Umumiy oʻrta taʼlim maktablari 10-sinf Algebra va analiz asoslari kursida elementar funksiya bobini oʻqitish metodikasi

Информация о документе

Цена	100000UZS
Размер	222.1KB
Покупки	0
Дата загрузки	05 Декабрь 2024
Расширение	docx
Раздел	Дипломные работы
Предмет	Алгебра

Продавец

Shavkat

Дата регистрации 04 Апрель 2024

126 Продаж

Umumiy oʻrta taʼlim maktablari 10-sinf Algebra va analiz asoslari kursida elementar funksiya bobini oʻqitish metodikasi

Купить

O ZBEKISTON RESPUBLIKASI ʻ MAKTABGACHA VA MAKTAB
TA’LIMI VAZIRLIGI
A.AVLONIY NOMIDAGI PEDAGOGLARNI KASBIY RIVOJLANTIRISH
VA YANGI METODIKALARGA O RGATISH MILLIY-TADQIQOT
ʻ
INSTITUTI
Matematika fanini o qitish huquqini berish bo yicha pedagogik
ʻ ʻ
va kasbiy qayta tayyorlash kursi
32 8- guruh tinglovchisi
Sultonova Xurshida Nazirjon qizining
“ Umumiy o rta ta lim maktablari 10-sinf Algebra va analiz asoslari kursida
ʻ ʼ
elementar funksiya bobini o qitish metodikasi
ʻ ” mavzusidagi
BITIRUV ISHI
Ilmiy rahbar: Rasulov M.
Toshkent – 2024

ANNOTATSIYA
Mazkur diplom ishi "Umumiy o‘rta ta’lim maktablari 10-sinf Algebra va
analiz asoslari kursida elementar funksiya bobini o‘qitish metodikasi" mavzusiga
bag‘ishlangan. Ishda algebra va analiz asoslari kursining o‘quv dasturida elementar
funksiya bobining tutgan o‘rni, uning ahamiyati va o‘quvchilarning matematik
fikrlashini rivojlantirishdagi roli o‘rganiladi.
Diplom ishining birinchi bo‘limida elementar funksiyalar tushunchasining
nazariy asoslari va ularning o‘quv dasturidagi o‘rni tahlil qilinadi. Ikkinchi
bo‘limda esa elementar funksiyalarni o‘qitishda qo‘llaniladigan tasviriy va grafik
usullar, interaktiv yondashuvlar, amaliy topshiriqlarni ishlab chiqish metodikasi,
shuningdek, bilimlarni baholash usullari ko‘rib chiqiladi.
Ushbu ishning natijalari o‘qituvchilar uchun elementar funksiyalarni
o‘qitishda samarali metodik yondashuvlarni qo‘llash bo‘yicha tavsiyalarni o‘z
ichiga oladi. Ishda taqdim etilgan metodlar va tavsiyalar o‘quvchilarni matematik
bilimlarini mustahkamlash va ularning mustaqil fikrlash qobiliyatini
rivojlantirishga xizmat qiladi.
2

MUNDARIJA:
KIRISH ................................................................................................................. 4
I-BOB. ALGEBRA VA ANALIZ ASOSLARI KURSIDA ELEMENTAR
FUNKSIYALARNI O‘RGANISHNING NAZARIY ASOSLARI
1.1. Algebra va analiz asoslari kursining umumiy o‘quv dasturi va tarkibi........... 7
1.2. Elementar funksiyalar tushunchasining nazariy asoslari .................................
22
1.3. Matematik fikrlashni rivojlantirishda elementar funksiyalarni o‘rganishning
o‘rni………………………………………………………………………………
26
II-BOB. ELEMENTAR FUNKSIYALARNI O‘QITISHNING METODIK YONDASHUVLARI
2.1. Tasviriy va grafik usullardan foydalanish metodikasi....................................
30
2.2. Amaliy masalalar va topshiriqlarni ishlab chiqish metodikasi………...…….
34
2.3. O‘qitish jarayonida interaktiv yondashuvlarni qo‘llash………...…………...
38
2.4. O‘quvchilarning bilim va ko‘nikmalarini baholash usullari...........................
43
XULOSA…………...……………………………………………………….…... 50
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR............................................................. 52
3

KIRISH.
Bitiruv ishi mavzusining dolzarbligi. Umumiy o‘rta ta’lim maktablarida
algebra va analiz asoslari kursida elementar funksiyalar bobini o‘qitish zamonaviy
ta’lim jarayonining ajralmas qismi bo‘lib, nafaqat o‘quvchilarning nazariy
bilimlarini mustahkamlash, balki ularning amaliy fikrlash qobiliyatlarini
rivojlantirishda ham muhim o‘rin tutadi. Elementar funksiyalar bobida chiziqli,
kvadrat, logarifmik va eksponensial funksiyalar kabi asosiy matematik
tushunchalarni o‘rgatish orqali o‘quvchilarda aniq tahlil qilish, grafik va algebraik
usullar bilan ishlash ko‘nikmalari shakllanadi. Bu esa o‘quvchilarning umumiy
matematik savodxonligi va hayotiy muammolarni hal qilish qobiliyatini
rivojlantirish uchun zarurdir.
Bugungi kunda zamonaviy pedagogik texnologiyalarning jadal rivojlanishi
ta’lim jarayonida interaktiv usullardan keng foydalanishni talab etmoqda.
Interaktiv metodlar yordamida o‘quvchilar darsda faol ishtirok etib, bilimlarni
mustaqil o‘zlashtiradi, bu esa ularning o‘quv motivatsiyasini oshiradi. Ayniqsa,
elementar funksiyalarni o‘rgatishda tasviriy va grafik usullardan foydalanish orqali
mavzularni oson tushunishga yordam beruvchi yondashuvlar ishlab chiqish
zarurati dolzarbdir.
Shuningdek, funksional savodxonlikni oshirish bugungi kundagi ta’lim
tizimining asosiy vazifalaridan biri bo‘lib, o‘quvchilarning nazariy bilimlarini
amaliy hayotga tadbiq eta olishlarini ta’minlashni talab qiladi. Elementar
funksiyalarni o‘rganish orqali o‘quvchilar iqtisodiyot, texnologiya va boshqa real
sohalardagi jarayonlarni tahlil qilish, modellashtirish va yechim topish
ko‘nikmalarini rivojlantiradilar.
Prezidentning 2020-yil 6-noyabrdagi “Matematika fanini rivojlantirish va
ta’lim sifatini oshirish chora-tadbirlari to‘g‘risida 1
”gi PQ-4884-sonli qarori mazkur
mavzuning dolzarbligini yanada oshiradi. Ushbu qaror ta’lim sifatini oshirish,
1
Prezidentning 2020-yil 6-noyabrdagi “Matematika fanini rivojlantirish va ta’lim sifatini oshirish chora-tadbirlari
to‘g‘risida ”gi PQ-4884-sonli qarori
4

zamonaviy dars metodlarini joriy etish, o‘qituvchilarning malakasini oshirish va
o‘quvchilar bilimini chuqurlashtirishni ta’minlashga xizmat qiladi.
Mazkur ish dolzarbligi bilan ta’lim jarayonini samarali tashkil etishga,
matematik tafakkurni rivojlantirishda metodik yondashuvlarni takomillashtirishga
qaratilgan. Shu bilan birga, algebra va analiz asoslari kursining o‘qitish sifati
o‘quvchilarning keyingi fanlarni o‘zlashtirishidagi poydevor bo‘lib xizmat qiladi.
Bu esa matematik savodxonlikni keng miqyosda oshirishga ko‘maklashadi va
ta’limni modernizatsiya qilish jarayonining bir qismi sifatida muhim ahamiyat
kasb etadi.
Bitiruv ishi mavzusining maqsadi : Algebra va analiz asoslari kursida
elementar funksiyalar bobini o‘qitishda samarali metodik yondashuvlarni ishlab
chiqish va o‘qituvchilarga ushbu bobni o‘qitishda foydalanish uchun amaliy
tavsiyalar taqdim etish.
Bitiruv ishi mavzusi ning vazifalari :
1. Algebra va analiz asoslari kursida elementar funksiyalar bobining o‘rni va
ahamiyatini aniqlash.
2. Elementar funksiyalarni o‘qitishda qo‘llaniladigan tasviriy va grafik
usullarni tahlil qilish.
3. Interaktiv yondashuvlar va amaliy topshiriqlarni ishlab chiqish.
4. Elementar funksiyalarni o‘qitish jarayonini samaradorligini baholash va
natijalarni tahlil qilish.
Bitiruv ishi mavzusi ning obyekti . Umumiy o‘rta ta’lim maktablarining
algebra va analiz asoslari kursida elementar funksiyalarni o‘qitish jarayoni.
Bitiruv ishi mavzusining predmeti . Elementar funksiyalar bobini
o‘qitishning metodik yondashuvlari va samaradorligi.
Bitiruv ishini tayyorlashda foydalanilgan adabiyotlar va
normativhuquqiy hujjatlarning qisqacha o‘zaro tahlili. Bitiruv ishini
tayyorlashda Prezident qarorlari, O‘zbekiston Respublikasining “Ta’lim
to‘g‘risida”gi qonuni, davlat ta’lim standartlari va o‘quv dasturlari asos sifatida
qabul qilingan.
5

Shuningdek, matematikani o‘qitish bo‘yicha ilmiy-uslubiy maqolalar va
monografiyalar, algebra va analiz asoslari darsliklari o‘rganildi. Normativ-huquqiy
hujjatlar ta’lim jarayonini tartibga solish, sifatni oshirish va o‘quvchilarning bilim
ko‘nikmalarini rivojlantirish uchun muhim metodik manba bo‘lib xizmat qildi.
Tahlil natijalari shuni ko‘rsatadiki, matematik ta’limni takomillashtirish
bo‘yicha qabul qilingan qarorlar va hujjatlar bu sohada izchil rivojlanish uchun
mustahkam asos yaratmoqda. Mazkur ishda ushbu hujjatlar mazmuni mavzuga
mos ravishda qo‘llanilib, zamonaviy metodik yondashuvlar asosida tahlil qilingan.
Bitiruv ishi mavzusining tuzilishi va tasnifi . Mazkur bitiruv malakaviy
ishi kirish, ikki asosiy bob, xulosa va tavsiyalar, shuningdek, foydalanilgan
adabiyotlar ro‘yxatidan iborat.
 Kirishda mavzuning dolzarbligi, maqsadi, vazifalari, obyekti va predmeti
yoritiladi.
 Birinchi bob algebra va analiz asoslari kursining nazariy asoslariga
bag‘ishlanadi.
 Ikkinchi bob elementar funksiyalarni o‘qitish metodikasi va
samaradorligi tahliliga qaratilgan.
 Xulosa va tavsiyalarda ish natijalari va amaliy foydalanish bo‘yicha
takliflar beriladi.
6

I-BOB. ALGEBRA VA ANALIZ ASOSLARI KURSIDA ELEMENTAR
FUNKSIYALARNI O‘RGANISHNING NAZARIY ASOSLARI
1.1. Algebra va analiz asoslari kursining umumiy o‘quv dasturi va tarkibi
Algebra va analiz asoslari kursi o‘quvchilarga matematika va uning turli
sohalaridagi asosiy tushunchalarni o‘rgatishga qaratilgan. Bu kurs akademik litsey
va kasb-hunar kollejlari uchun mo‘ljallangan bo‘lib, matematik bilimlarni
chuqurlashtirish va o‘quvchilarga amaliy vazifalarni yechishda matematikaning
asosiy vositalarini o‘rgatadi.
Algebra va analiz asoslari k ursning umumiy maqsadi 2
:
Algebra va analiz asoslari kursi o‘quvchilarga matematikaning asosiy
tushunchalarini (funksiya, tenglama, hosila, integral) va ular bilan bog‘liq nazariy
metodlarni o‘rgatishni, o‘quvchilarda matematik fikrlash va mustaqil tahlil qilish
ko‘nikmalarini rivojlantirishni maqsad qiladi.
Kursning tarkibi:
1. To‘plamlar nazariyasi va haqiqiy sonlar :
o To‘plamlar va ularning xususiyatlari.
o Haqiqiy sonlar, sonlar to‘plamining xossalari.
o Raqamlar orasidagi munosabatlar va arifmetik amallar.
To‘plamlar va ularning xususiyatlari .
To‘plam — matematikada to‘plamlar, o‘zaro aloqasi bo‘lgan yoki bir-biriga
bog‘langan obyektlar (elementlar) to‘plamidir. To‘plamlar elementlaridan iborat
bo‘ladi, va har bir element faqat bir marta mavjud bo‘lishi kerak. To‘plamlar
nazariyasi matematikada juda muhim o‘rin tutadi, chunki boshqa barcha matematik
tushunchalar va operatsiyalar to‘plamlar asosida shakllanadi.
 To‘plamni belgilash: To‘plam odatda katta harf bilan belgilanadi, va
elementlari qavs ichida yoziladi. Masalan, A = { 1,2,3,4 }
bu to‘plamning elementlari1,2,3,4.
2
X. A. Shodiev, "Algebra va analiz asoslari".
7

To‘plamlarning turlari:
 Bo‘sh to‘plam: Bo‘sh to‘plamda hech qanday element mavjud emas.
Bo‘sh to‘plam ∅ yoki { }
bilan belgilanadi.
 To‘liq to‘plam: Ma'lum bir muhitdagi barcha elementlarni o‘z ichiga
olgan to‘plam to‘liq to‘plam deb ataladi va
U bilan belgilanadi.
 Kengaytma: Agar A
to‘plami B
to‘plamining barcha elementlarini o‘z
ichiga olsa, u holda
A⊆ B deyiladi.
 Qism to‘plam : Agar A
to‘plami B
to‘plamining barcha elementlarini o‘z
ichiga olsa va
A≠B , unda A to‘plami B to‘plamining qism to‘plami bo‘ladi.
To‘plamlar o‘rtasidagi munosabatlar:
 Birlashma:
A∪B to‘plamlarining birlashmasi — bu ikkala to‘plamdagi
barcha elementlar.
 Kesish:
A∩ B to‘plamlarining kesishmasi — bu ikkala to‘plamda ham
mavjud bo‘lgan elementlar.
 Farq:
A− B to‘plamlarining farqi — bu faqat A to‘plamida mavjud bo‘lgan,
lekin
B to‘plamida yo‘q elementlar.
 Simmetrik Farq:
AΔB to‘plamlarining simmetrik farqi — bu A va B
to‘plamlarining farqi, lekin o‘zaro kesishmasi yo‘q.
Misol:

A={1,2,3 } va B={2,3,4 } u holda:
o Birlashma:
A∪B={1,2,3,4 }
o Kesish: A ∩ B = { 2,3 }
o Farq:
A− B= {1}
o Simmetrik Farq: AΔB = { 1,4 }
Haqiqiy sonlar, sonlar to‘plamining xossalari :
Haqiqiy sonlar to‘plami (
R ) — bu barcha haqiqiy sonlar to‘plamidir.
Haqiqiy sonlar to‘plami barcha butun sonlar, ratsional sonlar (ikki butun sonning
nisbati), va irratsional sonlarni o‘z ichiga oladi. Haqiqiy sonlar to‘plami sonlarning
8

eng keng to‘plamidir va barcha sonlar orasida yerda mavjud bo‘lgan, o‘lchovli va
o‘zgarmaydigan o‘lchovlarga asoslanadi.
 Butun sonlar (Z ) : Bu sonlar to‘plami {… ,− 3,− 2,−1,0,1,2,3 ,… } shaklida
ifodalanadi.
 Ratsional sonlar (
Q ) : Ratsional sonlar — bu ikki butun sonning nisbati,
ya'ni
a
b shaklida ifodalanadi, bu yerda a , b
butun sonlar va b ≠ 0 .
Misol: 1
2 , − 3 , 0.5 , 7
9 — ratsional sonlar.
 Irratsional sonlar : Bu sonlar ratsional bo‘lmagan sonlardir. Misollar
sifatida
√2,π,e kabi sonlar keltirilishi mumkin.
Misol:
π≈3.14159 ,e≈2.71828 ,√2≈1.414 — irratsional sonlar.
 Qiyoslash: Haqiqiy sonlar o‘rtasida qiyoslash mumkin, ya'ni har qanday
ikki haqiqiy son aaa va bbb bo‘lsa, quyidagi qiyoslashlar to‘g‘ri bo‘ladi:
o a > b , a < b , yoki a = b .
Misol:
3>2,−1<0,π>3.
Raqamlar orasidagi munosabatlar va arifmetik amallar .
Haqiqiy sonlar to‘plami raqamlar orasida arifmetik amallarni bajarishga
imkon beradi. Bu amallar quyidagi turlarni o‘z ichiga oladi:
 Qo‘shish: Haqiqiy sonlar to‘plamida ikki sonni qo‘shish natijasida yana
haqiqiy son hosil bo‘ladi. Masalan, a + b
bu haqiqiy sonlar bo‘lsa, natija yana
haqiqiy son bo‘ladi.
Misol: 3 + 5 = 8 , π + 2 = 5.14159 .
 Ayirish: Haqiqiy sonlar to‘plamida ikki sonni ayirish natijasida yana
haqiqiy son hosil bo‘ladi. Masalan, a − b
bu haqiqiy sonlar bo‘lsa, natija yana
haqiqiy son bo‘ladi.
Misol: 7 − 4 = 3 , π − 1 = 2.14159 .
 Ko‘paytirish: Haqiqiy sonlar to‘plamida ikki sonni ko‘paytirish natijasida
yana haqiqiy son hosil bo‘ladi.
Misol:
3×4=12 ,π×2=6.28318 .
9

 Bo‘lish: Haqiqiy sonlar to‘plamida ikkita sonni bo‘lish operatsiyasi ham
amalga oshiriladi, lekin bo‘lishda divisor (bo‘luvchi) nol bo‘lmasligi kerak.
Misol: 10 ÷2=5,π÷2≈1.5708 .
 Daraja: Haqiqiy sonning darajasini olish operatsiyasi ham amalga
oshiriladi. Masalan, aba^bab ko‘rsatilgan holda.
Misol:
23=8π2≈9.8696 .
 Kengaytma: Sonning ildizini olish ham arifmetik amaldir. Masalan,
√a —
sonning ildizini olish operatsiyasi.
Misol:
√ 9 = 3 , √ 2 ≈ 1.414 .
To‘plamlar nazariyasi matematikada asosiy tushuncha bo‘lib, turli
to‘plamlar o‘rtasida aloqalar, operatsiyalar va ularning xususiyatlarini o‘rganish
imkonini beradi. Haqiqiy sonlar esa, matematikada eng keng tarqalgan va muhim
to‘plamdir, ularning arifmetik amallari orqali barcha matematika tarmoqlari
rivojlanadi. To‘plamlar nazariyasi va haqiqiy sonlar haqidagi tushunchalar
matematikaning asosiy poydevori hisoblanadi.
2. Algebraik funksiyalar :
o Funksiya tushunchasi va uning xossalari.
o Chiziqli funksiyalar, ular bilan bog‘liq masalalar.
o Kvadrat tenglama va uning yechish usullari.
Funksiya tushunchasi va uning xossalari :
Funksiya — bu ikki to‘plam o‘rtasidagi aloqani ifodalovchi matematik
tushuncha bo‘lib, har bir kirish qiymatiga (argument) faqat bitta chiqish qiymati
(funksiya qiymati) mos keladi. Agar
f:A→ B bo‘lsa, demak f funksiyasi A
to‘plamidan
B to‘plamiga ketadigan funksiya bo‘lib, har bir a∈A uchun
f ( a ) ∈ B
bo‘ladi.
Funksiya quyidagi shaklda ifodalanishi mumkin:
 Grafik shaklida:
y= f(x), bu yerda x — kirish qiymati, y esa chiqish
qiymatidir.
 Matematik ifoda shaklida
:f:A→ B , bu yerda A — funksiyaning aniqlanish
soxasi,
B esa funksiyaning qiymatlari to‘plami.
10

Funksiyaning asosiy xossalari:
 Funksiya uchun barcha mumkin bo‘lgan kirish qiymatlari to‘plami. Misol
uchun, f(x)= 1
x funksiyasi uchun aniqlanish sohasi x≠0.
 Rasmiy sohasi: Funksiya qiymatlari to‘plami, ya'ni funksiya qiymatlarini
olish mumkin bo‘lgan barcha sonlar.
 Har bir x
qiymatiga faqat bitta y
qiymati mos keladi.
Misol:
 Agar
f(x)= 2x+3, unda bu funksiya to‘g‘ri chiziqni ifodalaydi va uning
aniqlanish sohasi
R (haqiqiy sonlar to‘plami), qiymatlar to‘plami ham R .
Chiziqli funksiyalar, ular bilan bog‘liq masalalar :
Chiziqli funksiya — bu funksiyalar bir yoki bir nechta o‘zgaruvchilardan
iborat bo‘lgan va o‘zgaruvchining darajalari musbat butun sonlar bo‘lgan ifodalar
bilan ifodalanadi. Chiziqlilar quyidagi shaklda ifodalanadi:
f(x)= anxn+an−1− xn−1+⋯+a1x+a0
Bu yerda a
0 , a
1 , … , a
n — chiziqlining koeffitsiyentlari, x
— o‘zgaruvchi va n
— chiziqlining darajasi.
Chiziqlilarning xossalari:
 Chiziqli funksiyaning darajasi eng yuqori darajadagi o‘zgaruvchining
koeffitsiyentidir.
 Chiziqlilar haqiqiy va kompleks sonlar to‘plamlarida aniqlanishi mumkin.
 Chiziqlining grafigi to‘g‘ri yoki burilgan chiziq bo‘lishi mumkin.
Misol: f ( x ) = x 3
− 4 x 2
+ 2 x − 5
chiziqliida daraja
n=3 , ya'ni bu kubik chiziqli.
Chiziqli bilan bog‘liq masala:
 Masala: f ( x ) = x 3
− 4 x 2
+ 2 x − 5
chiziqliining ildizlarini toping.
Yechim: Chiziqlining ildizlarini topish uchun
f(x)=0 bo‘lishi kerak:
x 3
− 4 x 2
+ 2 x − 5 = 0
Ildizlarni analitik yoki raqamli usullar bilan topish mumkin. Masalan, qoldiq
va bo‘lish usulidan foydalanib, chiziqlini oddiyroq chiziqlilarga ajratish mumkin.
Kvadrat tenglama va uning yechish usullari :
11

Kvadrat tenglama — bu ikkilamchi darajali tenglama bo‘lib, umumiy
ko‘rinishdagi tenglama:
ax 2
+ bx + c = 0
bu yerda a,b,c — real sonlar, a ≠ 0 ,
va x
— noma'lum. Kvadrat tenglama
odatda ikki ildizga ega bo‘ladi, lekin ba'zi holatlarda ildizlar bitta yoki haqiqiy
bo‘lmasligi mumkin.
Kvadrat tenglamaning yechish usullari:
1. Kvadrat tenglamaning ildizlari quyidagi formuladan topiladi:
x=− b±√b2− 4ac
2a
Bu yerda ±
belgi ikkita ildizni bildiradi. Agar diskriminant ( b 2
− 4 ac )
musbat
bo‘lsa, tenglama ikkita haqiqiy ildizga ega bo‘ladi. Agar diskriminant nolga teng
bo‘lsa, tenglama bitta haqiqiy ildizga ega bo‘ladi. Agar diskriminant manfiy
bo‘lsa, ildizlar kompleks sonlar bo‘ladi.
Misol:
 Tenglama:
2x2−4x−6= 0.
Kvadrat formulasi yordamida yechamiz:
a= 2,b=− 4,c=− 6.
o Diskriminant: D = ( − 4 ) 2
− 4 ( 2 ) ( − 6 ) = 16 + 48 = 64.
o Ildizlar:
x = − ( − 4 ) ±
√ 64
2 ( 2 ) = 4 ± 8
4
o
x
1 = 4 + 8
4 = 3 va x
2 = 4 − 8
4 = − 1
Shu bilan tenglamaning ildizlari
x1= 3va x2=−1
2. Agar kvadrat tenglama oddiy ifodalarga ajraladigan bo‘lsa, uni faktorlar
shaklida yozish mumkin.
Misol: Tenglama
x 2
− 5 x + 6 = 0. Bu tenglamani faktorlashtirish:
( x − 2 ) ( x − 3 ) = 0
Ildizlar
x1= 2va x2=3.
12

3. Agar diskriminant manfiy bo‘lsa, ildizlar kompleks sonlar shaklida
bo‘ladi. Masalan:
 Tenglama: x2+4= 0.
 Diskriminant:
D=02−4(1)(4)=−16.
 Ildizlar:
x = − 0 ±
√ − 16
2 ( 1 ) = ± 4 i
2 = ± 2 i .
 Bu yerda
i — kompleks birlikdir (i2=−1).
Algebraik funksiyalar matematikaning asosiy bo‘limlaridan biri hisoblanadi.
Funksiya tushunchasi va uning xossalari, chiziqli funksiyalar va kvadrat
tenglamalarni yechish usullari matematik masalalarni hal qilishda keng
qo‘llaniladi. Chiziqlilar va kvadrat tenglamalar algebraik tahlilning muhim
qismlari bo‘lib, ular amaliyotda ko‘p uchraydi va turli matematik modellarda
qo‘llaniladi.
3. Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar :
o Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalarning xossalari.
o Exponential tenglamalar va ularni yechish usullari.
o Logarifmlar va ularning algebraik xossalari.
Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalarning xossalari ;
 Ko‘rsatkichli funksiya f ( x ) = ax
(bu yerda a > 0 , a ≠ 1 ¿
— bu funksiya,
o‘zgaruvchi
x ning ko‘rsatkichi sifatida ishlaydi. U ko‘pincha o‘sish yoki kamayish
jarayonlarini modellashda qo‘llaniladi.
o Xossalari:
 Agar a > 1 ,
funksiya o‘sadi.
 Agar
0<a<1, funksiya kamayadi.

f(0)=1va f(x)→ ∞ (agar a > 1
) yoki f ( x ) → 0
(agar 0 < a < 1
).
 Logarifmik funksiya
f(x)= log ax (bu yerda a>0,a≠1 ) — ko‘rsatkichli
funksiya bilan bog‘liq bo‘lib,
ay= x bo‘lgan y
qiymatini topadi. Logarifm funksiyasi
o‘zgaruvchi
x ning logarifmiga tengdir.
o Xossalari:
13

log a1= 0 va log
a a = 1.
 Agar
a>1, funksiya o‘sadi; agar 0<a<1, funksiya kamayadi.
Exponential tenglamalar va ularni yechish usullari :
Exponential tenglama — bu tenglama ax=b shaklida bo‘ladi, bu yerda
a > 0 , a ≠ 1 va b > 0.
 Misol:
2 x
= 8
o Tenglamani yechish uchun:
2x= 23⇒ x=3.
 Yechish usullari:
o Ko‘rsatkichli tenglama bo‘yicha, ikkala tomonni bir xil ko‘rsatkichga
keltirib yechish mumkin.
o Agar logarifm qo‘llanilsa, tenglamaning har ikki tomoniga logarifm olish
mumkin.
Logarifmlar va ularning algebraik xossalari :
Logarifmlar quyidagi xossalarga ega:
1. Mahsulotning logarifmi:
log
a ( xy ) = log
a x + log
a y .
2. Bo‘linmaning logarifmi:
log
a
( x
y ) = log
a x − log
a y .
3. Darajaning logarifmi:
log a(xn)=nlog ax.
4. Tabiiy logarifm (e asosidagi):
log ex=lnx .
Agar log
2 8 = 3 ,
demak
23=8 , bu yerda 8
ning logarifmi 2 asosida 3
ga tengdir.
Ko‘rsatkichli va logarifmik funksiyalar algebra va analizda muhim o‘rin
tutadi. Ularning xossalari va yechish usullari turli matematik muammolarni hal
qilishda keng qo‘llaniladi.
4. Trigonometrik funksiyalar
o Trigonometriya asoslari.
14

o Trigonometrik funksiyalar: sinus, kosinus, tangens va boshqalar.
o Trigonometriya formulalari va ularni masalalarda qo‘llash.
Trigonometriya asoslari :
Trigonometrik funksiyalar — bu burchaklar bilan bog‘liq bo‘lgan matematik
funksiyalar bo‘lib, ular geometriyada, ayniqsa, to‘g‘ri burchakli uchburchaklar va
aylana bilan bog‘liq hisob-kitoblarda qo‘llaniladi. Trigonometriya asosida quyidagi
asosiy tushunchalar mavjud:
 Burchaklar: Trigonometriyada burchaklar radian yoki daraja birligida
o‘lchanadi. 1 radian — bu burchak, u to‘g‘ri burchakli uchburchakning bir tomoni
uzunligi teng bo‘lgan doira bo‘ylab harakat qilganida hosil bo‘lgan burchakdir.
 To‘g‘ri burchakli uchburchak: To‘g‘ri burchakli uchburchakda bir burchak
90 °
ga teng. Ushbu uchburchakda trigonometrik funksiyalarni aniqlash juda oson.
Trigonometrik funksiyalar: sinus, kosinus, tangens va boshqalar :
Trigonometrik funksiyalarni to‘g‘ri burchakli uchburchaklarda aniqlash
mumkin. Har bir trigonometrik funksiya uchburchakdagi tomonlar bilan bog‘liq.
 Sinus (sin): To‘g‘ri burchakli uchburchakda sinus, burchakka qarshi
tomonning gipotenusaga bo‘linmasi sifatida aniqlanadi.
sinθ = qarshi tomon
gipotenusa
 Kosinus (cos): Kosinus, burchakka qo‘shni tomonning gipotenusaga
bo‘linmasi sifatida aniqlanadi.
cosθ = qo ‘shni tomon
gipotenusa
Tangens (t g ): Tangens, sinus va kosinusning nisbatiga teng bo‘ladi.
tgθ = sinθ
cosθ = qarshi tomon
qo ‘ shni tomon
Kotongens (ct g ): Kotongens, tangensning teskari funksiyasidir.
ctgθ = 1
tgθ .
Trigonometriya formulalari va ularni masalalarda qo‘llash :
Trigonometriyada bir qancha foydali formulalar mavjud. Ular trigonometrik
funksiyalarni o‘zaro bog‘lash va masalalarni yechishda qo‘llaniladi.
15

 Pifagor teoremasi: To‘g‘ri burchakli uchburchakda quyidagi tenglama
ishlatiladi:
a 2
+ b 2
= c 2
bu yerda a va b
— to‘g‘ri burchakli uchburchakning katetlari, c
—
gipotenusasi.
 Trigonometriya identitlari:
o Sinus va kosinus identitasi:
sin 2θ+cos 2θ=1.
o Tangens va kotangens identitasi:
tgθ = sinθ
cosθ , ctgθ = 1
tgθ .
 Burchaklar orasidagi munosabatlar:
o Ko‘p burchaklar:

sin ⁡ ( 180 ∘
− θ ) = sinθ

cos ⁡ ( 180 ∘
− θ ) = − cosθ

tg ⁡ ( 180 ∘
− θ ) = − tanθ
Misol:
Agar
sinθ = 3
5,cosθ =?
sin 2θ+cos ⁡2θ=1⇒ (35 )2+cos ⁡2θ=1
9
25 + cos 2
θ = 1 ⇒ cos 2
θ = 16
25 ⇒ cosθ = ± 4
4 .
Trigonometrik funksiyalar va ularning formulalari, geometriya va boshqa
sohalarda keng qo‘llaniladi. Trigonometriya asoslari va formulalarini o‘rganish
matematik masalalarni hal qilishda juda muhimdir.
5. Differensial va integral hisob
o Funksiyaning hosilasi, uning geometrik va fizik ma'nosi.
o Funksiyaning o‘zgarish tezligini hisoblash.
o Integral tushunchasi va uning geometrik ma'nosi.
Funksiyaning hosilasi, uning geometrik va fizik ma'nosi :
16

Hosila — bu funksiyaning o‘zgarish tezligini o‘lchaydigan matematik
tushuncha bo‘lib, u nuqtada funksiyaning o‘zgarishini aks ettiradi.
Agar f(x) funksiyasi berilgan bo‘lsa, uning hosilasi f'(x) quyidagicha
aniqlanadi:
f ' ( x ) = lim
Δx → 0 f ( x + Δx ) − f ( x )
Δx ⁡ .
 Funksiyaning hosilasi, uning grafigidagi nuqtadagi tangens ning o‘ng suruvi
bilan bog‘liq. Agar y = f ( x )
bo‘lsa, unda hosila f ' ( x )
funksiyaning grafikda xxx-
nuqtasidagi tangensining yengini (ya'ni, qiyalik) ifodalaydi.
 Hosila, ko‘pincha o‘zgarishning tezligini ko‘rsatadi. Masalan, harakatning
tezligi yoki tezlikning o‘zgarishining tezligini hisoblashda hosila ishlatiladi. Agar
s(t)
obyektning vaqtdagi harakati bo‘lsa, u holda uning tezligi v ( t ) = s ' ( t )
bo‘ladi.
Misol:
Agar f ( x ) = x 2
bo‘lsa, uning hosilasi:
f ' ( x ) = lim
Δx → 0 ( x + Δx ) 2
− x 2
Δx = lim
⁡ Δx → 0 2 xΔx + ( Δx ) 2
Δx = 2 x .
Funksiyaning o‘zgarish tezligini hisoblash :
Funksiyaning o‘zgarish tezligi, ya'ni
Δy /Δx , uning hosilasi yordamida
hisoblanadi. Funksiyaning o‘zgarish tezligini topish uchun, avval hosilani topish,
so‘ngra muayyan nuqtada o‘zi uchun qiymatni hisoblash kerak.
Misol: Agar f ( x ) = 3 x 3
− 2 x 2
+ x
bo‘lsa, uning hosilasi:
f'(x)=9x2− 4x+1.
Agar
x=2 nuqtada o‘zgarish tezligini hisoblasak:
f'(2)=9(2)2− 4(2)+1=36 −8+1=29.
Demak, x = 2
nuqtada o‘zgarish tezligi 29
ga teng.
Integral tushunchasi va uning geometrik ma'nosi :
Integral — bu funksiya ostidagi maydonni o‘lchash uchun ishlatiladigan
tushuncha. Agar f(x)f(x)f(x) funksiya berilgan bo‘lsa, uning noaniq integrali
quyidagicha aniqlanadi:
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C ,
17

bu yerda F'(x)= f(x)va C — konsant.
 Integral, funksiya grafigi ostidagi maydonni ifodalaydi. Masalan, agar
f(x)
harakatni ifodalovchi funksiya bo‘lsa, uning integrali vaqt oralig‘idagi yo‘lni
(masofani) ifodalashga yordam beradi.
Misol: Agar f ( x ) = 2 x ,
uning integralini hisoblaymiz:
∫2xdx = x2+C .
6. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika 3
o Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari.
o Tasodifiy hodisalar va ularning ehtimollik taqsimoti.
o Statistik tahlil va natijalar olish.
Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari :
Ehtimollar nazariyasi — bu tasodifiy hodisalarni o‘rganish bilan
shug‘ullanuvchi matematika sohasidir. Uning asosiy tushunchalari quyidagilardan
iborat:
 Tasodifiy hodisa — bu ma'lum bir tajriba (tajribalar) natijasida yuzaga
kelishi mumkin bo‘lgan holat. Masalan, tanga tashlashda " gerb " tushish ehtimoli
hisoblanadi.
 Ehtimollik — tasodifiy hodisaning yuzaga kelishining imkoniyatidir.
Ehtimollik
P(A) hodisa A ning yuzaga kelish ehtimolligini ifodalaydi va

0≤P(A)≤1 oralig‘ida joylashadi. Ehtimollikning qiymati 1
ga teng bo‘lsa, hodisa
albatta yuzaga keladi, 0 bo‘lsa, hodisa mumkin emas.
 Hodisalar o‘rtasidagi munosabatlar:
o Agar ikkita hodisa o‘zaro bog‘liq bo‘lmasa, u holda ular mustaqil deb
ataladi. Masalan, ikki tanga tashlashdagi natijalar mustaqil hodisalar bo‘lishi
mumkin.
o Bir hodisa yuzaga kelganida, ikkinchi hodisaning ehtimolligini hisoblash.
Masalan, bir kishi kasallangan bo‘lsa, uning o‘limi ehtimolligini hisoblash.
3
X. A. Kuzishov, "Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika".
18

$Misol: Tanga tashlashda " gerb " tushish ehtimolligini hisoblash: Tanganing ikki tomonidan biri " gerb ", shuning uchun ehtimollik quyidagicha bo‘ladi:P(gerb )= 1 2=0.5 . Tasodifiy hodisalar va ularning ehtimollik taqsimoti :  Tasodifiy o‘zgaruvchi — bu tajriba natijasining sonli qiymatlari. Masalan, tanga tashlashda natijalar X tasodifiy o‘zgaruvchisi sifatida ifodalanishi mumkin, bunda X = 1 " gerb " va X = 0 " raqam " bo‘ladi.  Ehtimollik taqsimoti — tasodifiy o‘zgaruvchining qiymatlariga tegishli ehtimolliklarni tasvirlaydi. Bunga quyidagi taqsimotlar kiradi: o Tasodifiy o‘zgaruvchi faqat cheklangan sonli qiymatlarni oladi. Masalan, zar tashlashda chiqishi mumkin bo‘lgan sonlar 1,2,3,4,5,6. o Uzun taqsimotlar: Tasodifiy o‘zgaruvchi haqiqiy sonlarni oladi, masalan, o‘rtacha balandlikni o‘lchash. Misol: Zar tashlashda X zarning chiqadigan natijasini bildiruvchi tasodifiy o‘zgaruvchi. Ehtimollik taqsimoti: P ( X = 1 ) = 1 6 , P ( X = 2 ) = 1 6 , ... , P ( X = 6 ) = 1 6 .  Normal taqsimot, yoki Gauss taqsimoti, ko‘plab tasodifiy hodisalar uchun model bo‘lib, uning ehtimollik zichligi taqsimoti bell shaklida bo‘ladi. Normal taqsimotda o‘rtacha qiymat va dispersiya muhim rol o‘ynaydi. Agar tasodifiy o‘zgaruvchi X normal taqsimotga ega bo‘lsa, uning ehtimollik zichligi quyidagicha bo‘ladi: f(x)= 1 2πσ 2exp ⁡(−(x− μ)2 2σ2 ), bu yerda μ\muμ — o‘rtacha qiymat, σ 2 esa dispersiya. Statistik tahlil va natijalar olish : Statistik tahlil — bu ma'lumotlarni yig‘ish, tasniflash, tahlil qilish va natijalarga asoslanib xulosalar chiqarish jarayonidir. U statistik metodlardan 19$