Документ

Всего документов: 5844
Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена	40000UZS
Размер	612.4KB
Покупки	0
Дата загрузки	08 Май 2025
Расширение	docx
Категория	Алгебра

Tekislikda almashtirishlar yordamida funksiya grafigini yasash

ko’ r inishda yoza ola m iz. To ’ g’ri c hi z iqlar or a sid a gi bu r ch a kni hisoblash
for m ulal a rini k e lti r ib chiqa r a m iz. Agar L1 va L2 to ’ g’ r i chi z iqlar

A 1x + B 1y + C 1= 0 va A 2x + B 2y + C 2= 0
tenglam a lar bilan be r ilg a n bo’lsa, ular or a sid a gi bur c hak ula r ning
n1= {A 1,B 1} ,
n2 = {A 2,B 2}
no r mal v e kto r la r i or a sid a gi bur c hakg a tengdir. V e kto r lar or a sid a gi
bu r chak bizga m a’lum bo’lg a n
− −

=
(2.1 . 7)
tenglam a lar bil a n be r ilg a n bo ’ lsa, bu to ’ g ’ ri c hi z iql a r o r asidagi bu r chak, ularning
yo ’ n a lti r uvchi
a1= {l1,m 1} va a2 = {l2,m 2} v e kto r la r i or a sidagi bur c h a kka tengdir. B u
holda ham to ’ g’ri chiziqlar or a sid a gi bur c hak sk a lyar ko ’ p a yt ma yo r da m ida
 =
+

+  +
(2.1.8)
for m ula bil a n hisoblan a di. To ’ g’ri chi z iql a rning pa r all e l yoki pe r p e ndikulya r
bo ’ lishi mos r a vishda ula r ning norm a l vekto r la r i ( a gar ular ( 2.1 . 5) tenglam a lar bilan
be r ilg a n bo ’ ls a ) yoki yo ’ n a lti r uvchi vektorla r ning ( a gar ular ( 2.1 . 7) t e nglam a lar bil a n
be r i lg a n bo ’ ls a ) parallel yoki perpendikulyar bo’lishiga ekviv a l e ntdir. Shuning u c hun

1 1
2 2
7
A B
A
=
B
va
A 1A 2+ B 1B 2= 0 (2.1.9)
tengliklar to ’ g’ r i chi z iqla r ning parall e llik va pe r p e ndikulyarlik sha r tl a ridir.

12 1 2
2 2 2 2

1 2 1 2

cos
ll m m
l l m m

x x y y
l m

x x y y
l m

− −
=
va 2 2
2 2

1 2 1 2
2 2 2 2

1 2 1 2

cos
A A B B
A A B B
 =
+
+  +
(2.1.6)
for m ula bilan hisobl a n a di. Ag a r
L1 va L2 to ’ g’ r i chiziqlar mos r a vishda

1 1
1 1

MUNDARIJA:
I.KIRISH … …… … ……… … …… …… ……… … …… …… ……… … … … 3
II . ASO S IY QISM
2.1. Tekislikda tog’ r i chiziqlar… … …… … ……… … …… …… …………...4
2.2. T e kislikda tog ’ ri chiziq t e ngl a malari……… … …… …… ……… … ….8
2.3. Tekislikda d e ka r t koordinat a lar siste m asini almashti r ish … …………. . 11
2.4. Tekislikda a lm a shtirishlar yordamid a funksiya grafigini y a sash … …...14
3. Mav z uga doir m isollar …… … …… … ……… … …… …… ……… … …17
III.XU L OSA …… … ……… … …… …… ……… … …… …… ……… … …..24
IV . F O YDALANI L GAN ADA B IYOT L AR …… … …… …… ……… … …25
2

5-misol .
A( - 3,5) nuqt a d a n o’tib, p=1,−2 vekto r ga pa r all e l to’ri c hiziq tenglam a sini tu z ing
Yechish: Nuqta:
A(−3,5) , Yo’nalish vektori: p=(1,−2)
To’g’ r i c hiziq tengl a masi(vektorli sh a kld a ):
(x,y)=(−3,5)+t(1,−2)
Param e trik tenglam a :
x=−3+t, y=5−2t
Yoki kanonik sh a klda: 3 5

1 2

6-misol .
Kordinat a la r boshid a n 3x - 2y+17 = 0, 2x + 3y - 6 = 0 to’ri chi z iqlarning k e shishg a n
nuqtasiga c ha bo ’ lg a n m a so f ani toping.
Yechish: To’g ’ ri c hi z iqla r : 1.
3x−2y+17=0 2. 2x+3y−6=0
K e sishg a n nuqtani topa m i z : Sist e m a ni ye c ha m i z :
3x−2y=−17 (1 )

2x+3y=6 (2)
(1 ) v a ( 2) ni ye c hib, k e sishg a n nuqtani top a miz. S o’ngra bu nuqt a d a n koo r din a t a
boshiga c ha m a sof a ni hisobl a ymiz:
d= x2+y2
x y

a
+
b
=
Elipsning ki c hik yarim o ’ qi u c hid a n o ’ tgan v a ta r la r ning o’ r t a
nuqtalarid a n tashkil topg a n figura tengla m asini tu z ing.
Yechish: Ellipsning ki c hik o ’ qi ( y - o’qi) o r qali o ’ tgan ba r cha vatarlarning
o’ r talarini olib, ula r orq a li chi z iq tenglamasi topil a di. Bu g e om e tric o’ r ta nuqtala r
to ’ pla m i bo’lib, ul ar doim chi z iqqa joylashadi. O’ r t a lar c hi z ig ’ I ellips tenglam a sini
para m et r ik ko’rinishda yo z ib, vata r la r ga m os nuqt a la r ni olib, ul a rning o’rtalarini toppish
orqali c hi z iq chiqariladi.
19 7-misol .
2 2

2 2 1

x+ = y−
−

Oddiy hol a tda, ag a r mark a z (0,0) bo’lsa, a si m ptotalar 1

1 1

( )4

2 4

x −y =

Shu t e ngl a ma a simptot a la r iga m os k r l a di. Endi uni
(x,y) ni shunday a yl a nti r ib olish
kerakki, ma r ka z i
5x−6y=8 chi z ig’ida bo ’ lsin. Agar ma r ka z ni ( 0 , 4

x− y+

tenglam a :
− =
4

( )

Javob (gipe r bola tenglam a si):
3 1
36 9


) bo ’ lsa ushbu nuqta :
a) X o ’ qiga nisb a t a n akisl a nti r ilsa , yangi ko r din a t a larini toping.
b )
900 ga soat yo’nalishi bo’yi c ha a ylantirilsa ,yangi ko r dinat a la r ini toping.
Yechish: a) x - o’qiga nisbatan a ksl a nti r ils a : 5 7

yangi 6 6

1 1-misol .
R =
e , 0 2 berilgan
Ushbu e g r i chi z iqningi u z unligini toping.
Yechish:
R =e0, d R
e
d
  

= 
+   =
  = 

2

0 22
0
0

21
Elips tenglam a si berilg a n :
2 2

1

9 4

L 2 ed 2 e 2( e 1)

=   = 
 
= −

0 0 0
L e e d 2e d 2  
 =

2 2 2
2 2 2


   =−   =

(radi a nda manfiy bu r ch a k
2 ga qo’shil a di) Javob: (7,7 )
6

6 10- m isol .
Agar nuqta qutub ko r din a t a larida (r,
 )=(7 , 5

2 2
x y+

− =

36 9 36 9
3 1
2 2 4
( 0) ( )
d e b ols a k , d e b ols a k , M −
3
36 9 1
Endi a2=36 d e sa, gipe r bola tenglam a si: 36 9
1
Endi a2=36 d e sa, gipe r bola tenglam a si:
2 2
4 1 6 x y x y x

a a a a a

2 2 2 2 2
2 2 2 2
2

−
− =  − = 
y = 
2 x bo’lishi uchun:

2.1. Tekislik d a t o’g ’ ri chiziqlar
To’g’ri c hiziqning umumiy tenglamasi
Tekislikda Ox y Dek a rt koo r din a t a lar sistem a si ki r itilg a n bo’lsin. Aga r
tekislikda bi r or
l to ’ gri c hi z iq be r ilg a n bo’lsa, unda yotgan nuqtalar koo r din a t a l a ri
bi r in c hi daraj a li
A x + B y + C = 0 tenglam a ni qano a tlanti r ishini ko ’ rs a t a miz .
T e kislikd a y a ngi
O 'x'y' koordin a talar sist e masini shunday ki r it a mizki to ’ gri chi z iq
abtsissa o’qi bil a n ust m a -ust tushsin. Y a ngi
O 'x'y' koo r din a talar sist e masida to ’ g r i
chiziqdagi nuqtal a rning koo r din a t a la r i y  = 0 tengla m ani qano a tl a nti r adi.

(2.1.1- c hi z ma)
Biz
O 'x'y' koordinatalar sistem a sid a n e ski Ox y koordinatal a r sistem a siga o ’ ts a k
yuqorid a gi tenglama
A x + B y + C = 0 ko ’ rinishga e ga bo’l a di. B u ye r da koeffisi e ntl ar
quyid a gi munosab a tni qanoatl a ntir a di:
A 2+ B 2  0
Teskari m a sala qo’ya m iz, ya ’ ni be r ilg a n tenglam a ga
A x + B y + C = 0 ko’ra
to ’ g r i chi z iqni aniql a ymiz.
Koo r din a t a la r i
A x + B y + C = 0 t e ngla m ani q a noatl a ntiruvchi M (x0,y0)
nuqtani olamiz. Aga r
l bil a n M (x0,y0) nuqt a d a n o ’ tuvchi va n = {A ,B } v e kto r g a
pe r p e ndikulyar to’g ’ ri chi z iqni b e lgilas a k,
M (x,y) nuqta to ’ g’ri c hiziqqa tegishli
bo ’ lishi uchun
M 0M v e ktor n = {A ,B } v e kto r ga ortogon a l bo ’ lishi za r ur va et a rlidir.
Ortogon a llik sha r tini sk a lyar ko ’ p a ytma o r qali yo z s a k

A x + B y + C = 0 (2.1.1)
4

chiziqning har bir M (x,y) nuqt a si u c hun M 0M v e ktor a = {l,m } v e kto r ga kollin e ar
bo ’ lishi ke r ak . Kollinearlik shartini yozs a k quyidagi tengl a mani ol a miz:

x x
0
y y
0
(2.1.3- c hi z ma)
Yuqo r id a gi (2 . 1.4 ) t e ngl a maning o ’ ng va c h a p tomonl a rini
t bil a n
belgilas a k quyid a gi parametrik tenglam a l a rni ola m iz:

x = x0+ lt,y = y0+ m t
Agar a bssissa o ’ qig a p a rall e l bo’lm a gan
L to ’ g’ r i c hiziq O X o ’ qini
A
nuqt a da kesib o ’ tsa , abssissa o ’ qi bil a n to’g’ri c hiziq or a sid a gi bu r ch a kni  bil a n
belgilay m iz. B ur c h a k
 y a gona r avishda tanlanishi uchun to ’ g’ri c hiziqning bi r orta
yo ’ n a lti r uvchi
a = {l,m } v e ktorini t a nl a b burchakni O X o ’ qid a n yo’n a ltiruv c hi
v e kto r ga soat m ili yo ’ n a lishiga q a rshi yo’nalishda hisoblaymiz.Bu bur c h a kning
tang e nsini
k bil a n belgil a s a k
m

k =
l

tenglikni hosil qilamiz. To’g ’ ri c hi z iqning bi r o r ta
M (x0,y0) nuqtasini
bilsak , uning t e ngla m asini

y −y0= k(x −x0) (2.1.5)
6
l m l m
− −
=
(2.1.4)
Bu tengl a ma to’g ’ ri c hiziqning kanonik tenglam a si deyil a di.

XULO S A
Ilmiy t a dqiqotla r va olib bo r ilg a n kuzatuvl a r xulosasiga ko‘ra An a litik
g e om e triya ku r sida tekislik va unda koo r din a t a lar sistem a la r ining al m ashishsi h am da
alm a shtirishl a r yordamida funksiyaning garfigini y a s a sh o’rg a nildi. Tekislikd a
alm a shtirishl a r tushun c h a si muhim f undam e nt a l tushun c hala r d a n bo ' lib, f aq a tgin a
an a litik g e om e t r iy a kursida e m as, b a lki m a tem a tik a ning boshq a bo ' limlarida ham muhi m
rol o ' yn a ydi.
Mav z uga doir il m iy maqol a lar, il m iy ishl a r, ad a biyotlar, intern e t ma’lu m otla r i
yig ’ ildi va o’ r ganildi . Tartibga solinib, ma ’ lum k e tma - k e tlikda to’la yoritildi.
Kurs ishining mav z u yuz asidan rej a lar tu z ildi va r e ja a sosida o’ r g a nildi va k e ngroq
yo r itishga xarak a t qilindi. Kurs ishini taj r iba qismi quyidagi r e jalar asosida yo r itishg a
xarak a t qilindi: t e kislik haqida tushun c h a , tekislikd a gi a lm a shti r ishlar, a lm a shtirishla r
yo r d a mida funksiyaning g r afigini qurish. Shu r e jalar asosida yo r itishga xarakat qildim v a
mav z u yu z asidan o’ z imga ko ’ nikmalar oldim.
24

 =
a a
=
tenglik o‘rinli.
Ikkinchi holda ba z isla r ning o r i e nt a tsiy a la r i har xil va koo r din a t a la r ni
alm a shtirish formul a lari
 = − +

= + +

ko ‘ rinishda bo‘ladi.

(2.3.2 - vhi z ma)
Bu holda o ‘ tish dete r minanti uchun
 =
a a
= −

tenglik o‘ r inli bo ‘ l a di. De m ak koordinatal a r sistem a sini a lm a shtirg a nimi z d a o‘tish
mat r its a sinig d e ter m in a nti musbat bo ‘ lsa, o r ient a tsiya o‘ z garmaydi. Aga r o ‘ tish
mat r its a sining det er minanti manfiy bo ‘ lsa, o r i e nt a tsiya qarama -q a rshi o r i e nt a tsiyaga
o‘ z garad i.
Ikkit a
D va Q t e kislikni qaraylik. D t e kislikda to ‘ g‘ri bu r chakli
koo r din a t a lar sistem a si hamda
Q tekislikd a O o1'o2' koo r din a t a lar sist e masi be r ilg a n
bo ‘ lsin.
D va Q tekisliklar ustma-ust k e lti r ilishi m u m kin. S huningd e k, koo r din a t a la r
sistem a la r i ham ust m a-ust keltirilishi m u m kin.
13
21 22
11 12 a a
1

' ' 
cos sin
sin cos

x x y a
y x y b
' '
 
 

21 22
11 12 a a
1

2.4 . Tekislik d a fun k si y alar n ing g r afikla r ini yasash .
Quyid a gi jadvalda funksiyal a rning kanonik t e nglam a lariga m os k e luvchi
grafikla r ining qanday chiziqqa mos kelishini keltirib o’t a miz.

Parabola va uning tenglamasi va uning grafi k lari
Ta’rif. T e kislikd a har bir nuqtasid a n be r ilg a n nuqt a ga c ha va berilgan to ‘ g ‘ r i
chiziqqa c ha bo ‘ lg a n masof a la r i o ‘ zaro t e ng bo ‘ lg a n barcha nuqtalar to ‘ pla m i parabola
d e yil a di. B e rilgan nuqta be r ilgan to ‘ g ‘ ri c hi z iqda yotm a ydi d e b olin a di. Be r ilg a n nuqt a
parabola n i n g fok u si , berilgan to ‘ g ‘ ri c hi z iq e sa parabola n i n g direktrisasi deyiladi .
Parabol a ning fokusi va dir e kt r isasini mos ravishda F va d bil a n, fokusd a n
di r ekt r is a ga c ha bo ‘lgan m a sofani p bil a n belgil a y m iz. Ta’rifdan foyd a lanib p a rabol a
tenglam a sini kelti r ib chiqa r aylik: buning u c hun d e ka r t koordin a talar siste m asini
14 x y
a +
b =
2 2
2 2 0
2 2
2 2 0
2 2
2 2 1

2 2
2 2 1

2 2
2 2 1
K a nonik tenglam a lar Chiziqlarning nomla r i
x y

a
+
b
=
Ellips
x y

a
+
b
= −
Mavhum ellips
x y

a
−
b
= 
Gipe r bola
x y
a −
b =
K e sishuv c hi to ’ g’ r i c hi z iq
Nuqta ( koo r din a ta boshida
kesishuv c hi m a vhum ikki to ‘ g ‘ ri
chiziq)
y2= px
Parabola
y2−a2= 0
Turli parall e l ikki to ’ g’ r i chi z iq
y2+ a2= 0
Mavhum parall e l ikki to ‘ g ‘ r i
chiziq
y2= 0
Ustma-ust tushgan ikki to ‘ g ‘ r i
chiziq

munos a batla r ni hosil qilamiz. B u ifodal a rni
O A = O O '+ O 'A ,O A = xi + yj
tenglikla r ga qo ‘ yib

xi + yj = ai+ b j+ a11x'i+ a12x'j+ a21y'i+ a22y'j
tenglikni hosil qila m iz.
Bazis v e kto r l a ri
{i',j'} chi z iqli erkli oil a ni tashkil etg a nligi uchun
yuqorid a gi munos a b a td a n
= + +

= + +
(2.3 . 2)
for m ulal a rni olamiz. Endi
aij koeffitsientlarni topish u c hun ikkita holni qaraymiz.
Birin c hi hol:
{i,j} va {i',j'} ba z islar bir xil orient a tsiyaga ega. B u
holda agar
 bil a n i va i' v e kto r lar o r asidagi burch a kni belgil a s a k, j va j' vektorl ar
or a sid a gi burchak h a m
 ga t e ng bo‘ladi. Yuqo r id a gi ( 2.3 . 1) t e nglikl a rning har ikkalasini
i
va j v e kto r la r ga sk a lyar ko‘paytirib

a11= cos,a12= si n,a21−si n,a22= cos
for m ulal a rni olamiz. Agar
{i,j} va {i',j'} bazislar h a r xil o r i e ntatsiy a ga e ga
bo ‘ lsa,
j va j' v e kto r la r or a sid a gi bur c h a k  − ga t e ng bo ‘ l a di. Bu holda (2 . 3.1 )
tenglikla r ning har bi r ini
i va j vektorlarga skalyar ko‘paytirib

a11= cos,a12= si n,a21−si n,a22= cos
for m ulal a rni hosil qil a miz. Bu fo r mul a larni ( 2.3 . 2) f or m ul a la r ga qo‘yib m os
ravishda quyid a gi ikkita f or m ulalarni ol am iz:
= − +

= + +
(2.3 . 3)
Bu holda o ‘ tish dete r minanti uchun
12 ' '
cos sin
sin cos

x x y a
y x y b
' '
 
 

x a x a y a
y a x a y b
' '
11 21

' '

21 22

quyid a gi c ha t a nlay m iz: a bssiss a lar o ‘ qi deb F nuqt a d a n o ‘ tuvchiva d to’g ’ ri c hi z iqqa
pe r p e ndikular bo ‘ lg a n to ‘ g ‘ r i chi z iqni q a bul qila m iz, uning m usb a t yo ‘ nalishi chiz m ad a
ko ‘ rs a tilg a ndek bo ‘ lib, abssiss a lar o ‘ qining d to ‘ g ‘ ri c hiziq bilan kesishg a n nuqt a si N
bo ‘ lsin. O r din a t a la r o ‘ qini FN kes m aning o ‘ rtasidan o ‘ tkazamiz. T a nl a ng a n
koo r din a t a lar siste m asida dir e ktrisa t e ngl a m a si
,
2

koo r din a t a ga e ga bo ‘ ladi .

1-rasm
Bund a n
M 1 nuqta pa r abol a ga tegishli. D e mak, y2= px parabola tenglamasi
bo ‘ lib, parabola n i n g ka n o n ik te n gla m asi d e yil a di.
Para b ola n i n g s h akli. Parabol a ning sh a klini uning
y2= px tenglam a siga ko ‘ r a
tekshi r amiz .
y2 0
va p
 0
bo ‘ lg a ni u c hun y2= px tengl a mada x 0 bo ‘ lishi kerak .
Bund a n
y2= px parabol a ning ba r cha nuqt a la r i o ‘ ng ya r im tekislikda
joylashganligi kelib c hiq a di;
x= 0
da y2= px tengl a m a da y= 0 , bundan e sa par a bola koordin a talar boshidan
o ‘ tishi kelib c hiqadi. Koo r din a t a lar boshi parabolani n g uc h i d e yil a di.
x ning har bir
x 0 qiym a tiga y ning ishor a la r i qara m a - qarshi , a mm o a bsolyut
miqdor- lari t e ng bo ‘ lgan ikki qiy m ati mos k e l a di. B und a n parabol a ning Ox o ‘ qq a
nisbatan simm e t r ik joyl a shg a nligi aniql a n a di. Ox o ‘ q parabola n ing simm e tri y a o ‘ qi
d e yil a di. U shu bil a n bir v a qtda parabola n ing f okal o ‘ qi h a mdi r .

y2= px tenglikdan y=  2px . Bu tengl a madan ko ‘ r inadiki, x ortib bo r s a
y
ham o r tib bor a di, ya ’ ni x→ + da y → + . Ko ‘ rsatilg a n bu xossal a rga asosl a nib,
parabol a ning sh a klini 2- chiz m ad a gidek t a xmin qilish mumkin.
15
 p  




p
x= − F
fokus esa ;0
2

1. O1 ga nisb a t a n: x'=x−(−3)=−6+3=−3

y'= y−0=3

 (x',y')=(−3,3)
2.
O2 ga nisb a t a n: x'=x−(−4)=−6+4=−2

y'= y−3=0

 (x',y')=(−2,0)
16- m isol .
Berilgan A ( 1,2 , 3) nuqta va unga parallel bo’lg a n ikkita vektor:
a=(2, - 1,3), b=( - 1,4 , 2)
Ushbu nuqta va vektorga paralel bo’lg a n t e kislik tengl a masini toping.
Yechish: Tekislikd a gi har q a nday nuqta
(x,y,z) :
(x,y,z)= A+s*a+t*b

(x,y,z)=(1,2,3)+s(2,−1,3)+t(−1,4,2)

Param e trik ko ’ rinish:
x=1+2s−t

y=2−s+4t

z=3+3s+2t
Yoki umu m iy tengl a ma uchun:
Norm a l vektor
n=a*b
i j k
a b = − = i − − − j
−
T e kislik tengl a masi:
−14 (x−1)−7(y−2)+7( z−3)=0 −14x−7
23 * 2 1 3 ( 1 * 2 3 * 4) ( 2 * 2)
1 4 2

Agar a = {a1,a2,a3},b = {b1,b2,b 3} bo ’ lsa, aral a sh ko ’ p a ytmani
koo r din a t a lar orqali yozsak
− 1

2
=
0
tenglam a ni hosil qil a miz .
Bizga d e kart koo r din a t a la r i ki r itilgan fazoda
 va  ikkita t e kislik-
lar m os r avishda quyid a gi tenglam a lar bil a n berilgan bo’lsin :

 :A 1x + B 1y + C 1z+ D 1= 0 ,  :A 2x + B 2y + C 2z + D 2= 0
Bu tekislikl a r o r asidagi bu r ch a k ula r ning no r mal v e kto r la r i o r asidagi
bu r chakka t e ngdir . Ularning
n1= {A 1,B 1,C 1} va n2= {A 2,B 2,C 2} nor m al v e kto r la r i
or a sid a gi burchakning kosinusini

 =
+ +

+ +  + +

for m ula buyich a xisobl a shni bila m iz. T e kislikl a rning pa r allellik sha r ti ula r ning
v e kto r lari pa r alleligiga teng kuchlidir. Shuning u c hun bu shart

1 1 1
2 2 2
10
A B C
A
=
B
=
C

ko ’ rinishda yo z iladi . T e kislikla r ning pe r p e ndikulyarlik sha r ti ula r ning nor m al
v e kto r lari pe r p e ndikuly a rligiga teng ku c hli va

A 1A 2+ B 1B 2+ C 1C 2= 0
ko ’ rinishda yo z il a di.
1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2

cos
A A B B C C
A B C A B C

2 3 1
1 0 y y
a

b

− 0
3

z z
a

b

x x
a

b

−

x + y = elipsning 2x - y- 9=0 to ’ ri c hiziq bilan k e shishi nuqt a la r i topilsin.
Yechish: Elips:
K e ltira m i z :
x + x − x + =

x − x+ =  x −x+=

Diskrimin a nt:
D =1166 4−1076 4=90 0 D =30
10 8 30
1 6 9 , 2 3

Javob: ( 6 9 21

,
(3,−3)
va urinm a la r id a n bi r ining
tenglam a si 5x - 6y - 8 = 0 bo ’ lsa , gipe r bola tengl a m a si tu z ilsin.
Yechish: Asi m ptotal a r: 1

Berilgan to ’ g’ r i c hiziq:
5x−6y−8=0
Gipe r bol a ning t e ngl a masi ma r ka z i bu c hi z iqd a n olin a di. To ’ g’ r i chi z iqni u m u m iy
ko ’ rinishga keltira m iz: 5 4

shu c hi z iqda yot a di.
20 Markaz nuqtasini
(x0,y0) deb olsak, giperbola mark az i y=
6
x−
3

s 2 1 y = 
2 x 
x y
a
−
b
=
Dem a k, gip e rbola:
2 2

2
x 9-misol .
Gipe r bola asi m ptotalarining t e ngl a malari y =
1 9-misol .
Gipe r bola asi m ptotalarining t e ngl a malari y =1 9-misol .
Gipe r bola asi m ptotalarining t e ngl a malari y =1 , )
1 3 13 , )
1 3 13 , )
1 3 13
9 , y =
13
− =
13
y
2 =
2 * 3 −
9 = −
3

9 , y =
13
− =
13
y
2 =
2 * 3 −
9 = −
3

x
26
x
13
x x
26
x
13
x 
=  = =

1 2* 69 21

2
13 10 8 24 3 1 13 2 10 8 20 7 0

36

36 36 36 36 1 2 3(4 2 36 81) 36 12 36 12 1 2
4 2
3 6 81
x
+ x − x +
= 36 12 36 12 1 2
( 2 9) 2
x
+ x −
=
(2 x − 9) 2
= 4 x 2
− 36 x + 81

36 12 36 12 1 x + y =
To’g’ri c hi z iq: 2x−y−9=0 y=2x−9
Elipsga qo ’ ya m i z :
2 2
36 12 36 12
1 8-misol .
2 2

3-misol .
U c hl a ri A ( 6, 
),B(10 ,  ) nuqtalarda joyl a shg a n uchbu r ch a kning
  

Qutb koordinatala r d a n to ’ g’ri koo r dinat a l a rga o’tish:
Formulalar:
x=r*cos() , y=r*sin ()
Hisoblaymiz:
: 6cos ( )


=
, 10sin ( )


=

K e yin uchbur c hak yuzini topa m i z : 1
* 1( 2 3) 2( 3 1) 3( 1 2)

4-misol .
Qutubga nisbatan M(3,

),N(7,  ),A(4,- 
) nuqt a la r ga sim e trik
   

−

Simm e t r ik nuqtal a rni topamiz: Qutb koo r din a t a sida nuqtaning simm e t r igini olish
for m ulasi:
(r,)→ (r,+)
Har bir nuqt a ning simmet r ikini yoza m i z :
':(3, ) (3,5

)

M
4 4

B
6 )
18 '
( 6 , 11


  + =

':(4,2

)

A
3

  + =

':(7, ) (7 ,3

)

N
2 2

, 7, , 4, , 6, ) M (
4
)N(
2
)A(
3
)B(
6
bo ’ lg a n nuqt a la r ning qutub qordinat a la r ini toping.
Yechish: Qutb koordinatal a rida nuqtal a r:
3, 5

6 3 2 4
6 3 2 4
 ),B(6, 5
S=
2
x y −y +x y −y +x y −y
y
12
C x
12 = , 8sin (7 ) : 8cos ( 7 )

y
4
B x
4
: 10cos ( ) 
=
y
12
A x
12 
=

=
, 6 sin ( )
A
12
B
4
C(
12 yuzini hisobl a ng.
Yechish:
B e rilgan: Uchbur c h a kning u c hl a ri qutb koordin a talarid a :
7

(6, ), (10, ), 8, )

 ),C(8, 7
12
12 4 4

KIRI S H
Tekislik — g e om e t r iy a ning a sosiy tushunch a la r id a n biri. G e o m et r iy a da T e kislik,
odatda, taʼri f lanm a ydig a n (ya ʼ ni nuqta, to ʻ gʻ r i chi z iq k a bi) boshl a ngʻich tushunch a
hisobl a nib, uning xususiy a tla r i bilvosit a geo m et r iya aksio m ala r i bil a n ifod a l a n a di .
Mas a l a n, ikki nuqt a si biro r t e kislikda yotgan to ʻ gʻ r i c hiziqning oʻ z i ham shu t e kislikda
yot a di; bir toʻgʻri c hiziqda yotmagan uchta nuqta o r q a li bitt a tekislik o ʻ t a di; fazoda
be r ilg a n ikki nuqtad a n teng uzoklikda turgan nuqt a lar toʻpla m i T e kislik boʻladi.
Oxi r gi a ksioma m a sofa tushunchasiga asosl a ngan bo ʻ lib, N.I.Loba c h e vskiy uni
T e kislikning t a ʼri f i si f atida qabul qilgan. G.V.L e ybnits T e kislikni ikkita kongruent
ajr a tish mu m kin boʻlgan si r t deb taʼrifl a gan. Am m o bu xossa T e kislikni toʻla
aniqlam a ydi, c hunki yasov c hisi sinusoida yoki arrasi m on munt a zam ch e ksiz siniq chiziq
bo ʻ lg a n silind r ik sirt ham shund a y kongruent qis m la r ga bo ʻ lin a di.
T e kislikda yotuvchi nuqta ol a ylik , be r ilgan ikkita nuqtad a n t e kislikdan oling a n
nuqtaga c ha bo ’ lgan masof a la r ni topa m iz va tenglaymiz . Natijada tegishli b e lgilashlarni
ishlatib quyidagi tenglam a ga kelamiz :
Ax+ By+ Cz+ D = 0
Hayotimi z ning ha r bir l a hz a si tekislikla r bil a n bog ’ lik . B iz ustida yur a dig a n ye r
ham t e kislikka misol bo ’ ladi .Geom e triyaning dey a rli barch a tushun c halari t e kislik
yo r d a mida beril a di . Men i z l a nish olib bo r ayotg a n ku r s ishi “ T ekislikl a rning o’ z aro
va z iyati” ham katta a ha m iyatga e ga . Bu m av z u r e jalar yo r da m ida to ’ liq bayon etilg a n
3

tenglam a ni hosil qilamiz. Bu t e nglama to’g’ri c hi z iqning u m umiy t e ngl a masi
d e yil a di. Ag a r (2 . 1.1) tenglam a da A = 0 bo’lsa , (2.1 . 1) tenglama Ox o ’ qiga pa r all e l
to ’ g’ r i c hi z iqni,
B = 0 va C = 0 bo ’ lg a n holla r da m os ravishda O y o ’ qiga pa r allel va
koo r din a ta boshidan o’tuv c hi to ’ g’ r i c hi z iqlarni ola m iz. Bi z ga be r ilg a n (2 . 1.1)
tenglam a ning hamm a ko e ffisientlari nold a n fa r qli bo ’ lsa, t e ngl a mani
+ =

− −
(2.1.2)
+
b
=
(2.1.3)
ko ’ rinishga k e ltir a miz. Bu t e ngla m a to’g ’ ri chi z iqning k e s m alard a gi t e ngla m asi
d e yil a di. B u holda to ’ g’ r i c hiziq koo r din a ta boshidan o ’ tm a ydi va koo r din a t a o ’ qla r id a n
katt a likla r i mos r a vishda
a va b larga t e ng bo’lg a n kes m al a rni aj r at a di. B u tenglam a
to ’ g’ r i c hi z iqni c hi z ish uchun qul a ydir.

(2.1.2- c hi zm a)
To ’ g’ri c hiziqning kanonik tenglamasi
To’g’ r i chiziqqa parall e l ha r qanday vektor to’g’ri c hi z iqning
yo ’ n a lti r uvchi v e kto r i deyiladi.Aga r to ’ g ’ ri c hiziqning bitta nuqt a si va yo ’ naltiruvchi
v e kto r i berilg a n bo ’ lsa,uning t e ngla m asini tu z ish m a salasini qaraylik . Agar
a = {l,m }
yo ’ n a lti r uvchi v e kto r bo ’ lib,
M (x0,y0) nuqta to ’ g’ r i chi z iqqa tegishli bo’lsa, to ’ g’ r i
5
B B B
B ko ’ rinishda yo z ib va
C
a =
−
A
,
b
C
−
=
belgil a shl a r kiritib, uni

a
x y
1
C
a =
−
A
,
b
C
−
=
belgil a shl a r kiritib, uni

a
x y
1
x y
1 C C

A B

Berilgan uchta nuqtadan o’tuvchi tekislik t e nglamasi.
Fazoda bir to ’ g’ r i c hiziqda yot m aydig a n M 1(x1,y1,z1) ,
M 2(x2,y2,z2)
, M 3(x3,y3,z3) nuqtal a r berilg a n bo’lsa,ula r d a n o’tuvchi  t e kislik
tenglam a sini tuz a ylik.

(2.2.2-chizma )
Fazoning
M (x,y,z) nuqt a si  t e kislikka tegishli bo ’ lishi
M 1M ,M 1M 2,M 1M 3
v e kto r larlarning komplanar bo ’ lishig a teng kuchlidir. Bu
v e kto r la r ning a ralash ko ’ p a ytm a si nolga t e ng bo ’ lishini koo r dinat a lar orq a li yo z sak
x x
x x x x y y
y y

y y

z z z
z
z
z

0
T e ngla m ani hosil qil a miz.
Berilgan nuqtadan o’tu v chi va ik k i vektorga parall e l te k islik tenglamasi
Bizga f az oda
M 0(x0,y0,z0) nuqta va nokollin e ar ab, v e kto r lar
be r ilg a n bo ’ lsin. B erilg a n nuqtadan o ’ tuv c hi va
a ,b , vekto r la r ga parall e l  t e kislik
tenglam a sini tuz a ylik.Bu holda
M (x,y,z) nuqta  tekislikka tegishli bo ’ lishi u c hun
M 0M
, a ,b vektorl a rning komplanar bo’lishi za r ur va yetarlidir.

(2.2.3-r a sm)
9
3 1 3 1 3 1
2 1 2 1 2 1
−
−

− =
−

−
−

1 1 1
− − −

FOYDALAN I LGAN ADAB I YOTLAR
1. Baxv a lov S. V., Modenov P. S., Parxom e nko A. S. An a litik g e om e triy a d a n
mas a l a lar to ‘ pla m i. Toshkent, 2006, 546 bet.
2. Ил ь ин В. А. Позняк Э. Г. Анали т иче с кая г е оме т рия. М ., Наука , 1981, с . 232.
3. Pogorelov А . V. Analitik geo m et r iya. Toshkent , 0 ‘ qituvchi, 1983, 206 - b e t .
4. Постников М. М . Ана л итическая г е ометрия. М., Н а ука, 1979. с. 336.
5. Цуб е рбиллер О. Н. Зад а чи и упр а жнения по а нали т ической г ео м етрии .
Санкт - Пе т ербург — Москва, Изд. Л а н’, 2003 г. стр. 336.
6. Клет е ник Д. В. Сборник задач по а нали т ической г е о ме трии. М . Н а ука .
1998,
FOYDALANGAN I NTE R NET S AYTLAR
1.https://dl.urdu.uz
2.http://library.ziyon e t.uz
3.https:// f aytllar . o r g
25

2.2. Te k islik d a t o ’ g ’ ri c h iziq t englamalari.
Fazoda D e kart koordinatalar sistem a si ki r itilgan v a unda  tekislik
be r ilg a n bo ’ lsin. B u tekislikk a t e gishli nuqt a la r koordinatalari bi r in c hi da r aj a li c hi z iqli
tenglam a ni qanoatl a nti r ishini ko’ r s a ta m iz.

(2.2.1-chi z ma )
Tekislikka tegishli
M 0(x0,y0,z0) nuqtani olib ,  tekislikka
pe r p e ndikulyar bi r o r ta v e kto r ni n bil a n belgilas a k,
M (x,y,z) nuqta  tekislikka
tegishli bo ’ lishi u c hun
M 0M vektorning n vekto r ga pe r p e ndikulyar bo ’ lishiga teng
kuchlidir. D e mak
M (x,y,z) nuqt a ning koo r din a tala r i

A (x −x0)+ B (y −y0)+ C (z−z0)+ D = 0 (2.2.1)
tenglam a ni q a no a tlanti r ishi kerak.Ag a r
D = A x0+ By 0+ Cz 0 belgil a shni
ki r its a k

A x + B y + C z + D = 0
tenglam a ni hosil qil a miz.
Teskari m as a la qo’yamiz:
A x + B y + C z + D = 0 tenglama b e rilgan
bo ’ lsa, koo r din a talari be r ilg a n tenglam a ni q a no a tlantiruv c hi nuqt a la r to ’ pl a mi t e kislikni
hosil qilishini ko’ r s a tamiz. Koo r dinat a la r i be r ilg a n tenglam a ni q a no a tlantiruv c hi bi r orta
M 0(x0,y0,z0)
nuqtani olib, M 0(x0,y0,z0) nuqt a dan o ’ tuv c hi va n = {A ,B ,C }
v e kto r ga pe r p e ndikulyar t e kislikni
 bil a n belgil a sak, bu t e kislikdagi nuqt a la r ning
koo r din a t a la r i berilg a n t e nglam a ni q a no a tlantirishini ko’ra m iz . Va a ksin c ha ,
koo r din a t a la r i be r ilg a n tenglam a ni q a no a tlanti r uvchi nuqt a la r ning har bi r i
 tekislikg a
tegishlidir.

8

3. Mavz u ga d oir misollar.
1-misol .
 =O,e
1,e 2 a f fiin sistem a ga nisbat a n A ( 2,1) va V(-3/2,3) be r ilg a n. Koedin a tala r
boshi O’(0 , 1) nuqt a da bo ’ lgan shund a y
'=O,e1,e2 a f fin sistem a ni topingki,und a
A(1,0) va V(0 , 1) bo ’ lsin.
Y echish: Y a ngi bazaning vekto r la r i:
e1=O 'A=(2,1)−(0,1)=(2,0)

e =O V = −
2
− = −
2

Dem a k, yangi affin sist e m:
Boshi:
O'(0,1)
Baza vektorl a ri:
e1' =(2,0) , e2' ( 3 ,2)

2-misol .
 =

0 , i , j  dek a rt sistem a ga nisbatan A ( 8
,-1/2) va M ( x,y) nuqtalar berilgan.

Kordinata o’qla r i kordin a t a lar bur c h a gi biss e kt r isalari bilan a lmashti r ilg a nda ,
shu nuqtala r ning ko r din a t a larini toping.
Yechish:
A( 8,−1/2)vaM (x,y) Koo r dinat a lar o’qla r i bu r chak biss e kt r isalari bil a n
alm a shtiril a di. B u bu r ilish
45 o bu r ch a k ostida bo’ladi.
(dem a k bu r ilish bur c h a gi:
45
4

y = x + y
A nuqataning y a ngi koo r dinat a la r i:
x= 8, 1

'
1 1 1

' 1 1 1

M (x,y)
nuqtani ham xuddi shu f or m ula orq a li y a ngi sistem a ga o’tka z ish mumkin.
17
( 8 ) (2 2 0,5) y =
2
−
2
=
2
−
( 8 ) ( 2 2 0 , 5 )
x =
2 +
2 =
2 +
y = −
2
x = x−y' 1
( )
2
o 
 =
)
Bu r ilish f or m ul a si:
' 1 ( ),

= −
2
2 2
' 3 3 ' ( ,3) (0,1) ( ,2)

'

2.3 Te k islik d a de k a r t koordina t alar sist e masini al m ashtirish .
Tekislikd a dek a rt koo r din a t a lar sist e masi berilg a n bo ‘ lib , uni koordinat a la r
boshi O nuqta atro f ida bu r chakka bu r ishni qaraylik.
Tasdiq . Nuqtaning “ eski” va “ y a ngi” koo r din a t a la r i orasid a gi bog ‘ l a nish
= −

= +

tenglam a lar sistem a si bilan aniql a n a di.
Isbot. B ir vekto r d a n ikkin c hisiga qisqa bu r ilish yo ‘ n a lishi soat st r elk a si
yo‘ n a lishiga qarama - qa r shi bo ‘ lsa, bu v e kto r lar o‘ng ikkilik , aks holda c h a p ikkilik
tashkil qil a di d e yil a di. Bazis sif a tida biro r ikkilik tanl a nsa, biz o r ient a tsiya tanl a b oling a n
d e b hisoblaymiz. B izga
{i,j} va {i',j'} o r tonorm a l ba z islar be r ilg a n bo ‘ lsin. Bu
ba z islar yorda m id a kiritilg a n D e ka r t koo r dinatal a r sist e masilarini mos r a vishd a
Ox y va
O 'x'y'
bil a n b e lgilaylik. Nuqt a ning “ e ski” va “yangi” koo r din a talari o r asidagi
bog ‘ l a nishni topa m i z . “Y a ngi» koordinat a lar sistem a si m arkazining « e ski» koo r din a t a
sistem a sid a gi koo r dinat a la r ini
(a,b) bil a n belgil a ylik.
Tekislikda
M nuqta be r ilg a n bo ‘ lib,uning Ox y va O 'x'y' sist e malardagi

(2.3 . 1- c hizma)
koo r din a t a la r i mos r a vishda
(x,y) va (x',y') ju f tlikla r dan ibor a t bo‘lsin.
Biz quyidagi tenglikla r ga e ga bo ‘ l a mi z :

O A = xi+ y j,O 'A = x'i+ y j,O O '= ai+ b j
Har bir v e kto r ni
(i',j') ba z is orq a li ifod a l a sh mumkinligi uchun

i'= a11i+ a12j,j'= a21i+ a22j (2.3 . 1)
11
' ' cos sin
sin cos

x x y
y x y
 
 
' '

2- c hi z ma .
Parabolaning tengl a masini hosil qilish u c hun d e ka r t koo r dinatal a r sistem a sini
maxsus t a nl a dik, ya ’ ni Ox o ‘ qni f okus o r qali dir e kt r isaga perpendikula r qilib o ‘ tka z dik .
Agar dekart koo r din a talar sist e masini boshqacha usulda tanl a sak, a lb a tta, p a r a bol a ning
tenglam a si ham y2= px ko ‘ rinishd a n fa r qli bo ‘ l a di.
Mas a l a n , a gar parabola koo r din a t a lar siste m asiga nisbatan 3 - chizm a da
ko ‘ rs a tilg a ndek joyl a shg a n bo ‘ lsa , uning tengl a masi
x2= 2py ko ‘ r inishda bo ‘ l a di .
3- c hi z ma .
4- va 5- c hizm a la r da t a svi r l a ng a n pa r abol a ning t e ngla m al a ri mos r a vishda
y2= −2px
va x2= −2py ko ‘ rinishda bo ‘ ladi .
4- c hi z ma .
5- c hi z ma .
16

x + y =
Ushbu e lips ma r ka z i (2,- 1) nuqt a ga ko ’ chiring va yangi t e ngla m ani toping .
Yechish: Elips m a rk a zi
(0,0) . Uni (2,−1) nuqtaga ko’ c hi r ish u c hun:
x→ x−2,
y→ y+1
Y a ngi tenglam a :
13- m isol .
To’ri c hiziq : 3x-4y + 5 = 0
Ushbu c hiziqni Dekart ko r din a t a lar ti z imida
900 ga bu r ing y a ngi t e ngl a m a ni
yozing.
Yechish: B u chi z iqni
90o ga ayl a ntira m i z : x '
= − y , y '
= x
Endi tengl a m a dagi
x va y ni a lm a shtira m i z : 3(−y')−4( x')+5=0 3y'−4x'+5=0
Yoki:
4x'+ 3y'=5
14- m isol .
3sin(2 )


− = − +  =−− +



− =−   =− − − =

Yangi tenglama:
3sin(2 )
15- m isol .
M nuqta biror ko r din a t a lar sistem a siga nisbatan x= - 6, y=3 ko r dinat a ga ega .
Kordinata boshi
o1 (-3,0) , o2 (-4,3) nuqtalard a n bi r iga ko’ c hirilsa, shu nuqt a ni n g
ko r dinat a la r i qand a y bo ’ l a di .
Yechish: M nuqta koordin a tasi:
x=−6, y=3
Ko’ c hi r ish nuqtalari:
O1=(−3,0) , O2=(−4,3)
22
y x
4

= −

y x
4 Lekin:
sin( ) sin( ) 3( sin(2 )) 3
y x
4
y x
4 Yechish:
3sin ( 2 ) 3sin ( 2 )
y x
4

= +
funksiy a ni 180 0
ga ayl a nti r ib y a ngi yangi t e ngl a m a ni toping. 9 4
9 4 9 4 1 ( 2) 2
( 1 ) 2
x −
+ y +
= Elips tenglam a si berilg a n :
2 2

1

9 4

Tekislikda almashtirishlar yordamida funksiya grafigini yasash

Купить