Stereometriyada vektorlar metodi
![Vektor ko’paytma
Ikkita ?????? va ??????⃗ vektorlarning vektor ko’paytmasi deb , quyidagi shartlarni
qanoatlantiruvchi ?????? vekorga aytiladiki,
1. ?????? ⊥?????? , ?????? ⊥??????⃗ ;
2. |?????? | = |?????? ||??????⃗|???????????????????????? , bu yerda ??????− ?????? va ??????⃗ vektorlar orasidagi burchak;
3. ?????? , ??????⃗ , ?????? – o’ng uchlik bo’ladi.
Ikkita ?????? va ??????⃗ vektorlarning vektor ko’paytmasi [?????? , ??????⃗ ] yoki ?????? x ??????⃗ kabi belgilanadi:
??????⃗ = [??????⃗⃗ , ??????⃗⃗ ] yoki ??????⃗ =??????⃗⃗ x ??????⃗⃗
Natijaviy vektorning yo’nalishi: ?????? vektori ?????? va ??????⃗ yotgan tekislikka perpendikulyar
bo’ladi.
Moduli: |?????? | = |?????? ||??????⃗|???????????????????????? ga teng bo’lib, u shu vektorlardan yasalgan
parallelogrammning yuzasini beradi.
?????? , ??????⃗, ?????? vektorlar biror O nuqtaga qo’yilgan bo’lib, komplanar bo’lmasin hamda
o’ng uchlikni hosil qilsin. Qirralari shu berilgan vaektorlardan iborat parallelogramm
yasalsa, [??????⃗⃗ , ??????⃗⃗ ] miqdor shu parallelogram yuzini beradi.
?????? ?????? ??????⃗
|Determinant
orqali ?????? 1 ?????? 1 ?????? 1
?????? 2 ?????? 2 ?????? 2
17](https://docx.uz/documents/3c6e51c1-f65f-4c26-ba55-e8c9d36a6a6d/page_21.png?v=1)
![Aralash ko’paytma.
Uchta ?????? , ??????⃗, ?????? vektorlarning aralash ko’paytmasi deb, Ikkita ?????? va ??????⃗
vektorlarning vektor ko’paytmasini ?????? vektorga skalyar ko’paytirilganiga aytiladi va
quyidagi ko’rinishda belgilanadi: ([??????⃗⃗ , ??????⃗⃗ ] , ??????⃗ )
Aralash ko’paytmaning geometrik ma’nosi: ?????? , ??????⃗, ?????? vektorlar biror O nuqtaga
qo’yilgan bo’lib, komplanar bo’lmasin hamda o’ng uchlikni hosil qilsin. Qirralari shu
berilgan vaektorlardan iborat parallelepiped yasalsa, [??????⃗⃗ , ??????⃗⃗ ] miqdor shu parallelepiped
asosining yuzini beradi. [??????⃗⃗ , ??????⃗⃗ ]⋀??????⃗ = | [??????⃗⃗ , ??????⃗⃗ ]|⋀??????⃗ ???????????????????????? . [??????⃗⃗ , ??????⃗⃗ ]⋀??????⃗ vektorlar o’ng
uchlik hosil qilsa, bu vektorlarning aralash ko’paytmasi bu vektorlarga yasalgan
parallelepiped hajmiga teng bo’ladi.
?????? 1 ?????? 1 ?????? 1
|Determinant orqali
hisoblash: ([??????⃗⃗ , ??????⃗⃗ ] ?????? 2 ?????? 2
?????? 3 ?????? 3 ?????? 3
18](https://docx.uz/documents/3c6e51c1-f65f-4c26-ba55-e8c9d36a6a6d/page_22.png?v=1)
![ASB va AOB yoqlari orasidagi burchakni topish uc+hun ularning normal vektorlarini
aniqlaymiz.
AOB yog’i xy tekisligida yotadi, demak uning normal vektori ?????? 1 ⃗⃗⃗⃗ = ??????⃗= (0,0,1)
ASB vektor uchun normal vektorni ????????????⃗⃗⃗⃗⃗ va ????????????⃗⃗⃗⃗⃗ vektorlarning vektor ko’paytmasi
orqali topamiz: ????????????⃗⃗⃗⃗⃗= (4,0, −5), ????????????⃗⃗⃗⃗⃗= (0,3, −5)
?????? 2 ⃗⃗⃗⃗ = [????????????⃗⃗⃗⃗⃗ x ????????????⃗⃗⃗⃗⃗] = | ?????? ?????? ??????⃗
4 0 −5 | = 15?????? + 20?????? +
12??????⃗0 3 −5
Normal vektor: ?????? 2 ⃗⃗⃗⃗ = (15,20,12) .
Ikki yoq orasidagi burchak kosinusi:
????????????????????????=|?????? 1 ⃗⃗⃗⃗ ∙?????? 2 ⃗⃗⃗⃗ |
12
=
√769 ≈0,43.
|
??? Ushbu tahlil shuni ko‘rsatadiki, vektorli metod yordamida piramidaning murakkab
elementlarini (ayniqsa yoqlar orasidagi burchaklarni) chizmalarsiz, faqatgina
koordinatalar va vektor ko‘paytmalar yordamida aniq hisoblash mumkin. Bu usul
muhandislik hisob-kitoblarida xatolikni minimal darajaga tushiradi.
Masala. Uchlari
??????(?????? 1 ,
?????? 1 , va
??????(?????? 4 , ?????? 4 , ?????? 4 )
nuqtalarda bo’lgan tetraedr (uchburchakli piramida) berilgan. Ushbu tetraedrning
og’irlik markazi (sentroidi) G nuqtaning koordinatalarini vektorlar metodi yordamida
aniqlang.
Yechish:
Og’irlik markazi xossasiga ko’ra, tetraedrning og’irlik markazi G – uning
uchlaridan qarama – qarshi yoqlarining og’irlik markazlariga tushirilgan kesmalar
(medianalar) kesishgan nuqtadir. Vektorli ko’rinishda bu nuqtaning radius – vektori
barcha uchlar radius – vektorlarining o’rta arifmetigiga teng:
24](https://docx.uz/documents/3c6e51c1-f65f-4c26-ba55-e8c9d36a6a6d/page_28.png?v=1)
![?????? 1 ?????? 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektorlari komplanar bo‘lishi kerak. Bu holat aralash ko‘paytmaning nolga
tengligi orqali tekshiriladi:
( ?????? ?????? ⃗⃗⃗⃗ , ?????? ?????? ⃗⃗⃗⃗ , ?????? ?????? ?????? ?????? ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗)=0
Agar bu ko‘paytma noldan farqli bo‘lsa, to‘g‘ri chiziqlar ayqash hisoblanadi.
Ayqash to‘g‘ri chiziqlar orasidagi masofa
Ayqash to‘g‘ri chiziqlar orasidagi masofa — bu ularning har ikkalasiga perpendikulyar
bo‘lgan umumiy perpendikulyarning uzunligidir. Vektorli metodda bu masofa ?????? 1 ?????? 2 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
vektorining har ikkala yo‘naltiruvchi vektorga perpendikulyar bo‘lgan yo‘nalishdagi
proyeksiyasi sifatida topiladi:
??????= |(?????? ?????? ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , ?????? ?????? ⃗⃗⃗⃗ , ?????? ?????? ?????? ?????? ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )|
|[(?????? ?????? ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?????? ?????? ?????? ⃗⃗⃗⃗ ]|
Bu yerda suratda — aralash ko‘paytma (parallelepiped hajmi), mahrajda esa — vektor
ko‘paytmaning moduli (asosining yuzi).
Amaliy misol: Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha masofa
Masala: ??????(2, −1,
3) nuqtadan ??????−1
2 = ??????=2
1 = ??????−1
4 to‘g‘ri chiziqqacha
bo‘lgan
masofani toping.
Yechish:
1. To’g’ri chiziqdagi tayanch nuqta: ?????? 0 (1, −2,1) .
2. Yo’naltiruvchi vektor: ?????? = {2,1,4} .
3. ?????? 0 ??????⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vektori: ?????? 0 ??????⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗= {2 −1, −1 −(−2), 3 −1} = {1,1,2} . 4.
Masofa formulasi, vektor ko’paytma orqali:
??????= |[ ?????? ?????? ??????⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?????? ??????⃗ ]|
|??????⃗ |
27](https://docx.uz/documents/3c6e51c1-f65f-4c26-ba55-e8c9d36a6a6d/page_31.png?v=1)
![Vektor ko’paytmani hisoblaymiz:
?????? ?????? ??????⃗
| = 2?????? + 0?????? −??????⃗= {2,0,
−1}|[ ?????? ?????? ??????⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ?????? ??????⃗ ]| = | 1
1 2
2 1 4
5. Modullarni hisoblaymiz: |{2,0, −1}| = √5 , |?????? | = √21 .
5
6. Natijada: ??????= √ 21 ≈0,49 birlik.
Fazoda masofalarni vektorli usulda hisoblash geometrik yasashlard
agi
noaniqliklarni bartaraf etadi. Ushbu bobda ko‘rib chiqilgan masalalar shuni isbotlaydiki,
vektorlar metodini qo‘llash stereometrik muammolarni tizimli va mantiqiy algoritmlar
asosida hal qilishning eng samarali yo‘lidir.
28](https://docx.uz/documents/3c6e51c1-f65f-4c26-ba55-e8c9d36a6a6d/page_32.png?v=1)
MUNDARIJA
KIRISH
I BOB. VEKTORLAR METODINING SHAKLLANISH TARIXI
1.1. Vektor tushunchasining paydo bo’lishi va ilk bosqichlari
1.2. Vektorlarning geometrik talqini
II BOB STEREOMETRIYADA VEKTORLAR HAQIDA
ASOSIY TUSHUNCHALAR
2.1. Fazoda Dekart koordinatalar sistemasida vektor tushunchasi
2.2. Vektorlar ustida amallar
2.3. Tekislik va to‘g‘ri chiziqning asosiy tenglamalari
2.4. Stereometrik masalalarni vektorlar yordamida yechish
III BOB. AMALIY MISOLLAR VA MASALALAR TAHLILI
3.1. Fazoviy figuralar (piramida) elementlarini hisoblash
3.2. Fazoda kesishish va masofaga doir masalalar
XULOSA
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI
-
Похожие документы
- Sirkul va chizg’ich yordamida yasashlarda algebraik metodlar. Matematika tarixidagi uch qiziqarli masala
- Sonli qatorlar
- Issiqlik tarqalish tenglamasi uchun boshlang‘ich-chegaraviy aralash masalalarni Furye usulida yechish
- 2 ta nochiziqli giperbolik tenglamalar sistemasi uchun ayirmali sxema
- Tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi