Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 4.3MB
Покупки 0
Дата загрузки 05 Июнь 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

Tekislik va to‘g‘ri chiziqning o‘zaro vaziyati

Купить
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’ LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI Farg‘ona davlat universiteti Fizika-matematika fakulteti Matematika yo‘nalishi 24.02 -guruh talabasi qizi ning Analitik geometriya fanidan “ Tekislik va to‘g‘ri chiziqning o‘zaro vaziyati ” mavzusida tayyorlagan KURS ISHI Kurs ishi rahbari: Farg‘ ona- 2025 REJA: I . KIRISH………………………………………………………………………….3 II. ASOSIY QISM………..…………………………………………………...........5 2.1. Tekisliklarning umumiy tenglamasini tekshirish…...…………………………..5 2.2. Fazoda to’g’ri chiziq…………………………………………………………...15 2.3. Tekisliklarning o’zaro vaziyati………………………………………………...21 2.4. Fazoda to’g’ri chiziq bilan tekislikni o’zaro vaziyati……………………….....29 III. XULOSA………………………………………………………………………33 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR…………………………..……………..34 2 KIRISH “Agar mendan sizni nima qiynaydi?” deb so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim- tarbiyasi deb javob beraman!!! Shavkat Mirziyoyev Ilg‘or millat va rivojlangan davlat bo‘lishning zarur shartlaridan biri aqliy va jismoniy, madaniy va ma’naviy, axloqiy, g‘oyaviy – siyosiy va huquqiy jihatdan, har tomonlama yetuk, barkamol insonlarga ega bo‘lishdir. Ma’naviy – ma’rifiy jihatdan inson irodasi mustahkam, e’tiqodi yuksak, vijdon amri bilan yashaydigan shaxs, barkamol avlod har qanday davlat, xalq va millatning eng katta boyligi, qudrati salohiyati manbayidir. Mamlakatimiz prezidenti tomonidan ta’kidlab kelinayotganidek, “Har qaysi davlat, har qaysi millat nafaqat yerosti va yerusti boyliklari bilan, harbiy qudrati va ishlab chiqarish salohiyati bilan, balki birinchi navbatda o‘zining yuksak madaniyati va ma’naviyati bilan kuchlidir”. Odamlari, fuqarolari bilimli – zakovatli, uddaburon, g‘oyaviy siyosiy jihatdan ziyrak va hushyor, tadbirkor, har tomonlama yetuk bo‘lgan jamiyat har qanday islohotlarga qodir bo‘ladi va har qanday muammo va qiyinchiliklarni yenga oladi. Oliy rahbarimiz bu haqida shunday dedi: “Lo‘nda qilib aytganda, bugungi kunda oldimizda qo‘ygan buyuk maqsadlarimizga, ezgu niyatlartimizga erishishimizda jamiyatimizning yangilanishi, hayotimizning taraqqiyoti va istiqboli amalga oshirayotgan islohotlarimiz, rejalarimizning samarasi taqdiri bularning barchasi avvalambor zamon talablariga javob beradigan yuqori malakali, ongli mutaxassis kadrlar tayyorlash muammosi bilan chambarchas bog‘liqligini barchamiz anglab yetmoqdamiz. Shu bilan birga barchamiz yana bir haqiqatni anglab yetmoqdamiz. Faqatgina chinakam ma’rifatli odam inson qadrini, millat qadriyatlarini, bir so‘z bilan aytganda, o‘zligini aniqlash, erkin va ozod jamiyatda yashash, mustaqil 3 davlatimizning jahon hamjamiyatida o‘ziga munosib, fidoiylik bilan kurashishi mumkin”. Mustaqil va erkin fikrlayotgan, ongli yashaydigan, o‘z haq – huquqlarini yaxshi taniydigan, o‘z kuchi va aqliga ishonadigan, ma’naviy – axloqiy yetuk barkamol bo‘lgan avlodni, mustaqil fikrlashga qodir, jasoratli, fidoiy va tashabbuskor kishilarni tarbiyalab yetkazadigan xalq va millat kelajakka ochiq ko‘z, katta ishonch, umid va ixlos bilan qaray oladi. Fuqarolarni ana shunday noyob xislat va fazilat sohiblari qilib shakllantirilgan davlatning istiqboli porloq bo‘ladi. Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e’tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir.Ta’lim-tarbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridi. Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi. Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Geometriya fanining ba’zi bir tadbiqlari va asosiy xossalari haqida eng muhum tushunchalarini o‘rganish va Geometriya kursida olgan bilimlarimizni mustahkamlash. Kurs ishi tarkibi: Ushbu kurs ishi kirish, beshta paragraf, xulosa va foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat bo‘lib, 30 sahifani tashkil qiladi. 4 ASOSIY QISM 2.1. Tekislikning umumiy tenglamasini tekshirish Nokollinear ikki vector va bitta nuqta tekislikning vaziyatini to‘la aniqlaydi. nuqtani olaylik. U holda vektor vektorlar bilan komplanar bo‘ladi, demak, bu vektorlar chiziqli bog‘liq bo‘lib, bundan ularning kordinatalaridan tuzilgan uchinchi tartibli determinant nolga teng bo‘lishi kelib chiqadi (1-chizma), shuni koordinatalarda yozaylik. 1-chizma. (2.1.1) bo‘lsin ning koordinatalarini deb belgilasak, bo‘lib, quyidagi tenglama hosil bo‘ladi: Aksincha, (2.1.2) shart bajarilsa, nuqta albatta tekislikka tegishli bo‘ladi.Demak, (2.1.2) ning tenglamasi. Bu tenglama berilgan nuqtadan o‘tib, berilgan (nokollinear) ikki vektorga parallel bo‘lgan tekislikning tenglamasi deb yuritiladi. 5 Bundan tashqari vektorlar bir tekislikda yotgani uchun ular chiziqli bog‘liqdir, ya`ni (2.1.3) Bu yerda sonlar parametrlardir. (2.1.3) dan (2.1.4) (2.1.4) tekislikning parametrik tenglamalari deb ataladi ( va ga istalgan qiymat berib, tekislikning shu parametrlarga mos nuqtalarini topish mumkin). Endi (2.1.2) tenglamani quyidagicha yozaylik: (2.1.5) bundan (2.1.6) (2.1.5) bunda – desak, (2.17) tenglama hosil bo‘ladi. (2.1.2) (2.1.7) bo‘lgani uchun (2.1.7) ham tekislikning tenglamasidir. (2.1.6) da larning kamida bittasi noldan farqli aks holda b`lsa (2.1.6) dan bu esa larning berilishiga zid.Shunday qilib, tekislik affin reperda (2.1.7) chiziqli tenglama bilan ifodalanadi.Bu xulosaning teskarisi ham o‘rinlidir, ya`ni (2.1.7) ko‘rinishdagi har qanday chiziqli tenglama fazodagi biror affin reperga nisbatan tekislikni aniqlaydi Haqiqatan, tenglama biror affin reperda biror nuqtalar to‘plamini aniqlasin.Uch o‘zgaruvchini bog‘lagan bu 6 tenglamaning yechimi cheksiz ko‘pdir, ularning biri bo‘lsa , u holda , bundan va (2.1.7) dan – tekislik tenglanasidir.(2.1.7) tenglama tekislikning umumiy tenglamasi deb ataladi. Bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan uchta nuqta tekislikning vaziyatini to‘la aniqlaydi. Shu ma`lumotlarga ko‘ra uning tenglamasini tuzaylik. Berilgan nuqtalar , , bo‘lsin. Biz , , desak, hamda , ni e`tiborga olsak, (2.1.2) tenglama quyidagi ko‘rinishni oladi: (2.1.8) Uch nuqtadan o‘tuvchi tekislikning tenglamasi shudir. Agar tekislik koordinatalar boshidan o‘tmasa, u o‘qlarni uchta , , nuqtada kesadi, bu yerda tekislikning shu o‘qlardan ajratgan kesmalaridir. Bunga (2.1.8) ko‘rinishli tenglamani tatbiq qilamiz: Bundan (2.1.9) bu tenglama tekislikning koordinata o‘qlaridan ajratgan kesmalari bo‘yicha tenglamasi deb ataladi. 1-misol. Tekislik nuqtadan o‘tib, vektorlarga parallel bo‘lsin. Shu tekislikning parametrik va umumiy tenglamlarini tuzing. Yechish: Berilganlarni (4) ko‘rinishdagi parametrik tenglama bilan solishtirsak, 7 , , , , , , , , ; bularni (2.1.4) tenglamaga qo‘yamiz: , , . Endi tekislikning (2.1.2) ko‘rinishdagi tenglamasini yozayli: Bundan yoki 2-misol. tetraedr berilgan. uchni koordinatalar boshi hamda , , deb olib, va tekisliklar tenglamalarini tuzing (bunda nuqta qirraning o‘rtasi) (2-chizma). Yechish: Berilishiga ko‘ra bo‘lib tetraedrning uchlari va nuqta bu reperga nisbatan quyidagi koordinatalarga ega: , , , , , u holda tekislikning tenglamasi (2.1.8) ga asosan 8 2-chizma. Shuning singari ning tenglamasini tuzamiz: 3-misol. Tekislik (2.1.2) yoki (2.1.7) tenglama bilan vector koordinatalari bilan berilgan bo‘lsa, vektorning tekislikka parallelik shartini toping. Yechish: . Bu determinantni birinchi yo‘l elmentlari bo‘yicha yoysak va (2.1.6) ni e`tiborga olsak, (2.1.10) Bu izlangan shartdir. Biz yuqorida tenglamani tekislikning umumiy tenglamasi deb atadik hamda parametrlarning tayin qiymatlarida bu tenglama tayin tekislikni ifodalashini ko‘rdik. Endi ba`zi xususiy hollarini ko‘rib chiqaylik. 1) – tekislik koordinatalar boshidan o‘tadi (3-chizma). 2) – bu tekislik (2.1.10) ga asosan vektorga parallel bo‘ladi, demak, o‘qqa ham parallel (4-chizma). 9 3-chizma. 4-chizma. Shunga o‘xshash (2.1.7) da da (yoki ) bo‘lsa, tekislik o‘qqa (yoki o‘qqa) paraleldir. Bundan quyidagi umumiy xulosa kelib chiqadi: tekislikning umumiy tenglamasida qaysi o‘zgaruvchi qatnashmasa, bu tenglama 10 bilan aniqlanadigan tekislik shu o‘zgaruvchi bilan bir ismli koordinatalar o‘qiga paralleldir. 3) , va tekislik o‘qdan o‘tadi (5-chizma). 1-misol. Biror affin reperga nisbatan quyidagi tekisliklarning vaziyatini aniqlang: a) b) c) , 3) Yechish: a) bu yerda , ya`ni 2-hol: tekislik o‘qqa parallel (6-chizma). b) , bu yerda tekislik koordinatalar boshidan o‘tadi (7- chizma). 5-chizma. 11 6-chizma. 7-chizma. 12 8-chizma. 9-chizma. 13 c) , bu yerda tekislik tekislikka parallel bo‘lib, absissalar o‘qini musbat yo‘nalishidan 2 birlik kesma kesib o‘tadi (8-chizma). d) , bu holda bo‘lib, tekislik o‘qdan o‘tadi (9- chizma). Eslatma. Agar tekislik tenglamasi berilib, uning biror reperdagi tasvirini chizish talab qilinsa, umumiy holda quyidagicha ish ko‘riladi: tenglamada uch nomalum bo‘lgani uchun ularda ikki tasiga ixtiyoriy qiymatlar berish bilan uning cheksix ko‘p yechimlarini toppish mumkin. Shu yechimlardan ixtiyority uchtasini olib, koordinatalari shu sonlardan iborat (bu uch nuqta bir to‘g‘ri chiziqda yotmaydigan qilib olinadi) uchta nuqta yasaymiz. Tekislik tasvirini chizishda ko‘pincha uning koordinata o‘qlari bilan kesishgan nuqtalarini topish qulaydir, buning uchun o‘zgaruvchilarning ikkitasiga nol qiymatlar berib, uchinchi o‘zgaruvchini berilgan tenglamadan topiladi( shartda). bo‘lsin. bo‘lgan holda tenglama biror tekislikni aniqlaydi. Tabiiyki, ga tegishli bo‘lmagan har qanday nuqta uchun . Ma`lumki, tekislik fazoni, ikki qismga ajratadi, bularning birini , ikkinchisini deb belgilaylik. Teorema. , bo‘lsa, , sonlarning ishoralari har xil bo‘ladi. Isbot. Haqiqatan, bu vaqtda kesma tekislik bilan biror nuqtada kesishib, bu nuqata kesmani biror nisbatda ( , chunki )bo‘ladi, ya`ni , , . Lekin Bu tenglikka ni qo‘yamiz: 14 bundan Yoki . Yuqoridagi belgilashimizga asosan: , shartga ko‘ra va sonlar har xil ishoralidir. Bundan quyidagi xulosaga kelamiz: ning biror nuqtasi uchun (yoki ) bo‘lsa, uning qolgan barcha nuqtalari uchun ham (yoki ); uchun ham shularni aytish mumkin. Demak, tekislik fazoni ikki yarim fazoga ajratib, shu tekislik tenglamasidagi o‘zgaruvchilar o‘rniga yarim fazolardan biriga tegishli barcha nuqtalarning koordinatalarini qo‘yganimizga hosil bo‘ladigan sonlarning ishoralari bir xildir. Misol: tenglama bilan aniqlanadigan tekislik uchlari , , nuqtalarda bo‘lgan uchburchakning tomonlaridan qaysi birini kesadi? Yechish: , , . Bundan ko‘rinadiki, , , bo‘lib, berilgan tekislik uchburchakning , tomonlari bilan kesishadi. 15 2.2.Fazoda to‘g‘ri chiziq 1.Fazodagi to‘g‘ri chiziq o‘zining nuqtasi va shu chiziqqa parallel biror bilan to‘la aniqlanadi(10-chizma). reperda , bo‘sin.To‘g‘ri chiziqning ixtiyoriy nuqtasini olaylik: (2.2.11) desak hamda ni hisobga olsak, (2.2.11) ni quyidagicha yozish mumkin: . (2.2.12) 10-chizma. (12) tenglama to‘g‘ri chiziqning vektorli tenglamasi deb ataladi, ga har xil qiymatlar berish bilan to‘g‘ri chiziqqa tegishli nuqtaning radius-vektori topiladi. va (2.2.11) dan yoki (2.2.13) Bu (2.2.13) tenglamalar sistemasi to‘g‘ri chiziqning parametrik tenglamalari deb yuritiladi. – berilgan nuqta, esa ning yo‘naltiruvchi vektori deb ataladi. Agar bo‘lsa, u holda (2.2.13) , , bulardan 16 . (2.2.14) Bu tenglamalar to‘g‘ri chiziqning kanonik tenglamalari deb ataladi. 2.To‘g‘ri chiziqning ikki nuqtasi uning fazodagi vaziyatini to‘la aniqlaydi: faraz etaylik , , nuqtalardan to‘g‘ri chiziq o‘tsin Oldingi banddagi nuqta o‘rniga va olinsa, (2.2.14) ga asosan: . (2.2.15) Berilgan ikki nuqtadan o‘tgan to‘g‘ri chiziqning tenglamalari (30) dir. 3.Fazodagi har bir to‘g‘ri chiziqni ikki tekislikning kesishish chizig‘i deb qarash mumkin.Shunga muvofiq, (2.2.16) Tenglamalar sistemasi shart bajarilganda to‘g‘ri chizini aniqlaydi (11-chizma). To‘g‘ri chiziqning yuqorida ko‘rilgan (2.2.12) – (2.2.15) tenglamalarining biridan qolganlariga o‘tish mumkin.Lekin u (2.2.16) ko‘rinishdagi tenglamalari bilan berilsa, kanonik ko‘rinishga bevosita o‘tish mumkin ekanligi ochiqdan-ochiq ravshan emas.Biz hozr shu masalaga to‘xtalamiz.Kanonik tenglamalarni yozish uchun to‘g‘ri chiziqning bitta nuqtasi va yo‘naltiruvchi vektorini bilish kerak. (2.2.16) uch noma`lumli ikki tenglama, demak, o‘zgaruvchilardan biriga, masalan, ga qiymat berib va hosil qilingan ikki noma`lumli ikkita tenglamani yechib, , qiymatlarni topamiz (bunda biz deb faraz qildik).Natijada nuqta (2.2.16) to‘g‘ri chiziqqa tegishli bo‘ladi, u holda (2.2.16) ni quyidagicha yozib olsak bo‘ladi. 17 Bu sistemadan quyidagilarni topamiz: , , . Bulardan . (2.2.17) 11-chizma. Agar (2.2.16) tenglamalarni dekart reperida qarasak, vektor tekislikning vektor tekislikning normal vektori bo‘ladi.(2.2.17) tenglamalardagi maxrajlarda turgan ifodalar tekisliklar normal vektorlarining vector ko‘paytmasining mos koordinatalaridan iborat, ya`ni 1-misol. nuqtadan o‘tadigan va vektorga parallel to‘g‘ri chiziqning parametrik va kanonik tenglamalarini yozib, uning uchta nuqtasini toping. 18 Yechish.Bu yerda , , va , , ; tegishli tenglamalar quyidagi ko‘rinishni oladi: . Endi shu to‘g‘ri chiziqning dan tashqari yana ikki nuqtasini topish uchun ga ikkita qiymat beramiz: , , , , , , , . Fazoda to‘g‘ri chiziqlar biror affin reperda ushbu parametrik tenglamalari bilan berilgan bo‘lsin: bu yerda , . Fazoda ikki to‘g‘ri chiziq o‘zaro parallel, kesishuvchi va ayqash bo‘lishi mumkin. 1. . (2.2.18) 2. ya`ni to‘g‘ri chiziqlar kesishsin. Bu holda bu ikki to‘g‘ri chiziq bir tekislikka tegishli bo‘lib, vektorlar komplanar, ya`ni yoki (2.2.19) 19 (2.2.19) tenglik to‘g‘ri chiziqlarning bir tekislikka tegishlilik shartidir. Agar (2.2.19) shart bajarilib, (18) bajarilmasa, lar bitta nuqtada kesishadi. 3. va kesishmasa hamda parallel bo‘lmasa, ular ayqash, demak ayqash ikki to‘g‘ri chiziq uchun (2.2.20) to‘g‘ri chiziqlarning dekart reperida qarasak, metrik xarakterli ba`zi mumuasalalarni hal qilish mumkin. 4.Ikki to‘g‘ri chiziq orasidagi burchak deb, bu to‘g‘ri chiziqlarning yo‘naltiruvchi vektorlari orasidagi burchakka aytiladi. Parametrik tenglamalari bilan berilgan to‘g‘ri chiziqlar uchun , bu to‘g‘ri chiziqlarning yo‘naltiruvchi vektorlaridir, demak, (2.2.21) Burchakning kosinusi ma`lum bo‘lsa, bu burchakni topish osondir. bo‘lsa, bo‘lib, (2.2.21) . (2.2.22) Bu shart ikki to‘g‘ri chiziqning perpendi kulyarlik shartidir. 5.Fazodagi ayqash ikki to‘g‘ri chiziqning Perpendikulyarini toppish masalasini qaraylik.Ikki ayqash to‘g‘ri chiziq bitta umumiy perpendikulyarga egadir. to‘g‘ri chiziqlarning tenglamalari parametrik ko‘rinishda berilgan bo‘lsin, u holda ularning umumiy perpendikulyarlarining yo‘naltiruvchi vektori vektordan iborat, vector va to‘g‘ri chiziq bilan aniqlanadigan 20 tekislikni bilan, vector va to‘g‘ri chiziq bilan aniqlanadigan tekislikni bilan belgilasak, bu tekisliklarning kesishmasidan hosil qilingan to‘g‘ri chiziq izlangan to‘g‘ri chiziqdir. 1-misol. Quyidagi to‘g‘ri chiziqlarning o‘zaro vaziyatini aniqlang: Yechish. to‘g‘ri chiziqda: , ; to‘g‘ri chiziqda; , . Endi (2.2.19) shartni tekshiramiz: demak, bu to‘g‘ri chiziqlar bir tekislikka tegishli. Fazodagi tayin nuqtadan o‘tgan barcha to‘g‘ri chiziqlar to‘plami markazli to‘g‘ri chiziqlar bog‘lami deb ataladi. markazli bog‘lam ushbu , , Parametrik tenglama bilan ifodalanadi, bu yerda , , bog‘lamdagi har bir to‘g‘ri chiziq uchun tayin qiymatlarga ega. Fazoda nuqtadanfarqli biror nuqta berilsa, shu nuqtadan bog‘lamga tegishli faqat bitta to‘g‘ri chiziq o‘tadi. Agar fazoda tayin to‘g‘ri chiziq berilgan bo‘lsa, unga parallel barcha to‘g‘ri chiziqlar to‘plami parallel to‘g‘ri chiziqlar bog‘lami deb ataladi. 2.3.Tekisliklarning o‘zaro vaziyati Biror affin reperga nisbatan , tekisliklar umumiy tenglamalari bilan berilgan bo‘lsin. 21 (2.3.23) Ikki tekislik yoki to‘g‘ri chiziq orqali keshadi, yoki ular o‘zaro parallel bo‘lib, umumiy nuqtaga ega emas, yoki ustma-ust tushadi. Bu holning qay biri yuz berishini bilish uchun , ga tegishli tenglamalar sistemasini tekshiramiz. Avvalo quyidagi matritsalarni tuzib olamiz: matritsaning rangini , kengaytirilgan matritsaningrangini esa deb belgilaylik. Bu yerda quyidagi holler bo‘lishi mumkin. 1. , tekisliklar ustms-ust tushsa, ularning tenglamalarida , , ya`ni = =1. (2.3.24) 12-chizma. 22 13-chizma. 14-chizma. Aksincha, (2.3.24) shartlar o‘rinli bo‘lsa, (2.3.23) tenglamalar ekvivalent bo‘lib, = , demak, = = =1. (12-chizma). 2. , lar har xil, lekin parallel bo‘lsa, u holda (2.3.24) shartlardanbirinchi uchtasi bajariladi, lekin (13-chizma), bu vaqtda =2, =1. 23 3. = =2 bo‘lgan holda tenglamalar sistemasi birgalikda bo‘ladi boshqacha aytganda, , tekisliklar umumiy nuqtaga ega, demak, ular biror to‘g‘ri chiziq bo‘yicha kesishadi (14-chizma). Metrik xarakterli masalalardan biri ikki tekislik orasidagi burchakni topish masalasidir. Ikki tekislik kesishganda to‘rtta ikki yoqli burchak hosil bo‘lib, ulardan o‘zaro vertikal bo‘lganlari teng (15-chizma). Demak, ikkita har xil burchak hosil bo‘lib, bularning biri ikkinchisini ga to‘ldiradi. Shuning uchun shu ikki burchakdan birining chiziqli burchagi berilgan tekisliklarning , normal vektorlari orasidagi burchakka teng bo‘ladi (mos tomonlari o‘zaro perpendikulyar bo‘lgan burchaklar tengdir). 15-chizma. , orasidagi burchakni desak, ˆ (2.3.25) 24 Burchak kosinusi ma`lum bo‘lsa, burchakning o‘zini hisoblash osondir. Biror affin reperda tekisliklar umumiy tenglama bilan berilgan bo‘lsin. (2.3.26) Bu uch tekislikning o‘zaro vaziyatini aniqlash bu tenglamalar sistemasini tekshirishnni taqozo qiladi. Berilgan tenglamalarning koeffitsientlaridan quyidagi matritsalarni tuzamiz: Bu matritsalarning ranglarini mos ravishda , deb belgilaylik. Ravshanki, , hamda . Quyidagi hollarni ayrim-ayrim ko‘rib o‘tamiz: 1. , . Bu vaqtda yuqoridagi uchta tenglama birgalikda bo‘lib, yagona yechimga egadir, demak, berilgan uchta tekislik bitta umumiy nuqtaga ega (16-chizma). 2. , , matritsalarning ranglari o‘zaro teng bo‘lmagani uchun berilgan Sistema yechimga ega emas, demak, tekisliklarning uchalasiga tegishli nuqta mavjud emas. Lekin bu vaqtda quyidagi ikki hol bo‘lishi mumkin. a) matritsaning ixtiyoriy ikkita satrining elementlari proporsional emas, u holda uchta tekislikning har ikkitasi kesishib, hosil bo‘lgan uchta to‘g‘ri chiziq paralleldir (17-chizma). b) matritsaning tayin ikki satri elementlari proporsional bo‘lsa, shu satrlarga mos tekisliklar parallel bo‘lib, uchinchi tekislik ularni albatta kesib o‘tadi (18-chizma). 3. , . Bu vaqtda , matritsalarning faqat ikki satri elementlari proporsional bo‘lmasda, qolgan bitta satri shu ikki satr elemenlarining chiziqli 25 kombinatsiyasidan iborat bo‘ladi, demak, uchala tekislik bitta to‘g‘ri chiziq orqali kesishadi (19-chizma). 4. , . Bu holda sistema birgalikda bo‘lmaydi, demak, , , lar umumiy nuqtaga ega emas. Lekin bo;lgani uchun quyidagi xulosani chiqaramiz: , , dan ikkitasi parallel bo‘lib (umumiy nuqtasiz), uchinchisi bulardan biri bilan ustma-ust tushadi (19-chizma), yoki ularning uchalasi parallel (umumiy nuqtasiz) (20-chizma) 16-chizma. 17-chizma. 26 18-chizma. 19-chizma. 27 20-chizma. 21-chizma. 5. , . Bu vaqtda berilgan tenglamalar sistemasi cheksiz ko‘p yechimga ega bo‘lib, u Sistema faqat bitta chiziqli erkli tenglamadan iborat bo‘lib qoladi, demak, , , tekisliklarning uchalasi ustma-ust tushib qoladi. 28 Misol. Dekart reperida va tekisliklar berilgan. Bu tekisliklarning o‘zaro vaziyatini aniqlang hamda ular orasidagi burchakni hisoblang. Yechish. Berilgan tenglamalarning koeffitsientlaridan quyidagi matritsalari tuzamiz: va . Demak, berilgan tekisliklar kesishadi. Endi (2.3.25) formula bo‘yicha shu tekisliklar orasidagi burchakni topaylik: , ; Misol. Affin reperda berilgan Tekisliklarning o‘zaro vaziyatini aniqlang hamda ularning kesishmasini toping. Yechish. Matritsalarni tuzib, ularning ranglarini hisoblaylik: 29 demak, .Yuqorida ko‘rilgan 1-holga asosan bu tekisliklar bitta nuqtada kesishadi. Shu nuqtani topaylik, uning uchun (*) sistemani yechamiz.Sistemadagi birinchi va ikkinchi tenglamalarni qo‘shsak, , U holda ikkinchi va uchinchi tenglamalarga ni qo‘ysak, , . Bundan Tekisliklar nuqtada kesishadi. Misol. Affin reperda berilgan Tekisliklarning o‘zaro vaziyatini aniqlang. Yechish. Bu matritsalarning ranglarini hisoblasak, , . Bundan ko‘rinadiki, bu tekisliklardan ikkitasi, aniqrog‘i , ustma-ust tushadi, lekin . 2.4.Fazoda to‘g‘ri chiziq bilan tekislikning o‘zaro vaziyati. Dekart reperida to‘g‘ri chiziq parametrik tenglamalari bilan, tekislik umumiy tenglamasi bilan berilgan bo‘lsin: 30 (2.4.27) (2.4.28) . Avvalo, to‘g‘ri chiziq bilan tekislikning kesishish nuqtasini topishmasalasiga to‘xtalaylik: buning uchun berilgan tenglamalarni Sistema deb qarash kerak. (2.4.27) va (2.4.28) dan . (2.4.29) shartda (2.4.30) bo‘ladi. ning bu qitmatini (2.4.27) ga qo‘ysak, izlangan nuqta topiladi.Lekin (2.4.31) shart bajarilsa, ya`ni bo‘lsa, u to‘g‘ri chiziq ga parallel bo‘ladi.Aksincha, . Demak, shart to‘g‘ri chiziq bilan tekislikning parallelligini bildiradi. , (2.4.32) bu (32) shart to‘g‘ri chiziqning tekislikka perpendikulyarligini bildiradi. bo‘lgan hol uchun to‘g‘ri chiziq bilan tekislik o‘zaro vaziyatining xususiy holidir. Bu vaqtda (31) shart bajarilib, undan tashqari bo‘lishi lozim, ya`ni . (2.4.33) Demak, (2.4.31), (2.4.33). To‘g‘ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchak deb, to‘g‘ri chiziq bilan uning shu tekislikdagi ortogonal proyeksiyasi orasidagi burchakka aytiladi (21-chizma). Biz deb faraz qilamiz. 31 21-chizmadan ko‘rinadiki, ning o‘rniga ˄ burchakni qabul qilish mumkin. Bu burchak ga yoki ga teng. Demak, , , shuning uchun (2.4.34) Misol. Ushbu To‘g‘ri chiziq bilan tekislikning kesishish nuqtasini toping. Yechish. To‘g‘ri chiziq tenglamalaridagi ning qiymatlarini tekislik tenglamasiga qo‘yamiz: yoki . U holda , , ; izlangan nuqta Misol. to‘g‘ri chiziq bilan tekislik orasidagi burchakni toping. Yechish. , , Misol. nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani toping. 32 Yechish. Nuqtadan to‘g‘ri chiziqqacha bo‘lgan masofani topish uchun quyidagicha oson hal qilish mumkin: a)berilgan nuqtadan o‘tib, berigan to‘g‘ri chiziqqa perpendikulyar tekislik tenglamasi tuziladi; b)shu tekislik bilan berilgan to‘g‘ri chiziqning kesishgan nuqtasi topiladi; c)bu topilgan nuqta bilan berilgan nuqta orasidagi masofa topiladi. Shu yo‘sinda masalani yechamiz. a) nuqtadan o‘tib, vektorga perpendikulyar tekislikning tenglamasini tuzamiz: yoki b)berilgan to‘g‘ri chiziq tenglamasini parametric ko‘rinishda yozamiz: , va bularni (*) tenglamaga qo‘yamiz: nuqta to‘g‘ri chiziq bilan tekislikning kesishgan nuqtasidir. . 33 XULOSA Kurs ishimning birinchi rejasi tekislikka bag‘ishlangan bo‘lib, bu rejada tekislik haqida to‘liq ma`lumotlar berilgan. Kurs ishimning birinchi rejasini tayyorlash jarayonida turli xil analitik geometriyaga oid kitoblarni qidirib, ulardan keng foydalangan holda yozib chiqdim. Bundan tashqari “Analitik geometriya” fani ma’ruza va amaliy mashg‘ulotlarga darsdan tashqari vaqtlarimda shu bobdagi mavzularga oid yangi qo‘shimcha misol va masalalar ishlashga harakat qildim. Kurs ishining ikkinchi rejasi to‘g‘ri chiziqlarga bag‘ishlangan bo‘lib, fazoda to‘g‘ri chiziqlarga oid ma`lumotlar kiritilgan. Kurs ishining uchinchi rejasi Tekisliklarning o‘zaro vaziyatiga bag‘ishlangan. Kurs ishining uchinchi rejasini tayyorlash jarayonida turli xil analitik geometriyaga oid kitoblarni qidirib, ulardan keng foydalangan holda yozib chiqdim. Kurs ishining to‘rtinchi rejasi Tekislik va to‘g‘ri chiziqning o‘zaro vaziyatlariga bag‘ishlangan. Kurs ishining to‘rtinchi rejasini tayyorlash jarayonida turli xil analitik geometriyaga oid kitoblarni qidirib, ulardan keng foydalangan holda yozib chiqdim. Xulosa qiladigan bo‘lsam, matematikaning har bir bo‘limiga o‘tganimizda unda yangidan yangi, qiziqarli ma`lumotlarga duch kelamiz, ularni o‘quvchilarga yanada qiziqarli va tushunarli qilib yetkazib berish o‘qituvchining mahoratiga bog‘liq. Mavzuni hayotga bog‘lab tushuntirib berish, undagi o‘ziga xos xususiyatlarni o‘quvchiga yetkazib berish murakkab jarayon. O‘qituvchi hamisha ishiga puxta va har qanday savollarga tayyor bo‘lishi lozim. Malakasini, tajribasini muntazam oshirib borishi kerak. Zamon bilan ham nafas bo‘lishi ham bugungi kun talabi. Shunday ekan biz bo‘lajak pedagoglar o‘qituvchilik sharafliligi bilan bir qatorda ma`suliyatli kasb ekanligini unutmagan holda, vaqtimiz, imkonimizborida o‘qib o‘rganib olishimiz kerak. Zero, kelajak bizning qo‘limizda,olg‘a studentlar! 34 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR 1. Narmanov A.Y. Analitik geometriya. Toshkent . “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati” 2020 yil , 176 bet. 2. Bayturayev A.M., Kucharov. R.R. Algebra va geometriya. Toshkent. “Innovatsiya-Ziyo”, 2020 yil, 184 bet. 3. Baxvalov S.V., Modenov P.S., Parxomenko A.S. Analitik geometriyadan masalalar to‘plami. T. Universitet, 2006 yil, 442 bet. 4. Ильин В. А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М. «Физматлит», 2004 yil , 232 стр. 4. X.Latipov, Sh.Tojiеv “Analitik gеomеtriya va chiziqli algеbra”, T.1995 , 5. Dadajonov N.D. , Jurayev M.SH. Geometriya. 1-qism Toshkent. 1995 6. Latipov X., Tojiyev SH., Rustamov R. Analitik geometriya va chiziqli algebra. Toshkent . “ O ‘ qituvchi ” 1993 y 7. Клетеник Д.В., Сборник задач по аналитической геометрии. М . « Физматлит », 2016 г , 241 стр . 8 . Boxonov.Z.S Analitik geometriyadan misol va masalalar to‘plami. Uslubiy qo‘llanma. Nam DU 2018 yil, 106 bet. 9. Izu Vaisman . Analytical Geometry. World Scientific, USA, 2007 year, 297 p. 13. http://www.arki.ru/magaz 14. http://www.lib.ru 15. http://www.bilimdon.uz 16. http://www.istedod.uz 35

Tekislik va to‘g‘ri chiziqning o‘zaro vaziyati

Купить