• Всего документов: 5844
  • Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена 15000UZS
Размер 251.0KB
Покупки 1
Дата загрузки 02 Апрель 2024
Расширение doc
Категория Алгебра

Продавец

Shodlikbek Zaripboyev

Дата регистрации 02 Апрель 2024

2 Продаж

Statistik gipotezalar

Bu xulosalardan kelib chiqadiki, n ≥ 20 bo‘lsa kritik chegara t α ni ga teng deb olish mumkin. Bu yerda λ α K (λ α ) = 1- α tenglamaning ildizlaridan iborat. Haqiqatan ham berilgan 0< α <1 uchun . Shunday qilib, Kolmogorov alomati quyidagicha aniqlanadi: 1) berilgan α orqali K( λ α ) = 1- α tenglama yechimi λ α jadval yordamida topiladi. 2) berilgan tajriba natijalari x 1 , x 2 , …, x n larga ko‘ra t = D n ( x 1 , x 2 , …, x n ) qiymati hisoblanadi, 3) va λ α solishtiriladi, agar bo‘lsa asosiy gipoteza H 0 rad eriladi, aks holda tajriba H 0 ni tasdiqlaydi. Mavzu: Statistik gipotezalar Reja: 1. Statistik gipotezalar. Statistik gipotezalarni tekshirish alomatlari va ularning xossalari. 2. Parametrik statistik alomat tuzish usullari. 3. Noparametrik muvofiqlik alomatlari. Ko‘p hollarda tajribalardan olingan ma’lumotlar asosida o‘rganilayotgan tasodif bilan bog‘liq bo‘lgan jarayonlar xarakteristikalari haqida bir yoki bir necha turli gipotezalar(tahminlar) qilish mumkin. Statistik ma’lumotlar asosida tasodifiy jarayon taqsimoti yoki boshqa xarakteristikalari haqida aytilgan gipotezalarni tekshirishni matematik statistikaning statistik gipotezalar nazariyasi bo‘limi o‘rganadi.  Kuzatilayotgan t.m. haqida aytilgan ixtiyoriy fikrga statistik gipoteza deyiladi. 1-misol. Hosildorligi a 0 bo‘lgan bug‘doy navini hosildorligi a 1 bo‘lgan bug‘doy navi bilan solishtirilmoqda. Ma’lum tumanda birinchi nav bug‘doy ikkinchi navga qaraganda ko‘proq hosil beradi degan gipotezani tekshirish kerak. Keltirilgan misoldan ko‘rinib turibdiki, mavjud bo‘lishi mumkin bo‘lgan gipotezalar turlicha bo‘lishi mumkin. Biron – bir obyekt haqida aytilgan gipoteza statistik ma’lumotlar asosida tekshirilishi mumkin.  Tekshirilishi kerak bo‘lgan gipoteza asosiy gipoteza deyiladi va u H 0 bilan belgilanadi. Asosiy gipotezadan qarama-qarshi bo‘lgan ixtiyoriy gipotezaga raqobatlashuvchi yoki alternativ gipoteza deb ataladi. Afsuski, statistik ma’lumotlar asosida aniq va qat’iy bir yechimga kelish qiyin, shuning uchun har qanday yechimda ma’lum xatolikka yo‘l qo‘yish mumkin. Matematik statistikada statistik gipotezalarni tekshirishda ikki xil xatolikka yo‘l qo‘yishi mumkin. Statistik yechim asosida asosiy faraz u to‘g‘ri bo‘lgan holda ham rad etilishi mumkin. Bunday xatolik birinchi tur xatolik Aks holda, ya’ni bo‘lsa asosiy gipoteza H 0 ni qabul qilishga asos bo‘ladi, chunki statistik ma’lumotlar asosida qilingan hulosalar asosiy gipotezani rad etmaydi. Shuni ta’kidlash lozimki, bo‘lishi asosiy gipoteza H 0 ni albatta to‘g‘ri bo‘lishini tasdiqlamaydi, balki bu holat statistik ma’lumotlar va nazariy gipotezaning yetarli darajada muvofiqligini ko‘rsatadi xalos. Yuqorida keltirilgan qoidada T=T ( ) statistikani statistik alomat statistikasi, - soha alomatning kritik sohasi deyiladi. Odatda α ning qiymatlari uchun 0.1; 0.05; 0.01 sonlari qabul qilinadi. Yuqorida keltirilgan qoidadan shu kelib chiqadiki, alomatning kritik sohasi asosiy gipoteza H 0 to‘g‘ri bo‘lganida alomat statistikasining barcha kichik ehtimolli qiymalari to‘plamini o‘z ichiga olishi lozim. Odatda kritik sohalar yoki ko‘rinishida bo‘ladi. Asosiy gipoteza H 0 ni tekshirish uchun yuqorida keltirilgan qoidaga asoslanganimizda biz ikki turdagi xatolikka yo‘l qo‘yishimiz mumkin: aslida to‘g‘ri bo‘lgan asosiy gipoteza H 0 ni rad etishimiz mumkin, ya’ni H 0 to‘g‘ri bo‘lganida hodisasi ro‘y beradi. Bunday xatolik birinchi turdagi xatolik deyiladi. Demak, shartga asosan birinchi turdagi xatolik α dan oshmaydi. Ammo aslida noto‘g‘ri bo‘lgan asosiy gipoteza H 0 ni qabul qilishimiz, ya’ni H 0 noto‘g‘ri bo‘lganida bo‘lib biz H 0 ni qabul qilishimiz mumkin. Bunday xatolik ikkinchi turdagi xatolik deyiladi. Statistik alomatlarga qo‘yiladigan asosiy talablardan biri bu ikki turdagi xatoliklarni iloji boricha kichik bo‘lishini ta’minlamog‘i kerak. Demak, asosiy gipoteza H 0 ni tekshirish uchun turli statistikalarga asoslangan statistik alomatlarni tuzish mumkin ekan. Tabiiyki, bunda statistik alomatlarni solishtirish masalasi kelib chiqadi. Faraz qilaylik, alomatning kritik sohasi bo‘lsin. U holda H gipoteza to‘g‘ri bo‘lganida statistikaning qiymati kritik sohaga tegishli bo‘lish ehtimolligi Faraz qilaylik, F 0 ( x ) va F 1 ( x ) taqsimot funksiyalar absolut uzluksiz taqsimot funksiyalar bo‘lib, mos ravishda f 0 ( x ) va f 1 ( x ) lar ularning zichlik funksiyalari bo‘lsin. Quyidagi nisbatni ko‘raylik Mana shunday aniqlangan l ( x ) – haqiqatga o‘xshashlik nisbati deyiladi. Bu funksiya bilan bo‘g‘liq ehtimollikni kiritamiz. Bu yerda с – soni Ψ ( c ) = α tenglama bilan aniqlanadi. Teorema(Neyman – Pirson). Yuqorida keltirilgan shartlar bajarilganda har doim tekis eng quvvatli alomat mavjud va u quyidagi kritik to‘plam bilan aniqlanadi . Bu yerda c- kritik nuqta Ψ ( c ) = α tenglamadan topiladi. T. e. q. alomat taqsimoti funksiyasi absolyut uzluksiz bo‘lgan hol uchun keltirildi. Ammo bunday alomat diskret taqsimotlar uchun ham mavjud bo‘ladi. 2 – misol. X 1 , X 2 , ..., X n lar noma’lum θ o‘rta qiymatli va ma’lum σ 2 dispersiyali normal taqsimlangan t.m.ning bog‘liqsiz tajribalar natijasida olingan kuzatilmalari bo‘lsin. Asosiy gipotezaga ko‘ra H 0 : θ = θ 0 , raqobatlashuvchi gipoteza H 1 ga ko‘ra θ = θ 1 va θ 1 > θ 0 bo‘lsin. Demak, , Endi haqiqatga o‘xshashlik statistik nisbati l ( x ) ni topaylik bo‘lsin. Noparametrik asosiy gipotezaga ko‘ra H 0 : F ( x )= F 0 ( x ). Mana shu statistik gipotezani tekshirish talab etilsin. A. Kolmogorovning muvofiqlik alomati X 1 ,X 2 , ..., X n kuzatilmalar asosida empirik taqsimot funksiyasini tuzamiz. Faraz qilamiz, F ( x ) uzluksiz taqsimot funksiyasi bo‘lsin. Quyidagi statistikani kiritamiz Glivenko teoremasiga ko‘ra n yetarli katta bo‘lganda D n kichik qiymat qabul qiladi. Demak, agar asosiy gipoteza H 0 o‘rinli bo‘lsa D n statistika kichik bo‘lishi kerak. Kolmogorovning muvofiqlik alomati D n statistikaning shu xossasiga asoslangandir. Teorema(Kolmogorov). Ixtiyoriy uzluksiz F ( x ) taqsimot funksiyasi va λ uchun bo‘ladi. D n – statistikaga asoslangan statistik alomat kritik to‘plami quyidagicha aniqlanadi . Bu yerdan 0< α <1 – alomatning qiymatdorlik darajasi. Kolmogorov teoremasidan quyidagi xulosalar kelib chiqadi: a) D n – statistikaning H 0 gipoteza to‘g‘ri bo‘lgandagi taqsimoti F ( x ) bog‘liq emas; b) Amaliy nuqtayi nazardan n ≥ 20 bo‘lgandayoq teoremadagi yaqinlashish juda yaxshi natija beradi, ya’ni ni K( λ ) bilan almashtirishdan yo‘l qo‘yiladigan xatolik yetarlicha kichikdir. (1) (1) munosabatdan ikkinchi tur xatolik ekanligi kelib chiqadi. Endi quyidagi masalani ko‘raylik. Aliomatning qiymatdorlik darajasi α ga teng bo‘lganida, ikkinchi tur xatolik β ga teng bo‘lishi uchun nechta kuzatilma kerak?; ya’ni tanlanmaning hajmi qanday bo‘lishi kerak? Kerakli n soni topish uchun ikkita tenglamaga egamiz. Bular va (2) Φ ( y )= p tenglamaning yechimini ko‘raylik. Bu tenglamaning yechimi y p normal qonunning p – chi kvantili deyiladi. U holda (2) ga asosan . Oxirgi ikki tenglikdan munosabatga ega bo‘lamiz. Qidirayotgan son butun bo‘lishi lozim. Shuning uchun, . Bu erda [ a ] – a sonning butun qismi. Masalan, α=β =0.05 va bo‘lsa, u holda n * =1076 bo‘ladi; agarda α = β =0.001, bo‘lsa, n * =39 bo‘ladi. 3 Noparametrik muvofiqlik alomatlari Faraz qilaylik, X 1 ,X 2 , ..., X n lar bog‘liqsiz n ta tajriba natijasida X t.m.ning olingan kutilmalari bo‘lsin. X t.m.ning taqsimoti noma’lum F ( x ) funksiyadan iborat alomatning quvvat funksiyasi deyiladi. Alomat quvvati H=H 1 bo‘lganida, ya’ni W ( H 1 ) ehtimollik asosiy gipoteza noto‘g‘ri bo‘lganida to‘g‘ri yechimni qabul qilishi ehtimolligini anglatadi. Alomatning siljimaganlik xossasi muhim o‘rin tutadi va bu xossa tengsizlik bilan aniqlanadi. Asosiy gipoteza H 0 ni tekshirish uchun qiymatdorlik darajasi α bo‘lgan ikkita va - alomat to‘plamlari aniqlangan bo‘lsin. Mavjud statistik gipotezalarni ikki guruhga ajratish mumkin: parametrik va noparametrik gipoteza. T.m.larning taqsimot funksiyasi paramerli taqsimotlar oilasiga tegishli bo‘lsin. Ammo, taqsimotning parametrlari noma’lumdir. Masalan, t.m. normal qonunlar oilasiga tegishli bo‘lsa, uning taqsimot funksiyasi ikkita: o‘rta qiymat va dispersiya orqali to‘liq aniqlanadi va H 0 gipoteza, bu holda matematik kutilma hamda dispersiya qiymatlari haqida bo‘ladi. Demak H 0 gipoteza asosiy noma’lum parametr qiymatlari haqida bo‘lar ekan. Bunday statistik gipotezaga parametrik gipoteza deb ataladi. Agarda t.m.ning taqsimot funksiyasi umuman noma’lum bo‘lsa, noparametrik gipoteza qabul qilinadi. Noparametrik gipoteza taqsimot funksiyasining ma’lum xossalarga ega ekanligi haqida bo‘lishi mumkin. Endi parametrik statistik alomatlarini qaraylik. X t.m.ning asl taqsimot funksiyasi quyidagi taqsimotlar oilasiga tegishli bo‘lsin: F = Bu yerda θ =( θ 1 , …, θ r ) – r - o‘lchovli vektor, parametrlar qiymati to‘plami bo‘lsin. U holda tengsizlik quyidagi tengsizlikka ekvivalent. Oxirgi tengsizlikni quyidagicha yozish mumkin. - tanlanma o‘rta qiymat θ 0 va - parametrlik normal qonun bo‘yicha taqsimlangani uchun Bu yerda - Laplas funksiyasi. Tanlangan ixtiyoriy ehtimollik uchun, , tengliklar bajariladigan c α soni har doim mavjud. Demak, Neyman – Pirson teoremasining barcha shartlari qanoatlantiriladi. Shu teoremaga asosan t. e. q. alomat mavjud va uning kritik to‘plami quyidagicha aniqlanadi. , Mana shu alomatning quvvatini hisoblaylik. Alternativ H 1 gipotezaga ko‘ra - tanlanmaning o‘rta qiymati θ 1 va - parametrli normal qonun bo‘yicha taqsimlangandir. U holda deyiladi. Statistik yechim asosida alternativ gipoteza to‘g‘ri bo‘lsa ham rad etilishi mumkin. Bunday xatolik ikkinchi tur xatolik deyiladi. Tabiiyki, xatoliklarni imkon qadar kamaytirish lozim. Statistik gipotezalarni tekshirish iloji boricha bir emas, bir necha marotaba takrorlanishi va ular asosida xulosaga kelinishi maqsadga muvofiqdir. Statistik gipotezalarni tekshirish statistik ma’lumotlarga asoslanadi. Faraz qilaylik, X 1 , X 2 , …, X n lar n – ta bog‘liqsiz tajribalardagi X t.m.ning kuzatilmalari bo‘lsin. X t.m.ning biron – bir xarakteristikasi haqidagi asosiy H 0 gipoteza ko’rilayotgan bo‘lsin. Endi statistik ma’lumotlar asosida asosiy gipoteza H 0 ni qabul qilish yoki rad etish qoidasini tuzish kerak. Asosiy gipoteza H 0 ni qabul qilish yoki rad etish qoidasi - H 0 gipotezani tekshirishning statistik alomati deyiladi. Odatda statistik gipotezalarni tekshirish – statistik ma’lumotlar asosida asosiy gipotezani tasdiqlash yoki uni rad etishdan iborat bo‘ladi. Endi statistik alomatlarni tuzish qoidalari bilan tanishamiz. Odatda statistik alomatni qurish empirik ma’lumotarni asosiy H 0 gipoteza bo‘yicha tavsiflovchi statistika T = T ( ) ni tanlashdan boshlanadi. Bunday tanlashda ikki xossa bajarilishi talab etiladi: a) statistika manfiy qiymatlar qabul qilmaydi; b) asosiy gipoteza to‘g‘ri bo‘lganda statistikaning aniq yoki gipotezaiy taqsimoti ma’lum bo‘lishi kerak. Faraz qilaylik, bunday stastistika topilgan bo‘lib, S = { t: t = T ( ), – tanlanma fazosiga tegishli} - statistikaning qiymatlar to‘plami bo‘lsin. Oldindan 0<α<1 – sonini tayinlaylik. Endi S sohani shunday kesishmaydigan va sohalarga ajratamizki, bunda asosiy gipoteza H 0 to‘g‘ri bo‘lganida T ( ) tasodifiy hodisaning ro‘y berish ehtimoli α dan oshmasin: . Asosiy gipoteza H 0 ni takshirish qoidasi quyidagicha bo‘ladi: x =( x 1 , …, x n ) t.m. X ning biror tanlanmasi qiymati bo‘lsin. Agar t = T ( x ) miqdor sohaga tegishli bo‘lsa: , u holda asosiy gipoteza H 0 to‘g‘ri bo‘lganida rad etiladi. U holda asosiy gipoteza H 0 ga asosan , alternativ gipotezaga asosan esa . Asosiy gipoteza H 0 ni tekshirish uchun va ikkita kritik to‘plamlar bo‘lib, ular har birining qiymatdorlik darajasi α bo‘lsin. Faraz qilaylik, (1) va (2) bo‘lsin. Aytaylik, (2) tengsizlikda hech bo‘lmaganda θ ning bitta qiymati uchun qat’iy tengsizlik o‘rinli bo‘lsin. U holda ga asoslangan statistik alomat nikiga nisbatan tekis quvvatliroq deyiladi. Tabiiyki, bu holda ga asoslangan statistik alomatni nikiga afzal ko‘rmoq maqsadga muvofiq bo‘ladi, chunki u alomat kam xatolikka yo‘l qo‘yadi. Agarda (1) va (2) munosabatlar ixtiyoriy uchun o‘rinli bo‘lsalar, ga mos alomat tekis eng quvvatli (t.e.q.) alomat deyiladi. 2 Parametrik statistik alomat tuzish usullari Oldingi paragrafda biz tekis eng quvvatli alomat haqida so‘z yuritdik. Tabiiyki t. e. q. alomat har doim mavjud bo‘lavermaydi. Endi parametrik statistik alomatlar orasida bo‘ladigan holni ko‘raylik. Faraz qilamiz, parametlar to‘plam Θ ikki elementdan iborat bo‘lsin: Θ = { θ 1 , θ 2 }. Asosiy gipoteza H 0 ga asosan θ=θ 0 bo‘lsin. U holda alternativ H 1 gipotezaga ko‘ra esa θ = θ 1 bo‘ladi. Demak, shartga binoan biz o‘rganayotgan X t.m. H 0 gipotezaga asosan taqsimotga, ammo H 1 raqobatlashuvchi gipotezaga ko‘ra esa taqsimotiga ega bo‘ladi. Hajmi n – ga teng bo‘lgan ( X 1 , X 2 , ..., X n ) tanlanma asosida qaysi gipoteza to‘g‘ri ekanini aniqlash kerak. Bu statistik masala Yu. Neyman va E. Pirsonlar tomonidan hal qilingan.

Statistik gipotezalar ( Ehtimollik va Statistika )

Купить