Информация о документе

Цена 10000UZS
Размер 755.5KB
Покупки 1
Дата загрузки 02 Апрель 2024
Расширение doc
Раздел Рефераты
Предмет Алгебра

Продавец

Shodlikbek Zaripboyev

Дата регистрации 02 Апрель 2024

2 Продаж

Tasodifiy miqdorlar va ularning turlari

Купить
Mavzu: Tasodifiy miqdorlar va ularning turlari Reja: 1. Tasodifiy miqdor tushunchasi 2. Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni 3. Taqsimot funksiyasi va uning xossalari 4. Zichlik funksiyasi va uning xossalari 5. Tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari Ehtimollar nazariyasining muhim tusunchalaridan biri tasodifiy miqdor tushunchasidir.  Tajriba natijasida u yoki bu qiymatni qabul qilishi oldindan ma’lum bo‘lmagan miqdor tasodifiy miqdor deyiladi. Tasodifiy miqdorlar lotin alifbosining bosh harflari X , Y , Z ,…(yoki grek alifbosining kichik harflari  (ksi),  (eta), ζ(dzeta),…) bilan qabul qiladigan qiymatlari esa kichik harflar , bilan belgilanadi. Tasodifiy miqdorlarga misollar keltiramiz: 1) X -tavakkaliga olingan mahsulotlar ichida sifatsizlari soni; 2) Y - n ta o‘q uzilganda nishonga tekkanlari soni; 3) Z -asbobning beto‘htov ishlash vaqti; 4) U -[0,1] kesmadan tavakkaliga tanlangan nuqtaning koordinatalari; 5) V -bir kunda tug‘iladigan chaqaloqlar soni va h.k..  Agar tasodifiy miqdor(t.m.) chekli yoki sanoqli qiymatlar qabul qilsa, bunday t.m. diskret tipdagi t.m. deyiladi.  Agar t.m. qabul qiladigan qiymatlari biror oraliqdan iborat bo‘lsa uzluksiz tipdagi t.m. deyiladi. Demak, diskret t.m. bir-biridan farqli alohida qiymatlarni, uzluksiz t.m. esa biror oraliqdagi ihtiyoriy qiymatlarni qabul qilar ekan. Yuqoridagi X va Y t.m.lar diskret, Z esa uzluksiz t.m. bo‘ladi. Endi t.m.ni qat’iy ta’rifini keltiramiz.   elementar hodisalar fazosida aniqlangan X sonli funksiya t.m. deyiladi, agar har bir  elementar hodisaga X (  ) conni mos qo‘ysa, yani X = X (  ),   . Masalan, tajriba tangani 2 marta tashlashdan iborat bo‘lsin. Elementar hodisalar fazosi bo‘ladi. X-gerb chiqishlari soni bo‘lsin, u holda X t.m. qabul qiladigan qiymatlari: X (  1 )=2, X (  2 )=1, X (  3 )=1, X (  4 )=0. Agar  chekli yoki sanoqli bo‘lsa, u holda  da aniqlangan ixtiyoriy funksiya t.m. bo‘ladi. Umuman, X (  ) funksiya shunday bo‘lishi kerakki:  x  R da hodisa S  - algebrasiga tegishli bo‘lishi kerak. 2 Diskret tasodifiy miqdorning taqsimot qonuni X -diskret t.m. bo‘lsin. X t.m. qiymatlarni mos ehtimolliklar bilan qabul qilsin: X … … P … … jadval diskret t.m. taqsimot qonuni jadvali deyiladi. Diskret t.m. taqsimot qonunini ko‘rinishda yozish ham qulay. hodisalar birgalikda bo‘lmaganligi uchun ular to‘la gruppani tashkil etadi va ularning ehtimolliklari yig‘indisi birga teng bo‘ladi, ya’ni .  X t.m. diskret t.m. deyiladi, agar chekli yoki sanoqli to‘plam bo‘lib, va tenglik o‘rinli bo‘lsa.  X va Y diskret t.m.lar bog‘liqsiz deyiladi, agar va hodisalar da bog‘liqsiz bo‘lsa, ya’ni , 2.1-misol. 10 ta lotoreya biletida 2 tasi yutuqli bo‘lsa, tavakkaliga olingan 3 ta lotoreya biletlari ichida yutuqlilari soni X t.m.ning taqsimot qonunini toping. X t.m.ni qabul qilishi mumkin bo‘lgan qiymatlari . Bu qiymatlarning mos ehtimolliklari esa . X t.m. taqsimot qonunini jadval ko‘rinishida yozamiz: 3 Taqsimot funksiyasi va uning xossalari Diskret va uzluksiz t.m.lar taqsimotlarini berishning universal usuli ularning taqsimot funksiyalarini berishdir. Taqsimot funksiya F ( x ) orqali belgilanadi.  F ( x ) funksiya X t.m.ning taqsimot funksiyasi  x  R son uchun quyidagicha aniqlanadi: . (2.3.1) Taqsimot funksiyasi quyidagi xossalarga ega: 1. F ( x ) chegaralangan:X 0 1 2 P . 2. F ( x ) kamaymaydigan funksiya: agar x 1 < x 2 bo‘lsa, u holda . 3. . 4. F ( x ) funksiya chapdan uzluksiz: . Isboti: 1. Bu xossa (2.3.1) va ehtimollikning xossalaridan kelib chiqadi. 2. hodisalarni kiritamiz. Agar x 1 < x 2 bo‘lsa, u holda va , ya’ni yoki . 3. va ekanligi va ehtimollikning xossasiga ko‘ra . 4. hodisalarni kiritamiz. Bu yerda { x n } ketma-ketlik monoton o‘suvchi, . A n hodisalar ketma-ketligi ham o‘suvchi bo‘lib, . U holda , ya’ni . ■ Diskret t.m. taqsimot funksiyasi quyidagicha ifodalanadi: . (2.3.2) 2.2-misol. 2.1-misoldagi X t.m. taqsimot funksiyasini topamiz. 1. A g a r x 2. A g a r 0 < 3. A g a r 1 < 4. Agar x> 2 bo‘lsa, . Demak, F ( x ) taqsimot funksiya grafigi 13-rasmda keltirilgan. 13-rasm.  X t.m. uzluksiz deyiladi, agar uning taqsimot funksiyasi ixtiyoriy nuqtada uzluksiz bo‘lsa. Agar F ( x ) taqsimot funksiya uzluksiz t.m. taqsimot funksiyasi bo‘lsa, taqsimot funksiyaning 1-4 xossalaridan quyidagi natijalarni keltirish mimkin: X 0 1 2 P 1. X t.m.ning [a,b) oraliqda yotuvchi qiymatni qabul qilish ehtimolligi taqsimot funksiyaning shu oraliqdagi orttirmasiga teng: . (2.3.3) 2. X uzluksiz t . m . ning tayin bitta qiymatni qabul qilishi ehtimolligi nolga teng : 1-natijada [ a,b ], ( a,b ], ( a,b ) oraliqlar uchun ham (2.3.3) tenglik o‘rinli, ya’ni . Masalan, . Isboti. 1. a<b bo‘lgani uchun . va hodisalar birgalikda bo‘lmagani uchun . . 2. (2.3.3.) tenglikni [ a,x ) oraliqqa tatbiq etamiz: . F ( x ) funksiya a nuqtada uzluksiz bo‘lgani uchun . ■ 4 Zichlik funksiyasi va uning xossalari Uzluksiz t.m.ni asosiy xarakteristikasi zichlik funksiya hisoblanadi.  Uzluksiz t.m. zichlik funksiyasi deb, shu t.m. taqsimot funksiyasidan olingan birinchi tartibli hosilaga aytiladi. Uzluksiz t.m. zichlik funksiyasi f ( x ) orqali belgilanadi. Demak, . (2.4.1) Zichlik funksiyasi quyidagi xossalarga ega: 1. f ( x ) funksiya manfiy emas, ya’ni . 2. X uzluksiz t . m . ning [ a , b ] oraliqqa tegishli qiymatni qabul qilishi ehtimolligi zichlik funksiyaning a dan b gacha olingan aniq integralga teng , ya ’ ni . 3. Uzluksiz t.m. taqsimot funksiyasi zichlik funksiya orqali quyidagicha ifodalanadi: . (2.4.2) 4. Zichlik funksiyasidan dan gacha olingan xosmas integral birga tengdir . Isbotlar: 1. F ( x ) kamaymaydigan funksiya bo‘lgani uchun , ya’ni . 2. tenglikdan Nyuton-Leybnis formulasiga asosan: . Bu yerdan . 3. 2-xossadan foydalanamiz: . 4. Agar 2-xossada va deb olsak, u holda muqarrar ga hodisaga ega bo‘lamiz, u holda . ■ 2.3.-misol. X t.m. zichlik funksiyasi tenglik bilan berilgan. O‘zgarmas a parametrni toping. Zichlik funksiyaning 4-xossasiga ko‘ra , ya’ni . Demak, . 5 Tasodifiy miqdorning sonli xarakteristikalari X diskret t.m. taqsimot qonuni berilgan bo‘lsin: { }. Matematik kutilma  X t.m. matematik kutilmasi deb, qator yig‘indisiga aytiladi va (2.5.1) orqali belgilanadi. Matematik kutilmaning ma’nosi shuki, u t.m. o‘rta qiymatini ifodalaydi. Haqiqatan ham ekanligini hisobga olsak, u holda .  Uzluksiz t.m. matematik kutilmasi deb (2.5.2) integralga aytiladi. (2.5.2) integral absolut yaqinlashuvchi, ya’ni bo‘lsa matematik kutilma chekli, aks holda matematik kutilma mavjud emas deyiladi. Matematik kutilmaning xossalari: 1. O‘zgarmas sonning matematik kutilmasi shu sonning o‘ziga teng, ya’ni MC = C. 2. O‘zgarmas ko‘paytuvchini matematik kutilish belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, M ( CX )= CMX. 3. Yig‘indining matematik kutilmasi matematik kutilmalar yig‘indisiga teng, M ( X+Y )= MX+MY. 4. Agar X  Y bo‘lsa, M ( X  Y )= MX  MY. Isbotlar: 1. O‘zgarmas C sonni faqat 1 ta qiymatni bir ehtimollik bilan qabul qiluvchi t.m. sifatida qarash mumkin. Shuning uchun MC = C  P { X = C }= C  1= C. 2. C  X diskret t.m. qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qilsin, u holda . 3. X+Y diskret t.m. qiymatlarni ehtimolliklar bilan qabul qiladi, u holda ixtiyoriy n va m lar uchun Bu yerda va bo‘ladi. Chunki, , . 4. Agar X  Y bo‘lsa, u holda va ■ Matematik kutilmaning xossalari t.m. uzluksiz bo‘lganda ham hiddi shunga o‘xshash isbotlanadi. Masalan, . 2.4.-misol. X diskret t.m. taqsimot qonuni berilgan bo‘lsa, X t.m.ning matematik kutilmasini toping. X 500 50 10 1 0 P 0.01 0.05 0.1 0.15 0.69 MX =500  0.01+50  0.05+10  0.1+1  0.15+0  0.69=8.65. 2.5.-misol. X uzluksiz t.m. zichlik funksiyasi berilgan . C va MX ni toping. Zichlik funksiyaning 4-xossasiga ko‘ra . Demak, va . Endi matematik kutilmani hisoblaymiz: . Dispersiya  X t.m. dispersiyasi deb, ifodaga aytiladi. Dispersiya DX orqali belgilanadi. Demak, . (2.5.3) Agar X dickret t.m. bo‘lsa, , (2.5.4) Agar X uzluksiz t.m. bo‘lsa, (2.5.5) T.m. dispersiyasini hisoblash uchun quyidagi formula qulaydir: DX = MX 2 -( MX ) 2 (2.5.6) Bu formula matematik kutilma xossalari asosida quyidagicha keltirib chiqariladi: Dispersiyaning xossalari: 1. O‘zgarmas sonning dispersiyasi nolga teng DC =0. 2. O‘zgarmas ko‘paytuvchini kvadratga ko‘tarib, dispersiya belgisidan tashqariga chiqarish mumkin, D ( CX )= C 2 DX . 3. Agar X  Y bo‘lsa, D ( X+Y )= DX+DY. Isbotlar: 1. . 2. . 3. (2.5.6.) formulaga ko‘ra ■ 2.6.-misol. X diskret t.m. taqsimot qonuni berilgan: MX va DX ni hisoblaymiz: MX =-1  0.2+0  0.1+1  0.3+2  0.4=0.9, .  X t.m. o‘rtacha kvadratik tarqoqligi ( chetlashishi ) deb, dispersiyadan olingan kvadrat ildizga aytiladi: (2.5.7) Dispersiyaning xossalaridan o‘rtacha kvadratik tarqoqlikning xossalari kelib chiqadi: 1. ; 2. ; Ba’zi muhim taqsimotlar Binomial taqsimot X -1 0 1 2 P 0.2 0.1 0.3 0.4  X diskret t.m. binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan deyiladi, agar u 0,1,2, …n qiymatlarni , (2. 6 .1) ehtimollik bilan qabul qilsa. Bu yerda . Binomial qonun bo‘yicha taqsimlangan X diskret t.m. yaqsimot qonuni quyidagi ko‘rinishga ega: X=m 0 1 2 … m … n … … Nyuton binomiga asosan . Bunday taqsimotni orqali belgilaymiz. Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi: Endi bu taqsimotning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz. . | almashtirish bajaramiz| = . Demak, . Puasson taqsimoti  Agar X t.m. 0,1,2,…m,… qiymatlarni (2.6.2) ehtimolliklar bilan qabul qilsa, u Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan t.m. deyiladi. Bu yerda a biror musbat son. Puasson qonuni bo‘yicha taqsimlangan X diskret t.m.ning taqsimot qonuni quyidagi ko‘rinishga ega: X=m 0 1 2 … m … … … Teylor yoyilmasiga asosan, . Bu taqsimotni orqali belgilaymiz. Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi: Endi bu taqsimotning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz: , Demak, . Geometrik taqsimot  Agar X t.m. 1,2,…m,… qiymatlarni (2.6.3) ehtimolliklar bilan qabul qilsa, u geometrik qonuni bo‘yicha taqsimlangan t.m. deyiladi. Bu yerda . Geometrik qonun bo‘yicha taqsimlangan t.m.larga misol sifatida quyidagilarni olish mumkin: sifatsiz mahsulot chiqqunga qadar tekshirilgan mahsulotlar soni; gerb tomoni tushgunga qadar tashlangan tangalar soni; nishonga tekkunga qadar otilgan o‘qlar soni va hokazo. Geometrik qonun bo‘yicha taqsimlangan X diskret t.m. taqsimot qonuni quyidagi ko‘rinishga ega: X=m 1 2 … m … … … , chunki ehtimolliklar geometrik progressiyani tashkil etadi: . Shuning uchun ham (2. 6 .3) taqsimot geometrik taqsimot deyiladi va orqali belgilanadi. Uning taqsimot funksiyasi quyidagicha bo‘ladi: Endi bu taqsimotning sonli xarakteristikalarini hisoblaymiz: Demak, . Tekis taqsimot  Agar uzluksiz X t.m. zichlik funksiyasi (2. 6 .4) ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, u [a,b] oraliqda tekis taqsimlangan t.m. deyiladi. Bu t.m.ning grafigi 14-rasmda berilgan. [ a , b ] oraliqda tekis taqsimlangan X t.m. ni ko‘rinishda belgilanadi. uchun taqsimot funksiyasini topamiz. (2.4.2) formulaga ko‘ra agar bo‘lsa , agar bo‘lsa, va bo‘lsa, bo‘ladi. Demak, F ( x ) taqsimot funksiyaning grafigi 15-rasmda keltirilgan. 14-rasm . 15-rasm . t.m. uchun va larni hisoblaymiz: ; Demak, , . Ko‘rsatkichli taqsimot  Agar uzluksiz X t.m. zichlik funksiyasi (2.6.5) ko‘rinishda berilgan bo‘lsa, X t.m. ko‘rsatkichli qonun bo‘yicha taqsimlangan t.m. deyiladi. Bu yerda biror musbat son. parametrli ko‘rsatkichli taqsimot orqali belgilanadi. Uning grafigi 16-rasmda keltirilgan. 16-rasm. 17-rasm. Taqsimot funksiyasi quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘ladi: Uning grafigi 17-rasmda keltirilgan. Endi ko‘rsatkichli taqsimotning matematik kutilmasi va dispersiyasini hisoblaymiz: Demak, agar bo‘lsa, u holda va . Normal taqsimot Normal taqsimot ehtimollar nazariyasida o‘ziga xos o‘rin tutadi. Normal taqsimotning xususiyati shundan iboratki, u limit taqsimot hisoblanadi. Ya’ni boshqa taqsimotlar ma’lum shartlar ostida bu taqsimotga intiladi. Normal taqsimot amaliyotda eng ko‘p qo‘llaniladigan taqsimotdir.  X uzluksiz t.m. normal qonun bo‘yicha taqsimlangan deyiladi, agar uning zichlik funksiyasi quyidagicha ko‘rinishga ega bo‘lsa (2.6.6) a va parametrlar bo‘yicha normal taqsimot orqali belgilanadi. normal t.m.ning taqsimot funksiyasi (2. 6 .7) Agar normal taqsimot parametrlari a =0 va bo‘lsa, u standart normal taqsimot deyiladi. Standart normal taqsimotning zichlik funksiyasi quyidagicha ko‘rinishga ega: Bu funksiya bilan 1.14 paragrafda tanishgan edik(uning grafigi 9-rasmda keltirilgan). Taqsimot funksiyasi ko‘rinishga ega va u Laplas funksiyasi deyiladi(uning grafigi 10-rasmda keltirilgan). a va parametrlarni ma’nosini aniqlaymiz. Buning uchun t.m.ning matematik kutilmasi va dispersiyasini hisoblaymiz: Birinchi integral nolga teng, chunki integral ostidagi funksiya toq, integrallash chegarasi esa nolga nisbatan simmetrikdir. Ikkinchi integral esa Puasson integrali deyiladi, . Shunday qilib, a parametr matematik kutilmani bildirar ekan. Dispersiya hisoblashda almashtirish va bo‘laklab integrallashdan foydalanamiz: . Demak, va o‘rtacha kvadratik tarqoqlikni bildirar ekan. 18-rasmda a va larning turli qiymatlarida normal taqsimot grafigining o‘zgarishi tasvirlangan: 18-rasm. t.m.ning intervalga tushishi ehtimolligini hisoblaymiz. Avvalgi mavzulardan ma’lumki, Laplas funksiyasidan foydalanib((1.14.6) formula), quyidagiga ega bo‘lamiz: (2.6.8) Normal taqsimot taqsimot funksiyasini Laplas funksiyasi orqali quyidagicha ifodalasa bo‘ladi: (2. 6 .9) Agar Laplas funksiyasi bo‘lsa, u holda va (2. 6 .8) formulani quyidagicha yozsa bo‘ladi: (2. 6 .10) Amaliyotda ko‘p hollarda normal t.m.ning a ga nisbatan simmetrik bo‘lgan intervalga tushishi ehtimolligini hisoblashga to‘gri keladi. Uzunligi 2 l bo‘lgan intervalni olaylik, u holda Demak, (2. 6 .11) (2.6.11) da deb olsak, bo‘ladi. funksiyaning qiymatlari jadvalidan ni topamiz. U holda bo‘ladi. Bundan quyidagi muhim natijaga ega bo‘lamiz: Agar bo‘lsa, u holda uning matematik kutilishidan chetlashishining absolut qiymati o‘rtacha kvadratik tarqoqligining uchlanganidan katta bo‘lmaydi. Bu qoida “ uch sigma qoidasi ” deyiladi(19-rasm). 19-rasm. 2.7.-misol. Detallarni o‘lchash jarayonida mm parametrli normal taqsimotga bo‘ysuvuvchi tasodifiy xatoliklarga yo‘l qo‘yildi. Bog‘liqsiz 3 marta detalni o‘lchaganda hech bo‘lmasa bitta o‘lchash xatoligining absolut quymati 2 mm dan katta bo‘lmasligi ehtimolligini baholang. (2. 6 .11) formulaga ko‘ra Bitta tajribada(o‘lchashda) xatolikning 2 mm dan oshishi ehtimolligi . Tajribalarimiz bog‘liqsiz bo‘lganligi uchun uchchala tajribada xatolikning 2 mm dan oshishi ehtimolligi bo‘ladi. Qidirilayotgan ehtimollik 1-0.5958=0.4042.

Tasodifiy miqdorlar va ularning turlari ( Ehtimollik va Statistika )

Купить