Sonli usullar {karrali integrallar}
![Aniq integral tushunchasiga olib keluvchi masalalar
Aniq integral tabiat va texnikaning bir qancha masalalarini yechishd
a,
xususan har xil geometrik va fizik kattaliklarni hisoblashda keng qo‘llaniladi.
Egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi masalasi
Tekislikda Oxy to‘g‘ri burchakli dekart koordinatalar sistemasi kiritilgan va
[a,b], b>a kesmada uzluksiz va manfiy bo‘lmafan y=f(x) ya’ni
f(x)≥0 funksiya
aniqlangan bo‘lsin.
Yuqoridan y=f(x) funksiya grafigining yoyi bilan, quyidan
Ox o‘qning [a,b] kesmasi bilan, yon tomonlaridan
x=a,0≤y≤ f(a) va
x = b , 0 ≤ y ≤ f
( b)
to‘g‘ri chiziqlar bilan chegaralangan aABb figuraga egri chiziqli
trapetsiya deyiladi (2-shakl).
aABb egri chiziqli trapetsiyaning S yuzasiga ta’rif beramiz. [a,b] kesmani n ta
kichik kesmalarga bo‘lamiz: bo‘linishsh nuqtalarining abssissalarini
a = x
0 < x
1 < … < x
i − 1 < x
i < … < x
n = b
bilan belgilaymiz.
{xi}={x0,x1,… ,xn}
bo‘lish nuqtalari to‘plamini [a,b] kesmanining bo‘linishi deymiz.
xi bo‘linish
nuqtalari orqali Oy o‘qqa parallel x = x
i to‘g‘ri chiziq o‘tkazamiz. Bu to‘g‘ri
chiziqlar aABb trapetsiyani asoslari
[xi−1,xi] bo‘lgan n ta bo‘lakka bo‘ladi.
aABb trapet-siyaning S yuzasi n ta tasma yuzalarining yig‘indisiga teng bo‘ladi.](https://docx.uz/documents/ddd66f73-e961-474e-b78c-98126b8cc266/page_3.png?v=1)
![n yetarlicha katta va barcha [xi−1,xi] kesmalar kichik bo‘lganida har bir n ta
tasmaning yuzasini hisoblash oson bo‘lgan mos to‘g‘ri to‘trburchakning
yuzasi bilan almashtirish mumkin bo‘ladi. Har bir
[xi−1,xi] kesmada biror ξi
nuqtani tanlaymiz, f(x) funksiyaning bu nuqtadagi qiymati f ( ξ
i )
ni hisoblaymiz va
uni to‘g‘ri to‘rtburchakning balandligi deb qabul qilamiz.
[xi−1,xi] kesma kichik
bo‘lganida f(x) uzluksiz funksiya bu kesmada kichik o‘zgarishga ega bo‘ladi. Shu
sababli bu kesmalarda funksiyani o‘zgarmas va taqriban
f(ξi) teng
deyish mumkin.
Bitta tasmaning yuzasi
f(ξi)(xi− xi−1) ga teng bo‘lganidan aABb egri
chiziqli trapetsiyaning S yuzasi taqriban S
n teng bo‘ladi:
S ≈ S
n =
∑
i = 1n
f
( ξ
i ) Δ x
i Δ x
i = x
i − x
i − 1
(14.1)
(14.1) taqribiy qiymat d = max
i Δ x
i ( i = 1 , n )
kattalik qancha kichik bo‘lsa
shuncha aniq bo‘ladi. d kattalikka
{xi} bo‘linishning diametri deyiladi. Bunda n→ ∞
da d → 0
Shunday qilib, egri chiziqli trapetsiyning S yuzasi deb,
Sn to‘g‘ri to‘rtbur-
chaklar yuzasining bo‘linish diametri nolga intilgandagi limitiga aytiladi, ya’ni
S = lim
d → 0 S
n = lim
d → 0 ∑
i = 1n
f
( ξ
i ) Δ x
i ( 14.2 )
Demak, egri chiziqli trapetsiyaning yuzasini hisoblash masalasi
(14.2) ko‘rinishdagi limitni hisoblashga keltiriladi.
Egri chiziqli trapetsiyaning yuzasi masalasiga qaytamiz. ( 14. 2) tenglikning
o‘ng tomoni integral yig‘indidan iborat. U holda
S=∫a
b
f(x)dx
formuladan aniq integralning geometrik ma’nosi kelib chiqadi: agar
f(x) funksiya [a,b] kesmada integrallanuvchi va manfiy bo‘lmasa, u holda
[a,b] kesmada f(x) funksiyadan
olingan aniq integral
y= f(x)≥0,y=0,x= a,x=b,a<b chiziqlar bilan
chegaralangan egri chiziqli trapetsiyaning yuzasiga teng.](https://docx.uz/documents/ddd66f73-e961-474e-b78c-98126b8cc266/page_4.png?v=1)
![Misol :∫−3
3
√9− x2dxintegralni uning geometrik ma’nosiga tayanib hisoblaymiz.
Bunda x ning -3 dan 3 gacha o‘zgarishida tenglamasi
y =
√ 9 − x 2
bo‘lgan chiziq
x2+y2=9
aylananing yuqori bo‘lagidan iborat bo‘ladi. Shu sababli x=-3, x=3, y=0,
y= √9− x2
chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiya x2+y2=9 doiraning
yuqori qismidan tashkil topadi. Uning yuzi S = 9 π
2 ga teng.
Demak,
∫
− 33
√
9 − x 2
dx = 9 π
2
Aniq integralning xossalari
1 0
. Agar integral ostidagi funksiya birga teng bo‘lsa, u holda
∫a
b
dx =b−a
bo‘ladi.
2 0
. Ozgarmas ko‘paytuvchini aniq integral belgisidan tashqariga chiqarish
mumkin, ya’ni
∫a
b
kf (x)dx = k∫a
b
f(x)dx ,k=const
3 0
. Chekli sоndаgi funktsiyalar algebraik yig‘indisining
aniq integrali
qo‘shiluvchilar aniq integrallarining algebraik yig‘indisiga teng , ya’ni
∫
ab
( f
( x ) ± φ ( x ) ) dx =
∫
ab
f ( x ) dx ±
∫
ab
φ ( x ) dx
4 0
. A gаr [a,b] kesmа bir nechа qismgа bo‘lingan bo‘lsa, u hоldа [a,b] kesma
bo‘yicha оlingаn аniq integrаl hаr bir qism bo‘yichа оlingаn аniq integrаllаr
yig‘indisigа teng bo‘ladi. Masalan,
∫
ab
f
( x ) dx =
∫
a c
f ( x ) dx +
∫
cb
f ( x ) dx c ∈ [ a , b ]
5 0
. Аgаr [a,b] kesmаdа funksiya o‘z ishоrаsini o‘zgаrtirmаsа, u hоldа funksiya
аniq integrаlining ishоrаsi funksiya ishоrаsi bilаn bir хil bo‘lаdi, ya’ni:
[a,b]da f(x)≥0bo'lganda ∫a
b
f(x)dx ≥0](https://docx.uz/documents/ddd66f73-e961-474e-b78c-98126b8cc266/page_5.png?v=1)
![[a,b]da f(x)≤0bo'lganda ∫a
b
f(x)dx ≤06 0
. Аgar [a,b] kesmаdа
f(x)≥φ(x) bo‘lsа, u hоldа
∫a
b
f(x)dx ≥∫a
b
φ(x)dx
bo‘ladi.
7 0
. Аgаr m vа M sоnlаr f(x) funksiyaning [a,b] kesmаdаgi eng kichik vа eng kаttа
qiymаtlari bo‘lsа, u hоldа
m(b−a)≤∫a
b
f(x)dx ≤M (b−a)
bo‘ladi. Bu хоssа аniq integrаlni bаhоlаsh hаqidаgi teоremа deb yuritiladi.
Nyuton-Leybnis formulasi
Aniq integralni integral yig‘indining limiti sifatida hisoblash hatto oddiy
funksiyalar uchun ham ancha qiyinchiliklar tug‘diradi. Shu sababli aniq integralni
hisoblashning (15.3) formulaga asoslangan, amaliy jihatdan qulay bo‘lgan hamda
keng qo‘llaniladigan usuli bilan tanishamiz.
2-teorema ( integral hisobning asosiy teoremasi ) . Agar F(x) funksiya
[a,b] kesmada uzluksiz bo‘lgan f(x) funksiyaning boshlang‘ich funksiyasi bo‘lsa,
u holda [a,b] kesmada f(x) funksiyadan olingan aniq integral F(x) funksiyaning
integrallash oralig‘idagi orttirmasiga teng bo‘ladi, ya’ni
∫
ab
f
( x ) dx = F ( b) − F ( a )
formulaga Nyuton-Leybnis formulasi deyiladi.
F(b)-F(a) ayirmani shartli ravishda
F(x)¿ab deb yozish kelishilgan.
Bu kelishuv natijasida Nuyton-Leybnis formulasi
∫a
b
f(x)dx = F(x)¿ab
ko‘rinishda ifodalanadi.
Nyuton - Leybnis formulasini qo‘llashda F(x) boshlang‘ich funksiya berilgan
kesmada uzluksiz deb faraz qilinadi (ayrim shartlarda Nyuton - Leybnis
formulasi uzilishga ega bo‘lgan funksiyalar uchun ham o‘rinli bo‘lishi mumkin).](https://docx.uz/documents/ddd66f73-e961-474e-b78c-98126b8cc266/page_6.png?v=1)
![Agar interpolyatsiyalash etarlicha yaxshi o'tkazilgan bo'lsa, r
n( f , x ) x ∈ [ a , b ]
uchun kichik miqdordir, undan olingan integralning qiymatini ham kichkina deb,
tashlab yuborsak
∫
ab
p
( x ) f ( x ) dx ≅
∑
k = 1n
A
k f ( x
k )
Kvadratur formulaga ega bo’lamiz. Bunda
A
k =
∫
ab
p
( x ) ω
n ( x )
(
x − x
k ) ω
n'
( x
k ) dx
( k = 1 , n ) ( 4 )
(4) formulani odatda interpolyatsion kvadratur formula deyiladi. Uning
qoldiq hadi
Rn(f)= 1
n!∫a
b
p(x)ωn(x)f(n)(ξ)dx
ko’rinishga ega. Bu yerda
ω
n
( x ) = ( x − x
1 )( x − x
2 ) … ( x − x
n )
Agar
|f(n)(x)|≤M n bo’lsa, qoldiq had
|
R
n ( f ) | ≤ M
n
n ! ∫
ab
p ( x ) | ω
n ( x ) | dx
bo'ladi.
Aniq integralni taqribiy hisoblashda biz to’g’ri to’rtburchak,parabola
(Simpson),trapetsiyalar formulasi kabi usullarni qanday qo’llanilishini va ba’zi bir
aniq integrallarni hisoblamasdan natija olish usullarini ham ko’rib o’tamiz. Aniq
integralni taqribiy hisoblash usullari.
1) To’g’ri to’rtburchak usuli:
Bizga f(x) funksiya [a,b] berilgn va uzluksiz bo’lsin. Endi shu f(x,y) funksiyaning
aniq integrali
∫a
b
f(x)dx ni taqribiy hisoblash formulasini keltiramiz.](https://docx.uz/documents/ddd66f73-e961-474e-b78c-98126b8cc266/page_8.png?v=1)
![Hisoblashlarda aniq integralni yuzini ifodalovchi yig’indi limiti deb, ya’ni∫a
b
f(x)dx = limn→∞∑i=1
n
f(ξ)(xi− xi−1)
ko’rinishda mulohaza yuritiladi. Endi esa [a,b]
kesmani
a= x0,x1,x2,… ,xn=b nuqtalar bilan teng n ta bo’lakka bo’lamiz. Har
birining uzunligini , h = b − a
n , x
i = a + ib ( i = 0 , n )
deb olamiz.
x= xi bo’lganda f(x)
funksiya qiymatlarini y
i = f
( x
i ) = f ( a + i h )
deb belgilaymiz.
∫a
b
f(x)dx = limn→∞∑i=1
n
f(ξ)(xi− xi−1)
o’ng tomonidagi yig’indini ξi= xi−1 yoki xi deb,
quyidagi ikkita formulani hosil qilamiz.
∫
ab
f
( x ) dx ≈ b − a
n [ y
0 + y
1 + … + y
n − 1 ] ( 1 )
∫a
b
f(x)dx ≈b−a
n [y1+y2+… +yn](2)
Yuqorida keltirilgan (1) va (2) formulalar aniq integralni hisoblashning
to’g’ri to’rtburchak formulasi deyiladi.1-chizmada quydagilar tasvirlangan: agar
f(x) musbat va o’suvchi funksiya bo’lsa, u holda (1) formula “ichki” to’g’ri
to’rtburchaklardan tuzilgan zinapoyasimon shaklning yuzini tasvirlaydi. (4)
formula esa “tashqi” to’g’ri to’rtburchaklardan tuzilgan zinapoyasimon shaklning
yuzini tasvirlaydi. Integralni to’g’ri to’rtburchak formulasi bilan hisoblashda
qilingan xato n son qancha katta(ya’ni bo’linish qadami h qancha kichik) bo’lib
borishi (1) va (2) formulalar aniqroq bo’lib boradi, ya’ni
n→ ∞ da h→ ∞ da ular
aniq integralning haqiqiy qiymatini beradi.
2) Trapetsiya formulasi.
Agar ordinatalar chizig’ining egri chiziq bilan kesishgan nuqtalarini
zinapoyali siniq chiziqlar bilan emas, balki ichki chizilgan siniq chiziqlarbolan
tutashtirsak, (1) va (2) formulalarga nisbatan xatosi kamroq bo’lgan taqribiy
formulani keltirib chiqaramiz: Bu holda egri chiziqli aABb trapetsiyaning yuzi
yuqoridan A A
1 , A
1 A
2 , … , A
n − 1 B
vatarlar bilan chegaralangan to’g’ri chiziqli
trapetsiyalar yuzalarining yig’indisiga teng bo’ladi. Natijada trapetsiyalar
formulasini hosil qilamiz:](https://docx.uz/documents/ddd66f73-e961-474e-b78c-98126b8cc266/page_9.png?v=1)
![∫a
b
f(x)dx ≈h[
y0+y1
2 + y1+y2
2 +… + yn−1+yn
2 ]=h[
y0+yn
2 +∑i=1
n−1
yi](3)bunda
h= b−a
n ,xi= xi−1+h,(i=1,n),x0=a,xn= b
(3) ga trapetsiya formulasi deyiladi.
3) Parabolalar (Simpson) formulasi.
a,b kesmani juft sonda n 2m bo’lakka ajratamiz. [x0,x1] va [x1,x2]
kesmalarga mos va berilgan y=f(x) egri chiziq bilanchegaralangan egri chiziqli
trapetsiyaning yuzini
M (x0,y0),M 1(x1,y1),M 2(x2,y2) uchta nuqtadan o’tuvchi va
o’qi Oy o’qi parallel bo’lgan ikkinchi darajali parabola bilan chegaralangan egri
chiziqli trapetsiyaning yuzi bilan almashtiramiz.
Bunday egri chiziqli trapetsiyani parabolik trapetsiya deb ataymiz.
O’qi Oy o’qiga parallel bo’lgan parabolaning tenglamasi
y = A x 2
+ Bx + C (4)
ko’rinishda bo’ladi. A B, va C koeffisentlar parabolaning berilgan uch nuqta orqali
o’tishshartidan bir qiymatli ravishda aniqlanadi. Shunday yasalgan parabolik
trapetsiyalar yuzalarining yig’indisi integralning taqribiy qiymatini beradi.
Lemma . Agar egri chiziqli trapetsiya (4) parabola, Ox o’q va oralig’i 2h ga
teng bo’lgan ikkita ordinata bilan chegaralangan bo’lsa, u holda uning yuzi
S = h
3
( y
0 + y
1 + y
2 ) ( 5 )
ga teng, bunday y
0 va y
2 chetdagi ordinatalar y
1 esa egri chiziqning kesma
o’rtasidagi ordinatasi.
(5) formuladan foydalanib, quydagi taqribiy qiymatlarni yozamiz.
∫
a = x
0x
2
f
( x ) dx ≈ h
3 ( y
0 + 4 y
1 + y
2 )
∫x2
x4
f(x)dx ≈h
3(y2+4y3+y4)
∫x2(m−1)
x2m−b
f(x)dx ≈h
3(y2(m−1)+4y2m−1+y2m)
Yuqoridagi taqribiy qiymatlarning chap va o’ng tomonlarini qo’shib, chapda
izlanayotgan integralni, o’ngda esa unig taqribiy qiymatini hosil qilamiz:](https://docx.uz/documents/ddd66f73-e961-474e-b78c-98126b8cc266/page_10.png?v=1)
![∫a
b
f(x)dx ≈h
3(y0+4y1+2y2+43+… +2y2(m−1)+4y2m−1+y2m)(6)yoki
∫a
b
f(x)dx ≈b−a
6m [y0+y2m+2(y2+y4+… +y2m−2)+4(y2+… +y2m−1)]
(7)
(7) formulaga Simpson formulasi deyiladi. Bu yerda bo’linish nuqtalarining
soni 2m ixtiyoriy, lekin bu son qancha katta bo’lsa, (7) tenglik o’ng tomonidagi
yig’indi integralning qiymatini shuncha aniq ifodalaydi.
Kvadratur formulalarning xususiy hollarini ko’raylik.
1. n = 1 , p ( x ) ≡ 1
bo’lsin. U holda
∫a
b
f(x)dx ≅(b−a)f(
a+b
2 )−o'rta ¿'g'ri¿'rtburchaklar formulasi ;
∫a
b
f(x)dx = b−a
N ∙∑i=0
N
f(
xi+xi+1
2 )
R0(f)= (b−a)3
24 f''(ξ)−uning qoldiq hadi](https://docx.uz/documents/ddd66f73-e961-474e-b78c-98126b8cc266/page_11.png?v=1)
![2. n = 2 , p( x ) ≡ 1
∫a
b
f(x)dx ≅b− a
2 [f(a)+ f(b)]−trapetsiya formulasi ;
∫a
b
f(x)dx = b−a
2∙N [f(x0)+2∙∑i=1
N−1
f(xi)+ f(xN)]
R1(f)= −(b−a)3
12 f''(ξ)−uning qoldiq hadi .
3.
n=3p(x)≡1
∫a
b
f(x)dx ≅b− a
6 [f(a)+4 f(
a+b
2 )+ f(b)]− Simpson formulasi ;Trapetsiya usulida:
f x( ) ln x( )( ) 2
x
a 1 b 4
g x( )
x
f x( ) d
d
2 ln x( )
x2
ln x( )2
x2
F x( )
x
g x( ) d
d
2
x3
6 ln x( )
x3 2 ln x( )2
x3
R1
b a ( )3
12 N 2
max F a( ) F b( ) ( )
R
1 9
800 0.011
xatoligi:
i 0 N
h b a( )
N xi a ih
S1 s f x0 f xN
s s 2 f xi
i 1 N 1 for
s h
2
Aniq yechim:
1 4
x 1 ln x( ) ( )
2
x
d 0.888
Taqribiy yechim
S1 0.888 ](https://docx.uz/documents/ddd66f73-e961-474e-b78c-98126b8cc266/page_13.png?v=1)
![R
2( f ) = − ( b − a ) 5
90 f IV (
ξ ) − uning qoldiq hadi .
Agar [a,b] oraliqni teng N bo’lakka bo’lib, har bir bo’lak uchun trapetsiya
formulasini qo’llasak
∫
ab
f
( x ) dx ≅ b − a
2 N [ f
0 + 2
∑
k = 1N − 1
f
k + f
N ]
umumlashgan trapetsiya formulasi hosil bo'ladi. Uning qoldiq hadi esa
RN(1)(f)=− (b− a)3
12 N2 f''(ξ)
ko'rinishga ega bo'ladi.
Umumlashgan Simpson formulasi [a,b] oraliqni 2N ta teng bo'lakka bo'lib, xar bir
[x¿¿2i− 2,x2i](i=1,N )¿
bo'lakka Simpson formulasini qo'llab chiqariladi:
∫
ab
f
( x ) dx ≅ b − a
6 N [ f
0 + f
2 N + 4
∑
i = 1N
f
2 i − 1 + 2
∑
i = 1N − 1
f
2 i ]
uning qoldiq hadi esa
RN(2)(f)= −(b−a)5
2880 N4fIV(ξ)
ko'rinishga ega.
Simpson usuli:
f x( ) ln x( )( ) 2
x
a 1 b 4 N 40
g x( )
x
f x( ) d
d
2 ln x( )
x2
ln x( )2
x2
G x( )
x
g x( ) d
d
2
x3
6 ln x( )
x3 2 ln x( )2
x3 F x( )
x
G x( ) d
d
22 ln x( )
x4
12
x4 6 ln x( )2
x4 F1 x( )
x
F x( ) d
d
70
x5
100 ln x( )
x5 24 ln x( )2
x5 R2
b a ( )5
2880 N 4
max F1 a( ) F1 b( ) ( )
R
2 189
81920000 2.307 10 6
xatoligi:
i 0 2 N h b a( )
2 N xi a ih S2 s f x
0
f x
2 N
s s 4 f x
2 i 1
i 1 Nfor
s s 2 f x
2 i
i 1 N 1for
s h
3
Aniq yechim:
1
4
x f x( )
d 0.888 Taqribiy yechim
S2 0.888 ](https://docx.uz/documents/ddd66f73-e961-474e-b78c-98126b8cc266/page_14.png?v=1)
![Ikki karrali integralni trapetsiya formulasidan foydalanib topish.
∫
ab
f( x ) dx = b − a
2 ∙ N [ f ( x
0 ) + 2 ∙
∑
i = 1N − 1
f ( x
i ) + f ( x
N ) ]
∬ f(x,y)dxdy D={c≤x≤d;a≤y≤b}hx= d−c
N ;hy= b− a
M
∬ f(x,y)dxdy =∫a
bhx
2[f(x0,y)+2∙∑i=1
N−1
f(xi,y)+ f(xN,y)]dy =∫a
bhx
2 ∙F(y)dy
∫a
bhx
2 ∙F(y)dy = hx
2 ∙hy
2 ∙[F(y0)+2∙∑j=1
M−1
F(yj)+F(yM)]= ¿
¿hx
2 ∙hy
2 ∙[f(x0,y0)+2∙∑i=1
N−1
f(xi,y0)+ f(xN,y0)+¿
+ 2 ∙
∑
j = 1M − 1
[
f ( x
0 , y
j ) + 2 ∙
∑
i = 1N − 1
f ( x
i , y
j ) + f ( x
N , y
j )] + ¿
+ f(x0,yM)+2∙∑i=1
N−1
f(xi,yM)+f(xN,yM)]
Ikki karralli integralni taqribiy hisoblash uchun trapetsiya formulasini keltirib
chiqardik. Endi MathCadda yechimni quramiz.
N 100 M 100 i 0 N j 0 M
a 1 b 4 c 2 d 4
hx d c
N hy b a
M
xi c ihx yj a jhy
f x y ( ) sin atan e2x e2y 2 exy
2
2
S s f x
0 y
0
f x
N y
0 f x
0 y
M f x
N y
M
s s 2 f x
i y
0
f x
i y
0 i 1 N 1for
s1 f x
0 y
j
f x
N y
j
s1 s1 2 f x
i y
j
i 1 N 1for
s s 2 s1j 1 M 1for
s hy
2 hx
2
Aniq yechim
a
b
y
c
d
x f x y ( )
d
d 6 Taqribiy yechim
S 6 ](https://docx.uz/documents/ddd66f73-e961-474e-b78c-98126b8cc266/page_16.png?v=1)
![Ikki karrali integralni Simpson usulidan foydalanib topish.
∫
ab
f( x ) dx ≅ b − a
6 N [ f
0 + f
2 N + 4
∑
i = 1N
f
2 i − 1 + 2
∑
i = 1N − 1
f
2 i ]
∬ f
( x , y ) dxdy D = { c ≤ x ≤ d ; a ≤ y ≤ b } h
x = d − c
2 ∙ N ; h
y = b − a
2 ∙ M
∫
ab
h
x
3
[ f ( x
0 , y ) + f ( x
2 N , y ) + 4
∑
i = 1N
f ( x
2 i − 1 , y ) + 2
∑
i = 1N − 1
f ( x
2 i , y ) ] dy = ¿
¿hx
3 ∙hy
3 ∙[f(x0,y0)+f(x2N,y0)+4∑i=1
N
f(x2i−1,y0)+2∑i=1
N−1
f(x2i,y0)+¿
+ f
( x
0 , y
2 M ) + f ( x
2 N , y
2 M ) + 4
∑
i = 1N
f ( x
2 i − 1 , y
2 M ) + 2
∑
i = 1N − 1
f ( x
2 i , y
2 M ) + ¿
+ 4 ∙
∑
j = 1M
[
f ( x
0 , y
2 j − 1 ) + f ( x
2 N , y
2 j − 1 ) + 4
∑
i = 1N
f ( x
2 i − 1 , y
2 j − 1 ) + 2
∑
i = 1N − 1
f ( x
2 i , y
2 j − 1 ) ]
+ 2 ∙
∑
j = 1M
[
f ( x
0 , y
2 j − 2 ) + f ( x
2 N , y
2 j − 2 ) + 4
∑
i = 1N
f ( x
2 i − 1 , y
2 j − 2 ) + 2
∑
i = 1N − 1
f ( x
2 i , y
2 j − 2 ) ]]
Ikki karralli integralni taqribiy hisoblash uchun Simpson formulasini keltirib
chiqardik. Endi MathCadda yechimni quramiz.
f x y( ) sin x( )
x
a 1 b 4 c 2 d 4
n 200 m 200 N n
2 M m
2
i 0 n j 0 m ](https://docx.uz/documents/ddd66f73-e961-474e-b78c-98126b8cc266/page_23.png?v=1)
![V integrallash sohasi quyidan z= z1(x,y) sirt bilan, yuqoridan z= z2(x,y) sirt
bilan chegaralangan jismdan iborat va Oz o‘q yo‘nalishi bo‘yicha muntazam
bo‘lsin, bu yerda z = z
1
( x , y ) , z = z
2 ( x , y )
-V jismning Oxy tekislikdagi proyeksiyasi
D da uzluksiz funksiyalar.
Agar D soha x = a , x = b
( a < b ) , y = φ
1 ( x ) va y = φ
2 ( x ) ( φ
1 ( x ) ≤ φ
2 ( x ) )
chiziqlar bilan
( bunda φ
1 ( x )
,
φ2(x) -[a;b] kesmada uzluksiz funksiyalar) chegaralangan egri chiziqli
trapetsiya bo‘lsa
∭ f(x,y,z)dxdydz =∫a
b
dx ∫φ1(x)
φ2(x)
dy ∫z1(x,y)
z2(x,y)
f(x,y,z)dz (2.4 )
bo‘ladi.
Uch karrali integralni silindrik koordinatalarida hisoblash
r,φ,z
sonlar uchligiga Oxyz fazo M(x;y;z) nuqtasining silindrik koordinatalari
deyiladi, bu yerda r-M nuqtaning Oxy tekislikka proeksiyasi radius vektorining
uzunligi,
φ−¿ bu radius vektorning Ox o’q bilan tashkil qilgan burchagi, z –M
nuqtaning applikatasi.
Silindrik koordinatalar dekart koordinatalari bilan
x=rcos φ,y=rsin φ,z= z
bog‘lanishga ega, bu yerda
0≤φ≤2π,0≤r≤+∞ ,− ∞<z<+∞ .
Uch karrali integral silindrik koordinatalarida
∭ f ( x , y , z ) dxdydz =
∭ f
( r cos φ , r sin φ , z ) rdφdrdz ( 2.7 )
o‘zgaruvchilarni almashtirish formulasi orqali hisoblanadi.
Uch karrali integralni sferik koordinatalarida hisoblash
r,φ,θ
sonlar uchligiga Oxyz fazo M(x;y;z) nuqtasining sferik koordinatalari
deyiladi, bu yerda r-M nuqta radius vektorining uzunligi,
φ−⃗OM radius vektorning](https://docx.uz/documents/ddd66f73-e961-474e-b78c-98126b8cc266/page_26.png?v=1)
Reja:
- Kirish
- Asosiy qism: Integrallarni taqribiy hisoblash usullari
- To’rtburchak usuli
- Trapetsiya usuli
- Simpson usuli
- Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
-
Похожие документы
- Sirkul va chizg’ich yordamida yasashlarda algebraik metodlar. Matematika tarixidagi uch qiziqarli masala
- Sonli qatorlar
- Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun boshlang‘ich-chegaraviy aralash masalalarni Furye usulida yechish
- Stereometriyada vektorlar metodi
- 2 ta nochiziqli giperbolik tenglamalar sistemasi uchun ayirmali sxema