Дата регистрации 21 Апрель 2025
10 ПродажSplaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashish
![I.BOB. SPLAYNLAR
1.1. Kubik splayn qurish
Funksiyani interpolyasion ko‘phad yordamida yaqinlashtirish, ko‘phad
yuqori tartibli bo‘lganda hisoblash xatoliklarining yig‘ilib borishi natijasida yomon
yaqinlashadi. Shuning uchun [a,b¿ oraliqni kichik oraliqlarga ajratib har birida
yaqinlashtiruvchi ko‘phad ko‘rish ancha yaxshi natija berishi aniqlanadi. hap bir
bo‘lakda ko‘phaddan iborat va ma’lum tartibli uzliksiz hosilalaga ega bo‘lgan
funksiya splayin deb aytiladi. Splayn yaqinlashtirish ko‘phad bilan yaqinlash-
tirishdan afzalligi shundan iboratki u: Birinchidan: funksiyaga yaqinlashadi,
Ikkinchidan : hisoblash jarayoi turg‘undir.
1.Kubik splaynni qurish. Faraz qilamiz [
a,b¿ kesmada aniqlangan f(x) uzliksiz
funksiya berilgan bo‘lsin.
a = x
0 < x
1 < , … < x
N − 1 < x
N = b
to‘rni aniqlab,
fi= f(xi),i= 0,1 ,… .,N deb belgilaymiz. f ( x )
funksiyaga
va
{ x
i } N
i = 0 tugun nuqtalarga mos S ( x )
splayn deb quyidagi shartlarni
qanotlantiruvchi funksiyaga aytiladi:
1) Har bir [
xi−lf,xi ] sigmentda i = 1,2 , … . , N , S ( x )
funksiya uchunchi
darajali ko‘phad;
2) S ( x )
funksiya va uning birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari [
a,b¿ da
uzliksiz;
S
( x
i ) = ( x
i ) , i = 0,1 , … . , N .
Oxirgi shart interpolyasiyalash shartlari deb aytiladi, splayn esa
interpolyasiyalaydigan splayn deb aytiladi. Yuqorida qayd etilgan splayn mavjud
va yagonaligini isbot qilamiz. Quyida keltiriladigan isbot splaynni qurish usulini
ham aniqlaydi Har bir
[ x
i − 1 , x
i ] , i = 1,2 , … , N
kesmada, S ( x ) = S , ( x ) − ¿
ni
S ,
( x ) = a
i + b
i ( x − x
i ) + c
i
2 ¿ (1.1)
ko‘rinishda izlaymiz .
Bu erdagi a
i , b
i , c
i , d
i − ¿
koeffitsientlar aniqlanishi lozim bo‘lgan noma’lum
koeffitsientlar ma’nosini aniqlaymiz .
PAGE \* MERGEFORMAT30](https://docx.uz/documents/99eac640-a5fa-4a53-928c-20df580ba698/page_4.png?v=1)
![1.2. Kubik splayn bilan interpolyasiyalash jarayonining
yaqinlashishi.
Bu yerda kubik interpolyasion splaynlarning tugun nuqtalar soni N
cheksizga intilganda interpolyasiyalanuvchi funksiyaga intilishini ko‘rsatamiz.
Interpolyasion splayn bilan f (x) orasidagi farq U (x) = f (x) – S (x) funksiya
silliqlik tartibiga va tugun nuqtalarining joylashishiga bog‘liq. Soddalik uchun
nuqtalari tekis joylashgan to‘rlar ketma–ketligini qaraymiz :
ω
h ={ x
i = a + i . h , = 0,1 , … , N } ,
bu yerda
h = b − a
N
Bu holda sistema (9) ko‘rinishi quyidagicha bo‘ladi
ci−1+4ci+ci−1=6fxẋ,i,i=1,2 ,… ,N−1,c0= xN=0,(2.1 )
bunda f
, x
ẋ , i = f
i − 1 − 2 f
i + f
i + 1
h 2
f (x) funksiya [a,b] oraliqda to‘rtinchi tartibli uzliksiz hosilaga ega deb talab
qilamiz:
f(x) ∈ C ( 4 )
[ a , b ]
Bundan tashqari
f ' '
(
a) = f ' ' (
b ) = 0
chegaraviy shartlari bajarilsin, xuddu shunday shartlar splayn uchun hambajarilsin
deb shart qo‘yamiz.
‖
g ( x ) ‖
C [ a , b ] ¿
a ≤ x ≤ bmax . |
g ( x ) | , M
4 = ‖ f ( 4 )
( x ) ‖
C [ a , b ]
deb belgilaymiz Faraz qilamiz
Sh ( x )
, f(x) funksiyani [a,b] oraliqda ωh to‘rda
interpolyasiyalaydigan splayn bo‘lsin. Quyidagi teoremada f (x) funksiya va
uning f '
(
x )
va f ' ' (
x )
hosilalarining interpolyasiya xatolari bahosi keltirilgan.
1-teorema. Agar
f(x) ϵ C ( 4 )
[
a , b ]
bo‘lsa ,
‖ f ( x ) − S
h ( x ) ‖
C [ a , b ] ≤ M
4 . h 4
(2.2)
‖ f ' (
x ) − S
h'
( x ) ‖
C [ a , b ] ≤ M
4 . h 3
( 2.3 )
PAGE \* MERGEFORMAT30](https://docx.uz/documents/99eac640-a5fa-4a53-928c-20df580ba698/page_8.png?v=1)
![‖f''(x)− Sh''(x)‖C[a,b]≤M 4.h2(2.4 )
baholar o‘rinli bo‘ladi Bu tengsizliklardan, h → 0
( N → ∞ ) S
h ( i)
( x )
larning f ( i)(
x ) − ¿
larga i=0,1,2 intilishi kelib chiqadi.Bu teoremani isbot qilish
uchun
f''(xi)− Sh''(xi) xatolikni baholovchi lemmani keltiramiz .
‖φ(x)‖C(ωh)≤maxxi∈ωh
¿
deb belgilaymiz .1- lemma. f(x)
∈c(4)[a,b]. uchun
‖f''(x)− Sh''(x)‖C(ωh)≤3
4M
4
.h2(2.5 )
Isbot.
f''(x)=ci bo‘lganligi uchun, bu erda ci(2.1 ) - sistemaning yechimi, zi=cif''(xi)
xatolikning bahosini toppish kifoya. C
i = Z
i − f
i ni (11) –ga qo‘yib
zi−1+4.zi+zi−1=ψi
, i=1, 2, …, N-1, z0= zN=0(2.6 )
tenglamalarni hosil qilamiz, bu erda
ψi=6. fxx,i−(fi+1''+4fi''+ fi−1'').(2.7 )
Sistema (2.6) yechimini
ψi - o‘ng tamonlar orqali baholaymiz. Buning uchuin (2.6)-
tenglamani
4zi=− zi−1− zi+1+ψi ko‘rinishida yozamiz. Bundan
4
|zi|=|− zi−1− zi+1+ψi|≤|zi−1|+|zi+1|+|ψi|≤ max
xi−1∈ωh|zi−1|+ max
xi+1∈ωh|zi+1|+ max
xi∈ωh|ψi|= 2‖z‖C(ωh)+‖ψi‖C(ωh)
kelib chiqadi
Bu tengsizlik barcha i- lar uchun o‘rinli bo‘lganligi uchun, y
| z
i | maksumiga
erishadigan
i¿i0 uchun ham, ya’ni x
i = x
i 0 uchun ham o‘rinli bo‘ladi .
Shuning uchun
4‖z‖C(ωh)≤2‖z‖C(ωh)+‖ψ‖C(ωh)
ya’ni
‖
f ' ' (
x ) − S
h' '
( x ) ‖
C ( ωh ) ≤ 1
2 ‖ ψ ‖
C ( ωh ) ( 2.8 )
bajariladi.
Bundan (2.5)-bahoni hosil qilish uchun
‖ψ‖C(ωh) ni baholash lozim. Bunda
ψ=(ψ¿¿1,ψ2,… .,ψN−1,),φi−¿¿
lar tenglik (2.7) yordamida aniqlangan. ψ
i − ¿
ψ
i , = 6 f
¨x x , i −
( f
i + 1' '
+ 4 f
i' '
+ f
i − 1' ' )
= 6 ¿
ko‘rinishida yozamiz va Teylor formulalaridan foydalanamiz.
PAGE \* MERGEFORMAT30](https://docx.uz/documents/99eac640-a5fa-4a53-928c-20df580ba698/page_9.png?v=1)
![fxx,i= fi+1''−2f,i+fi−1
h2 = 1
h2f''(xi).h2+ 1
12 h2[
f(4)(ƺi)+f(4)(ƺi)
2 ].h4= f''(xi)+ 1
12 f(4)(ᶯi).h2,xi−1<ᶯi<xi−1munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Xuddi shunday usul bilan
f ' '
x x , i = f
i + 1' '
− 2 f ' '
i + f ' '
i − 1
h 2 = f
ξi ( 4 )
+ f
ξi ( 4 )
2 = f .
( 4)(
ξ
i ) , ξ
i ϵ ( x
¿ ¿ i − 1 , x
i − 1 ) ¿
tenglikni hosil qilish mumkin. (2.9)- dan
ψi=6(f¿¿xx,i− fi'')− h2.fxx,i '' =6[fi''+ 1
12 f(ᶯi)(4).h2− fi''
]−h2f(4)(ᶯi)= 1
2 f(4)(ᶯi)h2−h2f(4)(ξi),i=1,2 ,..N −1¿
kelib chiqadi. Bundan
1,2 ,..N−1
|
ψi | ≤ h 2
2 | f ( 4)(
ᶯ
i )| + h 2 |
f ( 4)(
ξ
i )| ≤ h 2
2 max
a ≤ x ≤ b | f ( 4)(
x )| + h 2
max
a ≤ x ≤ b | f ( 4)(
x )| = 3
2 M 4
h 2
.
b
undan M 4= maxa≤x≤b|f(4)(x)|kelib
chiqadi .
Tengsizlik (2.8)-dan
‖
ψ ‖
C ( ωh ) 4 = 3
4 M 4
. h 2
ekanligi ma’lum bo‘ladi. 1- lemma isbot bo‘ldi.
Endi 1- teoremani isbot qilishga o‘tamiz . Eng avval baho (2.4) ning o‘rinli
ekanligini ko‘rsatamiz. [
xi−1,xi ] i=1, 2, ..., N kesmani qaraymiz. Bu kesmada
f''(x)− S''(x)
ga shunday birinchi darajali P
1 ( x )
ko‘pxadni qo‘shib ayiramizki,
S ' '
( x ) -
P1(x) birinchi darajali ko‘phad f''(x) ni xi−1 va xi nuqtalarda
interpolyasiyalasin.
Unda quyidagiga ega bo‘lamiz :
|f''(x)− Sh''(x)+P1(x)− P1(x)|≤∨ f''(x)−Sh''(x)+P1(x)
|+ P
1 ( x ) ∨ . ( 2.10 )
O‘ng tomonidagi hadlarini alohida – alohida baholaymiz .
Sh''(x)− P1(x) birinchi
darajali ko‘pxad f ' '
(
x )
ni intorpolyasiyalovchi qo‘shhhad ekanligi uchun,
interpolyasiya xatoligini baholash formulasidan:
¿ f ' '
(
x ) − S
h' ' (
x ) + P
1 ( x ) ∨ ≤ 1
2 . max
x
i − 1 ≤ ξ ≤ x
i . | f ( 4)(
ξ )| .| x − x
i − 1 | .| x − x
i | ≤ 1
2 max
a ≤ x ≤ b | f ( 4)(
x )| . max
x
i − 1 ≤ ξ ≤ x
i . | x − x
i − 1 | .| x − x
i | = 1
4 . M
4 . h 2
( 2.11 )
P1(x)=¿¿
). x − x
i
x
i − 1 − x
i + ¿
PAGE \* MERGEFORMAT30](https://docx.uz/documents/99eac640-a5fa-4a53-928c-20df580ba698/page_10.png?v=1)
![ko‘rinishda bo‘ladi.
Shuning uchun
¿ P
1( x )| ≤ max
x
i − 1 ≤ x ≤ x
i | P
1 ( x ) ∨ ¿ max
x
i − 1 ≤ x ≤ x
i ¿
Bo‘ladi lemmaga asosan
¿P1(x)∨≤3
4M 4h2
(2.12)
baho hosil bo‘ladi.
Tengsizlik (2.10)-dan (2.11)- va (2.12)-larga asosan ixtiyoriy x
ϵ[xi−1,xi] uchun
¿ f ' '
(
x ) − S
k' ' (
x ) ∨ ≤ M
4 h 2
(2.13)
hosil bo‘ladi ,i=1,2,…,N ixtiyoriy bo‘lgani uchun (2.14)-baho o‘rinli ekanligi
kelib chiqadi .
Endi baho (2.13) ning o‘rinli ekanligi ni ko‘rsatamiz.
[ x
i − 1 , x
i ] kesmada r(x)
=f(x)- S
h ( x )
funksiyani qaraymiz r ( x ¿ ¿ i − 1 ) = r ( x ¿ ¿ i ) = 0 ¿ ¿
bo‘lgani uchun shunday
xi−1<ξ<xi
nuqta topiladiki r' r( ξ ) = 0.
Shu sababli |
r'(x)∨¿ =| r ' (
x ) − r ' (
ξ )
|=| r ' ' (
ξ ) .( x − ξ ) ∨ ≤ | r ' ' (
ξ )| . h
bo‘ladi. Shunday qilib
|
f(x)− Sh'(x)∨≤∨¿ f''(ξ)− Sh' ( ξ ) ∨ h
bo‘ladi, Agar (14) ni inobatga olsak |
f(x)− Sh'(x)∨≤M 4h2
bo‘lishi va bundan (13)-kelib chiqadi .
baho (12) ni isbot qilish kerak.
g(t)= f(t)− Sh(x)− K(t− xi−1)(t− xi)
(2.14)
K doimiy son x ϵ
[ x
i − 1 , x
i ] , K
ni g(x)=0 shartdan aniqlaymiz, ya’ni
K= f
( x ) − S
h ( x )
(
x − x
i − 1 )( x − x
i )
g(x)=g ¿ ¿
)=g(
xi )=0 ga egamiz. Shuning uchun shunday ξ ϵ[xi−1,xi], topiladiki
g ' '
(
x ) = 0 ,
g''(t)= f''(t)−Sh''(t)= 2K
bo‘lgani uchun
f''(ξ)− Sh''(ξ)= 2K , ya’ni
f(x)-
S
h
( x ) = f ' ' (
ξ ) − S
h' ' (
ξ )
2 .(x− xi−1).(x− xi) bo‘ladi.
Bundan va (2.14)-dan | f(x)- S
h
( x ) ∨ ≤ 1
2 ‖ f ( x ) − S
h' ' (
x )‖
C ( ωh ) . h 3
4 ≤ M
4. h 4
8
baho hosil bo‘ladi. Bundan baho (2.12) kelib chiqadi.
PAGE \* MERGEFORMAT30](https://docx.uz/documents/99eac640-a5fa-4a53-928c-20df580ba698/page_11.png?v=1)
![II.BOB. FUNKSIYALARNI YAQINLASHTIRISH MASALASI VA
MATLAB TADBIQI.
2.1. Splayn funktsiyalar yordamida kvadratur formula qurish
Teng oraliqlar uchun qo‘llaniladigan interpolasiyalash formulalariga
Nyutonning birinchi va ikkinchi interpolasiyalash formulalari, Gausning birinchi
va ikkinchi interpolasiyalash formulalari Stirling va Bessel formulalarini ko‘rsatish
mumkin. Tengmas oraliqlar uchun interpolasiyalash formulalariga Lagranj va
Nyuton formulalarini misol qilib ko‘rsatish mumkin.
Argumentning teng oraliqda bo‘lgan qiymatlari uchun interpolasiyalash.
Funksiya f(x) ning berilgan (n+1) ta har xil x
0, x
1, x
2, …, x
n nuqtalardagi
qiymatlariga ko‘ra, shu funksiyaning qaralayotgan oraliqning x∈ [ x
0, ,x
n ]
nuqtasidagi qiymatini topish talab qilingan bo‘lsin. Interpolasiyalash ko‘phadi L
n
(x) ni tuzamiz, bu ko‘phadning qiymati berilgan nuqtalarda f(x) funksiyaning
qiymati bilan mos tushishi lozim.
L n ( x i ) = f ( x i ) , i = 0 , 1 , 2 , … , n . ( 1 ) L n ( x )
ko‘phad interpolasiyalash ko‘hadi deyiladi. Funksiya f(x) ning qiymatini
formula f(x)= L
n (x) bilan taqribiy topish, f(x) funksiyani algebraik ko‘phad bilan
interpolasiyalash deyiladi. Agar x nuqta barcha
x0,x1,x2,… ,xn
nuqtalarni o‘z
ichiga oluvchi kesmadan tashqarida bo‘lsa, bu holda f(x) funksiyani formula (1)
bilan taqribiy almashtirish ekstropolasiyalash deyiladi. Agar
x i + 1 − x i = ∆ x i = h = const , i = 0 , 1 , 2 , … , n − 1
bo‘lsa, interpolasiyalash tugunlari teng
uzoqlikda yoki teng oraliqda joylashgan deyiladi. Funksiya y=f(x) ning chekli
ayirmalari deb, quyidagi ko‘rinishdagi ayirmalarga aytiladi.
∆ yi= yi+1− yi
–birinchi tartibli chekli ayirma,
∆2yi= ∆ yi+1− ∆yi
—ikkinchi tartibli chekli ayirma, va hokazo,
∆kyi= ∆k−1yi+1− ∆k−1yi
—k-tartibli chekli ayirma.
Xuddi shu tariqa, indeks I sonning manfiy qiymatlari uchun xam chekli
ayirmalar kiritish mumkin:
∆ y − ( i + 1 ) = y − i − y − ( i + 1 ) ,
∆ 2 y − ( i + 1 ) = ∆ y − i − ∆ y − ( i + i ) ,
PAGE \* MERGEFORMAT30](https://docx.uz/documents/99eac640-a5fa-4a53-928c-20df580ba698/page_13.png?v=1)
![∆ k y − ( i + 1 ) = ∆ k − 1 y − 1 − ∆ k − 1 y − ( i + 1 ) .
bu formulalarda
y i = f ( x i ) = f i
(3.1)
Nyutonning birinchi va ikkinchi interpolasiyalash formulalari. Nyutonning
birinchi interpolasiyalash formulasi yoki Nyutonning oldinga interpolasiyalash
formulasi quyidagi ko‘rinishga esaLn(x)= f0+qΔf 0+q(q−1)
2!
Δ2f0+...+q(q−1)...(q−n+1)
n!
Δnf0.
( 3.2)
bu yerda q=(x-x
0 )/h.
Formula (2) ning qoldiq hadi
Rn(x)=hn+1q(q−1)(q−2)...(q−n)
(n+1)! f(n+1)(ξ)
,
ξ
∈ [x
0 , x
n ] formulasi bilan aniqlanadi.
Formula (2) y=f(x) funksiyani x ning x
0 nuqtaga yaqin bo‘lgan qiymatlarida
interpolasiyalashda, ya’ni q ning qiymati kichik bo‘lganda qo‘llaniladi.
Nyutonning ikkinchi interpolasiyalash formulasi yoki Nyutonning orqaga
interpolasiyalash formulasi deyiladi. Bu formula
Ln(x)= fn+qΔf n−1+q(q−1)
2!
Δ2fn−2+...+q(q+1)...(q+n−1)
n!
Δnf0
(3.3)
ko‘rinishga ega, bu erda q=(x-x
n )/h. Formula (3) ning qoldiq hadi
Rn(x)=hn+1q(q+1)(q+2)...(q+n)
(n+1)! f(n+1)(ξ)
bo‘yicha aniqlanadi, bu yerda
ξ ∈
[x
0 ,x
n ].
Nyutonning ikkinchi interpolasiyalash formulasi (3.3) dan x ning qiymati x
n
nuqtaga yaqin bo‘lganda interpolasiyalashda foydalaniladi.
Interpolyatsiyalash amaliy masalalarni hal qilishda qo‘llaniladigan unumli
usullardan biri hisoblanadi. Bu usulda acosan ikkita masala qo‘yiladi.
1) Berilgan funktsiyani o‘ziga yaqin funktsiya bilan (mahlum xatolikda)
PAGE \* MERGEFORMAT30](https://docx.uz/documents/99eac640-a5fa-4a53-928c-20df580ba698/page_14.png?v=1)
![almashtiriladi.
2) Funksiyaning jadvaldagi qiymatlariga acoslanib, uning analitik ifodasini
(ma’lum xatolikda) topiladi.
Bu masalalarni hal qilish uchun bir necha usullar mavjuddir. Ko‘phollarda
(amaliy masalalarni hal qilishda) funktsiyani ko‘phad bilan almashtirish maqsadga
muvofiq bo‘ladi va olingan ko‘phad interpolyatsiyalash ko‘phadi deb yuritiladigan
interpolyatsiyalash ko‘phadini qurish usullari bilan tanishamiz.
Aytaylik, [ a,b ] kesma biror usul bilan n ta bo‘laklarga bo‘lingan bo‘lib,
bo‘linish nuqtalari
a=x
0 <x
1 <…<x
n =b
ko‘rinishda belgilangan bo‘lsin. Bo‘lish natijasida olingan x
i ,(i=0,1,2, … n)
nuqtalar tugun nuqtalar, tugun nuqtalar to‘’lami
n ={x
i i=0, 1, 2,…,n} esa [ a;b ]
kesmada kiritilgan to‘r deb yuritiladi. Agar to‘rda, yahni tugun nuqtalarda, f (x)
funktsiyaning
f (x
i )=y
i (i=0, 1, 2, …, n) (3.4)
qiymatlari mahlum bo‘lsa, uni [ a,b ] kesmada darajasi n dan katta bo‘lmagan
P
n (x)=a
0 + a
0 x +…+ a
n x n
ko‘phad bilan almashtirish masalasini qaraylik.Bunda
R n ( x i ) = f ( x i )
bo‘lishini talab qilsak, (3.1) ni hisobga olgan holda {a
0
+a
1
x
0
+...+a
n
x
0
n
=y
0,¿{a
0
+a
1
x
1
+...+a
n
x
1
n
=y
1,¿¿¿¿
(3.2)
sistemaga ega bo‘lamiz. Demak, R
n (x) ko‘phadning koeffitsientlari a
0 , a
1 , …, a
n
larni (3.2) sistemadan aniqlash kerak ekan. Bu sistema n+1 nomahlumli n+1 ta
chiziqli tenglamalar sistemasi ekanligiga va uning aniqlovchi
¿
|1x0...x0
n
¿||1x1...x1
n
¿||..........¿|¿
¿
¿
Vandermond determinanti ekanligidan uning yagona yechimi mavjudligi
ravshandir. SHunday qilib, qo‘yilgan masala yagona yechimga ega ekanligiga
PAGE \* MERGEFORMAT30](https://docx.uz/documents/99eac640-a5fa-4a53-928c-20df580ba698/page_15.png?v=1)
![shubha yo‘q . Bu yerda funktsiyani interpolyatsiyalash ko‘phadi bilan almashtirish
natijasida yo‘l qo‘yilganRn(x)= f(x)− Pn(x)(3.5 )
xatolikni baholash muhimligini va bu masala uchun keyinroq interpolyatsiyalash
ko‘phadini qurish usullarini har biriga bog‘liq holda hal qilinishini aytib o‘tamiz.
Aytaylik, [ a;b ] kesmada
n to‘r kiritilgan bo‘lib, y= f (x) funktsiyaning undagi
qiymatlari (3.1) ko‘rinishda berilgan bo‘lsin. Bu yerda interpolyatsiyalash ko‘phadi
L
n (x) ni qurishning Lagranj usuli bilan tanishamiz. Interpolyatsiyalash masalasini
qo‘yilishiga ko‘ra:
L n ( x i ) = y i ; ( i = 0 , 1 , 2 , ... , n ) .
Bu geometrik jihatdan quyidagi rasmda tasvirlangan
3.1-rasm
Avvalo, quyidagi oddiy masalani qaraylik, shunday ko‘phad qurilsinki, u
P i ( x i ) = 1 ; P i ( x j ) = 0 ; i j ( 3.6 )
shartlarni qanoatlantirsin.
Qurilishi talab qilingan P
i (x) ko‘phadlik (3.4) shartga ko‘ra x
i i j nuqtalarda
nolga aylanishi kerakligidan
Pi(x)= Si(x− x0)… (x− xi− 1)(x− xi+1)… (x− xn)
ko‘rinishda olish tabiiydir. Oxirgida x=x
i desak, (3.4) shartga ko‘ra
Ci= 1
(xi−x0)...(xi−xi−1)(x1−xi+1)...(x1− x0)
PAGE \* MERGEFORMAT30](https://docx.uz/documents/99eac640-a5fa-4a53-928c-20df580ba698/page_16.png?v=1)
![4.2-chizma (terapetsiya formulasining geometrik ma’nosi)
F(x) funksiya [a,b] oraliqda kvadratik funksiyaga yaqin bo‘lsin, u holda
∫a
b
f(x)dx
ni taqribiy ravishda Ox o‘qi, x=a va x=b to‘g‘ri chiziqlar hamda y=f(x)
funksiya grafigining absissalari x = a , x = ( a + b ) / 2
va x=b bo‘lgan nuqtalaridan
o‘tuvchi ikkinchi tartibli parabola orqali chegaralangan yuza bilan almashtirish
mumkin, u holda quyidagiga ega bo‘lamiz:
∫a
b
f(x)dx ≈b−a
6 {f(a)+4∗ f(
a+b
2 )+f(b)
} (4.3)
4.3-chizma (Simpson formulasining geometrik ma’nosi)
Bu formulani ingliz matematigi Simpson 1743-yilda taklif etgan edi. Bu
formulaning hosil qilinishi usulidan ko‘rinib turibdiki, u barcha ikkinchi darajali
P2(x)= a0+a1x+a2x2
Ko‘phadlar uchun aniq formuladir. Shunday qilib, biz uchta eng sodda kvadratur
formulalarga ega bo‘ldik.Simpson formulasi biz kutgandan ko‘ra yaxshiroq
formuladir. U uchinchi darajali
P3(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3
ko‘phadlarni ham aniq integrallaydi. Shunday qilib, biz uchta kvadratur formulani
ko‘rib chiqdik. Ulardan ikkitasi to‘g‘ri to‘rtburchak va trapetsiya formulalari –
birinchi darajali ko‘phad uchun aniq formula bo‘lib, Simpson formulasi uchinchi
darajali ko‘phad uchun aniq formuladir.
To‘g‘ri to‘rtburchak, trapetsiya va Simpson formulalarining qoldiq hadlari. Ushbu
ifoda R
n ( f ) =
∫
ab
f
( x ) dx −
∑
k = 1n
A
k ( n)
f ( x
k ( n))
kvadratur formulaning qoldiq hadi yoki xatosi
deyiladi.To‘g‘ri to‘rtburchak formulasining qoldiq hadi
R0(f)=∫a
b
f(x)dx −(b−a)f(a+b
2 )
Bu formulani quyidagicha yozish mumkin:
R
0
( f ) = ( b − a ) 3
24 f } (ε ¿
( a ≤ ε ≤ b )
(4.4)
Trapetsiya formulasining qoldiq hadi:
PAGE \* MERGEFORMAT30ay
0
xb(a+b)/2 f(b)
f(a)](https://docx.uz/documents/99eac640-a5fa-4a53-928c-20df580ba698/page_19.png?v=1)
![2.2. Splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirishning Matlab
dasturidagi tadbig’i.
Quyida splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashtirishga oid misollarni Matlab
dasturi orqali ko’rib chiqamiz:
Misol 1: Sinus Funktsiyasini Yaqinlashtirish
Funksiya: ?????? ( ?????? )=sin( ?????? )
% Berilgan nuqtalar
x = [0, pi/2, pi, 3*pi/2, 2*pi]; % x nuqtalari
y = sin(x); % sin(x) funktsiyasining qiymatlari
% Splayn yordamida yaqinlashtirish
xx = linspace(0, 2*pi, 100); % Yana qo'shimcha
nuqtalar
yy = spline(x, y, xx); % Splaynni hisoblash
% Grafikni chizish
figure;
plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10, 'DisplayName',
'Original Points'); % Berilgan nuqtalar
hold on;
plot(xx, yy, 'r-', 'LineWidth', 2, 'DisplayName',
'Spline Approximation'); % Splayn grafiki
hold off;
% Grafikni sozlash
title('Splayn yordamida sin(x) funksiyasini
yaqinlashtirish');
xlabel('x');
ylabel('f(x) = sin(x)');
legend show;
grid on;
axis tight;
PAGE \* MERGEFORMAT30](https://docx.uz/documents/99eac640-a5fa-4a53-928c-20df580ba698/page_22.png?v=1)
![Misol 2: Polinomial Funktsiyani Yaqinlashtirish
f(x)=x^3 −6x^2 +9x
% Berilgan nuqtalar
x = [0, 1, 2, 3, 4]; % x nuqtalari
y = x.^3 - 6*x.^2 + 9*x; % f(x) = x^3 -
6x^2 + 9x funktsiyasining qiymatlari
% Splayn yordamida yaqinlashtirish
xx = linspace(0, 4, 100); % Yana
qo'shimcha nuqtalar
yy = spline(x, y, xx); % Splaynni hisoblash
% Grafikni chizish
figure;
plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10,
'DisplayName', 'Original Points'); %
Berilgan nuqtalar
hold on;
plot(xx, yy, 'r-', 'LineWidth', 2,
'DisplayName', 'Spline Approximation'); %
Splayn grafiki
hold off;
% Grafikni sozlash
title('Splayn yordamida f(x) = x^3 - 6x^2 +
9x funksiyasini yaqinlashtirish');
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
legend show;
grid on;
axis tight;
PAGE \* MERGEFORMAT30](https://docx.uz/documents/99eac640-a5fa-4a53-928c-20df580ba698/page_23.png?v=1)
![Misol 3: Eksponential Funktsiyani Yaqinlashtirish
Funktsiya: ?????? ( ?????? )= ?????? ^ ??????
% Berilgan nuqtalar
x = [0, 1, 2, 3, 4]; % x nuqtalari
y = exp(x); % f(x) = e^x funktsiyasining
qiymatlari
% Splayn yordamida yaqinlashtirish
xx = linspace(0, 4, 100); % Yana
qo'shimcha nuqtalar
yy = spline(x, y, xx); % Splaynni hisoblash
% Grafikni chizish
figure;
plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10,
'DisplayName', 'Original Points'); %
Berilgan nuqtalar
hold on;
plot(xx, yy, 'r-', 'LineWidth', 2,
'DisplayName', 'Spline Approximation'); %
Splayn grafiki
hold off;
% Grafikni sozlash
title('Splayn yordamida f(x) = e^x
funksiyasini yaqinlashtirish');
xlabel('x');
ylabel('f(x)');
legend show;
grid on;
axis tight;
PAGE \* MERGEFORMAT30](https://docx.uz/documents/99eac640-a5fa-4a53-928c-20df580ba698/page_24.png?v=1)
![Misol 4: Eksperimental Ma'lumotlarni Yaqinlashtirish
Ushbu misolda vaqt va tezlik o'rtasidagi aloqani aks ettiruvchi eksperimental
ma'lumotlarni splayn yordamida yaqinlashtiramiz.
Berilgan nuqtalar:(0, 0)(1, 2)(2, 4)(3, 3)(4, 5)
% Berilgan nuqtalar
x = [0, 1, 2, 3, 4]; % Vaqt (s)
y = [0, 2, 4, 3, 5]; % Tezlik (m/s)
% Splayn yordamida
yaqinlashtirish
xx = linspace(0, 4, 100); % Yana
qo'shimcha nuqtalar
yy = spline(x, y, xx); % Splaynni
hisoblash
% Grafikni chizish
figure;
plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10,
'DisplayName', 'Original Points');
% Berilgan nuqtalar
hold on;
plot(xx, yy, 'r-', 'LineWidth', 2,
'DisplayName', 'Spline
Approximation'); % Splayn grafiki
hold off;
% Grafikni sozlash
title('Splayn yordamida
eksperimental ma\'lumotlarni
yaqinlashtirish');
xlabel('Vaqt (s)');
ylabel('Tezlik (m/s)');
legend show;
grid on;
axis tight;
PAGE \* MERGEFORMAT30](https://docx.uz/documents/99eac640-a5fa-4a53-928c-20df580ba698/page_25.png?v=1)
![Misol 5: Fizik jarayonlarni modellashtirish
Bu misolda fizik jarayonlarni modellashtirish uchun, harorat va vaqt o'rtasidagi
bog'lanishni splayn yordamida yaqinlashtiramiz. Masalan, biror jismining
haroratining vaqt o'tishi bilan o'zgarishini ko'rib chiqamiz.
% Berilgan nuqtalar
x = [0, 1, 2, 3, 4]; % Vaqt (soat)
y = [20, 25, 30, 28, 22]; %
Jismining harorati (°C)
% Splayn yordamida
yaqinlashtirish
xx = linspace(0, 4, 100); % Yana
qo'shimcha nuqtalar
yy = spline(x, y, xx); % Splaynni
hisoblash
% Grafikni chizish
figure;
plot(x, y, 'o', 'MarkerSize', 10,
'DisplayName', 'Original Points');
% Berilgan nuqtalar
hold on;
plot(xx, yy, 'r-', 'LineWidth', 2,
'DisplayName', 'Spline
Approximation'); % Splayn grafiki
hold off;
% Grafikni sozlash
title('Splayn yordamida jismining
haroratini modellashtirish');
xlabel('Vaqt (soat)');
ylabel('Jismining harorati (°C)');
legend show;
grid on;
axis tight;
PAGE \* MERGEFORMAT30](https://docx.uz/documents/99eac640-a5fa-4a53-928c-20df580ba698/page_26.png?v=1)
Splaynlar yordamida funksiyalarni yaqinlashish