Информация о документе

Цена 35000UZS
Размер 2.1MB
Покупки 0
Дата загрузки 13 Июнь 2026
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

G'ayrat Ziyayev

Дата регистрации 14 Февраль 2025

203 Продаж

To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda akslantirishlar 26

Купить
To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda akslantirishlar MUNDARIJA KIRISh ......................................................................................................... . .......... 3 I BOB. TO‘PLAMLAR NAZARIYASI ASOSLARI VA ULAR USTIDA ALGEBRAIK AMALLAR 1.1. To‘plamlar va ularning elementlari. To‘plamlarning berilish usullari ... ........ ... 6 1.2. To‘plamlarning kesishmasi, birlashmasi va ayirmasi. Universal to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plam ...... ..........................................................................................12 1.3. To‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi va uning geometrik talqini ...... ..............18 1.4. To‘plamlarni o‘zaro kesishmaydigan to‘plam ostilariga (sinflarga) ajratish tushunchasi ...... .......................................................................................................21 II BOB. TO‘PLAMLARDA ANIQLANGAN AKSLANTIRIShLAR, MUNOSABATLAR VA KOMBINATORIKA ELEMENTLARI 2.1. Moslik va munosabatlar. Ikki to‘plam elementlari orasidagi moslik va uning turlari ...... ................................................................................................................25 2.2. To‘plamdagi munosabatlar va ularning xossalari (ekvivalentlik va tartib munosabatlari) ...... ..................................................................................................32 2.3. Chekli to‘plamlarda takrorlanadigan va takrorlanmaydigan o‘rinlashtirishlar hamda o‘rin almashtirishlar ...... ..............................................................................40 2.4. Takrorlanmaydigan guruhlashlar. Chekli to‘plamlarning to‘plam ostilari sonini aniqlash ...... .............................................................................................................43 XULOSA ...............................................................................................................47 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI ................... .....................49 KIRISH Mavzuning dolzarbligi. Barkamol avlod jamiyat taraqqiyotining asosi. Shu bois mamlakatimizda ham jismonan, ham ma’nan barkamol avlodga ta’lim-tarbiya berish davlat siyosati darajasiga ko‘tarilgan. Prezidentimiz Sh.Mirziyoyev 19-sentyabr kuni BMT Bosh assambleyasining 72-sessiyasida so‘zlagan nutqida : “Jamiyatimizda siyosiy faollik ortib bormoqda, barcha sohalarda chuqur islohotlar amalga oshirilmoqda. Ulardan ko‘zlangan maqsad – “Inson manfaatlari hamma narsadan ustun” degan oddiy va aniq - ravshan tamoyilni amalga oshirish ustuvor ahamiyatga ega bo‘lgan demokratik davlat va adolatli jamiyat barpo etishdan iborat. “2017-2021 yillarda O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasi”da xalqimiz hayot darajasini yuksaltirishning aniq mexanizmlari belgilab berilganligi to‘g‘risida fikrlarini bildirib, ushbu strategiyaning nafaqat xalqimiz, balki dunyo jamoatchiligi e’tiborini o‘ziga jalb etgan muhim hujjatga aylanganligini alohida ta’kidlab, o‘tamiz. “Harakatlar strategiyasida ta’lim sifatini oshirish, yoshlarga oid davlat siyosatini takomillashtirish masalalari alohida o‘rin egallaydi. Harakatlar strategiyasi xonalari faoliyatidan ko‘zlangan asosiy maqsad - O‘zbekiston Respublikasini rivojlantirishning beshta ustuvor yo‘nalishi bo‘yicha Harakatlar strategiyasida yoshlarning ijtimoiy faolligini oshirish, ularni 2017-2021 yillarga mo‘ljallangan Harakatlar strategiyasiga yanada kengroq jalb qilishdir. Yoshlarning bilim va iqtidorini chuqurlashtirish, ularning kelgusida malakali kadrlar bo‘lib, O‘zbekistonni yanada rivojlantirishdagi ishtirokini ta’minlash maqsadida ta’lim jarayoniga zamonaviy yondashuvlar joriy etilmoqda, shunga javoban tadqiqot ishimizni samarali va amaliyotga joriy etishda natijaviylikka etiborni qaratamiz. Ta’lim yosh avlodni mustaqil hayotga tayyorlashning asosiy komponentlaridan biridir. Mustaqillik yillarida jamiyatning yosh avlod ta’lim- 2 tarbiyasiga qo‘yayotgan talablari, ilm-fan taraqqiyoti natijasida umumta’lim maktablaridagi ta’lim mazmunida keskin o‘zgarishlar sodir bo‘ldi. Fan taraqqiyoti ta’limning texnologik bazasi, jamiyat a’zolarining yashash sharoitida keskin o‘zgarishlarga olib keldi. Jumladan, ilm-fan yangiliklari, zamonaviy texnologiyalar jamiyatning ma’naviy qiyofasini o‘zgartirib yubordi. Ilm-fan yutuqlari va ularning insonlar hayotidagi o‘rni rivojlangan mamlakatlar maktab ta’limi mazmuni va strukturasiga ta’sir o‘tkazmay qolmaydi. Mamlakatimizda ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlar natijasida o‘quv soatlari keskin qisqartirildi, o‘quv materiallari mazmuni modernizatsiya qilindi. Ma’lumki, har bir davlat va jamiyatning taraqqiyoti, kelajak istiqboli, uning dunyo hamjamiyatidagi o‘rni, fan-texnika yoki ixtirolar muvaffaqiyati bilan amalga oshayotganligi ehtimoldan holi emas. Zero, muhtaram birinchi prezidentimiz I.A.Karimov aytganlaridek, “Bugungi kun mustaqil davlatimiz taqdiri, uning ravnaqi, hozirgi davri va kelajagi, jamiyatimiz fanlarida erishilayotgan yutuqlar orqali amalga oshayotganligi shubhasizdir” 1 . XXI asr O‘zbekistonda madaniyat, iqtisodiyot, fan va texnika, ijtimoiy- siyosiy innovasiyalar asri sifatida boshlandi va ana shunday sharoitda barkamol shaxs, yuqori malakali mutaxassislarni tayyorlash nafaqat pedagogik, balki ijtimoiy zaruratga aylandi. So‘nggi yillarda ta’lim tizimiga boshqa sohalardan bir qator yangi tushunchalar kirib keldi. Bugungi kunda ta’limning iqtisodiyligi va takomillashganligi o‘rgatuvchi va o‘rganuvchi aloqalari, texnika va texnologiyalar, ta’limni interfaol metodlar asosida tashkil qilish, hamda ta’lim samaradorligini oshirishga katta e’tibor berilmoqda. Ta’lim tizimida, ta’lim jarayonida interfaol metodlardan foydalanish – ta’lim samaradorligini oshiradigan innovatsion usuldir. YOshlarni yangicha ishlashga va tafakkur yuritishga o‘rgatish davr talabi ekanligi yurtboshimiz tomonidan asoslab berildi. Ta’lim texnologiyasi insoniylik tamoyillariga tayanadi. Falsafa, pedagogika va psixologiyada bu yo‘nalishning o‘ziga xosligi talabaning individualligiga 1 Karimov I.A. O’zbekiston mustaqillikka erishish ostonasida. –T., 2011. B-80. 3 alohida e’tibor berish orqali namoyon bo‘ladi. Shunday ekan bo‘lajak pedagog mutaxassislarni tarbiyalashda pedagogika fanining mazmun-mohiyatini tushuntirishda hamda pedagogika fanining so‘nggi yutuqlaridan foydalanib fan mavzularining bayonida interfaol metodlar asosida darslarni tashkil etish muhim ahamiyat kasb etadi. Tadqiqotning maqsadi: To‘plamlar nazariyasining asosiy tushunchalari, ular ustidagi amallar (birlashma, kesishma, ayirma, to‘ldiruvchi) va akslantirishlar (in’eksiya, syur’eksiya, bi’eksiya) xossalarini nazariy jihatdan tahlil qilish hamda ularning tatbiqiy ahamiyatini yoritib berishdan iborat. Tadqiqotning vazifalari: To‘plam tushunchasining shakllanishi va uning matematikadagi o‘rnini asoslash. To‘plamlar ustida bajariladigan asosiy amallar va ularning Ven diagrammalari yordamida geometrik talqinini tushuntirish. Akslantirishlar (funksiyalar) nazariyasi, ularning turlari va xossalarini matematik misollar yordamida tahlil qilish. To‘plamlar nazariyasining zamonaviy matematika va informatika fanlaridagi amaliy ahamiyatini ko‘rsatib berish. Tadqiqotning obyekti: To‘plamlar nazariyasi va uning asosiy elementlari. Tadqiqotning predmeti: To‘plamlar ustidagi amallar, akslantirishlar va ularning o‘zaro funksional bog‘liqligi. Ishning nazariy va amaliy ahamiyati: Kurs ishida keltirilgan nazariy ma’lumotlar va qoidalardan oliy ta’lim talabalari uchun matematika fanini o‘qitishda, shuningdek, diskret matematika va mantiqiy dasturlash asoslarini o‘rganishda qo‘llanma sifatida foydalanish mumkin. 4 I BOB. TO‘PLAMLAR NAZARIYASI ASOSLARI VA ULAR USTIDA ALGEBRAIK AMALLAR 1.1. To‘plamlar va ularning elementlari. To‘plamlarning berilish usullari To‘plam tushunchasi. To‘plam tushunchasi matematikaning asosiy tushunchalaridan biri bo‘lib, u ta’riflanmaydi va u haqida misollar yordamida tasav vur hosil qilinadi. To‘plam deganda predmetlar yoki ob’yekt - larni biror xossasiga ko‘ra birgalikda qarash tushuniladi. Masalan, barcha natural sonlar to‘plami, bir talabalar uyida yashovchi talabalar to‘plami, to‘g‘ri chiziqdagi nuqtalar to‘plami, mak tabdagi o‘quvchilar to‘plami va h.k. Hayotda to‘plamlar alohida nomlanadi: auditoriyadagi talaba lar to‘plami – guruh, harflar to‘plami – alfavit, qushlar to‘p lami –gala, qo‘ylar to‘plami – poda va h. k. 1.1.1-ta’rif. To‘plamni tashkil etuvchi ob’yektlar – bu to‘plamning elemen - tlari deb ataladi. Masalan, yuqoridagi misollardagi natural sonlar, o‘quvchilar, talabalar, nuqtalar mos to‘plamlarining elementlari hisoblanadi. To‘plamlar odatda, lotin alfavitining bosh harflari bilan, ular ning elementlari esa alfavitning kichik harflari bilan belgila nadi. to‘plam elementlaridan tuzilganligi ko‘rinishda yoziladi. To‘plam bir qancha elementlardan iborat bo‘lishi mumkin, quyidagi yoz uv : , elementning to‘plamga tegishliligini bildiradi. Agar bo‘lsa, u holda « element to‘plamga tegishli», « element to‘plamning elementi», « element to‘plamda mav jud» yoki « element to‘plamga kiradi» deb o‘qiladi. yoki yozuv esa elementni to‘plamga tegishli emasligini bildiradi . Masalan, – juft natural sonlar to‘plami bo‘lsin, u holda , , va bo‘ladi. 5 1.1.2-ta’rif. To‘plamning elementlari soniga to‘plam quvvati deyiladi va kabi belgilanadi. Masalan, to‘plamning quvvati to‘plamning quvvati to‘plamning quvvati to‘plamning quvvati ga teng. 1.1.3-ta’rif. Quvvatlari teng bo‘lgan to‘plamlar teng quvvatli to‘plamlar deyiladi. Masalan, to‘plamlar teng quvvatli. To‘plamlarning berilish usullari. Agar har bir elementning ma’lum bir to‘plamga tegishli yoki tegishli emasligi bir qiymatli aniqlangan bo‘lsa, to‘plam berildi deyiladi. Sonli to‘plamlar uchun xarakteristik xossani formula bilan berish qulay. Bu holda, odatda, katta qavslar ichiga to‘plam elementi belgisi, vertikal chiziq va undan keyin to‘plam elementiga tegishli xossa yoziladi. Masalan: « sonidan kichik bo‘lgan natural sonlar» to‘plami bo‘lsin. Bu to‘plam xarakteristik xossasi orqali ko‘rinishda ifodalanadi. Shunga o‘xshash: sonidan katta bo‘lmagan natural sonlar» to‘plami. bo‘lsa, tenglamaning haqiqiy ildizlari to‘plami bo‘ladi. bo‘lsa, dan 6 gacha bo‘ l gan butun sonlar to‘plami hisoblanadi. Ba'zi bir sonli to‘plamlar uchun maxsus bеlgilar kiritilgan: -natural sonlar to‘plami, –butun sonlar to‘plami, –butun nomanfiy sonlar to‘plami, –ratsional sonlar to‘plami, –haqiqiy sonlar to‘plami. To‘plam turlari. To‘plamlar ularni tashkil etuvchi elementlari soniga ko‘ra 3 turda bo‘ladi: 6 1.1.4-ta’rif. Birorta ham elementi bo‘lmagan to‘plam bo‘sh to‘plam deyiladi va ko‘rinishda belgilanadi. Bo‘sh to‘plamning quvvati ga teng. Masalan, tenglamaning haqiqiy ildizlari to‘plami, oydagi daraxtlar to‘plami, dengiz tubidagi quruq toshlar to‘plami bo‘sh to‘plamlardir. 1.1.5-ta’rif. To‘plam chekli sondagi elementlardan tashkil topsa, chekli to‘plam deyiladi. Masalan, lotin alifbosi harflari to‘plami, kamalak ranglari to‘plami, raqamlar to‘plami chekli to‘plamlardir. to‘plamlar ch е kli bo‘lib, ular m о s ravishda bitta, ikkita va uchta el е m е ntlardan tuzilgan. 1.1.6-ta’rif. To‘plam elementlari soni cheksiz bo‘lsa, bunday to‘plam cheksiz to‘plam deyiladi. Masalan, va barcha ratsional sonlar to‘plami, tekislikdagi nuqtalar to‘plami kabi to‘plamlar ch е ksiz to‘plamdir. Teng to‘plamlar. To‘plam osti. Universal to‘plam. 1.1.7-ta’rif. Bir xil elementlardan tashkil topgan to‘plamlar teng to‘plamlar deyiladi. Masalan, tenglamaning yechimlari to‘plami va tenglamaning yechimlari to‘plami teng to‘plamlardir. Teng to‘plamlar aynan bir xil elementlardan tuziladi va faqat elementlar tartibi bilangina farqlanishi mumkin. 1.1.8-ta’rif. to‘plamning har bir elementi to‘plamga tegishli bo‘lsa, to‘plamni to‘plamning to‘plam osti, (qismi, qism to‘plami) deyiladi, buni quyidagicha belgilanadi: B⊂ A yoki A  B . Masalan, to‘plam uchun B= {a}, to‘plamlarning har qaysisi to‘plam ostidir. Shuning bilan birga bo‘sh to‘plam istalgan to‘plamning va har bir to‘plam o‘zining to‘plam osti (qism to‘plami) bo‘ladi. 7 Quyidagi xossadan ko‘pincha to‘plamlar tengligini isbotlashda foydalaniladi. A gar va b i r v a q t d a o ‘ rinli bo‘lsa, bo‘ladi. Ya ‘ ni to‘plamning istalgan elementi to‘plamga tegishli ekani va B to‘plamning istalgan elementi to‘plamga tegishli ekani isbotlangan bo‘lsa, bu to‘plamlar tengligi haqida xulosa chiqariladi. 1.1.9-ta’rif. to‘plamning barcha elementlari to‘plamda mavjud bo‘lib, shu bilan birga da ga tegishli bo‘lmagan elementlar ham mavjud bo‘lsa, to‘plam to‘plamning xos qism to‘plami deyiladi va kabi belgilanadi. 1.1.10-ta’rif. to‘plamning o‘zi va to‘plam shu to‘plamning xosmas qism to‘plami deyiladi. 1.1.11-ta’rif. Agar to‘plamlar to‘plamning qism to‘plami bo‘lsa, to‘plam to‘plamlar uchun universal to‘plam deyiladi. Universal to‘plam, odatda, yoki harflari bilan belgilanadi. Universal to‘plamning barcha qism to‘plamlari orasida ikkita xosmas qism to‘plam mavjud bo‘lib, ulardan biri ning o‘zi, ikkinchisi esa bo‘sh to‘plam, qolganlari esa xos qism to‘plamlar bo‘ladi. Geometriyadan misol keltirsak, – uch o‘lchovli fazo bo‘lsa, fazodagi tekislik, tekislikdagi chiziq bo‘lsa, quyidagi munosabat o‘rinli bo‘ladi: yoki . Bu yerda ning boshqa qism to‘plamlari ham mavjudligini hisobga olish kerak. barcha natural sonlar to‘plami; ‒ barcha butun sonlar to‘plami; ‒ ‒ barcha ratsional sonlar to‘plami; barcha haqiqiy sonlar to‘plami bo‘lib, ‒ shartlar bajariladi va qolgan sonli to‘plamlar uchun universal to‘plam vazifasini bajaradi. kabi yozish ham mumkin. to‘plamning to‘plam ostilarini koordinatalar o‘qida tasvirlash qulay. Agar va bo‘lsa, quyidagi bеlgilashlarni kiritish mumkin. 8 Sonli oraliq Bеlgilan ishi Tasvirlani shi Nomlanishi Intеrval Kеsma Yarim int е rval yoki yarim k е sma Yarim int е rval yoki yarim k е sma Ochi q nur Nur yoki yarim to‘g‘ri chiziq Ochi q nur Nur Eyler-Venn diagrammalari. To‘plamlar orasidagi munosa-batlarni yaqqolroq qilish uchun, Eyler-Venn diagrammalaridan foydalaniladi. Bunda to‘plamlar doira, oval yoki biror yopiq soha ko‘rinishida, universal to‘plam esa to‘g‘ri to‘rtburchak shaklida tasvirlanadi. Masalan: to‘plam to‘plamning xos to‘plam osti ekanligi quyidagi ko‘rinishda tasvirlanadi. 9 Umumiy qismga ega bo‘lgan to‘plamlar kesishadi deyiladi va , ya’ni va to‘plamlar kesishmasi bo‘sh emas, deb yoziladi. Masalan, ga karrali natural sonlar va ga karrali natural sonlar to‘plamlari umumiy elementga ega, ya’ni kesishadi yoki kesishmasi bo‘sh emas. Bu to‘plamlar kesishmasi barcha ga karrali natural sonlardan iborat bo‘ladi. Ikki to‘plamning o‘zaro munosabatida to‘rt hol bo‘lishi mumkin (2- rasm): 1) to‘plamlar kesishmaydi (2-rasm, I); 2) to‘plamlar kesishadi (2-rasm, II); 3) to‘plamlarning biri ikkinchisining qism to‘plami bo‘ladi (2-rasm, III). 4) to‘plamlar ustma-ust tushadi, ya’ni teng (2-rasm, IV). 2-rasm 10 1-rasm 1.2. To‘plamlarning kesishmasi, birlashmasi va ayirmasi. Universal to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plam To‘plamlarning kesishmasi 1.2.1-Ta’rif. elementlar va to‘plamlarning har biriga tegishli bo‘lsa, ular bu to‘plamlarning umumiy elementlari deyiladi. Masalan: , to‘plamlar uchun – umumiy elementlar. 1.2.2-Ta’rif. va to‘plamlarning barcha umumiy elementlaridangina tuzilgan to‘plam va to‘plamlarning kesishmasi (ko‘paytmasi) deyiladi va quyidagicha belgilanadi , bu yerda belgi to‘plamlarning kesishmasini bildiradi. To‘plamlar kesishmasi belgilar yordamida ko‘rinishda yoziladi. Masalan: 1) va bo‘lsa, bo‘ladi. 2) va bo‘lsa, bo‘ladi. 3) to‘plamlarning kesishmasi: ga teng. Birorta ham umumiy elementga ega bo‘lmagan to‘plamlarning kesishmasi - bo‘sh to‘plamga teng. Masalan, va to‘plamlarning kesishmasi bo‘sh to‘plam: A∩B ≠ Ø To‘plamlarning kesishmasi geometrik nuqtai nazardan figuralarning kesishmasiga mos keladi. Quyida har bir hol uchun to‘plamlar kesishmasi shtrixlab ko‘rsatilgan (3-rasm): 3-rasm 11 4-rasm 4-rasm da kesma va kesmalar kesishmasini ifodalaydi. 4- rasm 2-qismida va kesmalar kesishmaydi, demak kesishma bo‘sh to‘plam. To‘plamlar k e sishmasi uchun quyidagi xossalar o‘rinli: 1°. bo‘lsa, bo‘ladi. Bu xossa to‘plamlar kesishmasi ta’rifidan kelib chiqadi. 2°. (kommutativlik xossasi). 3°. (assotsiativlik xossasi). Assotsiativlik xossasi kesishmani qavslarsiz yozishga imkon beradi va istalgan sondagi to‘plamlar kesishmasini topishda qulaylik tug‘diradi. Bu xossani Eyler-Venn diagrammalarida quyidagicha tasvirlaymiz (5-rasm): 5-a) rasmda tenglikning chap qismi; 1.5-b) rasmda tenglikning o‘ng qismi tasvirlangan, ikki marta shtrixlangan sohalar ikkala rasmda ham bir xil bo‘lgani uchun to‘plamlar teng degan xulosaga kelamiz. 5-rasm 4 ° . . 5 ° . . Yuqoridagi xossalar to‘plamlar soni ikkitadan ortiq bo‘lgan hol uchun ham to‘g‘ri. 12 To‘plamlar birlashmasi (yig‘indisi) 1.2.3-Ta’rif. Berilgan va to‘plamlarning birlashmasi (yig‘indisi) deb shu va to‘plamlarning hech bo‘lmaganda biriga tegishli bo‘lgan elementlardan tuzilgan to‘plamga aytamiz. Birlashma ko‘rinishda belgilanadi. To‘plamlar birlashmasi belgilar yordamida ko‘rinishda yoziladi. To‘plamlar birlashmasida to‘plamlardan har ikkalasining umumiy elementlari bir marta olinadi. Masalan : to‘plamlarning birlashmasi: ga, va to‘plamlar uchun ga t e ng. To‘plamlarning birlashmasi geometrik nuqtai nazardan figura lar ning barcha nuqtalaridan tashkil topgan to‘plamni bildiradi. Eyler-Venn diagrammalarida va to‘plamlarning birlashmasi quyi dagicha tasvirlanadi. 6-rasm To‘plamlar birlashmasining xossalari: 1°. 2°. (kommutativlik xossasi). 3°. (assotsiativlik xossasi). 4°. . 5°. . 6°. (kesishmaning birlashmaga nisbatan distributivlik xossasi). 13 Isbot. bo‘lsin, bundan va ekani kelib chiqadi. Bundan va yoki va , bu esa ekanligini bildiradi va shunday ekanligini isbot qiladi: . Aksincha, agar x ∈ (A∩B) ∪ (A∩C), u holda yoki . Bu holda , lekin xuddi shunday , ekanligini bildiradi, isbotlaydi. Bundan kelib chiqadiki . Kesishmaning birlashmaga nisbatan distributivlik xossasining to‘g‘riligini Eyler-Venn diagrammasida ham ko‘rsatish mumkin 7-a) rasm 7-b) rasm 7-a rasmda tenglikning chap qismi birlashma vertical va gorizontal shtrixlangan. 7-b rasm da va kesishma gorizontal shtrix langan. esa vertikal shtrixlangan. Rasmlar dagi ikki marta shtrixlangan sohalar bir xil bo‘lganligidan tenglikning to‘g‘riligi ko‘rinadi. 7°. (birlashmaning kesishmaga nisbatan distributivlik xossasi). Bu xossa ham yuqoridagi kabi isbotlanadi. To‘plamlar ayirmasi. 14B A C B A C 1.2.4-Ta’rif. va to‘plamlarning ayirmasi deb shunday to‘plamga ayti - ladiki, u to‘plamning ga tegishli bo‘lmagan barcha element lari dan tuziladi va quyidagicha belgilanadi: Demak, v а to‘pl а ml а rning а yirm а si to‘pl а mning to‘p l а mg а kirm а g а n b а rch а el е m е ntl а rd а n t а shkil t о pg а n to‘pl а m ekan, uni bunday yozamiz: Misollar. To‘plamlarning ayirmasi Eyler-Venn diagrammalarida quyidagi 8 chizmada ko‘rsatilgan shtrixlangan sohani bildiradi. 8-rasm Universal to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plam va uning xossalari 1.2.5-Ta’rif. to‘plam va uning qism to‘ plami berilgan bo‘lsin. dagi ga tegishli bo‘lma gan b a rch a elementlardan tuzilgan to‘plam to‘plamni to‘plam gacha to‘ldiruvchisi deb ataladi va yoki ko‘rinishda belgilanadi. Bunda, B va B′ A ning birlashmasi A to‘plamga teng bo‘ladi ( 9-rasm ) . 9-rasm 15 Masalan. bo‘lsa, bo‘ladi. Agar to‘plam biror boshqa to‘plamning qismi deb qaralmasa, u holda to‘plamning to‘ldiruvchisi bo‘sh to‘plam bo‘lib, ning to‘ldiruvchisi esa bo‘ladi, ya’ni: va . To‘plamlar ayirmasining xossalari: 1°. 2°. . 3°. 4°. 5°. 6 ° . 7°. . 6- va 7-xossalar De-Morgan qonunlari deyiladi. 4- va 5-xossalarning o‘rinli ekanligiga Eyler-Venn diagramma-larida tasvirlash orqali ishonch hosil qilish mumkin. 7-xossani quyidagicha isbotlaymiz. bo‘lsin. Bundan ekani kelib chiqadi. Kesishma ta’rifiga ko‘ra yoki degan xulosaga kelamiz, bundan esa yoki ekani kelib chiqadi. bo‘lsa, birlashma ta’rifiga ko‘ra bo‘ladi. Ikkinchi tomondan bo‘lsin. U holda birlashma ta’rifiga ko‘ra ekani kelib chiqadi, ekanidan ekanidan degan xulosaga kelamiz, bo‘lsa, bo‘ladi, bu esa ekanligini ko‘rsatadi. Demak, to‘plamlar bir xil elementlardan tashkil topgan va shuning uchun ham teng ekan. 16 6-xossa ham xuddi shunday isbotlanadi. I s b o t . bo‘lsin. U holda g a k i r m a y d i , y a ’ n i d a h a m , d a h a m e m a s , d e m a k : . B u e k a n l i g i n i i s b o t l a y d i . B o s h q a t o m o n d a n o l g a n d a , a g a r b o ‘ l s a , b u n d a g a t e g i s h l i e m a s v a g a h a m t e g i s h l i e m a s , s h u n d a y e k a n g a k i r m a y d i . L e k i n b u l i g i n i k o ‘ r s a t a d i , b u e k a n l i g i n i i s b o t l a y d i . B u n d a n k o ‘ r i n i b t u r i b d i k i , e k a n . 1.2.6-Ta’rif. va to‘plamlarning simmetrik ayirmasi d е b shunday to‘plamga aytiladiki, u yoki ayirmalarga tegishli bo‘lgan hamma el е m е ntlaridangina tuziladi va quyidagicha b е lgilanadi: . To‘plamlarning simmetrik ayirmasi 1.10-rasmda ko‘rsatilgan shtri х langan sohani bildiradi. 1. 10 -rasm 1.3. To‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi va uning geometrik talqini 1.3.1-Ta’rif. va to‘plamlarning dekart ko‘paytmasi deb, 1-elementi to‘plamdan, 2-elementi to‘plamdan olingan ko‘rinishdagi barcha tartiblangan juftliklar to‘plamiga aytiladi. Dekart ko‘paytma ko‘rinishda belgilanadi: Masalan. 17 BA bo‘ladi. Agar biz Dekart ko‘paytma elementi dagi ni biror nuqtaning absissasi, ni esa ordinatasi desak, u holda bu dekart ko‘paytma tekislikdagi nuqtalar to‘plamini ifodalaydi. Sonli to‘plamlar dekart ko‘ payt masini koordinata tekisligida tasvirlash qulay. Masalan, bo‘lsin, u holda 11 -rasm bo‘ladi ( 11 -rasm). Koordinata tekisligida shunday koordinatali nuqtalarni tasvirlaymizki, bunda to‘plam o‘qida va to‘plam o‘qida olinadi. 12 -rasm Dekart ko‘paytmaning xossalari: 1° . 2°. 3°. 18 Ikkitadan ortiq to‘plamlarning dekart ko‘paytmasini ham qarash mumkin. Umumiy holda to‘plamlar berilgan bo‘lsin. Ularning dekart ko‘paytmasi dan iborat bo‘ladi. tartiblangan lik deyiladi. (Masalan, uchlik, to‘rtlik va h.k.). Bunday tartiblangan lik o‘rinli kortej deb ham ataladi. Yana o‘rinli kortejlar faqat bitta to‘plam elementlaridan tuzilgan bo‘lishi ham mumkin, bu holda u to‘plamni o‘z-o‘ziga marta dekart ko‘paytmasi elementidan iborat bo‘ladi. Yuqorida aytilganlardan xulosa qilsak, Dekart koordinata tekisligini haqiqiy sonlar to‘plami ni o‘ziga-o‘zining dekart ko‘paytmasi , koordinata fazosini deb qarash mumkinligi kelib chiqadi. Masalan, 1. . 2. Mashqlar 1 . musbat tub son va bo‘lsin. qism to‘plamini o r q a l i a n i q l a n g . n i n n i n g f u n k s i y a s i s i f a t i d a h i s o b l a n g . 2 . musbat tub son va yuqoridagi masala kabi bo‘lsin. qism to‘plamini hammasi farqli} orqali aniqlang. n i n i n g f u n k s i y a s i s i f a t i d a h i s o b l a n g . 3. va to‘plamlar va bo‘lsin. bo‘lishini isbotlang. 4. to‘plamlar, bo‘lsin. bo‘lishi har doim ham to‘g‘ri bo‘ladimi? 19 5. T va T′ 4.1.2-bo‘limidagi 7-mashqda aniqlangan to‘plamlar bo‘lsin. Quyidagi izohlarning qaysi biri to‘g‘ri: 1.4. To‘plamlarni o‘zaro kesishmaydigan to‘plam ostilariga (sinflarga) ajratish tushunchasi To‘plamlarni sinflarga ajratish. 1.4.1-Ta’rif. to‘plam quyidagi shart bajarilsa, ... sinflarga ajratilgan deyiladi. 1) ... qism to‘plamlar jufti-jufti bilan o‘zaro kesishmasa, ya’ni bu yerda 2) qism to‘plamlarning birlashmasi to‘plam bilan mos tushsa. To‘plamlarni sinflarga ajratish masalasi klassifikatsiya deyiladi. Klas - sifikatsiya – bu to‘plam ichida ob’yektlarning o‘xshashligi va ular ning boshqa sinflardagi ob’yektlardan farq qilishi asosida sinflar bo‘yicha ob’yektlarni ajratish amalidir. Agar yuqoridagi shartlardan hech bo‘lmaganda bittasi bajaril masa, klassifikatsiya noto‘g‘ri hisoblanadi. Masalan, uchburchaklarning to‘plamini uchta sinfga ajratish mumkin: o‘tkir burchakli, to‘g‘ri burchakli, o‘tmas burchakli uchbur chaklar. Haqiqatan ham, ajratilgan to‘plam ostilari jufti-jufti bilan kesish maydi. Boshqacha aytganda, birinchidan, o‘tkir burchakli uchburchaklar ichida o‘tmas va to‘g‘ri burchakli uchburchaklar yo‘q, to‘g‘ri burchakli uchburchaklar ichida o‘tkir va o‘tmas burchakli uchburchaklar yo‘q, shuningdek o‘tmas burchakli uchburchaklar ichida o‘tkir va to‘g‘ri burchakli uchburchaklar yo‘q. Ikkinchidan, o‘tkir, to‘g‘ri va o‘tmas burchakli uchburchaklar birlashmasi uchburchaklar to‘plami to‘plam bilan mos tushadi. 20 To‘plamlarni sinflarga ajratishda sinflar soni chekli yoki cheksiz bo‘lishi mumkin. Natural sonlar to‘plamini bir necha usul bilan sinflarga ajratish mumkin. 1. Toq va juft sonlar sinfi; 2. Tub va murakkab sonlar sinfi; 3. Bir xonali, ikki xonali, uch xonali,…, xonali sonlar sinfi: Bunda 1- va 2- holda sinflar soni chekli; 3- holda sinflar soni chek siz. Shuning bilan birga berilgan to‘plamning har qanday qism to‘p lam lari sistemasi ham to‘plamni sinflarga ajratishni ifoda lamasligini qayd qilish kerak. Agar uchburchaklar to‘plamida teng yonli, teng tomonli, turli tomonli uchburchaklar to‘plam ostilarini olsak, u holda u to‘p lamni sinflarga ajrata olmaydi, chunki birinchi shart bajaril maydi, teng yon li va teng tomonli uchburchaklar to‘plam ostilari kesishadi, ya’ ni hamma teng tomonli uchburchaklar teng yonli uchbu rchaklardir. To‘plamlarni bitta, ikkita va uchta xossaga ko‘ra sinflarga ajratish. To‘plamlarni qism to‘plamlarga ajratish uchun, qism to‘plam elementlarining xarakteristik xossalarini ko‘rsatish kerak. To‘plamlarni bitta, ikkita, uchta xossasiga ko‘ra sinflarga ajratishni qaraymiz. Aytaylik, to‘plam va biror α xossa berilgan bo‘lsin. to‘plam elementlari xossaga ega bo‘lishi ham, bo‘lmasligi ham mumkin. Bu holda to‘plam o‘zaro kesishmaydigan ikkita va to‘plam ostilarga ajraladi. B to‘plam to‘plamning xossasiga ega bo‘lgan elementlari to‘plami, to‘plam to‘plamning xossasiga ega bo‘lmagan elementlari to‘plami va Agar to‘plamning hamma elementlari xossaga ega bo‘lsa, u holda bo‘ladi, agar A to‘plamning hamma elementlari α xossaga ega bo‘lmasa bo‘ladi. Agar va to‘plamlar bo‘sh bo‘lmasa, u holda to‘plamni Eyler-Venn diagrammasi yordamida quyidagicha tasvirlash mumkin. 21 A (13-rasm) Masalan. – auditoriyadagi talabalar to‘plami, – sinovlarni topshirganlik xossasi bo‘lsa, – sinovlarni topshirgan, esa sinov lar ni topshirmagan talabalar to‘plami bo‘ladi. Endi to‘plamni ikkita xossaga ko‘ra sinflarga ajratishni qaraymiz. to‘plam va xossalar berilgan bo‘lsin. to‘plam elementlari xossalarga ega bo‘lishi, bo‘lmasligi ham mumkin. a) xossaga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan elementlar to‘plami – 1-sinf; b) xossaga ega bo‘lmagan va xossaga ega bo‘lgan elementlar to‘plami – 2-sinf; v) va xossalarga ega bo‘lgan elementlar to‘plami – 3 sinf; g) va xossalarga ega bo‘lmagan elementlar to‘plami – 4 sinf. Bu sinflardan ayrimlari bo‘sh to‘plam ham bo‘lishi mumkin. Bu 4 ta sinf Eyler-Venn diagrammasi yordamida quyidagicha tasvirlanadi. (14-rasm) Masalan, – sinf o‘quvchilari to‘plami, – «a’lo o‘qish», – «intizomli bo‘lish» xossalari bo‘lsin. U holda A – sinfdagi a’lochi; 22 - xossaga ega -xossaga ega emas -xossaga ega emas A 4 4B 1 C 3 2 2 B – sinfdagi intizomli o‘quvchilar to‘plami bo‘ladi. Bunda – sinfdagi a’lochi, lekin intizomsiz o‘quvchilar; – intizomli, lekin a’lochi bo‘lmagan o‘quvchilar; – ham a’lochi, ham intizomli o‘quvchilar; – a’lochi bo‘lmagan va intizomsiz o‘quvchilar to‘plami bo‘ladi. To‘plamni 3 ta xossaga ko‘ra sinflarga ajratishni qaraymiz. to‘plam va xossalar berilgan bo‘lsin. to‘plam element lari xossalarga ega bo‘lishi ham bo‘lmasligi ham mumkin. Bu uchta xossa to‘plamni sakkizta sinfga ajratishi mumkin. a) xossaga ega bo‘lgan va xossalarga ega bo‘lmagan ele ment lar to‘plami – 1 sinf; b) xossalarga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan ele ment lar to‘p lami – 2 sinf; v) xossaga ega bo‘lgan va xossalarga ega bo‘lmagan ele ment lar to‘p - lami – 3 sinf; g) xossalarga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan to‘p lami – 4 sinf; d) xossaga ega bo‘lgan va xossalarga ega bo‘lmagan ele ment lar to‘p - lami – 5 sinf; e) xossalarga ega bo‘lgan va xossaga ega bo‘lmagan to‘p lam – 6 sinf; j) va xossalarga ega bo‘lgan to‘plam – 7 sinf; z) va xossalarga ega bo‘lmagan to‘plam – 8 sinf. Sinflardan ayrimlari bo‘sh to‘plam ham bo‘lishi mumkin. Bu 8 ta sinf 15- rasmda tasvirlangan 23A 1 2 3 4 56 87 15-rasm 24 II BOB. TO‘PLAMLARDA ANIQLANGAN AKSLANTIRIShLAR, MUNOSABATLAR VA KOMBINATORIKA ELEMENTLARI 2.1. Moslik va munosabatlar. Ikki to‘plam elementlari orasidagi moslik va uning turlari Moslik so‘zi kundalik hayotda ko‘p ishlatiladi. «Ob-havoga mos kiyim», «Bolaning yoshiga mos o‘yinchoq», «Dasturga mos darslik», «Mahsulotning naviga mos baho» va hokazo. Keltirilgan misollardan ko‘rinadiki, moslik ko‘pincha ikki turli ob’yektlar to‘plamlari orasida o‘rnatiladi. Masalan, «Bolaning yoshiga mos o‘yinchoq» deganda, bola rivojlanishining turli davrlari bilan barcha bolalar uchun chiqarilgan o‘yinchoqlar to‘plami orasidagi moslik ko‘zda tutiladi. Yoki talabalar bilan ularning imtihonda olishi mumkin bo‘lgan ballari to‘plami orasida moslik berilgan bo‘lsa, imtihondan so‘ng har bir talaba o‘z bilim darajasiga mos ballga ega bo‘ladi. Matematikada ikki to‘plam orasidagi moslik «binar moslik» deb ataladi. «Binar» so‘zi lotincha bis – «ikki marta» so‘zidan olingan. Binar moslik elementlari berilgan to‘plamlarning bir-biriga mos kelgan elementlari juftligidan iborat bo‘ladi. Juftlik o‘z navbatida ikki to‘plam orasidagi dekart ko‘paytma elementi ekanini ham hisobga olsak, moslikka quyidagicha ta’rif berish mumkin. 2.1.1-ta’rif . dekart ko‘paytmaning istalgan qism to‘plami to‘plamlar orasidagi binar moslik deyiladi. Moslik lotin alifbosining kabi harflari bilan belgilanadi va quyidagicha yoziladi: yoki Bizga ma’lum bo‘lgan funksiyalarning hammasi moslik tushunchasiga misol bo‘la oladi. to‘plam moslikning birinchi to‘plami deyiladi. to‘plamning moslikda ishtirok etuvchi elementlari to‘plami moslikning aniqlanish sohasi deyiladi. 25 to‘plam moslikning ikkinchi to‘plami deyiladi. to‘plamning moslikda qatnashgan elementlari to‘plami moslikning qiymatlar to‘plami deyiladi. to‘plam moslikning grafigi deyiladi. grafik biror moslikdagi barcha juftliklar to‘plami, bu yerda Ikki to‘plam orasidagi moslikni nuqtalar va yo‘nalishli kesmalar (strelkalar) yordamida tasvirlovchi rasmlar moslikning grafi deyiladi. Chekli to‘plamlar orasidagi moslik graflar yordamida ko‘rgazmali tasvirlanadi. Misollar: 1. to‘plamlar orasidagi «kat ta» mosligining grafigini yasaymiz. Buning uchun berilgan to‘p lamlar elementlarini nuqtalar bilan belgilaymiz va to‘plam ele ment larini tasvirlovchi nuqtalardan 16-rasm to‘plam elementlarini tasvir lovchi nuqtalarga strelkalar o‘tkazamiz. 1. Natijada biz X va Y to‘plamlar elementlari orasidagi «katta» mosligiga ega bo‘lamiz 2. grafini chizaylik: 17-rasm Bunda aniqlanish sohasi , qiymatlar to‘plami Sonli va to‘plamlar elementlari orasidagi moslik koordinata tekisligidagi grafik yordamida tasvirlanadi. 26 Buning uchun moslikda bo‘lgan barcha sonlar jufti koordinata tekisligida nuqtalar bilan tasvirlanadi. Buning natijasida hosil bo‘l gan figura moslikning grafigi bo‘ladi. Yuqoridagi misolni gra fi gini chizamiz. 18-rasm Moslikni bunday tasvirlash ularni berilgan moslikda cheksiz ko‘p sonlar jufti bo‘lganda ko‘rgazmali tasvirlash imkonini beradi. Masalan. va to‘plamlar orasidagi «katta» mosligini qaraylik va grafigini yasaylik: Moslikni [AB) va [CD) nurlar ifodalaydi. 19-rasm Bir qancha misollar keltirsak:  o r q a l i b e r i l g a n ;  o r q a l i b e r i l g a n ;  musbat tub son to‘plami bo‘lsin va orqaliq: aniqlansin;  o r q a l i b e r i l g a n ;  o r q a l i b e r i l g a n ;  o r q a l i b e r i l g a n ;  quyidagi orqali berilgan; = { 1 agar n farqli bosh sonlarning juft soni natijasi bo ‘ lsa − 1 agar n farqli bosh sonlarning toq soni natijasi bo ‘ lsa 0 agar n farqli bosh sonnig natijasi bo ‘ lmasa } 27 Shu sababli, misol uchun . Shuningdek, , ikkita farqli bosh sonning natijasi kabidir. Shunga o‘xshash,  o r q a l i b e r i l g a n ;  quyidagi orqali asvirlangan Agar moslik bo‘lsa, biz ni ning sohasi, ni esa ning teskari sohasi deb ataymiz. ning ranggi esa qism to‘plamdir. Moslik turlari. 2.1.2-ta’rif. Agar ikkita va to‘plamlar orasidagi mosliklarning grafigi dekart ko‘paytmasi bilan ustma-ust tushsa, bu moslik to‘la moslik deyiladi. 2.1.3-ta’rif. Agar moslik grafigi bo‘sh bo‘lsa moslik bo‘sh moslik deyiladi. Ixtiyoriy ikkita va to‘plamlar orasida bo‘sh va to‘la mosliklar mavjud bo‘lishi mumkin. va dekart ko‘paytma to‘plam ostilari ustida turli xil amallarni bajarish mumkin. Masalan, va to‘plamlar orasida berilgan moslik lar birlashmasi deb, ularning grafiklari birlashmasidan iborat mos likka aytiladiki, moslik faqat va faqat mavjud bo‘l sa bo‘ladi. N i h o y a t , moslik o‘rin almashtirish deyiladi, agar u biyeksiya bo‘lsa. Bundan ko‘rinib turibdiki, agar bo‘lsa, da biyeksiyalar mavjud. 28 2.1.4-ta’rif. Agar moslikning aniqlanish sohasi birinchi to‘plam bilan ustma-ust tushsa, moslik hamma yerda aniqlangan deyiladi. 20-rasm 2.1.5-ta’rif. Agar -moslikning qiymatlar to‘plami ikkinchi to‘plam bilan ustma-ust tushsa, moslik syur’ektiv deyiladi. 21-rasm 2.1.6-ta’rif. Agar moslikda birinchi to‘plamning har bir elementiga ikkinchi to‘plamning bittadan ortiq bo‘lmagan elementi mos kelsa, moslik funksional deyiladi. 22-rasm 2.1.7-ta’rif. Agar moslikda ikkinchi to‘plamning har bir elementiga birinchi to‘plamning 1 tadan ortiq bo‘lmagan elementi mos qo‘yilgan bo‘lsa, moslik in’ektiv deyiladi. 23-rasm 29а b s d tzyx а b s d tzyx e f 2.1.8-ta’rif. Syur’ektiv va in’ektiv moslik bir so‘z bilan biektiv deyila di. 24-rasm 2.1.9-ta’rif. Hamma yerda aniqlangan funksional moslik akslantirish deyiladi. 25-rasm 2.1.10-ta’rif. to‘plamlar orasidagi f moslik biektiv akslantirish bo‘l sa, to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rna tilgan deyiladi. 26-rasm Moslik turlariga misollar keltiramiz. Misol. Aytaylik, - kiyim iladigan garderobdagi paltolar to‘p lami, esa shu garderobdagi ilgaklar to‘plami bo‘lsin. Agar har bir palto ilgakga ilinib turgan bo‘lsa (polda yotmasdan) u holda to‘plam to‘plamga akslantirish bo‘ladi. Agar bu akslantirishda har bir ilgakka bittadan ortiq palto ilinmagan bo‘lsa (bo‘sh ilgaklar ham bo‘lishi mumkin), bu akslantirish in’ektiv bo‘ladi. Agar hamma ilgaklar band bo‘lsa (bunda ayrim ilgaklarda bittadan ortiq paltolar ilingan ham bo‘lishi mumkin), bu akslantirish syur’ektiv bo‘ladi. Agar har bir ilgakda bittadan palto ilingan bo‘lsa (o‘zaro bir qiymatli), bu akslantirish biektiv bo‘ladi. 30 2.1.11-ta’rif. to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatilgan bo‘lsa, bu to‘plamlar teng quvvatli deyiladi va qisqacha ko‘rinishda yoziladi. Masalan. Agar bo‘lsa, u holda bo‘ladi, chunki, to‘plamlar orasida o‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish mumkin. 2.1.12-ta’rif. Barcha natural sonlar to‘plami ga teng quvvatli to‘plamlar sanoqli to‘plam deyiladi. 27-rasm Masalan. bo‘lsa, moslik to‘plamlar orasidagi o‘zaro bir qiymatli moslik bo‘ladi. Chekli va cheksiz to‘plamlar elementlari soni to‘plam quvvati deb atalgan edi va kabi belgilangan. O‘zaro bir qiymatli moslik o‘rnatish yordamida chekli va cheksiz to‘plamlar quvvatini taqqoslash mumkin. Agar istalgan cheksiz to‘plamning har bir elementiga biror qoida yordamida bittadan natural sonni mos keltira olsak, bu to‘plam elementlari natural sonlar yordamida nomerlab chiqilgan bo‘ladi va bunday to‘plam sanoqli to‘plam hisoblanadi. Natural sonlar to‘plamining istalgan cheksiz qism to‘plami sanoqlidir. Masalan, barcha juft sonlarni quyidagicha nomerlab chiqamiz: 31 Xatto barcha butun sonlar to‘plami ham sanoqli ekanini ko‘rsatish mumkin. (III) ni hosil qilish orqali funksiyasini aniq - lang. ni asos qilish orqali dagi ekvivalentlik munosabatini aniqlang. E’tibor beringki, bu deyish bilan bir xil. Shunday ekan, ekvivalentlik sinflari f moslikning aslidan boshqa narsa emas. Yuqoridagi ko‘rsatilgan shartlar ko‘rinishida ifodalansa, biz ekvivalentlik sinflarini tasavvur qila olamiz, bu ekvivalentlik sinflari Dekart tekisligidagi turlicha og‘gan to‘g‘ri chiziqlar to‘plamidan iborat. Yakuniy ta’rif quyidagicha bo‘ladi. to‘plam bo‘lsin va dagi ekvivalentlik munosabati bo‘lsin. faktor top`lam dagi ekvivalentlik sinflari bo‘ladi. Belgilanishi: . Biz bu bo‘limni nihoyatda muhim faktor to‘plam bilan xulosalaymiz. bo‘lsin, esa “ ” bo‘lsin. odatda mos keluvchi faktor to‘plam uchun yoziladi. Ya’ni, 2.2. To‘plamdagi munosabatlar va ularning xossalari (ekvivalentlik va tartib munosabatlari) To‘plam elementlari orasidagi munosabat. Biz to‘plamlarni o‘rganganda ularni taqqoslab, ular kesishadi yoki teng, yoki biri ikkinchisining qismi deb to‘plamlar orasidagi muno sabatlarni qaradik. Natural sonlar to‘plamini qaraganda sonlar orasidagi turli-tuman bog‘lanishlarni ko‘ramiz. Masalan, 7 soni 6 sonidan katta, 12 soni 9 sonidan 3ta ko‘p, 3 soni 2 sonidan keyin ke la di va hokazo. 32 Xuddi shunga o‘xshash, geometriyada figuralarning tengligi va o‘xshashligi, to‘g‘ri chiziqlarning parallelligi va perpendi ku lyarligi kabi munosabatlar qaraladi. Bulardan ko‘rinadiki, matematikada asosan, ikki ob’yekt orasidagi munosabat qaraladi, bunga binar munosabatlar deyiladi. Yuqorida ko‘rib o‘tilgan munosabatlar orasida umumiylik bormi, yo‘qmi degan masalani qarasak, u yoki bu munosabatlarni qarashda biz berilgan to‘plamlar sonlaridan tashkil topgan tartiblangan juftliklar bilan amallar bajarishni ko‘ramiz. Masalan: to‘plamda 1 ta ko‘p munosabatini qarasak, «5 soni 4 sonidan 1 ta ko‘p», «6 soni 5 sonidan 1 ta ko‘p». Shu to‘p lam da katta munosabatni qarasak Shunga o‘x shash kichik munosabatini qarasak «4 soni 5 sonidan 1 ta kam», «5 soni 6 sonidan 1 ta kam». Keltirilgan misoldagi «1 ta ko‘p» munosabat uchun to‘plam, «katta» munosabati uchun to‘plam, «kichik» munosabati uchun to‘plamlarga ega bo‘lamiz. Bu to‘plamlar esa elementlari to‘plam elementlaridan hosil qilingan sonlar juftliklari to‘plami bilan aniqlanadi. Boshqacha aytganda, bu to‘plamlar to‘plam Dekart ko‘payt masi ning elementlaridan tashkil topgan qism to‘plamlardir, ya’ni Bundan ko‘rinadiki, ko‘rib o‘tilgan munosabtlar Dekart ko‘paytmaning qism to‘plami bilan aniqlanar ekan. 2.2.1-ta’rif. to‘plamning istalgan qism to‘plamiga binar mu no - sabat deyiladi. Binar munosabatlar lotin alfavitining bosh harf lari bilan belgilanadi. Boshqacha aytganda, to‘plam elementlari orasidagi muno sabat deb juftlikka aytiladi , bu yerda . Agar to‘plamda berilgan munosabatda elementga element mos kelsa, « element element bilan munosabatda» deyiladi va deb yoziladi, bu yerda . 33 Xususiy holda teng to‘plamlar orasidagi moslik to‘plam ele - mentlari orasidagi binar munosabat deyiladi. odamlar to‘plami bo‘l sa, unda «do‘st bo‘lmoq», «bitta shaharda yashamoq», «qarin dosh bo‘lmoq» kabi munosabatlar bo‘ladi. Sonlar orasida «teng», «kat ta», «kichik», «karrali», «katta emas», «bo‘luvchisi» va h. k. mu no sabatlar, geometrik shakllar to‘plamida «tengdoshlik», «paral lellik», «perpendikularlik» va boshqa munosabatlar haqida gapirish mumkin. Matematikada binar munosabatlar kabi belgilar orqali berilgan. butun sonlar to‘plamida munosabatni qaraylik. Ma’lumki, butun sonlarini natural soniga bo‘lishda bir xil qoldiq hosil bo‘lsa, sonlari modul bo‘yicha taqqoslanadigan (teng qoldiqli) sonlar deyiladi va ko‘rinishda belgilanadi. soniga modul bo‘yicha taqqoslanishini ifodalovchi bog‘lanish taqqoslama deb o‘qiladi. Masalan: bo‘lgani uchun . Yoki, agar bo‘ladi. Shu narsa ma’lumki, taqqoslama ayirma m ga qoldiqsiz bo‘lingandagina o‘rinli bo‘ladi. E’tibor beringki, bo‘lsa, 7 modul bo‘yicha taqqoslanadigan butun sonlarninig umumiy ko‘rinishi shaklda bo‘ladi, bu yerda To‘plamdagi munosabatning grafi va grafigi. Munosabatlarni graflar yordamida ko‘rgazmali tasvirlash mum kin. Masalan: to‘plam elementlari uchun «kar rali» mu no sabatini ko‘ramiz va uning grafini chizamiz (1.28-rasm). 18 soni 3 ga karrali, 18 soni 6 ga karrali, 18 soni 9 ga karrali va ho ka zo. X 34 to‘plamdagi ixtiyoriy son o‘z-o‘ziga karrali bo‘lgani uchun oxiri ustma-ust tushadigan strelkalar mavjud. Bunday strelkalar halqalar deyiladi. 28-rasm Munosabat grafi chekli to‘plamlar uchun quyidagicha chiziladi: to‘plam elementlari nuqtalar bilan belgilanadi, mos elementlar strelkalar bilan tutashtiriladi. Masalan, to‘plam elementlari orasida munosabat berilgan. U quyidagi juftliklar to‘plami orqali ifoda qilinadi: Uning grafi 1.28-rasmdagi ko‘rinishda bo‘ladi. Yoki to‘plamda » 29-rasm munosabati berilgan bo‘lsin. Munosabat grafida birinchisi ikkinchisiga karrali sonlar juftligidan iborat bo‘ladi. munosabat grafida juftlikni ko‘rsatuvchi strelkaning boshi ham, oxiri ham bitta nuqtada bo‘ladi, bunday strelkani «halqa» deb ataymiz. Munosabat grafi 29-rasmdagi kabi chiziladi. Munosabat xossalari. 35 2.2.2-ta’rif. Agar to‘plamning har bir elementi o‘z-o‘zi bilan munosabatda bo‘lsa (ya’ni, bajarilsa), u holda munosabat to‘plamda refleksiv deyiladi. Masalan, munosabatlar refleksivdir. Refleksiv munosabat grafida har bir element atrofida halqa bo‘ladi (2.5-banddagi 2 -misol). 2.2.3-ta’rif. Agar to ‘plamning birorta ham elementi uchun bajarilmasa, u holda munosabat to ‘plamda antirefleksiv deyi ladi. Masalan, munosabatlar antirefleksivdir. Antirefleksiv munosabat grafida birorta ham halqa bo‘lmaydi (2.5- banddagi 1 -misol). 2.2.4-ta’rif. Agar to‘plamda munosabat berilgan bo‘lib, bir vaqtda bajarilsa, simmetrik munosabat deyiladi. Masalan, munosabatlari simmetrikdir. Sim - metrik munosabat grafida har bir strelkaga parallel qaytuvchi strel ka bo‘ladi. 2.2.5-ta’rif. Agar to‘plamda berilgan munosabatda xRy va yRx shart lardan faqat bittasi o‘rinli bo‘lsa, munosabat asimmetrik mu no - sabatdeyiladi. Masalan, munosabatlari asimmetrikdir. Asimmetrik munosabat grafida birorta ham halqa va qaytuvchi strelkalar bo‘lmaydi. 2.2.6-ta’rif. Agar to‘plamda munosabat uchun shart lar faqat bo‘lgan holda bajarilsa, u holda antisi m met rik munosabat deyiladi. Masalan, , « soni sonining bo‘luvchisi» ka bi munosabatlar antisimmetrik munosabat bo‘ladi. Antisimmetrik muno sabat grafida halqalar bo‘ladi, lekin qaytuvchi strelkalar bo‘l maydi. 36 2.2.7-ta’rif. Agar to‘plamda berilgan munosabat uchun ekanligi kelib chiqsa, u holda munosabat tran - zitiv deyiladi (30-rasm). 30-rasm Masalan, kabi munosabatlar tran zi - tivdir. Tranzitiv munosabat grafida ga boruvchi strelkalar bo‘lsa, albatta ga boruvchi strelka ham bo‘lishi ke rak. Munosabatlarning xossalarini ajratib ko‘rsatish uchun matematikada yuqorida aytib o‘tilgan munosabatlarni kesmalar to‘plamida graflar yordamida tasvirlaymiz. kesmalar berilgan bo‘lsin (33- a, b, v, g rasmlar). 31-rasm Bu munosabat: 1) Refleksiv, chunki ixtiyoriy kasr o‘z-o‘ziga teng; 2) Simmetrik, chunki kasrning kasrga tengligidan kasrni kasrga tengligi ham kelib chiqadi; 3) Tranzitiv, chunki kasrning y kasrga va kasrning kasrga tengligidan kasrning kasrga tengligi kelib chiqadi. 37 i. Agar to‘plamda ekvivalentlik munosabati berilgan bo‘lsa, u holda bu munosabat to‘plamni juft-jufti bilan kesishmaydigan qism to‘plamlariga ajratadi. Yuqoridagi misolimizda qism to‘plamlar ii. . Bu qism to‘plamlar juft-jufti bilan kesishmaydi va qism to‘plam lari ning birlashmasi birlamchi misolda berilgan to‘plam bilan ustma-ust tushadi. 4-misol. butun sonlar to‘plamida muno sa bat ni qaraylik. Bu munosabat bo‘lganda to‘plamni ekvivalent 7 ta sinfga ajratadi: (I). – haqiqiy sonlar to‘plamidagi " " munosabati bo‘lsin. Bundan kelib chiqadiki, . (II). m natural sonini olamiz va eslatib o‘tamizki, agar , va bo‘lsa, demak ga karrali. butun sonlar to‘plamidagi munosabat quyidagicha aniqlangan bo‘lsin: E`tibor beringki, biz bu munosabat bilan 1.4.3.- bo‘limda tanishgan edik. (III). to‘plamning barcha 2-elementli toplam ostilaridan iborat bo‘lsin. munosabatni ko‘rinishda belgilaymiz. Bu misolda ni hisoblah mumkinmi (quyidagi 3-mashqqa qarang)? 38 (IV). Haqiqiy sonlar o‘qi munosabatni kabi aniqlaymiz. soniga mos elementni toping. -haqiqiy to‘plamdagi munosabat bo‘lsin. Quyidagi 3 ta xossa bajarilsa, ni ekvivalentlik munosabati deyiladi: refleksiv: ixtiyoriy uchun; simmetrik: ; tranzitiv: Yuqorida keltirilgan 4 ta misoldan (II) va (IV) dagi munosabatlar ekvivalentlik munosabati bo‘ladi. (I) misolda berilgan munosabat refleksiv ham, simmetrik ham emas: ( х < х har qanday haqiqiy son uchun yolg‘on, 1<2, lekin 2≤ 1). Shunga qaramay, bu munosabat tranzitivligini oson isbotlash mumkin. Qolgan hollarni misollarda qaraymiz. S biror to‘plam va R S dagi ekvivalentlik munosabati bo‘lsin. Ixtiyoriy uchun to‘plamni ko‘rinishda aniqlaymiz va bu to‘plamni S dagi ni o‘z ichiga oluvchi ekvivalentlik sinflari deb ataymiz. Eslatma. Agar bo‘lsa, so‘ng , chunki ekvivalent, S ning aynan bir xil elementlaridir. Tartib munosabati. Endi tartib munosabatini qaraymiz. «Tartib» so‘zi kundalik hayotimizda doimo uchraydi. Masalan, jismoniy tarbiya darslarida talabalarning bo‘y-bo‘yiga qarab joy lashishi tartibi, o‘zbek alfavitida harflarning kelish tartibi va hoka zo. 2.2.8-ta’rif. Agar to‘plamdagi munosabat tranzitiv bo‘lsa va simmetrik bo‘lmasa, u holda bu munosabat tartib munosabati deyi ladi. to‘plam esa tartib munosabati bilan tartiblangan deb ataladi. Masalan, to‘plamni «kichik» munosabati yorda mi da tartiblash mumkin. Boshlang‘ich ta’limning birinchi sinfi da o‘quvchilar «katta» va «kichik» munosabatlari bilan keyin chalik esa kesmalar uchun «uzun» va «qisqa» 39 munosabatlari bilan tanisha dilar. Bu munosabatlar yordamida sonlar va kesmalar to‘plamida tar tib o‘rnatiladi. Tartib munosabati qat’iy va noqat’iy tartib munosabatiga bo‘li nadi va bu bo‘linish munosabatning asimmetrik yoki antisimmetrik bo‘lishi bilan bog‘liq. «Katta» va «kichik» munosabatlari qat’iy tartib munosabati bo‘lsa, «katta emas» va «karrali» munosabatlari noqat’iy tartib munosabati hisoblanadi. Teorema . to‘plamdagi ekvivalentlik munosabati, ekvivalentlik sinflari bo‘lsin. U holda yoki , bu yerda sRs′, yoki , qachonki . Isbot. Faraz qilaylik, bo‘lsin, aytish mumkinki, shunday t element topiladiki, bo‘ladi. Shuning uchun o‘rinli ekanligidan, simmetriklik asosida o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Tranzitivlikdan foydalanib ko‘ramizki, ning ekvivalentligini yoki S dagi aynan bitta element ekanini bildiradi. Bundan ekanligi kelib chiqadi. Yagona boshqa imkoniyat dan iborat bo‘lib, bu holda ekanligi o‘z-o‘zidan ma`lum bo‘ladi.Yuqorida amalga oshirilgan isbot natijasida shuni ko‘ramizki, to‘plamdagi munosabatning ekvivalentligi to‘plamni kesishmay - digan ekvivalentlik sinflariga ajratar ekan. 2.3. Chekli to‘plamlarda takrorlanadigan va takrorlanmaydigan o‘rinlashtirishlar hamda o‘rin almashtirishlar Takrorlanadigan o‘rinlashtirishlar. Masala. elementli to‘plam elementlaridan tuzilgan uzunlikdagi kortejlar sonini toping. Yechish. o‘rinli kortej dekart ko‘paytmaning elementi bo‘lib, tartiblangan k-likni (ka-lik deb o‘qiladi) 40 bildiradi. Masalani yechish uchun dekart ko‘paytma elementlari sonini topish kerak. Bu son bo‘lgani uchun ga teng. Demak, m elementli X to‘plam elementlaridan tuzilgan k o‘rinli kortejlar soni ga teng ekan. Kombinatorikada bunday kortejlarni m elementdan k tadan takrorlanadigan o‘rinlashtirishlar deyiladi. Ularning soni A mk bilan belgilanadi. (A – fransuzcha arrangement so‘zining bosh harfidan olingan bo‘lib, «o‘rnashtirish, joylashtirish ma’nosini bildiradi.) = . Masala . 6 raqamli barcha telefon nomerlari sonini toping . Yechish . Telefon nomerlari 0 dan 9 gacha bo ‘ lgan 10 ta raqamdan tuzilgani uchun 10 elementdan tuzilgan barcha tartiblangan 6 o ‘ rinli kortejlar sonini topamiz : Javob: . 6 raqamli telefon nomerlari soni 10 6 ga teng. Takrorlanmaydigan o‘rin almashtirishlar. Agar chekli X to‘plam elementlari biror usul bilan nomerlab chiqilgan bo‘lsa, X to‘plam tartiblangan deyiladi. to‘plam berilgan bo‘lsin. Bu to‘plamni turli usullar bilan tartiblash mumkin. Masalan, sinf o‘quvchilarini yoshiga, bo‘yiga, ogirligiga qarab yoki o‘quvchilar familiyalari bosh harflarini alifbo bo‘yicha tartiblash mumkin. elementli X to‘plamni necha xil usul bilan tartiblash mumkin degan savolga javob beraylik. Tartiblash – bu elementlarni nomerlash demakdir. 1-nomerni ta elementning istalgan biriga berish mumkin. Shuning uchun 41 1-elementni usul bilan, 2-elementni 1-element tanlanib bo‘l gan dan so‘ng usul bilan tanlash mumkin va hokazo, oxirgi elementni tanlash uchun faqat bitta usul qoladi, xolos. Tartiblash lar ning umumiy soni ga teng. – dastlabki ta natural son ko‘paytmasi (m faktorial deb o‘qiladi). Masalan, bilan belgilanadi va takrorlanmaydigan o‘rin almashtirishlar soni deb ataladi. O‘rin almashtirishlarni o‘rinlashtirishlarning xususiy xoli deb qarash mumkin bo‘lgan holi. P belgisi fransuz tilidagi “permutation”, ya’ni “o‘rin almashtirish” so‘zining 1- harfidan olingan Masala. 8 ta ladyani shaxmat doskasida bir-birini urmaydigan qilib necha usul bilan joylashtirish mumkin? Yechish. Ladyalar soni 8 ta. O‘rin almashtirishlarning ba’zi qiymatlari: ta’rif bo‘yicha! Takrorlanmaydigan o‘rin lash tirishlar. Umumiyroq masa lani ko‘rib chiqaylik: m elementli X to‘plamdan nechta tartiblangan k elementli to‘plamlar tuzish mumkin? Bu masalaning oldingi masaladan farqi shundaki, tanlash k - elementda tugatiladi. Ularning umumiy soni ko‘paytmaga teng. U bilan belgilanadi va elementdan k tadan takrorlanmaydigan o‘rinlashtirishlar soni deb ataladi: 42 Bu yerda . Masalan, sinfdagi 20 o‘quvchidan tozalik va davomat uchun javob beruvchi 2 o‘quvchini necha xil usul bilan tanlash mumkin? (usul bilan). 2.4. Takrorlanmaydigan guruhlashlar. Chekli to‘plamlarning to‘plam ostilari sonini aniqlash Takrorlanmaydigan guruhlashlar. «m elementli X to‘plamning nechta k elementli qism to‘plamlari bor?» – degan masalani hal qilaylik. Masalan, 4 elementli to‘plamning nechta 3 elementli qism to‘plami borligini ko‘raylik. Ular . Demak, 4 ta shunday qism to‘plam bor ekan. Bunday qism to‘plamlar takrorlanmaydigan guruhlashlar deb ataladi. Bu qism to‘plamlarni tartiblaganda 6 barobar ko‘proq 3 o‘rinli kortejlarga ega bo‘lamiz. Masalan, ni tartiblasak: tartiblangan uchliklarga ega bo‘lamiz, tartiblanishlar soni marta ko‘p. Bu bog‘lanishdan foydalanib, guruhlashlar sonini topish formulasini keltirib chiqarish mumkin. m elementli to‘plamning k elementli qism to‘plamlari soni bilan belgilanadi va m elementdan k tadan takrorlanmaydigan guruhlashlar soni deyiladi. (C – fransuzcha combinaison – «birik ma» so‘zidan olingan.) Takrorlanmaydigan guruhlashlar soni uchun formulaga ega bo‘lamiz. Masala. Sinfdagi 20 o‘quvchidan ko‘rikda ishtirok etish uchun uch o‘quvchini necha xil usul bilan tanlash mumkin? 43 Yechish. Ko‘rik ishtirokchilarining tartibi ahamiyatga ega bo‘l magani uchun 20 elementli to‘plamning 3 elementli qism to‘p lam lari soni nechtaligini topamiz: Javob: 3 o‘quvchini 1140 usul bilan tanlash mumkin ekan. N ta elementdan r tadan olingan ob’yektlar kombinatsiyasi soni shu vaqtda N ta elementan r tadan elementni o‘rnini almashtirmasdan hosil qilingan to‘plam ostilari soniga teng. Biz buni ushbu ko‘ri nish da yozamiz . Biz bu holatda tanlashlar tartibini qaramay miz. Misol uchun sonlar to‘plamini qaraymiz. Ikki ele ment li almashtirishlarsiz tanlashlar soni ga teng. Bu aniq . 4ta elementdan 2 tadan kombinatsiyasi va uning soni oltiga teng. E’tibor bering ta elementli A to‘plam r o‘lchamli t a to‘plam ostiga ega. Shunday qilib biz ga ega bo‘lamiz. ko‘rinishdagi sonlarning xossalari. 1. 2. 3. 1-xossani isbot qilish uchun formuladan foydalanamiz:. 44 Xossaga ko‘ra, va h. k. 2-xossaning isboti. 2°-va 3°-xossalardan foydalanib, ko‘rinishdagi sonlarning qiymatini ketma-ket hisoblash mumkin. Paskal uchburchagi va Nyuton binomi . 3°-xossaga ko‘ra . Bundan 2° ga ko‘ra ko‘rinishdagi sonlarni Paskal uchburchagi ko‘rinishida joylashtirish mumkin. Har bir son o‘zining tepasidagi ikkita son yig‘indisidan iborat. . 45 Har bir qatordagi sonlar ko‘phadning yoyilmasidagi binomial koeffitsiyentlarga teng. Ularning yig‘indisi elementli to‘plamning barcha qism to‘plamlari sonini beradi. Chekli to‘plam qism to‘plamlari soni . 2 el е m е ntli to‘plamning hammasi bo‘lib nechta qism to‘plami b о r degan savolga javob beraylik. Ular 1 ta bo‘sh, 2 ta 1 el е m е ntli va 1 ta 2 el е m е ntli, ya’ni X to‘plamning o‘zidan ib о rat bo‘lgan qism to‘plamlardir. Jami: . D е mak, 2 el е m е ntli to‘plamning hammasi bo‘lib 4 ta qism to‘plami b о r ekan Quvvati n ga teng bo‘lgan A to‘plamning to‘plam ostilari soni 0 elementli, 1 elementli, 2 elementli, 3 elementli, …, n elementli toplam ostilari sonining yig‘indisidan iborat bo‘ladi. Masalan to‘plam quvvati . To‘plam ostilari soni 0 elementli, 1 elementli, 2 elementli, 3 elementli, 4 elementli, 5 elementli, 6 elementli, 7 elementli, 8 elementli toplam ostilari sonining yig‘indisidan iborat A to‘plamning barcha qism to‘plamlarini 0 va 1 lardan iborat ketma-ketlik bilan ifodalash mumkin. Agar element qism to‘plamga tegishli bo‘lsa, 1 bilan, tegishli bo‘lmasa, 0 bilan almashtiramiz. Masalan qism to‘plamini kabi shifrlash mumkin. Barcha shunday kortejlar soni ga teng. Demak, elementli to‘oplamning barcha qism to‘plamlari soni ga teng ekan. Umumiy holda chekli elementli to‘plamning barcha qism to‘plamlari sonini topish masalasini qo‘yaylik. Uni hal qilish uchun istalgan tarzda to‘plamni tartiblaymiz. So‘ng har bir qism to‘plamni m o‘rinli kortej sifatida shifrlaymiz: qism to‘plamga kirgan element o‘rniga 1, kirmagan element o‘rniga 0 yozamiz. Shunda qism to‘plamlar soni 2 ta elementdan tuzilgan barcha m o‘rinli kortejlar soniga teng bo‘ladi: . 46 Bundan, 4 elementli to‘plam to‘plam ostilari soni ga, 3 elementli to‘plamning to‘plamostilari soni ga tengligi kelib chiqadi. Shu bilan birga bu son Paskal uchburchagining 4-qatoridagi sonlar yig‘indisiga ham teng, ya’ni . Umumiy holda: . 47 XULOSA “To’plamlar va ular ustida amallar. To’plamda akslantirishlar” mavzusida olib borilgan tadqiqotlar va il мий -nazariy tahlillar asosida quyidagi muhim xulosalarga kelindi: 1. To‘plam tushunchasining fundamental tabiati: To‘plamlar nazariyasi zamonaviy matematika, informatika va mantiq fanlarining asosi hisoblanadi. Tadqiqot davomida to‘plam tushunchasi muayyan umumiy belgi yoki xossaga ko‘ra birlashtirilgan obyektlar majmuasi sifatida o‘rganildi. To‘plamlarning berilish usullari (elementlarini sanab ko‘rsatish va xarakteristik xossa yordamida berish) chekli va cheksiz to‘plamlar uchun turlicha samaradorlikka ega ekanligi asoslandi. 2. Algebraik amallarning mantiqiy tuzilishi: To‘plamlar ustida bajariladigan asosiy amallar – birlashma (A ∪ B), kesishma (A ∩ B), ayirma (A \ B) va universal to‘plamgacha to‘ldiruvchi to‘plam (A') tushunchalarining matematik tabiati Venn diagrammalari va mantiqiy operatorlar yordamida chuqur tahlil qilindi. Bu amallar ustida bajariladigan qonuniyatlar (kommutativlik, assotsiativlik, distributivlik va De Morgan qonunlari) matematik mulohazalarni soddalashtirishning eng universal mexanizmi ekanligi ko‘rsatildi. 3. Dekart ko'paytma va uning geometrik talqini: Ikki va undan ortiq to‘plamlarning Dekart ko‘paytmasi (A × B) elementlar tartiblangan juftliklaridan iborat yangi to‘plamni hosil qilishi isbotlandi. Bu tushunchaning geometrik talqini elementar matematikadagi koordinatalar sistemasidan tortib, funksiya grafiklari va ko‘p o‘lchovli fazolarni modellashtirishgacha bo‘lgan jarayonlarning poydevori bo‘lib xizmat qiladi. 4. Klassifikatsiya va sinflarga ajratish mexanizmi: To‘plamni o‘zaro kesishmaydigan to‘plam ostilariga ajratish (to‘plamning bo‘linishi) tushunchasi ob’yektlarni tizimlashtirish va klassifikatsiya qilishda (masalan, sonlar to‘plamini juft va toq sonlarga ajratish) eng muhim pedagogik va ilmiy vositadir. 5. Akslantirishlar va munosabatlar nazariyasi: Ikki to‘plam orasidagi mosliklar va akslantirish turlari (in’eksiya, syur’eksiya va bi’eksiya) tahlil qilindi. 48 Akslantirish tushunchasi funksiya tushunchasining umumlashtirilgan ko‘rinishi bo‘lib, u to‘plamlar quvvatini (ekvivalentligini) aniqlashda asosiy mezon hisoblanadi. To‘plamda aniqlangan ekvivalentlik munosabati (refleksivlik, simmetriklik, tranzitivlik) to‘plamni ekvivalentlik sinflariga ajratsa, tartib munosabati elementlarni tizimlashtirish imkonini beradi. 6. Kombinatorika va chekli to‘plamlar o‘rtasidagi bog‘liqlik: Kurs ishining yakuniy qismida chekli to‘plamlar elementlari ustida kombinatorika elementlari (o‘rinlashtirish, o‘rin almashtirish va guruhlash) amaliy qo‘llanildi. Takrorlanadigan va takrorlanmaydigan holatlar uchun matematik formulalar tizimlashtirildi. Shuningdek, quvvati n ga teng bo‘lgan ixtiyoriy chekli to‘plamning barcha to‘plam ostilari soni (bular ichida bo‘sh to‘plam va to‘plamning o‘zi ham bor) har doim 2ⁿ ga teng bo‘lishi kombinatorik qonuniyatlar orqali qayta isbotlandi. Umuman olganda, to‘plamlar va akslantirishlar nazariyasini mukammal o‘zlashtirish bo‘lajak pedagoglar uchun maktab matematika kursidagi "Funksiyalar", "Tenglamalar va tengsizliklar sistemasi", "Ehtimollar nazariyasi" kabi murakkab bo‘limlarni o‘quvchilarga tizimli va mantiqiy izchillikda tushuntirib berishda yuksak kasbiy-metodik ahamiyat kasb etadi. 49 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR RO‘YXATI I. О‘zbekiston Respublikasi Prezidenti asarlari: 1. Mirziyoyev Sh.M. Buyuk kelajagimizni mard va oliyjanob xalqimiz bilan birga quramiz T.: O’zbekiston 2017 yil 2. Karimov I.A. O`zbekiston XXI asrga intilmoqda. T., O`zbekiston, 2000 yil 3. Mirziyoyev Sh.M. Tanqidiy tahlil qatiy tartib-intizom va shaxsiy javobgarlik-har bir rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo`lishi kerak T.: O’zbekiston 2017 yil II. Ilmiy-uslubiy adabiyotlar: 1. Safarova R O ` zbekiston Respublikasida umumiy o ` rta ta ` lim strategiyasi muommolari va ta ` lim mazmunining yangi modellari , ularni tadbiq etish yo ` llari . T.: . Fan. 2005yil 2. Farberman B.L. Oliy ta`limda o`qitishning zamonaviy usullari T.: 2002- yil 3. Jumayev M.E. Boshlang`ich sinflarda matematika o`qitish metodikasi. T.: 2005yil 4. Roziqov O. Didaktika T.: Fan. 1997yil 5. Abduqodirov A.A., Astanova F.A., Abduqodirov F.A. Nazariya, amaliyot va tajriba T.: Tafakkur qanoti 2012 yil 6. Jumayev E.E. Boshlang’ich matematika nazariyasi va metodikasi T.: Turon - Iqbol 2012 yil 7. Ahmedov M., Abdurahmonova N., Jumayev M. Matematika 1-sinf Turon–iqbol T., 2016 yil 8. Abdurahmonova N. O`rinboyeva L. Matematika 2-sinf II-nashr Yangiyo`l Poligraf servis T., 2016 yil 9. Burxonov S., Xudoyorov O`., Norqulova Q. Matematika 3-sinf Sharq nashriyot Matbaa Aksiyadorlik kompaniyasi T., 2016 yil 50 10. Bikbayeva N.U., Yangiboyeva E. Matematika 4-sinf O`qituvchi, 2015 yil 11. Mardanova F. I. Matematikadan test topshiriqlari 3-sinf. O`qituvchi, T.: 2016 yil 12. Bozorova.M.Q, Norpo‘latova. X.A, Olimov.Q.T Ta’limni faollfshtiruvchi metodlar. O‘quv qo‘llanma. Termiz, 2011yil 13. Burxonov S., Xudoyorov O`., Norqulova Q. Matematika 3-sinf Sharq nashriyot Matbaa Aksiyadorlik kompaniyasi T., 2014 yil. 14. Bikbayeva N. U. Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitish metodikasi T.: O’qituvchi, 1996 yil 15. Jumayev M. E., Tadjieva Z. G’. Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitish metodikasi T.: 2005 yil 16. Jumayev M.E., Tadjiyeva Z.G’. Boshlang’ich sinflarda matematikadan fakultativ darslarni tashkil etish metodikasi T.: TDPU 2005 yil 17. Jumayev M.E. Bolalarda matematik tushunchalarni rivojlantirish nazariyasi va metodikasi (KHK uchun) T.: Ilm-Ziyo 2005 yil 18. Toshmurodov B. Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitishni takomillashtirish T.: O’qituvchi, 2000 yil 19. Jumayev M. E. Matematika o’qitish metodikasidan praktikum T.: O’qituvchi 2004 yil 20. Yo’ldoshev J. G’. Usmonov S. A. Pedagogik texnologiya asoslari T.: O’qituvchi, 2004 yil 21. Jo’rayev R. Zunnunov A. Ta’lim jarayonida o’quv fanlarini integratsiyalash T.: Sharq, 2005 yil 19. Suvonqulov A. K. Hamzayev H. X. Boshlang’ich sinflarda matematika o’qitish metodikasidan amaliy mashg’ulotlar Jizzax, 2006 yil 22. Suvonqulov A. K. Hamzayev H. X. Boshlang’ich sinflarda matematika darslarida didaktik o’yinlar Jizzax, 2007 yil 23. Ibragimov X. I. va boshqalar Pedagogik- psixologiya T.: O’zbekiston 51 faylasuflar milliy jamiyati nashriyoti, 2009 yil 24. Yo’ldoshev J. Yo’ldosheva F. Yo’ldosheva G. Interfaol ta’lim sifat kafolati T.: 2008 yil III Internet materiallari: 25 . http://www.ziyonet.uz/ 52
Купить