Tenglama va tengsizliklarni geometrik usulda yechish

Информация о документе

Цена	35000UZS
Размер	519.4KB
Покупки	0
Дата загрузки	28 Апрель 2025
Расширение	docx
Раздел	Курсовые работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Dilshodbek

Дата регистрации 29 Март 2025

2 Продаж

Tenglama va tengsizliklarni geometrik usulda yechish

Купить

KIRISH
Mavzuning dolzarbligi: Tenglama — ikki yoki undan oshiq
ifodalarning o zaro bog langanini ko rsatuvchi matematik tenglik. Tenglamalardanʻ ʻ ʻ
matematikaning barcha nazariy va amaliy sohalarida hamda fizika, biologiya va
boshqa ijtimoiy fanlarda foydalaniladi. Tenglik belgisining birinchi marta
ishlatilgani (14x+15=71). Robert Recordening „Witte Chaqmoqtoshi“ („The
Whetstone of Witte“) kitobidan (1557). Tenglamada bir yoki undan ko p noma lum
ʻ ʼ
qiymat bo ladi va ular o zgaruvchilar yoki noma lumlar deb ataladi. Noma lumlar
ʻ ʻ ʼ ʼ
odatda harflar yoki boshqa belgilar bilan ifodalanadi. Tenglamalar ulardagi
o zgaruvchilar soniga qarab nomlanadi.
ʻ
Masalan, bir o zgaruvchili tenglama, ikki o zgaruvchili tenglama va
ʻ ʻ
hokazo. Tenglamada ifodalar odatda tenglik belgisining (=) ikki tomoniga yoziladi.
Masalan, x + 3 = 5 tenglamasi x+3 ifodasi 5 ga teng ekanligini ta kidlaydi. Tenglik
ʼ
belgisini (=) uelslik matematik Robert Recorde o ylab topgan. U ikki bir xil
ʻ
uzunlikdagi parallel to g ri chiziqlardan tengroq narsa bo lmaydi deb hisoblagan.
ʻ ʻ ʻ
Tenglamalarning ilk yechimlari eramizdan 2000-yilcha oldin yozilgan Rhind
papirusida yozilgan. Berilgan masalalar arifmetik masalalar bo lgan.
ʻ
Masalan, massa va uning 1/7 ning yig indisi 19 ga teng“ kabi masalalar
ʻ
uchun tenglamalar yozilgan. Bunday masala uchun noma lumni x deb belgilab,
ʼ
x+1/7x kabi sodda tenglama yozilgan. Arifmetik masalalardan keyin ikki
noma lum qiymatli tenglamalar yuzaga kelgan.
ʼ Yunonlar qo shaloq chiziqli ʻ
tenglamalarni bilishgan. Arximedning „chorva masalasi“ kabi sistemalarda
berilgan noaniq tenglamalar Diofant bir necha shunaqa tenglamani ishlab ko rsatib
ʻ
bermagunicha jiddiy o rganilmagan. Kvadrat tenglamalar yunonlar proporsiyalarni
ʻ
o rganayotganida yuzaga kelgan. Ular kvadrat tenglamalarni geometrik usulda
ʻ
yechishgan. Ammo bu geometrik usulning hozirgi umumlashtirilgan algebraik
geometriyaga aloqasi yo q. Algebraik geometriyada grafiklar bilan tenglamalarni
ʻ
yoki aksincha, tenglamalarni grafiklar bilan ifodalash mumkin. Sodda kvadrat
tenglama ikki a va b chiziqlari orasidagi o rtacha proporsional x ni aniqlashda yoki
ʻ
2

berilgan to rtburchakka teng kvadratni topishda kelib chiqqan. Ishlatilganʻ
proporsiya a:x = x:b ko rinishida bo lgan. Bu ifoda bo lsa x² = ab ga tengdir.
ʻ ʻ ʻ
x²+ax-a² ko rinishidagi umumiyroq tenglama berilgan biron-bir chiziq medianasini
ʻ
topish kerak bo lgan masalaning algebraik ekvivalentidir. Diofantga kvadrat
ʻ
tenglamaning algebraik yechimi ma lum bo lgan deb aytiladi. Ammo u faqat bitta
ʼ ʻ
ildizni payqagan. Sodda kub tenglama biri ikkinchisidan ikki marta uzun bo lgan
ʻ
ikki chiziq o rtasida x va y o rtacha proporsionallarni topish kerak bo lgan
ʻ ʻ ʻ
masalada berilgan. Buni a:x=x:y=y:2a ko rinishida ifodalash mumkin. Bu ifodadan
ʻ
x² = ay va xy = 2a² kelib chiqadi. y ni yo q qilsak x³ = 2a³ sodda kub tenglama
ʻ
hosil bo ladi. Yunonlar bu tenglamani yecha olishmagan. Bu tenglama yana
ʻ
kubning dublikatini yasashda va burchakni chizg ich yoki sirkul bilan teng uchga
ʻ
bo lishda ham yuzga kelgan. Burchak bo lish uchun sissoida, konxoida va
ʻ ʻ
kvadratrisa kabi mexanik egri chiziqlardan foydalanishgan. Bunday yechimlarni
arablar takomillashtirgan. Ular kub va bikvadrat tenglamalarni konus kesimlari
bilan yechishgan. Diofant boshlagan va hindlar takomillashtirgan tenglamalarning
taxminiy ildizlarini algebraik yo llarda yechish usullarini arablar yanada oldinga
ʻ
surishgan. Kub va bikvadrat tenglamalarning algebraik yechimlari 16-asrda S.
Ferro, N. Tartaglia, H. Cardan va L. Ferrari tomonidan ishlab chiqilgan. Beshinchi
darajali tenglamalarni yechishga ko p urinilgan. P. Ruffini va N. H. Abel buning
ʻ
iloji yo qligini isbotlashgan. C. Hermite va L. Kronecker elliptik funksiyalardan
ʻ
iborat yechimini ko rsatgan. F. Klein ham bu tenglamalarni yechishning yana bir
ʻ
boshqa yo lini taklif qilganligi mavzuning dolzarbligini asoslaydi.
ʻ
Kurs ishining maqsadi: Ushbu kurs ishining asosiy maqsadlarini tenglama
va tengsizlik geometrik usulda yechining nazariy asoslarini organish va amaliy
misollar yordamida tuzatishlarni vizual tarzda tahlil qilishdir.
Geometrik yondoshuv orqali matematik tenglamalar va tengsizliklar
bo'yicha ishlash hal qilishning samarali usullarini o'rganish, ularni real hayotdagi
masalalarga qo'llashni ko'rsatishdir. Geometrik usul, ayniqsa, chiziqli va chiziqli
bo'lmagan tenglamalar uchun, echimlarni vizual tarzda tasvirlashni va matematik
materialni yaxshilashga yordam beradi.
3

Kurs ishining v azifalar:
1. Tenglamalar va tengsizliklar asoslarini o'rganish:
o Chiziqli tenglamalar va tengsizliklarni geometrik usulda yechishning
nazariy asoslarini yaratadi.
o Chiziqli bo'lmagan tenglamalar va tengsizliklarni geometrik tarzda
qanday ifodalashni o'rganish.
2. Geometrik yondoshuvni tahlil qilish:
o Chiziqli tenglamalar, tengsizliklar va tizimlarning geometrik echimini
tasvirlash va hisob matematik echimlari bilan bog'liq vizual tahlilni
amalga oshirish.
o Geometrik shakllar (masalan, chiziqlar, doiralar, parabola va
boshqalar) yordamida tenglamalar va tengsizliklar echimini izohlash.
3. Amaliy misollarni yechish:
o Bir nechta chiziqli tenglama tizimlarini geometrik usulda yechish va
tekshirishgan nuqtalarini aniqlash.
o Tengsizlik geometrik tarzda tahlil qilish va sudlov qarama-qarshi yoki
yo'l qo'ymaslikni toping.
4. Kompyuter dasturlari tahlil qilish:
o GeoGebra yoki MATLAB kabi ta'minot yordamida tenglama va
tengsizliklarni geometrik usulda qanday yechish ko'rsatish.
o Kompyuterdan olingan resurslarni tahlil qilish va ularni real
masalalariga qo'llash.
5. Geometrik yondoshuvning amaliy ahamiyatini ko'rsatish:
o Geometrik yondoshuvni iqtisodiyot, fizika, muhandislik va boshqa
sohalarda qanday qo'llash tahlil qilish.
o Tenglama va tengsizliklarni geometrik usulda yechishning
amaliyotdagi ishlatishni ko'rish.
4

I.BOB.TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARDA YONDASHUVLAR VA
MISOLLAR
1.1. Tenglamalar va tengsizliklar geometrik yondoshuvi
Tenglamalarga geometrik yondashishda yunonlar va arablar ba zi bir egriʼ
chiziqlar va figuralarning xossalaridan kelib chiqib xulosalar qilishgan.
Proporsiyalardan foydalanib xususiy hollar uchun yechim topilgan, ammo umumiy
hol uchun qoniqarli javob bo lmagan.
ʻ
Bu muammoni 17-asrda René Descartes bartaraf qilgan. U tenglamalarning
grafik yechimlarini tushuntiruvchi umumiy teoremani ishlab chiqqan. Xususan,
Descartes konik kesimlar ishlatilgan hollarni ko rsatib bergan. Bundan tashqari,
ʻ
Descartes har bir tenglama geometrik nuqtalar joylashishiga egaligini va har bir
geometrik nuqtalar joylashishi tenglamaga egaligini ko rsatgan. Ikki x va y
ʻ
noma lumli tenglamalarni ifodalash uchun Descartes bir-birga perpendikulyar ikki
ʼ
o qni olgan. x ni gorizontal o q bo ylab va y ni vertikal o q bo ylab o lchagan.
ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ ʻ
Keyin u chiziqli tenglama to g ri chiziqni ifodalashini va kvadrat tenglama konik
ʻ ʻ
chiziqni ifodalashini ko rsatib bergan.
ʻ
Tenglama ko pincha taroziga taqqoslanadi. Yana muvozanat, innana yoki
ʻ
boshqa shunga o xshash jismlar ham tenglamaga o xshatiladi. Muvozanatning har
ʻ ʻ
ikki tomoni tenglamaning ikki tomoniga to g ri keladi. Ikki tomonda turli
ʻ ʻ
qiymatlar qo yilishi mumkin. Agar shu jismlar teng bo lsa muvozanat tenglamaga
ʻ ʻ
mos keladi. Agar jismlar teng bo lmasa unda bu hol tengsizlikka o'xshatiladi.
ʻ
O ngdagi tasvirda x, y va z har xil qiymatlar bo'lib (bu yerda ular haqiqiy
ʻ
sonlardir), bu qiymatlar aylana shaklidagi og irliklar qilib tasvirlangan.
ʻ
Qo shish amali vazn qo shishga, ayirish bo lsa tarozi pallalaridan yuk
ʻ ʻ ʻ
olishga mos tushadi. Ikki tomondagi umumiy vazn bir xildir. Tenglamani yechish
— bu uning barcha ildizlarini topish yoki ularning yo qligini (mavjud emasligini)
ʻ
isbot qilishdir. Ba zan ildizlarga qo shimcha cheklashlar qo yiladi. Masalan,
ʼ ʻ ʻ
tenglama ildizlar faqat butun sonlar bo lishi talab qilinishi mumkin.
ʻ
5

Funksiya argumenti (ba zan „o zgaruvchi“ deb ataladi) tenglamalardaʼ ʻ
noma lum miqdor deb ataladi. O zgaruvchili
ʼ ʻ ?????? ( ?????? )= ?????? ( ?????? ) tenglik bir x o zgaruvchili ʻ
tenglama deb ataladi. O zgaruvchining f(x) va g(x) ifodalar bir xil son qiymatlar
ʻ
qabul qiladigan har qanday qiymati tenglamaning ildizi yoki yechimi deyiladi. Bir
xil ildizlarga ega tenglamalar teng kuchli tenglamalar deyiladi. Ildizga ega
bo lmagan har bir tenglama ham teng kuchli hisoblanadi.
ʻ
Tenglamani yechish jarayonida uni soddaroq, lekin berilgan tenglamaga
teng kuchli bo lgan tenglama bilan almashtirishga harakat qilinadi. Shuning uchun
ʻ
har qanday shakl almashtirishlarda berilgan tenglama unga teng kuchli tenglamaga
o tishini bilish muhimdir. Tengsizlik — sonlar yoki miqdorlar orasidagi munosabat
ʻ
sonlardan qaysi biri boshqasidan kattaligi yoki kichikligini ko rsatadi. Tengsizlikda
ʻ
">" va "<" ishoralari qo llanilib, ularning uchi kichik son yozilgan tomonga
ʻ
qaratiladi. Matematika va uning tatbiklarida o zgaruvchi miqdorlarning barcha
ʻ
qiymatlarida to g ri bo lgan tengsizliklar ham muhim ahamiyatga ega. Sonli
ʻ ʻ ʻ
tengsizliklar va ularning xossalari.
Ta’rif: Agar a b  ayirma musbat son bo‘lsa, a soni b sonidan katta deyiladi
va bu munosabat a b  shaklida yoziladi. Agar a b  ayirma manfiy bo‘lsa, a soni b
sonidan kichik deyiladi va a b  shaklida yoziladi. Istalgan a va b sonlar uchun
quyidagi uchta munosabatdan faqat bittasi o‘rinli:
1. a b a b     0 ;
2. a b a b     0 ;
3. a b a b     0 . Sonli tengsizliklar quyidagi xossalarga ega:
1. Agar a b  va b c  bo‘lsa, a c  bo‘ladi (tengsizlik munosabatini tranzitivlik
xossasi).
2. Agar a b  va c R  bo‘lsa, a c b c    bo‘ladi.
3. Agar a b  va c  0 bo‘lsa, a c b c    bo‘ladi.
4. Agar a b  va c  0 bo‘lsa, a c b c    bo‘ladi.
5. Agar a b  va c d  bo‘lsa, a c b d    bo‘ladi.
6. Agar a b   0 va c d   0 bo‘lsa, a c b d    bo‘ladi.
6

$7. Agar a b   0 va n N  bo‘lsa, n n a b  bo‘ladi ( n  toq son bo‘lganda b  0 shart ortiqcha). Istalgan sonning kvadrati nomanfiy son bo‘lgani uchun   2 a b   0 va  2 a c   0 . Demak,   2 2 2 2 2 ( ) a b c a b c     istalgan a b, va c sonlari uchun manfiy emas. Shuning uchun berilgan tengsizlik istalgan a b, va c sonlari uchun o‘rinli. Jumladan, tenglik belgisi abc   bo‘lgandagina bajariladi. Tengsizlikning to‘g‘riligini ko‘rsatish uchun uning har ikkala qismining ayirmasini musbat yoki manfiyligini aniqlash, ya’ni yuqoradagi misoldagidek bevosita ta’rifdan foydalanib isbotlashga harakat qilish ayrim hollarda qiyinchiliklarni tug‘diradi. Shuning uchun tengsizliklarni isbotlashda tengsizliklarning xossalaridan foydalanish tavsiya etiladi. Tenglama va tengsizliklarni geometrik usulda yechish, algebraik ifodalarini tekislikda (yoki boshqa fazolarda) ko' shakllarda ifodalashni anglatadi. Bu usul, ayniqsa, tasvirlarni ko'rish va ko'rish uchun juda foydalidir. 1. Chiziqli Tenglamalar va Tengsizliklar: Chiziqli Tenglama: Chiziqli tenglama umumiy ko'rinishda bo'ladi: ax+by=cax + by = c a x + b y = c Bu tenglama tekislikda to'g'ri chiziqni ifodalaydi. Har bir yechim (x,y)(x, y) ( x , y ) joy to'g'ri chiziq ustida bo'ladi. Geometrik talqin: Bu tenglamaning yechimi – tekislikdagi to'g'ri Bu tenglamaning yechimi – tekislikdagi to'g'ri chiziq. Agar bizda masalan, 2x+3y=62x + 3y = 6 2 x + 3 y = 6 tenglamasi bo'lsa, bu tenglama tekislikda to'g'ri chiziqni hosil qiladi. To'g'ri chiziqning har bir joyi tenglama shartini qondiradi. Chiziqli Tengsizlik: Chiziqli tengsizlik umumiy ko'rinishda bo'ladi: ax+by≤cax + by \leq c a x + b y ≤ c Bu tengsizlik geometrik ravish, to'g'ri chiziqdan pastdagi yoki ustidagi hududni ifodalaydi. Boshqacha qilib, chiziqli to'g'ri chiziqni va uning bir tomonidagi sohani tashkil qiladi. 7$ $Geometrik talqin: ax+by≤cax + by \leq c a x + b y ≤ c tengsizlik qismlarini tekislikda to'g'ri chiziq va uning bir tomonidagi maydon tashkil qiladi. Misol uchun, 2x+3y≤62x + 3y \leq 6 2 x + 3 y ≤ 6 tengsizligi uchun, chiziqdan pastda barcha nuqtalar uning yechimidir. Misol: Agar 2x+3y=62x + 3y = 6 2 x + 3 y = 6 tenglamasini olsak, bu tenglama to'g'ri chiziq hosil qiladi. Agar tengsizlik 2x+3y≤62x + 3y \leq 6 2 x + 3 y ≤ 6 bo'lsa, yechimlar shu chiziqdan pastdagi barcha nuqtalar bo'ladi. 2. Chiziqli Bo'lmagan Tenglamalar va Tengsizliklar: Chiziqli Bo'lmagan Tenglama: Chiziqli bo'lmagan tenglamalar, chiziqli bo'lmagan shakllarni ifodalaydi, masalan parabola, doira, ellips va boshqalar. Parabola: y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c y = a x2 + b x + c tenglamasi tekislikda parabola shaklini hosil qiladi. Bu shakldagi tenglama yechimi parabola ustidagi nuqtalardir. Doira: x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2 x2 + y2 = r2 tenglamasi tekislikda doira hosil qiladi. Bu yerlarda bo'lgan doira ustidagi nuqtalar. Chiziqli Bo'lmagan Tengsizliklar: Chiziqli bo'lmagan tengsizliklar chiziqli bo'lmagan shakllarni tashkil qiladi. Masalan, doira tengsizliklari yoki parabola tengsizliklari. Doira Tengsizlik: x2+y2≤r2x^2 + y^2 \leq r^2 x2 + y2 ≤ r2 tengsizlik doira ichida nuqtalarni ifodalaydi. Parabola Tengsizlik: Agar tengsizlik y≥ax2+bx+cy \geq ax^2 + bx + c y ≥ a x2 + b x + c bo'lsa, ustida ustidalar parabola va uninggi nuqtalarni tashkil qiladi. 3. Tenglama va Tengsizliklar Tizimlari: Chiziqli Tenglamalar Tizimi: Agar bir nechta chiziqli tenglama mavjud bo'lsa, ular tekislikda to'g'ri chiziqlarni hosil qiladi. Bu to'g'ri chiziqlarni yo'llagan yo'lning yechimi bo'ladi. Misol: Agar tenglama tizimi 2x+3y=62x + 3y = 6 2 x + 3 y = 6 va x−y=1x - y = 1 x − y = 1 bo'lsa bu ikki tenglama tekislikda ikkita to'g'ri chiziqni hosil qiladi va tekshiruvgan natijaning echimi bo'ladi. 8$ $Chiziqli Tengsizliklar Tizimi: Chiziqli tengsizliklar tekislikda bir nechta sohalar hosil qiladi. Tizimning yechimi bu sohalarning zararlangan nuqtalari bo'ladi. Misol: Agar tengsizliklar tizimi x+y≥4x + y \geq 4 x + y ≥ 4 va x−y≤2x - y \leq 2 x − y ≤ 2 bo'lsa, yechimlar bu ikki sohaning davolashgan joylashadi. 4. Geometrik Yondoshuvning Afzalliklari: Vizual Tushunish: Geometrik usul yordamida tenglama va tengsizliklarning usullarini vizual tarzda ko'rish mumkin. Bu, masalani yordam beradi, ayniqsa murakkab tengsizliklar tizimlarini yechishda. Geometrik Yechimlarning Amaliy Qimmatligi: Geometrik yondoshuvlar iqtisodiyot, fizika, muhandislik va boshqa sohalarda qo'shimcha qonunlar. Masalan, tizimlar va optimallashtirish muammolarni yechishda, bu usul samarali bo'lishi mumkin. Oddiylik va Tezlik: Geometrik usul yordamida ba'zi masalalarni yechish osonlashadi, chunki ba'zi tenglama va tengsizliklarni ko'rish orqali yechimni topish juda tez bo'ladi. Tenglamalar va tengsizliklarning geometrik yondoshuvi ularning algebraik formatdan tashqari, fayl geometrik talqinini ham ko'rsatadi. Bu yondoshuv orqali, masalalar vizual tarzda tahlil qilinib, yechimlar aniq tushuniladi va ko'plab matematik va amaliy masalalarda qo'llab-quvvatlash mumkin. Geometrik yondoshuv jismoniy tenglama va tengsizliklarni yechishda, balki ularni real dunyo masalalariga qo'llashda ham samarali usul. 9$ $1.2. Geometrik vositalarni misollar yordamida ko'rsatish Matematikada tenglama va tengsizliklarni yechishda geometrik fayllardan yuk tashish muhim yuk ega . Ular yordamida tasvirgebraik ifodalarni tekislikdalash, yechim muhim egasi. Ular yordamida tasvirgebraik ifodalarni tekislikda, yechimlar to'plamini ko'rgazmali ko'rsatish, ularni tahlil qilish osonlashadi. Grafiklar, g'ri chiziqlar, parabolalar, doiralar va ichki/tashkilot sohalari bu kabi materiallarga misoldir, ishlab chiqarish ishlarini konkret misollar orqali ko'rib chiqamiz: Misol 1. Chiziqli tenglama Tenglama: 2x+3y=62x + 3y = 62 x+3 y=6 Geometrik tahlil: Bu ikki o'zgaruvchili tenglama tekislikda to'g'ri chiziq hosil qiladi. Grafikni qurish uchun ikkita nuqta topamiz:  x=0 ⇒ y=2x = 0 \O'ngga y = 2x=0 ⇒ y=2→ nuqta:(0,2)(0, 2)( 0 ,2 )  y=0 ⇒ x=3y = 0 \O'ng tomon x = 3y=0 ⇒ x=3→ nuqta:(3,0)(3, 0)( 3 ,0 ) Bu nuqtalar orqali o'tuvchi to'g'ri chiziq berilgan tenglamaning barchalarini ifodalaydi. Misol 2. Chiziqli tengsizlik Tengsizlik: 2x+3y≤62x + 3y \leq 6 2 x + 3 y ≤ 6 Geometrik tahlil: Bu tengsizlikni tajribada avval yuqoridagi chiziq chiziladi. So'ngra, test orqali yordam (masalan, (0,0)(0,0) ( 0 , 0 ) ) tengsizlik rostligini tekshiramiz: 2(0)+3(0)=0≤6 ⇒ ha2(0) + 3(0) = 0 \leq 6 \O'ngga 2 ( 0 ) + 3 ( 0 ) = 0 ≤ 6 ⇒ ha Demak, chiziqning quyi tomoni (shu chiziqning o'zi ham) — yechimlar sohasidir. Bu hudud grafikda soyalanadi. 10$ $Misol 3. Kvadrat tenglama (parabola) Tenglama: y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3y=x2−4 x+3 Geometrik tahlil: Bu tenglama parabola hosil qiladi. Uni to'g'rilab yozamiz: y=(x−2)2−1y =y=( x−2 )2−1 Bu parabola cho'qqisi(2,−1)(2, -1)( 2 ,− 1 )yuqorida va yuqoriga qarab ochiladi. Nolga teng nuqtalari:  x=1x = 1x=1vax=3x = 3x=3(ya'ni ildizlar) Bu nuqtalar asosida grafik chizilib, parabola qanday yechimlar ko'rinishi. Misol 4. Doira tenglamasi Tenglama: x2+y2=9x^2 + y^2 = 9x2+y2=9 Geometrik tahlil: Bu — markazi(0,0)(0,0)( 0 ,0 )va radiusi333bo'lgan doira tenglamasi. Grafikda doiraning o'zi (ya'ni chekka nuqtalari) tenglamaning echimlari bo'ladi. Misol 5. Doira tengsizligi Tengsizlik: x2+y2≤9x^2 + y^2 \leq 9x2+y2≤9 Geometrik tahlil: Bu tengsizlik doiraning ichki qismi va chegarasi ni anglatadi.  Markaz:(0,0)(0, 0)( 0 ,0 )  Radius:333 Grafikda doira chizilib, ichki hudud soyalanadi. Bu soha tengsizlikning barchalarini tashkil qiladi. Misol 6. Tenglama tizimi Tizim: 11$ ${y=2x+1y=−x+4\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases} {y=2x+1y=−x+4 Geometrik tahlil: Bu ikkita to'g'ri chiziq bo'lib, tekshirishgan natija — tizimning echimi:  birinchi chiziq:y=2x+1y = 2x + 1y=2 x+1  Ikkinchi chiziq:y=−x+4y = -x + 4y=− x+4 Grafikda bu chiziqlar chiziladi va ular qayerda kesishsa, o'sha nuqta (masalan,(1,3) (1, 3)( 1 ,3 )) — yechim bo'ladi. Geometrik vositalar orqali tenglama va tengsizlik yechish jismoniy nazariy, balki amaliy yordam ega. Grafik orqali yordamlar:  Ko'rgazmali bo'ladi,  Yechimlar sohasini aniq ko'rsatmoqda,  Yechimlar yoki yo'qligini yordamga yordam beradi. Buning uchun geometrik hosil, ayniqsa murakkab tengsizliklar yoki tizimlarda samarali usullar. 12$ $II.BOB.TENGLAMA VA TENGSIZLIKLARNING AMALIY AHAMIYATI 2.1. Amaliy misollar va yondoshuvlar Tenglama va tengsizliklar hayotda va fanlarda juda ko‘p uchraydi. Quyida ularning amaliy misollari va yondoshuv turlari bilan tanishasiz. ?????? Tenglamalar: Amaliy misollar 1. Moliyaviy hisob-kitoblar Misol: Siz oyiga 200 000 so‘m tejaysiz va 1 000 000 so‘m yig‘moqchisiz. Necha oyda yetasiz? Tenglama: 200 000 ⋅ x=1 000 000200\,000 \cdot x = 1\,000\,000 Yechim: x=1 000 000200 000=5x = \frac{1\,000\,000}{200\,000} = 5 oyda. 2. Harakatga oid masalalar Misol: Avtobus 60 km/soat tezlikda harakat qilib, 3 soatda nechta km yuradi? Tenglama: S=v ⋅ t ⇒ S=60 ⋅ 3=180 kmS = v \cdot t \Rightarrow S = 60 \cdot 3 = 180 \, \text{km} ?????? Tengsizliklar: Amaliy misollar 1. Byudjetga mos xarajatlar Misol: Telefon 1 200 000 so‘m turadi. Sizda esa 1 000 000 so‘mdan kam bo‘lmagan pul bor. Telefonni olishingiz mumkinmi? Tengsizlik: x≥1 000 000vax≥1 200 000 ⇒ yo‘q, yetarli emasx \geq 1\,000\,000 \quad \text{va} \ quad x \geq 1\,200\,000 \Rightarrow \text{yo‘q, yetarli emas} 2. Yosh cheklovlari 13$ $Misol: Kinoga 18 yoshdan kattalar kirishi mumkin. Sizning yoshingiz xx . Tengsizlik: x≥18 ⇒ agar rost bo‘lsa, kirish mumkinx \geq 18 \Rightarrow \text{agar rost bo‘lsa, kirish mumkin} ?????? Yondoshuvlar: ✔️ Algebraik yondoshuv  Ifoda beriladi, algebra qoidalari bilan yechiladi.  Misol: 3x−5=10 ⇒ x=53x - 5 = 10 \Rightarrow x = 5 ✔️ Grafik yondoshuv  Grafiklar chizilib, kesishgan joylar aniqlanadi.  Asosan funksiyalar yoki tengsizliklar uchun ishlatiladi. ✔️ Jadval usuli  X qiymatlari uchun jadval tuzilib, natijalar tekshiriladi. ✔️ Mantiqiy yondoshuv  Masalaning shartlari orqali mantiqiy fikrlash bilan yechimga erishiladi. ?????? 1. Kredit to‘lovi masalasi (Tenglama) Vaziyat: Siz 12 oyga kredit olib, har oyda 1 250 000 so‘mdan to‘lamoqdasiz. Bank 20% yillik foiz stavkasi bilan kredit bergan. Kredit summasini toping. Yondashuv: Foiz yillik bo‘lgani uchun uni oyiga bo‘lamiz: oylik foiz=20%12=1.67%\text{oylik foiz} = \frac{20\%}{12} = 1.67\% Bu annuitet to‘lov bo‘lib, formulasi: A=P ⋅ r(1+r)n(1+r)n−1A = P \cdot \frac{r(1 + r)^n}{(1 + r)^n - 1} Bu yerda:  A=1 250 000A = 1\,250\,000 – oylik to‘lov  r=0.0167r = 0.0167 – oylik foiz  n=12n = 12 – oylar soni  PP – topiladigan kredit summasi 14$ $Bu tenglama orqali kredit summasi topiladi. Bu real bankdagi hisob-kitobga juda yaqin. ?????? 2. Biznes reja va foyda (Tengsizlik) Vaziyat: Siz kichik nonvoyxona ochmoqchisiz. Har oy 5 000 000 so‘m xarajat, har non uchun foyda 2 000 so‘m. Oylik foyda xarajatdan ko‘proq bo‘lishi uchun necha dona non sotishingiz kerak? Tengsizlik: 2 000 ⋅ x>5 000 0002\,000 \cdot x > 5\,000\,000 x>5 000 0002 000=2 500x > \ frac{5\,000\,000}{2\,000} = 2\,500 ✅ Ya’ni oyiga kamida 2501 dona non sotishingiz kerak. ?????? 3. Yo‘l va vaqt masalasi (Tenglama + Yechim strategiyasi) Vaziyat: Ikkita shahar orasidagi masofa 360 km. Bir kishi mashinada 90 km/soat tezlikda yo‘lga chiqdi. Orqasidan boshqa kishi 120 km/soat tezlikda 1 soat kechikib chiqdi. Qachon ular tenglashadi? Tenglama tuzish:  1-kishi yo‘lga 1 soat oldin chiqqan: 90 km yo‘l yurdi.  Keyin ular bir xil masofani yuradi. Tenglama: 90t=120(t−1)90t = 120(t - 1) Yechamiz: 90t=120t−120 ⇒ 30t=120 ⇒ t=490t = 120t - 120 \Rightarrow 30t = 120 \Rightarrow t = 4 ✅ Demak, birinchi kishi yo‘lga chiqqanidan 4 soat o‘tib ular tenglashadi. ?????? 4. Ishchilar va ish hajmi (Tengsizlik) Vaziyat: Qurilish brigadasi 5 kunda uy quradi. Har kuni 8 ishchi ishlaydi. Shartnoma bo‘yicha 3 kunda tugatish kerak. Kamida necha ishchi kerak? 15$ $Ish miqdori o‘zgarmaydi: Ishchilar×kunlar=doimiy ish hajmi\text{Ishchilar} \times \text{kunlar} = \ text{doimiy ish hajmi} 8 ⋅ 5=x ⋅ 3 ⇒ x=403=13.338 \cdot 5 = x \cdot 3 \Rightarrow x = \frac{40}{3} = 13.33 Demak, kamida 14 ishchi kerak bo‘ladi. 1. Aniqlanish sohasidan foydalanish . Ba ’ zi hollarda , tenglama yoki tengsizliklarda qatnashayotgan funksiyalarning aniqlanish sohasini bilish tenglama yoki tengsizlikning yechimi mavjud emasligini bilishga yoki yechimini topishga yordam beradi . Kelgusida tenglama yoki tengsizlikning aniqlanish sohasi deganda unda qatnashayotgan funksiyalar aniqlanish sohalarining umumiy qismi tushuniladi. 1-misol . tenglamani yeching. Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi va tengsizliklarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi sonlar to‘plamidan iborat. Tenglamaning aniqlanish sohasi bo‘sh to‘plam, demak tenglama yechimga ega emas. Javob: ildizi yo‘q. Shunday qilib, tenglamani yechmasdan uning ildizlari yo‘qligini aniqladik. 2-misol . tenglamani yeching . Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi va tengsizliklarni bir vaqtda qanoatlantiruvchi sonlar to‘plamidan iborat. Bundan tenglamaning aniqlanish sohasi faqat -2 va 2 sonlardangina iborat ekanligini ko‘rish qiyin emas. Bu sonlarni tenglamaga qo‘yib tekshiramiz. da tenglamaning chap tomoni 2 ga, o‘ng tomoni –2 ga teng, demak tenglamaning ildizi bo‘la olmaydi. da tenglamaning chap va o‘ng tomonlari 2 ga teng, demak tenglamaning ildizi bo‘ladi. Javob: . 16$