan chegaralangan bo’ladi.
 Yetarliligi. 
n  1
a qatorning qismiy yig’indilari ketma —
ketligi n
yuqoridan chegaralangan bo’lsin.
Qatorning har biri hadi manfiy bo’lmagani uchun
A n 1  A n  a n 1 
11

tengsizlik o’rinli, ya’ni ketma — ketlik usuvchi. Shuning uchun 3 — bob-
dagi 7 — teoremaga ko’ra ketma — ketlik chekli limitga ega: lim
n AnA
. Bu

esa  a qator yaqinlashuvchi ekanini bildiradi. n
n  1
4 — misol. Ushbu
1  1  1  1    1 
n  1
n  2
 3  n 
 1
bo’l
gandqatorni (uni umumlashgan garmonik qator deyiladi)
yaqinlashuvchi ekanligi ko’rsatilsin.
Ravshanki qismiy yig’indilardan tuzilgan
ketma — ketlik o’suvchi. Demak
An1 1  1    1 Ayni
paytda
2 3 n
1
A n A n1 (n  ,2,1 )
A
n
 1  1  1  
2
1  1 1
)1 
 1
 1  1 
  1 2 3 ( n   2 3   (2
n
)
(2
n
 )
1

 2  2   2  1 1 A
n 2
 4  (2 n )  2
 1
bo’ladi.
Oxirgi ikki munosabatdan ushbu
A
n  1  1 A n 2
 1
tengsizlik kelib
chiqadi. Bundan
 1 bo’lganda
An
 1  1
 1 ( n  ,2,1 ) 21
tengsizlik hosil bo’ladi. Bu
esa ketma — ketlikning yuqoridan chegaralan-
ganligini bildiradi. 2 — teoremaga ko’ra berilgan qator yaqinlashuvchidir.
3 — natija . Musbat qatorning qismiy yig’indilaridan iborat ketma — ketlik
yuqoridan chegaralanmagan bo’lsa, qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
2 0 . Musbat qatorlarni taqqoslash haqida teoremalar. Ma’lum musbat
qatorning yaqinlashuvchanligi yoki uzoqlashuvchanligini bilgan holda, hadlari bu
qator hadlari bilan biror munosabatda bo’lgan (taqqoslangan ) ikkinchi 12

musbat qatorning yaqinlashuvchiligi yoki uzoqlashuvchiligini aniqlash
mumkin. Ular quyidagi teoremalar bilan ifodalanadi.
 Ik
kit
a  a va

n  1 n b qator berilgan bo’lsin.n  n 0
3 —
teorema. n n 0 ( n 0  )1 qiymat
idan
lar uchun
an b n
( 9 )
a
n
o’rinli bo’lsin.
Agar: a)  
n  1
bo’lad; b) 
n  1 uzoqlashuvchi
bo’lsa,  n b
qator ham uzoqlashuvchi bo’ladi .
Qatorning yaqinlashuvchi ( uzoqlashuvchi ) bo’lishiga uning chekli
sondagi dastlabki hadlarining ta’siri bo’lmaydi. Shu sababli ( 9 ) tengsizlik
n 01
dan boshlab o’rinli bo’lsin, deb qarash mumkin. Demak , an b n
( n,2,1 )
tengsizlik o’rinli. U holda berilgan qatorlarning qismiy yig’indilari
A n  a 1  a 2   a n ,
B n  b 1  b 2   b n
uchun ushbu
An B n ( n  ,2,1 )
tengsizlik o’rinli bo’ladi.

Avval  n b qator yaqinlashuvchi bo’lsin. U holda 2 — teoremaga ko’ra
n  1
B ketma — ketlik yuqoridan chegaralangan bo’ladi: n
BnM ( n,2,1 ) .
Bundan ( 10 ) tengsizlikka asosan
AnM ( n,2,1 ) tengsizlik ham o’rinli
ekani kelib chiqadi. Demak,

ketma — ketlik ham yuqoridan chega-ralangan.
 U holda yana o’sha 2 — teoremaga
ko’ra  a qatorning yaqin-lashuvchi n
bo’lishi kelib chiqadi.
13


Endi  a qator uzoqlashuvchi bo’lsin. U holda n ketma — ketlik
yuqo-
n  1
ridan chegaralanmagan. ( 10 ) tengsizlikka asosan B ketma — ketlik ham n

yuqoridan chegaralanmagan bo’ladi. Bundan esa  n b qatorning uzoqla–
n  1
shuvchi bo’lishi kelib chiqadi.
5
—sin   sin   sin     sin   
1 2 2 2 3 2 n 2
qatorning yaqinlashuvchiligi tekshirilsin .
Bu qator hadlari uchun
0  sin   ( n  ,2,1
n
2 n 2
tengsizlik o’rinli bo’lishini ko’rsatish qiyin emas. Demak, berilgan qatorning
 har bir hadi yaqinlashuvchi  n  1

1
n qatorning mos hadidan kichik. 3 — teoremaga
asosan berilgan qator yaqinlashuvchi.
4 — teorema . Ushbu limn
a n  k ( 0  k   ) b n
limit
mavjud
k    va 
n  1 n b qator yaqinlashuvchi bo’lsa , u
 h
ol a qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi; b) n
k  0
 n b
qat
 uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda 
n  1

a qator ham uzoqlashuvchi bo’ladi . n
ko’ra a )k   
bo’l
ib, n b qator yaqinlashuvchi bo’lsin.Limit
ta`rifiga
  0
son olinganida ham shunday n0 N son
topi
n  n 0
lar uchun
a
n  k 

b n
ya`ni
14

( k  ) b n  a n  ( k  ) b tengsizliklar o’rinli bo’ladi.
 Shartga ko’ra 
n  1  n b qator yaqinlashuvchi. Shuning uchun

n  1 (
k 
 ) n b
qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi. U holda
( 11
) tengsizlikdan va 3–
teore-

n  1 a qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi kelib chiqadi. n
b)
k  0  bo’lib, 
n  1 n b qator uzoqlashuvchi bo’lsin .
Agar 0  k1 k
olsak, u holda li
m a
n 
k limit o’rinli ekanidan va
k k bo’lishidan,
shundayn
b n1
n
0
N
son topiladiki, n  n 0 bo’lganda a
n 
b n 1 k tengsizlik o’rinli
bo’ladi.
De
ma
k
n  n 0 bo’lganda b n  1
a
tengsizlik bajariladi. Bundan 3
— teoremagak 1 n
 asosa
n  a qatorning uzoqlashuvchi bo’lishi kelib chiqadi. n
4 — natija. Agar ushbu
lim a
n 
k
limit
o’rinli
0 k   n 
b n
 a va

n  1 n b
qatorla bo’lsa, u
holda 
n  1
vaqtda yaqinlashuvchi, yoki bir vaqtda uzoqlashuvchi bo’ladi.
6 — misol. Ushbu

 1
1 
n  1
n
qatorni yaqinlashuvchilikka tekshiring.

Bu qatorni garmonik qator  n  1

1
n bilan taqqoslaymiz. Bu ikki qator
umumiy hadlarni nisbatining limitini topamiz:
15

1
1  1
lim n n

lim n 
lim 1 
1
1 n  
1  1
n  
n
n
1
n n
n n
Demak, 4 — natijaga ko’ra berilgan qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
5 —
teoren N ning
biror n
qiymatida n  n 0 lar
uchun
a n  
a n b n
 1 ( 12 )
b n
a
n
o’rinli  n b
qator yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda 
n  1
 qator ham yaqinlashuvchi bo’ladi;  n  1

n b qator uzoqlashuvchi bo’lsa, u holda


n  1 a qator ham
uzoqlashuvchi bo’ladi. nn  ,1 ,2 
qiymatl
arda
Avv ( 11 . 12 ) tengsizl
ik
deb hisoblash mumkin. Shunday qilib,
a
n 
 b n
 1
a n b n ( n 
tengsizlik o’rinli deb qaraymiz. Unda quydagi
a 2  a 3    an  b 2  b 3
a 1 a 2 a n 1 b 1 b 2
tengsizlik kelib chiqadi. Bundan ushbu
a 
a 1
b ( 13 )
n
b 1 n
tengsizlikka ega bo’lamiz.
 Agar 
n  1  n b qator yaqinlashuvchi bo’lsa
, unda 
n  1 a 1
b qator
hamb 1 n
yaqinlashuvchi bo’ladi.
Natijada ( 13 )
tengsizlik va 3 — teoremaga asosan


n  1 a qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi kelib chiqadi. n
16


( 12 ) tengsizlik o’rinli bo’lganda  a qatorning uzoqlashuvchi n
n  1

bo’lishidan  n b qatorning ham uzoqlashuvchiligi kelib chiqishi shunga
n  1
o’xshash isbotlanadi.
3 0 . Musbat qatorlar uchun yaqinlashuvchilik alomatlari. Biz
yuqoridamusbat qatorlarni taqqoslash teoremalarini keltirdik. Garchi bu teo-
remalar yordamida tekshiriladigan qator hadlarini ikkkinchi qator hadlari
bilan taqqoslab, qaralayotgan qatorning yaqinlashuvchiligi yoki uzoqlashuv-
chiligi masalasi hal bo’lsa ham taqqoslash teoremalari ma`lum noqulay-
liklarga ega. Bunday noqulayliklardan biri berilgan qator bilan taqqoslana-digan
qatorni tanlab olishning umumiy qoidasi yo’qligidir.
Berilgan qatorni geometrik hamda umumlashgan garmonik qatorlar
bilan taqqoslab, qatorning yaqinlashuvchiligi yoki uzoqlashuvchiligini ifoda-
laydigan alomatlarini keltiramiz:

a) Koshi alomati. Musbat qator  a berilgan bo’lsin. Agar n nN
n  1
ning biror
n 0 ( n 0)1 qiymatlardan boshlab barcha n  n 0 qiymatlari uchun
a nq1 ( a n)1
 tengsizlik o’rini bo’lsa,

n  1

a qator yaqinlashuvchi (uzoqlashuvchi) bo’ladi. n

Avval  a qator uchun n n  n 0 bo’lganda anq1 tengsizlik
n  1
o’rinli bo’lsin. Bu tengsizlik ushbu
an q n tengsizlikka ekvivalentdir . 3 —

teoremaga ko’ra  a qator yaqinlashuvchi bo’ladi. n
n  1
Agar barcha
n  n 0 lar uchun a n1 ya’ni a n1 tengsizlik o’rinli

bo’lsa, u holda berilga qatorning har bir hadi uzoqlashuvchi  1 qatorning
n  1
17

o’sha 3 — teoremaga ko’ra,  a qator n
uzoqlashuvchi bo’ladi.
Amaliy masalalarni hal qilishda ko’pincha, Koshi alomatining quyi-dagi
limit ko’rinishidan foydalaniladi.
Agar ushbu limn
n a n  k

k  1 bo’lganda yaqinlashuvchi,
u holda 
n  1 a qator n
k  1
bo’lganda esa uzoqlashuvchi bo’ladi.
3

  
n 
1  n


q7 —
misol. 1  
2 
 
 3 
 2  
4

3 
5 
7  
2
n 
1 
yaqinlashuvchiligi ko’rsatilsin.
Berilgan qator uchun
n
a
n  

 n 
1 
 n
 n 
1
, lim
n  n
a
n 
2
n 
1
2 n 
1
bo’ladi.
Demak , Koshi alomatiga ko’ra berilgan qator yaqinlashuvchi.
b)Dalamber alomati. Agar
n N ning biror n 0 ( n 0  )1
qi
ym
ati
danb
os
n

n 0 qiymatlari uchun

 a
n  1  
a
n  1  q  1 a
n 
 a n 
 tengsizlik o’rinli bo’lsa,
 n  1
bo’ladi.

a qator yaqinlashuvchi ( uzoqlashuvchi) n

B
e
ri a qator bilan birga yaqinlashuvchi n q  )1


n1
q n  q  q 2  q 3    q n   ( 0
18

geometrik qatorni
qaraylik. Ushbu a
n  1 
q  1 tengsi
zlikni
a
n
a
n  1

q 
q n  1
a
n q n
ko’rinishda yozib, so’ngra taqqoslovchi 5 — teoremani qo’llaymiz. Shu teore-
ko’ra 
n  1  q qatorning
yaqinlashuvchiligidan 
n  1 a qatorning
yaqinla- n
shuvchiligi kelib
chiqadi. a n  1 
a n 1

n  1 a qatorning
uzoqlashuvchi n
bo’lishi ravshan .
Dalamber alomatini ham limit ko’rinishida ifodalash mumkin.
Agar ushbu
lim
n  a
n  1 
d
limit
mavju a
nd  1 d  1
bo’lganda qator
yaqinlashuvchi,
bo’lganda esa qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
8 — misol. Ushbu
1  2 !  3 !    n! 
2 2 3 3 n n
qatorning yaqinlashuvchiligi tekshirilsin.
Bu qator uchun quyidagilarga egamiz:
a  n ,!
a
n  1 
 n  1  !
: n ! 
1
 1
 nn
n n
a
n 
n  1
n n

1  n

n 
Undan limitga o’tib topamiz:
lim a
n  1
 1
.
n 
a n
e
Dalamber alomatiga ko’ra berilgan qator yaqinlashuvchi.
 v) Raabe alomati. Ushbu  n  1

a musbat qator berilgan bo’lsin. Agar nn N
ning
biror n 0 ( n 0  )1 qiym
atidan n  n 0 qiym
atlar
19

n 
a
n  1 

r 
1 
 n 
a
n  1 

a
n  
 
 a
n 
 tengsizlik o’rinli bo’lsa,
 n  1

a qator yaqinlashuvchi ( uzoqlashuvchi) bo’ladi. n
Avv
aln  n lar
uchu n 
a
n  1 

r 
1 tengs
izlik 0
 a
n 
tengsizlikni quyidagi
a
n  1 
1 
r
(14 )
ko’rini
shda
r  a
n n 1
tengsizlikni qanoatlantiradigan  son
olamiz. Ma’lumki,
lim
n  
1  

 
1
n 
 1
n
n 0N

so
nTanlanishiga ko’ra 
r bo’lgani uchun shunday
topi
ladi
n  n 0 lar uchun


 1  

 
1

rn
 1
n
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Undan ushbu

 1  

 
1  r
( 15 )
n n
tengsizlik kelib
chiqadi. Endi 
n 0, n 0
  n 0
de
b max n

n 0
lar
uch
un
(14 )
va ( 15
) tengsizliklardan

a
n  1
 
1 

a
n n
tengsizlikka ega bo’lamiz. Agar
 16 tengsizlikni ushbu
1
a
n  1 
a
n
20

 ko’rinishda yozsak, unda berilgan qator hadlari bilan 
n  1 1
n 
umumlashgan
garmonik qator hadlari orasida  12 ko’rinishda munosabat borligini
payqaymiz.
Ma’lumki,
 1 da umumlashgan garmonik qator
yaqinlashuvchi.
Demak, 5 — teoremaga ko’ra berilgan qator yaqinlashuvchi bo’ladi.
En
di
bar
n  n 0 lar uchun


1n 
a
n  1

a
n 
tengsizlik o’rinli bo’lsin. Undan
1
a
n  1 
n
a
n 1

n  
1
1
n garmo-
nik tengsizlik kelib chiqadi. Shuning uchun 5 — teoremaga asosan 
n  1
qatorning uzoqlashuvchi bo’lishidan berilgan qatorning uzoqlashuvchi ekani
kelib chiqadi.
Bu alomatni ham quyidagicha limit ko’rinishda ifodalash mumkin.
Agar ushbu
lim n  a
n  1   g ( g  con
s
)
li
mi
g  1 n 

 a
n 
g  1
bo
’lga bo’lganda qator yaqinlashuvchi,
esa qator uzoqlashuvchi bo’ladi.
9 — misol. Quyidagi
1  1  3  1  1  3  5  1  1  3  5  7  1   
 2 
2 2 4 2 2 4 6 3 2 4 6 8 4
 2
qatorni yaqinlashuvchilikka tekshirilsin.
Bu qator uchun
n
 a n1
  n1

 2
n
1 
!!
 1   2n

!
 n   3 n 2  3 n , li
m n 
 a
n  1 

3 
1

 an  

 2
n
2 
!!
1  n
 2
n
1

!
1  2
n
2  4 n  2 n 

a
n 
2
bo’ladi. Demak, Raabe alomatiga ko’ra berilgan qator yaqinlashuvchi.
21

integral alomati). Ushbu 
n  1 a musbat n
qator berilgan bo’lsin.
Far
az 
) oraliqda aniqlangan, uzluksiz, o’smaydigan
hamda
manfiy f (x fun
ksiy f ( n )  a n ( n  ,1 2 , ) bo’
lsin.
U holda berilgan qator quyidagi


n  1 a
n  

n  1 f (
n )
, n  1
ko’rinishni oladi. Ravshanki,
n  x  n  1 bo’lganda
f( n )  f ( x )  f ( n  )1
ya
’n
a n  f ( x )  a n 1 tengsizliklar o’rinli. Keyingi
tengsizliklarni
n
oraliq bo’yicha integrallab topamiz:
a
n 1 
n1

n f (
x )
dx 
a n
Endi berilgan qator bilan birga ushbu

n

n f (
x )
dx (18)
qatorni ham qaraylik. Bu qatorning qismiy yig’indisini yozamiz:
n k  1 n  1
 f ( x ) dx   f ( x ) dx . (19)
k  1 k 1
Faraz qilaylik,
f (x ) funksiya ,1  oraliqda F (x ) boshlang’ich
funksiyaga ega bo’lsin 
F( x ) f ( x ) . ,1  oraliqda f ( x )0 bo’lgani uchun
F (x )
funksiya shu oraliqda o’suvchi bo’ladi. F (x ) funksiyani yuqori
chegarasi o’zgaruvchi bo’lgan aniq integral ko’rinishda yozish mumkin:
F (
x )
x 

1
f ( t )
dt ,
F )1( 
0

 1
ga
tenNatijada
 19 tenglik ushbu

k

n f (
x )
dx 
F
 n  1 
ko’rinishga keladi. Demak, (18) qatorning qismiy yig’indisi 
n
22

Agar n  da F  n  1 chekli songa intilsa, shu qator yaqinlashuvchi
bo’ladi. Unda
 17 tengsizlik hamda 5 — teoremaga ko’ra qaralayotgan qator
ham yaqinlashuvchi bo’ladi. n  da
F   bo’lsa, berilgan qator
uzoqlashuvchi bo’ladi.
Shunday qilib, quyidagi integral alomatiga (Koshi alomatiga) kelamiz:
Ag
ar
f (x ) funksiya  ,1  
oraliqda aniqlangan,
uzluksiz va o’smaydigan
b
o
f
F (x ) 
shu funksiya uchun boshlang’ich funksiya va 
n  1 a
qator n
u
c
( x )  a n (n  ,1 2 , ) bo’ls
a, u li
m
F ( x )  A
li
chekli bo’lganda yaqinlashuvchi, cheksiz bo’lganda uzoqlashuvchi bo’ladi.
 10 — misol. Quyidagi  n  1
shuvchilikka tekshirilsin.

1
n  umumlashgan garmonik qator yaqinla-
f (
x ) 
1  0 
deb   da
x 
uzluksiz, kamayuvchi hamda shu oraliqda manfiy emas. Shu bilan birga
x

f (
n ) 
1
. Ravshanki ,
n 
x  1 1  
F ( x )  x f ( t dt  x 1 dt 

1

1
t 
1 1  x1 
Bundan quyidagi natija kelib chiqadi:
li
m
x  F
 
li
m
1 1 

 1
  1 
   1

 , a
g  
1 bo' lsa ,
A
g
ar x  
x  1 1
ag
ar 
1 bo' lsa
,

 1
bo’lsa, x  
da
 
F (
x )
 x

1 1
dt  ln
x
t
bo’ladi.
Demak , integral alomatiga ko’ra
berilgan qator
 1 bo’lganda
yaqinlashu
vchi,
 1 bo’lganda
esa
23

XULOSA
Biz mazkur ishda, sonli qatorlarni, ularning yaqinlashishi, uzoqlashishi,
yaqinlashish alomatlari hamda yaqinlashuvchi qatorlarning xossalarini
o’rganamiz.
Matematik analiz fanining dastlabki elementlari hozirda akadenik litsey va
kollejlar matemika kursida uchraydi. Shunday ekan, bunday ta’lim muassasalarida
o’qituvchi bo’lib ishlashni maqsad qilgan talaba fanni puhta o’rganishi muhim.
Kurs ishni tayyorlash davomida matematik analiz fani qiziqarli fan ekanligini
yana bir bor his qildim. Ayniqsa ishning mavzusi nazariyada eng ko’p o’rganilgan
mavzulardan biridir. Hosilaga nisbatan yechilmagan tenglamalarni integrallashda
ularni hosilaga nisbatan yechilgan tenglamaga aylantirishga harakat qilinadi. Yoki
yuqori tartibli differensial tenglamalarni integrallashda, ularning tartibi pasaytirilib
hosilaga nisabatan yechilgan tenglamaga olib kelishga urinamiz. Hulosa qilib
aytganda hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli tenglamalar differensial
tenglamalar fanning negizi deb aytish mumkin. Fanning boshqa fanlar bilan
chambarchas bog’langanligi, uning tadbiq ko’lamini kengligidandir. Lekin bu fanga
oid adabiyotlarni o’zbek tilida kam ekanligi va o’zimni rus tilini yahshi bilmasligim
ishni tayyorlashim qiyin kechishiga sabab bo’ldi.
24

ADABIYOTLAR RO’YXATI
1.Azlarov T., Mansurov H. Matematik analiz, 1-qism, Toshkent,
«O’qituvchi», 1994;
2.Azlarov T., Mansurov H. Matematik analiz, 2-qism, Toshkent,
«O’zbekiston», 1995;
3.Azlarov T., Mansurov H. Matematik analiz asoslari, 1-qism, Toshkent,
2005;
4.Фихтенгольц Г. Курс дифференциального и интегрального исчисления,
т. I, II, III, Москва, «Физматлит», 2001;
5.Архипов Г., Садовничий В., Чубариков В. Лекции по математическому
анализу. Москва, «Высшая школа», 1999;
6.Дороговцев А. Математический анализ (спровочное пособие) Киев,
«Высшая школа», 1985;
7.Хинчин А.Я. Восемь лекций по математическому анализу, Москва,
«Наука», 1977;
8.Саъдуллаев А., Мансуров Х., Худойберганов Г., Ворисов А.,
Гуломов Р. Математик анализ курсидан мисол ва масалалар туплами T. I, II,
Tошкент, «Узбекистон», 1993, 1995
25

MUNDARIJA

1. Asosiy tushunchalar

2. Yaqinlashuvchi qatorlar. Koshi teoremasi

3 . Musbat qatorlar

Xulosa

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yhati

Купить