Информация о документе

Цена 19900UZS
Размер 226.2KB
Покупки 0
Дата загрузки 12 Декабрь 2024
Расширение docx
Раздел Курсовые работы
Предмет Информатика и ИТ

Продавец

Bahrom

Дата регистрации 05 Декабрь 2024

227 Продаж

Tub modul bo'yicha Lejandr va Yakobi simvollari

Купить
O‘ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY TA’LIM, FAN VA INNOVATSIYALAR VAZIRLIGI __UNIVERSITETI Ro’yxatga olindi №__________ Ro’yxatga olindi №__________ “_____” ____________20 y. “_____” ____________20 y. “___________________________ “ KAFEDRASI “_____________________________ “ FANIDAN KURS ISHI Mavzu:________________ Bajardi:_________________________________ Tekshirdi:_______________________________ ______________ - 20___ Mavzu: Tub modul bo'yicha Lejandr va Yakobi simvollari 1 Reja: Kirish. I.BOB. Tub modul bo'yicha Lejandr va Yakobi simvollari 1.1- § Lejandr simvoli va Yakobi simvoli. 1.2- § Ko`rsatki с h.Boshlangi с h ildiz. II.BOB. Indekslar 2.1-§ Ind е kslar va ularning xossalari . 2.2-§ Ikkihadli taqqoslamalar Indekslar jadvali va uning tatbidlari. 2.3-§ Taqqoslamalar nazariyasining ayrim arifmеtik tadbiqlari. Xulosa Foydalanilgan adabiyotlar KIRISH 2 Mamlakatimizda matematika 2020-yildagi ilm-fanni rivojlantirishning ustuvor yo‘nalishlaridan birisifatida belgilandi. O‘tgan davr ichida matematika ilm-fani va ta’limini yangi sifat bosqichiga olibchiqishga qaratilgan qator tizimli ishlar amalga oshirildi: Birinchidan, ilg‘or ilmiy markazlarda faoliyat yuritayotgan vatandosh matematik olimlarning taklifqilinishi va xalqaro ilmiy- tadqiqotlar olib borilishi uchun zarur shart-sharoit yaratildi; Ikkinchidan, xalqaro fan olimpiadalarida g‘olib bo‘lgan yoshlarimiz va ularning murabbiy ustozlarimehnatini rag‘batlantirish tizimi joriy etildi; Uchinchidan, oliy ta’lim va ilmiy-tadqiqotlarning o‘zaro integratsiyalashuvini ta’minlash maqsadidaTalabalar shaharchasida Fanlar akademiyasining V.I. Romanovskiy nomidagi Matematikainstitutining (keyingi o‘rinlarda — Institut) yangi va zamonaviy binosi barpo etildi. Matematikasohasidagi fundamental tadqiqotlarni moliyalashtirish hajmi bir yarim barobarga oshirildi, budjet mablag‘lari hisobidan superkompyuter, zamonaviy texnika va asbob uskunalar xarid qilindi; To‘rtinchidan ilmiy darajali kadrlarni tayyorlashning birlamchi bosqichi sifatida stajor-tadqiqotlikinstituti joriy etildi; Beshinchidan, ilm-fan sohasidagi ustuvor muammolarni tezkor bartaraf etish, fan, ta’lim va ishlabchiqarish integratsiyasini kuchaytirish masalasini Hukumat darajasida belgilash maqsadidaO‘zbekiston Respublikasining Bosh vaziri raisiligida Fan va texnologiyalar bo‘yicha respublikakengashi tashkil etildi. Kurs ishining dolzarbligi . O‘quvchilar intellektual tafakkurini shakllantirish asosida o‘quvchilar qobiliyat va qiziqishlarini rivojlantirish ularning Galiley va uning teoremasi haqidagi bilimlarini yanada chuqurlashtirish. Respublikamiz prezidenti Shavkat Mirziyoyev “O‘zbekistonni yanada rivojlantirish bo‘yicha Harkatlar strategiyasi to‘g‘risida” gi farmoni va oliy talim tizimini yanada rivojlantirish bo‘yicha qabul qilingan PQ 29-09 qaror mazmunida barkamol shaxs va malakali mutaxasisni tarbiyalab voyaga yetkazish jarayoning mohiyatini to‘laqonli ochib berilgan . Malakali kadrlar tayyorlash jarayoning har bir bosqichi o‘zida ta’lim jarayonini samarali tashkil etish , uni yuqori bosqichlarga ko‘tarish, 3 shu bilan birga jahon talimi darajasiga yetkazish borasida muayyan vazifalarni amalga oshirish lozim. Mazkur vazifalarning muvaffaqiyatli hal etilishida ta’lim jarayonining samaradorligini oshirish muhim ahmiyat kasb etadi. Kurs ishining maqsadi : Tub modul bo'yicha Lejandr va Yakobi simvollari mavzusini o‘rgatish. Kurs ishining obyekti : oliy va o‘rta talim muassasalarida Algebra va sonlar nazariyasi fanini o‘qitish jarayoni. Kurs ishining predmeti :Algebra va sonlar nazariyasi fanining o‘qitish metodlari va vositalari. Kurs ishining vazifalari : 1.Mavzuga doir ma’lumotlarini yig‘ish va rejani shakllantirish 2.Yuqori darajali tub modelli taqqoslamalar 3.Lejandr va Yakobiy simvoli 4 I.bob. Tub modul bo'yicha Lejandr va Yakobi simvollari 1.1-§.Lejandr simvoli va Yakobi simvoli. Tub modulli yuqori darajali taqqoslamalar. Koeffitsientlari butun sonlardan iborat f(x)= a0 xn+ +a1  xn-1 ...an-1x+an ko`phad berilgan bo`lsin. Ta’rif. Ushbu f(x)  0(modm) (1) (a0 son m ga bo`linmaydi, ai  Z, m  1) ko`rinishdagi taqqoslamani bir noma’lumli n- darajali taqqoslama deyiladi. Ta’rif. Agar x= c bo`lganda f(c)  0(modm) (2) taqqoslama to`g`ri bo`lsa, u holda c son (1) taqqoslamani qanoatlantiradi deyiladi. Teorema. Agar c son (1) taqqoslamani qanoatlantirsa, u holda с chegirmalar sinfiga tegishli ixtiyoriy son ham (1) taqqoslamani qanoatlantiradi. Ta’rif. Agar c son (1) taqqoslamani qanoatlantirsa, u holda с chegirmalar sinfi (1) taqqoslamaning echimi deyiladi. m modul bo`yicha barcha chegirmalar sinfi 1- m ,...,2,1,0 bo`ladi. Demak, m modulli taqqoslamani qanoatlantiruvchi sonlarni 0,1,2,..., m-1 sonlar ichidan qidirish lozim. Ta’rif. Echimlari to`plami ustma-ust tushgan taqqoslamalarni teng kuchli taqqoslamalar deyiladi. Agar (1) taqqoslamaning ikki qismiga ixtiyoriy ko`phad qo`shilsa yoki har ikki qismini m Modul bilan o`zaro tub bo`lgan k songa ko`paytirilsa, yoki ikki qismi va modulini k natural songa ko`paytirilsa, u holda hosil bo`lgan taqqoslama berilgan taqqoslamaga teng kuchli bo`ladi. Ta’rif. Ushbu ax  b(modm) (a,b  Z,  m  N) (3) ko`rinishdagi taqqoslamaga bir noma’lumli birinchi darajali taqqoslama deyiladi. Teorema. Agar (a;m)=1 bo`lsa, u holda (3) taqqoslama yagona echimga ega bo`ladi. 5 Teorema. Agar (a; m)=d bo`lib, b son d ga bo`linmasa, u holda (3) taqqoslama echimga ega emas. Teorema. Agar (3) taqqoslamada (a; m)=d bo`lib, b son d ga bo`linsa, u holda (3) taqqoslama soni d ga teng bo`lgan ushbud m)1 d( ...,, d m ,       (5) echimlarga ega bo`lib, bundagi  echim ) d m (moda b x d a  taqqoslamaning yagona echimi bo`ladi. Endi tub modulli yuqori darajali taqqoslamalarni qaraylik. 9,10- ma’ruzalardagi taqqoslamalarning, 10-xossasiga asosan, har qanday murakkab modulli taqqoslamalarni har doim tub modulli taqqoslamalarga keltirish mumkin. Tub modulli taqqoslamalar ustida ish ko`raylik. Ta’rif. Agar f(x) = a0xp+a1xn-1 +...+an-1 x+an ,ai  Z, r-tub son, a0con r ga bo`linmasa, u holda ushbu f(x)  0(mod p) (6) taqqoslamaga tub modulli p-darajali bir nomatьlumli taqqoslama deyiladi. Teorema. Agar (6) taqqoslamada a0 bosh koeffitsient r ga bo`linmasa, u holda (6) taqqoslama bosh koeffitsienta 1 ga tent bo`lgan boshqa bir taqqoslamaga teng kuchli bo`ladi. Teorema. Agar f(x) va g(x) koeffitsientlari butun sonlardan iborat ko`pxadlar bo`lsa, u holda f(x)  0(mod p), (7) f(x)-(xp-x)g(x)  0(modp) (8) taqqoslamalar teng kuchli bo`ladi. Teorema. Darajasi n (n>r) bo`lgan r tub modulli taqqoslama darajasi r-1 dan katta bo`lmagan taqqoslamaga teng kuchli bo`ladi. Teorema. Tub modulli n-darajali taqqoslama echimlari soni n tadan ortiq emas. 6 1.2-§. Ko`rsatki с h.Boshlangi с h ildiz. Eyler teoremasiga ko`ra (a; m)=1 bo`lganda a  (m)  1(modm) taqqoslama o`rinli edi. Bu taqqoslamaning^ikki qismini k natural darajaga ko`tarib ak  (m)  l(modm) taqqoslamani hosil qilamiz. k  (m)=  bo`lsin. U holda a   1(modm) taqqoslama o`rinli. Bu taqqoslamani qanoatlantiruvchi eng kichik  natural son mavjud. Uni  orqali belgilaylik, ya’ni  = min  bo`lsin. Ta’rif. Agar (a; m)=1 bo`lganda a  =1(modm) taqqoslama o`rinli bo`lsa, u holda  son a sonning m modulga ko`ra ko`rsatkichi yoki m Modul bo`yicha a soniga tegishli ko`rsatkich deyiladi. Bu ta’rifga ko`ra har doim    (m) bo`ladi. Sonning modulga ko`ra ko`rsatkichi quyidagi xossalarga ega: 1. Biror m Modul bo`yicha tuzilgan bitta sinfning chegirmalari shu Modul bo`yicha bir xil ko`rsatkichga tegishli bo`ladi. 2. Agar (a; m)=1 bo`lganda a  1(modm) bo`lsa, u holda a0,a1,...,a  -1 sonlar sistemasi m Modul bo`yicha o`zaro taqqoslanmaydi. Natija. Agar  =  (m) bo`lsa, u holda a 0 ,a 1 ,...,a  -1 sistema m modul bo`yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil qiladi. 3. a son m Modul bo`yicha  ko`rsatkichga tegishli bo`lsa, u holda 1 а а    (modm) taqqoslama o`rinli bo`lishi uchun  1(mod  ) taqqoslamaning o`rinli bo`lishi zarur va etarli. Natija.  =0(mod  ) bo`lganda va faqat shu holdagina a  =1(modm) taqqoslama o`rinli bo`ladi. Natija. a sonning m Modul bo`yicha  ko`rsatkichi  (m)ning bo`luvchisi bo`ladi. Natija. Agar a son m Modul bo`yicha  ko`rsatkichga tegishli bo`lsa, u holda ak soni shu Modul bo`yicha )к; (  ko`rsatkichga tegishli bo`ladi. Natija. Agar (  ;k)=1 bo`lsa, u holda a son  ko`rsatkichga tegishli bo`ladi. 7 Ta’rif. Agar (a,m)=1 bo`lib,  =  (m) bo`lsa, u holda a son m Modul bo`yicha boshlang`ich ildiz deyiladi.  (m) ning o`zidan boshqa hamma bo`luvchilarini topganimizda, bu bo`luvchilardagi ixtiyoriy a son bo`lganda a  son uchun a  1(modm) bo`lsa, u holda a son m Modul bo`yicha boshlang`ich ildiz bo`ladi. 4,5,6,7,8,9,10 sonlarning ham 11 Modul bo`yicha boshlang`ich ildiz yoki boshlang`ich ildiz emas ekanligini shu yo`l bilan tekshirib ko`riladi. Ba’zi modulga ko`ra boshlang`ich ildiz bo`lmasligi mumkin. Masalan, m=5 bo`lsa,  (15)=8 bo`lib, ko`rsatkichi 8 ga teng bo`lgan son mavjud emas. Boshlang`ich ildizlar faqatgina m=2, 4, r  , 2p  (r-toq tub son,  1 natural son) sonlar uchun mavjud bo`ladi. Boshlang`ich ildizlar bevosita hisoblash usulida topiladi. Lemma. r-tub son bo`lib,  son r-1 sonning bo`luvchisi bo`lsin, u holda r Modul bo`yicha chegirmalarning keltirilgan sinflar sistemasida  ko`rsatkichga tegishli sinflar soni  (  ) ta bo`ladi. Teorema. r tub Modul bo`yicha tuzilgan r-1 sonning har bir  bo`luvchisi  (  ) ta sinfning ko`rsatkichi bo`ladi. Xususiy holda  (r-1) ta boshlang`ich ildizlar sinfi mavjud. 8 II.BOB. INDEKSLAR 2.1- §. Ind е kslar va ularning xossalari. Har qanday r tub Modul bo`yicha boshlang`ich ildiz mavjudligi bilan tanishgan edik. Ma’lumki, g son r tub Modul bo`yicha boshlang`ach ildiz bo`lsa, u holda g 0 ,g 1 ,g 2 ,...,g p-2 (1) sonlar qatori shu r Modul bo`yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil qiladi. (1) ketma-ketlikning hadlari r bilan o`zaro tub bo`lib, ular r Modul bo`yicha  (r)= r-1 ta sinfning vakillaridan iboratdir. ^ Demak, (a; r)=1 bo`lsa, u holda (1) ketma-ketlikda r^ Modul bo`yicha a son bilan taqqoslanadigan yagona element topiladi, ya’ni g  =a(mod r) (2) taqqoslama o`rinli bo`ladi. Ta’rif. Agar g son r tub modul bo`yicha boshlang`ich ildiz bo`lib, (a; r)=1 bo`lganda g  =a(mod r) taqqoslama to`g`ri bo`lsa, u holda  0 butun son a sonning r modul bo`yicha g asosga nisbatan indeksi deyiladi va u  =indg a kabi belgilanadi. Agar asos oldindan berilgan bo`lsa, a ning indeksi ind a orqali belgilanadi. Yuqoridagi tushunchalarga asosan, har bir (a; r)=1 shartni qanoatlantiruvchi a son, berilgan asos bo`yicha 0, 1, 2, ... r-2 (3) sonlarning bittasi bilan aniqlanuvchi indeksga ega ekan. Asosning o`zgarishi bilan indeks ham o`zgaradi. Har bir (a; r)=1 qanoatlantiruvchi a soni, g boshlang`ich ildiz bo`yicha cheksiz ko`p indeksga ega bo`ladi. Bu indekslarning barchasi 1 g g    9 (modr) taqqoslamani qanoatlantiradi. Bu taqqoslama o`rinli bo`lishi uchun  1(mod r-1) taqqoslamaning bajarilishi zarur va etarlidir. Indekslar quyidagi xossalarga ega: 1 0 . a b(mod r) <=> inda =indb. 2 0 . Agar (a;r)=1, (b;r)=1 bo`lsa, u holda ind(ab)=inda+ +indb(mod p-1) bo`ladi. Bu taqqoslamalarni hadma-had ko`raytirib 2 1r rg  =ab(modr) taqqoslamaga ega bo`lamiz. Bundan r1+r2=ind(ab) kelib chiqadi. r1+r2=r bo`lib, u holda ind(ab)=inda+indb (mod p-1) bo`ladi. Bu esa r=r1+ +r2 (mod p -1) demakdir. Shu yul bilan Ind(a1 a2....an)  inda1+inda2+...+indan(mod p-1) taqqoslama isbotlanadi. 3 0 . Agar (a;r)=1 va  n  N bo`lsa, u holda ind(an)  n  inda(mod p-1) taqqoslama o`rinli bo`ladi. 4 0 . ind      b a inda - indb(mod p-1) taqqoslama o`rinli. 5 0 . ind1=0 , indgg=l. Ta’rif. Agar a son m songa bo`linmasa, u holda ushbu ax2+bx+c=0(modm) (4) ko`rinishdagi taqqoslama ikkinchi darajali (kvadratik) taqqoslama deyiladi. Ta’rif. Agar a son r tub songa bo`linmasa, u holda ushbu axn=b(mod r) (  n  N) (5) ko`rinishdagi taqqoslamani n-darajali ikki hadli taqqoslama deyiladi. (5) ning har ikki qismini a ga bo`lib, so`ng indekslab n  indx=indb- inda(mod p-1) taqqoslamaga ega bo`lamiz. (n; p-1)=d bo`lsin. Bu taqqoslama echimga ega bo`lishi uchun d ning indb-inda ayirmaga bo`linishi zarur va etarli. Agar bu shart bajarilsa, u holda bu taqqoslama, shu jumladan (5) taqqoslama ham d ta echimga ega bo`ladi. Ta’rif. Ushbu x 2  a(mod m) (6) ko`rinishdagi taqqoslamani ikki hadli kvadratik taqqoslama deyiladi. 10 Teorema. (4) ko`rinishdagi taqqoslamani har doim (6) ko`rinishdagi m1 modulli taqqoslamaga keltirish mumkin. Ta’rif. Agar (a;m)=1 bo`lganda (6) taqqoslama echimga ega bo`lsa, u holda a son m Modul bo`yicha kvadratik chegirma, aks holda a son m Modul bo`yicha kvadratik chegirmamas deyiladi. Ta’rif. Agar (a;m)=1 bo`lganda (5) taqqoslama echimga ega bo`lsa, u holda a son m Modul bo`yicha n-darajali chegirma, aks holda a son n-darajali chegirmamas deyiladi. Ta’rif. Ushbu x 2 a(modp) ((a;r)=1,(2;r)=1) (7) ko`rinishdagi taqqoslamani toq tub modulli kvadratik taqqoslama deyiladi. Agar (7) da a: r bo`lsa, u holda (7) taqqoslama x  0(mod r) echimga ega bo`ladi. Agar (7) ning echimi 1х sinf bo`lsa, u holda uning echimi - 1х sinf ham bo`ladi. Eyler kriteriyasi. Agar (a; r)=1 bo`lib, 2 1р а   1(modp) bo`lsa, u holda (7) taqqoslama ikkita echimga ega bo`ladi, 2 1р а   -1(modp) bo`lsa, u holda (7) taqqoslama echimga ega bo`lmaydi. (7) taqqoslamada r Modul etarlicha katta son bo`lganda Eyler kriteriyasidan foydalanish unchalik qulay emas. Bunday holda Lejavdr simvolidan foydalanish yaxshi natija beradi. (Lejavdr simvoli va uning xossalari mustaqil ta’limda o`rganiladi). 2.2- § . Ikkihadli taqqoslamalar. Indekslar jadvali va uning tatbidlari. Biz p tub modul bo’yicha ildiz mavjudligini bilamiz. Malumki g son p modul bo’yicha boshlang’ich ildiz bo’lsa 2 2 1 0 ,.... , , pg g g g 1 Sonlar qatori shu p modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil qiladi. 1 qatorning hadlari p bilan o’zaro tub bo’lib,ular p modul bo’yicha   1  p p  ta sinfning vakillaridan iboratdir. 11 Demak,  1 ;  p a bo’lsa ,u holda 1 qatorda p modul bo’yicha a son bilan taqqoslanuvchi yagona element topiladiki,ya’ni  p g a mod     2 taqqoslama o’rinli bo’ladi. Ta’rif.Agar g son p tub modul bo’yicha boshlang’ich ildiz bo’lib,   1 ,  p a bo’lganda   2 taqqoslama o’rinli bo’lsa, 0  son a sonning p modul bo’yicha g asosga nisbatan indeksi deyiladi va u a ind g   kabi belgilanadi. Agar asos avvaldan berilgan bo'lsa, a ning indeksi inda orqali belgilanadi. Bu tarifdan foydalanib   2 ni quyidagicha yozish mumkin;  p g a i nda mod  .3 Yuqoridagilarga asosan,har bir   1 ;  p a shartni qanoatlantiruvchi a son berilgan g asos bo’yicha 2 ,.......,2,1,0 p   4 Sonlarning bittasi bilan aniqlanuvchi indeksga ega ekan.Asosning o’zgarishi bilan indeks ham o’zgaradi.Masalan 7 modul bo’yicha 1,2,3,4,5,6 sonlari va ular bilan, shu7 modul bo’yicha taqqoslanuvchi barcha sonlar 3 asosga ko’ra                 3 5 4 3 2 0 3,7 mod 3,7 mod4 3,7 mod 3 3,7 mod2 3,7 mod1 3  7 mod1 Bo’lgani uchun mos ravishda 0,2,1,4,5,3 kabi indekslarga ega . Endi asos 5a bo’lsin .U holda asos bo’yicha tuzilgan indekslar mos ravishda 0,4,5,2,1,3 sonlariga teng.  p gp mod1 1  5 Taqqoslama o’rinli bo’ladi.Bu taqqoslamaning ikkala qismini k katta noldan darajaga ko’tarib 12 1   p g pk mod 1   6 ga ega bo’lamiz.Endi   2 va   6 taqqoslamalarni hadlab ko’paytirib,   p g a pk mod 1      7 Taqqoslamaga ega bo’lamiz.   7 taqqoslama esa har bir   1 ;  p a shartni qanoatlantiruvchi a soni g boshlang’ich ildiz bo’yicha cheksiz ko’p indeksga ega ekanini ko’rsatadi. Bu indekslarning barchasi g  p g mod1 8 Taqqoslamani qanoatlantiradi. 8 ning o’rinli bo’lishi uchun  1 mod 1   p   9 Taqqoslamani bajarilishi zarur va yetarli.Demak,p modul bo’yicha tuzilgan va p bilan o’zaro tub bo’lgan har bir sinfga 9 taqqoslama bilan aniqlanuvchi indekslar to’plami mos keladi va aksincha. Bu tushunchalarga ko’ra     p b a mod  bo’lsa u holda inda=indb(modp-1) (10) Indekslar quyidagi xossalarga ega: 1. Ko’paytmaning indeksi 1p modul bo’yicha ko’paytuvchilar indekslariningyig’indisi bilan taqqoslanadi,yani       inda l b a ind ... ..........  1 mod ........    p indl indb (11) Isboti.Indeksning tarifiga asosan quyidagi taqqoslamani yozib olamiz: 13      . mod ....... .......... .......... , mod , mod p g l p g b p g a i ndl indb inda    Bularni hadlab ko’paytiramiz.U holda  p g l b a indl indb inda mod ......... .....      (12) Taqqoalama hosil bo’ladi. Bundan   2 va   12 ga asosan      13 1 mod ..... ........       p indl indb inda l b a ind (13) 2.Natural ko’rsatgichlidarajaning indeksi 1p modul bo’yicha asos indeksi va daraja ko’rsatgichining ko’paytmasi bilan taqqoslanadi,ya’ni  .1 mod   p ninda inda n Isboti. Faraz qilaylik l b a    ..... bo’lsin.U holda 1-xossaga asosan Yoki  1 mod   p ninda inda n Hosil bo’ladi. 3. p ixtiyopriy tub son bo’lganda p modul bo’yicha 1 ning indeksi nolga,asos g ning indeksi esa 1 gateng bo’ladi. Haqiqatan,  p g mod1 0 va  p g g mod 1 bo’lganidan  1 mod0 1   p ind va  1 mod1   p indg dir. Demak ,indekslar ham logarifmlar kabi xossalarga ega ekan. Indekslar jadvali. Logarifmik jadvallar mavjud bo’lganidek,ixtiyoriy p tub modul bo’yicha indekslar jadvalini tuzish mumkin.Indekslarni asos qilib p sonningbirorta boshlang’ich ildizi olinadi.Dastlabki indekslar jadvalini rus matematigi M.V. Ostrogratskiy tuzgan.U 1837 yilda 200 gacha bo’lgan tub 14 modullar uchun indekslar jadvalini tuzdi.Hozirgi kunda bunday jadvallar 10000 ga cha tub modullar uchun tuzilgan. Har bir jadval quyidagi 2 ta qismdan iborat bo’ladi: 1)Berilgan sonlar bo’yicha I indeksni topish 2)Berilgan I indeks bo’yicha n sonni toping. Biror p modul bo’yicha indekslar jadvalini tuzish uchun avvalo p modul bo’yicha g boshlang’ich ildizni topish lozim. So’ngra 2 1 0 ......, ,......... , pg g g Darajalar p modul bo’yicha eng kichik musbat chegirmalarga almashtiriladi. Masalan , 11p modul bo’yicha indekslar va ularga mos sonlar jadvalini tuzaylik. Bevosita hisoblash usuli bilan 2,6,7,8 lar 11 modul bo’yicha boshlang’ich ildiz ekanligiga ishonch hosil qilamiz. Haqiqatan,   10 11   bo’lgani uchun                    . 11 mod3 2, 11 mod7 2 , 11 mod9 2, 11 mod6 2 , 11 mod1 2, 11 mod 10 2 , 11 mod4 2, 11 mod5 2 , 11 mod8 2, 11 mod2 2 8 7 6 9 10 5 2 4 3           larga asosan 2 boshlang’ch ildizdir.          . 11 mod 10 6, 11 mod3 6, 11 mod1 6, 11 mod7 6, 11 mod6 6 5 2 10 3      Demak ,11 modul bo’yicha 6 ham boshlang’ich ildiz ekan. Endi asos 2 bo’lganda quyidagi jadvallarni tuzamiz: L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N 10 1 8 2 4 9 7 3 6 5 15 L 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N 2 4 8 5 10 9 7 3 6 1 Birinchi jadvalga asosan ,son berilsa ,indeks topiladi,ikkinchi jadvalga asosan esa indeksga qarab son topiladi. 43p modul bo’yicha 3,5,12,18,19,20,26,28,30,33,34 sonlar boshlang'ich ildizdir. 28g bo’lganda quyidagi jadvallarga ega bo’lamiz. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 42 39 17 36 5 4 7 33 34 1 2 6 11 40 4 22 30 16 31 29 2 41 24 3 20 8 10 37 9 1 25 3 19 32 27 23 13 12 28 35 26 5 4 38 18 21 Bu jadvallardagi satrlar va ustunlar mos ravishda sonning o’nlik va birlik xonasini ularning kesishgan joyida izlanayotgan indeks turadi. 2.3- § . Taqqoslamalar nazariyasining ayrim arifm е tik tadbiqlari. 1.Bo’linish alomatlari .Butun sonlar to’plamiga tegishli ixtiyoriy a va 0 m sonlari berilgan bo’lsin.Ko’p hollarda a sonni m songa bo’lishdan hosil bo’lgan eng kichik qoldiqni topish talab etiladi.Bu masalani hal etishning umumlashgan usulini dastlab fransuz matematigi B.Paskal ko’rsatgan edi. Biz hozir shu usulni o’nlik ,yuzlik va minglik sanoq sistemalari uchun bayon etamiz. Faraz qilaylik, a natural son o’nlik sanoq sistemada berilgan bo’lsin. Unda bu a sonni o’nning darajalari bo’yicha quyidagicha yozish mumkin. n na a a a a 10 ......... .......... 10 10 2 2 1 0         m modul bo’yicha k 10 son tegishli bo’lgan chegirmalar sinfining eng kichik absolyut chegirmasi kr ya’ni 16     1 : ,0 , mod 10 0   r n k m rk kbo’lsin.Unda a sonini quyidagicha yozish mumkin :  1. mod .. .......... 22 11 00 m r a r a ra r a a nn      (1) Agar nn m r a ra r a R     .... .......... 11 00 desak, (1) ushbu  m R a m mod  Ko’rinishida bo’ladi.Shunday qilib, a soni undan kichik bo’lgan Rm soni bilan almashtiriladi.Boshqacha qilib aytganda, (1) taqqoslama o’nlik sistemada Paskalning bo’linishi (yoki teng qoldiqlilik) alomatini bildiradi.Agar Rm=0 bo’lsa a son m ga qoldiqsiz bo’linadi,agar Rm ≠0 bo’lsa u holda r=Rm bo’ladi. Bo'linish alomatini quyidagi ba'zi xususiy hollarini ko'rib o'tamiz: 1. 9 m bo’lsin.Biz ixtiyoriy natural sonning 9 ga bo’linish alomatini keltirib chiqaramiz. Ushbu  9 mod1 10  taqqoslamaning ikkala qismini k darajaga ko’tarsak,  9 mod1 10 k taqqoslama hosil bo’ladi.Bundan ko’rinadiki barcha kr lar 1 ga teng ekan.Unda mR quyidagi ko’rinishni oladi: na a a a R      ......... 2 1 0 9 Bu esa o’rta maktabda bizga ma’lum bo’lgan alomatning o’zidir,yani berilgan sonning raqamlari yig’indisi 9 ga bo’linsa u holda bu natural son 9 ga bo’linadi 2. 11 m bo’lsin .U holda      11 mod 1 10 11 mod1 10 k k     ga asosan     ....... ..... 5 3 1 4 2 0 11         a a a a a a R 17 Tenglik o’rinli bo’ladi,ya’ni 11R son 11ga bolinsa u holda berilgan son 11ga bolinadi. 1-misol. a 3568921 sonni 11ga bo’lganda hosil bo’ladigan qoldiqni toping.     4 ,4 15 19 5 8 2 3 6 9 1 1111            R R demak ,3568921 sonni 11ga bo’lganda qoladigan qoldiq 4 ga teng. Faraz qilaylik, 10 soni m modul bo’yicha korsatgichga ega bo’lsin. Unda ᵟ ko’rsatgichning tarifiga asosan ,  m mod1 10 0 bo’lgani uchun 1r bo’lib, 1 .. ,......... 2 2 2 ,1 1           r r r rr r bo’ladi.yani qoldiqlar  ta qadamdan so’ng takrorlanadi.U holda mR quyidagi ko’rinishni oladi: . .......... .. .......... 11 1 1 11 0           r a a r a r a a Rm     Ma’lumki, ixtiyoriy sonni ixtiyoriy sanoq sistemasida yozish mumkin .Faraz qilaylik, sanoq sistemasining asosi  10 bo’lib, bu asosga ko’ra a sonning yoyilmasi    n nd d d d a 10 .......... 10 10 2 2 1 0         bo’lsin.    m n mod1 10  bo’lgani uchun (1) taqqoslama nd d d d a      ......... 2 1 0 ko’rinishini oladi. 18 Demak, 10 asosli sistemada berilgan sonning m ga bolinish alomati o’nlik sistemada berilgan sonning 9 ga bo’linish alomati kabi bo’lar ekan. Shuni alohida takidlash kerakki, berilgan a sonning 10 asos bo’yicha m ga bo’linish alomatini keltirib chiqarish uchun o’ngdan chapga qarab  xonalrga ajratish lozim. 2-misol. a sonning 100 lik sistemada 11 ga bo’linish alomatini keltirib chiqaring. Avvalo a ni yuzlik sistemada quyidagicha yozib olamiz: n nb b b b b a 100 . .......... 100 100 100 3 3 2 2 1 0       Ammo 100 k =1( mod 11) bo ’ lganiuchun  m b b b b a nmod ..... 2 1 0      Bo ’ lib , 3568921 , ...... 2 1 0       a b b b b R n m sonini yuzlik sistemada 11 ga bo ’ lishdan hosil bo ’ lgan qoldiq   11 mod4 169 , 169 3 56 89 21 11        R Rm 3-misol.37modul bo’yicha 10soni 3 ko’rsatgichga tegishli,ya’ni   37 mod1 10 3 bo;lgani uchun berilgan a soni minglik sistemada n nc c c c a 1000 ........ 1000 1000 2 2 1 0      ko’rinishida yozilgan bo’lsa, u holda   37 mod ....... 2 1 0 nc c c c a      Bo’lganidan minglik sistemada 37ga bo’linish alomati   37 mod ......... 2 1 0 37 nc c c c R      19       28 mod1 17 28 mod1 17 28 28        mllqmk      m r m mod1    1 28; 17  9 21 12 261      28 mod 17 17 9 261    28 mod 17 17 Bo’ladi. a=83576289 sonini 1000 lik sistemada 37 ga bo’lganda hosil bo’lgan qoldiqni toping.  . 37 mod 23 83 576 289 37     R Bo’lgani uchun qoldiq 23 ga teng. Endi darajani bo’lishdan chiqqan qoldiqni hisoblaylik.    m r a m r a k k mod mod    Bo’lgani uchun ak daraja rk daraja bilan almashtiriladi. (r;m)=0 bo’lganda Eyler teoremasidan foydalanish maqsadga muvofiq. Haqiqatan (r;m)=1 bo’lganda endi tenglikka asosan     m r r r l q m k mod    ni yoza olamiz. 4-misol. 1277261 ni 28 ga bo’lishdan hosil bo’lgan qoldiqni toping.    . 28 mod 17 1277, 28 mod 17 1277 261 26 1   Bunda bo’lgani uchun bo’lgani uchun bo’ladi. ayniy taqqoslama olaylik. U holda        . 28 mod 13 17, 28 mod9 17, 28 mod3 17, 28 mod9 17 9 8 4 2     20    , 28 mod 13 1277. 28 mod 13 17 17 1277 261 9 261 261    Demak, ya’ni 1277261 soni 28 ga bo’lganda chiqadigan qoldiq 13 bo’lar ekan. Oddiy kasrni o’nlik kasrga aylantirishda hosil bo’ladigan davr uzunligini aniqlash.Ma’lumki,mahraj 2 va5ga bo’linmaydigan har qanday qisqarmaydigan b a kasrni o’nli kasrga aylantirganda ,bu o’nli kasr cheksiz davriy o’nli kasr bo’ladi. 1-ta’rif. O’nli kasrning butun qismi uning xarakteristikasi,kasr qismi esa mantissasi deyiladi. Agar o’nli kasrning mantissasi cheksiz bo’lib, unda ma’lum uzunlikdagi o’nli ulushlar takrorlanib kelsa,u holda bunday o’nli kasr davriy o’nli kasr,takrorlanadigan o’nli ulushlarning kichigi davr,bu davrdagi raqamlar soni davr uzunligi deyiladi. 2-ta’rif. Agar davriy kasrda davr bevosita verguldan keyin kelsa,u holda bunday kasr sof davriy kasr,agar vergul bilan davr orasida boshqa raqamlar bo’lsa,u holda bunday davriy kasr aralash davriy kasr deyiladi. Har bir davriy o’nli kasrning davr uzunligini topish mumkin.Buning uchun quyidagi 2 holni b’lishi mumkin. 21 1-hol.qisqarmaydigan to’g’ri (aks holda kasrning butun qismini ajratib olgan bo’lardik)b a kasrning maxrajida 2va 5 kabi bo’luvchilar mavjud emas,ya’ni     1 10; ,1 ;   b b a bo’lsin. Quyidagi tengliklar ketma-ketligini qaraymiz: 1110 rbqa   b r   1 0 2 2 1 10 r bq r   ) 0( 2 b r   3 3 2 10 r bq r   ) 0( 3 b r   1 …………… ………... m m m r bq r   1 10 ) 0( b rm  1 1 ........, ,......... ,     mr b r b a b bo’lgani uchun 10 ,......, 10 , 10 2 1    mq q q bo’ladi.Quyidagi tasdiqlar rost bo’ladi:         ;11;101;1,10 1  brbabab         ;1 ; 1 ; 1 ; 10 2 1      b r br b …………………………………………… Shunday qilib (r;b)=1 ekaniga ishonch hosil qilamiz.Demak,turli ri =(i=1..n) lar b modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasini tashkil etadi. Ma’lumki, b modul bo’yicha chegirmalarning keltirilgan sistemasidagi chegirmalar soni  b  qadamdan so’ng barcha qoldiqlar va ular bilan birgalikda iq chala bo’linmalar 22  3, mod 10 b r a m m     b r vab a m    0 0 1 2 1 ....... mr r r   1 . ; ... .......... 1 21   b r rr myana takrorlana boshlaydi. mq q q .... .......... , 2 1 raqamlar esa b a qisqarmaydigan kasrning davri deyilib,bu kasrning davr uzunligi  b  dan katta bo’la olmaydi. Davrdagi raqamlar sonini topish uchun (1) tengliklarni b modul bo’yicha quyidagi taqqoslamalarga almashtiramiz:        . mod 10 ... .......... .......... ; mod 10 ; mod 10 ; mod 10 1 3 2 2 1 1 b r r b r r b r r b r a m m       2 Bu taqqoslamalarni hadlab ko’paytiramiz, u holda  b r rr r r ar m m m mod ... .......... .......... 10 21 1 21   hosil bo’ladi. bo’lgani uchun oxirgi taqqoslamaning ikkala qismini ko’paytmaga bo’lib, ushbu taqqoslamani hosil qilamiz. Aytaylik, 10 soni b modul bo’yicha m ko’rsatgichga tegishli bo’lsin.U holda son tegishli ko’rsatgichning ta’rifiga asosan, ushbu 10m=1(modb) (4) taqqoslama o’rinli bo’ladi. (4) ga asosan (3) ni quyidagicha yozish mumkin: a=rm(modb) (5) 23 mr a 1 ) ; (  b aMa’lumki, har biri b dan kichik bo’lgan 2 ta musbat son b modul bo’yicha teng qoldiqli bo’lishi uchun ular teng bo’lishi ya’ni bo’lishi lozim. Demak, m ta qadamdan keyin qoldiqlar (va demak bo’linmalar ham)takrorlanib keladi: .. ,......... , , 3 3 2 2 1 1 r r r r r r m m m       m soni (5) taqqoslama o’rinli bo’lgan indekslarning eng kichigidir. Chunki m indeks b modul bo’yicha a soni tegishli bo’lgan ko’rsatgichdir. Tegishli ko’rsatgich esa uning ta’rifiga asosan (4) taqqoslamani qanoatlantiruvchi daraja ko’rsatgichlaridan eng kichigidir. Bundan m soni b a kasrning davr uzunligi ekan degan xulosaga kelamiz. Shunday qilib, (4) taqqoslama o’rinli bo’lganda b a kasr bo’lganda sof davriy kasrga yoyiladi, davrdagi raqamlar soni (davr uzunligi) faqatgina kasrning maxrajiga bo’g’liq. (1) dagi tengliklarning har ikki qismini b ga bo’lib,quyidagilarni hosil qilamiz: . 10 10 .......... .......... 10 10 10 10 1 2 2 1 1 1 b r q b r b r q b r b r q b a m m m        Bu tengliklarga asosan,quidagi yoyilmaga ega bo’lamiz. 24  mq q q ... ,......... , 2 1 b r q q q q m 2 1 3 2 ), , ,..... , (  k m k q q q q ... , ..., ,......... 1 1   37 mod1 10 3 . 10 10 ..... .......... .......... 10 10 22 1 b r q q q b a mm mm     Lekin, .a rm Demak, b a q q q b a m mm 10 10 ........ .......... 10 10 22 1      bo’lib, b a kasrning davri bo’ladi.Yuqoridagi tengliklar ketma- ketligi asosan b r1 ning davri ning davri ) , , ,........ , ( 2 1 4 3 q q q q q m umuman b rk kasrning davri bo’lishiga ishonch hosil qilamiz. Shunday qilib, 10 soni b modul bo’yicha m ko’rsatgichga tegishli bo’lsa b r b r b r b a m1 2 1 .. ,......... , ,  kasrlar sof davriy kasrlar bo’lib,ular bir-biridan davrdagi raqamlarning siklik almashib kelishi bilan farq qiladi. 5-misol. 37 5 kasrni o’nli kasrga aylantirib, uning davr uzunligini toping. 10 soni 37 modul bo’yicha 3 ko’rsatgichga tegishli ekanini biz bilamiz.boshqacha aytganda Demak ,yuqoridagi kasrning davri 3 ta raqamdan tashkil topadi.Hozir shu raqamlarni topamiz. 5 5 37 10 19 19 3 37 10 13 13 1 37 10 5             25 Tengliklarga asosan, ) 513(,0 37 19), 351(,0 37 13), 135(,0 37 5    Agar 10soni b modul bo’yicha boshlang’ich ildiz bo’lsa, b m  bo’ladi.U holda o’nli kasrning davrdagi raqamlar soni b m  ga teng.Lekin boshlang’ich ildiz har qanday sonlar uchunmavjud bo’lavermasligini biz ko’rib o’tgan edik. Aytaylik,10 soni b modul bo’yicha boshlang’ich ildiz bo’lmasin. Unda 10soni tegishli bo’lgan ko’rsatgich  b  dan kichik bo’ladi.bunday holda  md b   kabi tenglikni yoza olamiz.Demak,suratlari 1dan  b  gacha bo’lgan sonlarni qabul qiluvchi,maxrajlari esa b ga teng bo’lgan kasrlar to’plami d ta kasr lar sistemasiga ajralar ekan. Bu kasrlar sistemasini biz quyidagicha yozib olamiz: . ..... ,......... , , .....; .......... .......... .......... ; ..... ,......... , , ; ...... ,......... , , 1 2 1 0 1 2 1 0 1 2 1 0 b t b t b t b t b s b s b s b s b r b r b r b r m m m    Bunda har bir yo’ldagi kasrlarning davri biri ikkinchisidan faqatgina raqamlarning siklik almashinishi bilan farq qilishini biz yuqorida ko’rib o’tgan edik. Aytaylik, ir s 0 bo’lsin.U holda ikkinchi yo’l kasrlari hosil bo’lib,ularning davri ham m ga teng bo’ladi. is va  1 ,0   m i ri lardan farqli biror b c 0 ni olsak,uchinchi kasrlar sistemasi hosil bo’ladi. Bu jarayonni davom 26      . 405,0 37 15, 540,0 37 20, 054,0 37 2   ettirib, biz d ta kasrlar sistemasiga ega bo’lamiz. Bu aytilgan fikrlarni yuqoridagi misolga qo’llab qaraylik:   36 37   bo’lib, 12 3 36   ekanidan 12ta kasrlar sistemasiga ega bo’lamiz. Haqiqatan,5,13,19larga teng bo’lmagan biror sonni,masalan, 2 ni olaylik, u holda 2 4 37 10 15 15 5 37 10 20 20 0 37 10 2             Tengliklarga asosan, sistemasiga ega bo’lamiz. Qolgan kasrlar sistemalari mos ravishda quydagicha bo’ladi:         : 37 7 189,0, 37 34 , 37 33 , 37 7 ; 37 6 162,0, 37 8 , 37 23 , 37 6 ; 37 30 081,0, 37 3 , 37 4 , 37 30 ; 3710 027,0, 37 1 , 37 26 , 3710                  . 3718 486,0, 3718 , 37 32 , 37 24 ; 37 21 567,0, 37 28 , 37 25 , 37 21 ; 3717 459,0, 37 35 , 37 22 , 3717 ; 3714 378,0, 37 31 , 37 29 , 3714 ; 3713 351,0, 37 5 , 3719 , 3713 ; 3713 297,0, 37 27 , 37 36 , 37 11 ; 37 9 243,0, 3712 , 3716 , 37 9    27 41b    .5 mod0 , 40 mod0 8   x x   8 10 , 40 mod1   ind ind xind 1 ) 10;(  b 1 5 2 b b      Shuni alohida eslatib o’tish lozimki,turli kasrlar sistemasining davri biri ikkinchisidan sikli almashtirish yordamida hosil bo’lmaydi. Agar to’g’ri kasrning maxraji berilgan bo’lsa, bu kasrga bukasrga teng bo’lgan o’nli kasrning davr uzunliginiindekslar yordamida topish mumkin.Buni quyidagi misolda ko’rib o’tamiz: 6-misol. Maxraji bo’lgan qisqarmas kasrning o’nli kasrga aylantirganda hsil bo’lgan kasrning davr uzunligini toping. Tegishli ko’rsatgichning ta’rifiga binoan,bu ko’rsatgich   41 mod1 10 x taqqoslamani qanoatlantiruvchi ko’rsatgichning eng kichigidir.Bu taqqoslamani indekslar yordamida yechamiz:bo’lgani uchun Oxirgi taqqoslamani qanoatlantiruvchi eng kichik musbat son x=5 dir. Demak, maxraji 41 ga teng bo’lgan qiaqarmas kasrlarning davr uzunligi 5ga teng. 2-hol.Qirqarmaydigan b a kasr maxrajining kanonik yoyilmasida 2 yoki5 qatnashsin, ya’ni bo’lmay, balki bo’lsin. Bu yerda 1 ) 10;(  b bo’lishi .  va  larning eng kattasini n deb belgilaylik. Quyidagi nisbatni qaraylik: 28 ) ,..., , ( 10 1 1 m n q q q H b a nk k kk H ...2 1  n n k k kk H ... 10 2 1  1 ) 10;(  b ) , max(   n ) ,..., , ( ,...... , 1 1 1 m n q q q k k k b a . 5 2 5 2 10 10 1 1 1 1 b a b a b a b a n n n n             .1 ) ; ( )1 ) , (( )1 ) 10; ((1111      b a b a b Endi 1 ) 10;(  b bo’lgani uchun 1 1 b a qiaqarmas kasrni o’nli kasrga aylantirish mumkin. U holda quyidagi tenglik hosil bo’ladi: ). ,..., , (, 10 2 1 1 1 n n q q q H b a b a   Bundan kelib chiqadi. Agar bo’lsa, u holda bo’ladi, bu yerda n n n n n k k k k k k kk           10 ... 10 10 ... 1 1 1 2 1 . Demak, ekan. Shunday qilib, bo’lganda b a kasrni o’nli kasrga aylantirganda aralash davriy kasr hosil bo’lib, uning uzunligi 10 soni 1b modul bo’yicha tegishli bo’lgan m ko’rsatkichga teng bo’ladi. Verguldan keyingi davrgacha raqamlar soni esa orqali aniqlanadi. 29 XULOSA Ushbu kurs ishi kirish, 5 ta paragraf xulosa, foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxatidan iborat. Kirish qismida pedagoglarni tayyorlash, matematikani rivojlantirish haqidagi prezidentimiz Shavkat Mirziyoyevning qonunlar haqida ma’lumotlar va kurs ishini yozishdan asosiy maqsad, uning dolzarbligi, mavzuning ahamiyati haqida mulohazalar yuritilgan. Tub modul bo'yicha Lejandr vaYakobi simvollari haqida so’z borgan. Kurs ishini tayyorlashda ta’lim bosqichlari orasidagi izchillikka va ta’limning kasbiy yo‘nalganlik tamoyillariga, hamda ustozlarning qo’llanma kitoblariga asoslangan holda tayyorlandi. Kurs ishining tuzilishi, mavzularning tanlanishi mana shu tajribalar natijasi bo‘lib, shuningdek, shu paytgacha o‘zbek tilida mavjud bo‘lgan darslik va o‘quv qo‘llanmalardan, horijiy davlatlarda chop etilgan yangi adabiyotlardan ijobiy foydalanildi. Foydalanilgan adabiyotlardagi atamalar, tushunchalar va belgilashlarni saqlab qolishga harakat qilindi. Nazariy va qisman amaliy materiallarni mukammal o‘zlashtirishni ta’minlash maqsadida har bir bob so‘ngida amaliy misollar yechimlari berildi. Kurs ishida teorema, ta’rif, misol, formulalar har bir paragraph bo‘yicha, tenglamalar har bir bo‘lim uchun alohida nomerlangan. 30 FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR ROYXATI 1. Nаzаrоv R.N., Tоshpo’lаtоv B.T, Dusumbеtоv А.D. Аlgеbrа vа sоnlаr nаzаriyasi. T.,I qism,1993 y.,II qism, 1995 y. 2.Tоshpo’lаtоv B.T., Dusumbеtоv А.D., Qulmаtоv А.Q. Аlgеbrа vа sоnlаr nаzаriyasi. Mа’ruzаlаr mаtni. T., 2001 1-5- qismlаr. 3.R.Iskаndаrоv, R.Nаzаrоv. Аlgеbrа vа sоnlаr nаzаriyasi. I-II qismlаr.T., O’qituvchi, 1979 y. 4.Kulikоv L.Ya. Аlgеbrа i tеоriya chisеl. M., Visshаya shkоlа. 1979 g. 5. Yunusоv А.S., Yunusоvа D.I. Аlgеbrа vа sоnlаr nаzаriyasidаn mоdul tехnоlоgiyasi аsоsidа tаyyorlаngаn nаzоrаt tоpshiriqlаri to’plаmi. TDPU. 2004. 31 32

Tub modul bo'yicha Lejandr va Yakobi simvollari

Reja:

Kirish. 

I.BOB. Tub modul bo'yicha Lejandr va Yakobi simvollari

1.1-§ Lejandr simvoli va Yakobi simvoli.
1.2-§ Ko`rsatkiсh.Boshlangiсh ildiz.                                                              II.BOB. Indekslar                                                                                               2.1-§ Indеkslar va ularning xossalari .                                                                  2.2-§  Ikkihadli  taqqoslamalar Indekslar jadvali va uning tatbidlari.                  2.3-§ Taqqoslamalar nazariyasining ayrim arifmеtik tadbiqlari.

Xulosa

Foydalanilgan adabiyotlar

Купить