Информация о документе

Цена 30000UZS
Размер 1.0MB
Покупки 1
Дата загрузки 20 Июнь 2025
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

To‘plamlar va ular ustida amallar, to‘plamda akslantirishlar 25

Купить
O ZBEKISTON RESPUBLIKASIʻ OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI Farg‘ona davlat universiteti «Matematik analiz va differensial tenglamalar» kafedrasi «Matematik analiz» fanidan Kurs ishi Mavzu : To‘plamlar va ular ustida amallar, to‘plamda akslantirishlar Bajardi: 2- kurs 23.01 guruh talabasi M.Sh.Salimova Kurs ishi rahbari : fizika- matematika fanlar nomzodi,dotsent A.T . Abduqodirov Farg‘ona-2025 MUNDARIJA KIRISH..................................... ... ............................................................... 4 I BOB .TO‘PLAMLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR 1.1- § To‘plamlar va ularning elementlari…………………………..…….7 1. 2 -§ To‘plamlarning kеsishmasi, birlashmasi, ikki to‘plamning ayirmasi, univеrsal to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plam…………………………….13 1.3-§ To‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi………………………………21 II BOB . TO‘PLAMDA AKSLANTIRISHLAR 2.1-§ Akslantirish tushunchasi…………………………………………..23 2.2-§ Akslantirishning turlari……………………………………………26 2.3 -§ Ekvivalent to‘plamlar,sanoqli to‘plamlar…………………………29 Xulosa……………………………………………………………………32 Foydalanilgan adabiyotlar……………………………………………..33 2 KIRISH “Agar mendan sizni nima qiynaydi?” deb so‘rasangiz, farzandlarimizning ta’lim- tarbiyasi deb javob beraman!!! Shavkat Mirziyoyev Ilg‘or millat va rivojlangan davlat bo‘lishning zarur shartlaridan biri aqliy va jismoniy, madaniy va ma’naviy, axloqiy, g‘oyaviy – siyosiy va huquqiy jihatdan, har tomonlama yetuk, barkamol insonlarga ega bo‘lishdir. Ma’naviy – ma’rifiy jihatdan inson irodasi mustahkam, e’tiqodi yuksak, vijdon amri bilan yashaydigan shaxs, barkamol avlod har qanday davlat, xalq va millatning eng katta boyligi, qudrati salohiyati manbayidir. Mamlakatimiz prezidenti tomonidan ta’kidlab kelinayotganidek, “Har qaysi davlat, har qaysi millat nafaqat yerosti va yerusti boyliklari bilan, harbiy qudrati va ishlab chiqarish salohiyati bilan, balki birinchi navbatda o‘zining yuksak madaniyati va ma’naviyati bilan kuchlidir”. Odamlari, fuqarolari bilimli – zakovatli, uddaburon, g‘oyaviy siyosiy jihatdan ziyrak va hushyor, tadbirkor, har tomonlama yetuk bo‘lgan jamiyat har qanday islohotlarga qodir bo‘ladi va har qanday muammo va qiyinchiliklarni yenga oladi. Oliy rahbarimiz bu haqida shunday dedi: “Lo‘nda qilib aytganda, bugungi kunda oldimizda qo‘ygan buyuk maqsadlarimizga, ezgu niyatlartimizga erishishimizda jamiyatimizning yangilanishi, hayotimizning taraqqiyoti va istiqboli amalga oshirayotgan islohotlarimiz, rejalarimizning samarasi taqdiri bularning barchasi avvalambor zamon talablariga javob beradigan yuqori malakali, ongli mutaxassis kadrlar tayyorlash muammosi bilan chambarchas bog‘liqligini barchamiz anglab yetmoqdamiz. Shu bilan birga barchamiz yana bir haqiqatni anglab yetmoqdamiz. Faqatgina chinakam ma’rifatli odam inson qadrini, millat qadriyatlarini, bir so‘z 3 bilan aytganda, o‘zligini aniqlash, erkin va ozod jamiyatda yashash, mustaqil davlatimizning jahon hamjamiyatida o‘ziga munosib, fidoiylik bilan kurashishi mumkin”. Mustaqil va erkin fikrlayotgan, ongli yashaydigan, o‘z haq – huquqlarini yaxshi taniydigan, o‘z kuchi va aqliga ishonadigan, ma’naviy – axloqiy yetuk barkamol bo‘lgan avlodni, mustaqil fikrlashga qodir, jasoratli, fidoiy va tashabbuskor kishilarni tarbiyalab yetkazadigan xalq va millat kelajakka ochiq ko‘z, katta ishonch, umid va ixlos bilan qaray oladi. Fuqarolarni ana shunday noyob xislat va fazilat sohiblari qilib shakllantirilgan davlatning istiqboli porloq bo‘ladi. Kurs ishining dolzarbligi: Yoshlarga ta’lim va tarbiya berishning murakkab vazifalarini hal etish o‘qituvchining g‘oyaviy e ’ tiqodi, kasb-mahoratiga, san’ati, iste’dodi va madaniyatiga hal qiluvchi darajada bog‘liqdir. Ta’lim- t arbiya jarayonini to‘g‘ri tashkil etish uchun barcha mavjud imkoniyatlarini safarbar etish o‘qituvchilarning birinchi navbatdagi vazifalaridan biridi . Matematika fani o‘sib kelayotgan yosh avlodni kamol toptirishda o‘quv fani sifatida keng imkoniyatlarga ega. U o‘quvchi tafakkurini rivojlantirib, ularning aqlini peshlaydi, uni tartibga soladi, o‘quvchilarda maqsadga yo‘naltirganlik, mantiqiy fikrlash, topqirlik xislatlarini shakllantirib boradi. Shu bilan bir qatorda mulohazalarning to‘g‘ri, go‘zal tuzilganligi, o‘quvchilarni didli, go‘zallikka ehtiyojli qilib tarbiyalab boradi. Insoniyat kamoloti hayotning rivoji texnika va texnologiyalarning takomillashib borish asosida fanlar o‘qitilishiga bo‘lgan talablarini hisobga olgan holda maktab matematika kursini ularning zamonaviy rivoji bilan uyg‘unlashtirish maktabda o‘quvchilarga matematikani o‘qitishdan ko‘zda tutilgan asosiy maqsadlardan biridir. Matematika fani o‘quvchilarni iroda, diqqatni to‘plab olishni; qobiliyat va faollikni, tasavvurining rivojlangan bo‘lishini talab eta borib, mustaqil, ma’suliyatli, mehnatsevar, intizomli va mantiqiy fikrlash hamda o‘zining qarash va e’tiqodlarini dalillar asosida himoya qila olish ko‘nikmalarini rivojlantirishni talab qiladi. Hozirgi zamon darsiga qo‘yiladigan eng muhim 4 talablardan biri har bir darsda tanlanadigan mavzuning ilmiy asoslangan bo‘lishidir, ya’ni darsdan ko‘zlangan maqsad hamda o‘quvchilar imkoniyatini hisobga olgan holda mavzu xajmini belgilash uning murakkabligini aniqlash, avvalgi o‘rganilgan mavzu bilan bog‘lash, o‘quvchilarga beriladigan topshiriq va mustaqil ishlarning ketma-ketligini aniqlash, darsda kerak bo‘ladigan jihozlarni belgilash va qo‘shimcha ko‘rgazmali qurollar bilan boyitish, qo‘shimcha axborot texnologiyalardan foydalangan holda muammoli vaziyatni yaratishdir. Dars davomida o‘qituvchi o‘quvchilarning jismoniy holatini, ijodkorligini, tez fikrlashlarini hisobga olishi kerak. Kurs ishining maqsadi: Matematik analiz fanining ba’zi bir tadbiqlari va asosiy xossalari haqida eng muhim tushunchalarini o‘rganish va Matematik analiz kursida olgan bilimlarimizni mustahkamlash. Kurs ishining vazifalari: 1. Mavzuga doir ma’lumotlarni yig‘ish va rejani shakllantirish; 2. Ikki karrali integral tushunchasi va uning mavjudligi 3. Ikki karrali integrallarning xosalari va uni hisoblash 4. Ikki karrali integrallarning ba’zi tadbiqlari 5. Ikki karrali integrallarda o‘zgaruchilarni almashtirish 6. Ikki karrali integrallarni taqribiy hisoblash 5 I BOB .TO‘PLAMLAR VA ULAR USTIDA AMALLAR 1.1-§ To‘plamlar va ularning elementlari To‘plam tushunchasi. To‘plam tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u ta’riflanmaydi va u haqida misollar yordamida tasav vur hosil qilinadi. To‘plam deganda predmetlar yoki ob’yekt - larni biror xossasiga ko‘ra birgalikda qarash tushuniladi. Masalan, barcha natural sonlar to‘plami, bir talabalar uyida yashovchi talabalar to‘plami, to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plami, mak tabdagi o‘quvchilar to‘plami va h.k. Hayotda to‘plamlar alohida nomlanadi: auditoriyadagi talaba lar to‘plami – guruh, harflar to‘plami – alfavit, qushlar to‘p lami –gala, qo‘ylar to‘plami – poda va h. k. 1-ta’rif: To‘plamni tashkil etuvchi obyektlar – bu to‘plamning elemen tlari deb ataladi. Masalan, yuqoridagi misollardagi natural sonlar, o‘quvchilar, talabalar, nuqtalar mos to‘plamlarining elementlari hisoblanadi. To‘plamlar odatda, lotin alfavitining bosh harflari bilan, ular ning elementlari esa alfavitning kichik harflari bilan belgila nadi. to‘plam elementlaridan tuzilganligi ko‘rinishda yoziladi. To‘plam bir qancha elementlardan iborat bo‘lishi mumkin, quyidagi yoz uv : , elementning to‘plamga tegishliligini bildiradi. Agar bo‘lsa, u holda « element to‘plamga tegishli», « element to‘plamning elementi», « element to‘plamda mav jud» yoki « element to‘plamga kiradi» deb o‘qiladi. yoki yozuv esa elementni to‘plamga tegishli emasligini bildiradi . Masalan, – juft natural sonlar to‘plami bo‘lsin, u holda , , va bo‘ladi. 6 2-ta’rif. To‘plamning elementlari soniga to‘plam quvvati deyiladi va kabi belgilanadi. Masalan, to‘plamning quvvati ga to‘plamning quvvati ga , to‘plamning quvvati ga to‘plamning quvvati ga teng. 3-ta’rif. Quvvatlari teng bo‘lgan to‘plamlar teng quvvatli to‘plamlar deyiladi. Masalan, to‘plamlar teng quvvatli. To‘plamlarning berilish usullari. Agar har bir elementning ma’lum bir to‘plamga tegishli yoki tegishli emasligi bir qiymatli aniqlangan bo‘lsa,to‘plam berildi deyiladi. Sonli to‘plamlar uchun xarakteristik xossani formula bilan berish qulay. Bu holda, odatda, katta qavslar ichiga to‘plam elementi belgisi, vertikal chiziq va undan keyin to‘plam elementiga tegishli xossa yoziladi. Masalan: « sonidan kichik bo‘lgan natural sonlar» to‘plami bo‘lsin. Bu to‘plam xarakteristik xossasi orqali ko‘rinishda ifodalanadi. Shunga o‘xshash: sonidan katta bo‘lmagan natural sonlar» to‘plami. bo‘lsa, tenglamaning haqiqiy ildizlari to‘plami bo‘ladi. bo‘lsa, dan 6 gacha bo‘ l gan butun sonlar to‘plami hisoblanadi. Ba’zi bir sonli to‘plamlar uchun maxsus bеlgilar kiritilgan: -natural sonlar to‘plami, –butun sonlar to‘plami, –butun nomanfiy sonlar to‘plami, –ratsional sonlar to‘plami, –haqiqiy sonlar to‘plami. To‘plam turlari. To‘plamlar ularni tashkil etuvchi elementlari soniga ko‘ra 3 turda bo‘ladi: 7 4-ta’rif: Birorta ham elementi bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deyiladi va ko‘rinishda belgilanadi. Bo‘sh to‘plamning quvvati ga teng. Masalan, tenglamaning haqiqiy ildizlari to‘plami, oydagi daraxtlar to‘plami, dengiz tubidagi quruq toshlar to‘plami bo‘sh to‘plamlardir. 5-ta’rif: To‘plam chekli sondagi elementlardan tashkil topsa,chekli to‘plam deyiladi. Masalan, lotin alifbosi harflari to‘plami, kamalak ranglari to‘plami, raqamlar to‘plami chekli to‘plamlardir. to‘plamlar ch е kli bo‘lib, ular m о s ravishda bitta, ikkita va uchta el е m е ntlardan tuzilgan. 6-ta’rif: To‘plam elementlari soni cheksiz bo‘lsa, bunday to‘plam cheksiz to‘plam deyiladi. Masalan, va barcha ratsional sonlar to‘plami, tekislikdagi nuqtalar to‘plami kabi to‘plamlar ch е ksiz to‘plamdir. 7-ta’rif: Bir xil elementlardan tashkil topgan to‘plamlar teng to‘plamlar deyiladi. Masalan, tenglamaning yechimlari to‘plami va tenglamaning yechimlari to‘plami teng to‘plamlardir. Teng to‘plamlar aynan bir xil elementlardan tuziladi va faqat elementlar tartibi bilangina farqlanishi mumkin. 8-ta’rif: to‘plamning har bir elementi to‘plamga tegishli bo‘lsa, to‘plamni to‘plamning to‘plam osti, (qismi, qism to‘plami) deyiladi, buni quyidagicha belgilanadi: B⊂ A yoki A  B . Masalan, A={a,b,c,d,e,f,g} to‘plam uchun B= {a}, to‘plamlarning har qaysisi to‘plam ostidir. 8 Shuning bilan birga bo‘sh to‘plam istalgan to‘plamning va har bir to‘plam o‘zining to‘plam osti (qism to‘plami) bo‘ladi. Quyidagi xossadan ko‘pincha to‘plamlar tengligini isbotlashda foydalaniladi. A gar va b i r v a q t d a o ‘ rinli bo‘lsa, bo‘ladi. Ya ’ ni to‘plamning istalgan elementi to‘plamga tegishli ekani va to‘plamning istalgan elementi to‘plamga tegishli ekani isbotlangan bo‘lsa, bu to‘plamlar tengligi haqida xulosa chiqariladi. 9-ta’rif. to‘plamning barcha elementlari to‘plamda mavjud bo‘lib, shu bilan birga da ga tegishli bo‘lmagan elementlar ham mavjud bo‘lsa, to‘plam to‘plamning xos qism to‘plami deyiladi va kabi belgilanadi. 10-ta’rif. to‘plamning o‘zi va to‘plam shu to‘plamning xosmas qism to‘plami deyiladi. 11-ta’rif. Agar to‘plamlar to‘plamning qism to‘plami bo‘lsa, to‘plam to‘plamlar uchun universal to‘plam deyiladi . Universal to‘plam, odatda, yoki harflari bilan belgilanadi. Universal to‘plamning barcha qism to‘plamlari orasida ikkita xosmas qism to‘plam mavjud bo‘lib, ulardan biri u ning o‘zi, ikkinchisi esa bo‘sh to‘plam, qolganlari esa xos qism to‘plamlar bo‘ladi. Geometriyadan misol keltirsak, – uch o‘lchovli fazo bo‘lsa, fazodagi tekislik, tekislikdagi chiziq bo‘lsa, quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi: yoki . Bu yerda ning boshqa qism to‘plamlari ham mavjudligini hisobga olish kerak. barcha natural sonlar to‘plami; ‒ barcha butun sonlar to‘plami; ‒ ‒ barcha ratsional sonlar to‘plami; barcha haqiqiy sonlar to‘plami bo‘lib, ‒ shartlar bajariladi va qolgan sonli to‘plamlar uchun universal to‘plam vazifasini bajaradi. kabi yozish ham mumkin. 9 to‘plamning to‘plam ostilarini koordinatalar o‘qida tasvirlash qulay. Agar va bo‘lsa, quyidagi bеlgilashlarni kiritish mumkin. Sonli oraliq Bеlgilan ishi Tasvirlani shi Nomlanishi Intеrval Kеsma Yarim int е rval yoki yarim k е sma Yarim int е rval yoki yarim k е sma Ochi q nur Nur yoki yarim to‘g‘ri chiziq Ochi q nur Nur Eyler-Venn diagrammalari. To‘plamlar orasidagi munosa-batlarni yaqqolroq qilish uchun, Eyler-Venn diagrammalaridan foydalaniladi. Bunda to‘plamlar doira, oval yoki biror yopiq soha ko‘rinishida, universal to‘plam esa to‘g‘ri to‘rtburchak 10 shaklida tasvirlanadi. Masalan: to‘plam to‘plamning xos to‘plam osti ekanligi quyidagi ko‘rinishda tasvirlanadi. 1.1.1-rasm Umumiy qismga ega bo‘lgan to‘plamlar kesishadi deyiladi va , ya’ni va to‘plamlar kesishmasi bo‘sh emas, deb yoziladi. Masalan, ga karrali natural sonlar va ga karrali natural sonlar to‘plamlari umumiy elementga ega, ya’ni kesishadi yoki kesishmasi bo‘sh emas. Bu to‘plamlar kesishmasi barcha ga karrali natural sonlardan iborat bo‘ladi. Ikki to‘plamning o‘zaro munosabatida to‘rt hol bo‘lishi mumkin (1.1.2- rasm) 1) to‘plamlar kesishmaydi (1.1.2-rasm, I) 2) to‘plamlar kesishadi (1.1.2-rasm, II) 3) to‘plamlarning biri ikkinchisining qism to‘plami bo‘ladi (1.1.2-rasm, III) 4) to‘plamlar ustma-ust tushadi, ya’ni teng (1.1.2-rasm, IV) 11 1.1.2-rasm I 1.1.2-rasm II 1. 2-§ To‘plamlarning kеsishmasi, birlashmasi, ikki to‘plamning ayirmasi, univеrsal to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plam 1-ta’rif. elementlar va to‘plamlarning har biriga tegishli bo‘lsa, ular bu to‘plamlarning umumiy elementlari deyiladi. Masalan: , to‘plamlar uchun – umumiy elementlar. 2-ta’rif. va to‘plamlarning barcha umumiy elementlaridangina tuzilgan to‘plam va to‘plamlarning kesishmasi (ko‘paytmasi) deyiladi va quyidagicha belgilanadi , bu yerda belgi to‘plamlarning kesishmasini bildiradi. To‘plamlar kesishmasi belgilar yordamida ko‘rinishda yoziladi. 1) va bo‘lsa, bo‘ladi. 2) va bo‘lsa, bo‘ladi. 3) va to‘plamlarning 12 kesishmasi ga teng. Birorta ham umumiy elementga ega bo‘lmagan to‘plamlarning kesishmasi - bo‘sh to‘plamga teng. Masalan, A={2,3,4} va B={7,8,9} to‘plamlarning kesishmasi bo‘sh to‘plam: A∩B ≠ Ø To‘plamlarning kesishmasi geometrik nuqtai nazardan figuralarning kesishmasiga mos keladi. Quyida har bir hol uchun to‘plamlar kesishmasi shtrixlab ko‘rsatilgan (1.2.1-rasm) 1.2.1-rasm 1.2.2-rasm 1.2.2-rasm da kesma va kesmalar kesishmasini ifodalaydi. 1.2.2-rasm 2-qismida va kesmalar kesishmaydi, demak kesishma bo‘sh to‘plam. To‘plamlar k e sishmasi uchun quyidagi xossalar o‘rinli 1°. (kommutativlik xossasi) 13 2°. ( a s s o s a t i v l i k x o s s a s i ) Bu xossani Eyler-Venn diagrammalarida quyidagicha tasvirlaymiz (1.2.3-rasm) 1.2.3-a) rasmda tenglikning chap qismi,1.2.3-b) rasmda tenglikning o‘ng qismi tasvirlangan, ikki marta shtrixlangan sohalar ikkala rasmda ham bir xil bo‘lgani uchun to‘plamlar teng degan xulosaga kelamiz. 1.2.3-rasm 3 ° . 4 ° . . Yuqoridagi xossalar to‘plamlar soni ikkitadan ortiq bo‘lgan hol uchun ham to‘g‘ri. 3-ta’rif. Berilgan va to‘plamlarning birlashmasi (yig‘indisi) deb shu va to‘plamlarning hech bo‘lmaganda biriga tegishli bo‘lgan elementlardan tuzilgan to‘plamga aytamiz. Birlashma ko‘rinishda belgilanadi. To‘plamlar birlashmasi belgilar yordamida ko‘rinishda yoziladi. To‘plamlar birlashmasida to‘plamlardan har ikkalasining umumiy elementlari bir marta olinadi. 14 Masalan , to‘plamlarning birlashmasi ga, va to‘plamlar uchun ga t e ng. To‘plamlarning birlashmasi geometrik nuqtai nazardan figura lar ning barcha nuqtalaridan tashkil topgan to‘plamni bildiradi. Eyler-Venn diagrammalarida va to‘plamlarning birlashmasi quyi dagicha tasvirlanadi. 1.2.4-rasm To‘plamlar birlashmasining xossalari: 1°. 2°. (kommutativlik xossasi). 3°. (assotsiativlik xossasi). 4°. . 5°. . 6°. (kesishmaning birlashmaga nisbatan distributivlik xossasi). Isbot: bo‘lsin, bundan va ekani kelib chiqadi. Bundan va yoki va , bu esa ekanligini bildiradi va shunday ekanligini isbot qiladi: 15 . Aksincha, agar x ∈ (A∩B) ∪ (A∩C), u holda yoki . Bu holda , lekin xuddi shunday , ekanligini bildiradi, isbotlaydi. Bundan kelib chiqadiki . Kesishmaning birlashmaga nisbatan distributivlik xossasining to‘g‘riligini Eyler-Venn diagrammasida ham ko‘rsatish mumkin 1.2.5-a) rasm 1.2.5-b) rasm 1.2.5-a) rasmda tenglikning chap qismi birlashma vertikal va gorizontal shtrixlangan. 1.2.5-b) rasm da va kesishma gorizontal shtrix langan. esa vertikal shtrixlangan. Rasmlar dagi ikki marta shtrixlangan sohalar bir xil bo‘lganligidan tenglikning to‘g‘riligi ko‘rinadi. 7°. (birlashmaning kesishmaga nisbatan distributivlik xossasi). 16B A C B A C 4-ta’rif . va to‘plamlarning ayirmasi deb shunday to‘plamga ayti ladiki, u to‘plamning ga tegishli bo‘lmagan barcha element lari dan tuziladi va quyidagicha belgilanadi: Demak, v а to‘pl а ml а rning а yirm а si to‘pl а mning to‘p l а mg а kirm а g а n b а rch а el е m е ntl а rd а n t а shkil t о pg а n to‘pl а m ekan, uni bunday yozamiz To‘plamlarning ayirmasi Eyler-Venn diagrammalarida quyidagi 1.2.6 chizmada ko‘rsatilgan shtrixlangan sohani bildiradi. 1.2.6-rasm 5-ta’rif. to‘plam va uning qism to‘ plami berilgan bo‘lsin. dagi ga tegishli bo‘lmagan barcha elementlardan tuzilgan to‘plam to‘plamni to‘plamgacha to‘ldiruvchisi deb ataladi va yoki ko‘rinishda belgilanadi. Bunda, B va B′ A ning birlashmasi A to‘plamga teng bo‘ladi ( 1.2.7-rasm ) . 1.2.7-rasm Masalan, , bo‘lsa bo‘ladi. 17 Agar to‘plam biror boshqa to‘plamning qismi deb qaralmasa, u holda to‘plamning to‘ldiruvchisi bo‘sh to‘plam bo‘lib, ning to‘ldiruvchisi esa bo‘ladi, ya’ni: va . To‘plamlar ayirmasining xossalari: 1°. 2°. . 3°. 4°. 5°. ; 6 °. 7°. . 6- va 7-xossalar De-Morgan qonuni deyiladi. 4- va 5-xossalarning o‘rinli ekanligiga Eyler-Venn diagrammalarida tasvirlash orqali ishonch hosil qilish mumkin. 7-xossani quyidagicha isbotlaymiz. Isbot. bo‘lsin. Bundan ekani kelib chiqadi. Kesishma ta’rifiga ko‘ra yoki degan xulosaga kelamiz, bundan esa yoki ekani kelib chiqadi. bo‘lsa, birlashma ta’rifiga ko‘ra bo‘ladi. Ikkinchi tomondan bo‘lsin. U holda birlashma ta’rifiga ko‘ra ekani kelib chiqadi, ekanidan ekanidan degan xulosaga kelamiz, bo‘lsa, bo‘ladi, bu esa ekanligini ko‘rsatadi. Demak, to‘plamlar bir xil elementlardan tashkil topgan va shuning uchun ham teng ekan. 18 6-xossa ham xuddi shunday isbotlanadi. Isbot. bo‘lsin. U holda ga kirmaydi, ya’ni da ham, da ham emas, demak: . Bu ekanligini isbotlaydi. Boshqa tomondan olganda, agar bo‘lsa, bunda ga tegishli emas va ga ham tegishli emas, shunday ekan ga kirmaydi. Lekin bu ligini ko‘rsatadi, bu ekanligini isbotlaydi. Bundan ko‘rinib turibdiki, ekan. 6-ta’rif. va to‘plamlarning simmetrik ayirmasi d е b shunday to‘plamga aytiladiki, u yoki ayirmalarga tegishli bo‘lgan hamma el е m е ntlaridangina tuziladi va quyidagicha b е lgilanadi: . To‘plamlarning simmetrik ayirmasi 1.2.8-rasmda ko‘rsatilgan shtri х langan sohani bildiradi. 1. 2.8 -rasm 19 BA 1.3 - § To‘plamlarning dekart ko‘paytmasi. 1-ta’rif. A va B to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi deb,1-elementi to‘plamdan, 2-elementi to‘plamdan olingan ko‘rinishdagi barcha tartiblangan juftliklar to‘plamiga aytiladi. Dekart ko‘paytma ko‘rinishda belgilanadi: Masalan bo‘ladi. Agar biz Dekart ko‘paytma elementi dagi ni biror nuqtaning absissasi, ni esa ordinatasi desak, u holda bu dekart ko‘paytma tekislikdagi nuqtalar to‘plamini ifodalaydi. 20 Sonli to‘plamlar dekart ko‘paytmasini koordinata tekisligida tasvirlash qulay. Masalan, bo‘lsin, u holda 1. 3.1 -rasm bo‘ladi ( 1. 3.1 -rasm). Koordinata tekisligida shunday koordinatali nuqtalarni tasvirlaymizki, bunda to‘plam o‘qida va to‘plam o‘qida olinadi. 1. 3.2 -rasm Dekart ko‘paytmaning xossalari: 1° . 2 ° . 3°. Ikkitadan ortiq to‘plamlarning dekart ko‘paytmasini ham qarash mumkin. Umumiy holda to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Ularning dekart ko‘paytmasi dan iborat bo‘ladi. (Masalan, uchlik, to‘rtlik va h.k.). Bunday tartiblangan lik n 21 o‘rinli kortej deb ham ataladi. Yana o‘rinli kortejlar faqat bitta to‘plam elementlaridan tuzilgan bo‘lishi ham mumkin, bu holda u to‘plamni o‘z- o‘ziga marta dekart ko‘paytmasi elementidan iborat bo‘ladi. Yuqorida aytilganlardan xulosa qilsak, Dekart koordinata tekisligini haqiqiy sonlar to‘plami ni o‘ziga-o‘zining dekart ko‘paytmasi , koordinata fazosini deb qarash mumkinligi kelib chiqadi. Masalan, 1. . 2. II BOB . TO‘PLAMDA AKSLANTIRISHLAR 2.1 -§ Akslantirish tushunchasi E va F to‘plamlar berilgan bo‘lsin 1-ta’rif Agar E to‘plamdan olingan har bir x elementga biror qoida yoki qonunga ko‘ra F to‘plamning bitta y elementi mos qo‘yilgan bo‘lsa, E to‘plamni F to‘plamga akslantirish berilgan deyiladi va yoki , kabi belgilanadi .Bunda E to‘plam akslantirishning aniqlanish to‘plami deyiladi. 22 Ushbu va to‘plamlar berilgan bo‘lsin . 1) Har bir natural songa sonni mos qo‘ysak unda akslantirish hosil bo‘ladi .Uni kabi ham yoziladi . 2) Har bir natural songa sonni mos qo‘ysak ,unda Akslantirishga ega bo‘lamiz 3) Har bir natural songa 1 sonni mos qo‘yish natijasida akslantirish hosil bo‘ladi, Aytaylik akslantirish berilgan bo‘lsin , elementga mos qo‘yilgan element ning aksi ( obrazi) deyiladi va kabi belgilanadi Endi elementni olaylik E to‘plamning shunday elementlarini qaraymizki bo‘lsin. Bunday elementlar ning asli (proobrazi) deyiladi va kabi belgilanadi 23 Agar bo‘lsa , ushbu To‘plam A to‘plamning F dagi aksi deyiladi va kabi belgilanadi : . Agar bo‘lsa, ushbu To‘plam B to‘plamning E dagi asli deyiladi va kabi belgilanadi . Faraz qilaylik , va to‘plamlari F to‘plamning qismiy to‘plamlari bo‘lsin unda bo‘ladi. (2.1.1) Aytaylik bo‘lsin , unda bo‘lib va bo‘ladi. Keyingi munosabatlardan bo‘lishi kelib chiqadi demak bundan esa (2.1.2) bo‘lishini topamiz. 24 Aytaylik bo‘lsin ,unda va bo‘lib, bo‘ladi. Natijasi bo‘lib,undan bo‘lishini topamiz. Bu esa . (2.1.3) 2.2 -§ Akslantirishning turlari Aytaylik, akslantirish berilgan bo‘lib, esa to‘plamning aksi bo‘lsin . 2-ta’rif Agar aklantirishda 25 bo‘lsa, bu akslantirish to‘plamni to‘plamning ichiga akslantirish deyiladi. Masalan, to‘plamlari uchun ushbu akslantirish to‘plamni to‘plamning ichiga akslantirish bo‘ladi. 3-ta’rif Agar akslantirishda bo‘lsa, bu akslantirish to‘plamni to‘plamning ustiga akslantirish (syurektiv akslantirish) deyiladi. Masalan, , to‘plamlar uchun 26а b s d tzyx akslantirish to‘plamni to‘plamning ustiga akslantirish bo‘ladi. 4-ta’rif Agar ustiga akslantirish bo‘lib, bu akslantirish to‘plamning turli elementlarini to‘plamning turli elementlariga akslantirsa bu akslantirish inyektiv akslantirish deyiladi. 5-ta’rif Agar ustiga akslantirish bo‘lib, u inyektiv akslantirish ham bo‘lsa, bu akslantirish o‘zaro bir qiymatli akslantirish deyiladi. Masalan, To‘plamlar uchun ushbu 27 akslantirish o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘ladi. 6-ta’rif. akslantirish o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lsin. F to‘plamning har bir elementiga E to‘plamning bitta elementini mos qo‘yadigan va munosabat bilan akslanadigan akslantirish ga nisbatan teskari akslantirish mavjud bo‘lishi uchun; a) ustiga akslantirish b) to‘plamdan olingan har bir elementning to‘plamdagi asli yagona bo‘lishi kerak. 2.3 -§ Ekvivalent to‘plamlar,sanoqli to‘plamlar Ko‘p holda to‘plamlarni ularning tashkil etgan elementlari soni bo‘yicha o‘zaro solishtirishga to‘g‘ri keladi.Chekli to‘plamlar solishtirilganda bir to‘plamning elementlari soni ikkinchisidan ko‘p, yoki kam, yoki ularning 28 elementlarining soni bir-biriga teng degan xulosaga kelinadi. Bu holda elementlari soni ko‘p bo‘lgan to‘plamni “ quvvati ” ko‘proq deyish mumkin. Cheksiz to‘plamlarni solishtirishda vaziyat boshqacharoq bo‘ladi. Cheksiz to‘plamlar ekvivalentlik tushunchasi yordamida solishtiriladi. 7-ta’rif. Agar o‘zaro bir qiymatli akslantirish bo‘lsa, va ekvivalent to‘plamlar deyiladi va kabi belgilanadi. Demak, va ekvivalent to‘plamlar deyiladi va ularning elementlari o‘zaro bir qiymatli moslikda ekanligini bildiradi. Masalan, To‘plamlar uchun akslantirish o‘zaro bir qiymatli . Binobarin, bo‘ladi. Bu holda kabi yoziladi. Aytaylik to‘plamlar berilgan bo‘lsin . Unda 1) ; 2) ; 3) ; bo‘ladi. Ikki va to‘plamlari o‘zaro ekvivalent bo‘lsa , ularni bir xil quvvatli to‘plamlar deb qaraladi. 29 Demak, quvvatni ekvivalent to‘plamlarning miqdoriy xarakteristikasi sifatida tushinish mumkin. Chekli to‘plamlarning o‘zaro ekvivalentligi ularning tashkil etgan elementlarning sonini bir-biriga tengligini bildiradi. Umuman, va chekli to‘plamlarning o‘zaro ekvivalent bo‘lishi uchun ularning elementlari soni bir xil bo‘lishi zarur va yetarli Bunda to‘plamning elementlari soni. 8-ta’rif. Natural sonlar to‘plami ga ekvivalent bo‘lgan har qanday to‘plam sanoqli to‘plam deyiladi. Masalan, ushbu to‘plamlar sanoqli to‘plam bo‘ladi, chunki Natural sonlar to‘plami ga ekvivalent bo‘lgan barcha to‘plamlar sanoqli to‘plamlar sinfini tashkil etadi. Bu sinf to‘plamlarining quvvati bir xil bo‘ladi. Ravshanki, 30 bo‘ladi. Ayni paytda yuqorida ko‘rdikki, Bunday vaziyatda to‘plamning qismi o‘ziga ekvivalent bo‘lishi cheksiz to‘plamlardagina sodir bo‘ladi. Xulosa 31 Mazkur kurs ishida “To‘plamlar va ular ustida amallar, to‘plamda akslantirishlar” mavzusi chuqur tahlil qilindi. Ish davomida to‘plamlar tushunchasi, ularning turlari, ustida bajariladigan amallar, Dekart ko‘paytmasi, hamda to‘plamdagi akslantirishlarning mohiyati va turlari o‘rganildi. Har bir bo‘limda mavzuga oid asosiy nazariy tushunchalar misollar va diagrammalar bilan yoritildi, bu esa mavzuni yanada chuqurroq tushunishga yordam berdi. Kurs ishi orqali to‘plamlar nazariyasi matematik analizning muhim va tayanch yo‘nalishlaridan biri ekani isbotlandi. Ayniqsa, akslantirish tushunchasi orqali matematik modellarni qurish, funksiyalar orasidagi bog‘lanishlarni tushuntirish kabi amaliy jihatlar ochib berildi.O‘quv jarayonida bu mavzularni o‘rganish nafaqat nazariy bilimlarni chuqurlashtiradi, balki mantiqiy fikrlash, tahliliy yondashuv va mustaqil ishlash ko‘nikmalarini rivojlantiradi. Shuningdek, mazkur mavzularni o‘qitishda zamonaviy pedagogik texnologiyalar, ko‘rgazmali vositalar va interaktiv usullarni qo‘llash dars samaradorligini oshirishi muhimligini angladim. Xulosa qilib aytganda, kurs ishining bajarilishi menga nafaqat to‘plamlar va akslantirishlar haqida chuqur nazariy bilim berdi, balki ularni amaliy jihatdan qo‘llash va talabalarga tushunarli yetkazish metodikasini ham shakllantirish imkonini berdi. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI 32 Asosiy adabiyotlar 1. Tao T. Analysis 1,2. Hindustan Book Agency, India, 2014. 2. Xudayberganov G., Vorisov A., Mansurov X., Shoimqulov B. Matematik analizdan ma’ruzalar. I, II q. T.: «Voris-nashriyot». 2010 y. 3. Shoimqulov B.A., Tuychiyev T.T., Djumaboyev D.X. Matematik analizdan mustaqil ishlar. T. “O‘zbekiston faylasuflari milliy jamiyati”, 2008 4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1,2,3 т. М. “ФИЗМАТЛИТ”, 2001. g ‘ 5. Alimov SH.O., Ashurov R.R. Matematik analiz 1,2,3 q. T. “Mumtoz so‘z”, 2018. 6. Azlarov T.A., Mansurov X.T. Matematik analiz, I, 2-q. T. "O‘qituvchi", 1994, 1995. 7. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа, «Лань», 2016. Qo‘shimcha adabiyotlar 1. A.Gaziyev, I.Israilov, M.Yaxshibayev “Matematik analizdan misol va masalalar” T.: “Yangi asr avlodi” 2006 y.- 2. G‘aymnazarov G., G‘aymnazarov O.G. Funksional analiz kursidan masalalar yechish. T.: “Fan va texnologiya”, 2006.-114b. 3. Demidovich B.P.., «Sbornik zadach i uprajneniy po matematicheskomu analizu» Ucheb. Posobiye dlya vuzov. M.: OOO «Izdatelstvo Astrel» OOO «Izdatelstvo AST», 2003 g – 558 [2] st. 4. Filippov A.F. Sbornik zadach po differensialnim uravneniyam. M.:Integral-Press, 1998,-208s. 5. Ivanova YE.P. Lineyniye differensialniye uravneniya s postoyannimi koyeffitsiyentami. Uchebnoye posobiye k raschetnoy rabote - Moskva: MAI, 2003.- 52 s. ISBN 5-7035-1283-2. 6. M.A. Krasnov, G.I. Makarenko, A.I. Kiselev. Variatsionnoye ischisleniye. M., Nauka, 1973. 33 7. V.M. Alekseyev, E.M. Gallev, V.M. Tixomirov. Sbornik zadach po optimizatsii. M., Nauka, 1984. 8 . http://vilenin.narod.ru/Mm/Books/ 9. http://www.allmath.ru/ 34

To‘plamlar va ular ustida amallar, to‘plamda akslantirishlar  25

Купить