Информация о документе

Цена 40000UZS
Размер 758.0KB
Покупки 0
Дата загрузки 31 Октябрь 2026
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Алгебра

Продавец

DocX Seller

Дата регистрации 31 Октябрь 2026

0 Продаж

Tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi

Купить
KURS ISHI MAVZU : TOR TEBRANISH TENGLAMASI UCHUN KOSHI MASALASI. Reja : I. Kirish 1.1 Tor tebranish tenglamasining fizik ahamiyati. II. Asosiy qism: 2.1 Bir jinsli tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi 2.2 Bir jinsli bo’lmagan tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi 2.3 Misollar yechish III. Xulosa IV. Foydalanilgan adabiyotlar Nyuton qonuniga ko'ra inersiya kuchi formula bilan aniqlanadi. U holda barcha kuchlarning Ou o'qdagi proeksiyasi formula bilan ifodalanadi. Bu tenglikni ga qisqartirib, so'ngra limitga o'tsak, torning majburiy tebranish tenglamasiga ega bo'lamiz. Agar tor bir jinsli bo lsa, ya'ni p(x) = const, u holda (1) teng-ʻ lama quyidagi ko rinishga keladi. Bu erda a2 = To/p, f(x,t) = p(x, t)/p. ʻ Agar (1) yoki (2) tenglamada tashqi kuchlar qatnashmasa, ya'ni p(x,t) = 0, bo'lsa, u holda (2) tenglama ushbu ko'rinishga keladi. Oxirgi (3) tenglama bir jinsli torning erkin tebranish tengla- masi deyiladi. Bu tenglama bir o'lchovli to'lqin tarqalish tenglamasi deb ham yuritiladi. Sterjenning bo'ylama tebranishlari, trubkadagi gazning tebra- nishlari va boshqa tebranma harakatlar (1) ko rinishdagi tenglama orqali ifodalanadi. ʻ Asosiy boshlang'ich-chegaraviy masalalarning qo'yilishi Xususiy hosilali (1) tenglamaning koeffitsientlari va ozod hadiga qo'yilgan ma'lum shartlarga ko'ra cheksiz ko'p xususiy yechimlarga ega bo ladi ʻ tebranishini to'liq aniqlash uchun etarli emas. Masalaning fizik mohiyatidan kelib chiqqan holda qo shimcha shartlarning bajarilishi talab qilinadi. ʻ Fizikadan ma'lumki, nuqtaning harakatini aniqlash uchun uning boshlang'ich holati va boshlang'ich tezligini bilish kifoya. Shuning uchun ham, tor harakatini aniqlash uchun t=0 da uning boshlang'ich holati va boshlang'ich teziligini bilish etarli bo ladi, ya'ni ʻ Bu boshlang'ich shartlar yoki Koshi shartlari deyiladi. Torning uchlari mahkamlangan yoki mahkamlanmagan bo lishi mumkin. ʻ Uchlari mahkamlangan tor uchun quyidagi shartlar o'rinli bo'ladi: Bu (5) ko rinishdagi shartlar chegaraviy shartlar deb yuritiladi. Shunday qilib, ʻ uchlari mahkamlangan torning harakatini aniq- lash to g risidagi fizikaviy ʻ ʻ masala quyidagi matematik masalaga keltirildi: xususiy hosilali (1) differensial tenglamaning (4) boshlan- g'ich va (5) chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi u(x, t) yechimi topilsin. Bu masala tor tebranish tenglamasi uchun birinchi aralash masala deyiladi. Agar torning uchlari mahkamlanmagan bo'lsa, ya'ni bu uchlar biror qoida asosida harakatlansa, u holda (5) chegaraviy shartlar quyidagi shartlarga almashadi. Boshqa turdagi chegaraviy shartlarni ham olish mumkin. Chegaraviy shartlar uch xil turga bo linadi:ʻ 1) BIRINCHI TUR CHEGARAVIY SHARTLAR: bu shart torning uchlari Ox o'qiga vertikal holda u(t) va μ 2(t) funksiyalar bilan berilgan qoida asosida harakatlanishini bildiradi. 2) IKKINCHI TURDAGI CHEGARAVIY SHARTLAR: chegaraviy shartlar quyidagicha ifodalanadi: Bu (7) shartlar torning uchlariga vi(t) va v2(t) ma'lum kuchlar qo'- yilganini anglatadi. 3) UCHINCHI TURDAGI CHEGARAVIY SHARTLAR: (8) chegaraviy shartlar torning uchlari elastik mahkamlanganligini ifodalaydi. Agar (6)-(8) chegaraviy shartlarda μ i(t), vi(t) va oi(t), (i = 1,2) berilgan funksiyalar nolga teng bo'lsa, u holda bunday chegaraviy shartlar bir jinsli chegaraviy shartlar deyiladi. Endi ikkinchi va uchinchi tur chegaraviy shartlarni sharxlashga harakat qilaylik. Buning uchun bir uchi shiftga mahkamlangan, ikkinchi uchi erkin harakatlanuvchi sterjenning bo'ylama tebranishi haqidagi masalani qaraylik (2- shakl). Sterjenning erkin uchining harakat qonuni berilmagan bo'lsin. Agar sterjenning mahkamlangan uchi x = 0 da uning og'ishi u(0, t) 0, erkin uchi x = 1 da esa uning tarangligi nolga teng, ya'ni Sterjenga tashqi kuchlarning ta'siri yo'qligi sababli, uning erkin harakat qiluvchi uchida chegaraviy shart quyidagi ko'rinishda bo'ladi. 3. 3. To lqin tenglamasi uchun Koshi masalasi yechimining yagonaligi. Ushbuʻ to lqin tenglamasini tekshiramiz. (12) tenglamaning xarakteristikalari ʻ tenglamasi dan iboratdir. Tekshirib ko rish qiyin emaski, uchi (x,4%) nuqtada bo lgan ʻ ʻ xarakteristik konus deb ataluvchi sirt (12) tenglamaning xarakteristikasidir. Endi xarak- teristik sirtga o tkazilgan ʻ tashqi i normalning yo nalishini topamiz. ʻ Soddalik uchun a = 1 deb hisoblaymiz. Bu normal 1 o q bilan o tkir burchak ʻ ʻ hosil qilib, bu burchakning kosinusi musbat bo ladi. (13) tenglikning chap ʻ tomonini (x, 1) or- kali belgilab olsak, differensial geometriyadan ma - lum ʼ bo lgan formulaga asosan ʻ Bu tenglikdan quyidagi muhim munosabat kelib chiqadi yoki Demak, n tashqi normal xarakteristik konusning Ot o qi bilan 45° burchak ʻ tashkil qilar ekan. Bundan darhol, Xarakteristik konus yasovchilarining ham Ot o q bilan 45° burchak tashkil qilishi kelib chiqadi. ʻ t=const tekisliklar (12) tenglama uchun xarakteristik sirt bo lmagani sababli, t = ʻ const da Koshi shartlarini berish mumkin. Koshi masalasi. Shunda u(x, t) funksiya topil- sinki, u sinfga tegishli bo lib, t > 0 yarim fazoda (12) tenglamani va 1 = +0 da ʻ boshlang ich shartlarni qanoatlantirsin. ʻ Bu masala yechimining yagonaligini ko rsatamiz. ʻ Faraz qilaylik, E fazodagi biror yopiq sharda (12) tenglama uchun qo yilgan ikkita Koshi masala- sining boshlang ich funksiyalari ustma- ʻ ʻ ust tushsin. Agar ikkala masala ham birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz bo lgan yechimga ega bo lsa, u holda bu yechimlar g >0 yarim fazoda uchi (x, t) ʻ ʻ nuktadagi xarakteristik konusning ichida va chegarasida ustma-ust tushadi. Bu ikki yechimni u1,(x, t) va u2,(x, t) orqali belgilasak, bu funksiyalar (12) tenglamani va (15) boshlang ich shartlarni qanoatlantiradi. U holda bularning ʻ ayirmasi, ya ni ʼ funksiya tenglamani (a = 1 deb hisoblaymiz) 1.Tor tebranish tenglamasi. ρ∂2u ∂t2 =div(pgradu)-qu+F(x,t) (1) Ko’rinishida tebranish tenglamalari mavjud. Bundagi u(x,t) noma’lum funksiya n fazoviy koordinatalarga hamda t vaqtga bog’liqdir. ρ ,p, q- koeffisentlar tebranish sodir bo’layotgan muhitning xossalari bilan aniqlanadi, ozod had F(x,t) esa tashqi tasirning intensivligini ifodalaydi. (37) tenglamada ishtirok etayotgan div va grad operatorlar ta’rifga asosan div(pgradu)= ∑ i = 1n ∂ ∂ x i ¿ ). (1) tenglamaning keltirib chiqarilishini tor tebranishning misolida ko’rsatamiz. Tor deganda erkin egiladigan ingichka ip tushuniladi, boshqacha aytganda, tor shunday qattiq jismki, uning uzunligi boshqa o’lchovlardan anchagina ortiq bo’ladi. Koshi masalasi yechimining mavjudligi. Ushbu U(x,t)= 1 2 a √ ( π t ) n ∫ E n❑ φ ( ω ) e − r 2 4 a 2 td ω (2) formula bilan aniqlangan funksiya (3) tenglama uchun Koshi masalasining yechimidan iboratdir. ∂u ∂t−a2∆u=0 (3) Avvalo, Puasson formulasi bilan aniqlangan u(x,t) funksiyaning t>0 bo’lganda uzluksiz bo’lishini isbotlaymiz. Shu maqsadda x 1,…. x n ,t o’zgaruvchilar fazosida |x 2 |≤l 2 , 0 ≤ t ≤ T (4) Tengsizliklar bilan aniqlangan sohani qaraymiz., bunda l,T – musbat o’zgarmaslar. (2) formulada ishtirok etayotgan integralning x va t bo’yicha (4) sohada tekis yaqinlashuvchanligini ko’rsatamiz. φ(ω)funksiya chegaralangan ,ya'∋|φω |≤M =const . So’ngra , r= |x−ω|≥|ω|−|x|≥|ω|−l, R>2l deb hisoblaymiz. Koshi masalasining qo’yilishi. Eng sodda giperbolik tipdagi tenglama ushbu U tt =a 2 u xx , a= const (5) Ko’rinishda bo’lib, u tor tebranish tenglamasi yoki to’lqin tarqalish tenglamasi deyiladi. To’lqin tarqalish nazariyasida Koshi masalasi muhim o’rin egallaydi. (x,t) tekislikdagi biror D={(x,t):- ∞ < x < + ∞ , t > 0 } sohada (5) tor tebranish tenglamasini qaraylik. TA’RIF. Agar u(x,t)funksiya D sohada aniqlangan uzluksiz va ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi bo’lib, shu sohada (5) tenglamani qanoatlantirsa, bu funksiya tor tebranish tenhlamasining D sohadagi regulyar yechimi deyiladi. KOSHI MASALASI. Tor tebranish tenglamasining yopiq D sohada aniqlangan , uzluksiz va U(x,0)= φ0 (x) U t (x,0) = φ 1 ( x ) − ∞ < x < + ∞ (6) boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi regulyar yechimini topamiz. Bu yerda φ0(x),φ1(x)−¿ berilgan yetarlicha silliq funksiyadir. Tor tenglamasi uchun Koshi masalasi cheksiz uzunlikdagi tor tebranishning matematik modeli bo’lib, uning chetki nuqtalari torning boshqa qismlarining tebranishiga ta’sir qilmaydi. Shuning uchun ham (5)-(6) Koshi masalasida chegaraviy shartlar qatnashmaydi. TOR TEBRANISH TENGLAMASINING UMUMIY YECHIMI. Tor tebranish tenglamasini kanonik ko’rinishga keltiramiz. Buning uchun (5) tenglamaning harakterestik tenglamasini tuzamiz: a(x,t)(dt) 2 -2b(x,t)dtdx+c(x,t)(dx) 2 =0 bu yerda a(x,t)=a 2 , b(x,t)=0 c(x,t)=-1 va δ =a 2 >0. Demak, (5) tor tebranish tenglamasi R 2 (x,t) tekislikda giperbolik tipdagi tenglama ekan. U holda dt dx =b±√δ a = ± 1 a yoki dx=±adt bo’lib,u ikkita haqiqiy va har xil x+at=c 1 =const, x-at=c 2 =const yechimlarga ega. Bu formulalar bilan aniqlangan to’g’ri chiziqlar tor tebranish tenglamasining harakteristikalari oilasini ifodalaydi. Quyidagi η =x-at ξ=x+at (7) Tengliklarga asosan yangi ξ, ?????? o’zgaruvchilar kiritamiz va u tt hamda u xx xususiy hosilalarni U xx =u ξξ -2u ξ ?????? +u ???????????? topamiz. Bu hosilani (5) tenglamaga qo’yib , soddalashtiramiz. Natijada ushbu u ξ ?????? =0 (8) kanonik ko’rinishga keladi. Oxirgi tenglamani ketma-ket integrallab, kanonik tenglamaning umumiy yechimini U( ξ , ?????? )=f( ξ )+g( ?????? ) (9) ko’rinishda topamiz. Bunda f( ξ ), g( ?????? )- ixtiyoriy funksiyalar. Agar g( ?????? ) ∈ c 1 (R) bo’lsa, u holda (9) funksiya (8) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. Endi, (9) formulada ξ va ?????? o’zgaruvchilardan eski x, t o’zgaruvchilarga qaytib ,(5) tenglamaning umumiy yechimini olamiz: u(x,t)=f(x+at)+g(x-at) (10) bu yerda f(x+at) va g(x-at)- ixtiyoriy ikki marta uzluksiz hosilalarga ega funksiyadir. Xuddi yuqoridagi kabi (10) formulada f(x+at) va g(x-at) ∈ C 2 (R) bo’lsa, u holda (10)funksiya (5)tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi. Endi (10) umumiy yechimning fizikaviy xossasiga to’xtalib o’taylik. Avvalo, f(ξ)=0 bo’lsin. U holda torning siljishi U 1 (x,t)=g(x-at) (11) formula bilan aniqlanadi. Faraz qilaylik, torning tebranishini kuzatuvchi t=0 vaqtda torning x=c nuqtasidan chiqib, Ox o’qining musbat yo’nalishi bo’ylab a tezlik bilan harakatlansin, ya’ni uning absissasi t vaqtda x-at=c formula bilan aniqlanadi. Bunda kuzatuvchi uchun u 1 (x,t)=g(x-at) formula bilan aniqlangan torning siljishini g(c)ga teng va doim o’zgarmas bo’lib q`oladi. (11) funksiya bilan aniqlangan jarayon to’g’ri to’lqinning tarqalishi deyiladi. Xuddi shunday u 2 (x,t)=f(x+at) yechim teskari to’lqinning tarqalishini ifodalaydi, ya’ni to’lqin Ox o’qining manfiy yo’nalishi bo’ylab a tezlik bilan tarqaladi. U holda (11) formula ikki to’g’ri va teskari to’lqinlarning yig’indisidan iborat. Bu t=0 vaqtda torning holatini grafik usulda qurish imkoniyatini beradi. Endi t=0 vaqtda to’g’ri va teskari to’lqinlarni ifodalovchi u 1 (x,0)=g(x) va u 2 (x,0)=f(x) funksiyalarning grafigini yasaylik. Keyin ularni shaklini o’zgartirmasdan a tezlik bilan har ikki tomonga siljitamiz, ya’ni u 1 =g(x) funksiyani o’ng tomonga va u 2 =f(x) ni esa chap tomonga a tezlik bilan siljitamiz. Torning t vaqtda grafigi yuqoridagi surilgan grafiklar ordinatalarining algebraik yig’indisidan iborat bo’ladi. KOSHI MASALASI YECHIMINI QURISH. Umumiy yechimdagi f(x+at) va g(x-at) funksiyalarni topish uchun (6) boshlang’ich shartlardan foydalanamiz. u(x,0)=f(x)+g(x)=φ 0 (x) u t (x,0)=af 1 (x)-ag 1 (x)= φ 1 (x) Agar φ 0 (x) ∈ C 2 (R 1 ), φ 1 (x) ∈ C 1 (R 1 ) bo’lsa, u holda u(x,t) funksiya (5) tor tebranish tenglamasini va (6) boshlang’ich shartlarni qanoatlantirishini bevosita tekshirib ishonch hosil qilish mumkin. Haqiqatdan ham t=0 desak, u holda U(x,t)= φ 0 (x), x ∈ R bo’ladi. U(x,t)= φ ( x ) , x ∈ R ekanligi ko’rsatamiz. Bu tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasining yechimi mavjud ekanligini ko’rsatadi. TA’RIF. Tor tebranish tenglamasi uchun (5)-(6) Koshi masalasining umumlashgan yechimi deb, (5) tenglamaning U n (x,0)= φ n0 (x), u nt (x,0)= φ 1 (x), -∞<x<+∞, boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi u n (x,t) regulyar yechimlarning tekis yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limiti bo’lgan u(x,t) funksiyaga aytiladi. Faraz qilaylik, M =(x 0 ,t 0 ) nuqta t>0 yarim tekislikda tekislangan nuqta bo’lsin. Bu nuqtdan (5) tenglamaning x-at=x 0 -at 0 va x+at=x 0 +at 0 harakteristikalarni o’tkazamiz. Bu harakteristikalar Ox o’qi bilan P=(x 1 ,0)=(x 0 -at 0 ) va Q=(x 2 ,0)=(x 0 +at 0 ,0) nuqtalarda kesishadi. Tor tebranish tenglamasining (11) umumiy yechimining M nuqtadagi qiymati u(x,t)=g(x 1 )+f(x 2 )ga teng, ya’ni f(x) va g(x) funksiyalarning qiymati mos ravishda MPQ uchburchak asosining (x 1 ,0) va (x 2 ,0) uchlaridagi qiymatlari orqali ifodalanadi. Bu MP,MQ harakteristikalar va Ox o’qida PQ kesmadan tashkil topgan MPQ uchburchak M nuqtaning harakteristik uchburchagi deyiladi. Koshi masalasining yechimini ifodalovchi torning x 0 nuqtasini t 0 vaqtdagi u(x 0 ,t 0 ) siljishi PQ kesmada berilgan boshlang’ich holat va boshlang’ich tezlikning P va Q nuqtalaridagi qiymatlariga bog’liq ekanligi ko’rinadi. u(M)= φ 0( P ) + φ 0 ( Q ) 2 + 1 2 a ∫ PQ φ 1 ( s ) ds shaklda yozish mumkin. PQ kesmadan tashqarida berilgan boshlang’ich shartlar u(x,t) yechimning M nuqtadagi qiymatiga hech qanday ta’sir ko’rsatmaydi. Demak, tor tebranish tenglamasi uchun boshlang’ich shartlar butun o’qda emas, balki PQ kesmada berilgan bo’lsa, u holda Koshi masalasining yechimini MPQ harakteristik uchburchakning ichida aniqlanadi. Endi Koshi masalasining bir jinsli bo’lmagan, U tt =a 2 u xx +f(x,t) (12) tenglama uchun qaraylik, ya’ni (12) tenglamaning boshlang’ich shartlarini qanoatlantiruvchi yechimini topaylik. Faraz qilaylik , t> τ da v f (x,t , τ¿ quyidagi yordamchi (v f ) tt =a 2 (v f ) xx, - ∞ < x < + ∞ (13) 1.MISOL U tt =a 2 U xx, U |t=0 =0, U t|t=0 =cosx (dx) 2 -a 2 U xx =0 (dx+adt)(dx-adt)=0 { dx +adt = 0 dx − adt =0{ x+at =c1 x−at =c2 { ξ ( x , t ) = x + at η ( x , t ) = x − at ξ x =1 ξ t =a ?????? x =1 ?????? t =-a U ( x , t ) − u ( ξ ( x , t ) , η ( x , t )) U x = u ξ 1 + u η u xx = u ξξ + 2 u ξη + a 2 u ηη ¿ ¿ ut= uξa− uηa utt= a2uξξ−2a2uξη+a2uηη a 2 u ξξ -2a 2 u ξ ?????? +a 2 u ξξ -2a 2 u ξ ?????? -a 2 u ???????????? =0 -4a 2 u ξ ?????? =0 u ξ ?????? =0 U( ξ , ?????? )= φ ( ξ ) + ω ( η ) U(x,t)= φ ( x + at ) + ω ( x − at ) ut(x,t)= aφ'(x+at )−aω'(x−at ) ut∨t=0=ut (x,0)=a φ ' ( x ) − a ω ' ( x ) = cosx φ ' ( x ) − ω ' ( x ) = 1 a cosx ∫ x 0x ( φ ' ( s) − ω ' ( s)) ds = ∫ x 0x 1 a cossds φ ( x ) − φ ( x 0 ) − ω ( x ) + ω ( x 0 ) = 1 a sins / ❑ x 0 ❑x φ ( x ) − ω ( x ) = 1 a sinx − 1 a sin x 0 + φ ( x 0 ) − ω ( x 0 ) { φ(x)−ω(x)= 1 a φ(x)+ω(x)= 0 sinx +c1 2 φ ( x ) = 1 a sinx+c 1 { φ(x)= 1 2asinx +c1 2 ω(x)= −1 2asinx − c1 2 φ ( x + at ) = 1 2 a sin ( x + at ) + c 1 2 ω ( x − at ) = − 1 2 a sin ( x − at ) − c 1 2 u(x,t)= 1 2asin (x+at )− 1 2asin (x− at ) u ( x , t ) = 1 2 a ( sin ( x + at ) − sin ( x − at )) u ( x , t ) = 1 a sinatcosx 2.MISOL u tt = u xx + Asinbt , u ¿ t = 0 = cosx u t ∨ t = 0 = sinxu(x,t)= 1 2[cos (x+t)+cos (x−t)]+1 2∫x−t x+t sinsds +1 2∫0 t ∫x−(t−τ) x+(t−τ) Asinbτdξdτ =cosxcost − 1 2cos ¿x−tx+t+ A 2∫0 t sinbτ ¿¿ dτ =cosxcost − 1 2(cos (x+t)−cos (x−t))+A 2∫0 t sinbτ ∙ξ¿x−(t−τ) x+(t−τ)dτ = cosxcost +sinxsint +A∫0 t sinbτ (t− τ)dτ = cos (x− t)+A¿¿ 3. MISOL. Ushbu yu xx -(x+y)u xx +xu xx =0, x>0 tenglamaning u(x,y)=x 2 , u y (x,0)=3x shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,y) regulyar yechimni toping. Yechish. Berilgan tenglamani kanonik ko’rinishga keltirib , integrallaymiz. Natijada kanonik tenglamaning umumiy yechimi hosil bo’ladi. Hosil bo’lgan yechimda x va y o’zgaruvchilarga qaytib , berilgan tenglamaning umumiy yechimini U(x,y)=f 1 (x+y)+f 2 (x 2 +y 2) (14) ko’rinishda yozamiz. Bu yerda f 1 (x,y) va f 2 (x 2 +y 2 )- ixtiyoriy ikki marta uzluksiz differensiallanuvchi funksiyadir. Bu formuladan va boshlang’ich shartlardan foydalanib, f 1 va f 2 funksiyalarni topamiz. f1(x)= 3 2x2+ f1(0) f 2 ( x 2 ) = − 1 2 x 2 − f 1 ( 0) . Topilgan funksiyalarni (14) formulaga qo’yamiz., natijada berilgan masalaning quyidagi U(x,y)= 3 2(x+y)2− 1 2(x2+y2)= x2+3xy +y2. Yechimga ega bo’lamiz. 3. XULOSA:Tor tebranish tenglamasi giperbolik turdagi tenglama bo’lib, uning Koshi masalasi dalamber formulasidan foydalanib yechiladi. Yechim shuni ko’rsatadiki, tor bo’ylab tarqaluvchi tebranishlar chap va o’ng yo’nalisha harakat qiluvchi to’lqinlar shaklida sodir bo’ladi. Koshi maslasi uchun berilgan boshlang’ich shartlar torning boshlang’ich konfiguratsiya va tezligini aniqlaydi hamda kelajakdagi harakatini to’liq belgilaydi. Bu masala fizikada, mexanikada va to’lqin dinamikasida muhim ahamiyatga ega. FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR : 1 . Арсенин В.Я. Методы математической физики специальные функции. - М.: Наука, 1974. 2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. I - И. - М.: Наука, 1973. 3. Бицадзе A . B ., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики. - М.: Наука, 1985. 4. Бицадзе А. В. Уравнения математической физики. - М. Наука, 1982. 5. Будак Б.М., Самарский A . A ., Тихонов А. Н. Сборник задач по математической физике. - М.: Наука, 1978. 6. Владимиров B . C . Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1981. 7. Владимиров B . C ., Михайлов В.П. и др. Сборник задач по уравнениям математической физики. - М.: Наука, 1974. 8. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. - М.: Физматгиз, 1962. 9. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1973. 10. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. - М.: Высшая школа, 1977.

MUNDARIJA

I. Kirish

1.1 Tor tebranish tenglamasining fizik ahamiyati

II. Asosiy qism

2.1 Bir jinsli tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi

2.2 Bir jinsli bo’lmagan tor tebranish tenglamasi uchun Koshi masalasi

2.3 Misollar yechish

III. Xulosa

IV. Foydalanilgan adabiyotlar

Купить