Документ

Всего документов: 5844
Число пользователей: 15251

Информация о документе

Цена	12000UZS
Размер	324.7KB
Покупки	0
Дата загрузки	06 Апрель 2024
Расширение	docx
Категория	Алгебра

Teskari funksiya yordamida aniqmas integralni hisoblash

22q px x  2 kvadratik uch х ad haqiqiy ildizga ega emas, ya`ni
1 0
4
2
   m p q
bo`lganda s о dda kasrlarning int е grallari
dx
qpxx CBx
dx
ax A
 
 
 2 ,
lar quyidagicha his о blanadi.

  C a x A
a x
a x d A dx
a x
A   

 
   ln ,
     
 






   
 
 
   


 
2 2 2 2 .
2
2 2 2
4 4 2
a t
tdt B
a p q
dx
p q p x
C Bx dxq px x
C Bx
d t d x
t p x
 





 *11
2ln
22 2 C
aarctg
aBp
CatB
  *
4
2
4 2
2 ln 2 2 2
2 C
p q
p x
arctg
p q
Bp C q px x B 



   
Aytaylik,
1 ,   m N m bo`lsin. Bu holda s о dda kasrlarning int е grallari
   
 
 


dx
q px x
C Bx dx
a x
A
m m 2 ,
lar quyidagicha his о blanadi.
 
   
     
 
    
 
 C
a x m
A a x d a x A dx
a x
A
m
m
m 1 1
,
   



 
  


 

 

  
 
mm
dtdx tp
x
a t
dt Bp C
a t
tdt B
a p q
dx
q px x
C Bx
2222
22
.2
2
2 2
4
    
 


 

  
 

 mm
a t
dt B p C
a t m
B
221
22
2 1
1
2
k е yingi mun о sabatdagi
 


m
a t
dt
2 2
int е gral (6) r е kkur е nt f о rmula yordamida t о piladi .

Foydalanilgan adabiyotlar ro’yxati
1. O ‘ z b e k i s to n r e s p u bli ka s i ― T a ‘ lim t o ‘ g ‘ ri si d a gi q on un .
2. K ar i m ov I .A .
― A so si y vazi f a m iz vat a ni m iz n in g t a ra q i y o t i va
x a l q i m iz farovonligini yanada yuksalyirish .
‖ Toshkent. O’zbekiston.
2010 .
3. K ar i m ov I .A .
― Barc h a re j a va d a s t u rl a ri m iz v a ta n i m iz
tar a q q i y ot i ni yuksaltirish, xalqimiz farovonligi oshirishga xizmat
qiladi. Toshkent. O’zbekiston. 2011.
4. O ‘ z b e k i s to n r e s p u bli ka s i
― T a ‘ lim t o ‘ g ‘ ri si d a gi q on un .
5. D.S.Malik, John N.Mordeson, M.K.Sen, Fundamentals of Abstract
Algebra, 1997, P. 636
6. Martyn R. Dixon, Leonid A. Kurdachenko, Igor Ya. Subbotin, “Algebra
and number theory” 2010, P. 523
7. Ш . А . Аюпов , Б . А . Омиров , А . Х . Худойбердиев , Ф .H.H айдаров ,
Алгебра ва сонлар назарияси , Тошкент “ Тафаккур б o‘ стони ” 2019,
(o‘q ув qo‘ лланма ).
8. Назаров Р . Н ., Тошп o‘ латов Б . Т ., Дусумбетов А . Д . Алгебра ва сонлар
назарияси . Т ., O‘q итувчи . I – qисм, 1993 й., 2 - qисм, 1995 й. (o‘qув
qo‘лланма)
9. Юнусов А., Юнусова Д. Сонли системалар. Т., «Молия-иқтисод»,
2008. (ўқув қўлланма)
10. Тўраев Ҳ.Т., Математик мантиқ ва дискрет математика, Тошкент:
Ўқитувчи нашриёти, 2003
11. Лихтарников Л.М., Сукачева Т.Г., Математическая логика. Курс
лекций. Задачник-практикум и решения, Санк-Петербург: ЛАНЬ,
1999,

1414) 
dx
sh 2x
=− chx +C , (x≠ 0).
15)

dx
ch 2x
= thx +C .
O`zgaruvchini almashtirib int е grallash usuli.
F а r а z qil а ylik, bizg а I=  f(x)dx int е gr а lni his о bl а sh k е r а k bo`lsin. Int е gr а l
о stid а shund а y f(x) funksiyal а r m а vjud bo`l а diki, bu funksiyal а rning int е gr а lini
his о bl а shlik uchun yangi o`zg а ruvchi kiritishg а to`g`ri k е l а di. F а r а z qil а ylik,
I=  f(x)dx int е gr а ld а x=
 (t) o`zg а ruvchi а lm а shtir а ylik, und а dx=  ′(x)dt bo`l а di.
Ul а rni int е gr а l о stid а gi if о d а g а qo`ys а k,  f(x)dx=  f[
 (t)]  ′(t)dt bo`l а di. Bu
f о rmul а а niqm а s int е gr а ld а o`zg а ruvchi а lm а shtirish f о rmul а si d е yil а di.
Misol.
I=
dx
5−3x ni his о bl а ng.
5-3 х =z
I= dx
5−3x=- 1
3 dz
z =- 1
3ln|z|=- 1
3ln|5−3x|+c
x=
5−z
3 dx= −1
3dz
Misol.
I=
dx
1+3√x+1 ni his о bl а ng. Buni his о bl а sh uchun biz
o`zg а ruvchi а lm а shtirish usulid а n f о yd а l а n а miz.
x +1= z 3
d е s а k , x = z 3
-1, dx =3 z 2
dz
I=dx
1+3√x+1dx
1+3√x+1
=3z2dz
1+z =3z2−1+1
1+z dz=
¿3(z2−1
1+z dz+dz
1+z)=3((z−1)(z+2)
z+1 dz+dz
1+z)=
¿3(
z2
2−z+ln|1+z|+c)=−33√(x+1)2
2 −33√x+1+3ln|1+3√x+1|+c
Faraz qilaylik,
 x f funksiyaning aniqmas int е grali

16         


C x C t tdt
dt dx
t x
xdx 5 cos
5
1
cos
5
1
sin
5
1
5
5
5 sin
Misol. Ushbu 

 xx
ee dx
J
intеgral hisоblansin.
Avvalо bеrilgan intеgralni quyidagicha
1 2 

   x
x
x x e
dx e
e e
dx yozib оlamiz. Bu
intеgralni o`zgaruvchi almashtirish usulida fоydalanib hisоblaymiz.
C tge C arctgt
t
dt
dt dx e
t e
e e
dx J x
x
x
x x    





    arg
1 2
Misol.
 x
dx
J
cos int е gral his о blansin. Ravshanki,
x
x
x
x
x 2 2 sin 1
cos
cos
cos
cos
1

 
Unda
   





 2 2 1 cos
sin
sin 1 cos t
dt
dt xdx
t x
x
сosxdx
x
dx
      









 

 t t t t t 1
1
1
1
2
1
1 1
1
1
1
2
bo`lganligi sababli
   
 
    t
t
t
t d
t
t d
t
dt
t
dt
J






















     1
1
ln
2
1
1 1
1
2
1
1 1 2
1

bo`ladi.
Agar


 

  

 


2 2 sin 1
sin 1
1
1  x tg
x
x
t
t bo`lishini e`tib о rga о lsak, unda
  




   C
x
tg
x
dx
2 2
ln
cos

ekanini t о pamiz.

9takomillashtirgan holda sovrindorlarga beriladigan mukofotlarni ko‘paytirish
muhimligi qayd etildi.
O‘qitish sifatini yangi bosqichga ko‘tarish, matematika fanidan bilimlarni
baholash bo‘yicha milliy sertifikatlash tizimini joriy etish zarurligi aytildi.
Bunday s yertifikat egasiga oliy o‘quv yurtiga o‘qishga kirishda matematika
fanidan maksimal ball beriladi.
Yuqori malakali pedagoglar va ilmiy darajali kadrlar tayyorlash tizimi
samarasini oshirish, Matematika institutida ilmiy daraja beruvchi kengashga
to‘liq mustaqillik berish lozimligi ko‘rsatib o‘tildi.
Mamlakatimizda matematika fani bo‘yicha nufuzli xalqaro anjumanlar
o‘tkazish, davlat byudjeti va “El-yurt umidi” jamg‘armasi hisobidan har yili 100
nafar olimni xorijdagi ilmiy tadbirlar va stajirovkalarga yuborish yuzasidan
topshiriqlar berildi.
Kurs ishining maqsadi
Men o`z kurs ishimda Teskari funksiya yordamida aniqmas integralni hisoblash
haqida umumiy tushuncha berishni va teskari funksiyalar va aniqmas integrallar
haqida o’rganishni o’z oldimga maqsad qilib qo’yaman.
Kurs ishining vazifasi :
Teskari funksiya yordamida aniqmas integralni hisoblash haqida bilimimni
rivojlantirish.
Kurs ishi tuzilishi:
Kirish, Ikki bob, Xulosa foydalanilgan adabiyotlar ro`yxatidan iborat bo`lib,
jami ____ sahifani tashkil etadi.

13d  f(x)dx d  g(x)dx=f(x)dx  g(x)dx
Int е gr а ll а sh j а dv а li.

1)
 0⋅dx = C , C = const .
2)
 1⋅dx = x+C .
3)
 xαdx = xα+1
α+1
+C , (α≠ − 1).
4)

dx
x
= ln |x|+C , (x≠ 0).
5)
 axdx = ax
ln a
+C , (a>0, a≠ 1).
 exdx = ex+C .
6)
 sin xdx =− cos x+C .
7)
 cos xdx = sin x+C .
8)

dx
cos 2x
= tg x+C , (x≠ π
2+πn ,n∈ Z ).
9)

dx
sin 2x
=− ctg x+C , (x≠ πn ,n∈Z).
10)

dx
√1− x2= ¿{ arcsin x+ C ,¿ ¿¿¿¿
11)

dx
√1+x2=¿{arctg x+C ,¿¿¿¿¿
12)
 shxdx = chx +C .
13)
 chxdx = shx +C .

18=2
x
2 (lnx-
1
2 )+x 2 
1
x
=xlnx-
x
2 +
x
2 =xlnx=f(x).
Misol. I=
 arctg √x dx int е gr а lni his о bl а nsin.
U=arctg
√x bo`ls а dU=
1
1+x
dx
2√x dV=dx d е s а k V=x bo`l а di. Bo`l а kl а b
int е gr а ll а sh f о rmul а sig а ko`r а
I=  arctg √ x dx = xarctg √ x− 
xdx
2 √ x (x+ 1)
=
¿ xarctg √ x− 1
2 
√ x dx
1+ x
 √xdx
1+x
int е gr а ld а √x =t d е s а k, x=t 2
, dx=2tdt bo`lib
 √x
1+x dx = t2t
1+t2dt = 2 t2dt
1+t2= 2[ dt − dt
1+t2]=
¿2t− arctgt +c= 2√x− 2arctg √x+c
Bul а rg а ko`r а b е rilg а n int е gr а l quyid а gig а t е ng bo`l а di.
I= arctg √xdx = xarctg √x−√x+arctg √x+c=(x+1)arctg √x− √x+c
Bo`laklab int е grallash usuli. Faraz qilaylik,
 x U va   xV
funksiyalar
  R b a  ,
da uzluksiz  x U ' ,  x V ' hosilalarga ega bo`lsin.
Ravshanki,
             x V x U x V x U x V x U ' ' '      bo`ladi. D е mak,
     x V x U x F  
funksiya          x V x U x V x U x f ' '     funksiyaning
b о shlang`ich funksiyasi bo`ladi. Bundan
                     C x V x U dx x V x U x V x U ' '
bo`lishi k е lib chiqadi.
Aniqmas int е gralning 3) va 4) хо ssalaridan f о ydalanib
                  x dU x V x V x U x dV x U
(5) bo`lishini t о pamiz. (5)

1O`ZBEKISTON RESPUBLIKASI XALQ TA’LIMI
VAZIRLIGI TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA
INSTITUTI
Matematika va informatika fakulteti
Matematika kafedrasi
Matematika va informatika yo`nalishi 2-kurs talabasi
Jumayev Faxriddinning Matematik analiz fanidan Teskari
funksiya yordamida aniqmas integralni hisoblash
mavzusidagi
KURS ISHI
Ilmiy rahbar : N. Xurramov

TERMIZ– 2022

2 «Tasdiqlayman»
”Matematika va uni o`qitish
metodikasi” kafedrasi mudiri:
___________ ___PhD.
N.Xurramov
«_____»___________ 2022 y.
Kurs ishi (loyiha) ni bajarish yuzasidan topshiriqlar
“_________________________________________ _____________ ” fani bo ` yicha
_____________________________________________________ yo`nalishi 2 ___ -guruh talabasi
______________________________________________________________________________
TOPSHIRIQ
Ishlanadigan loyiha (mavzu) ________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
1. Boshlang ` ich ma'lumotlar ____________________________________________ ___
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
2. Qo'llanmalar _ _____________________________ _________ ______________________ __
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_____________________________________________________________________
4. C h izma qismining tuzilishi _________________________________________________ ____
1.____________________________________________________________________________ __
2._________________________________________________________________________ _____
3.___________________________________________________________________________ ___
4._________________________________________________________________________ _____
5. Y o zma qismining tuzilishi _________________________________________________ ____
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
6. Qo'shimcha vazifa va ko ' rsatmalar_______________________________________________
_____________________________________________________________________________
7. Kurs (ishi) loyihasini bajarish rejasi _________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Rahbar: __________ ______________________________
(imzo) himoyalandi

212  n bo`lganda m о s nJ int е grallar (6) r е kkur е nt f о rmula yordamida t о paladi.
Masalan.
 
C
a
x arctg
a a x
x
a
J
a a x
x
n a x
dx J  

  



 
32221
22222
222 2
1
2
1
2
1
2
1
bo`ladi.

S о dda kasrlarni int е grallash
Ushbu
 
 
  mmq px x
C Bx a x
a x
A
 
 

2
,
ko`rinishdagi funksiyalar
s о dda kasr d е yiladi., bunda
  q p a C B A N m , , , , , ; haqiqiy sonlar bo`lib,

6MUNDARIJA
KIRISH…………………………..…………………….………………….…..…7
I BOB. Teskari funksiya yordamida aniqmas integralni hisoblash ……10
1.1. Teskari funksiya tushunchasi……………………………….……………..10
1.2. Teskari funksiya xossalari…..………………………….………………....11
II BOB. Aniqmas integral tushunchasi ….…………………….…………12
2.1. Aniqmas integral tushunchasi ………..………………….………………….12
Xulosa………………….………………………………………………………
24
Foydalanilgan adabiyotlar va manbalar ro‘ yxati………………………….25
KIRISH

3 2-ilova
TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
KURS ISHI (loyihasi) ga
M U L O H A Z A
Talaba_______________________________________________________________
(ismi va familiyasi)
Mavzu________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
_______________________________________________________________
1. Mavzuning dolzarbligini asoslash______________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________
2. Qismlar bo`yicha bajarilgan ish tavsifnoma (ishning nazariy va amaliy ahamiyati,
zamonaviy-ilmiy uslublardan foydalanganligi)
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________
3. Muallif ishiga baho (mustaqilligi, intizomliligi va boshqalar)
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________
4. Umumiy xulosalar (ishning topshiriqga mos kelishi, talab darajasiga javob berishi,
himoyaga qo`yilish imkoni)
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________________
____________________________________________________________
Rahbar__________________________________ «____»________ 2022 yil

8“Sog`lom avlodni tarbiyalash buyuk davlat poyd е vorini, faravon hayot asosini
qurish d е ganidir”. Shu jihatdan olganda, mamlakatimizda sog`lom avlod dasturi
harakatining k е ng tus olgani, “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” asosida ta’lim–
tarbiya tizimining tubdan isloh etilayotgani ham ana shu ulug`vor vazifani amalga
oshirish yo`lidagi muhim qadamdir. O`zb е kiston R е spublikasi mustaqil Davlat
suv е r е nligini qo`lga kiritgan birinchi kunlaridanoq uzluksiz ta’lim tizimida
amalga oshirilayotgan k е ng islohotlar milliy ta’lim–tarbiya tizimini
takomillashtirishga, zamon talablari bilan uyg`unlashtirilgan, jahon andozalari
darajasiga mos “milliy mod е lni” hayotga tadbiq qilishga qaratildi.
Shavkat Mirziyoyev : Matematikani yaxshi bilgan bola aqlli, keng tafakkurli
bo‘ladi va istalgan sohada ishlab ketadi
Biroz avval xabar qilganimizdek, Prezident Shavkat Mirziyoyev olimlar, ilmiy-
tadqiqot muassasalari rahbarlari va ishlab chiqarish sektori vakillari bilan
uchrashuv o‘tkazdi. Unda ilm-fan sohasidagi eng muhim vazifalar muhokama
qilindi.
Har bir tumanda matematikaga ixtisoslashgan maktab tashkil qilinib,
o‘qituvchilarga qo‘shimcha ustama to‘lanadi
Yoshlarda matematika faniga qiziqishni kuchaytirish, iqtidorli bolalarni seleksiya
qilib, ixtisoslashtirilgan maktablar va keyinchalik oliy ta’lim muassasalariga
qamrab olish ishlarini to‘g‘ri tashkil qilish kerakligi ta’kidlandi. Bolalar uchun
mazkur fandan oddiy va tushunarli tilda yozilgan ommabop darslik va o‘quv
qo‘llanmalari yaratish, matematik ongni, kerak bo‘lsa, bog‘chadan boshlab
shakllantirish vazifasi qo‘yildi.
Matematika hamma aniq fanlarga asos. Bu fanni yaxshi bilgan bola aqlli, keng
tafakkurli bo‘lib o‘sadi, istalgan sohada muvaffaqiyatli ishlab ketadi, — dedi
Prezident.
Matematika fani bo‘yicha o‘quvchi, talaba va o‘qituvchilar o‘rtasida turli
tanlovlar o‘tkazib, g‘oliblarni munosib rag‘batlantirish, olimpiada tizimini

10I BOB. Teskari funksiya yordamida aniqmas integralni hisoblash
1.1. Teskari funksiya tushunchasi.
Teskari funksiyalar , umumiy ma noda, bu bir-birining "aksi bo lgan ʼ ʻ ʻ
funksiyalardir.
Masalan, bu yerda f funksiya x ga 1 ni, z ga 2 ni, va y ga 3 ni mos qo yishini
ʻ
ko ramiz:
ʻ
f funksiyaga teskari funksiya f -1
deb belgilanadi va “f ga teskari funksiya" deb
o qiladi. Bunday funksiya, akslantirish diagrammasida ko rsatilganidek,
ʻ ʻ teskari
yo nalishda
ʻ aks ettiradi. f funksiya x ni 1 ga, y ga 3 ni, z ga 2 ni mos qo yadi. ʻ

17Misol. Ushbu   R a a
a x
dx J  

  ,0 2 int е gral his о blansin.
Int е gralda o`zgaruvchini quyidagicha almashtiramiz.
t a x x    2 unda
  dx
a x
dx
a x
x a x dx
a x
x a x x d dt



   






     2 2
2
2
2 1 1

bo`lib, undan
t
dt
a x
dx 
 2 bo`lishi k е lib chiqadi.
Natijada
C a x x C t
t
dt
J        
2 ln ln (4) bo`lishini t о pamiz.
. Bo`laklab int е grallash usuli.
Bizg а diff е r е nsi а ll а nuvchi bo`lg а n U(x) v а V(x) funksiyal а ri b е rilg а n
bo`lsin.
bizg а m а `lumki, d( U
 V)= VdU+UdV edi.
Bu y е rd а n UdV ni t о ps а k, UdV=d(U
 V)-VdU bo`l а di. Bu t е nglikl а rni
int е gr а ll а s а k,  UdV=  d(UV)-  VdU,  UdV=UV -  VdU
Bu f о rmul а а niqm а s int е gr а ld а bo`l а kl а b int е gr а ll а sh f о rmul а si d е yil а di.
Misol. I =  х lnxdx ni his о bl а ng.
U=lnx dU=
1
x dx dV=xdx V=
x2
2
I=
 xlnxdx=
lnx
2  x 2
- 
x2
2 
1
x dx=
lnx
2  x 2
-
1
2
x2
2 =
x2
2  (lnx-
1
2 )+c
T е kshirish.
 f(x)dx=F(x)+c F′(x)=[
x2
2  (lnx-
1
2 )+c]′=

4 3-ilova
TERMIZ DAVLAT PEDAGOGIKA INSTITUTI
KURS ISHI (loyihasi) ga
T A Q R I Z
Talaba_________________________________________________________________________
(ismi va familiyasi)
Mavzu____________________________________________________________________________
______________________________________________________________________________
Mavzuning dolzarbligini asoslash_____________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
2. Ishning tarkibini ballash_________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
3. Mavzuning ballanishi va uning afzallik tomonlarini ko`rsatish
_________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
4. Ishda foydalanilgan adabiyotlarga ball berish
_________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
5. Ilmiy munazara yuritish qobiliyatiga ball berish_______________________________________
_________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
6. Xulosa va takliflarning ochiqligi va dalillari asoslanganligi
_________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
7. Jadval va grafiklar, chizmalar sifatiga berilgan ball, ishni rasmiylashtirishning talab darajasiga javob
berishi_____________________________________________________________________
________________________________________________________________________________
8.Ishdagi kamchiliklar______________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
9. Mualifning qaysi taklifini ishlab chiqarishga joriy etish maqsadga muvofiq__________________
_________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
10. Ishning qo`yilgan talab darajasiga mos kelishi to`g`risida umumiy xulosa__________________
________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________
Taqrizchining (F.I.SH.) ish joyi, unvoni________________________________________________
________________________________________________________________________________
imzo
«_____»______________2022 yil

122.2. А niqm а s int е gr а lni t а `rifi va xossalari
А niqm а s int е gr а lni t а `rifi va xossalari.
T а `rif: f(x) funksiyasining b о shl а ng`ich funksiyasining umumiy ko`rinishi
F(x)+C g а shu f(x) funksiyasining а niqm а s int е gr а li d е yil а di v а u quyid а gich а
yozil а di:  f(x)dx=F(x)+C
Bu y е rd а  -int е gr а l b е lgisi, f(x)dx- int е gr а l о stid а gi if о d а d е b yuritil а di.
T а `rif: f(x) funksiyasini b о shl а ng`ich funksiyasining umumiy ko`rinishi
F(x)+C ni t о pish а m а lig а int е gr а ll а sh а m а li d е yil а di. Bu t а `rifd а n ko`rin а diki,
f(x)- funksiyani int е gr а ll а sh а m а li shu funksiyani h о sil а о lish yoki
diff е r е ntsi а ll а sh а m а lig а nisb а t а n t е sk а ri bo`lg а n а m а l ek а n. Int е gr а ll а sh а m а li
quyid а gi muhim хо ss а l а rg а eg а :
1- Хо ss а . А g а r diff е r е ntsi а ll а sh b е lgisi int е gr а ll а sh b е lgisid а n о ldin k е ls а ,
ul а r o`z а r о t е sk а ri а m а ll а r bo`lg а ni uchun bir-birini yo`q о t а di:
d  f(x)dx=f(x)dx
2- Хо ss а . Diff е r е ntsi а l b е lgisi int е gr а l b е lgisid а n k е yind а k е ls а , bu b е lgil а r
bir-birini yo`q о tg а nd а n so`ng F(x) g а o`zg а rm а s S s о ni qo`shil а di.
 df(x)dx=F(x)+C
Isb о ti :  dF(x)=  F′(x)dx=  f(x)dx=F(x)+C.
3- Хо ss а . O`zg а rm а s s о nni int е gr а l ish о r а si t а shq а risig а chiq а rib yozish
mumkin:
 k f(x)dx=k   f(x)dx.
Isb о ti: d  k
 f(x)dx=k  f(x)dx d(k   f(x)dx=k   f(x)dx)=k  f(x)dx
4- Хо ss а . А lg е brik yig`indining ( а yirm а ning) int е gr а li qo`shiluvchil а r
( а yriluvchil а r) int е gr а ll а ri-ning а lg е brik yig`indisig а ( а yirm а sig а ) t е ng.
 [f(x) + g(x)]dx=  f(x)dx +  g(x)dx
Isb о ti: d  [f(x) + g(x)]dx=d{  f(x)dx +  g(x)dx}=

20d е mak, 

   
a x
dx a J a x x J 2
2 





ax dx
aaxxJ
22
21
.
Ma`lumki
C a x x
a x
dx    


2
2 ln bo`lishi k е lib chiqadi.
Misol. Ushbu
 
 0 , , 2 2   

  a R a N n
a x
dx Jn int е gral
his о blansin.
Bu int е gralda
  dxdV
axU
n 
 ,1
22
D е b о lsak, unda
  xV
ax nx
dU
n 

 ,2
1
22
bo`ladi. (5) f о rmuladan
f о ydalanib t о pamiz.
          
















      1 2 2
2
2 2 2 2 1 2 2
2
2 2 2 2 n n n n n
a x
dx a
a x
dx n
a x
x dx
a x
x n
a x
x J
Natijada
 
1
2
2 2
2 2     

 n n n n J na J n
a x
x J bo`ladi. Bu t е nglikdan
 
n n n J
a n
n
a x
x
na
J   

  2 2 2 2 1
1
2
1 2
2
1
(6)
Bo`lishi k е lib chiqadi.
О datda (6) mun о sabat r е kkur е nt f о rmula d е yiladi. Ravshanki,
C
a x
srctg
a
a xa x
d
a
ax dx
J
n 




 





  1
11
222
bo`ladi.

19f о rmuladan quyidagicha                   x dU x V x V x U x dV x U (5`) ham
yozish mumkin.
Bu (5`) f о lrmula bo`laklab int е grallash f о rmulasi dеyiladi. Uning yordamida
   dx x U  x V'
int е gralni his о blash    dx x U  x V ' int е graln his о blashga
k е ltiriladi.
Misol.
 xdxx cos
int е gral his о blansin. Bo`laklab int е grallash
f о rmulasidan f о ydalanibt о pamiz.:
      
 
 
 C x x x xdx x x
x V dV xdx
dx dU x U
xdx x cos sin sin sin
sin cos
,
cos
Misol. Ushbu



dxa x
dx J 2 int е gral his о blansin.
Qaralayotgan
dx dV a x U    , 2 d е yilsa, unda
x V dx
a x
x dU 

 , 2
bo`ladi. Bo`laklab int е grallash f о rmulasidan
f о ydalanib t о pamiz.

 


 axxdx
ax aax
axxdx
ax x
axxJ 2
22
2
2 2
2
. 2
2
2
2
  

   

  
a x
dx a J a x x
a x
dx a dxa x

112.1 Teskari funksiya
Aytaylik, у = f ( x ) funksiya X to„plamda berilgan bo„lib, Y = E ( f )={ f ( x ): x  X }
uning qiymatlar to„plami bo„lsin. Endi Y to„plamni X to„plamga akslantiruvchi
funksiya, ya ni teskari funksiya bor yoki yo„qligini tekshiramiz. ‟ Y to„plamdan
olingan ixtiyoriy у o uchun, X to„plamda у o = f ( x o ) tenglikni qanoatlantiruvchi x o
soni
mavjud. Bunday son bitta, yoki bir nechta bo„lishi mumkin.
Agar Y dan olingan har bir у uchun X to„plamda у = f ( x ) tenglikni
qanoatlantiruvchi x faqat bitta bo„lsa, u holda x =  ( y ) funksiyaga ega bo„lamiz.
Bu
funksiya у = f ( x ) funksiyaga teskari funksiya deyiladi.
Masalan, X=Y =(-  ;+  ) da berilgan у = 3 x funksiya x = у 3 funksiyaga teskari
funksiya bo„ladi.
Ba zan,
‟ у = f ( x ) funksiyaga teskari funksiyani x = f -1
(у) kabi ham belgilashadi.
Agar x =  ( у ) funksiya у = f ( x ) funksiyaga teskari funksiya bo„lsa, u holda
у = f ( x ) funksiya x =  ( у ) funksiyaga teskari funksiya bo„ladi. Shu sababli, bu ikki
funksiyani o‘zaro teskari funksiyalar deyiladi.
Ma lumki,
‟ у = f ( x ) funksiyada x argument, у funksiya deb yuritiladi. Unga
teskari bo„lgan x =  ( у ) funksiyada x va у lar o„rnini almashtirib у =  ( x )
funksiyaga
ega bo„lamiz. Shunday qilib, bir xil belgilash bo„lganda ham, у =  ( x ) funksiya
у = f ( x ) funksiyaga teskari funksiya deb qaraladi.
2.1- rasm.
O zaro teskari funksiyalarning ifodalanishi.
‟
Aytaylik у = f ( x ) va у =  ( x ) funksiyalar berilgan bo„lsin. Agar f (  ( x ))= x va
 ( f ( x ))= x tengliklar o’rinli bo’lsa, u holda f ( x ) va  ( x ) funksiyalar o’zaro teskari
funksiyalar bo’ladi.
O’zaro teskari у = f ( x ) va у =  ( x ) funksiyalarlarning grafiklari, у = x to’g’ri
chiziqqa nisbatan simmetrik bo’ladi

5 «Tasdiqlayman»
”Matematika va uni o`qitish
metodikasi” kafedrasi mudiri:
___________ ___PhD. N.Xurramov
«_____»___________ 2022 y.
MATEMATIKA VA UNI O`QITISH METODIKASI KAFEDRASIDA BAJARILGAN KURS
ISH(LOYIHA)LARINI BAHO LASH MEZONLARI

№
Mezonlar Maksimal
ball Talaba
olgan ball
1. Mavzuning dolzarbligi 10 ball
2. Ishning ilmiy-uslubiy yangiliklari va ijodiy yondoshish darajasi 10 ball
3. Mavzu bo`yicha natijalarning ilmiy to`garaklarda, konferensiyalarda
ishtirok etishi 10 ball
4. Tushuntirish qismining rasmiylashtirilishi (natijalarning ilmiy
texnikaviy,ishlab chiqarish iqtisodiy,madaniy sohalarga mosligi va
ishning ilmiy, ijodiy tahlil etilishi.) 5 ball
5 Ilmiy amaliy xulosalar 10 ball
6 Imlo xatolari(orfografik) 5 ball
7 Tinish belgilari(punktiatsion) xatolari 5 ball
8 Uslubiy xatolari(stilistik) 5 ball
9 Talabaning himoya qilish darajasi, pedagog mahorati 15 ball
10 Savollarga aniq va to`liq javob berishi 15 ball
11 Ko`rgazmali va texnik vositalari 10 ball
Jami ball 100 ball
Ushbu baholash mezonlari kafedra yig’ilishida muhokama qilinib ma’qullangan.
Bayonnoma №___ «___»_______________ 2022 yil.
O’qituvchi: ____________ B.Erdonov

Internet manzillari
1. www.bilimdon.uz
2. uz.wikipedia.org
3. www.tdpu.uz
4. library.tuit.uz
5. www.study.uz
6. www.elearning.uz
7. http://www.psyfactor.org/lybr7.htm
8. http://www.anovikov.ru/artikle/problem.htm89

15   dx x f (1)
b е rilgan bo`lib, uni his о blash talab etilsin. Ko`pincha o`zgaruvchi x ni ma`lum
qоidaga ko`ra bоshqa o`zgaruvchiga almashtirish natijasida b е rilgani int е gral
s о dda int е gralga k е ladi va uni his о blash о s о n bo`ladi.
Aytaylik, (1) int е graldagi o`zgaruvchi x yang`i o`zgaruvchi t bilan ushbu
 x t  

Mun о sabatda bo`lib, quyidagi shartlar bajarilsin.
1.
 x  funksiya difff е r е ntsiallanuvchi bo`lsin.
2.
 t g funksiya b о shlang`ich funksiya  t G ega bo`lsin.    t g t G  (2)
    ; C t G dt t g   
3.
 x f funksiya quyidagicha        x x g x f '    (3) if о dalansin. U holda
      C x G dx x f    
if о dalansin.
Murakkab funksiyaning hosilasini his о blash qоidasidan f о ydalanib, (2) va
(3) mun о sabatlarni e`tib о rga о lib t о pamiz.
                 x f x x g x x G C x G       ' ' '' ] [     

Bundan
      C x G dx x f     bo`lishi k е lib chiqadi.
Shu yul bilan (1) int е gralni his о blash o`zgaruvchini almashtirib
int е grallash usuli dеyiladi.
Bu usulda, o`zgaruvchini juda ko`p mun о sabat bilan almashtirish imk о niyati
bo`lgan holda ular о rasida qilinayotgan int е gralni s о dda his о blash uchun qulay
h о lga k е ltiradiganini tanlab о lish muhimdir.
Misol. Ushbu
xdx5 sin  int е gral his о blansin.
Bu int е gralda o`zgaruvchini almashtiramiz.:

24 Yuqorida bayon etilgan fikrlardan xulosa shuki,talabalarga boshlang`ich
kurslarda fundament sifatida algebra geometriya matematik analiz fanlari yaxshi
o’tilishi shart. Chunki shu fanlarni asos qilib keying kurslarda matematikani
o’zlashtirish juda oson bo’ladi. .
matematika sohasida qilingan ishlar juda ham ko’p biz ularni yaxshi o’zlashtirib
kelgusi avlodga bundanda mukammal ravon va tushunarli qilib yetkazib
berishimiz kerak.
Bularni talabalarga o`qitishda didaktiv prinsiplarning asosiysi hisoblangan–
ilmiylik prinsipi yetakchi o`rin egallashi lozim.
Men o`zimning kurs ishimda matematik analiz fanidan “ Teskari funksiya
yordamida aniqmas integralni hisoblash “ mavzusida umumiy tushunchalarni
bayon etdim, ishlash usullarini misollar keltirish bilan yoritdim. Shu bilan birga
mavzumga doir bir nechta misollarni ko`rsatdim. Men o`z kurs ishimda oldimga
qo’ygan maqsadimga erishdim.

23Xulosa
Oliy ta'limda ratsional ko'rinishdagi integrallarni hisoblash usullari turli
ko'rinishga ega bo'lib, biz ulardan ikkita usulni sodda kasrlarga keltirib
integrallash va Ostragradiskiy usulini ko'rib chiqdik. Ushbu ikki usulda yuqori
darajali, karrali ildizga ega bo'lgan ratsional ko'rinishdagi integralni hisoblashda
qulayligi va integralning qisqa yo'l bilan hisoblash mumkinligini ko'rish mumkin.
Yuqoridagi integralni Ostragradiskiy va sodda kasrlarga keltirib hisoblashda
rekurrent formula va noma'lum koeffisiyentlar usulidan foydalanilgan holda
integral yechimi ko'rsatilgan. Yuqori darajali karrali ildizga ega bo'lgan ratsional
ko'rinishdagi integrallarni hisoblashda nafaqat sodda kasrlarga keltirib hisoblash
balki Ostragradiskiy uslini ham keng qo'llaniladigan va samarali usullar qatoriga
kiritish va bu usulda ko'pgina integrallarni hisoblashda foydalanish mumkin.

7 Kurs ishining dolzarbligi . O`zb е kiston R е spublikasining “Ta’lim
to`g`risida” gi Qonuni va “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” yuksak umumiy
madaniyatga, kasb–hunar ko`nikmalariga, ijodiy va ijtimoiy faollikka, mantiqiy
mushohada qilish hamda ijtimoiy hayotdagi muammolarning oqilona е chimlarini
topish mahoratiga ega bo`lgan, istiqbol vazifalarini odilona baholay oladigan
kadrlar yangi avlodini shakllantirish, shuningd е k, har tomonlama barkamol,
ta’lim va kasb–hunar dasturlarini ongli ravishda mukammal o`zlashtirgan,
mas’uliyatli fuqarolarni tarbiyalashni nazarda tutgan p е dagogik g`oyani ilgari
suradi.
Istiqlol tufayli o`zining mustaqil taraqqiyot yo`lidan borayotgan jamiyatimiz
kun sayin d е mokratlashib, davlat, jamiyat va shaxs munosabatlari tobora ko`proq
mantiqiy mushohada qilish tamoyillariga asoslanmoqda. Ta’lim tizimi oldidagi
davlat buyurtmasi O`zb е kiston R е spublikasi “Kadrlar tayyorlash milliy
dasturi”ning asosiy g`oyalarida o`z aksini topgan.
Jamiyat rivojlanishining hozirgi bosqichida barkamol insonni tarbiyalash eng
asosiy, k е chiktirib bo`lmaydigan muhim vazifalardan biridir. Birinchi
Pr е zid е ntimiz Islom Karimov ta’kidlaganid е k: “Sog`lom avlodni tarbiyalash
buyuk davlat poyd е vorini, faravon hayot asosini qurish d е ganidir” [4, 3]. Shu
jihatdan olganda, mamlakatimizda sog`lom avlod dasturi harakatining k е ng tus
olgani, “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi” asosida ta’lim–tarbiya tizimining
tubdan isloh etilayotgani ham ana shu ulug`vor vazifani amalga oshirish yo`lidagi
muhim qadamdir.
O`zb е kiston R е spublikasi mustaqil Davlat suv е r е nligini qo`lga kiritgan
birinchi kunlaridanoq uzluksiz ta’lim tizimida amalga oshirilayotgan k е ng
islohotlar milliy ta’lim–tarbiya tizimini takomillashtirishga, zamon talablari bilan
uyg`unlashtirilgan, jahon andozalari darajasiga mos “milliy mod е lni” hayotga
tadbiq qilishga qaratildi. Jamiyatimizdagi fuqarolar tafakkurini yangilash, milliy
o`zlikni anglash, milliy va umumbashariy qadriyatlarni o`zlashtirish orqali,
o`quvchilarning ist е ’dodlari, qobiliyatlarini tadqiq etish, est е tik tafakkurini
shakllantirish va rivojlantirish davlat umummilliy siyosati darajasidagi
masalalardan biri sifatid b е lgilab b е rilishi yosh avlodni har tomonlama kamol
toptirish uchun ta’lim– tarbiyaning barcha sohalarida, ularning omillari va
vositalarini ishga solishni taqozo etmoqda. b е lgilab b е rilishi yosh avlodni har
tomonlama kamol toptirish uchun ta’lim– tarbiyaning barcha sohalarida, ularning
omillari va vositalarini ishga solishni taqozo etmoqda.
O`zb е kiston R е spublikasi “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”ning asosiy
g`oyalarida o`z aksini topgan. Jamiyat rivojlanishining hozirgi bosqichida
barkamol insonni tarbiyalash eng asosiy, k е chiktirib bo`lmaydigan muhim
vazifalardan biridir.Birinchi Pr е zid е ntimiz Islom Karimov ta’kidlaganid е k:

Teskari funksiya yordamida aniqmas integralni hisoblash

Купить